Một sự mở rộng của định lý Nadler

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Hà Đức Vượng. Thầy đã hướng dẫn và truyền đạt cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập cũng như trong nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên, khích lệ tác giả vươn lên trong học tập, tự tin vượt qua khó khăn trong việc nghiên cứu và hoàn thiện luận văn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn lớn lao, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, phòng Sau đại học, các thầy, các cô trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình đào tạo cao học và hoàn thiện luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin cảm ơn lãnh Sở GD và ĐT Lào Cai, lãnh đạo TTGDTX huyện Bắc Hà đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt khóa học. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên tinh thần để tác giả hoàn thành khóa học và luận văn tốt nghiệp. Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả Lục Quang Vinh LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này do tôi tự làm dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Hà Đức Vượng. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Các kết quả trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả Lục Quang Vinh Mục lục Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Không gian metric đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Không gian metric Hausdorff . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG NADLER . . . . 24 2.1. Các định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Định lý Nadler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Chương 3. MỘT SỰ MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ NADLER . . 31 3.1. Một sự mở rộng định lý Nadler . . . . . . . . . . 31 3.2. Một số kết quả mở rộng liên quan . . . . . . . . . . 36 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 i Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Xét ánh xạ T từ tập hợp X vào họ các tập con của X, T : X → 2 X . Điểm x ∈ X thỏa mãn x ∈ T x thì x được gọi là điểm bất động của ánh xạ đa trị T trên tập hợp X . Việc nghiên cứu về điểm bất động của một ánh xạ có nhiều ứng dụng trong toán học và khoa học kĩ thuật, do đó đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Các kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này đã hình thành nên “Lý thuyết điểm bất động” gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà toán học như Banach, Brouwer, Shauder, Tikhonov, Ky Fan, . . . . Năm 1922, kết quả kinh điển về điểm bất động được công bố. Đó là nguyên lý ánh xạ co Banach. Gần 50 năm sau, vào năm 1969 Nadler đã mở rộng kết quả này cho lớp ánh xạ co đa trị. Trong quá trình phát triển của khoa học kỹ thuật nói chung và toán học nói riêng, kết quả về điểm bất động của ánh xạ co đã được nhiều nhà toán học phát triển theo các hướng khác nhau, kể cả trường hợp đơn trị và đa trị. Năm 2010, bốn nhà toán học người Iran là M. Eshaghi Gordji, H. Baghani, H. Khodaei và M. Ramezani đã công bố về một sự mở rộng của 1 định lý điểm bất động Nadler trong bài báo “A GENERALIZATION OF NADLER’S FIXED POINT THEOREM” trên tạp chí “THE JOURNAL OF NONLINEAR SCIENCE AND APPLICATIONS”. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về điểm bất động, kết quả về điểm bất động Nadler và sự mở rộng của nó, được sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng, tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “Một sự mở rộng của định lý Nadler”. 2. Mục đích nghiên cứu Tổng hợp các kết quả về điểm bất động, sự mở rộng của định lý điểm bất động Nadler trong bài báo “A GENERALIZATION OF NADLER’S FIXED POINT THEOREM”. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về điểm bất động và kết quả mở rộng của định lý điểm bất động Nadler. 4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu về điểm bất động của Nadler cho lớp ánh xạ co đa trị và kết quả mở rộng của nó được công bố trong bài báo: A GENERALIZATION OF NADLER’S FIXED POINT THEOREM (2010) của bốn nhà toán học người Iran là M. Eshaghi Gordji, H. Baghani, H. Khodaei và M. Ramezani. 2 5. Phương pháp nghiên cứu - Dịch, đọc và nghiên cứu tài liệu. - Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức cho mục đích nghiên cứu. 6. Dự kiến đóng góp Đây sẽ là một bài tổng quan về điểm bất động cho lớp ánh xạ co đa trị. Qua đề tài này giúp người đọc hiểu sâu hơn về định lý điểm bất động Nadler và sự mở rộng của nó. Luận văn được trình bầy với ba chương nội dung. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tôi trình bầy các khái niệm cơ bản nhất về không gian metric, không gian metric đầy đủ và không gian metric Hausdorff. Chương 2. Chúng tôi trình bầy khái niệm về ánh xạ đơn trị, đa trị. Sau đó chúng tôi trình bầy về nguyên lý ánh xạ co Banach và cuối cùng là định lý điểm bất động Nadler, đây là sự mở rộng của nguyên lý ánh xạ co Banach cho lớp ánh xạ co đa trị trong không gian metric đầy đủ. Chương 3. Chúng tôi trình bầy về một kết quả mở rộng của định lý Nadler. Kết quả nghiên cứu của các nhà toán học Iran công bố trong bài báo "a generalization of Nadler fixed point theorem" năm 2010. 3 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này chúng tôi xin được hệ thống lại một số kiến thức cơ bản về không gian metric, không gian metric đầy đủ, không gian metric Hausdorff cùng với các ví dụ minh họa. 1.1. Không gian metric Định nghĩa 1.1.1. [3]Tập hợp X = φ cùng với một ánh xạ d : X ×X → R được gọi là không gian metric, kí hiệu (X, d), nếu d thỏa mãn: 1. d (x, y) ≥ 0; d (x, y) = 0 ⇔ x = y; ∀x, y ∈ X. 2. d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X. 3. d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X. Ánh xạ d được gọi là metric trên X, số d (x, y) được gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y. Các phần tử của X gọi là các điểm của không gian. Ví dụ 1.1.1. Đường thẳng thực R với khoảng cách thông thường d (x, y) = |x − y| , ∀x, y ∈ R, (1.1.1) là một không gian metric . Chứng minh: 4 Ta chứng minh d (x, y) thỏa mãn ba tiên đề về metric. Ta có |x − y| ≥ 0, ∀x, y ∈ R. và |x − y| = 0 ⇔ x = y; ∀x, y ∈ R. Vậy d (x, y) ≥ 0; d (x, y) = 0 ⇔ x = y; ∀x, y ∈ R. Ta lại có |x − y| = |y − x| , ∀x, y ∈ R. Vậy d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ R. Mặt khác với x, y, z ∈ R ta có |x − y| = |x − z + z − y| ≤ |x − z| + |z − y| . Vậy d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ R. Vậy d (x, y) là một metric trên R. Do đó R với khoảng cách thông thường là một không gian metric. Ví dụ 1.1.2. Trong không gian k chiều R k (k là một số nguyên dương), ta xác định khoảng cách giữa hai điểm x = (x 1 , x 2 , , x k ) và y = (y 1 , y 2 , , y k ) như sau: d (x, y) =  k  i=1 (x i − y i ) 2 . (1.1.2) Khi đó  R k , d  là một không gian metric, được gọi là không gian Euclide k chiều. Chứng minh. Ta kiểm tra d thỏa mãn ba tiên đề về metric. Thật vậy ta có:     k  i=1 (x i − y i ) 2 ≥ 0; ∀x i , y i ; i = 1, k 5 và     k  i=1 (x i − y i ) 2 = 0 ⇔ x i = y i ; i = 1, k. Hay d (x, y) ≥ 0; và d (x, y) = 0 ⇔ x = y; ∀x, y ∈ R k . Ta lại có     k  i=1 (x i − y i ) 2 =     k  i=1 (y i − x i ) 2 ; ∀x i , y i ; i = 1, k. Nghĩa là d (x, y) = d (y, x) ; ∀x, y ∈ R k . Để kiểm tra tiên đề 3, trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy - Bunhiacopski. Với hai số thực a j , b j  j = 1, k  ta có:      k  j=1 a j .b j      ≤  k  j=1 a j 2  k  j=1 a j 2 . (1.1.3) Thật vậy ta có: 0 ≤ k  i=1  k  j=1 (a i b j − a j b i ) 2  = k  i=1 k  j=1 a i 2 b j 2 − 2 k  i=1 k  j=1 a i b i a j b j + k  i=1 k  j=1 a j 2 b i 2 = 2 k  j=1 a j 2 . k  j=1 b j 2 − 2  k  j=1 a j b j  2 . Từ đó ta có bất đẳng Cauchy - Bunhiacopski.      k  j=1 a j .b j      ≤     k  j=1 a j 2     k  j=1 b j 2 . Bây giờ ta chứng minh tiên đề 3. Xét ba vectơ bất kì x = (x 1 , x 2 , , x k ) , y = (y 1 , y 2 , , y k ) , 6 z = (z 1 , z 2 , , z k ) ∈ R k . Ta có [d (x, y) ] 2 = k  i=1 (x i − y i ) 2 = k  i=1 [(x i − z i ) + (z i − y i )] 2 ≤ [d (x, z) ] 2 + 2     k  i=1 (x i − z i ) 2     k  i=1 (z i − y i ) 2 + [d (z, y) ] 2 = [d (x, z) ] 2 + 2d (x, z) d (z, y) + [d (z, y) ] 2 = [d (x, z) + d (z, y)] 2 . Từ đó ta có: d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) ; ∀x, y, z ∈ R k . Do đó R k với metric xác định bởi (1.1.2) là một không gian metric. Ví dụ 1.1.3. Cho không gian R k , ∀x, y ∈ R k , x = (x 1 , x 2 , , x k ) và y = (y 1 , y 2 , , y k ) . Ta có: d (x, y) = max 1≤j≤k |x j − y j | (1.1.4) là một metric trên R k . Chứng minh. Ta kiểm tra ba tiên đề về metric: Ta có |x j − y j | ≥ 0, ∀j = 1, k. 7 [...]... bất động của ánh xạ co đa trị T trên X 30 Chương 3 MỘT SỰ MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ NADLER Trong chương này chúng tôi trình bầy một sự mở rộng của định lý điểm bất động Nadler Kết quả này của các tác giả người Iran là M Eshaghi Gordji, H Baghani, H Khodaei và M Ramezani công bố năm 2010 trong bài báo “A GENERALIZATION OF NADLER S FIXED POINT THEOREM” [4] Dựa vào kĩ thuật chứng minh sự mở rộng của định lý Nadler, ... tiết chứng minh các kết quả mở rộng có liên quan 3.1 Một sự mở rộng định lý Nadler Định lý 3.1.1.[4] Cho (X, d) là một không gian metric, và hai tập hợp A, B ∈ CB (X) với mỗi a ∈ A và ε > 0, ∃b ∈ B sao cho: d (a, b) ≤ H (A, B) + ε Chứng minh Với mỗi a ∈ A ta có d (a, B) = inf d (a, x) x∈B 31 Ta suy ra sup d (y, B) = ∂ (A, B) ≥ d (a, B) y∈A Vậy ∂ (A, B) ≥ inf d (a, x) x∈B Từ định nghĩa về metric Hausdorff... trị, ánh xạ đa trị, nguyên lý ánh xạ co Banach và định lý điểm bất động Nadler 2.1 Các định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 2.1.1.[2] Ánh xạ đơn trị T từ tập X vào tập Y là một phép gán cho mỗi giá trị x ∈ X một giá trị T x ∈ Y Định nghĩa 2.1.2.[2] Cho M là một tập hợp tùy ý khác rỗng và ánh xạ T : M → M Điểm x ∈ M thỏa mãn T x = x được gọi là điểm bất động của ánh xạ T trên tập M Định nghĩa 2.1.3.[2] Cho... ,0 3 3 3 2 2 2 2 Vậy x = ∈ X và x = ∈ Tx = , 0 nên x = là điểm 3 3 3 3 bất động của ánh xạ T trên X 2.2 Định lý Nadler Định lý 2.2.1.[2] (Định lý Nadler) Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ, T : X → CB (X) là một ánh xạ co đa trị Khi đó, tồn tại x∗ ∈ X mà x∗ ∈ T x∗ Chứng minh Với k ∈ [0; 1), lấy h ∈ (k, 1) và x0 ∈ X một cách tùy ý Ta lấy x1 ∈ T x0 Ta giả thiết x1 = x0 hay d (x0 , x1 ) > 0 Vì T... nhận được tính đầy đủ của không gian metric Hausdorff (CB (X) , H) 23 Chương 2 ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG NADLER Năm 1922, kết quả kinh điển về điểm bất động được công bố cho lớp ánh xạ đơn trị, đó là nguyên lý ánh xạ co Banach Gần 50 năm sau, vào năm 1969 Nadler đã mở rộng kết quả này sang lớp ánh xạ co đa trị Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về điểm bất động của ánh xạ đơn trị,... (B, D)} , ∀A, B, C, D ∈ CB (X) Mặt khác theo định nghĩa của metric Hausdorff ta có H (A ∪ B, C ∪ D) = max {∂ (A ∪ B, C ∪ D) , ∂ (C ∪ D, A ∪ B)} ≤ max {H (A, C) , H (B, D)} , ∀A, B, C, D ∈ CB (X) Định lý được chứng minh Định lý 1.3.3.[4] (CB (X) , H) lập thành một không gian metric và được gọi là không gian metric Hausdorff Chứng minh Thật vậy, H xác định trên CB (X), hơn nữa với mỗi x ∈ X và tập... điểm bất động của ánh xạ T trên X Giả sử tồn tại điểm y ∗ ∈ X cũng là điểm bất động của ánh xạ T Ta có d (x∗ , y ∗ ) = d (T x∗ , T y ∗ ) ≤ kd (x∗ , y ∗ ) Do 0 ≤ k < 1 , nên suy ra d (x∗ , y ∗ ) = 0 26 Vậy ta có x∗ = y ∗ Do đó x∗ là điểm bất động duy nhất của ánh xạ T trên X Định nghĩa 2.1.4.[2] Ánh xạ đa trị T từ tập X vào tập Y là một phép gán cho mỗi giá trị x ∈ X một tập con T x ⊂ Y Định nghĩa... d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ Rk Vậy d (x, y) xác định bởi (1.1.4) là một metric trên Rk Nhận xét 1.1.1 Qua ví dụ 1.1.2 và ví dụ 1.1.3 ta thấy trên cùng một tập hợp có thể xác định được các metric khác nhau 1.2 Không gian metric đầy đủ Định nghĩa 1.2.1.[3] Cho không gian metric (X, d), cho {xn } là một dãy các phần tử của X Dãy {xn } gọi là hội tụ đến điểm x0 ∈ X, nếu ∀ε > 0, ∃n0 ∈... C[0,1] với metric xác định bởi (1.2.3) là metric không đầy đủ 1.3 Không gian metric Hausdorff Định nghĩa 1.3.1 [4] Cho (X, d) là một không gian metric CB (X) là họ các tập con khác rỗng, đóng, bị chặn của X Khi đó: 1 Khoảng cách từ x ∈ X đến tập hợp A ⊂ X được xác định bởi: d (x, A) = inf {d (x, y) : y ∈ A} 2 Với A, B ⊂ CB (X), khoảng cách từ tập hợp A đến tập hợp B được xác định bởi: ∂ (A, B) = sup... C nên ta có d (a, B) ≤ d (a, C) + ∂ (C, B) Tương tự a lấy tùy ý trong A nên ta có ∂ (A, B) ≤ ∂ (A, C) + ∂ (C, B) Định lý 1.3.2 [4] Cho (X, d) là một không gian metric Khi đó H (A ∪ B, C ∪ D) ≤ max {H (A, C) , H (B, D)} Với mọi ∀A, B, C, D ∈ CB (X) Chứng minh Từ kết luận 3 của định lý 1.3.1 ta có ∂ (A ∪ B, C ∪ D) = max {∂ (A, C ∪ D) , ∂ (B, C ∪ D)} ≤ max {∂ (A, C) , ∂ (B, D)} ≤ max {H (A, C) , H . . . . . . . . . . . . . 28 Chương 3. MỘT SỰ MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ NADLER . . 31 3.1. Một sự mở rộng định lý Nadler . . . . . . . . . . 31 3.2. Một số kết quả mở rộng liên quan . . . . . . . . . . 36 Kết. động, kết quả về điểm bất động Nadler và sự mở rộng của nó, được sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng, tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: Một sự mở rộng của định lý Nadler . 2. Mục đích nghiên cứu Tổng. động, sự mở rộng của định lý điểm bất động Nadler trong bài báo “A GENERALIZATION OF NADLER S FIXED POINT THEOREM”. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu về điểm bất động và kết quả mở rộng của định lý