Tích phân bội và Ứng dụng trong vật lý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMKHOA TOÁN HỌC NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG TÍCH PHÂN BỘI VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHÓA LUẬN: TS... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMNGUYỄN THỊ HỒ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN HỌC

NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG

TÍCH PHÂN BỘI VÀ ỨNG DỤNG

TRONG VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHÓA LUẬN: TS CHỬ VĂN TIỆP

Đà Nẵng - 2024

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ HỒNG NHUNG

TÍCH PHÂN BỘI VÀ ỨNG DỤNG

TRONG VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHÓA LUẬN: TS CHỬ VĂN TIỆP

Đà Nẵng - 2024

LỜI CAM ĐOAN 1

LỜI CẢM ƠN 2

MỞ ĐẦU 3

1 Lý do chọn đề tài 3

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

4 Phương pháp nghiên cứu .3

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 4

6 Cấu trúc của khóa luận 4

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Định nghĩa của tích phân xác định 5

1.2 Các phương pháp tính 6

1.2.1 Định lý cơ bản của Giải tích 6

1.2.2 Phương pháp đổi biến số 7

1.2.3 Phương pháp tích phân từng phần 7

CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN BỘI 8

2.1 Tích phân kép 8

2.2 Tích phân bội ba 13

2.2.1 Tích phân bội ba trên miền hình hộp chữ nhật 13

2.2.2 Đổi biến trong tích phân bội ba 15

2.2.3 Tính tích phân ba lớp trong tọa độ cầu 16

2.2.4 Tính tích phân ba lớp trong toạ độ trụ 17

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI 18

3.1 Ứng dụng của tích phân kép 18

3.1.1 Mật độ và khối lượng 18

3.1.2 Mô men và trọng tâm 21

3.1.3 Mô men quán tính 23

3.2 Ứng dụng của tích phân ba lớp 25

3.2.1 Thể tích của vật thể 25

3.2.2 Khối lượng, mô men, tọa độ trọng tâm, mô men quán tính 27

3.2.3 Mô men quán tính 33

KẾT LUẬN 35

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan các dữ liệu trình bày trong khóa luận này là trung thực Đây làkết quả của quá trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của TS Chử Văn Tiệpkhoa Toán học, trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng và chưa được công bốtrong bất kỳ công trình nào khác trước đây Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm nếu

vi phạm bất kỳ quy định nào về đạo đức khoa học

Tác giảNguyễn Thị Hồng Nhung

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin cảm ơn và biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS Chử Văn Tiệp

đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi nghiên cứukhóa luận Và cũng là người đưa ra những ý tưởng, kiểm tra sự phù hợp của khóaluận tốt nghiệp

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến toàn thể các thầy, cô đã tận tình dạy bảo tôitrong suốt thời gian học tập tại khoa Toán, trường Đại học Sư phạm - Đại học ĐàNẵng và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình nghiên cứu tại trường

Mặc dù đã cố gắng hoàn thành khóa luận tốt nghiệp trong phạm vi và khảnăng có thể Tuy nhiên sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, vì vậy, tôi rất mongnhận được sự cảm thông và tận tình chỉ bảo của các thầy, cô và toàn thể các bạn.Tôi xin lắng nghe và tiếp thu những ý kiến đóng góp từ các thầy, cô và các bạn đểhoàn thiện, bổ sung kiến thức

Tôi xin chân thành cảm ơn!

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Tích phân bội là một khái niệm quan trọng trong lĩnh vực Toán học, đặc biệttrong tích phân nhiều biến Nó là một công cụ mạnh mẽ trong tính toán để giảiquyết các bài toán và các ứng dụng thực tế trong nhiều lĩnh vực Tích phân bộigiúp chúng ta xác định diện tích hoặc thể tích của một số hình dạng phức tạp vàlàm việc với không gian nhiều chiều

Bằng cách sử dụng các phương pháp tích phân, chúng ta có thể sử dụng tíchphân bội để tính toán diện tích của các hình dạng không đều như hình tam giác,hình bình hành hay hình cầu và có thể tính toán thể tích của các hình dạng trongkhông gian ba chiều như hình hộp, hình trụ hay hình cầu Điều này có ý nghĩaquan trọng và rất hữu ích trong nhiều lĩnh vực như vật lý, kiến trúc, kỹ thuật vàcác ngành khác

Tích phân bội được ứng dụng trong lĩnh vực Vật lý thường để tính toán thểtích của vật thể, khối lượng của vật thể, trọng tâm, mô men quán tính Việc hiểu

và ứng dụng tích phân bội sẽ giúp chúng ta nắm bắt tốt hơn các hiện tượng trongthực tế và giải quyết các vấn đề phức tạp

Chính vì những ứng dụng quan trọng và phong phú đó, tôi đã quyết định nghiêncứu, tham khảo một số tài liệu về tích phân bội và cùng với sự hướng dẫn của thầygiáo TS Chử Văn Tiệp tôi đã chọn đề tài: “TÍCH PHÂN BỘI VÀ ỨNG DỤNGTRONG VẬT LÝ” cho khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Thực hiện đề tài "Tích phân bội và ứng dụng trong Vật lý", tôi hướng đến mụcđích rèn luyện khả năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề Toán học mớiđối với bản thân Từ đó, hình thành khả năng trình bày một vấn đề Toán học trừutượng một cách logic và có hệ thống Khóa luận nhằm nghiên cứu các bài toán vềtích phân bội và các ứng dụng của tích phân bội trong Vật lý

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Tích phân bội và các ứng dụng của tích phân bội

- Phạm vi nghiên cứu: Đề tài được hoàn thành dựa trên nền tảng kiến thức củaGiải tích Trên cơ sở dịch, đọc và tìm hiểu các kiến thức trong các tài liệu, một sốtài liệu liên quan, từ đó sắp xếp hệ thống lại kiến thức, chứng minh chi tiết một

số định lý, giải các ví dụ minh họa để hoàn thành việc nghiên cứu

4 Phương pháp nghiên cứu

Khóa luận được nghiên cứu dựa trên các phương pháp:

- Sưu tầm các tài liệu liên quan đến đề tài bao gồm các sách kinh điển bằngtiếng Việt cũng như các tài liệu mới bằng tiếng Anh

- Đọc dịch, tổng hợp, trình bày lại theo chủ đề, bổ sung các chi tiết, các ví dụminh họa.

- Trao đổi, thảo luận với cán bộ hướng dẫn

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

- Khóa luận góp phần bổ sung thêm các tính chất, cách giải các bài toán ứngdụng thực tế

- Khóa luận có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo và tài liệu tự học cho sinhviên ngành Toán học và ngành Vật lý đang nghiên cứu về mảng này

6 Cấu trúc của khóa luận

Cấu trúc của khóa luận tốt nghiệp gồm các phần chính sau đây:

Mở đầu

Phần nội dung: Nội dung chính của khóa luận tốt nghiệp gồm 3 chương cụ thểnhư sau:

- Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

- Chương 2: Tích phân bội

- Chương 3: Ứng dụng của tích phân bội

Kết luận

Danh mục tài liệu tham khảo

CHƯƠNG1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả của tích phân xác định cầndùng cho chương sau mà không nêu chứng minh

1.1 Định nghĩa của tích phân xác định

Cho hàm f (x) xác định trên đoạn [a, b] ⊂ R Xét bài toán tìm diện tích củahình thang cong, là phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f (x), đường thẳng

x = a, x = b và trục Ox Do không thể tính diện tích hình thang cong bằng côngthức tường minh, cách tiếp cận tự nhiên nhất là chia nhỏ miền cần tính diện tích

và xấp xỉ nó bằng tổng của các diện tích hình chữ nhật Cụ thể hơn, ta tiến hànhchia đoạn [a, b] thành n đoạn bởi các điểm chia x 0 = a < x 1 < x 2 < < x n = b.Trên mỗi đoạn chia ∆ i, ta chọn điểm đại diện ξ i và dựng hình chữ nhật có chiềucao bằng f (ξ i ) Khi đó, tổng diện tích của các hình chữ nhật bằng Pn

i=1 f (ξ i ) ∆ i.Đặt ∆ := max {∆ i : 1 ≤ i ≤ n} Giá trị Pn

i=1 f (ξ i ) ∆ i được gọi là tổng tích phân củahàm f trên đoạn [a, b] Hiển nhiên, tổng này không chỉ phụ thuộc vào hàm f màcòn phụ thuộc vào cách chia đoạn [a, b] và cách chọn điểm đại diện ξ i Bằng trựcgiác, có thể nhận thấy rằng, khi độ dài của mỗi đoạn chia tiến về0 , tổng diện tíchcủa các hình chữ nhật sẽ tiến dần đến diện tích của hình thang cong

Định nghĩa 1.1 Nếu giới hạn lim ∆→0Pni=1f (ξ i ) ∆ i tồn tại, không phụ thuộcvào cách chia đoạn[a, b] và cách chọn điểm đại diện ξ i, thì ta nói hàmf (x) khả tíchtrên đoạn [a, b] Đồng thời, giá trị của giới hạn đó được gọi là tích phân xác địnhcủa hàm f (x) trên đoạn [a, b], ký hiệu là Rabf (x)dx

Định lý 1.1 Hàm số f (x) xác định trên đoạn [a, b] sẽ khả tích trên đoạn đónếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

a) Hàm f (x) liên tục trên đoạn [a, b]

b) Hàm f (x) bị chặn và có hữu hạn các điểm gián đoạn trên [a, b]

c) Hàm f (x) đơn điệu và bị chặn trên đoạn [a, b]

Dưới đây là một số tính chất của tích phân xác định

Định lý 1.2 Cho f (x), g(x) là hai hàm số khả tích trên đoạn [a, b] Khi đó1) Với mọi α, β ∈R, ta có:

Z b a

(αf (x) + βg(x))dx = α

Z b a

f (x)dx + β

Z b a

g(x)dx.

2) Với mọi c ∈ [a, b], ta có:

Z b a

f (x)dx =

Z c a

f (x)dx +

Z b c

f (x)dx.

Quy ước: Rb

a f (x)dx := −Ra

b f (x)dx nếu a > b

3) Nếu f (x) ≥ g(x)∀x ∈ [a, b] thì Rabf (x)dx ≥Rb

a g(x)dx.4) Hàm |f(x)| cũng khả tích trên đoạn [a, b] và

Z b a

f (x)dx

6 cos φ

2 cos φ dφ

= 2083

2

dφ

= 2083



dφ

= 2083



dφ

= 2083



dφ

= 2083



π/4

−π/2

= 2083

Hình 2.5: D : 2x ≤ x 2 + y 2 ≤ 6x, y ≤ x

2.2 Tích phân bội ba

2.2.1 Tích phân bội ba trên miền hình hộp chữ nhật

Bài toán: Tính khối lượng của khối hình hộp chữ nhật xác định bởi

B = {(x, y, z) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, e ≤ z ≤ f},

với hàm mật độ (khối lượng riêng) được xác định tại điểm (x, y, z) ∈ B là ρ(x, y, z).Tương tự như khi định nghĩa tích phân xác định, chia đoạn [a, b] thành các đoạncon; tích phân kép, chia miền chữ nhật [a, b] × [c, d] thành các hình chữ nhật con,giờ ta c¯ung chia hình hộp B = [a, b] × [c, d] × [e, f] thành các hình hộp con bằngcách chia đoạn[a, b] thành l đoạn con [x i−1 , x i ] độ dài ∆x i, chia đoạn [c, d] thành m

đoạn con[y j−1 , y j ] độ dài ∆y j và đoạn [e, f ] thành n đoạn con [z k−1 , z k ] độ dài ∆z k.Như thế, các mặt phẳng đi qua các điểm chia này và vuông góc với các trục tọa

độ chia hình hộp B thành các hình hộp con

Bijk = [x i−1 , x i ] × [y j−1 , y j ] × [z k−1 , zk]

có thể tích ∆V ijk = ∆x i ∆y j ∆z k Khi đó, chúng ta xấp xỉ khối lượng của khối hộpchữ nhật bởi tổng Riemann

ρ x∗ijk, yijk∗ , zijk∗
∆x i ∆y j ∆z k

với điểm x∗ijk, y∗ijk, zijk∗  được lấy tùy ý trong B ijk Khi phép chia khối hộp càngmịn, số hình hộp con càng lớn thì phép xấp xỉ này càng chính xác, giới hạn củatổng Riemann cho ta khối lượng của khối hộp chữ nhật

Ta định nghĩa tích phân bội ba dựa trên giới hạn của tổng Riemann

ρ x∗ijk, y∗ijk, zijk∗
∆x i ∆y j ∆z k

Hàm ρ được gọi là khả tích trên B nếu giới hạn là tồn tại hữu hạn, khôngphụ thuộc vào cách chia các đoạn [a, b], [c, d] và [e, f ] cũng như cách chọn các điểm



x∗ijk, yijk∗ , z∗ijk Khi đó, ta có thể chia đều các đoạn [a, b], [c, d], [e, f ] và các đoạnchia ∆x i = ∆x, ∆y j = ∆y, ∆z k = ∆z và ∆V ijk = ∆V = ∆x∆y∆z Khi đó, ta có viphân thể tích dV = dxdydz và ta có cách viết:

Z d c

Z b a

ρ(x, y, z)dxdydz.

Định lý 2.7 Cho f và g là các hàm khả tích trong miền V Khi đó, ta có

a) (Tính tuyến tính) Với α, β ∈R, hàm số αf (x, y, z) + βg(x, y, z) khả tích trong

Đặc biệt, hàm |f(x, y, z)| cũng khả tích trong V, và

Z Z Z

V

f (x, y, z)dxdydz

≤

Z Z Z

V

|f(x, y, z)|dxdydz.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hàm f không đổi dấu trong V

d) (Tính chất giá trị trung bình) Giả sử m ≤ f(x, y, z) ≤ M trong V Khi đó,

m · Vol(V ) ≤

Z Z Z

V

f (x, y, z)dxdydz ≤ M · Vol(V ),

với Vol(V ) là thể tích của V

e) (Tính đối xứng) Nếu miền lấy tích phân là đối xứng qua mặt phẳng x = 0

(tương ứng y = 0, z = 0) và f là hàm lẻ theo biến x (tương ứng y, z) thì khi đó

Z Z Z

V

f (x, y, z)dxdydz = 0.

Ta có thể mở rộng định lý Fubini cho miền tổng quát như sau

Định lý 2.8 (Định lý Fubini cho miền tổng quát) Xét miền V nằm giữa đồthị của hai hàm số liên tục như sau

2.2.2 Đổi biến trong tích phân bội ba

Trong tích phân bội ba, chúng ta cũng có công thức đổi biến Cho T là songánh từ miền F trong không gian O′uvw vào miền V trong không gianOxyz với cácphép biến đổi

x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w).

Giả thiết rằng các hàm x, y và z liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục Khi đó,định thức Jacobi của phép biến đổi T là định thức cấp 3

J = D(x, y, z)D(u, v, w) =