Tích phân bội, tích phân bội suy rộng và Ứng dụng

Lý do chọn đề tài Là một trong những đối tượng nghiên cứu chính của Giải tích, tích phân đóngmột vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến việc tínhdiện tích củ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Tên đề tàiTÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂN BỘI SUY RỘNG

VÀ ỨNG DỤNG

Đà Nẵng, 4/2024

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

PHAN VĂN NHẬT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

TÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂN BỘI SUY RỘNG

VÀ ỨNG DỤNG

Lớp: 20ST1

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS CHỬ VĂN TIỆP

Đà Nẵng - 2024

MỞ ĐẦU 2

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Định nghĩa và tích phân xác định 4

1.2 Các phương pháp tính 5

1.2.1 Định lý cơ bản của Giải tích 5

1.2.2 Phương pháp đổi biến số 6

1.2.3 Phương pháp tích phân từng phần 6

CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN BỘI VÀ TÍNH PHÂN BỘI SUY RỘNG 7

2.1 Tích phân Riemann trên hình hộp 7

2.1.1 Phân hoạch của hình hộp 7

2.1.2 Các tổng Darboux 8

2.1.3 Một số tính chất cơ bản của các tổng Darboux 8

2.1.4 Định nghĩa tích phân Riemann 8

2.1.5 Các tính chất cơ bản của tích phân 10

2.1.6 Tập hợp có độ đo 0 11

2.2 Tích phân Riemann trên miền tổng quát 13

2.2.1 Hàm đặc trưng 13

2.2.2 Tập hợp đo được Jordan 13

2.3 Định lý Fubini 15

2.3.1 Trường hợp tổng quát 15

2.3.2 Định lý Fubini trong một số trường hợp đặc biệt 16

2.3.3 Tính tích phân trên miền tổng quát trong R2 17

2.3.4 Tính tích phân trên miền tổng quát trong R3 19

2.4 Công thức đổi biến 22

2.4.1 Tính tích phân hai lớp trong tọa độ cực 23

2.4.2 Tính tích phân ba lớp trong tọa độ cầu 25

2.4.3 Tính tích phân ba lớp trong toạ độ trụ 27

2.5 Tích phân bội suy rộng 28

KẾT LUẬN 33

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

đề cho sự phát triển, định hướng ngành học của tôi sau này.

Tiếp theo, tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô giáo, giảng viên đã giảngdạy, truyền đạt cho tôi những lý thuyết về những học phần mà tôi đã học trongchương trình đào tạo Cử nhân Sư phạm Toán học Những học phần như nhữnghành trang đầu đời mà tôi mang theo trong suốt quá trình học tập và làm việc sắptới

Và cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất cả mọi người trong môi trường họctập tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng vì đã giúp đỡ, hỗ trợ tôi trongsuốt thời gian vừa qua

Tôi xin chân thành cảm ơn!

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Là một trong những đối tượng nghiên cứu chính của Giải tích, tích phân đóngmột vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến việc tínhdiện tích của các hình phẳng được giới hạn bởi một hoặc nhiều đường cong, haythậm chí là thể tích của vật thể, khối tròn xoay, Tích phân suy rộng là một kháiniệm mở rộng hơn so với tích phân được giới thiệu trong chương trình học cấp bậcPhổ thông trung học và những sinh viên ngành Toán, Toán ứng dụng, sẽ tiếpcận trong chương trình Đại học Tích phân suy rộng được sử dụng để tính giới hạncủa một tích phân xác định khi cận của tích phân tiến tới vô cùng Tích phân suyrộng bao gồm 2 loại: Tích phân suy rộng loại 1 (tích phân với cận vô hạn) và Tíchphân suy rộng loại 2 (tích phân vô hạn) Tích phân bội là một loại tích phân xácđịnh được mở rộng cho các hàm có nhiều hơn một biến thực như tích phân củamột hàm hai biếnf (x, y) trên một vùng trong không gian R2 được gọi là tích phânbội, mặt khác, tích phân của hàm ba biến trên một miền của R3 được gọi là tíchphân bội ba

Phép tính tích phân và vi phân được hai nhà toán học đầu tiên nghiên cứu làIsaac Newton (1642 - 1727) và Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) và ngườiđúc kết lại công trình nghiên cứu ấy là nhà toán học người Đức - Bernhard Riemann(1826 - 1866) Những lý thuyết này vẫn được nghiên cứu và phát triển cho đến tậnngày nay Chính vì những ứng dụng quan trọng và phong phú của tích phân bộinói chung và tích phân bội suy rộng nói riêng và nhận thấy rằng bản thân cần tìmtòi, học hỏi nhiều hơn nữa về kiến thức này nhằm nâng cao vốn chuyên môn củabản thân để làm nền tảng cho công việc sau này nên tôi cùng với sự hướng dẫncủa Thầy giáo TS CHỬ VĂN TIỆP tôi đã chọn đề tài : “TÍCH PHÂN BỘI, TÍCHPHÂN BỘI SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG” cho Khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của đề tài này là giúp bản thân hiểu rõ hơn về đơn vị kiếnthức Tích phân bội, tích phân bội suy rộng và biết được nhiều hơn về những ứngdụng mà kiến thức đã và đang từng ngày hiện hữu trong đời sống Khoá luận tậptrung làm rõ cách tính Tích phân bội, tích phân bội suy rộng từng phần, của hàm

số không âm; bên cạnh đó đề cập đến một số ứng dụng của hai dạng tích phân nóitrên thông qua một số ví dụ minh hoạ

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Tích phân bội, tích phân bội suy rộng và ứng dụng của nó

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài được hoàn thành dựa trên nền tảng kiến thức của Giải tích phổ thông,Giải tích thực một biến/nhiều biến kết hợp với việc dịch, đọc và tìm hiểu các kiến

thức liên quan có trong các tài liệu tham khảo được đề cập.

4 Phương pháp nghiên cứu

Khoá luận được nghiên cứu dựa trên các phương pháp:

- Sưu tầm các tài liệu liên quan đến đề tài

- Đọc hiểu, dịch, trình bày lại theo chủ đề, bổ sung một số chi tiết và giải quyếtcác ví dụ minh hoạ

- Sự hướng dẫn, chỉ bảo từ Giảng viên hướng dẫn

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

- Khoá luận góp phần trình bày một cách tổng quan về các tính chất, bổ đề,mệnh đề liên quan đến việc nghiên cứu tích phân bội suy rộng

- Khoá luận có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo và tài liệu tự học cho sinhviên ngành Toán trong một số học phần liên quan đến Giải tích

6 Cấu trúc của khóa luận

Khoá luận này được chia thành hai chương chính cùng với phần Mở đầu, Kếtluận và Danh mục tài liệu tham khảo Các chương chính bao gồm:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Tích phân bội và Tích phân bội suy rộng

CHƯƠNG1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả của tích phân xác định cầndùng cho chương sau mà không nêu chứng minh

1.1 Định nghĩa và tích phân xác định

Cho hàm f (x) xác địn.h trên đoạn [a, b] ⊂ R Xét bài toán tìm diện tích của

hình thang cong, là phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f (x), đường thẳng

x = a, x = b và trục Ox Do không thể tính diện tích hình thang cong bằng côngthức tường minh, cách tiếp cận tự nhiên nhất là chia nhỏ miền cần tính diện tích

và xấp xỉ nó bằng tổng của các diện tích hình chữ nhật Cụ thể hơn, ta tiến hànhchia đoạn [a, b] thành n đoạn bởi các điểm chia x 0 = a < x 1 < x 2 < < x n = b.Trên mỗi đoạn chia ∆ i, ta chọn điểm đại diện ξ i và dựng hình chữ nhật có chiềucao bằng f (ξ i ) Khi đó, tỗng diện tích của các hình chữ nhật bằng Pn

i=1 f (ξ i ) ∆ i.Đặt ∆ := max {∆ i : 1 ≤ i ≤ n} Giá trị Pn

i=1 f (ξ i ) ∆ i được gọi là tổng tích phân củahàm f trên đoạn [a, b] Hiển nhiên, tổng này không chỉ phụ thuộc vào hàm f màcòn phụ thuộc vào cách chia đoạn [a, b] và cách chọn điểm đại diện ξ i Bằng trựcgiác, có thể nhận thấy rằng, khi độ dài của mỗi đoạn chia tiến về0 , tổng diện tíchcủa các hình chữ nhật sẽ tiến dần đến diện tích của hình thang cong

Định nghĩa 1.1 Nếu giới hạn lim ∆→0Pni=1f (ξ i ) ∆ i tồn tại, không phụ thuộcvào cách chia đoạn[a, b] và cách chọn điểm đại diện ξ i, thì ta nói hàmf (x) khả tíchtrên đoạn [a, b] Đồng thời, giá trị của giới hạn đó được gọi là tích phân xác địnhcủa hàm f (x) trên đoạn [a, b], ký hiệu là Rabf (x)dx

Định lý 1.1 Hàm số f (x) xác định trên đoạn [a, b] sẽ khả tích trên đoạn đónếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

a) Hàm f (x) liên tục trên đoạn [a, b]

b) Hàm f (x) bị chặn và có hữu hạn các điểm gián đoạn trên [a, b]

c) Hàm f (x) đơn điệu và bị chặn trên đoạn [a, b]

Dưới đây là một số tính chất của tích phân xác định

Định lý 1.2 Cho f (x), g(x) là hai hàm số khả tích trên đoạn [a, b] Khi đó1) Với mọi α, β ∈R, ta có:

Z b a

(αf (x) + βg(x))dx = α

Z b a

f (x)dx + β

Z b a

g(x)dx.

2) Với mọi c ∈ [a, b], ta có:

Z b a

f (x)dx =

Z c a

f (x)dx +

Z b c

f (x)dx.

Quy ước: Rb

a f (x)dx := −Ra

b f (x)dx nếu a > b

3) Nếu f (x) ≥ g(x)∀x ∈ [a, b] thì Rabf (x)dx ≥Rb

a g(x)dx.4) Hàm |f (x)| cũng khả tích trên đoạn [a, b] và

Z b a

f (x)dx

Z

B

f

2.3 Định lý Fubini

2.3.1 Trường hợp tổng quát

Định lý 2.9 (Fubini) Giả sử A ⊂ Rn và B ⊂ Rm là các hình hộp đóng và

f : A × B →R là hàm khả tích Hơn nữa, giả sử rằng hàm g x : B →R xác định với

mỗi x ∈ A bởi đẳng thức g x (y) = f (x, y) và

g x =

Z ∗ B

f (x, y)dy



dx.

(Các tích phân ở vế phải được gọi là các tích phân lặp của f)

Chứng minh Giả sử PA là một phân hoạch của A và PB là một phân hoạch của

B Khi đó, P = (PA, PB) là một phân hoạch của A × B mà mỗi hình hộp S của nó

có dạng S A × S B, trong đó S A là hình hộp của phân hoạch P A và S B là hình hộpcủa phân hoạch P B Ta có