Vẽ các tiếp tuyến MA ,MB với đường trịnOA,B là các tiếp điểmvà cát tuyến MCD khơng qua OMC< MD,AC< BC Gọi I là trung điểm CD.. c Đường thẳng qua C và vuơng gĩc với OA cắt AB , AD lần luợ
Trang 1I K
H F N
D C
O
B
A
M
S
H
K F N
D C
O
B
A
M
Bài 1 : Bài 1 : Cho đường trịn(O:R) và điểm M nằm
ngồi đường trịn Vẽ các tiếp tuyến MA ,MB với đường trịn(O)(A,B là các tiếp điểm)và cát tuyến MCD khơng qua O(MC< MD,AC< BC) Gọi I là trung điểm CD
a) Chứng minh các tứ giác MAIO , AIOB là các tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh IM là tia phân giác của gĩc AIB
c) Đường thẳng qua C và vuơng gĩc với OA cắt AB , AD lần luợt tại N và K Chứng minh
tứ giác CNIB là tứ giác nội tiếp và N là trung điểm của CK
d) Gọi Q là giao điểm của CD và AB Chứng minh MCMD= QCQD
Bài 2 : Bài 2 : Cho đường trịn(O;R) và điểm M nằm
ngồi đường trịn Vẽ các tiếp tuyến MA ,MB với đường trịn(O)(A,B là các tiếp điểm) Trên tia đối của tia AB lấy điểm S Qua M kẻ MH vuông góc SO tại H Đường thẳng
MH cắt đường trịn (O) tại C và D Gọi K là giao điểm của MO và AB
1) Chứng minh : a) Năm điểm M ,A ,B ,O ,H cùng thuộc một đường tròn Xác định tâm I của đường tròn này
b) OH.OS = OK.OM c) SC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
2
CA HA BCH CAH vµ
CB HB
2) Cho biết MA = 4cm và MH =5cm Tính CD
Các bài toán luyện về tứ giác nội tiếp
Trang 2I
A
D C
O
B
M
N I
K
D
B
A
M
Bài 3 : Bài 3 : Cho đường tròn (O; R) và điểm M
nằm ngoài đường tròn Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O) Qua
A vẽ dây AD song song MB Gọi I là trung điểm của MB Tia AI cắt đường tròn (O) tại
C Gọi K là giao điểm của tia AO và đường thẳng MB
a) Chứng minh tam giác BAD cân b) IB2 = IC IA
c) Chứng minh ba điểm M , C , D thẳng hàng
d) Gọi N là giao điểm của AB và CD .Chứng minh MC.ND = MD.NC e)Cho MO = 3R Tính MK theo R
Bài 4 : Bài 4 : Cho đường tròn (O; R ) và một điểm
A thuộc đường tròn , trên tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) lấy điểm M sao cho
MA = 2R Qua M tiếp tuyến MB với đường trịn(O)( B là các tiếp điểm).Vẽ dây BD song song MA Đường thẳng MD cắt đường tròn tại điểm thứ hai là C
a)Chứng minh MO vuông góc AB Tính độ dài các đoạn thẳng MO , AB
b) Chứng minh tam giác ABD cân Tính diện tích tam giác BAD theo R
c) Đường thẳng BC cắt AM tại I Chứng minh IA2 = IB.IC và I là trung điểm của MA d) Gọi K là điểm đối xứng của A qua C .Chứng minh AC2 = CB.CM và tứ giác AMKB là tứ giác nội tiếp
Trang 3H F
D C
O
B
A
M
F
E H
D
C B
A
Bài 5 : Cho đường tròn (O.R ) M là một
điểm nằm ngoài đường tròn sao cho OM
=2R Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O) ( A và B là hai tiếp điểm ) .Gọi H là giao điểm của MO và AB a) Tính độ dài các đoạn thẳng MA , AH b) Chứng minh tam giác MAB đều Tính diện tích tứ giác MAOB
c) Qua M vẽ một cát tuyến MCD với đường tròn (O) ( MC < MD ), cắt AB tại N Chứng minh MA2 = MC MD và MC.MD
= MH.MO
d) Chứng minh tứ giác CHOD là tứ giác nội tiếp
e) Qua C vẽ đường thẳng song song với AD cắt MA và AB tại E và F Chứng minh C
là trung điểm của EF
Bài 6 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn
(AB<AC ).Tia phân giác góc BAC cắt đường tròn (O) tại D Kẻ BK vuông góc AD tại K ,
DE vuông góc với AC tại E Đường thẳng
OD cắt BC tại H a) Chứng minh tứ giác DHEC nội tiếp b) Chứng minh KH // AC
c) Chứng minh tứ giác KEKC là hình bình hành
d) Kẻ đường cao BF của tam giác ABC .Chứng minh tứ giác FKHE là hình thang cân
Trang 4H
N
E
B
A
D
E N
M O
C B
A
Bài 7 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn
AB < AC , BAC =· 60 0 nội tiếp đường tròn (O; R).Gọi H là trực tâm của tam giác ABC , Chứng minh :
a) Tứ giác BHOC là tứ giác nội tiếp b) Gọi M và N là giao điểm của đường thẳng OH và AB và AC Chứng minh chu vi ∆AMN bằng AB +AC
c) Chứng minh OH = AC –AB d) So sánh MH v à ON
Bài 8 :Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC )
nội tiếp đường trịn (O) Tiếp tuyến tại B và
C của đường trịn (O) cắt nhau tại D a) Chứng minh tứ giác OBDC là tứ giác nội tiếp
b) Qua A vẽ dây AM của đường trịn (O) song song với BC.Tia DM cắt đường trịn tại điểm thứ hai là N Chứng minh
DC2 = DN.DM c) Chứng minh CN.BM = BN CM d) Tia AN cắt BC tại E Chứng minh E là trung điểm của BC
Trang 5F E
N
M
D
H O
C B
A
J
N M K
I
H
O
D
C B
A
I F H O B
C A
E
Bài 9:
Bài 10 :
Bài 11;
Bài 9 : Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn
(AB < AC ) nội tiếp đường trũn (O) , AD là đường kớnh của đường trũn (O) Tiếp tuyến tại D của đường trũn (O) cắt BC tại M
Đường thẳng MO cắt AB và Ac lần lượt tại E
và F a) Chứng minh MD2 = MC.MB b) Gọi H là trung điểm của BC Chứng minh
tứ giỏc MDHO là tứ giỏc nội tiếp c) Qua B vẽ đường thẳng song song MO , đường thẳng này cắt đường thẳng AD tại P Chứng minh P thuộc đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BHD
d) Chứng minh O là trung điểm của EF
Bài 10: Cho tam giỏc ABC cú AB < AC , AH
là đường cao nội tiếp đường trũn (O) AD là đường kớnh của đường trũn (O)
a) Chứng minh AB.AC = AH AD b) Gọi M là hỡnh chiếu của C trờn AD Chứng minh tứ giỏc AHMC là tứ giỏc nội tiếp
c) Gọi K là hỡnh chiếu của H trờn AB
chứng minh ba điểm M , H ,K thẳng hàng d) Qua H kẻ đường thẳng vuụng gúc với
AC tại I , đường thẳng này cắt AD tại
J Chứng minh BJ vuụng gúc AD
e) Gọi N là trung điểm của BC Chứng minh tam giỏc HNJ cõn
Bài 11:Cho tam giác ABC vuông tại A, có
đ-ờng cao AH Đđ-ờng tròn (0) đđ-ờng kính HB cắt cạnh AB tại E Tiếp tuyến với đờng tròn (0) tại
E cắt cạnh AC tại F
1) Chứng minh rằng:
a/ HEF HACã = ã b/Tứ giác BEFC nội tiếp đợc trong đ-ờng tròn
c/ EF = AH 2) Goùi I laứ trung ủieồm cuỷa HC Cho bieỏt dieọn tớch tam giaực laứ 50cm2 Tớnh dieọn tớch cuỷa tửự giaực OEFI
Baứi 12 :Cho ủửụứng troứn (O;R) vaứ moọt daõy
Trang 6cung AB không qua tâm Các tiếp tuyến tại
A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại C .Gọi P là điểm trên dây AB sao cho AP = 2 BP.Đường thẳng vuông góc với OP kẻ từ P cắt đường thẳng CA ở E và cắt đường thẳng
CB ở D 1)Chứng minh:
a) Các tứ giác OPDB , OPAE nội tiếp b) P là trung điểm của đoạn thẳng DE c) CE.CD = CA2 - AE2
2) Cho biết AB = R 3 Tính diện tích tam giác EOC theo R
Bài 13: Cho đường tròn (O,R) , Mlà một
điểm sao cho OM = 2R Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA và MB ( A , B thuộc (O) ) Đường thẳng MO cắt đường tròn tại E và F (
ME < MF ) 1) Chứng minh : a)MO là đường trung trực của AB và E cách đều ba cạnh của tam giác MAB
b)∆ MAB đều Tính diện tích ΔMAB
c)MA = AF và tứ giác MAFB là hình thoi 2) Gọi C là điểm đối xứng của B qua O .Đường thẳng MC cắt AB tại S Chứng minh R(MBS) = 3R(ASC)
Bài 14 ;Từ một điểm I ở ngoài đường tròn ,vẽ hai tiếp tuyến IA và IB với (O( A và B là các tiếp điểm ) Gọi M là trung điểm của
IB , AM cắt (O) tại ø K khác A
1)Chứng minh IO vuông góc AB 2)Gọi C là giao điểm của IO và AB Chứng minh AB2 = 2AK AM
3)Gọi D là giao điểm thứ hai của IK và (O) Chứng minh MB2 = MK.MA và AD // IB
4 )Chứng minh AB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác IKB