Bài viết trình bày một sự mở rộng của bổ đề Borel–Cantelli đối với mảng hai chiều các biến cố phụ thuộc. Kết quả chính của chúng tôi nhận Định lý 2.1 của Petrov [Statistics and Probability Letters, 2002] và bổ đề Borel–Cantelli đối với mảng hai chiều các biến cố độc lập đôi một như là những trường hợp đặc biệt.
N T N Anh, N T Bình, L V Thành, N T P Thảo / Về mở rộng bổ đề VỀ MỘT SỰ MỞ RỘNG CỦA BỔ ĐỀ BOREL–CANTELLI ĐỐI VỚI MẢNG HAI CHIỀU CÁC BIẾN CỐ PHỤ THUỘC Nguyễn Thị Ngọc Anh, Nguyễn Thị Bình, Lê Văn Thành, Nguyễn Thị Phương Thảo Viện Sư phạm Tự nhiên, Trường Đại học Vinh Ngày nhận 24/9/2020, ngày nhận đăng 15/12/2020 Tóm tắt: Trong báo này, chúng tơi trình bày mở rộng bổ đề Borel–Cantelli mảng hai chiều biến cố phụ thuộc Kết chúng tơi nhận Định lý 2.1 Petrov [Statistics and Probability Letters, 2002] bổ đề Borel–Cantelli mảng hai chiều biến cố độc lập đôi trường hợp đặc biệt Từ khóa: Bổ đề Borel-Cantelli; mảng hai chiều; biến ngẫu nhiên phụ thuộc Giới thiệu Bổ đề Borel–Cantelli công cụ quan trọng để chứng minh định lý giới hạn liên quan đến hội tụ đầy đủ hội tụ hầu chắn, đặc biệt luật mạnh số lớn số định lý giới hạn khác mảng nhiều chiều biến ngẫu nhiên, chẳng hạn xem [6-9] Do đó, nhà nghiên cứu ln muốn tìm cách để mở rộng kết sang trường hợp biến cố thỏa mãn cấu trúc phụ thuộc khác Bổ đề Borel–Cantelli mở rộng cho dãy biến cố độc lập đôi hai tác giả Chung Erdos [2], sau đó, mở rộng số tác Kochen Stone [3], Petrov [4], Arthan Oliva [1] Xét không gian xác suất (Ω, F, P) Năm 2002, Petrov [4] mở rộng bổ đề Borel–Cantelli cho dãy biến cố {An , n ≥ 1} thỏa mãn điều kiện P(Ai Aj ) ≤ KP(Ai )P(Aj ) với i = j, (1.1) K ≥ số Rõ ràng, {An , n ≥ 1} dãy biến cố độc lập đơi một, (1.1) thỏa mãn với K = dấu đẳng thức xảy Với điều kiện (1.1), Petrov [4, Theorem 2.1] chứng minh P(lim sup An ) ≥ K (1.2) Trong báo này, chứng minh kết Petrov mảng hai chiều Chúng sử dụng phương pháp chứng minh Petrov [4] để đưa cách tiếp cận cho bổ đề Borel–Cantelli mảng hai chiều biến cố Kết nhận Định lý 2.1 Petrov [4] bổ đề Borel–Cantelli mảng hai chiều biến cố độc lập đôi trường hợp riêng 1) 60 Email: levt@vinhuni.edu.vn (L V Thành) Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 49 - Số 4A/2020, tr 60-67 Trong chứng minh kết chính, chúng tơi có sử dụng định nghĩa giới hạn mảng hai chiều số thực Trong báo này, ta sử dụng ký hiệu a∨b = max{a, b}, a∧b = min{a, b} với a, b ∈ R Mảng hai chiều số thực {am,n , m ≥ 1, n ≥ 1} gọi hội tụ a ∈ R m ∧ n → ∞ với ε > 0, tồn số tự nhiên N cho |am,n − a| < ε với m, n thỏa mãn m ∧ n ≥ N Khi đó, ta viết lim am,n = a m,n→∞ lim m∧n→∞ am,n = a Kết Định lý sau kết báo Hai biến ngẫu nhiên X, Y thỏa mãn cấu trúc phụ thuộc tương tự (1.1), cụ thể P(X ≤ x, Y ≤ y) ≤ KP(X ≤ x)P(Y ≤ y) với x, y ∈ R, gọi hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng Liu [5, Example 4.1, Example 4.2] tồn dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi mở rộng không phụ thuộc âm đôi Họ biến cố thỏa mãn (1.1) gọi họ biến cố tương quan âm đôi mở rộng Từ kết Liu [5], ta suy tồn họ biến cố tương quan âm đôi mở rộng khơng tương quan âm đơi một, chúng không độc lập đôi Định lý 2.1 Giả sử {Am,n , m ≥ 1, n ≥ 1} mảng hai chiều biến cố thỏa mãn P (Ai,j Ak,l ) ≤ KP(Ai,j )P(Ak,l ) với số (i, j) = (k, l), (2.1) K ≥ số Đặt lim sup Am,n = Ai,j n≥1 i∨j≥n Nếu ∞ ∞ P(Am,n ) = ∞, (2.2) K (2.3) m=1 n=1 P (lim sup Am,n ) ≥ Chứng minh Với i ≥ 1, j ≥ 1, ta đặt Xi,j = 1(Ai,j ) 61 N T N Anh, N T Bình, L V Thành, N T P Thảo / Về mở rộng bổ đề Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz , ta có 2 m n m Xi,j = E 1 E i=1 j=1 n m Xi,j > 0 Xi,j i=1 j=1 m i=1 j=1 2 n ≤ E 1 m m Xi,j (2.4) i=1 j=1 n = P 2 n Xi,j > 0 E i=1 j=1 2 n m 2 n Xi,j > 0 E i=1 j=1 Xi,j i=1 j=1 Mặt khác, ta lại có m n m n Ai,j = i=1 j=1 1(Ai,j ) > 0 i=1 j=1 m (2.5) n = Xi,j > 0 , i=1 j=1 m n m n Xi,j = E E i=1 j=1 m n 1(Ai,j ) = i=1 j=1 P(Ai,j ), (2.6) i=1 j=1 m 2 n m 2 n Xi,j = E E 1(Ai,j ) i=1 j=1 i=1 j=1 m n = E (Ai,j ) (Ak,l ) i,k=1 j,l=1 m (2.7) n = E (Ai,j Ak,l ) i,k=1 j,l=1 m n = P(Ai,j Ak,l ) i,k=1 j,l=1 Từ (2.4)–(2.7), ta suy m n m n P(Ai,j ) ≤ P i=1 j=1 62 2 m n Ai,j i=1 j=1 i,k=1 j,l=1 P (Ai,j Ak,l ) (2.8) Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 49 - Số 4A/2020, tr 60-67 Từ giả thiết (2.2), ta thấy tồn m, n đủ lớn cho m n P(Ai,j ) > i=1 j=1 từ (2.8), ta có m n P (Ai,j Ak,l ) > i,k=1 j,l=1 Kết hợp điều với (2.8), ta suy m n Ai,j ≥ P i=1 j=1 n j=1 P(Ai,j ) m i=1 (2.9) n j,l=1 P(Ai,j Ak,l ) m i,k=1 Ta thay đổi số (2.9) để nhận M N Ai,j ≥ P i=m j=n N j=n P(Ai,j ) M i=m M i,k=m N j,l=n P(Ai,j Ak,l ) , M > m ≥ 1, N > n ≥ (2.10) Với M > m, N > n m, n đủ lớn, ta đặt M T1 = N P(Ai,j )P(Ak,l ) T2 = P(Ai,j ) (2.11) i=m j=n (i,j)=(k,l) m≤i,k≤M,n≤j,l≤N Từ (2.1) ta có M N P(Ai,j Ak,l ) − P(Ai,j ) ≤ K i=m j=n m≤i,k≤M n≤j,l≤N P(Ai,j )P(Ak,l ) (2.12) (i,j)=(k,l) m≤i,k≤M,n≤j,l≤N Điều kéo theo M P(Ai,j Ak,l ) ≤ K m≤i,k≤M n≤j,l≤N N P(Ai,j )P(Ak,l ) + (i,j)=(k,l) m≤i,k≤M,n≤j,l≤N P(Ai,j ) i=m j=n (2.13) = KT1 + T2 Vì K ≥ 1, nên từ (2.13), ta có P(Ai,j Ak,l ) ≤ K(T1 + T2 ) (2.14) m≤i,k≤M n≤j,l≤N 63 N T N Anh, N T Bình, L V Thành, N T P Thảo / Về mở rộng bổ đề Vì M 2 N nên M 2 N M M M (P(Ai,j )) + i=m j=n 2 N ≤ N i=m j=n i=m j=n N P(Ai,j ) − T1 + T2 = M P(Ai,j ) i=m j=n N P(Ai,j ) = T22 + T2 P(Ai,j ) + i=m j=n N (P(Ai,j ))2 , i=m j=n (i,j)=(k,l) m≤i,k≤M,n≤j,l≤N M P(Ai,j ) − P(Ai,j )P(Ak,l ) = T1 = (2.15) i=m j=n Từ (2.14) (2.15), ta suy P(Ai,j Ak,l ) ≤ K(T22 + T2 ) (2.16) m≤i,k≤M n≤j,l≤N Kết hợp (2.10) (2.16), ta có M N Ai,j ≥ P i=m j=n T22 K(T22 + T2 ) (2.17) T2 = K(T2 + 1) Giả sử ε > số nhỏ tùy ý cho trước Với N cố định ∞ i=m N j=n Ai,j N j=n Ai,j ↑ M → ∞ Theo tính liên tục xác suất ta có M N lim P M →∞ ∞ i=m j=n N i=m j=n Mặt khác N → ∞ N ∞ i=m ∞ M N Ai,j < N j=n Ai,j N lim P i=m j=n Ai,j i=m j=n xác suất lần nữa, ta có N →∞ ∞ i=m j=n Ai,j − P P Ai,j = P Điều kéo theo tồn L1 cho 64 M i=m ↑ ∞ i=m ∞ ε với M ≥ L1 ∞ j=n Ai,j ∞ Ai,j = P Áp dụng tính liên tục Ai,j i=m j=n (2.18) Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 49 - Số 4A/2020, tr 60-67 Do đó, tồn L2 cho ∞ ∞ i=m j=n Ai,j < i=m j=n Kết hợp (2.18) (2.19) ta có ∞ M i=m j=n ε với N ≥ L2 (2.19) N Ai,j − P P N Ai,j − P P ∞ ∞ Ai,j < ε với M, N ≥ max (L1 , L2 ) (2.20) i=m j=n Từ (2.20) theo định nghĩa giới hạn mảng hai chiều số thực, ta suy M lim M,N →∞ ∞ N ∞ Ai,j = P P i=m j=n Ai,j (2.21) i=m j=n Khi M, N → ∞ m, n cố định, từ điều kiện (2.2) (2.21), ta có T2 → T2 + (2.22) Kết hợp (2.17), (2.21) (2.22), ta có ∞ ∞ Ai,j ≥ P i=m j=n với m, n đủ lớn K Điều kéo theo ∞ P Ai,j ≥ i∨j=n Đặt Bn = ∞ i∨j=n Ai,j , , n ≥ K (2.23) n ≥ 1, ta dễ dàng suy B1 ⊃ B2 ⊃ ∞ ∞ lim sup Am,n = ∞ Ai,j = n=1 i∨j=n Bn (2.24) n=1 Kết hợp (2.23), (2.24) tính liên tục độ đo xác suất, ta suy ≤ lim P(Bn ) = P n→∞ K ∞ Bn = P(lim sup Am,n ) n=1 Định lý chứng minh 65 N T N Anh, N T Bình, L V Thành, N T P Thảo / Về mở rộng bổ đề Từ Định lý 2.1, ta thu hệ sau Kết Định lý 2.1 Petrov [4] Hệ 2.2 Giả sử {An , n ≥ 1} dãy biến cố thỏa mãn P(Ai Aj ) ≤ KP(Ai )P(Aj ) với i = j, K ≥ số Nếu (2.25) ∞ P(An ) = ∞, (2.26) n=1 P(lim sup An ) ≥ K (2.27) Chứng minh Chọn {A1,n = An , Am,n = ∅, m > 1, n ≥ 1} mảng hai chiều biến cố Khi (2.25) (2.26) đảm bảo cho (2.1) (2.2) thỏa mãn Áp dụng Định lí 2.1, ta có P(lim sup An ) = P Ai,j ≥ 1/K Aj = P n≥1 j≥n n≥1 i∨j≥n Hệ chứng minh TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R Arthan and P Oliva, “On the Borel–Cantelli lemmas, the Erdos-Renyi theorem, and the Kochen–Stone theorem,” Arxiv Preprint, 2020 [2] K L Chung and P Erdos, “On the application of the Borel-Cantelli lemma,” Trans American Math Soc., 72, 179–186, 1952 [3] S Kochen and C Stone, “A note on the Borel–Cantelli lemma,” Illinois J Math., 8, 248–251, 1964 [4] V V Petrov, “A note on the Borel–Cantelli lemma,” Statist Probab Lett., 58, 283–286, 2002 [5] L Liu, “Precise large deviations for dependent random variables with heavy tails,” Statist Probab Lett., 79, 1290–1298, 2009 [6] Nguyen Van Quang, Duong Xuan Giap, Bui Nguyen Tram Ngoc and Tien-Chung Hu, “Some strong laws of large numbers for double arrays of random sets with gap topology,” J Convex Anal., 26, No 3, 719–738, 2019 66 Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, Tập 49 - Số 4A/2020, tr 60-67 [7] A Rosalsky and Le Van Thanh, “Weak laws of large numbers for double sums of independent random elements in Rademacher type p and stable type p Banach spaces,” Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications 71 No.12, e1065–e1074, 2009 [8] A Rosalsky and Le Van Thanh, “Strong and weak laws of large Numbers for double sums of independent random elements in Rademacher type p Banach spaces,” Stochastic Anal Appl., 24, No 6, 1097–1117, 2006 [9] Le Van Thanh, “Strong law of large numbers and Lp -convergence for double arrays of independent random variables,” Acta Math Vietnam., 30, No 3, 225-–232, 2005 SUMMARY ON AN EXTENSION OF THE BOREL–CANTELLI LEMMA FOR DOUBLE ARRAYS OF DEPENDENT EVENTS Nguyen Thi Ngoc Anh, Nguyen Thi Binh, Le Van Thanh, Nguyen Thi Phuong Thao School of Natural Sciences Education, Vinh University Received on 24/9/2020, accepted for publication on 15/12/2020 In this paper, we present an extension of the Borel–Cantelli lemma for double arrays of dependent events From our main result, we obtain Theorem 2.1 of Petrov [Statistics and Probability Letters, 2002] and the Borel–Cantelli lemma for double arrays of pairwise independent events as special cases Keywords: Borel-Cantelli lemma; double array; dependent random variables 67 ... x)P(Y ≤ y) với x, y ∈ R, gọi hai biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm mở rộng Liu [5, Example 4.1, Example 4.2] tồn dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi mở rộng không phụ thuộc âm đôi Họ biến cố thỏa mãn... đôi Họ biến cố thỏa mãn (1.1) gọi họ biến cố tương quan âm đôi mở rộng Từ kết Liu [5], ta suy tồn họ biến cố tương quan âm đôi mở rộng không tương quan âm đôi một, chúng khơng độc lập đơi Định lý... giới hạn mảng hai chiều số thực Trong báo này, ta sử dụng ký hiệu a∨b = max{a, b}, a∧b = min{a, b} với a, b ∈ R Mảng hai chiều số thực {am,n , m ≥ 1, n ≥ 1} gọi hội tụ a ∈ R m ∧ n → ∞ với ε >