Báo cáo bài tập lớn giải tích 2 nêu 5 Ứng dụng thực tế của tích phân bội (kép + bội ba), cho ví dụ cụ thể (chỉ ra tính thực tế của Ứng dụng) tham khảo các tài liệu Được cung cấp và internet

Nêu 5 ứng dụng thực tế của tích phân bội kép + bội ba, cho ví dụ cụ thể chỉ ra tính thực tế của ứng dụng.. LỜI MỞ ĐẦUNhóm em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đối với các thầy cô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

ĐỀ TÀI 15

Giáo viên hướng dẫn: TRẦN NGỌC DIỄM

LÊ NGUYỄN HẠNH VY

Nhóm: GT2-L22-15 Ngày 23 tháng 04 năm 2022

GIỚI THIỆU CHUNG

Nội dung đề tài 15

1 Nêu 5 ứng dụng thực tế của tích phân bội (kép + bội ba), cho ví dụ cụ thể (chỉ

ra tính thực tế của ứng dụng) Tham khảo các tài liệu được cung cấp và

Internet

2 Viết một code tính thể tích của hình trụ đứng, có một đáy là tam giác ABC trong mặt phẳng Oxy và một đáy nằm trong mặt cong z = f(x,y) Cho phép người dùng nhập tọa độ các đỉnh của tam giác và f(x,y)

Danh sách thành viên

1 2115090 Nguyễn Khánh Minh Trí

2 2112491 Nguyễn Minh Triết

3 2113201 Trần Thị Thúy Được

4 2113312 Lê Thị Bảo Hân

5 2114486 Hồ Lâm Anh Phước

NHẬN XÉT VÀ CHẤM ĐIỂM CỦA

THẦY CÔ

Nhận xét Chấm điểm

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 5

I CƠ SỞ LÍ THUYẾT CỦA TÍCH PHÂN 6

II ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA TÍCH PHÂN 7

• Ứng dụng thực tế của tích phân kép 7

• Ứng dụng thực tế của tích phân bội ba 10

III CHƯƠNG TRÌNH MATLAB 11

• Các hàm matlab được sử dụng 11

• Đoạn code sử dụng 11

• Ví dụ cụ thể 12

IV TỔNG KẾT 12

V TÀI LIỆU THAM KHẢO 14

LỜI MỞ ĐẦU

Nhóm em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đối với các thầy cô bộ môn của trường Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện và

giúp đỡ cho chúng em được học hỏi, tìm tòi, hiểu biết được thêm nhiều điều

mới trong quá trình hoàn thành bài báo cáo Bài tập lớn môn Giải tích 2 này

Và nhóm em cũng xin chân thành cám ơn Giáo viên hướng dẫn Bài tập lớn của

nhóm là cô Lê Nguyễn Hạnh Vy và Trần Ngọc Diễm đã rất nhiệt tình, tận tâm

hướng dẫn cho chúng em, để cả nhóm đã hoàn thành được một bài Báo cáo Bài

tập lớn hoàn thiện như ngày hôm nay

Cuối cùng, xin cám ơn tất cả các thành viên trong nhóm 15 đã cùng nhau nỗ

lực, đoàn kết, cùng nhau tìm tòi và giúp đỡ nhau cùng hoàn thành bài Báo cáo

để nộp đúng hạn

Cả nhóm đã cố gắng hết sức với Bài Báo cáo, tuy nhiên trong lúc hoàn thiện

bài Báo cáo tất nhiên không thể tránh khỏi những sai sót, các lỗi và chúng em

rất mong muốn nhận được ý kiến đóng góp, những nhận xét của cô để chúng

em có thể học hỏi thêm, tích lũy được nhiều kinh nghiệm và kiến thức để phục

vụ cho các bài báo cáo lần sau

Nhóm 15 xin trân trọng cám ơn!

I Cơ sở lý thuyết của tích phân:

1 Tích phân kép:

1.1 Định nghĩa:

Cho hàm số f(x; y) > 0; ∀ (x; y) ∈ D:

Tích phân kép của hàm số f(x,y) trên miền D là:

∫𝐷 ∫ f(x,y)dxdy = ∫𝐷 ∫ f(x,y)dA = lim⁡ _{𝑚, 𝑛 →

∞} ∑𝑚𝑖=1∑𝑛𝑗=1𝑓(𝑥𝑖𝑗,𝑦𝑖𝑗)∆𝑥∆𝑦

nếu giới hạn này tồn tại Lúc này f(x,y) được gọi là hàm khả tích trên D

1.2 Tính chất:

• Nếu D=D1 +D2 và f(x,y) khả tích trên D thì:

∫𝐷 ∫ f(x,y)dxdy = ∫𝐷

1 ∫ f(x,y)dxdy + ∫𝐷

2 ∫ f(x,y)dxdy

• Nếu f(x,y) và |𝑓(𝑥, 𝑦)| là những hàm khả tích trên D thì:

|∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷    | = ∫𝐷  ∫  |𝑓(𝑥, 𝑦)|dxdy

• Nếu f(x,y) và g(x,y) là những hàm khả tích trên D thì

∫ ∫𝐷  (f(x,y) ± g(x,y))dxdy = ∫𝐷    ∫ f(x,y)dxdy ± ∫ ∫𝐷  g(x,y)dxdy

• Nếu f(x,y) là hàm khả tích trên D thì

∫ ∫𝐷  (𝛼 f(x,y))dxdy = 𝛼 ∫ ∫𝐷  f(x,y)dxdy, 𝛼 ∈ 𝑅

• Nếu f(x,y) và g(x,y) là những hàm khả tích trên D và f(x,y)≤ g(x,y), ∀ (x,y)

∈ D thì: ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷    ≤ ∫ ∫ 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷    𝑦

• Nếu D là miền đóng, bị chặn: S𝐷 =∫ ∫𝐷  dxdy

2 Tích phân bội ba:

2.1 Định nghĩa:

Tích phân bội ba của hàm số f(x,y,z) trên miền Ω là

∭ f(x,y,z)dxdydz = ∭ f(x,y,z)dV = lim⁡ _{𝑚, 𝑛, 𝑝 →

∞} ∑ ∑𝑛 ∑𝑝𝑘=1

𝑗=1

𝑚

𝑖=1 f(𝑥𝑖𝑗𝑘, 𝑦𝑖𝑗𝑘, 𝑧𝑖𝑗𝑘)ΔxΔyΔz nếu giới hạn này tồn tại Lúc này f(x,y,z) được gọi là hàm khả tích trên Ω

II Ứng dụng thực tế của tích phân:

Tích phân là một trong những nội dung khó, có tính trừu tượng cao Tuy nhiên, tích phân lại có những ứng dụng rất cụ thể và hiệu quả trong cuộc sống như đo chiều dài của một đường cong, tính diện tích của một hình phẳng, tính diện tích bề mặt và thể tích của một vật thể,…

1 Tích phân kép:

• Ứng dụng của tích phân kép trong việc tính diện tích:

Trong thực tiễn cuộc sống cũng như trong khoa học kĩ thuật, người ta cần phải tính diện tích của những hình phẳng cũng như diện tích xung quanh của những vật thể phức tạp Chẳng hạn khi xây dựng một nhà máy thủy điện, để tính lưu lượng của dòng sông ta phải tính diện tích thiết diện ngang của dòng sông Thiết diện đó thường là một hình khá phức tạp Trong may mặc cũng vậy, việc tính chính xác được diện tích một sản phẩm hay một chi tiết giúp chúng ta ước lượng được số mét vải cần sử dụng,

từ đó tiết kiệm được chi phí sản xuất

Trước khi phép tính tích phân ra đời, với mỗi hình và mỗi vật thể như vậy người ta lại phải nghĩ ra một cách để tính Sự ra đời của tích phân cho chúng ta một phương pháp tổng quát để giải hàng loạt những bài toán tính diện tích và thể tích nói trên

Để tính diện tích hình phẳng, ta sử dụng tích phân kép:

S𝐷 =∫ ∫𝐷  dxdy

Ví dụ 1: Tìm diện tích của mặt paraboloic có phương trình 𝑧 = 1 − 𝑥2− 𝑦2nằm trong mặt trụ 𝑥2+ 𝑦2 = 1

Lời giải: Ta có z’𝑥 =-2x z’𝑦 =-2y

Hình chiếu của phần diện tích cần tính trên mặt phẳng Oxy là hình tròn D: 𝑥2+ 𝑦2 ≤ 1Vậy diện tích của mặt paraboloic cần tìm là: S=∬ √1 + 4𝑥2+ 4𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦

Đổi biến: x=rcos𝜑

y=rsin𝜑

=> J=r

Đổi cận tích phân D𝑟𝜑 =[0;1]×[0;2𝜋]

S=∫02𝜋 d𝜑 ∫01 √1 + 4𝑟2𝑟 𝑑𝑟=5√5−1

6 𝜋

• Ứng dụng của tích phân kép trong việc tính khối lượng:

Ví dụ 2: Tìm khối lượng của 1 bản phẳng tròn không đồng chất bán kính R, biết rằng khối lượng riêng theo diện tích của bản phẳng tại 1 điểm M(x, y) tỷ lệ với khoảng cách từ điểm M(x, y) đến tâm của bản, nghĩa là:

𝛿(𝑥, 𝑦)=k√𝑥2+ 𝑦2

Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O trùng tâm của bản

Áp dụng công thức nêu ta có: m=∫ ∫ 𝑘√𝑥    2+ 𝑦2

, trong đó D là mặt tròn x2 + y2<= R2

Chuyển sang hệ tọa độ cực ta có: m=∫ 𝑑𝜑 ∫ 𝑘𝑟𝑅 2

0

2𝜋

0 𝑑𝑟=2k𝜋𝑅3

3

• Ứng dụng của tích phân kép để tìm trọng tâm:

Ví dụ 3: Mật độ tại điểm bất kỳ trên hồ bán nguyệt tại Ký Túc Xá Khu B - ĐHQG là

tỷ lệ với khoảng cách từ tâm của hình tròn tới điểm đó Tìm trọng tâm của hồ bán nguyệt

Hình 1 Lời giải: Đặt bán nguyệt như là nửa trên của hình tròn 𝑥2+ 𝑦2=𝑎2 (xem hình), khoảng cách từ điểm (x,y) tới tâm hình tròn là √𝑥2+ 𝑦2 Vì vậy hàm mật độ là p(x,y)=k√𝑥2+ 𝑦2trong đó k là hằng số nào đó Ta chuyển sang toạ độ cực Khi đó

√𝑥2+ 𝑦2= r và miền D được cho bởi 0≤a≤r, 0≤ 𝜃 ≤ 𝜋

Vì thế khối lượng của bán nguyệt là:

Cả bán nguyệt và hàm mật độ đối xứng qua trục y nên trọng tâm của nó phải nằm trên trục y, vì vậy 𝑥= 0 Tọa độ trục y được cho bởi:

𝑦 = 1

𝑚∫𝐷 ∫ yp(x,y)dA = 3

𝑘𝜋𝑎 3∫ ∫0𝜋 0𝑎 rsin𝜃 (kr)rdrd𝜃

= 3

𝜋𝑎 3∫ 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝜃 ∫ 𝑟0𝜋 0𝑎 3𝑑𝑟 = 3𝑎

2𝜋

Do đó trọng tâm của hồ bán nguyệt tại điểm (0;3𝑎

2𝜋)

• Ứng dụng của tích phân kép trong việc tìm xác suất

Ví dụ 4: Người quản lý của một rạp chiếu phim xác định rằng trung bình thời gian chờ đợi mà khán giả xếp hàng để mua vé cho bộ phim của tuần này là 10 phút và thời gian trung bình mà họ chờ đợi để mua bỏng ngô là 5 phút Giả sử rằng các thời gian chờ đợi là độc lập, tìm xác suất mà một khán giả chờ đợi tổng cộng ít hơn 20 phút trước khi nhận được chỗ ngồi của mình

Hình 2 Lời giải: Giả sử rằng cả thời gian chờ đợi X để mua vé và thời gian chờ đợi Y trong hàng giải khát được mô hình hóa bởi các hàm mật độ xác suất theo hàm số mũ, chúng

ta có thể viết các hàm mật độ riêng như sau:

Vì X và Y là độc lập hàm mật độ chung là tích:

Chúng ta đang đòi hỏi xác suất mà X + Y < 20: P(X + Y< 20)= P((X, Y)∈ D)

trong đó D là tam giác được chỉ ra trong hình Vì vậy P(X+Y< 20)= ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴=

∫ ∫20−𝑥501 𝑒−10𝑥 0

20

0 𝑒−𝑦5𝑑𝑦𝑑𝑥 ≈ 0.7476

2 Tích phân bội ba:

• Ứng dụng tích phân bội ba vào việc tính thể tích:

Thể tích là gì? Có thể hiểu một cách đơn giản, thể tích của một vật thể là lượng không gian mà vật đó chiếm Để tính thể tích, ta sử dụng tích phân bội 3 Việc tính thể tích

có rất nhiều ý nghĩa trong cuộc sống, minh họa như ví dụ dưới đây

Ví dụ 5: Một chiếc kinh khí cầu có hình dạng được tạo bởi nửa trên mặt cầu 𝑥2+

𝑦2+ 𝑧2 = 1 và một phần mặt nón 𝑧 = √𝑥2+ 𝑦2 đơn vị hệ trục Oxyz là 10𝑚3 Người

ta dùng kinh khí cầu để vận chuyển người hoặc hàng hóa dưới khoang chứa Để biết

trọng lượng mà kinh khí cầu có thể chở, chúng ta cần tính được thể tích không khí

chứa trong kinh khí cầu

Lời giải:Chú ý rằng mặt cầu đi qua gốc toạ độ và có tâm là (0,0,1

2) Chúng ta viết phương trình của mặt cầu: 𝑝2= 𝑝𝑐𝑜𝑠𝜙 𝑝 = 𝑐𝑜𝑠𝜙 

Hình 3

Phương trình mặt nón có thể viết là 𝑝𝑐𝑜𝑠𝜙 =

√𝑝2sin2 𝜙 cos2 𝜃 + 𝑝2sin2 𝜙 sin2 𝜃 = 𝑝𝑠𝑖𝑛𝜃 => 𝑐𝑜𝑠𝜙 = 𝑠𝑖𝑛𝜙 => 𝜙 =𝜋

4

Do đó mô tả của khinh khí cầu trong tọa độ cầu là: E= E={(ρ,θ,ϕ)|(0≤ 𝜃 ≤ 𝜋

4, 0 ≤

𝑝 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝜃 )

Hình trên cho ta thấy cách mà E lan ra khi chúng ta tích phân biến ρ trước, sau đó đến

ϕ ⁡và θ

Thể tích kinh khí cầu là: V=∭ dV= ∫ ∫ ∫0𝑐𝑜𝑠𝜙

𝜋 4 0

2𝜋

0 𝑝2𝑠𝑖𝑛𝜙𝑑𝑝𝑑𝜙𝑑𝜃=𝜋

8

Vậy thể tích không khí trong chiếc kinh khí cầu là 3,9m3

Việc tính toán lượng không khí chứa trong chiếc kinh khí cầu sẽ giúp chúng ta tính được lực cản không khí, từ đó tính được trọng lượng tối đa mà chiếc kinh khí cầu có thể mang để đảm bảo người và hang hóa trong khoang chứa được an toàn

III Chương trình matlab:

1 Các lệnh matlab được sử dụng:

a) Lệnh DISP:

- Chức năng: Trình bày nội dung của biến (x) ra màn hình

- Cú pháp lệnh: disp (x)

- Giải thích: x: là tên của ma trận hay là tên của biến chứa chuỗi ký tự, nếu trình bày trực tiếp chuỗi ký tự thì chuỗi ký tự được đặt trong dấu ‘’

b) Lệnh INPUT:

- Công dụng: nhập dữ liệu đầu vào

- Cú pháp: a=input(‘Nhap he so cua a’)

- Giải thích: Nhập dữ liệu cho a

c) Lệnh IF ELSEIF ELSE:

- Câu lệnh if elseif else được dùng khi cần kiểm soát sự thực thi của hơn hai đoạn code khác nhau dựa vào giá trị trả về của hai hai biểu thức điều kiện

d) Lệnh CLC:

- Chức năng: Xóa cửa sổ lệnh

- Cú pháp lệnh: clc

- Ví dụ: Clc, for i: 25, home, A = rand(5), end

2 Đoạn code được sử dụng:

Hình 4

3 Ví dụ cụ thể:

Hình 5

IV Tổng kết:

Qua đề tài lần này, nhóm chúng em đã có cái nhìn sâu sắc hơn về sự gắn kết giữa lý

thuyết và thực tế ở bộ môn Giải tích 2 Trong quá trình thực hiện đề tài, nhóm chúng

em đã tìm ra cho mình những kiến thức bổ ích và sâu sắc về những ứng dụng thực tế

của tích phân bội cũng như cách thức sử dụng matlab để tính tích phân bội Tuy nhiên,

nhóm vẫn còn một số thiết sót ở bài làm do ở một số ví dụ nhóm đưa ra chưa có tính thực tế Việc được chọn vào cùng một nhóm làm bài tập lớn khiến chúng em gặp nhiều

bỡ ngỡ Nhưng sau đó, tụi em đã học được cách phân chia nhiệm vụ cho nhau, có được tinh thần và trách nhiệm trong một đội nhóm, cùng với đó là sự cố gắng và nỗ lực để hoàn thành đúng trách nhiệm của mình Một lần nữa, xin cảm ơn các thầy cô đã tạo điều kiện cho chúng em có cơ hội để được làm việc và phát triển cùng nhau, giúp đỡ nhau cùng tiến bộ trong con đường học tập

V.Tài liệu tham khảo:

[1] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2007), Toán học cao cấp tập 1, nhà xuất bản giáo dục

[2] Nguyễn Hữu Thành, Phạm Mai Dung (2015), Giáo trình toán ứng dụng, Trường Đại học Công nghệ Dệt May

[3] Nguyễn Đình Huy (chủ biên), Lê Xuân Đại, Ngô Thu Lương, Nguyễn Bá Thi, Trần Ngọc Diễm, Đậu Thế Phiệt, Giáo trình Giải Tích 2, Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM