Báo cáo bài tập lớn giải tích 2v tóm tắt lý thuyết và một số bài tập về tích phân bội 2

Mục đích môn học là cung cấp đầy đủ nội dung cơ bản của Giải tích hàm nhiều biến và Lý thuyết chuỗi dùng cho các ngành khoa học kỹ thuật.. Cùng với đó là các chuẩn đầu ra: Nhắc lại được

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

GIẢI TÍCH 2

Giáo viên hướng dẫn: thầy Lê Văn Lai

NHÓM: 3

TP HCM, 04/2022

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2 TÊN ĐỀ TÀI : TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ MỘT SỐ

BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN BỘI 2

Nhóm 3:

1 Nguyễn Minh Đức 2111081

2 Huỳnh Tấn Dũng 2110955

3 Nguyễn Tường Duy 2113029

MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU

CHƯƠNG II: NỘI DUNG

CHƯƠNG III: KẾT LUẬN

LỜI CẢM ƠN

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích 2 là môn học đại cương có tầm quan trọng đối với sinh viên ĐH Bách Khoa nói riêng và sinh viên các ngành khối khoa học kỹ thuật công nghệ nói chung Mục đích môn học là cung cấp đầy đủ nội dung cơ bản của Giải tích hàm nhiều biến và Lý thuyết chuỗi dùng cho các ngành khoa học kỹ thuật Nó sẽ giúp sinh viên khối kỹ thuật tiếp thu vấn đề một cách nhẹ nhàng và trang bị những kỹ năng cơ bản cho người học tự phát triển khả năng áp dụng toán học vào các bài toán thực tế

Môn Giải tích 2 bao gồm các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm nhiều biến, lý thuyết trường và chuỗi Cùng với đó là các chuẩn đầu ra: Nhắc lại được định nghĩa, tính chất, cách tính các đôi tượng của lý thuyết vi tích phân hàm nhiều biến và chuỗi, vận dụng được lý thuyết vào các bài toán áp dụng và bài toán thực tế ,có khả năng hoạt động nhóm

Cơ sở lý thuyết

I Định nghĩa tích phân k[p :

Nu tng S tin đn gii hn hu hn S m khng ph thuc vo cch chia n min D cng như cch l!y đi#m M th% gii hn S đư&c g'i l t(ch ph)n k*p c+a k hm f(x,y) tr2n min D

V5y k( hi6u v bi#u th8c đ9nh ngh:a c+a tp k*p l:

Hm f(x,y) đư&c g'i l hm dưi d!u t(ch ph)n, D l min l!y t(ch ph)n, ds l yu t? di6n t(ch Khi !y, ta nAi hm f(x,y) khB t(ch tr2n min D

ChD mt s? (t cc min D l cc h%nh thang cong cA di6n t(ch x!p xD vi di6n t(chk h%nh ch nh5t n2n ta cA th# coi t!t cB l h.c.n di6n t(ch l ∆Sk=∆x ∆yk k, do đA ta thay ds=dxdy V5y ta vit tp k*p G dng:

II Một số tính chất của tích phân k[p

Cho f(x,y), g(x,y) là các hàm khả tích trên D

Chia D thành 2 miền không d`m lên nhau là E, F thc

Nếu f(x,y)≤g(x,y) trên D thc:

Trên D, hàm f(x,y) đạt GTLN fmax=M, GTNN fmin=m thc

m.S(D)  f(x,y)dxdy M.S(D) 

III Định lý giá trị trung bcnh

Cho hàm f(x,y) liên tục trong miền đóng, bị chgn, liên thông D Khi ấy trong D có ít nhất 1 điểm (x0 0,y) sao cho :

S(D)

Đại lượng sau được gọi là giá trị trung bcnh của hàm f(x,y) trên miền D:

h nghĩa hcnh học của tích phân k[p: Phần hcnh trụ kín đường sinh song song với trục Oz

bị cắt bli mp Oxy (mgt cắt là miền D), mgt cong z=f(x,y) f  x,y 0, x,yD

có thể tích được tính bli

V  f(x,y)dxdy

IV Định lý Fubini

Cho f(x,y,z) là hàm liên tục trên miền

Ω={(x,y,z) R : axb, cyd, rzs}3

Khi đó:

Bài tập vận dụng

BÀI 1: Bản đồ đường viền này thể hiện nhiệt độ (độ F) lúc 4 giờ chiều vào 26/2/2007 l

Colorado (Bang này có độ dài 388 dgm từ Tây sang Đông and 276 dgm từ Nam sang Bắc) Áp dụng Midpoint Rule với m = n = 4 để xác định nhiệt độ trung bcnh l Colorado vào thời điểm này

Bài 2: (a) 1 cái đèn được lắp bởi 2 cái bóng đèn cùng loại với thời hạn sử dụng trung bình là khoảng 1000h Giả sử rằng chúng ta có thể lập mô hình xác suất hỏng hóc của các bóng đèn này theo mật độ hàm mũ hàm số với , hãy tìm xác suất cả 2 bóng đèn đều hỏng sau 1000h.

(b) Có 1 cái đèn khác nhưng chỉ lắp 1 cái bóng đèn cùng loại với phần (a) Nếu 1 cái đèn bị cháy và thay bằng 1 cái đèn cùng loại, hãy tìm xác suất mà 2 bóng đèn hư với tổng thời gian 1000h.

Giải:

Bài 3: Xavier và Yolanda đều có tiết học và kết thúc vào buổi trưa nên họ quyết định ggp

nhau hằng ngày sau 12h 2 người gh[ vào quán cà phê với 2 thời điểm khác nhau Xavier vào lúc x còn Yolanda vào lúc y, với x,y tính bằng đơn vị phút sau 12h Biểu thức hàm số lần lượt của 2 người là:

(Xavier thường đến sau 12h và hay đến kịp lúc hơn là trễ Yolanda thường đến lúc 12h10’

và hay đến trễ hơn là kịp lúc.) Sau khi Yolanda đến, cô ấy sẽ đợi cho đến 30’ để chờ Xavier, nhưng cậu ta sẽ không làm điều ngược lại Hãy tcm xác suất họ ggp nhau

Giải:

Bài 4: Xác suất một người bị truyền nhiễm gây lây lan dịch bệnh đến 1 đối tượng chưa

nhiễm bệnh là 1 hàm số của khoảng cách giữa 2 người Giả sử cho 1 thành phố hcnh tròn

có bán kính 10 dgm, trong đó dân cư phân bố đồng đều Cho đối tượng chưa lây nhiễm l

vị trí , cho biết rằng biếu thức xác suất được cho dưới đây:

(a) Giả sử sự phơi nhiễm của một người với bệnh là tổng xác suất mắc bệnh từ tất cả thành viên của dân số Cho rằng người nhiễm bệnh phân bố đồng đều khắp thành phố, với mật độ là Tính tích phân k[p đại diện cho sự phơi nhiễm của 1 người cư trú tại điểm A

(b) Đánh giá tích phân đối với trường hợp là tâm của thành phố và đối với trường hợp nằm trên rca thành phố thc bạn sẽ chọn nơi nào?

Giải:

(a)

(b)

Bài 5: Nhân viên l hồ bơi tính rằng thời gian trung bcnh người đi bơi đợi xếp hang để

mua v[ là 15’ và khli động trước khi bơi là 10’ Cho rằng việc chờ giữa 2 việc là độc lập với nhau, tcm xác suất mà người đi bơi làm tổng cộng ít hơn 30’ trước khi vào hồ bơi

Giải:

Bài 6:

Bản đồ đường mức l Hcnh dưới biểu diễn lượng tuyết rơi (tính bằng inch) l

bang Colorado vào ngày 20 và 21 tháng 12 năm 2006 (Bang này có dạng hcnh chữ nhật với chiều dài đo từ đông sang tây là 388 dgm và chiều rộng từ nam lên bắc là 276 dgm.) Hãy ước tính lượng tuyết rơi trung bcnh:

chọn gốc tọa độ nằm l góc tây nam của bang Colorado Khi đó,

0 ≤ x ≤ 388, 0 ≤ y ≤ 276, và f(x, y) là lượng tuyết rơi (tính bằng inch) tại một vị trí cách gốc tọa độ x dgm

về phía đông và y dgm về phía bắc Nếu R là hcnh chữ nhật tượng trưng cho

bang Colorado, thc lượng tuyết rơi trung bcnh của bang vào hai ngày 20 và 21/12 là:

trong đó A(R) = 388 · 276 Để ước tính giá trị của tích phân hai lớp này, chúng ta sử dụng Quy tắc trung điểm với m = n = 4 Hay nói cách khác, ta chia R thành 16 hcnh chữ nhật con bằng nhau, như l Hcnh minh họa bên dưới Diện tích của mỗi hcnh chữ nhật con là:

Sử dụng bản đồ đường mức để ước tính giá trị của f tại tâm của mỗi hcnh chữ nhật con, ta có:

Như vậy, vào hai ngày 20 và 21/12/2006, bang Colorado nhận một lượng tuyết rơi trung bcnh dày khoảng 13 inches

Bài 7:

Tính thể tích thùng chứa rượu là một hcnh tròn xoay có 2 dấy là hcnh tròn bằng nhau và chiều cao thùng là 16 cm Đường cong của bcnh là một cung tròn của đường tròn bán kính là 9

Giải

Ta xem tâm của đường tròn là tâm O l gốc tọa độ

Khi đó ta có: x + y = 81, thể tích của thùng là hcnh tròn xoay được giới hạn bli đường 2 2 tròn x + y = 81 và, y = 0; x = -8; x = 8.2 2

Vậy thể tích của thùng là V =

Bài 8:

Tính diện tích của phần paraboloid z = x + y nằm dưới mgt phẳng z = 9.2 2

Mgt phẳng giao với paraboloid theo đường tròn x + y = 9, z = 9 Do đó mgt phẳng đã 2 2 cho nằm trên đĩa D với tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 3

Bài 9:

Tính diện tích của phần mgt cong z = x + 2y nằm trên tam giác T trong mgt phẳng xy với2 các đỉnh (0, 0), (1, 0) và (1, 1)

Miền T được chỉ ra trong Hcnh 3 và được mô tả bli

T = {(x, y) | 0 x 1, 0 y x} Ta có   

Bài 10: Một nhà máy sản xuất (hcnh trụ) vòng bi đũa được bán ra có đường kính 4.0 cm

và chiều dài 6.0 cm Trong thực tế, đường kính X là phân bố chuẩn với kỳ vọng 4.0 cm

và độ lệch chuẩn 0.01 cm trong khi chiều dài Y là phân bố chuẩn với kỳ vọng 6.0 cm và

độ lệch chuẩn 0.01 cm Giả sử X và Y là các biến ng`u nhiên độc lập, viết hàm mật độ chung và vẽ đồ thị của nó Tcm xác suất mà một vòng bi được chọn ng`u nhiên từ các dây chuyền sản xuất có hogc chiều dài hogc đường kính khác với kỳ vọng hơn 0.02 cm Chúng ta có X và Y là phân phối chuẩn với 1 = 4.0, 2 = 6.0, 1 = 2 = 0.01 Vc vậy    các hàm mật độ riêng của X và Y là

Tính xác suất mà X và Y sai khác với kc vọng của chúng nhỏ hơn 0,02 cm

Vậy xác suất mà X và Y sai khác với kc vọng hơn 0,02 cm xấp xỉ 1 – 0.91 = 0.09

Bài 11:

Người quản lý của một rạp chiếu phim xác định rằng trung bcnh thời gian chờ đợi mà khán giả xếp hàng để mua v[ cho bộ phim của tuần này là 10 phút và thời gian trung bcnh

mà họ chờ đợi để mua bỏng ngô là 5 phút Giả sử rằng các thời gian chờ đợi là độc lập, tcm xác suất mà một khán giả chờ đợi tổng cộng ít hơn 20 phút trước khi nhận được chỗ ngồi của mcnh

Giả sử rằng cả thời gian chờ đợi X để mua v[ và thời gian chờ đợi Y trong hàng giải khát được mô hcnh hóa bli các hàm mật độ xác suất theo hàm số mũ, chúng ta có thể viết các hàm mật độ riêng như sau:

Vc X và Y là độc lập hàm mật độ chung của tích:

Chúng ta đang đòi hỏi xác suất mà X + Y < 20: P(X + Y < 20) = P((X, Y) D). Vậy :

 Có khoảng 75% khán giả đợi ít hơn 20 phút trước khi có chỗ ngồi

Bài 12: Tính tích phân I =, D giới hạn bởi một phần tư đường tròn trong góc phần tư thứ nhất

Giải:

I =

=

Đgt t = , ta được:

I =

=

= =

Bài 13: Tính tích phân I= , trong đó D giới

và

Giải :

=

=

=

= 2a

= 2a=

Bài 14: Tính tích phân I = , trong đó D giới hạn

, (x,y)

Giải:

Đgt x = rcos, y = rsin ta có:

Suy ra:

O nằm trên biên của miền D nên

I = = =

Bài 15: Tính tích phân I = , với D là miền:

Giải:

Ta có f (x,y) =6 – x + y

Đgt g (x,y) =

R là miền:

=

=

= =

=

= =

Bài 16: Tính tích phân I = , D là miền giới hạn bởi:

Giải:

Ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối trong hàm dưới dấu tích phân bằng cách chia hai trường hợp Do đó, ta vẽ thêm đường cong

I =

=

=

=

=

= =

Tài liệu kham khảo

Sách giải tích 2 đại cương

Bài giảng điện tử - đại học bách khoa

Giáo trcnh toán cao cấp A2- Nguyễn Hải Đăng

Lời cảm ơn

Cảm ơn thầy đã hướng d`n nhóm chúng em hoàn thành đề bài tập lớn môn giải tích 2 giúp chúng em hiểu rõ, cũng cố, nắm chắc hơn những kiến thức của môn giải tích 2 nói chung và tích phân k[p nói riêng cũng như hiểu rõ, có thể giải được một

số bài tập khó về ứng dụng thực tế, tính toán trong tương lai