Bài 4. Trên một đường tròn, lấy 1000 điểm phân biệt, các điểm được tô màu xanh và màu đỏ xen kẻ nhau. Mỗi điểm được gán với một giá trị là một số thực khác không, giá trị của mỗi điểm mà[r]
(1)WWW.MOLYMPIAD.COM
Ngày 13 tháng năm 2018
Tóm tắt nội dung Tuyển tập tổng hợp đề thi tuyển sinh vào lớp 10 qua nhiều
năm trường THPT chuyên khắp nước Đáp án thức lời giải tham khảo số đề thi tìm thấy trang webwww.molympiad.comhoặc nhấn trực tiếp vào tiêu đề đề thi tương ứng Tuyển tập tiếp tục bổ sung cập nhật đề thi mới,nhấn vào đâyđể cập nhậtphiên mởiđược phân biệt bởi“ngày tháng màu xanh” phía Mong tài liệu quý giá cho quý thầy cô bạn học sinh chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên
Tuyển tập viết lại từ đề thi gốc sử dụng LATEX, số từ ngữ thuật ngữ
(2)Mục lục
1 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh An Giang 2016–2017
2 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh An Giang 2017–2018
3 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2007-2008
4 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2014-2015
(Vòng 1)
5 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2014-2015
(Vòng 2) 10
6 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2016-2017
(Vòng 1) 11
7 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2016-2017
(Vòng 2) 12
8 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2017-2018
(Vòng 1) 13
9 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2017-2018
(Vòng 2) 14
10 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Giang 2006-2007 15
11 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Giang 2010-2011 16
12 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Giang 2011-2012 17
13 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Giang 2012-2013 18
14 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Giang 2014-2015 19
15 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Giang 2015-2016 20
16 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Giang 2017-2018 21
17 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bạc Liêu 2017-2018 22
18 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Ninh 2012-2013 23
19 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Ninh 2016-2017 24
20 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Ninh 2017-2018 25
21 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bến Tre 2014-2015 26
22 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Định 2016-2017 27
23 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chun tỉnh Bình Định 2017-2018 (Vịng 1) 28
24 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Định 2017-2018 (Vịng 2) 29
25 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Dương 2014-2015 30
26 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Dương 2017-2018 31
27 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Phước 2013-2014 32
28 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Phước 2015-2016 34
29 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Phước 2017-2018 35
30 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Thuận 2012-2013 37
31 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Thuận 2015-2016 (Chuyên
Tin) 38
32 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Thuận 2015-2016 (Chuyên
Toán) 39
(3)34 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Thuận 2017-2018 (Vòng 1) 41
35 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chun tỉnh Bình Thuận 2017-2018 (Vịng 2) 42
36 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Cần Thơ 2017-2018 43
37 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Đà Nẵng 2005-2006 44
38 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Đà Nẵng 2009-2010 45
39 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Đà Nẵng 2011-2012
(Chuyên Toán) 46
40 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Đà Nẵng 2011-2012
(Chuyên Tin) 47
41 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Đà Nẵng 2012-2013 48
42 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Đà Nẵng 2016-2017 49
43 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Đà Nẵng 2017-2018 50
44 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đắk Lắk 2009-2010 51
45 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đắk Lắk 2011-2012 52
46 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đắk Lắk 2012-2013 53
47 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đắk Lắk 2014-2015 54
48 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đắk Lắk 2015-2016 55
49 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đắk Lắk 2017-2018 56
50 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đắk Lắk 2013-2014 57
51 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Điện Biên 2014-2015 58
52 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đồng Nai 2012-2013 59
53 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đồng Nai 2013-2014 60
54 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đồng Nai 2014-2015 61
55 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đồng Nai 2015-2016 62
56 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đồng Nai 2016-2017 63
57 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đồng Nai 2017-2018 (Vòng 1) 64
58 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đồng Nai 2017-2018 (Vòng 2) 65
59 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đồng Tháp 2017-2018 66
60 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Gia Lai 2014-2015 (Vòng 1) 68
61 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Gia Lai 2014-2015 (Vòng 2) 69
62 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Gia Lai 2017-2018 70
63 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Hà Nội 2013-2014 71
64 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Hà Nội 2014-2015 (Chuyên
Toán) 72
65 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Hà Nội 2014-2015 (Chuyên
Tin) 73
66 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Thành phố Hà Nội 2017-2018
(Chuyên Toán) 74
67 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Hà Nội 2017-2018 (Chuyên
Tin) 75
68 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Sư Phạm thành phố Hà Nội
(4)69 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Sư Phạm thành phố Hà Nội
2013-2014 (Vòng 2) 77
70 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội 2014-2015 78
71 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội 2015-2016 79
72 [Đáp án] Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Sư Phạm thành phố Hà Nội 2017-2018 (Vòng 1) 80
73 [Đáp án] Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Sư Phạm thành phố Hà Nội 2017-2018 (Vòng 2) 81
74 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội
2014-2015 (Vòng 1) 82
75 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội
2014-2015 (Vòng 2) 83
76 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội
2015-2016 (Vòng 1) 84
77 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội
2015-2016 (Vòng 2) 85
78 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội
2016-2017 (Vòng 1) 86
79 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội
2016-2017 (Vòng 2) 87
80 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội
2017-2018 (Vòng 1) 88
81 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội
2017-2018 (Vòng 2) 89
82 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Ngoại Ngữ Đại Học Quốc Gia thành phố Hà Nội 2014-2015 90
83 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Amsterdam Hà Nội 2016-2017 91
84 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2004-2005 (Vòng 2) 92
85 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2004-2005 (Vòng 1) 93
86 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2013-2014 94
87 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2015-2016 95
88 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2014-2015 (Vòng 2) 96
89 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2014-2015 (Vòng 1) 97
90 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2016-2017 98
91 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hải Dương 2007-2008 99
92 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hải Dương 2012-2013 100
93 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hải Dương 2013-2014 101
94 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT tỉnh Hải Dương 2017-2018 102
95 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hải Dương 2014-2015 (Vòng 2)103
96 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hải Dương 2014-2015 (Vòng 1)104
97 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hải Dương 2017-2018 105
(5)99 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Hải Phòng 2015-2016 107
100 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Hải Phòng 2016-2017 108
101 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Hải Phòng 2017-2018 (Vòng 1) 109
(6)1 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh An Giang 2016–2017
Bài a) Khơng dùng máy tính bỏ túi, tính giá trị biểu thức A= (√26 + 5√2)
q
19−5√13 b) Cho biểu thức
B = x
2−√x
x+√x+ −
3x−√x
√
x
Rút gọn B tìm x đểB =
Bài a) Cho parabol(P) :y=ax2 Tìm hệ số a để đường thẳng (d) :y= 2cắt (P) tại
hai điểm A B cho tam giác AOB vng b) Tìm tham số m để phương trình
x2+ (m−2)x−(m−1)(2m−3) =
có hai nghiệm phân biệt cho nghiệm bình phương nghiệm
Bài a) Giải phương trình
(√x−3 + 2)2+x= b) Giải hệ phương trình
1
x−2+
3
y+ =−2
5
x−2−
2
y+ =
Bài Cho tam giác ABC (AB > AC) ngoại tiếp đường tròn (I) Gọi D, E, F tiếp điểm đường tròn (I) với cạnhBC, AC, AB Các đường thẳng DE, DF cắt tia AI K L, gọi H chân đường cao hạ từ A xuống BC
a) Giả sử ∠BAC =a0, tính số đo ∠BIC theo a b) Chứng minh BK kEF
c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh tứ giácKM LH nội tiếp
Bài Cho hai số thực x, y thỏa mãn 0< x ≤1, < y ≤1 x+y = 3xy Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức
(7)2 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh An Giang 2017–2018
Bài Cho x= p 13 19 + 8√3
Tính giá trị biểu thức A=x2−8x+ 15.
Bài Cho hàm số y =ax+b (a6= 0) có đồ thị đường thẳng (d) mặt phẳng tọa
độ Oxy Viết theo a b phương trình đường thẳng (d0) Biết (d) (d0) vng góc
với đồng thời cắt điểm thuộc trục hồnh
Bài Tìm x, y, z biết
(
x2+ y−z+ 12
= 5y−3z−9 =
Bài Cho hai phương trình bậc hai tham sốm sau
2x2+ m−1x−3 = 0,
4x2− m−7x−9 = a) Tìmm để hai phương trình có nghiệm
b) Tìmm để hai phương trình cho có nghiệm chung
Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Biết Ab= 600; Bb Cb hai góc
nhọn có số đo khác Vẽ đường cao BE, CF tam giác ABC (E, F thuộc AC, AB)
a) Chứng minh \BCF =\BEF
b) Gọi I trung điểm củaBC Chứng minh tam giác IEF tam giác c) Gọi K trung điểm củaEF Chứng minh IK song song OA
(8)3 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2007-2008
Bài a) Rút gọn biểu thức
P = x
2−√x
x+√x+ −
2x+√x
√
x +
2(x−1)
√
x−1
b) Tìm số nguyên x,y thỏa mãn đẳng thức
2y2x+x+y+ =x2+ 2y2+xy
Bài Cho phương trình
x2+ (4m+ 1)x+ 2(m−4) =
a) Tìmmđể phương trình có hai nghiệm phân biệtx1,x2thỏa mãn điều kiệnx2−x1 = 17
b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc m
Bài a) Giải hệ phương trình
x+y =√4z−1
y+z =√4x−1
z+x =√4y−1
b) Cho x, y số nguyên dương thỏa mãnx+y = 2007 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn biểu thức
F =x(x2+y) +y(y2+x)
Bài Cho điểm P ngồi đường trịn (O) Qua P kẻ cát tuyến P M N với đường tròn Các tiếp tuyến đường tròn M N cắt Q Qua Q kẻ đường thẳng vng góc với OP, cắt OP E cắt đường tròn (O) I K (I nằm Q K) Gọi F giao điểm OQ M N Chứng minh điểm P, I, F, O, K nằm đường tròn
Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Gọi I điểm cung nhỏAB GọiM,N hình chiếu vng góc củaI đường thẳng
(9)4 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2014-2015 (Vòng 1)
Bài a) Rút gọn biểu thức
A =
√
7−√14 2−√2 −
√
28 +√7−√5 b) Giải hệ phương trình
(
3x+ 2y = 13 2x+ 3y = 12
c) Giải phương trình
x2−5x+ =
Bài Cho parabol (P) :y=−1
2x 2.
a) Vẽ parabol (P)
b) Chứng minh đường thẳng (D) :y =−x+m qua điểm A(−4; 8) (D)
và (P)khơng có điểm chung
Bài a) Cho phương trình x2+mx−m−1 = 0 (m là tham số) Tìm tất giá trị
của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
x21+x22−6x1x2 =
b) Giải phương trình
x2+ 2√x2+ = 2
Bài Cho đường tròn (O), đường kính AB điểm M cố định thuộc đường tròn (M khác A B) D điểm di động đoạn thẳng AM (D khác A M) Đường thẳng
BD cắt (O) K (K khác B) Hai đường thẳngAK BM cắt tạiC
a) Chứng minh tứ giácKCM D nội tiếp b) Kẻ M H ⊥AB H Chứng minh
AM.BM
HM =
√
AK2+BK2.
c) Đường thẳngCD cắt AB I Chứng minh IC phân giác góc M IK d) Xác định vị trí điểmD đoạn AM để tích DB.DK đạt giá trị lớn
Bài Cho hai số dươnga, b thỏa mãn a+b+ab≤3 Chứng minh
1
a+b −
1
a+b−3−(a+b)≥
1
(10)5 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2014-2015 (Vòng 2)
Bài a) Rút gọn biểu thức
A=
x√x+y√y
√
x+√y −
√
xy
: (x−y) +
√
y
√
x+√y
với x >0,y >0, x6=y
b) Giải phương trình
x2+ 4√1−x+√1 + 3−8 = c) Giải hệ phương trình
(
xy−2x+y =
(x+ 1)2 + (y−2)2 =
Bài Trong hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ :y=kx−k+ (k tham số khác2) Tìm k cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng∆ lớn
Bài a) Tìm tất số tự nhiên n cho
p= 3n3−7n2+ 3n+
là số nguyên tố
b) Choa,b hai số dương thay đổi thoả mãn
√
a+ 2√
b+ 2≥9
Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = a
3
a2+ 2b2 +
b3
b2+ 2a2
Bài Cho trước đường trịn (O) điểm M nằm ngồi (O) Từ M vẽ đến (O) hai tiếp tuyếnM A, M B (A,B tiếp điểm) cát tuyếnM CD thay đổi không qua O (C nằm M vàD).AB cắtOM E Các tiếp tuyến của(O)tại C vàD cắt S
a) Chứng minh ∆M EC đồng dạng với ∆M DO b) Chứng minh
EB
ED =
AC
AD
c) Chứng minh điểm S nằm đường thẳng cố định
Bài Cho hình bình hành ABCD có điện tích 2S (S > 0) Gọi M điểm tùy ý
cạnh AB (M 6=A, M 6=S) Gọi P giao điểm M C BD, Q giao điểm M D
vàAC Xác định vị trí điểm M cạnhABsao cho tứ giác CP QD có điện tích nhỏ
(11)6 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2016-2017 (Vòng 1)
Bài a) Rút gọn biểu thức
A= √
3 + +
√
3−1+
2√2−√6
√
2
b) Giải hệ phương trình
(
3x−y = 2x+ 3y =
c) Giải phương trình
x2+ 2x−8 =
Bài Cho parabol (P) :y=−x2 đường thẳng (d) :y = 4x−m a) Vẽ parabol (P)
b) Tìm tất giá trị tham số m để(d) (P) có điểm chung
Bài a) Cho phương trình tham số m sau
x2−5x+ 3m+ =
Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa
mãn
x21−x22 = 15
b) Giải phương trình
(x−1)4 =x2−2x+
Bài Cho nửa đường trịn (O) có đường kính AB = 2R CD dây cung thay đổi nửa đường tròn cho CD =R C thuộc cung AD (C khác A D khácB) AD cắt
BC H; hai đường thẳng AC cắt BD cắt tạiF
a) Chứng minh tứ giácCF DH nội tiếp b) Chứng minh CF.CA=CH.CB
c) Gọi I trung điểm củaHF Chứng minh OI tia phân giác góc \COD d) Chứng minh điểm I thuộc đường tròn cố định khiCD thay đổi
Bài Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn ab+bc+ca= 3abc Chứng minh a
a2+bc +
b
b2+ca+
c
c2+ab ≤
(12)7 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2016-2017 (Vòng 2)
Bài a) Chox≥1 Rút gọn biểu thức
A= √x−1−12
+
q
4x−3 + 4√x−1 b) Giải phương trình
x+√x2+ 3x+ =x√x+ +√x+ 1.
c) Giải hệ phương trình
(
x+y = +√xy
x2+y2 = 18
Bài a) Tìm tất cặp số nguyên tố (p;q)thỏa mãn
p2−5q2 =
b) Cho đa thức f(x) = x2 +bx +c Biết b, c hệ số dương f(x) có nghiệm Chứng minh rằngf(2)≥9√3 c.
Bài Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn x2 +y2 +z2 = 3xyz Chứng minh rằng
x2
y+ +
y2
z+ +
z2
x+ ≥1
Bài Cho hai đường tròn(O;R) (O0;R0) cắt tạiA B (OO0 > R > R0) Trên nửa mặt phẳng bờ OO0 có chứa điểm A, kẻ tiếp tuyến chung M N hai đường tròn (với M thuộc (O)và N thuộc (O0)) BiếtBM cắt (O0)tại điểm E nằm đường tròn (O)và đường thẳng AB cắt M N I
a) Chứng minh M AN\ +M BN\ = 1800 và I là trung điểm của M N.
b) Qua B kẻ đường thẳng (d) song song với M N, (d) cắt (O) C cắt (O0) D
(với C, D khác B) Gọi P, Q trung điểm CD EM Chứng minh tam
giác AM E đồng dạng với tam giác ACD điểmA, B, P, Q thuộc đường tròn
c) Chứng minh tam giác BIP cân
Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn H trực tâm Chứng minh HA
BC +
HB
CA +
HC
AB ≥
√
(13)8 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2017-2018 (Vịng 1)
Bài a) Giải phương trình
x2−7x−8 = b) Giải hệ phương trình
(
3x−2y =
x+ 3y =−5
c) Rút gọn biểu thức
A =
2
√
48 +
q
2−√32
−√3
Bài Cho hàm số y = 2x
2 có đồ thị (P) và đường thẳng (d) : y = mx−m+ 2 (m là
tham số) a) Vẽ (P)
b) Chứng minh (d)luôn cắt (P) hai điểm phân biệt với giá trị m
Bài a) Cho phương trình x2−(2m−1)x+m2−2m−1 = 0 (m là tham số) Tìm tất
cả giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn x12+x22−x1x2 =
b) Giải phương trình
p
(x+ 1)2+ =x2+ 2x+ 2.
Bài Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O) Kẻ AH vng góc vớiBC H;AOcắt (O)tạiN khácA GọiE hình chiếu B đường thẳng AN
a) Chứng minh tứ giácAEHB nội tiếp b) Chứng minh BH·AN =AB·N C c) Chứng minh HE song song vớiCN
d) GọiI, J tâm đường ròn nội tiếp tam giác AHB AHC;BI cắt CJ M Chứng minh AM vng góc với IJ
Bài Cho a, b, clà số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức
P = a
2b+b2c+c2a
a2+b2+c2 −
1 a
(14)9 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2017-2018 (Vòng 2)
Bài Cho a >0, a6= Rút gọn biểu thức
P =
√
a+
√
a−1 −
√
a−1
√
a+ +
√
a
!
:
√
a
a−1
Bài a) Giải phương trình
(x−2)√x−3 = 3x−6 b) Giải hệ phương trình
(
x2+xy−2y2 = 0
3x+ 2y = 5xy
Bài a) Cho đa thức P(x) =ax2 +bx+cvới a, b, c∈R Biết P(x)>0với x∈ R Chứng minh
5a+b+ 3c
a−b+c >1
b) Cho p số nguyên tố Tìm tất số nguyên n để A = n4+ 4np+1 số phương
Bài Cho x,y số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = xy
x2+y2 +
1
x +
1
y
! q
2 x2+y2
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn(O) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giácABC TiaAI cắt (O)tại J khácA Đường thẳng J Ocắt(O)tại K khác J cắt BC E
a) Chứng minh J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác J BC vàJ E ·J K =J I2 b) Tiếp tuyến O tạiB vàC cắt tạiS Chứng minh rằngSJ·EK =SK·EJ c) Đường thẳng SA cắt (O) D khác A, đường thẳng DI cắt (O) M khác D Chứng minhJ M qua trung điểm đoạn thẳngIE
Bài Cho tứ giác lồi ABCD GọiM,N trung điểm củaAD BC;AN cắt
BM P, DN cắt CM Q Tìm giá trị nhỏ biểu thức
S= N A
N P +
N D
N Q +
M B
M P +
(15)10 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Giang 2006-2007
Bài Giải hệ phương trình
(
y+xy2 = 6x2
1 +x2y2 = 5x2
Bài Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình x2 −4x + = Chứng minh số
S =x2002
1 +x20022 khơng phải số phương phân tích thành tổng
của ba số phương liên tiếp
Bài Trong tất tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn bán kính 1, tìm tam giác làm cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ
F =
ma
+
lb +
hc
trong ma lb, hc độ dài đường trung tuyến kẻ từ A; phân giác
góc ∠B đường cao hạ từC
Bài Cho f(x) = x4 +ax3 +bx2 +cx+d với a, b, c ∈ R Biết f(1) = 10, f(2) = 20, f(3) = 30 Tính
P =
10[f(12) +f(−8)] + 18
Bài Cho số nguyên x, y thỏa mãn
3x2+ 3y2−2xy+ 2x+ 2y−8 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức
T =x+xy+y
Bài Cho số thựca,b thỏa mãn 0< b < a≤2, 2ab≤2b+a Chứng minh
(16)11 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Giang 2010-2011
Bài Cho biểu thức
T = 2x−
√
x+
√
x +
x√x−1
x−√x −
x√x+
x+√x
a) Rút gọn T
b) Tìm tất giá trị x nguyên để T nguyên
Bài Gọi x1, x2 nghiệm nguyên phương trình bậc haix2−5x+ =
a) Tính giá trị biểu thức H =|3x1 −x2|+|3x2−x1|
b) Chứng minh S = 5−2√172010
+ + 2√172010
là số nguyên
Bài Xác định tất giá trị tham sốm để hệ phương trình sau có nghiệm
(p
(x+ 1)2 +y2+p(x−1)2+y2 = 2 3p1−y2+ 2|x| = 4−m
Bài Cho nửa đường trịn (O) đường kínhAB = 2R, (R độ dài cho trước) Hai điểm M, N chạy nửa đường tròn(O) cho M thuộc cung AN độ dài dây M N R
a) Tính tổng khoảng cách d từ hai điểm A,B đến đường thẳng(M N)
b) Gọi E giao điểm dây AN BM Tính bán kính đường trịn (O1) ngoại
tiếp tam giác EM N theo R
c) Đường thẳngAM cắt đường trịn (O1)tại điểm thứ hai K,(K 6=M) Tìm giá trị lớn
nhất diện tích tam giácKAB M,N thay đổi nửa đường tròn(O)nhưng thỏa mãn giả thiết toán
Bài Cho f(x) =x2+bx+c Chứng minh nếuf(x)>0 với x∈R f(x) phân tích thành tổng bình phương hai nhị thức bậc (tức chứng minh tồn số thực m1,m2,n1, n2 với m1 6= 0, m2 6= cho
f(x) = (m1x+n1)2+ (m2x+n2)2)
Bài Biết với hai số thực không âm a,b ta ln có a+b≥2√ab Dấu đẳng thức xảy a =b Chứng minh
a) Với ba số thực không âm a, b, cbất kì ta ln có
a+b+c≥33
√
abc Dấu đẳng thức xảy a=b=c
b) Với ba số thực dương x, y, z ln có
1
x+y+z+ −
1
(x+ 1)(y+ 1)(z+ 1) ≤
(17)12 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Giang 2011-2012
Bài Cho biểu thức
A=
a−x
√
a−√x −
a√a−x√x
a−x
(√a+√x)2
a√a+x√x
:
3
s
7−5√2
8 +
3
s
7 + 5√2
a) Rút gọn A
b) Trong trường hợp A có nghĩa, so sánh (có giải thích) A với A2011.
Bài Giải hệ phuơng trình
(
x(x2+ 4y2) = 8y4(y2+ 1)
√
5x+ +p2y2+ 7 = 7
Bài Cho số a= 111 11(gồm2012 chữ số 1),b= 1000 005(trong có 2011 chữ số0) T =√ab+ Chứng minh rằngT số nguyên Hãy tìm số dư phép chiaT cho
Bài Trên đường tròn C tâm O, bán kính R vẽ dây AB < 2R Từ A, B vẽ tiếp tuyến Ax, By với đường tròn C Lấy điểm M cung nhỏ AB Gọi H, K, I chân đường vng góc hạ từ M xuống AB, Ax By
a) Chứng minh M H2 =M K.M I
b) Giả sử AM cắt KH E, BM cắt HI F Chứng minh EF tiếp tuyến chong hai đường tròn ngoại tiếp tam giác M EK, M F I
c) Gọi D giao điểm thứ hai hai đường tròn ngoại tiếp tam giác M EK
M F I Chứng minh khiM di chuyển cung nhỏ AB đường thẳngDM ln
qua điểm cố định
Bài Cho hai đa thức
P(x) = x4+ax3+bx2+cx+ 1, Q(x) =x4+cx3+bx2 +ax+
với a6=c Biết phương trình P(x) = 0,Q(x) = có hai nghiệm chung Hãy tìm tất
các nghiệm hai phương trình
Bài Cho số thựca1, a2, , a2011 ∈[1; 3] thoả mãn
(18)13 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Giang 2012-2013
Bài a) Tính √
2−1 −
√
2
b) Xác định giá trị a, biết đồ thị hàm số y=ax−1 qua điểm M(1; 5)
Bài Rút gọn biểu thức
A=
1
√
a−2−
2
a−2√a
a−3√a+
√
a−2 +
với a >0, a6=
Bài a) Giải hệ phương trình
(
2x−5y = 3x+y =
b) Chứng minh phương trình
x2+mx+m−1 =
ln có nghiệm với giá trị m Giả sử x1, x2 hai nghiệm phương trình
cho Tìm giá trị nhỏ biểu thức
B =x21+x22 −4(x1+x2)
Bài Một ôtô tải từA đếnB với vận tốc 40km/h Sau2giờ 30phút ơtơ taxi xuất phát từA đến B với vận tốc 60km/hvà đến B lúc với xe ôtô tải Tính độ dài quãng đườngAB
Bài Cho đường tròn (O) điểm A cho OA = 3R Qua A kẻ hai tiếp tuyến AP AQ đường tròn (O), với P Q hai tiếp điểm Lấy M thuộc đường tròn
(O) cho P M song song vớiAQ Gọi N giao điểm thứ hai đường thẳngAM đường tròn (O) Tia P N cắt đường thẳngAQ K Chứng minh
a)AP OQ tứ giác nội tiếp
b)KA2 =KN.KP.
c) Kẻ đường kínhQS đường trịn (O) Chứng minh tiaN S tia phân giác góc
\
P N M
d) Gọi G giao điểm hai đường thẳng AO P K Tính độ dài đoạn thẳng AG theo bán kính R
Bài Cho a, b, c ba số thực khác không thoả mãn
(
a2(b+c) +b2(c+a) +c2(a+b) + 2abc =
a2013+b2013+c2013 = 1.
Hãy tính giá trị biểu thức
Q=
a2013 +
1
b2013 +
1
(19)14 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Giang 2014-2015
Bài Cho
P =
a+ 3√a+
(√a+ 2)(√a−1)−
a+√a
a−1
:
1
√
a+ +
1
√
a−1
a) Rút gọn P
b) Tìma nguyên để P +
4 số nguyên
Bài a) Giải phương trình
2√x−1 + 3√x−2 =√x2−3x+ + 6.
b) Giải hệ phương trình
3x
y −2 =
√
3x−2y+ 6y
2p3x+√3x−2y = 6(x+y)−4
Bài Cho a, b, c nguyên dương thỏa mãn b|a4 , c|b4 và a|c4 Chứng minh rằng
abc |(a+b+c)21
Bài Cho ∆ABC vng A (AB < AC).(O1) đường kínhAB.(O2)đường kính AC
Hai đường tròn cắt D M điểm cung nhỏ CD (O2) AM
cắt (O1)tại N cắt BC E
a) Chứng minh M E.BN =M C.AN b) Tứ giác DM O2N nội tiếp
c)K trung điểm M N Chứng minh O\1KO2 = 900
Bài Cho a, b, c >0 thỏa mãn a+b+c= Chứng minh a2
√
b+ +
b2
√
c+ +
c2
√
a+ ≥
(20)15 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Giang 2015-2016
Bài Cho biểu thức
A =
2− √
xy+
1 +√xy +
1 1−√xy +
2√x
1−xy
:
√xy−√x
√
xy+ −
√
xy+√x
√
xy−1
a) Tìm điều kiện x, y để biểu thứcA có nghĩa, từ rút gọn biểu thức A b) Cho √1
x +
1
√
y = 12 Chứng minh A≤36
Bài Cho phương trình
x4−2mx2+m2−1 =
với x ẩn, m tham số Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm phân biệt x1,
x2, x3, x4 cho
x41+x42+x43 +x44 = 40
Bài a) Giải phương trình
15√x3−1 = 4(x2+ 2).
b) Giải hệ phương trình
(
2√x+y =y2+y−x
x(y2+y) = (y4−y2)2−2
Bài a) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình
54x3−1 =y3
b) Trong tất tam giác nội tiếp đường trịn(O)bán kínhR > 0cho trước, xác định tam giác có diện tích lớn
Bài Cho điểm Acố định nằm ngồi đường trịn(O;R) Một đường thẳng thay đổi qua A không qua O cắt đường tròn B, C choAB < AC Các tiếp tuyến B C đường tròn (O) cắt D Đường thẳng qua D vng góc AO cắt AO H cung nhỏ BC đường tròn (O)tại M
a) Chứng minh AM tiếp tuyến đường tròn (O)
b) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp∆BOC ln qua điểm cố định c) Chứng minh
AC
AB =
HM HB
2
(21)16 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Giang 2017-2018
Bài Cho x≥0, x6= biểu thức
A=
x√x+x−2
x−1 −
√
x+
x+ 3√x+
√
x−1
2x+√x−3
a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x
4 =
r
1009 +√2017
2 −
r
1009−√2017
Bài Cho phương trình x2−2x−2m−1 = 0với xlà ẩn số, m tham số Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn
x2
1+ 2m+
x2+ 2m
2 +
2
x2
2+ 2m+
x1+ 2m
= 122 11
a) Giải phương trình
√
2x2−x+√4−3x= 2√x2−2x+ 2.
b) Giải hệ phương trình
(
x2y2+ 4 = 2y2
(xy+ 2)(y−x) =x3y3
Bài Tìm tất số nguyên dương (x, y, z) thỏa mãn x+y
√
2017
y+z√2017 số hữu tỉ đồng
thời (y+ 2)(4zx+ 6y−3) số phương
Bài Trong hình vng cạnh 1dm đặt số hình vng nhỏ có tổng chu vi bằng9dm Chứng minh ln tồn đường thẳng cắt ba hình vng nhỏ (khơng kể hình vng bao ngồi)
Bài Cho tam giác OAI vng A, B điểm đối xứng với A qua đường thẳng OI Gọi H, E trung điểm AB, BI, D giao điểm đường thẳng AE đường trịn C
tâm O bán kínhOA (D khácA)
a) Chứng minh tứ giácBHDE nội tiếp đường tròn
b) Gọi J giao điểm đường thẳng IDvà đường tròn C (J khácD) Chứng minh tam giác BJ A cân tạiB
c) Gọi K giao điểm đường thẳng ID với đường tròn (C) (K khác D) Chứng minh IH2 =ID.IK−DH.HK.
Bài Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 2√xy+ x
3 = Tìm giá trị nhỏ
biểu thức
P = y
x +
4x
(22)17 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bạc Liêu 2017-2018
Bài a) Chon = 2018·20172018 −112017−62018 Chứng minh n chia hết cho17.
b) Tìm số nguyên x,y thỏa mãn
x2+y2+ 5x2y2+ 60 = 37xy
Bài a) Choa=
q
x2+p3
x4y2+
q
y2+p3
x2y4 Chứng minh
3 √
x2+p3
y2 =√3 a2.
b) Giải hệ phương trình
(
x2+ 2y2−2y =x−3xy
2x2 +y2−17 = 3xy−x
Bài a) Cho phương trình x4+ 2(m−3)x2+ 3m+ = (với m tham số) Tìm tất giá trị m để phương trình có 4nghiệm phân biệt
b) Cho số a, b,c thỏa mãn a≥1,b ≥4,c≥9 Tìm giá trị lớn biểu thức
M = bc
√
a−1 +ca√b−4 +ab√c−9
abc
Bài Cho ba điểm A, B, C cố định thẳng hàng (B nằm A C) Vẽ đường trịn
O;R
bất kì qua B C (BC 6= 2R) Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN đến O;R
(M,N tiếp điểm) Gọi I, K trung điểm củaBC M N a) Chứng minh AM2 =AB·AC
b) Gọi O0 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OID Chứng minh O0 thuộc đường thẳng cố định đường tròn
c) Đường thẳng F E cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K Chứng minh đường thẳng BC tiếp xúc với đường (O;R)thay đổi
Bài Cho đường trịn (O) đường kính BC, đường tròn lấy điểm A (A khác B
C), tia phân giác góc BAC cắt (O) E Gọi AI đường cao tam giác ABC Xác
(23)18 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Ninh 2012-2013
Bài a) Rút gọn biểu thức sau
A=
r
4−
q
10−2√5−
r
4 +
q
10−2√5 b) Giải phương trình
x2+√x2−2x−19 = 2x+ 39
Bài a) Cho ba số a, b, c thỏa mãn 4a−5b+ 9c = Chứng minh phương trình ax2+bx+cln có nghiệm.
b) Giải hệ phương trình
xy+y2+x = 7y
x
y(x+y) = 12
Bài a) Cho ba số dương a, b, cthỏa mãn a+b+c= Chứng minh
(1 +a)(1 +b)(1 +c)≥8(1−a)(1−b)(1−c)
b) Phân chia 9số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 thành ba nhóm tùy ý, nhóm ba số Gọi T1
tích ba số nhóm thứ nhất, T2 tích ba số nhóm thứ hai, T3 tích ba số nhóm thứ
ba Hỏi tổng T1+T2+T3 có giá trị nhỏ
Bài Cho đường trịn tâm O bán kínhR dây BC cố định khác đường kính Gọi A điểm chuyển động cung lớn BC (O)sao cho tam giác ABC nhọn.AD,BE, CF đường cao tam giác ABC Các đường thằng BE, CF cắt đường tròn (O)
tại điểm thứ hai làQ, R a) Chứng minh QR||EF
b) Chứng minh diện tích tứ giác AEOF EF ·R
2
c) Xác định vị trí điểm A để chu vi tam giác DEF lớn
Bài a) Tìm hai số nguyêna,b đểa4+ 4b4 số nguyên tố
(24)19 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Ninh 2016-2017
Bài a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử
x4+ 5x3+ 5x2−5x−6
b) Rút gọn biểu thức sau vớix >1 x6=
Q=
q
x−p
4(x−1) +
q
x+p4(x−1)
p
x2−4(x−1)
1−
x−1
Bài a) Giải phương trình
2(2x−1)−3√5x−6 =√3x−8
b) Cho bốn số thực a, b, c, d khác thỏa mãn điều kiện sau: a, b hai nghiệm phương trìnhx2−10cx−11d= 0;c, dlà hai nghiệm phương trìnhx2−10ax−11b= 0.
Tính giá trị S =a+b+c+d
Bài Cho a, b, c >0 Tìm giá trị nhỏ
M = 3a
4+ 3b4+c3+ 2 (a+b+c)3
Bài Trên đường tròn (C) tâmO, bán kínhR vẽ dây cung AB <2R TừA vàB vẽ hai tiếp tuyếnAx,Byvới đường tròn(C) Lấy điểmM thuộc cung nhỏAB (M khácA
và B) Gọi H, K, I chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB, Ax By
a) Chứng minh M H2 =M K.M I.
b) Gọi E giao điểm AM KH, F giao điểm BM HI Chứng minh đường thẳng EF tiếp tuyến chung hai đường tròn ngoại tiếp tam giác
M EK M F I
c) Gọi D giao điểm thứ hai hai đường tròn ngoại tiếp tam giác M EK
M F I Chứng minh khiM di chuyển cung nhỏ AB đường thẳngDM
qua điểm cố định
Bài a) Tìm ba số nguyên tố a, b, cthỏa mãna < b < c,(bc−1)chia hết cho a,(ca−1)
chia hết cho b, (ab−1) chia hết choc
(25)20 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Ninh 2017-2018
Bài Cho x≥0, x6= hai biểu thức
P = 2x−3
√
x−2
√
x−2 , Q=
√
x3−√x+ 2x−2
√
x+
a) Rút gọn biểu thức P vàQ
b) Tìm tất giá trị x đểP =Q
Bài a) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a
b =
b
c =
c
a Tính giá trị biểu thức
P = 4a+ 6b+ 2017c 4a−6b+ 2017c b) Giải hệ phương trình
(
x2+ 2y =xy+
x2−x+ 3−x√6 = (y−3)√y−3 (x, y ∈R)
Bài a) Cho số thực dươnga,b, cthỏa mãna+b+c≤3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = a
2+ 6a+ 3
a2+a +
b2+ 6b+ 3
b2+b +
c2+ 6c+ 3
c2+c
b) Cho tam giác vng có số đo số tự nhiên có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số số đo cạnh huyền ta số đo cạnh góc vng Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác
Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt đường thẳng BC M Kẻ đường cao BF tam giác ABC (F thuộc AC) Từ F kẻ đường thẳng song song với M A cắt AB E Gọi H giao điểm CE BF, D giao điểm AH BC
a) Chứng minh AM2 =M B·M C và M C
M B =
AC2
AB2
b) Chứng minh AH vng góc với BC D
c) Gọi I trung điểm BC Chứng minh bốn điểmE, F, D,I nằm đường trịn
d) Từ H kẻ đường thẳng vng góc với HI cắt AB, AC P Q Chứng minh H trung điểm củaP Q
Bài Cho 2n+ số nguyên, có số số 1,2,3,· · · , n số xuất hai lần.Chứng minh với số tự nhiênnta xếp 2n+
(26)21 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bến Tre 2014-2015
Bài Khơng dùng máy tính cầm tay tính giá trị
A=
p
14 +√40 +√56 +√140
√
2 +√5 +√7
Bài Cho biểu thức
B =
2√a√a+√2a−√3b+√3b2√a−√3b−2a√2
a√2 +√3ab
a) Tìm điều kiện a b để B xác định rút gọn B
b) Khơng dùng máy tính cầm tay tính giá trị củaB khia = + 3√2,b = 10 +11
√
8
Bài Cho phương trình bậc hai với tham sốm sau
x2−2 (m−1)x+ 2m2 −3m+ =
a) Chứng minh phương trình có nghiệm ≤ m ≤ Gọi x1, x2
nghiệm phương trình
b) Chứng minh |x1+x2 +x1x2| ≤
c) Tìm giá trị củamđể phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu thỏa|x1−x2|=
Bài a) Cho biểu thứcx2−x−1 = Tính giá trị biểu thức
Q= x
6−3x5+ 3x4−x3+ 2014
x6−x3−3x2−3x+ 2014
b) Cho số dương x, y, z Chứng minh bất đẳng thức
r
x
y+z +
r
y
x+z +
r
z
x+y >2
Bài Cho đường tròn(O),đường thẳng dcắt (O)tại hai điểmC D Từ điểmM tùy ý d kẻ tiếp tuyến M A M B với (O), A B tiếp điểm Gọi I trung điểm CD
a) Chứng minh tứ giácM AIB nội tiếp
b) Các đường thẳngM OvàAB cắt tạiH Chứng minhH thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác COD
c) Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định M thay đổi đường thẳngd
d) Chứng minh M D
M C =
HA2
(27)22 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Định 2016-2017
Bài a) Cho biểu thức
P =x2+ 5y2 −4xy+ 2x−14y+ 2016 Tìm x, y đểP đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ
b) Với số tự nhiênn, xét hai số
an = 22n+1+ 2n+1+ 1, bn= 22n+1−2n+1+
Chứng minh có hai số chia hết cho
Bài Giải hệ phương trình
(
(x+y)(x2+y2) = 15 (x−y)(x2 −y2) = 3
Bài Tìm số phương có bốn chữ số biết tăng thêm chữ số đơn vị số tạo thành số phương có bốn chữ số
Bài Từ điểm S ngồi đường trịn tâmO kẻ tiếp tuyến SA,SC cát tuyến SBD (B nằm S D) GọiI giao điểm AC BD Chứng minh
a)AB·DC =AD·BC b) SB
SD =
IB
ID =
AB·CB
AD·CD
Bài Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R ĐiểmM nằm nửa đường trịn cho M AB\ = 600 Kẻ M H vuông góc với AB H, HE vng góc với AM E, HF vng góc với BM F Các đường thẳngEF AB cắt K Tính diện tích tam giác M EF độ dài đoạn thẳng KA, KB theo R
Bài Cho a, b, c >0 a+b+c <1 Chứng minh
1
a2 + 2bc +
1
b2+ 2ca +
1
(28)23 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Định 2017-2018 (Vòng 1)
Bài Cho biểu thức
A= x
√
x−1
x−√x −
x√x+
x+√x +
x+
√
x
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìmx để A=
Bài Cho parabol P :y =x2 đường thẳng (d) : y = (2m−1)x−m+ 2(m tham số)
a) Chứng minh với mọim đường thẳng(d)luôn cắt parabol (P) hai điểm phân biệt
b) Tìm giá trị m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A(x1;y1), B(x2;y2) thỏa mãn x1y1+x2y2 =
Bài Hai thành phốA vàB cách nhau450km Một ôtô từ AđếnB với vận tốc không đổi thời gian dự định Khi đi, ôtô tăng vận tốc dự kiến 5km/h nên đến sớm với thời gian dự định Tính vận tốc dự kiến ban đầu ôtô
Bài Cho đường trịn (O), dây BC khơng phải đường kính Các tiếp tuyến (O)
tại B C cắt ởA Lấy điểmM cung nhỏ BC (M khácB C) GọiI, H,K chân đường vuông góc hạ từ M xuống BC,CA AB
a) Chứng minh tứ giác BKM I, CHM I nội tiếp b) Chứng minh M I2 =M K·M H.
c) Giả sử BM cắt IK D, CM cắt IH E Chứng minh DE kBC
Bài Cho a, b, c∈[0; 1] Chứng minh
(29)24 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chun tỉnh Bình Định 2017-2018 (Vịng 2)
Bài Cho biểu thức
A=
√
x−2
x−1 −
√
x+
x+ 2√x+
!
x2−2x+ 1
2
a) Tìm điều kiện x để biểu thứcA có nghĩa Rút gọn A b) Tìmx để A≥0
c) Tìm giá trị lớn A
Bài a) Giải phương trình
4x4+ 4x3−20x2+ 2x+ =
b) Chứng minh số tự nhiênabc số ngun tố b2−4ac khơng số phương
Bài Cho đa thức f(x) = x2 −2(m+ 2)x+ 6m + 1 (m là tham số) Bằng cách đặt
x=t+ Tínhf(x)theot tìm điều kiện củamđể phương trìnhf(x) = 0có hai nghiệm lớn hơn2
Bài Cho đường trịn (T)tâm O đường kínhAB, tiếp tuyến tạiA lấy điểm P khácA, K thuộc đoạnOB (K khácO B) Đường thẳng P K cắt đường tròn(T) C D (C nằm P D), H trung điểm CD
a) Chứng minh tứ giácAOHP nội tiếp đường tròn
b) Kẻ ID song song vớiP O, điểmI thuộc AB, chứng minhP DI[ =BAH.\
c) Chứng minh đẳng thức P A2 =P C ·P D.
d)BC cắt OP J, chứng minh AJ song song vớiDB
Bài Cho tam giác ABC vuông tạiA Từ điểm I thuộc miền tam giác, kẻ IM ⊥
BC, kẻ IN ⊥AC, IK ⊥AB Tìm vị trí I cho tổng IM2+IN2+IK2 nhỏ
Bài Cho số thực dươngx, y, z thỏa mãn xyz ≤1 Chứng minh
x 1−y3
y3 +
y 1−z3
z3 +
z 1−x3
(30)25 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Dương 2014-2015
Bài Chứng minh
x0 =
r
2 +
q
2 +√3−
r
6−3
q
2 +√3
là nghiệm phương trình
x4+ 16x2+ 32 =
Bài Cho đường thẳng (d) : y = mx+ với m tham số khác Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d)
3 Vẽ đường thẳng (d) mặt phẳng
tọa độ với giá trị m tìm
Bài a) Giải phương trình
x3+ 3x2+ 3x+ = b) Tìm giá trị nhỏ biểu thứcA = 3(x2+y2), biết
x2+y2 =xy+ 12
Bài a) Tìmm để phương trình sau có hai nghiệm phận biệt
x2−2x− |x−1|+m=
b) Cho phương trình
mx2+x+m−1 =
Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn
1
x1 +
x2
>1
Bài Cho đường tròn (O) điểm M cố định bên đường tròn Một đường thẳng (d) qua M cắt đường tròn (O) A B (M A < M B, (d) không qua O) Gọi C giao điểm hai tiếp tuyến kẻ từA B
a) Chứng minh điểm O nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
b) Gọi D giao điểm (khác O) OM đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minhM A.M B =M D.M O
c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua hai điểm cố định đường thẳng (d) quay quanhM
Bài Cho tam giác ABC, (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Điểm M thay đổi, thuộc cung nhỏ AC đường tròn tâm(O)(M khác A vàC) CM cắt AB E, AM cắt BC F Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng EF
(31)26 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Dương 2017-2018
Bài a) Giải phương trình
x2−3x+ =− √
3
√
x4+x2+ 1
b) Giải hệ phương trình
x2− |x|=|yz|
y2− |y|=|xz|
z2− |z|=|xy|
Bài Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x≥2y, tìm giá trị nhỏ biểu thức
M = x
2+y2
xy
Bài a) Cho a, b, c, d số thực thỏa mãn b+d 6= 0, ac
b+d ≥ Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm
(x2+ax+b)(x2 +cx+d) = b) Tìm cặp số nguyên (x, y)thỏa mãn x2−y2 =xy+ 8
Bài Cho tam giácABC vuông tạiA (AB < AC) ngoại tiếp đường tròn tâmO GọiD, E, F tiếp điểm của(O) với cạnh AB, AC,BC;I giao điểm BO với EF, M điểm di động đoạn CE
a) Tính số đo góc ∠BIF
b) Gọi H giao điểm BM EF Chứng minh AM = AB tứ giác ABHI tứ giác nội tiếp
(32)27 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Phước 2013-2014
Bài a) Tính
A=
q
8 + 2√7 +
q
16−6√7 b) Chox >0, x6= Rút gọn biểu thức
M =
x−√x
√
x−1 −
√
x+
x+√x
:
√
x+
x
Bài Cho phương trình tham sốm sau
x2 −4x+ 2m−3 =
Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn
√
3 (√x1+
√
x2) =
√
x1x2+ 17
Bài a) Giải phương trình
√
x+ +√5x=√4x−3 +√2x+ b) Giải hệ phương trình
(
(x+ 2y−2)(2x+y) = 2x(5y−2)−2y
x2 −7y =−3
Bài a) Chứng minh ba số phương tùy ý ln tồn hai số mà hiệu chúng chia hết cho4
b) Giải phương trình nghiệm nguyên
3x2−2y2−5xy+x−2y−7 =
Bài Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), AB < AC Các tiếp tuyến B C đường tròn(O)cắt E; AE cắt đường tròn(O)tại D (khác điểm A) Kẻ đường thẳng (d) qua điểm E song song với tiếp tuyến A đường tròn (O), đường thẳng (d) cắt đường thẳngAB,AC P Q Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC Đường thẳng AM cắt đường tròn (O) N (khác điểm A)
a) Chứng minh EB2 =ED.EA BA
BD =
CA
CD
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ba tam giác ABC, EBP, ECQ qua điểm
c) Chứng minh E tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQP d) Chứng minh tứ giácBCN D hình thang cân
Bài a) Chứng minh với a, b hai số dương
(33)b) Choa,b hai số dương thỏa mãn a+b≥1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
F = a3+b32+ a2+b2+
(34)28 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Phước 2015-2016
Bài Cho a >0, a6=
P =
1
a−1+
3√a+
a√a−a−√a+
(√a+ 1)2 4√a −1
a) Rút gọn P
b) Đặt Q= (a−√a+ 1)·P Chứng minh Q >1
Bài Cho phương trình
x2−2(m+ 1)x+m2 =
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn (x1 −m)2+x2 =m+
Bài a) Giải phương trình
(x+ 1)p2(x2+ 4) =x2−x−2.
b) Giải hệ phương trình
1
√
x −
√
x
y =x
2+xy−2y2 (√x+ 3−√y)(1 +√x2+ 3x) = 3
Bài Giải phương trình tập số nguyên
x2015 =py(y+ 1)(y+ 2)(y+ 3) +
Bài Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi H trực tâm tam giácABC Gọi M trung điểm BC
a) Chứng minh AH = 2OM
b) Dựng hình bình hành AHIO Gọi J tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OBC Chứng minh rằngOI·OJ =R2
c) Gọi N giao điểm AH với đường tròn (O) (N khác A) Gọi D điểm cung nhỏ N C đường trịn tâm(O)(D khácN vàC) GọiE điểm đối xứng với D qua AC,K giao điểm AC HE Chứng minh ACH\=ADK.\
Bài a) Choa, b hai số thực dương Chứng minh
p
(1 +a)(1 +b)≥1 +√ab
b) Cho a, b hai số thực dương thỏa mãn a+b = ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P =
a2+ 2a +
1
b2 + 2b +
p
(35)29 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Phước 2017-2018
Bài a) Cho biểu thức
P =
√
x
√
x+ +
−x+x√x+
x+√x−2 −
√
x+
√
x−1
với x≥0, x6= Rút gọn biểu thức P b) Cho biểu thức
Q= (x+ 27)P (√x+ 3)(√x−2)
với x≥0, x6= 1, x6= Chứng minh Q≥6
Bài Cho phương trình
x2−2(m−1)x+m2−3 =
với x ẩn, m tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 cho
x21 + 4x1+ 2x2−2mx1 =
Bài a) Giải phương trình
x+ 2√7−x= 2√x−1 +√−x2+ 8x−7 + 1
b) Giải hệ phương trình
(
4√x+ 1−xypy2+ 4 = 0
p
x2 −xy2+ + 3√x−1 =xy2
Bài Cho tam giác ABC có góc ∠BAC = 600, AC = b, AB =c (b > c) Đường kính EF đường trịn ngoại tiếp tam giácABC vng góc với BC M (E thuộc cung lớn
BC) Gọi I J chân đường vng góc hạ từ E xuống đường thẳng AB AC
Gọi H K chân đường vng góc hạ từ F xuống đường thẳng AB AC a) Chứng minh tứ giác AIEJ, CM J E nội tiếp EA·EM =EC·EI b) Chứng minh I, J, M thẳng hàng IJ vng góc với HK
c) Tính độ dài cạnh BC bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AN C theo b, c
Bài Chứng minh biểu thức
S =n3(n+ 2)2+ (n+ 1)(n3−5n+ 1)−2n−1
chia hết cho 120, với n số nguyên
Bài a) Cho ba sốa, b, c thỏa mãn a+b+c= 0, |a| ≤1, |b| ≤1, |c| ≤1 Chứng minh
a4+b6 +c8 ≤2
b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức
T = (x
(36)(37)30 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Thuận 2012-2013
Bài Cho phương trình
x2−2x−m2−2 =
a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với giá trị
của m
b) Tìmm đề hai nghiệm x1, x2 thỏa x1 =−3x2
Bài a) Choa, b6= 0, a+b6= Chứng minh
s
1
a2 +
1
b2 +
1 (a+b)2 =
1
a +
1
b −
1
a+b
b) Khơng dùng máy tính tính
S = 2012
2013 +
r
1 + 20122+2012 20132
Bài Tìm tất cặp số nguyên (x;y)thỏa mãn
y(x−2) =x2+
Bài Cho hình vng ABCD cạnh a điểm E di động cạnh CD (E khác D) Đường thẳng AE cắt BC F đường thẳng vng góc với AE A cắt CD K
a) Chứng minh trung điểm I F K di chuyển đường thẳng cố định b) Chứng minh
AE2 +
1
AF2 =
1
a2
(38)31 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Thuận 2015-2016 (Chuyên Tin)
Bài Cho phương trình tham sốm sau
x2 −(3m+ 14)x+ (4m+ 12)(2−m) = a) Định giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Gọix1,x2 hai nghiệm phương trình Định giá trị củam để biểu thứcP =x1x2
đạt giá trị lớn
Bài a) Chox, y số thực dương cho x2−3y2 = 2xy Tính giá trị biểu thức
A= x
2+y2
xy
b) Giải phương trình
(√x+ + 1)(5−x)
x =
Bài a) Tìm tất số nguyên x đểx2+x+ số phương
b) An mua tập 200 trang đánh số trang theo thứ tự từ đến 200 An đố Bình chọn25tờ tập cho tổng của50số trên25tờ chọn
2016 Hỏi bình thực hay khơng? Vì sao?
Bài Cho tam giácABC có ba góc nhọn đường caoAD GọiE, F, Glần lượt trung điểm AB, AC EF; (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác BED; H giao điểm thứ hai đường thẳng DG với đường tròn (O) Chứng minh
a)EF tiếp tuyến đường tròn (O)
b)GF2 =GH.GD.
(39)32 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Thuận 2015-2016 (Chun Tốn)
Bài Giải phương trình
q
x−8 + 2√x−9 = x−20
Bài Một bác nông dân đem trứng chợ bán Tổng số trứng bán tính sau
• Ngày thứ bán 8trứng
8 số trứng cịn lại
• Ngày thứ hai bán 16trứng
8 số trứng cịn lại
• Ngày thứ ba bán được24trứng
8 số trứng cịn lại
•
Cứ ngày cuối bán hết trứng Nhưng thật thú vị, số trứng bán ngày Hỏi tổng số trứng bán bán hết ngày?
Bài Cho số thực dươngx, y, z cho x+y+z = 3√2 Chứng minh
1
p
x(3y+ 5z) +
1
p
y(3z+ 5x) +
1
p
z(3x+ 5y) >
3
Đẳng thức xảy nào?
Bài Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R, điểm C di động cho ∠ACB = 600
và đoạn thẳng AC, BC cắt đường tròn (O)tại hai điểm D, E
a) Chứng minh điểm C di động đường thẳng DE ln tiếp xúc với đường tròn cố định
b) Gọi M,N hình chiếu vng góc củaA,B lên đường thẳng DE Xác định vị trí điểm C để tích AM ·BN đạt giá trị lớn
Bài Trên bảng viết số
1 2015;
2 2015; ;
2014 2015;
2015 2015
(40)33 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Thuận 2016-2017
Bài Giải hệ phương trình
(
2x2+ 2x−√y−1 =
x2+x+ 2√y−1 = 6
Bài Cho hai số nguyên dương lẻm,n nguyên tố thỏa
n |(m2+ 2), m|(n2+ 2)
Chứng minh rằng4mn|(m2+n2+ 2)
Bài Cho số dươngx, y, z Chứng minh xy
x2+yz+zx+
yz
y2+zx+xy +
zx
z2+xy+yz ≤
x2+y2+z2
xy+yz+zx
Đẳng thức xảy nào?
Bài Cho đường tròn(O;R)và dây cungBC <2R, điểm Adi động (O, R)sao cho
4ABC tam giác nhọn Kẻ đường caoAD, BE, CF 4ABC GọiK, Llần lượt tâm đường tròn nội tiếp hai tam giác BDF, CDE
a) Chứng minh hai tam giác BF D, ECD đồng dạng b) Chứng minh \DKL=\DF C
c) Chứng minh đường thẳng d qua A vng góc với KL qua điểm cố định A di động
Bài Giả sử bảng viết2016 câu khẳng định sau:
• Câu Trên bảng có câu khẳng định sai
• Câu Trên bảng có câu khẳng định sai
•
(41)34 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Thuận 2017-2018 (Vịng 1)
Bài Cho x >0 biểu thức
A= √1
x −
1
√
x+
!
:
√
x
x+√x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm tất giá trị nguyên xđể biểu thức A có giá trị nguyên
Bài Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho parabol (P) :y= 4x
2.
a) Vẽ P
b) Đường thẳng(d) :y=x+5
4 cắt (P)tại M N Tính diện tích tam giác OM N
Bài a) Giải phương trình
x2−5x+ x2 −5x+ 4= 24
b) Cho phương trìnhx2−(m+ 1)x−3m+ = 0(m là tham số) Tìm tất giá trị
của m để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn 3x1+ 2x2 =
Bài Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R Gọi AD,BE,CF đường cao tam giác ABC, H giao điểm củaAD BE
a) Chứng minh tứ giácBF HD nội tiếp đường tròn b) Chứng minh F H tia phân giác EF D.\
c) Gọi I giao điểm củaAD EF Chứng minh IH·AD =HD·AI
d) Giả sử bốn điểm B, H, O, C nằm đường trịn Tính theo R độ dài đoạn EF
Bài Cho số thực dươngx, y, z thỏa mãn xyz ≤1 Chứng minh
x 1−y3
y3 +
y 1−z3
z3 +
z 1−x3
(42)35 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Thuận 2017-2018 (Vịng 2)
Bài Giải hệ phương trình
(
y2+ 1 =xy
x2+y2+ + 2(x+y) = 0
Bài Cho n số nguyên a1, a2,· · · , an thỏa mãn S =a1+a2 +a3+· · ·+an chia hết
cho Chứng minh P =a31+a32+a33+· · ·+a3n chia hết cho6
Bài Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn x+y+z+xyz = Chứng minh
1 +xy+y
z +yz+
z x
1 +zx+x
y
≥27
Bài Cho tam giácABC nhọn (AB < AC) cóADlà đường cao, H trực tâm tam giác ABC Tia BH cắt đường trịn đường kính AC E, F cho BE < BF, tia CH cắt đường trịn đường kính AB G, K cho CG < CK, đường tròn ngoại tiếp tam giác EDG cắt BC điểm thứ hai P
a) Chứng minh A tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác KEGF b) Chứng minh ba điểm P, E,K thẳng hàng
c) Giả sử bốn điểm K, D, P, F nằm thuộc đường tròn
(43)36 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Cần Thơ 2017-2018
Bài Cho x,y hai số thực dương phân biệt Rút gọn biểu thức
1
√
x+√y +
3√xy
x√x+y√y
·
1
√
x−√y −
3√xy
x√x−y√y
: x−y
x+√xy+√y
Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng
(d) :y= 2m−4
2m+ 5x+ 4−2m
với m tham số thực khác −5
2 Tìm tất giá trị m để (d) cắt tia Ox, Oy lần
lượt hai điểm phân biệtA, B cho diện tích tam giácOAB đạt giá trị lớn nhất, với O gốc tọa độ
Bài a) Giải phương trình
2(x−2)px(x+ 3) +x3+x2 −14x+ 16 =
b) Tìm tất giá trị m để phương trình sau có nghiệm số ngun x2−(3 + 2m)x+ 40−m=
Bài Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 140(m) Tỉ số chiều dài chiều rộng khu vườn
2 Để thuận tiện cho việc chăm sóc, thu hoạch lại khu
vườn, người ta làm lối xung quan khu vườn dọc theo chiều rộng x(m) dọc theo y(m) Biết x= 2y diện tích phần đất cịn lại sau làm lối là828m2 (như
hình vẽ bên dưới) Tính tỉ sốk chu vi phần đất cịn lại chu vi ban đầu khu vườn
Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O), AB < AC đường cao AD, BE, CF (D ∈ BC, E ∈ CA, F ∈ AB) cắt H Gọi I trung điểm cạnh BC.(O0)là đường tròn ngoại tiếp tam giác HF E,dlà đường thẳng qua H song song với đường thẳng BC
a) Chứng minh d tiếp tuyến đường tròn (O0)
b) TiaIH cắt đường tròn(O)tại điểmM Chứng minh điểm M thuộc đường tròn(O0) c) GọiG giao điểm hai đường thẳngF E BC Chứng minhGH vng góc với AI
Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn
a +
2
b +
3
c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức
M = 27a
2
c(c2+ 9a2) +
b2
a(4a2+b2) +
8c2
(44)37 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Đà Nẵng 2005-2006
Bài a) Tính giá trị biểu thức
A=
r
1 32 −
r
1 36+
3
b) Giải phương trình
x4 = (x−2)2
Bài a) Giải hệ phương trình
y−x =
y−2 = x
2 −
x b) Cho phương trình
2x(mx−1) =x2−1
với m tham số Tìm số nguyên m nhỏ cho phương trình cho vô nghiệm
Bài Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho Parabol (P) :y=−1
2x 2.
a) Vẽ (P)
b) Trên(P)lấy hai điểmA B có hồnh độ bằng−2và Viết phương trình đường thẳngAB
c) TínhSAOB
Bài Có 30lít nước, vừa đủ rót đầy bìnhA
3 bình B vừa đủ rót đầy bình B
2 bình A Tính dung tích bình A, B
Bài Cho (O), dây CD không qua tâm Lấy A điểm cung nhỏ CD Từ A vẽ tiếp tuyến (d)của(O) Trêndlấy M choAM =CD (C vàM nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AD) Tia M C cắt (O)tại B khácC Chứng minh
a)M ADC hình bình hành
b)∠ACB = 2∠ABC c) M C
M B =
AC2
AB2
(45)38 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Đà Nẵng 2009-2010
Bài a) Rút gọn
A=
q
3 + 2√2 +
q
18−8√2
b) Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiệnx+ 4y= 5√xy Tính x
y
Bài a) Giải phương trình
x2−2x|x−2|+ = b) Cho phương trình tham số m sau
2x4−4(m+ 2)x2+ 2m2+ = Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệtx1,x2, x3, x4 thỏa
x41+x42+x43+x44 = 66
Bài a) Chứng minh 70.271001+ 31.38101 chia hết cho13.
b) Giải hệ phương trình
2
x +
3
y +
3
z =−2
4
xy −
3
z2 −
2
y =
Bài Cho hình vng ABCD cạnh a Trên BC lấy E (E khác B, C) Trên CD lấy F cho ∠EAF = 450 Đường chéo BD cắt AE, AF lần lượt tại H và G.
a) Gọi I giao điểm củaEG F H Chứng minh I trực tâm tam giác AEF b) Chứng minh GH
EF không đổi
c) Đuờng thẳngAI cắt EF K Chứng minh BK song song HF
d) Tìm giá trị nhỏ tam giácAEF khiE di chuyển trênBC (E khácB, C), F thay đổi CD thỏa điểu kiện ∠EAF = 450
Bài Cho a, b, clà ba số dương thỏa abc <1 Chứng minh
1
1 +a+ab+
1
1 +b+bc +
1
(46)39 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Đà Nẵng 2011-2012 (Chuyên Toán)
Bài a) Cho a=xy+p(1 +x2)(1 +y2) và b=xp1 +y2+y√1 +x2 trong đó x, y là
hai số thực Tìm hệ thức liên hệ a b độc lập với x y b) Đặt x1 =
m−√m2+ 1
2 , x2 =
m+√m2+ 1
2 (m tham số) Hãy tính theo m giá
trị biểu thức
A= [(2m+ 1)x1−(2m−1)x2]2+ [(m−2)x1+ (m+ 2)x2]2
Bài Trên mặt phẳng tọa độOxy, cho đường thẳng∆ : y= 5x−
12 25
a) Gọi α góc tạo đường thẳng∆ trục Ox Chứng minh sinα >
2
b) Chứng minh hình trịn bán kính
30 với tâm nằm đường thẳng ∆, khơng có điểm có hồnh độ tung độ số nguyên
Bài a) Giải hệ phương trình
yz(x+y)(x+z) = 72
zx(y+z)(y+x) = 45
xy(z+x)(z+y) = 40
b) Với số tự nhiên n ≥ 3, gọi xn số đo góc đỉnh (tính theo đơn vị độ)
một đa giác n cạnh Tìm tất cặp số tự nhiên m, n (m ≥ 3, n ≥ 3) cho
xm−xn= 300
Bài a) Tìma, b,c, d biết
5(a2+b2+c2+d2) = (a+b+c+d+ 2)2−20
b) Cho x, y, z ∈ [1; 3] Đặt Sn=xn+yn+zn với số nguyên dương n Chứng minh
rằng S1 ≤5,S2 ≥11 Sn= 3n+ với số nguyên dương n
Bài Cho hình vng ABCD có cạnh r M điểm di động cạnh BC, M không trùng B C Trên CD lấy N cho ∠M AN = 450 Gọi P là giao điểm của
BD vàAM,Q giao điểm củaBD vàAN a) Chứng minh rằngM Qvng góc với AN b) Gọi H giao điểm M Qvà N P Tìm quỹ tích giao điểm K đường thẳng
AH M N
(47)40 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Đà Nẵng 2011-2012 (Chuyên Tin)
Bài Cho a≥0và biểu thức
Q=
√
a− √x+a
x+√a
√
a
√
x −
2√a
√
x−√a
a) Với giá trị xthì Qxác định?
b) Chứng minh a số phương thìQ số nguyên (khi Q xác định)
Bài Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(6;−3), parabol (P) có phương trình y=−x2 và đường thẳng (d
m) có phương trìnhy = 2(m−1)x+m2 (m tham số)
a) Với giá trị mthì đường thẳng (dm)cắt parabol (P) hai điểm mà
trong hai giao điểm có hồnh độ bằng2? Khi đó, xác định tọa độ giao điểm cịn lại b) Tìm tọa độ điểm B thuộc (P)để đoạn AB ngắn
Bài a) Chứng minh phương trình
√
x2 −2x+ = √ 3−1−
q
7 + 4√3
có hai nghiệm 1−√3 +√3 b) Giải hệ phương trình
(
x3−y3 = 35
3x2+ 2y2 9x−4y
Bài Cho đường tròn (C) tâm O bán kính 4cm Gọi O0 điểm di động cho OO0 =x(cm) (1< x < 7) Đường trịn (C0) tâm O0 bán kính 3cm cắt (C) hai điểm A vàB DâyAM đường tròn(C)tiếp xúc với đường tròn (C0) Dây AN đường tròn
(C0) tiếp xúc với đường tròn (C) Gọi Q điểm đối xứng với A qua trung điểm P OO0, C điểm đối xứng A quaB
a) Gọi H giao điểm AN O0Q Chứng minh AHBQ tứ giác nội tiếp b) Chứng minh QM C tam giác cân
c) Tìmx để tứ giác AOQO0 có diện tích lớn
Bài Cho x, y ∈[0; 1] Chứng minh
1
√
1 +x2 +
p
1 +y2 ≤
√
(48)41 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Đà Nẵng 2012-2013
Bài a) Cho phương trình tham số m sau
x2−2(m−1)x−1 =
Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn
|x1−x2|=
b) Lập phương trình bậc hai nhận x1 =y1
√
y2+
√
y1 x2 =y2
√
y1+
√
y2 nghiệm
với y1, y2 nghiệm phương trình
y2−7y+ =
Bài a) Giải hệ phương trình
(
x2 =|x|+y
y2 =|y|+x
b) Giải phương trình
x=√40−x.√45−x+√45−x.√72−x+√72−x.√40−x
Bài a) Chox, y, z, t thỏa mãn x2+y2+z2+t2 ≤1 Chứng minh
q
(x+z)2+ (y−t)2+
q
(x−z)2+ (y+t)2 ≤2 b) Tìmx, y ∈N thỏa mãn √
x+√y=√2012
Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AB Biết AB, CD cắt E,AD cắt BC F, AC cắt BD M,H hình chiếu M lên AB,CH cắt BD N
a) Chứng minh DB·M N
DM ·N B =
b) Hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BCE CDF cắt điểm thứ hai
L Chứng minh E, F,L thẳng hàng
Bài Cho tam giác ABC khơng có cạnh BC =a, CA=b, AB=c Gọi I,G tâm đường tròn nội tiếp trọng tâm tam giác Chứng minh IG⊥IC ta có
(49)42 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Đà Nẵng 2016-2017
Bài Cho biểu thức
P = a
a+ +
s
1 +a2+ a (a+ 1)2
với a6=−1 Rút gọn biểu thức P tính giá trị P a= 2016 a) Tìm số nguyên dươngk số thựcx cho
(k−1)x2+ 2(k−3)x+k−2 = b) Tìm số nguyên dươngx số nguyên tố psao cho
x5+x4+ =p2
Bài Giải phương trình sau
a)(17−6x)√3x−5 + (6x−7)√7−3x= + 8√36x−9x2−35.
b)√x2−3x+ =√10x−20−√x−3
Bài Cho tam giác ABC có BAC >[ 900, AB < AC và nội tiếp đường tròn tâm O.
Trung tuyến AM tam giác ABC cắt (O) điểm thứ hai D Tiếp tuyến (O) D cắt đường thẳng BC S Trên cung nhỏ DC (O) lấy điểm E, đường thẳng SE cắt (O) điểm thứ hai F Gọi P, Q giao điểm đường thẳng AE,
AF với BC
a) Chứng minh M ODS tứ giác nội tiếp b) Chứng minh QB =P C
Bài Cho tam giácABC vng tạiAcóAB < AC Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnhAC D Gọi M trung điểm AC, đường thẳngIM cắt AB N Chứng minh tứ giácIBN D hình bình hành
Bài Người ta dùng số quân cờ hình tetromino gồm vng kích thước 1×1, hình chữL, xoay lật ngược hình để ghép phủ kín bàn cờ hình vng kích thước n×n (n số ngun dương) gồm n2 vng kích thc 1ì1 theo quy tc sau
ã Vi mi quân cờ sau ghép vào bàn cờ, ô vng phải trùng với vng bàn cờ
• Khơng có hai qn cờ mà sau ghép vào bàn cờ chúng kê lên a) Khi n= 4, cách ghép phủ kín bàn cờ
(50)43 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Đà Nẵng 2017-2018
Bài a) Giải bất phương trình
x+
√
x+ +
1
x+√x−
1
√
x
:
√
x
x+ 2√x+ ≥2017 +
√
2017 b) Cho số dương x, y thỏa mãn x= 4y+√2xy Tính
P =
3 √
xy(3√3 x−2√3 y)
√
2xy
Bài a) Cho phương trìnhx2+ 2(2m−1)x−3m= 0 với m là tham số Tìm tất các
giá trị nguyên tham số m để phương trình cho có hai nghiệm x1, x2 cho biểu
thức Q= 2(x 1+x22)
x1+x2
đạt giá trị nguyên
b) Cho phương trìnhax2+bx+c= với a, b, clà số thực thỏa mãn điều kiện a6=
và 2a+b+c = Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Tìm nghiệm
T = (x1−x2)2+ 2(x1+x2)
đạt giá trị nhỏ
Bài a) Giải phương trình
(x+ 1)3 = (x4+ 3x3)√x+
b) Giải hệ phương trình
(
x2+y2+xy = 1
2x6−1 =xy(2x2y2−3)
Bài Các điểm A1, A2, , A2n (n≥2)được xếp theo thứ tự đường tròn (O)
và chia đường tròn thành 2n cung tròn Chứng minh với số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện < k ≤ n+ ta có hai dây cung A1Ak A2Ak+n−1
vng góc với
Bài a) Cho tam giác nhọn ABC cân tạiA, nội tiếp đường trịn tâmO đường kínhAD Hai đoạn thẳng BC AD cắt I Gọi M điểm nằm đoạn thẳng CI, M
khácC vàI Đường thẳng quaM song song với CD cắt BDtại Q Chứng minh rằngAM
vng góc với QK
b) Cho tam giác nhọn ABC cóAB < AC < BC, nội tiếp đường trịn tâm O có trực
tâm H Đường thẳng AH cắt BC, CO D, E Chứng minh hai đường tròn ngoại
tiếp tam giác ACD CEH tiếp xúc
Bài Tìm tất số nguyên dươngx, y, z thỏa mãn điều kiện
(51)44 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đắk Lắk 2009-2010
Bài a) Giải phương trình
(x2+ 2x+ 27)(x2+ 2x+ 64) = 2010 b) Giải hệ phương trình
3
√
x−y −
2
2x−y =
7
√
x−y +
3
2x−y =
Bài Trong mặt phẳng toạ độOxy cho đường thẳng(d) :y= 2kx+k2−k+ 1và Parabol (P) :y=x2.
a) Chứng minh đường thẳng (d) cắt (P)tại hai điểm phân biệt với k b) Gọi x1,x2 hai hồnh độ giao điểm Tìm k đểx1x2 đạt giá trị lớn
Bài a) Tìmx y nguyên cho x2
4 =y 2+ 1.
b) Choa,b, clà độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh
a3+b3+c3+ 2abc < a(b2+c2) +b(a2 +c2) +c(a2+b2)
Bài a) Cho tam giác ABC vuông A, AB = √2, ACB[ = 450 Tính thể tích hình tạo thành quay tam giác ABC vòng quanh BC
b) Cho hai đường tròn (O) (O0) cắt A, B Gọi M, N tiếp tuyến chung (O) (O0) (M thuộc (O) N thuộc (O0)) Chứng minh AB qua trung điểm I M N
(52)45 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đắk Lắk 2011-2012
Bài a) Giải phương trình
q
x−2√x−1 +√x−1 = b) Giải hệ phương trình
x
y −
8
x2y =
y
x −
8
xy2 =
Bài a) Tìm giá trị m dương để phương trình
x3 −(m+ 1)x2+ (m+ 2)x−2 =
có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3 cho
x1 +
x2 +
x3 = b) Chox, y số thực tùy ý Chứng minh
x4+y4+ 4x2y2 ≥3(x3y+xy3)
Bài a) Cho hai số nguyên dươnga,bthỏa mãn a+
b +
b+
a số nguyên Chứng minh ước số chung lớn a b khơng lớn hơn√a+b
b) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn
4x+ 17 =y2
Bài Cho đoạn thẳngAB có trung điểm O Trên nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường tròn đường kính AB nửa đường trịn (O0) đường kính AO Trên (O0) lấy điểm M (khác A O), tia OM cắt (O) N, gọi P giao điểm thứ hai AN với (O0)
a) Chứng minh tam giác AP M cân
b) Đường thẳng AM cắt OP H Đường tròn ngoại tiếp tam giác N OH cắt (O) điểm thứ hai Q Chứng minh A, M,Q thẳng hàng
c) ChoQAB[ = 600 Chứng minh AQ= 6HM
Bài Cho tam giác ABC cân tạiA Ab= 360 Chứng minh
AB
BC =
(53)46 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đắk Lắk 2012-2013
Bài a) Giải phương trình
√
x2+ 2x=−2x2−
4x+ b) Chứng minh
P = 1.2.3 2002
1 + 2+
1
3+ + 2001 +
1 2002
chia hết cho 2003
Bài a) Tìm nghiệm nguyên phương trình
3xy+ 6x+y−52 = b) Tìm số thực x, y thỏa mãn
2x
x2+ 1 =y
2−
4y+
Bài Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R Gọi C điểm thuộc (O)
(0< CA < CB) QuaB vẽ đường thẳng d vng góc với đường thẳngAB, tiếp tuyến
C cắt đường thẳngd D đường thẳng AB E,OC cắt đường thẳng d F a) Chứng minh BCEF hình thang
b) Gọi G giao điểm AC EF Giả sử tứ giác ODCG hình bình hành Tính
OF theo R
Bài Xác định góc tam giác ABC biết AC < AB, đường cao AH đường trung tuyến AM chia góc BAC[ thành ba phần
Bài Cho số thực x thay đổi thỏa mãn điều kiện x2+ (3−x)2 ≥5 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
(54)47 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đắk Lắk 2014-2015
Bài a) Cho x=√3
2 + Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức A= 5x5−15x4 + 14x3−12x2−3x+ 22+ 2014
b) Giải hệ phương trình
(
x2+ 8y2 = 12
x3+ 2xy2+ 12y = 0
Bài a) Tìm nghiệm nguyên phương trình
6x2+ 5y2+z2+ 2yz−4xz−34 =
b) Cho 2014 số tự nhiên đôi khác nhỏ 4026 Chứng minh tồn ba số 2014 số mà số tổng hai số
c) Cho a, b, clà độ dài ba cạnh tam giác có chu vi bằng3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
A= (b+c−a)
3
2a +
(c+a−b)3
2b +
(a+b−c)3 2c
Bài Cho hình vng M N P Q điểm A nằm tam giác M N P cho
AM2 =AP2+ 2AN2
Tính \P AN
Bài Cho đưòng tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC Từ điểm D cung AB không chứaC (Dkhác A vàB) hạ đuờng vng góc đến cạnh AB, BC,CA M, N,P Chứng minh
AB
DM =
BC
DN +
CA
(55)48 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đắk Lắk 2015-2016
Bài Cho phương trình tham sốm sau
x4−2(m+ 4)x2+m2+
a) Giải phương trình với m=
b) Tìm tất giá trị củam để phương trình có bốn nghiệm phân biệt x1,x2, x3,x4
thỏa mãn điều kiện
x41+x42+x43+x44+ 240
Bài a) Giải hệ phương trình
(
x3+ 6x2y = 7
2y3+ 3xy2 = 5
b) Giải phương trình
√
x2+ 4x+ 12 = 2x−4 +√x+ 1.
Bài a) Tìm tất số x,y nguyên dương thỏa mãn phương trình
1
x +
1
y +
1 617
b) Tìm số tự nhiên bé có bốn chữ số biết chia cho7được số dư2và bình phương chia cho 11được số dư
Bài Cho tam giácABC nhọn nội tiếp đường tròn(I) Gọi H trực tâm tam giác
ABC Hai đường thẳng BH CH cắt P Q (khác B C)
a) Chứng minh IA vuong góc với P Q
b) Trên hai đoạn thẳngHB HC lấy hai điểmM,N choAM vng góc vớiM C, AN vng góc với N B Chứng
Bài Cho tam giác AM N cân b) Cho tam giác ABC có BAC[ = 2CBA[ = 4ACB[ Chứng minh
1
AB =
1
BC +
1
CA
Bài Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x+y+z = Chứng minh
350
xy+yz+zx +
386
(56)49 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đắk Lắk 2017-2018
Bài Cho biểu thức tham sốm sau
f(x) = x2−(2m+ 3)x+m2−1
a) Tìm giá trị m để phương trình f(x) = có hai nghiệm dương phân biệt b) Tìm giá trị x để giá trị nhỏ củaf(x)là 2017
4
Bài a) Giải phương trình
√
x2 + 2x−x−1 + x−1
√
x2+ 2x
b) Giải phương trình
(√3x+ 4−√3x+ 2)(1 +√9x2+ 18x+ 8) = 2
Bài a) Tìm số nguyên tố psao cho 13p+ lập phương số tự nhiên b) Tìm hai số x, y nguyên dương cho
(x+ 2)2−6(y−1)2+xy= 24
Bài a) Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a
b+c+
b
c+a +
4c
a+b >2
b) Cho số dương a, b, cthỏa mãn điều kiện
(
a2+b2+c2 = 11
ab+bc+ca =
Chứng minh
3 ≤a, b, c≤3
Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi (P) (Q) theo thứ tự đường tròn nội tiếp tam giácAHB tam giácAHC Kẻ tiếp tuyến chung (khác
BC) hai đường trịn (P)và (Q), cắtAB, AH, AC theo thứ tự M, K, N
a) Chứng minh tam giác HP Qđồng dạng với tam giác ABC b) Chứng minh P K kAB tứ giácBM N C tứ giác nội tiếp
c) Chứng minh năm điểm A, M,P, Q,N nằm đường tròn
(57)50 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đắk Lắk 2013-2014
Bài a) Giải phương trình
(x2 −2x−3)(x2+ 10x+ 21) = 25 b) Giải hệ phương trình
4
√
x +
r
10−
y =
4
√
y +
r
10−
x =
Bài a) Tìm số tự nhiên lớn cho số2015 viết dạng 2015 =a1+a2+
+an với a1, a2, , an hợp số
b) Tìm số dư chia 20122013+ 20152014 cho11.
c) Choa, b, c >0 cho √ab+√bc+√ac= Chứng minh a
1 + b
a
+ b
1 + c
b
+ c
1 + a
c
≥1
Bài Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Gọi C điểm cung AB, M điểm cung AC Tia phân giác COM\ cắt BM điểm D Chứng minh điểm M di động cung AC điểm D thuộc đường tròn cố đinh
Bài Cho tam giác ABC Lấy điểm P tùy ý tam giác ABC Từ điểm P hạ P D, P E, P F vng góc tới cạnh BC, CA, AB Tính tỉ số
BD+CE+AF
(58)51 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Điện Biên 2014-2015
Bài Cho biểu thức
P =
√
x+
√
xy+ +
√
xy+√x
√
xy−1 −1
:
√
x+
√
xy+ −
√
xy+√x
√
xy−1 +
a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P
b) Tính giá trị P x= 2−√3, y=
√
3 +
√
3−1
Bài Cho phương trìnhm tham số m sau
x2−2 (m+ 1)x+m2+ = a) Giải phương trình với m=
b) Tìmm để phương trình có hai nghiệmx1,x2 thỏa mãn
x21 + (m+ 1)x2 ≤2m2 + 8m+ 2014
Bài a) Giải phương trình
√
5x−1−√3x−2 =√x−1 b) Giải hệ phương trình
(x−1) (xy−x2) = 3
x2−2x+y= 4.
Bài Trên hai cạnh Ox, Oy góc vng xOy lấy hai điểm A B cho
OA = OB Một đường thẳng qua A cắt OB M (M đoạn OB) Từ B kẻ
đường thẳng vng góc với AM cắt AM H, cắt AO kéo dài I
a) Chứng minh rằngOI =OM tứ giác OM HI nội tiếp đường tròn b) Từ O kẻ đường thẳng vng góc vớiBI K Chứng minh OK =KH Điểm K di động đường cố định M di động OB?
Bài Cho tam giácABC nội tiếp đường tròn(O) Trên cạnhBC lấy điểmD, cạnhCA lấy điểmE, cạnh ABlấy điểm F cho tứ giácAF DE tứ giác nội tiếp Kéo dài AD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC giao điểm thứ hai M(M 6=A) Chứng minh rằngSDEF =
EF2
BC2 ·
M D
AD Từ suy SDEF ≤
EF2
4AD2
Bài a) Cho sốx, y dương thỏa mãnx2+y2 = 8 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = √
1 +x3 +
p
1 +y3
(59)52 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đồng Nai 2012-2013
Bài Chứng minh x =
q
6−3p2 +√3−
q
2 +p2 +√3 nghiệm phương trình
x4−16x2+ 32 =
Bài Giải hệ phương trình
(
2x(x+ 1)(y+ 1) =−6 2y(x+ 1)(y+ 1) =
Bài Cho tam giác M N P có cạnh Lấy n điểm thuộc cạnh bên tam giác cho khoảng cách hai điểm tùy ý lớn Tìm n lớn thỏa mãn điều kiện cho
Bài Chứng minh 10số nguyên dương liên tiếp khơng tồn hai số có ước chung lớn
Bài Cho tam giác ABC không cân, ngoại tiếp (I) Gọi D, E, F tiếp điểm BC, CA, AB với (I) Gọi M giao điểm đường thẳng EF với BC, biết AD cắt (I) N Gọi K giao điểm AI EF Chứng minh
(60)53 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đồng Nai 2013-2014
Bài a) Giải phương trình
x4+x2−12 = (x∈R)
b) Giải hệ phương trình
(
2x−3y =−5 7x+ 11y =−23
Bài Cho a∈R, a≥2và biểu thức
P =
√
a2pa+ 2√a−1 +pa−2√a−1
√
a2−2a+ 1
a) Rút gọn biểu thức P
b) Chứng minh a số thực a≥2 P ≥4
Bài Cho phương trình
x2+ 2x−2m=
a) Tìm giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt
b) Cho m số thực dương Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình cho Biết
x1 > x2, tính U =
1
x1
−
x2
theo m
Bài Cho hàm số (P) : y = 2x2 và d: y =kx= −2 (với k là tham số thực) a) Vẽ
đồ thị(P)của hàm số cho b) Tìm k để điểm M(xM;yM)thuộc hai đồ thị(P) vàd
đã cho, biết yM = xM >0
Bài Nếu cho hai vòi nước chảy vào bể (chưa có nước) thời gian
12phút đầy bể Nếu mở vịi thứ chảy 20phút vòi thứ hai chảy 45
phút
12 bể Khi mở riêng vịi Tính thời gian để vòi chảy riêng
đầy bể
Bài Cho đường trịn (O) tâm O đường kínhAB = 2R Lấy điểmC thuộc đường tròn
(O), với C 6≡ A, B Lấy điểm D thuộc cung nhỏ BC đường tròn (O), với D 6≡ B, C Tiếp tuyến đường tròn (O) điểm B cắt đường thẳng AC, AD theo thứ tự điểm M, N
a) Chứng minh tứ giácCDN M tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh AD·AN =AC·AM = 4R2
(61)54 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đồng Nai 2014-2015
Bài a) Tìm số thực x y thỏa
x2+ 9y2−2x+ 6y+ = b) Cho số thực x thỏa
2 < x <
1 +√5
2 Chứng minh 2x3−3x2−x+ 1<0
Bài a) Cho phương trình
xn+2−12xn+1+ 29xn = 0,
vớin số nguyên dương Chứng minh hai số6 +√7và6−√7là nghiệm phương trình cho với số nguyên dương n
b) Cho
P =
2
h
(6 +√7)10+ (6−√7)10i Chứng minh giá trị P là1 số nguyên
Bài Giải hệ phương trình
(
x2 = 2y2−y+ 3x−5
y2 =x2+x−3y−2
Bài Cho hai số nguyên dương a b có ước chung lớn là1 Biết ab lập phương số nguyên dương Chứng minh a lập phương số nguyên dương
Bài Cho tập hợp
S ={m ∈N,126 ≤m≤2014,6|m}
a) Tính số phần tử tập hợp S
b) Tính số phần tử tập hợp ước 126126 không bội 13
Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) tâm O Lấy điểm D thuộc cung AB đường trịn(O)khơng chứaC,Dkhơng trùngAvàB Vẽ đường thẳngaquaDvng
góc AD, biết đường thẳng a cắt đoạn BC điểm M (M không trùng B, C) Gọi K
trung điểmDM Đường trung trực đoạn thẳng DM cắt cạnh AB, AC, BD,AM E,F, N, I (N không trùng B, F không trùng C)
a) Chứng minh BCN F tứ giác nội tiếp
(62)55 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đồng Nai 2015-2016
Bài a) Giải phương trình
x4−48x2+ 36 = b) Tìmm để hai đường thẳng sau song song với
y= (m2+ 5m+ 8)x+ 2m
y= 2x−6
c) Trục thức
1
√
3 +√2 +
Bài a) Tìmm để phương trình x2−4x+m+ = 0có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn
x31+x32 = 28 b) Tìm số thực x y thỏa
(
3x+ 2y =
x3+y2 = 2
c) Cho số thực a, b, c thỏa a+b+c= 6, ab+bc+ca= 12 Chứng minh
a=b=c=
Bài Cho số nguyên dương a, b, cthỏa
a +
1
b =
1
c Chứng minh tích abc số chẵn
Bài Viết tất số nguyên dương liên tiếp từ1đến1000được dãy số:1,2, ,999,1000 Tính số chữ số 9trong dãy số cho
Bài Cho tam giácABC Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giácABC Đường trung trực đoạn IC cắt đường thẳng AI, BI, BC, CAtương ứng điểm D,E, F, H
a) Chứng minh tứ giácIF CH hình thoi
b) Chứng minh tứ giácAIHE nội tiếp đường tròn Chứng tỏ năm điểm A, B,C, D,E thuộc đường tròn
(63)56 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đồng Nai 2016-2017
Bài Cho biểu thức sau vớix≥0, x6=
A= x
x−4 +
1
√
x−2+
1
√
x+
a) Rút gọn A b) Tìmx để A=
4
Bài Cho phương trìnhx2−mx+m−2 = 0, m tham số a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với m b) Tìmm để phương trình có hai nghiệmx1, x2 thỏa x1−x2 =
√
5
Bài Cho a, b, c số thực không âm thỏaa+b+c= Chứng minh
ab+bc+ca≤3, a2b+b2c+c2a≤4
Bài Cho tam giác ABC có bán kính đường trịn nội tiếp r độ dài đường cao x, y, z
a) Chứng minh
1
x+
1
y +
1
z =
1
r
b) Cho biết r= x, y, z số nguyên dương Chứng minh tam giác ABC
Bài Từ điểmM nằm ngồi đường trịn (ω) tâmO, vẽ đến(ω)hai tiếp tuyến M A, M B cát tuyến M CD,C nằm M D Gọi H giao điểmM O AB
a) Chứng minh M A2 =M C·M D.
b) Chứng minh tứ giácCDOH nội tiếp
(64)57 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đồng Nai 2017-2018 (Vòng 1)
Bài Cho a≥0và a 6= biểu thức
P =
a+√a
a√a+a+√a+ +
1
a+
:
√
a−1
a+
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm số tự nhiên a khác 1sao cho biểu thức P nhận giá trị nguyên
Bài a) Giải phương trình
(x+ 1)(x+ 2)(x+ 3)(x+ 4) = 24 b) Giải hệ phương trình
(
x2−4xy+x+ 4y = 2
x2−y2 =−3
Bài Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình x2−x−5 = Lập phương trình
bậc hai nhận 2x1+x2 x1+ 2x2 làm nghiệm
a) Tìm cặp số nguyên (x;y)thỏa mãn
x2+ 2y2−2xy−4x+ 8y+ = b) Cho ba số thực không âm a, b, c Chứng minh
ab(b2+bc+ca) +bc(c2+ca+ab) +ca(a2+ab+bc)≤(ab+bc+ca)(a2+b2+c2)
Bài Trong mặt phẳng tọa độ cho ngũ giác lồiABCDE có đỉnh A,B,C,D, E điểm nguyên Chứng minh có điểm nguyên M nằm bên thuộc cạnh ngũ giác cho, vớiM khác đỉnh ngũ giác cho (Một điểm gọi điểm nguyên hoành độ tung độ điểm dó số nguyên)
Bài Cho tam giác ABC có ba góc CAB,[ ABC,[ BCA[ góc nhọn Đường trịn tâm O đường kính BC cắt hai cạnh AB, AC hai điểm M, N; với M khácB,
N khácC Hai tia phân giác hai góc CAB,[ OM N\ cắt P
a) Chứng minh OM N\ =CAB Chứng minh tứ giác[ AM P N nội tiếp đường tròn b) Gọi Q giao điểm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác BM P CN P, với Q khácP Chứng minh ba điểmB,Q, C thẳng hàng
c) Gọi O1, O2, O3 tâm ba đường tròn ngoại tiếp ba tam giác AM N,
(65)58 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đồng Nai 2017-2018 (Vòng 2)
Bài Cho biểu thức tham sốm sau
f(x) = x2−(2m+ 3)x+m2−1
a) Tìm giá trị tham sốm để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt b) Tìm giá trị x để giá trị nhỏ củaf(x)là 2017
4
Bài a) Giải phương trình
√
x2+ 2x−x−1 + √2(x−1)
x2+ 2x =
b) Giải phương trình
(√3x+ 4−√3x+ 2)(1 +√9x2+ 18x+ 8) = 2.
Bài a) Tìm số nguyên tố psao cho 13p+ lập phương số tự nhiên b) Tìm hai số x, y nguyên dương cho
(x+ 2)2−6(y−1)2+xy= 24
Bài a) Cho số dương a, b, c Chứng minh a
b+c+
b
c+a +
4c
a+b >2
b) Cho số dương a, b, cthỏa mãn điều kiện
(
a2+b2+c2 = 11
ab+bc+ca =
Chứng minh
3 ≤a, b, c≤3
Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi (P) (Q) theo thứ tự đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB tam giác AHC Kẻ tiếp tuyến chung ngồi (khác BC) hai đường trịn (P)và (Q) cắtAB, AH,AC theo thứ tự M, K, N
a) Chứng minh tam giác HP Qđồng dạng với tam giác ABC b) Chứng minh P K song song vớiAB tứ giác BM N C nội tiếp
c) Chứng minh năm điểm A, M,P, Q,N nằm đường tròn
(66)59 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đồng Tháp 2017-2018
Bài a) Cho biểu thức
Q= (x
2−x−6)(x2+ 2x−3) (x2−9)(x+ 2)2
với x6=±3,x6=−2 Rút gọn Q tính giá trị biểu thứcQ x=
b) Giải phương trình
3
s
x2−
4+
r
x2+x+
4 = 2(2x
3+x2+ 2x+ 1).
Bài a) Giải hệ phương trình
(
x+y+xy = 11
x2+y2+xy = 19
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng(d) :y−2m+ = (m tham số) parabol (P) : y=x2 Tìm m để (P) cắt (d) hai điểm A, B cho tam giác AOB tính diện tích tam giác
Bài a) Cho phương trình x2−(2m+ 1)x−3 = 0 (m là tham số) Giả sử phương trình
đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọim Tìm giá trị nhỏ
H =x21+x22−6x1x2
b) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x3 +y3+z3 = 1 Chứng minh bất đẳng thức sau
x2
√
1−x2 +
y2
p
1−y2 +
z2
√
1−z2 ≥2
Bài Để tạo sân chơi cho học sinh tham gia hoạt động tìm hiểu hình ảnh người Đồng Tháp, Đồn Thanh niên Cộng sản Hồ Chí Minh trường tổ chức hội thi “Đồng Tháp trái tim tôi” với nội dung hoạt động khởi nghiệp, du lịch trải nghiệm địa danh, nét văn hóa đặc trưng làng nghề, ăn, trái, tỉnh Sau hai vòng thi Ban tổ chức chọn ba đội xuất sắc Hoa Sen, Hoa Súng, Hoa Tràm vào chung kết Theo quy định Ban tổ chức hội thi, đội phải trả lời 12 câu hỏi, câu trả lời cộng10điểm, câu trả lời sai trừ3điểm, câu khơng trả lời khơng điểm Trải qua câu hỏi đội Hoa Sen 61 điểm Hỏi đội Hoa Sen trả lời đúng, sai không trả lời câu hỏi?
Bài Thực đổi phương pháp dạy học, đổi kiểm tra đánh giá theo hướng phát triển lực học sinh, tiết dạy hình học, giáo viên ứng dụng công nghệ thông tin, sử dụng phần mềm biểu diễn cho học sinh quan sát trực quan Cụ thể: Hình thang cân ABCD (AB song song với CD), có AB = 30cm, CD = 54cm đường
cao AH = 9cm Cho hình thang quay quanh cạnh đáy CD Em giúp bạn tính
(67)b) Diện tích mặt ngồi hình tạo thành
Bài Cho tam giácABC vng tạiA có phân giác trongAM (M thuộcBC) vàABC[ = 600 QuaM vẽ đường thẳng vng góc với cạnh BC cắt đoạn thẳng AC tại N, cắt đường
thẳng AB P
a) Chứng minh tứ giácP AM C nội tiếp đường tròn tam giácP M C vuông cân
b) GọiO tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácP BC,I trung điểm P C Chứng minh ba điểm M, O,I thẳng hàng M O song song vớiBN
c) Chứng minh P N C\=P OC[
(68)60 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Gia Lai 2014-2015 (Vòng 1)
Bài Cho biểu thức sau vớix≥0, x6= 1, x6=
A=
√
x+
2√x−2 −
√
x−1
2√x+ −
√
x−1
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị nguyên x đểA nhận giá trị nguyên
Bài Cho hàm sốy=x2 có đồ thị là(P)và đường thẳng(D)có phương trìnhy= 2x+3.
a) Tìm tọa độ giao điểm (P)và đường thẳng (D)
b) Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với (D) tiếp xúc với
(P)
Bài Cho phương trình tham sốm sau
x2−2mx+m2−m+ = a) Tìm giá trị m để phương trình cho có nghiệm
b) Giả sử x1, x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị m để biểu thức
Q=x21+x22−4x1x2
đạt giá trị lớn
Bài Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Các đường cao BD CE tam giác ABC cắt H (Dthuộc AC, E thuộc AB)
a) Chứng minh BCDE tứ giác nội tiếp
b) Đường thẳngOAcắt đường tròn(O)tại điểm thứ hai làM Chứng minhBM =CH c) Giả sử ACB[ = α, AB = x Tính diện tích hình viên phân giới hạn dây AB cung nhỏ AB theo a x
Bài Giải hệ phương trình
(
x2+y2 = 5
(69)61 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Gia Lai 2014-2015 (Vịng 2)
Bài a) Khơng dùng máy tính, rút gọn biểu thức A= (4 +√15)(√10−√6)
q
4−√15 b) Cho số thực khác không x, y chox+1
y y+
1
x số nguyên Chứng minh x3y3+
x3y3 số nguyên
Bài a) Giải phương trình
x2+
x2 =x−
2
x +
b) Giải hệ phương trình
(
x2+y2 −3xy =−1
9x3−2y3 = (x−y)(4xy−1)
Bài a) Gọix1,x2 hai nghiệm phương trình ĐặtX1 = 2x1−3x2,X2 = 2x2−3x1
Tìm phương trình bậc hai có hệ số nguyên nhận X1, X2 làm nghiệm
b) Hãy chia số 4; 6; 12; 15; 30thành hai nhóm (mỗi nhóm có số), lấy tích tất số nhóm GọiT tổng tích Tìm giá trị nhỏ
T
Bài Cho nửa đường tròn tâmO đường kính AB Gọi Ax, By tia vng góc với AB (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) M điểm thuộc nửa đường tròn (M khácA vàB) Tiếp tuyến nửa đường tròn tạiM cắt Axvà By E F Đường thẳngOE cắt AM P, đường thẳngOF cắt BM Q
a) Chứng minh tứ giácOP M Q hình chữ nhật
b) KẻM H vng góc vớiAB H Đường thẳng EB cắt M H I Chứng minhI trung điểm đoạn thẳng M H
c) ChoAB = 2R Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp DOEF Chứng minh
2< R r <3
(70)62 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Gia Lai 2017-2018
Bài Cho a, b, clà số thực khác 0, thỏa mãn
1
a +
1
b +
1
c
2
=
a2 +
1
b2 +
1
c2
Chứng minha3+b3+c3 = 3abc.
Bài a) Giải phương trình
4x2 = (3x−2)(√2x+ 1−1)2 b) Giải hệ phương trình
(
x2−2y2 =xy+x+y
x√2y−y√x−1 = 4x−4y
Bài a) Cho phương trình
(x−a)2[a(x−a)2−a−1] + =
Tìm tất giá trị tham sốa để phương trình có số nghiệm dương nhiều số nghiệm âm
b) Choa,b, clà số dương thỏa mãn
1 +a +
2017 2017 +b +
2018
2018 +c ≤1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =abc
Bài Cho hình vng ABCD có cạnh a, M điểm thuộc cạnh AB
(M khácA B) GọiE giao điểm tiaCM tia DA Trên tia đối tiaBA lấy
điểm F cho BF =DE Gọi N trung điểm đoạn EF a) Chứng minh hai tam giác EAC N CB đồng dạng
b) Xác định vị trí điểm M cạnh AB cho diện tích tứ giác ACF E gấp sáu lần diện tích hình vng ABCD
(71)63 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Hà Nội 2013-2014
Bài a) Tìm số tự nhiênn để 72013+ 3n có chữ số hàng đơn vị là 8.
b) Choa,b số tự nhiên lớn 2và p số tự nhiên thỏa mãn
1
p =
1
a2 +
1
b2
Chứng minhp hợp số
Bài a) Tìm số nguyênx, y thỏa mãn
x2−3y2+ 2xy−2x+ 6y−8 = b) Giải hệ phương trình
(
2x2+xy+ 3y2−2y−4 = 0 3x2+ 5y2+ 4x−12 =
Bài Cho a,b số thực thỏa mãn a+b+ 4ab= 4a2+ 4b2 Tìm giá trị lớn của
biểu thức
A= 20(a3+b3)−6(a2+b2) + 2013
Bài Cho tam giác ABC khơng phải tam giác cân Đường trịn(O)tiếp xúc vói BC, AC, AB M,N, P Đường thẳngN P cắt BO, CO tạiE F
a) Chứng minh OEN\ vàOCA[ bù b) Bốn điểm B, C, E,F thuộc đường tròn
c) Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp OEF Chứng minh O, M, K thẳng hàng
Bài Trong mặt phẳng cho điểm A1, A2, , A6 khơng có điểm thẳng
hàng ba điểm ln có hai điểm có khoảng cách nhỏ 671 Chứng minh điểm cho tồn ba điểm ba đỉnh tam giác có chu vi nhỏ
(72)64 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Hà Nội 2014-2015 (Chun Tốn)
Bài a) Giải phương trình
x(5x3+ 2)−2(√2x+ 1−1) = b) Giải hệ phương trình
(
x2(4y+ 1)−2y =−3
x2(x2 −12y) + 4y2 = 9
Bài a) Chứng minh n số nguyên dương
25n+ 7n−4n(3n+ 5n)
chia hết cho 65
b) Giải phương trình nghiệm nguyên
x2y+xy−2x2−3x+ = c) Tìm số tự nhiên(a1, a2, , a2014) thỏa mãn
(
a1+a2 + +a2014 ≥20142
a2
1+a22 + +a22014 ≤20143 +
Bài Cho x, y, z >0 x+y+z = Tìm giá trị lớn
Q= x
x+√x+yz +
y
y+√y+zx +
z
z+√z+xy
Bài Cho tam giác đềuABC nội tiếp đường tròn (O), H trung điểmBC M điểm thuộc BH (M khác B) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA cho CN = BM Gọi I trung điểm M N
a) Chứng minh bốn điểmO, M, H, I thuộc đường tròn b) Gọi P giao điểm OI AB Chứng minh tam giác M N P c) Xác định vị trí điểmM để chu vi tam giác IAB nhỏ
(73)65 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Hà Nội 2014-2015 (Chuyên Tin)
Bài a) Giải phương trình
5x4+ 2x+ 2−2√2x+ = b) Giải hệ phương trình
(
x(2y+ 1)−y =−3
x2+y2−6xy =
Bài a) Chứng minh n số nguyên dương
5n(5n+ 3n)−2n(9n+ 11n)
chia hết cho 11
b) Giải phương trình nghiệm nguyên
5x2+y2−2xy+ 2x−2y−4 =
c) Chứng minh 2014 số nguyên dươnga1, a2, , a2014 thỏa mãn
a2
+
a2
+ +
a2 2014
≥4
ln tìm ba số
Bài Cho x, y, z >0 x+y+z = Chứng minh
1−x2
x+yz +
1−y2
y+zx +
1−z2
z+xy ≥6
Bài Cho tam giác đềuABC nội tiếp đường tròn (O), H trung điểmBC M điểm thuộc BH (M khác B) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA cho CN = BM Gọi I trung điểm M N
a) Chứng minh bốn điểmO, M, H, I thuộc đường tròn b) Xác định vị trí củaM để đoạn thẳng M N nhỏ
c) Khi M thay đổi thỏa mãn điều kiện đề bài, chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi
Bài Cho tập hợp A gồm 36số tự nhiên liên tiếp từ đến 36 Chứng minh
(74)66 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Thành phố Hà Nội 2017-2018 (Chuyên Toán)
Bài a) Giải phương trình
√
6x−x2+ 2x2−12x+ 15 = 0.
b) Giải hệ phương trình
4x2 =y+
y
4y2 =x+
x
Bài a) Cho plàm số nguyên tố lớn hơn3 Chứng minh rằng2017−p3 chia hết cho
24
b) Cho a, b, clà số nguyên dương Chứng minh a+b+ 2√ab+c2 không phải
là số nguyên tố
Bài Cho số thực dươngx, y, z thỏa mãn x2+y2 +z2 = 3 Chứng minh
x
3−yz + y
3−zx + z
3−xy ≤
3
Bài Cho tam giác nhọn ABC (với AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, D hình chiếu điểm I đường thẳng BC Glà giao điểm thứ hai đường thẳngADvới đường trịn(O) Gọi F điểm cung lớn BC đường tròn (O) Đường thẳngF G cắt đường thẳng ID điểm H
a) Chứng minh tứ giácIBHC tứ giác nội tiếp
b) Gọi J giao điểm thứ hai đường thẳng AI với đường tròn ngoại tiếp tam giác
BIC Chứng minh BH =CJ
c) GọiN giao điểm thứ hai đường thẳng F H với đường tròn ngoại tiếp tam giác
BIC Chứng minh đường thẳng N J qua trung điểm cạnh BC
Bài Xét tập hợp S gồm số nguyên dương có tính chất: với hai phần tử phân biệt x, y thuộc S, ta ln có 30x−y
≥ xy Hỏi tập hợp S có nhiều bao
(75)67 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Hà Nội 2017-2018 (Chuyên Tin)
Bài a) Giải phương trình
√
5x−x2+ 2x2−10x+ = 0.
b) Giải hệ phương trình
(
x+y+xy =
√
x+√y =
Bài a) Tìm tất số nguyên dương x,y,z thỏa mãn
(
x+y+z =
3x2+ 2y2−z2 = 13
b) Cho số nguyên dươnga, b,cthỏa mãna2+b2 =c2 Chứng minh rằngabchia hết cho a+b+c
c) Tìm tất số tự nhiênnthỏa mãn 2n+ 1,3n+ 1là số phương và2n+
là số nguyên tố
Bài Cho số thực dương a,b,cthay đổi thỏa mãn
a2 +
1
b2 +
1
c2 = Tìm giá trị lớn
nhất biểu thức
P =
2a+b+c2 +
1
2b+c+a2 +
1 2c+a+b2
Bài Cho tam giác nhọn ABC (với AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) GọiDlà trung điểm cạnh BC,E hình chiếu A BC vàH trực tâm tam giácABC Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) điểm thứ haiF
a) Chứng minh BC2 = 4DA·DF.
b) Tia AD cắt đường tròn (O) điểm G Chứng minh bốn điểm A, G, E D thuộc đường tròn
c) Đường thẳngF E cắt đường tròn O điểm thứ haiK Chứng minh đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác GKE
(76)68 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Sư Phạm thành phố Hà Nội 2013-2014 (Vòng 1)
Bài a) Cho biểu thức
Q=
a−b
√
a+√b
3
+ 2a√a+b√b
3a3+ 3b√ab +
√
ab−a
a√a−b√a
với a, b >0, a6=b Chứng minh giá trị Q không phụ thuộc vào a,b
b) Các số thực a, b, c thỏa mãn a+b+c= Chứng minh đẳng thức
(a2+b2+c2)2 = 2(a4+b4+c4)
Bài Cho Parabol (P) :y=x2 và đường thẳng (d) :y=−mx+
2m2 (tham số m6= 0)
a) Chứng minh với m 6= 0, (d)cắt (P) hai điểm phân biệt b) Gọi A(x1;y1), B(x2;y2) hai giao điểm đó, tìm giá trị nhỏ
M =y12+y22
Bài Cho a, b, c số thực, a 6= b cho hai phương trình x2 +ax + = 0,
x2+bx+c= 0 có nghiệm chung hai phương trình x2+x+a = 0, x2+cx+b = 0 có
nghiệm chung Tính a+b+c
Bài Cho tam giácABC khơng cân có ba góc nhọn, nội tiếp đường trịn(O) Các đường cao AA1, BB1, CC1 cắt H, A1C1 cắt AC D X giao điểm thứ hai BD
và (O)
a) Chứng minh DX·DB =DC1·DA1
b) Gọi M trung điểm AC, chứng minhDH ⊥BM
Bài Các số thựcx, y, z thỏa mãn
(√
x+ 2011 +√y+ 2012 +√z+ 2013 =√y+ 2011 +√z+ 2012 +√x+ 2013
√
y+ 2011 +√z+ 2012 +√x+ 2013 =√z+ 2011 +√x+ 2012 +√y+ 2013
(77)69 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Sư Phạm thành phố Hà Nội 2013-2014 (Vòng 2)
Bài a) Choa, b, c số thực cho
(
(a+b)(b+c)(c+a) =abc
(a3+b3)(b3+c3)(c3+a3) =a3b3c3.
Chứng minh rằngabc =
b) Các số thực dương a, b thỏa mãn ab >2013a+ 2014b Chứng minh bất đẳng thức
a+b >(√2013 +√2014)2
Bài Tìm tất cặp số hữu tỉ(a;b) thỏa mãn hệ phương trình
(
x3−2y3 =x+ 4y
6x2−19xy+ 15y2 = 1
Bài Với số nguyên dương n, kí hiệu Sn tổng n số nguyên tố Chứng
minh dãy sốS1, S2, không tồn hai số phương liên tiếp
Bài Tam giácABC không cân nội tiếp (O), BD phân giác góc ABC Đường thẳng BD cắt (O) điểm thứ hai E Đường trịn (O1) đường kính DE cắt (O) điểm thứ
hai F
a) Chứng minh đường thẳng đối xứng với đường thẳngBF qua đường thẳngBD qua trung điểm AC
b) Biết tam giácABC vng tạiB.BAC[ = 600 bán kính(O)bằngR, tính bán kính
(O1) theo R
Bài Độ dài ba cạnh tam giác ABC ba số nguyên tố, chứng minh diện tích tam giác ABC khơng phải số nguyên
Bài Cho a1, a2, a11 số nguyên dương lớn hay 2, đôi khác
thỏa mãn a1+a2+ +a11 = 407 Tồn hay không số nguyên dương n cho tổng
(78)70 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội 2014-2015
Bài Cho số thực dươnga, b với a6=b Chứng minh đẳng thức sau
(a−b)3 (√a−√b)3 −b
√
b+ 2a√a
a√a−b√b +
3a+ 3√ab
b−a =
Bài Cho quãng đường AB dài 120km Lúc 7h sáng, xe máy từ A đến B Đi
4 quãng đường xe bị hỏng phải dừng lại sửa 10 phút tiếp đến B với vận
tốc nhỏ vận tốc lúc đầu 10km/h Biết xe máy đến B lúc 11 40 phút trưa ngày Giả sử vận tốc xe máy
4 quãng đường ban đầu không thay đổi vận tốc
của xe máy
4 qng đường cịn lại khơng thay đổi hỏi xe máy bị hỏng lúc
giờ
Bài Trong mặt phẳng tọa độOxy cho parabol (P) đường thẳng d xác định
(P) :y=x2
d:y= −2
3 (m+ 1)x+
với m tham số
a) Chứng minh với giá trị m đường thẳng d cắt parabol (P) điểm phân biệt
b) Gọi x1,x2 hoành dộ giao điểm d (P), đặt
f(x) =x3+ (m+ 1)x2−x
Chứng minh đẳng thức
f(x1)−f(x2) =
−1
2 (x1−x2)
Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) đường kính AC = 2R Gọi K M theo thứ tự chân đường cao hạ từ A C xuống BD, E giao điểm AC
BD, biết K thuộc đoạn BE (K 6=B, K 6=E).Đường thẳng quaK song song vớiBC cắt
AC P
a) Chứng minh tứ giácAKP D nội tiếp b) Chứng minh KP ⊥P M
c) Biết ABD\= 600 và AK =x TínhBD theo R và x.
Bài Giải phương trình
x(x2−56)
4−7x −
21x+ 22
(79)71 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội 2015-2016
Bài a) Choa≥0, a6= Rút gọn biểu thức
S =
q
6−4√2.3
q
20 + 14√2 +
q
(a+ 3).√a−3a−1 :
a−1
2 (√a−1)−1
b) Chox, y thỏa mãn0< x < 1, 0< y < 1và x
1−x+ y
1−y = Tính giá trị biểu thức
P =x+y+px2−xy+y2
Bài Một xe tải có chiều rộng 2,4m chiều cao 2,5m muốn qua cổng có hình parabol Biết khoảng cách hai chân cổng 4m khoảng cách từ đỉnh cổng (đỉnh parabol) tới chân cổng 2√5m (bỏ qua độ đáy cổng)
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi parabol (P) :y =ax2 với a <0 hình biểu diễn cổng mà xe tải muốn qua Chứng minh a=−1
b) Hỏi xe tải có qua cổng hay khơng? Tại sao?
Bài Cho hai số nguyên a b thỏa mãn
a2+b2 + = 2(ab+a+b) Chứng minha b hai số phương liên tiếp
Bài Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), M trung điểm cạnh BC, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Các đường cao AD,BE,CF tam giácABC đồng quy H Các tiếp tuyến với (O) B C cắt S Gọi X, Y giao điểm đường thẳngEF với đường thẳng BS, AO Chứng minh
a)M X ⊥BF
b) Hai tam giác SM X DHF đồng dạng c) EF
F Y =
BC
CD
(80)72 [Đáp án] Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Sư Phạm thành phố Hà Nội 2017-2018 (Vòng 1)
Bài Cho a, b >0,a 6=b,a+b 6=a2 biểu thức
P =
a3−a−2b− b
2
a
1−
r
1
a +
b a2
!
a+√a+b
:
a3+a2+ab+a2b
a2−b2 +
b
a−b
a) Chứng minh P =a−b
b) Tìma, b biết P = a3−b3 = 7 v
Bài Giả sửx, y thực phân biệt thỏa mãn
x2+ 1 +
1
y2+ 1 =
2
xy+ Tính
S =
x2 + 1 +
1
y2+ 1 +
2
xy+
Bài Cho Parabol(P) :y=x2 và đường thẳng (d) :y=−2ax−4a với a là tham số.
a) Tìm tọa độ (d)∩(P) a=−1
b) Tìmasao cho(d)∩(P)tại hai điểm phân biệt có hồnh độx1,x2 cho|x1|+|x2|=
Bài Anh Nam xe đạp từ A đến C Trên AB ban đầu với B A, C Nam với vận tốc không đổi a(km/h) Thời gian là1,5(h) Trên BC, Nam với vận tốc thời điểm tkể từ B v =−8t+a Quãng đường từB đến thời điểmt làS =−4t2+at.
Tính AB biết đến C xe dừng hẳn BC = 16 km
Bài Cho (O, R) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Tiếp tuyến đường tròn B, C cắt tạiP P D⊥AB, P E⊥AC.M trung điểm BC
a) Chứng minh M EP\ =M DP\
b) Giả sử B, C cố định, A chạy (O) cho 4ABC nhọn Chứng minhDE qua điểm cố định
c) Khi v4ABC Tính SADE theo R
Bài Cho x1, x2, , x9 ∈R không âm thỏa mãn
(
x1+x2+ +x9 = 10
x1+ 2x2+ + 9x9 = 18
Chứng minh
1.19x1+ 2.18x2+ + 9.11x9 ≥270
(81)73 [Đáp án] Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Sư Phạm thành phố Hà Nội 2017-2018 (Vòng 2)
Bài Cho a, b, c, d >0 Chứng minh bốn số
a2+1
b +
1
c, b
2 +1
c +
1
d, c
2 +
d +
1
a, d
2 +1
a +
1
b có số không nhỏ
Bài Giải phương trình
p
(x2+ 2x)2+ 4(x+ 1)2−px2+ (x+ 1)2+ (x2+x)2 = 2017.
a) Tìma, b, c, d∈Z+ sao cho
a2 =b3
c3 =d4
a =d+ 98
b) Tìmx∈R cho bốn số
x−√2, x2+ 2√2, x−
x, x+
1
x có số khơng ngun
Bài Cho đường trịn (O, R); M ngồi (O) Kẻ tiếp tuyến M A, M B tới (O) Trên AB
lấy C Gọi I, K trung điểm M A, M C Đường thẳng KA cắt (O)tại D
a) Chứng minh KO2−KM2 =R2.
b) Chứng minh BCDM nội tiếp
c)M D∩(O)≡E,KE∩(O)≡F, N trung điểmKE Chứng minhI,A, N,F đồng viên
(82)74 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội 2014-2015 (Vòng 1)
Bài a) Giải hệ phương trình
(√x+ +√1−x)(2√1−x2+ 2) = 8.
b) Giải hệ phương trình
(
x2−xy+y2 = 1
x2+xy+ 2y2 = 4
Bài a) Giả sử x, y, z số thực dương thoả mãn điều kiện x+y+z =xyz Chứng minh
x
1 +x2 + 2y
1 +y2 + 3z
1 +z2 =
xyz(5x+ 4y+ 3z)
(x+y)(y+z)(z+x)
b) Tìm nghiệm nguyên phương trình
x2y2(x+y) +x+y= +xy
Bài Cho tam giác ABC nhọn với AB < BC D điểm thuộc cạnh BC cho AD phân giác ABC[ Đường thẳng qua C song song với AD cắt trung trực AC E Đường thẳng qua B song song vớiAD cắt trung trực AB F
a) Chứng minh 4ABF đồng dạng với 4ACE b) Chứng minh AD, BE, CF đồng quy G
c) Đường thẳng qua Gsong song vớiAE cắt BF ởQ Đường thẳng QE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác GEC tạiP Chứng minh 5điểmA,P,G,Q,F thuộc đường tròn
Bài Giả sửa, b, c số thực dương ab+bc+ca= Chứng minh
2abc(a+b+c)≤
9 +a
(83)75 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội 2014-2015 (Vòng 2)
Bài a) Giả sử x, y số thực dương phân biệt thoả mãn y
x+y +
2y2
x2+y2 +
4y4
x4+y4 +
8y8
x8−y8 =
Chứng minh rằng4x= 5y b) Giải hệ phương trình
(
2x2−3y2+xy = 12
6x+x2y = 12 + 6y+y2x
Bài a) Chox, y số nguyên lớn 1sao cho
4x2y2−7x+ 7y số phương Chứng minh x=y
b) Giả sử x, y số thực không âm thoả mãn x3+y3+xy=x2+y2 Tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức
P = +
√
x
2 +√y +
2 +√x
1 +√y
Bài Cho tam giácABC nội tiếp(O)và điểm P nằm tam giác choBP =P C Dlà điểm nằm trênBC (Dnằm giữaB vàC) choP nằm đường tròn ngoại tiếp tam giácDAB đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC Đường thẳng P B cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB E khác B Đường thẳng P C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC F khácC
a) Chứng minh bốn điểmA,E, P,F thuộc đường tròn
b) Giả sử đường thẳngADcắt (O)tạiQkhácA, đường thẳngAF cắt đường thẳng CQ
tại L Chứng minh 4ABE đồng dạng với 4CLF
c) Gọi K giao điểm đường thẳng AE đường thẳng QB Chứng minh
\
QKL+P AB[ =\QLK+P AC.[
Bài Cho tập hợpA gồm 31phần tử dãy gồm m tập hợp củaA thỏa mãn đồng thời điều kiện sau
• tập thuộc dãy m có hai phần tử,
• hai tập thuộc dãy có chung hai phần tử số phần tử hai tập khác
(84)76 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội 2015-2016 (Vòng 1)
Bài a) Giả sử a, blà hai số thực phân biệt thỏa mãn
a2+ 3a =b2+ 3b =
Chứng minh rằnga+b =−3 a3+b3 =−45.
b) Giải hệ phương trình
(
2x+ 3y = 5xy
4x2+y2 = 5xy2
Bài a) Tìm số nguyênx, y không nhỏ 2sao cho
(x−1)(y−1)|(xy−1)
b) Với x, y số thực thỏa mãn đẳng thức x2y2+ 2y+ = 0 Tìm giá trị lớn và
nhỏ biểu thức
P = xy
3y+
Bài Cho tam giác nhọn ABC khơng cân có tâm đường trịn nội tiếp làI.Đường thẳng
AI cắt BC D Gọi E, F điểm đối xứng D qua IC IB
a) Chứng minh EF song song vớiBC
b) Gọi M, N, J trung điểm đoạn thẳng DE, DF, EF Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AF N P khácA Chứng minh bốn điểmM, P, N, J thuộc đường tròn
c) Chứng minh ba điểm A, J, P thẳng hàng
Bài Cho bảng vng2015×2015 Kí hiệu (i, j)là hàng thứi cột j Ta viết số nguyên dương từ đến 2015 vào ô bảng theo quy tắc sau
• Số1 viết vào ô(1; 1)
• Nếuk viết vào ô(i, j) (i >1), sốk+ viết vào (i−1;j+ 1),
• Nếu sốk viết vào (1, j) sốk+ 1được viết vào (j+ 1; 1) (như hình vẽ)
1 10
2
4
7
Khi số 2015 viết vào ô(m;n) Hãy xác định m n
Bài Choa, b, clà số thực dương thỏa mãn ab+bc+ac+abc≤4 Chứng minh
(85)77 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội 2015-2016 (Vòng 2)
Bài a) Choa, b, c số thực thỏa mãn
(3a+ 3b+ 3c)3 = 24 + (3a+b−c)3+ (3b+c−a)3+ (3c+a−b)3 Chứng minh
(a+ 2b)(b+ 2c)(c+ 2a) = b) Giải hệ phương trình
(
2x+ 2y+xy =
27(x+y) +y3+ 7 = 26x3+ 27x2+ 9x
Bài a) Tìm số tự nhiên n đển+ vàn+ 30đều số phương (số phương bình phương số nguyên)
b) Tìmx, y nguyên thỏa mãn đẳng thức
1 +px+y+ =√x+√y
c) Giả sử x, y, z số thực lớn Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = √ x
y+z−4 +
y
√
z+x−4+
z
√
x+y−4
Bài Cho tam giác ABC nhọn không cân với AB < AC GọiM trung điểm đoạn thẳngBC Gọi H hình chiếu vng góc B đoạnAM Trên tia đối tiaAM lấy điểm N cho AN = 2M H
a) Chứng minh BN =AC
b) Gọi Q điểm đối xứng với A qua N Đường thẳng AC cắt BQ D Chứng minh bốn điểm B, D, N, C thuộc đường tròn, gọi đường tròn (O)
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD cắt (O) G khác D Chứng minh N G song song vớiBC
Bài Ký hiệuS tập hợp gồm2015 điểm phân biệt mặt phẳng Giả sử tất điểm củaS không nằm đường thẳng Chứng minh có nhất2015
(86)78 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội 2016-2017 (Vòng 1)
Bài a) Giải hệ phương trình
(
x3+y3+xy(x+y) = 4
(xy+ 1)(x2+y2) = 4
b) Giải phương trình
√
7x+ 2−√5−x= 8x−3
Bài a) Tìm tât giá trị tham số m cho tồn cặp số nguyên (x;y)thỏa mãn hệ phương trình
(
2 +mxy2 = 3m
2 +m(x2+y2) = 6m
b) Với x, y số thực thỏa mãn điều kiện 0< x ≤y≤ 2, 2x+y ≥2xy, tìm giá trị lớn biểu thức
P =x2 x2+ 1+y2 y2+
Bài Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB < AC Phân giác
[
BAC cắt BC Dvà cắt(O)tại E khácA.M trung điểm đoạn thẳng AD Đường thẳng BM cắt (O)tại P khác B Giả sử đường thẳng EP AC cắt tạiN
a) Chứng minh AP N M nội tiếp N trung điểm AC
b) Giả sử đường tròn (K) ngoại tiếp tam giác EM N cắt đường thẳng AC Q khác N Chứng minh B Q đối xứng qua AE
c) Giả sử (K) cắt đường thẳng BM R khác M Chứng minh RA⊥RC
(87)79 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội 2016-2017 (Vòng 2)
Bài a) Giải hệ phương trình
(
x2+ 4y2 = 5
4x2y+ 8xy2+ 5x+ 10y = 1
b) Giải phương trình
√
5x2+ 6x+ = 64x 3+ 4x 5x2+ 6x+ 6
Bài a) Vớix, y số nguyên thỏa mãn đẳng thức
x2−1
2 =
y2−1
3
Chứng minh rằngx2−y2 chia hết cho40.
b) Tìm tất cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn đẳng thức
x4+ 2x2 =y3
Bài Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O) P điểm thuộc cung nhỏ AD đường tròn (O)và P khác A, D Các đường thẳng P B, P C lần lược cắt AD M, N Đường trung trực AM cắt đường thẳng AC, P B E, K Đường trung trực DN cắt đường thẳng BD, P C F,L
a) Chứng minh ba điểm K, O, Lthẳng hàng
b) Chứng minh đường thẳng P O qua trung điểm đọa thẳng EF
c) Giả sử đường thẳng EK cắt đường thẳng BD S, đường thẳngF L vàAC cắt T, đường thẳng ST cắt đường thẳng P B, P C U V Chứng minh bốn điểmK,L, V, U thuộc đường tròn
Bài Chứng minh với số tự nhiên n ≥ tồn cách xếp n
số 1,2,3, , n thành x1, x2, , xn cho xj 6=
xi+xk
2 với số (i;j;k) mà
(88)80 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội 2017-2018 (Vòng 1)
Bài a) Giải hệ phương trình
(
x2+y2−xy = 1
x+x2y = 2y3
b) Giải phương trình
2 (x+ 1)√x+ =√x+ +√1−x 2−√1−x2
Bài a) Chứng minh không tồn tạix, y nguyên thỏa mãn
12x2+ 26xy+ 15y2 = 4617
b) Choa, b > Tìm giá trị lớn
M = (a+b)
1
a3+b +
1
a+b3
−
ab
Bài Hình thoi ABCD với \BAD < 900 Đường tròn (I) nội tiếp 4ABD tiếp xúc BD,
BA J, L Trên LJ lấy K cho BK kID
a) Chứng minh CBK\ =ABI[ b) Chứng minh KC⊥KB
c) Chứng minh C,K,I,L đồng viên
Bài Tìmn∈Z+ sao cho tồn cách xếp số 1,2,3, , nthànha
1, a2, , an
(89)81 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội 2017-2018 (Vòng 2)
Bài Cho dãy (an), n ≥0 thỏa mãn
a0 =
1
3, an+1 =
a2 n 1−2a2
n
, ∀n∈N
Đặt bn =
a0a1 an
an+1
Chứng minh (bn)có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn
Bài Tìm f :R→R thỏa mãn
f((x−y)f(x)−f(y)) + (x+ 1)f(y−x) +x=
Bài Cho ∆ABC nội tiếp (O), Mlà điểm nằm cạnh BC Đường đối trung
gócM ∆M AB,∆M AC cắt (M AB),(M AC)lần thứ hai Q, R.P điểm
nằm đường thẳng BC thỏa mãn AP ⊥ AM Gọi Γ tiếp tuyến chung gần A (M AB), (M AC) Chứng minh Γtiếp xúc (P QR)
Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a3
b2−bc+c2 +
b3
c2−ca+a2 +
c3
a2−ab+b2 +
9
2(ab+bc+ca) ≥
Bài Tìm tất số nguyên dương n thỏa mãn với k nguyên dương, tồn m nguyên dương cho n ước m4+m3+m2+k.
Bài Cho∆ABC nội tiếp(O).M,N hai điểm cungBC không chứaAthỏa mãn
M N//BC tia AM nằm hai tia AB, AN P, Q hình chiếu M, N lên BC
E, F CA, AB thỏa mãn QE//AB, P F//AC K, L nằm AN, AM
cho EK ⊥AC, F L⊥AB Chứng minh OK =OL
Bài Chon ≥2là số nguyên dương Ta xét đa giác 2n đỉnh Ta điền số 0,1 vào đỉnh thỏa mãn số số số số Ta gọi tập 2k đỉnh cân 2k đỉnh đó, số số số số 1,k nguyên dương
(90)82 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Ngoại Ngữ Đại Học Quốc Gia thành phố Hà Nội 2014-2015
Bài Cho biểu thức
A=
x+ 2√x+
x√x−8 +
x+ 2√x+
x−1
:
3 + √
x−2 +
2
√
x+
a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị x đểA >1
Bài a) Giải phương trình
x2+ 2x+ = 3p(x2+ 1)(x+ 3).
b) Giải hệ phương trình
(
x2+y2 = 3−xy
x4+y4 = 2
Bài Cho phương trình
x2 −3(m+ 1)x+ 2m2 + 5m+ =
Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 x2 thỏa mãn
|x1+x2|= 2|x1−x2|
Bài Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC)nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường caoAH tam giác ABC Gọi P, Q chân đường cao kẻ từ H đến cạnh AB, AC
a) Chứng minh BCQP tứ giác nội tiếp
b) Hai đường thẳngP Q BC cắt tạiM Chứng minh M H2 =M B·M C c) Đường thẳngM A cắt đường tròn (O) K (K khácA)
Bài Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQP Chứng minh ba điểm I, H, K thẳng hàng Chứng minh
1 + 2+
3 22 +
4
23 + + 2014 22013 +
(91)83 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Amsterdam Hà Nội 2016-2017
Bài a) Chứng minh với số nguyên n n5+ 5n3−6n chia hết cho 30.
b) Cho số tự nhiên n thỏa mãn n(n+ 1) + không chia hết cho Chứng minh
2n2+n+ khơng phải số phương
Bài a) Giải hệ phương trình sau
x−2y−
x + =
x2−4xy+ 4y2−
x2 + =
b) Cho số thực x, y, z thỏa mãn
x2+y2+z2 = 2012 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
M = 2xy−yz −zx
Bài Cho đường tròn(O, R) dây cungBC cố định (BC <2R) Một điểmA di động đường tròn(O, R) cho tam giácABC tam giác nhọn Gọi AD đường cao H trực tâm tam giác ABC
a) Đường thẳng chứa phân giác ∠BHC cắt AB, AC tạiM N Chứng minh tam giác AM N cân
b) GọiE,F hình chiếu củaDlên BH,CH Chứng minh rằngOAvng góc vớiEF c) Đường trịn ngoại tiếp tam giác AM N cắt đường phân giác ∠BAC K Chứng minh rằngHK qua điểm cố định
Bài Tìm số nguyên dương x, y, z thỏa mãn
(x+ 1)(y+z) = xyz+
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R = 2cm Chứng minh số 17 điểmA1, A2, , A17 nằm tứ giácABCD ln tìm điểm mà
(92)84 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2004-2005 (Vòng 2)
Bài a) Giải phương trình
√
5 + 4x−√4 + 3x=√2 +x−√3 + 2x b) Giải hệ phương trình
2x2+x
y = 10
2
y2 +
x
y =
Bài Chứng minh số có dạng P = 22m+ 22004 với m nguyên dương không thể
là số phương
Bài Cho đa thức f(x) =x3−3x2+ 5x Giả sử x1là nghiệm phương trìnhf(x) = 17,
x2 nghiệm phương trìnhf(x) =−11 Chứng minh x1+x2 =
Bài Cho tam giác nhọn ABC Vẽ tia Ax,By vng góc vớiBC thuộc nửa mặt phẳng chứa điểm A, có bờ đường thẳng BC Gọi M trung điểm BC Đường thẳng qua M, vng góc với AB cắt AB, Bx thứ tự E, F Đường thẳng qua M vng góc với AC cắt AC, By I, K Gọi N giao điểm đường thẳng
AM F K Chứng minh tam giác M F K đồng dạng với tam giác N BC
Bài Cho hai phương trình
x2+√2
a+1
b
+25 =
x2+√3
b+
a
+75 16 =
(93)
85 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2004-2005 (Vòng 1)
Bài Cho a≥0và biểu thức
P = a
2+√a
a+√a+ −
a2+√a
a−√a+ +a
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị nhỏ lớn củaP 0≥a≥9
Bài Giả sử phương trình x2 +ax+m = 0 (a, m là tham số) có hai nghiệm là b, c.
Chứng minh
a)2(b2 +c2)≥a2
b)(a2+b2+c2)2 = 2(a4+b4+c4)
Bài a) Giải hệ phương trình
(
y = 2√y−1 +
y = 4√x−4−6
b) Tìm nghiệm [−1; 1] hệ phương trình ba ẩn sau
(
x+y+z =
x2000+y2002+z2004 = 2
Bài Cho đường tròn tâm O bán kínhR Từ điểm Aở ngồi đường trịn kẻ hai tiếp tuyếnAB,AC tới đường tròn (B,C tiếp điểm);Dlà điểm cung nhỏBC Tiếp tuyến tạidtạiDcủa đường tròn(O)cắtAB,AC tạiM,N Cho biếtBAC[ = 60◦
a) Tính chu vi tam giác AM N theo R
(94)86 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2013-2014
Bài a) Giải hệ phương trình
x2 +
y2 =
x−
y −
4x
y =−2
b) Giải phương trình
(3√x−√x+ 8)(4 + 3√x2+ 8x= 16(x−1)
Bài a) Cho ba số thựcx, y, z thỏa mãn
x+y+z = 6, (x−1)3+ (y−2)3+ (z−3)3 =
Tính giá trị biểu thức
(x−1)2013+ (y−2)2013+ (z−3)2013 b) Cho số thực dương x, y thỏa mãn
x2 +
1
y2 = Chứng minh
x2−4xy+ 6y2 + 2x≥6
Bài Tìm số nguyên dương a, b, c thỏa mãn đồng thời điều kiện a−b
√
5
b−c√5 số
hữu tỉ a2+b2+c2 là số nguyên tố.
Bài Cho tam giác ABC có AB = AC = a, BAC[ = 1200 Các tiếp tuyến đường tròn (A;AB) B C cắt D GọiM điểm di động cung nhỏBC đường tròn (A;AB) (M khác B, C) Tiếp tuyến M đường tròn (A;AB) cắt DB, DC E,F Gọi P, Q giao điểm đường thẳng AE, AF với đường thẳng BC
a) Chứng minh tứ giác ABEQ nội tiếp đường tròn đường thẳng AM, EQ, F P đồng quy
b) Xác định vị trí M cung nhỏ BC (A;AB) để diện tích tam giác AP Q nhỏ Tính giá trị theo a
(95)87 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2015-2016
Bài Cho số thựca, b, c, x, y thỏa mãn
a+b+c =
x
a +
y
b =
x+y
c
Chứng minh rằngxa2+yb2 = (x+y)c2
Bài a) Giải hệ phương trình
(√
3y−√x+y =x−2y
4x2y2−10x2y+ 8x2−10x+ 4 = 0
b) Choa, b > 0thỏa mãn √a+√b= Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P =√a+ +√b+
Bài a) Tìm số nguyên dươngx, y, z phân biệt thỏa
1
x +
1
y +
1
z =
b) Cho số nguyên dươnga, b, c nguyên tố Xét đa thức
P(x) = x2−(a+b)x+ab,
biết P(c) = c2 Chứng minh cP(a+b) số phương
Bài Cho tam giác nhọnABC cóAB > AC Các đường caoAD,BE, CF cắt H BC, EF gặp K Gọi M trung điểm cạnh BC (O), (O0) đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF, BKE Chứng minh
a)M E tiếp tuyến (O) (O0)
(96)88 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2014-2015 (Vòng 2)
Bài Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình x2 −x−1 = Khơng giải phương
trình, chứng minh P(x1) = P(x2)với P(x) = 3x−
√
33x+ 25
a) Giải phương trình
q
3 +√3 +x=x b) Giải hệ phương trình
(
x+y =√xy+
√
x2+ +py2+ 7 = 8
Bài a) Tìm số nguyênx, y, z khác 0thỏa mãn
(
x+y =xy+z
x2+y2 =z2
b) Choa, b, c không âm a+b+c= Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
P =√a+b+√b+c+√c+a
Bài Cho tam giác ABC vng Acó đường cao AH, cạnhBC lấy điểmE,F
cho CE =CA, BF =BA Gọi I, I1, I2 tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC, ABH, ACH M giao điểm BI AC Chứng minh a) Ba điểmA,I1, E thẳng hàng vàIE =IF
b) Đường thẳngF M tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giácII1I2
(97)89 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2014-2015 (Vòng 1)
Bài Cho biểu thức sau vớix >0,x6=
P =
−x
√
x(x−9) +
2
√
x−3 −
1
√
x+
:
√
x+ 3− √ x
x−3
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị x cho P = −1
Bài Cho phương trình
x2−2(m−2)x+m2 −2m+ =
với m tham số
a) Giải phương trình m=−1
b) Tìm tất giá trị củam để phương trình có nghiệm phân biệtx1,x2 thỏa mãn
|2(x1+x2) +x1x2|=
Bài a) Giải phương trình
√
2x+ 3−2√x+ =−1 b) Giải hệ phương trình
(
xy2+ 2y2−2 =x2+ 3x
x+y = 3√y−1
Bài Cho tam giác nhọnABC nội tiếp đường trịn tâmO, cóBAC[ = 450,BC =a Gọi
E, F tương ứng chân đường vng góc hạ từ B xuống AC , từ C xuống AB Gọi I điểm đối xứng O quaEF
a) Chứng minh BF OC,AEIF tứ giác nội tiếp đường trịn b) Tính EF theo a
Bài Biết phương trình
x4+ax3+bx2+ax+ =
(98)90 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2016-2017
Bài Cho ba sốa, b, cthỏa mãnc2+ 2(ab−bc−ca) = 0,b6=cvàa+b6=c Chứng minh
rằng
2a2−2ca+c2 2b2−2bc+c2 =
a−c
b−c
a) Giải phương trình
√
3x−1−√x+ = 3x2−2x−1 b) Giải hệ phương trình
6x+
x+y = 13
12(x2+xy+y2) +
(x+y)2 = 85
Bài a) Tìm số nguyên dương (x, y, z)thỏa mãn
(
x+y−z =
x3+y3−z2 = 0
b) Choa, b, c >0 thỏa mãn a+b+c= 2016 Tìm giá trị lớn
P = a
a+√2016a+bc +
b
b+√2016b+ca+
c
c+√2016c+ab
Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Điểm E thay đổi cung
nhỏ AB (E khácA B) Từ B C kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O),
tiếp tuyến cắt đường thẳng AE theo thứ tự tạiM N Gọi F giao điểm BN CM
a) Chứng minh M B·CN =BC2
b) Khi điểmE thay đổi cung nhỏ AB Chứng minh đường thẳngEF qua điểm cố định
Bài Trên đường tròn, lấy 1000 điểm phân biệt, điểm tô màu xanh màu đỏ xen kẻ Mỗi điểm gán với giá trị số thực khác không, giá trị điểm màu xanh tổng giá trị hai điểm màu đỏ kề với nó, giá trị điểm màu đỏ tích giá trị hai điểm màu xanh kề với Tính tổng giá trị
(99)91 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hải Dương 2007-2008
Bài a) Gọi a nghiệm phương trình √2x2+x−1 = 0 Khơng giải phương trình,
tính
A = p 2a−3
2(2a4 −2a+ 3) + 2a2
b) Tìma,b hữu tỉ thỏa mãn
3
a+b√3−
2
a−b√3 = 7−20
√
3
Bài Giải hệ phương trình
(x2+ 1)(y2+ 1) + 8xy = 0
x
x2+ 1 +
y
y2+ 1 =
−1
a) Cho số dương a, b, c thỏa mãn a2+b2−ab=c2 Chứng minh phương trình sau có hai nghiệm phân biệt
x2−2x+ (a−c)(b−c) =
b) Cho phương trình x2−x+p= 0 có hai nghiệm x
1,x2 dương Xác định p để
x41+x42−x51−x52 đạt giá trị lớn
Bài Cho tam giácABC nhọn, AB < AC Hai đường caoBD, CE cắt H; I trung điểmBC Hai đường tròn ngoại tiếp tam giácBEI vàCDI cắt ởK (khác I)
a) Chứng minh BDK\ =CEK.\
b)DE cắt BC M Chứng minh M,H, K thẳng hàng c) Chứng minh tứ giácBKDM nội tiếp
Bài Cho 19điểm, khơng có điểm thẳng hàng, nằm lục giác có cạnh bằng1 Chứng minh tồn tại1 tam giác có 1góc khơng vượt q
45◦ nằm nột đường trịn có bán kính nhỏ
(100)92 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hải Dương 2012-2013
Bài a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a2(b−2c) +b2(c−a) + 2c2(a−b) +abc b) Chox= q3
y−p
y2+ +q3
y+py2+ 1 Tính giá trị biểu thức
A=x4+x3y+ 3x2+xy−2y2 +
Bài a) Giải phương trình
(x2−4x+ 11)(x4 −8x2+ 21) = 35 b) Giải hệ phương trình
(
(x+√x2+ 2012)(y+py2+ 2012) = 0
x2+z2−a(y+z) + =
Bài a) Chứng minh với số ngun n n2+n+ 1 khơng chia hết cho9.
b) Xét phương trình
x2−m2x+ 2m+ =
Tìm giá trị nguyên dương m để phương trình có nghiệm ngun
Bài Cho tam giác ABC vng A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O Gọi D, E, F tiếp điểm (O) với cạnhAB, AC;BO cắt EF I; M điểm di chuyển đoạn CE
a) TínhBIF[
b) Gọi H giao điểm BM EF Chứng minh rằngAM =AB tứ giácABHI nội tiếp
(101)93 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hải Dương 2013-2014
Bài a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a2(b−2c) +b2(c−a) + 2c2(a−b) +abc b) Chox, y thỏa
x=
q
y−py2 + +
q
y+py2+ 1.
Tính giá trị biểu thức sau
A=x4+x3y+ 3x2+xy−2y2+
Bài a) Giải phương trình
(x2−4x+ 11)(x4 −8x2+ 21) = 35 b) Giải hệ phương trình
(x+√x2+ 2012)(y+py2+ 2012) = 2012
x2+z2−4(y+z) + 8 = 0
Bài a) Chứng minh với số nguyên n n2+n+ 1 khơng chia hết cho9.
b) Xét phương trình
x2−m2x+ 2m+ = Tìm m nguyên dương để phương trình có nghiệm ngun
Bài Cho tam giác ABC vng A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O Gọi D,E,F tiếp điểm của(O) với cạnhAB, AC,BC BO cắtEF I.M điểm di chuyển đoạn CE
a) Tính số đo góc BIF
b) Gọi H giao điểm BM EF Chứng minh AM = AB tứ giác ABHI nội tiếp
c) Gọi N giao điểm BM với cung nhỏ EF đường tròn (O), P Q hình chiếu củaN đường thẳng DE,DF Xác định vị trí M để độ dài đoạn P Q lớn
Bài Cho ba số a, b, cthỏa mãn 0≤a≤b≤c≤1 Tìm giá trị lớn biểu thức
B = (a+b+c+ 3)
1
a+ +
1
b+ +
1
c+
(102)94 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT tỉnh Hải Dương 2017-2018
Bài a) Giải phương trình
(2x−1)(x+ 2) = b) Giải hệ phương trình
(
3x+y = 3−x =y
Bài a) Cho hai đường thẳng (d) : y=−x+m (d0) : y = (m2−2)x+ Tìm m để
(d) (d0)song song với
b) Chox >0, x6= 1, x6= Rút gọn biểu thức
P =x−
√
x+
x−√x−2−
x
x−2√x
: 1−
√
x
2−√x
Bài a) Tháng đầu, hai tổ sản xuất 900 chi tiết máy Tháng thứ hai, cải tiến kỹ thuật nên tổ I vượt mức 10% tổ II vượt mức 12% so với tháng đầu, vậy, hai tổ sản xuất được1000 chi tiết máy Hỏi tháng đầu tổ sản xuất chi tiết máy?
b) Tìmm để phương trình ẩn x, tham số m sau x2+ 5x+ 3m−1 =
có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x31−x32+ 3x1x2 = 75
Bài Cho đường trịn tâm O bán kính R Từ điểm M ngồi đường trịn, kẻ hai tiếp tuyến M A M B với đường tròn (A, B tiếp điểm) Qua A, kẻ đường thẳng song song với M O cắt đường tròn tạiE (E khácA), đường thẳngM E cắt đường tròn
F (F khác E), đường thẳng AF cắt M O N,H giao điểm M O AB
a) Chứng minh tứ giácM AOB nội tiếp đường tròn b) Chứng minh M N2 =N F.N A và M N =N H.
c) Chứng minh HB
2
HF2 −
EF
M F =
Bài Cho x,y,z ba số thực dương thỏa mãnx+y+z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức
Q= x+
1 +y2 +
y+
1 +z2 +
z+
(103)95 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hải Dương 2014-2015 (Vòng 2)
Bài a) Cho số thực x thỏa mãn
√
x2 −6x+ 36 +√x2−6x+ 64 = 18.
Tính giá trị biểu thức
A=√4x2−24x+ 256−2√x2−6x+ 36.
b) Tính giá trị biểu thức B = 6x3+ 3x2 = 2014 với
x=
3
p
3 + 2√2 +p3 3−2√2
Bài a) Giải phương trình
x2−20x+ 24 + 8p3(x−1) = b) Giải hệ phương trình
√
x+ +√y = 13
√
x−2 +√y−3 = 11
2
Bài a) Tìm số nguyên tố n thỏa mãn 100 ≤ n ≤502 n = a3−b3 với a, b là số
tự nhiên
b) Tìm tất số hữu tỉ a, b, cthỏa mãn
a√4 +b√42 +c=
Bài Cho đường trịn (O), đường kính AB Đường thẳngd tiếp xúc với đường tròn (O)
tại A Gọi M,N hai điểm thay đổi đường thẳng dsao cho Anằm M N
AM ·AN khơng đổi BM, BN cắt đường trịn (O)lần lượt D, E a) Chứng minh tứ giácDEN M nội tiếp
b) Chứng minh DE qua điểm cố định M, N thay đổi
c) GọiK tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giácDEN M Chứng minh rằngK thuộc đường thẳng cố định
Bài Gọi x, y số thực thay đổi, thỏa mãn điều kiện: x > y > xy = Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = x
2+y2
(104)96 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hải Dương 2014-2015 (Vòng 1)
Bài a) Giải phương trình √
13−x=x−1 b) Rút gọn biểu thức
A= 10
√
x
x+ 3√x−4 −
2√x−3
√
x+ +
√
x+
1−√x với x≥0, x6=
Bài Cho Parabol(P) :y=x2 và đường thẳng (d) :y= (m˘1)x+m+ 4 (tham số m).
a) Với m= 2, tìm toạ độ giao điểm (P)và (d)
b) Tìmm để(d) cắt (P) hai điểm nằm hai phía trục tung
Bài a) Cho hệ phương trình
(
x+y = 3m+
3x−2y = 11−m
với tham số m Tìmm để hệ cho có nghiệm (x;y)thoả mãn x2˘y2 đạt giá trị lớn nhất.
b) Một ôtô dự định từ A đến B dài 80km với vận tốc dự định Thực tế nửa quãng đường đầu ôtô với vận tốc nhỏ vận tốc dự định 6km/h Trong nửa qng đường cịn lại ơtơ với vận tốc nhanh vận tốc dự định 12km/h Biết ôtô đến B thời gian dự định Tính vận tốc dự định ôtô
Bài Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AM, BN, CP tam giác ABC cắt H Dựng hình bình hành BHCD
a) Chứng minh tứ giácAP HN ABDC nội tiếp
b) Gọi E giao điểm củaAD BN Chứng minh AB.AH =AE.AC
c) Giả sử điểmB vàC cố định,Athay đổi cho tam giácABC nhọn gócBAC khơng đổi Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tứ giác AP HN có diện tích khơng đổi
Bài Cho x,y hai số dương thay đổi Tính giá trị nhỏ
P = (x+y)
2
x2+y2 +
(x+y)2
(105)97 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hải Dương 2017-2018
Bài a) Cho ba số x, y, z đôi khác thỏa mãn điều kiện x+y+z= Tính giá trị biểu thức
P = 2018(x−y)(y−z)(z−x) 2xy2+ 2yz2+ 2zx2+ 3xyz
b) Rút gọn biểu thức
Q= +ax
1−ax
r
1−bx
1 +bx với x=
a
r
2a−b
b 0< a < b <2a
Bài a) Giải phương trình:
x√2x+ + 3(√x+ + 1) = 3x+√2x2+ 13x+ 15 +√2x+ 3.
b) Giải hệ phương trình
(
x2+ 4y−13 + (x−3)p
x2+y−4 = 0
(x+y−3)√y+ (y−1)√x+y+ =x+ 3y−5
Bài a) Tìm nghiệm nguyên phương trình
x2+ 5y2−4xy+ 4x−4y+ =
b) Tìm tất số nguyên dương(x, y)thỏa mãnx2+ 3yvày2+ 3xlà số phương
Bài Cho hai đường trịn (O;R), (O0;R0) cắt hai điểm phân biệt A, B (A, O, B không thẳng hàng) Trên tia đối tia AB lấy điểmC, kẻ tiếp tuyếnCD,CE với (O), D, E tiếp điểm E nằm (O0) Đường thẳng AD,AE cắt (O0) M, N (M, N khác A) Đường thẳng DE cắt M N I, OO0 cắt AB DI tạiH F
a) Chứng minh F E·HD=F D·HE
b) Chứng minh M B·EB·DI =IB·AN ·BD c) Chứng minh O0I vng góc với M N
Bài Cho x, y, z ba số dương thỏa mãn
p
x2+y2+py2+z2+√z2+x2 = 6.
Tìm giá trị nhỏ biếu thức
M = x
2
y+z +
y2
x+z +
z2
(106)98 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Hải Phòng 2013-2014
Bài Cho
A=
√
x
√
x−2−
x−3
x+ 2√x+ −
7√x+ 10
x√x−8
:
√
x+
x+ 2√x+
Tìm x cho A <2
Bài Tìm m để phương trình
x2−(2m+ 4)x+ 3m+ =
có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn x2 = 2x1+
Bài Giải phương trình
√
5x−1−√3x+ 13 = x−7
Bài Cho hai điểm A, B cố định Một điểm C khác B di chuyển (O) đường kính AB cho AC > BC Tiếp tuyến C (O) cắt tiếp tuyến A D, cắt AB E Hạ AH vng góc CD H
a) Chứng AD·CE =CH·DE b) Chứng minh OD·BC số
c) Giả sử đường thẳng quaE vuông góc AB cắt AC,BD F, G Gọi I trung điểm AE Chứng minh trực tâm tam giác IF Glà điểm cố định
Bài a) Chứng minh x≥y ≥1thì
x+
x ≥y+
1
y b) Cho1≤a, b, c≤2 Chứng minh
(a+b+c)
1
a +
1
b +
1
c
≤10
Bài a) Cho a, b hai số nguyên dương thoả mãn a+ 20, b+ 13cùng chia hết 21 Tìm số dư phép chia A= 4a+ 9b+a+b cho 21
(107)99 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Hải Phòng 2015-2016
Bài a) Cho biểu thức
M = x√+
x +
x√x−8
x−2√x −
x√x+
x+ 2√x
Chứng minhM > 8, với x >0, x6= Tìm x để
M nhận giá trị nguyên b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol (P) :y=x2 đường thẳng
(d) :y = 2(m−3)x+ 4m+
với m tham số Tìm giá trị m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A(x1, y1)
B(x2, y2)sao cho biểu thức
T =x1x2+y1+y2
đạt giá trị nhỏ
Bài a) Giải phương trình x2
3 + 48
x2 = 10
x
3 −
x
b) Giải hệ phương trình
(
|xy−2| = 4−y2
x2−xy+ =
Bài Cho tứ giácABCD nội tiếp đường tròn O Hai tiaBA vàCD cắt tạiK Hai tia AD BC cắt I Gọi M, N trung điểm AC BD Các đường phân giác góc BKC\ góc BLA[ cắt tạiI Chứng minh
a)DKL\+DLK\=ABC[ KIL[ = 900
b)KM ·BD =KN ·AC LM ·BD=LN ·AC
c) Các đường phân giác gócBKC\, gócBLA[ đường thẳng M N đồng quy
Bài Cho x, y, z ba số thực dương Chứng minh x2
p
8x2+ 3y2 + 14xy +
y2
p
8y2+ 3z2+ 14yz +
z2
√
8z2+ 3x2+ 14zx >
x+y+z
5
Bài a) Tìm số x, y nguyên dương thỏa mãn phương trình
16(x3−y3) = 15xy+ 371
b) Trung tâm thành phố Hải Phịng có tất cả2016 bóng đèn chiếu sáng đô thị, bao gồm
(108)100 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Hải Phòng 2016-2017
Bài a) Cho biểu thức
P =
√
a3−√b3
a−b −
a
√
a+√b −
b
√
b−√a
với a, b >0 a khác b Thu gọn tính giá trị P biết
(a−1)(b−1) + 2√ab= b) Cho phương trìnhx2−x+b= 0có nghiệmx
1,x2 phương trìnhx2−97x+a=
có nghiệm x4
1,x42 Tìm giá trị a
Bài a) Giải phương trình
9x2−18x+ 3x2−4x−7 = b) Giải hệ phương trình
(√
2x+ 3y+√2x−3y = 3√2y
2√2x+ 3y−√2x−3y =
Bài Cho tam giácABC nhọn nội tiếp đường trịn tâmO cóAB < AC Các đường cao BD, CE cắt H (D thuộc AC, E thuộc AB) Gọi M trung điểm BC, tia M H cắt đường tròn (O) N
a) Chứng minh năm điểm A, D,H, E, N thuộc đường tròn
b) Lấy điểm P đoạnBC choBHP\ =CHM\,Qlà hình chiếu vng góc A đường thẳngHP Chứng minh tứ giác DEN Q hình thang cân
c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác M P Qtiếp xúc với đường tròn (O)
Bài Cho a, b, c >0 a+b+c≥9 Tìm giá trị nhỏ
A=
r
a2+ b
2 +
c2 +
r
1
a +
9
b +
25
c
Bài a) Tìm số nguyên m, n với m ≥ n ≥ cho (m+ 2n)3 ước
9n(m2 +mn+n2) + 16.
b) Trong dãy2016số thựca1, a2, a3, , a2016, ta đánh dấu tất số dương số mà
có tổng với số số liên tiếp liền sau số dương (ví dụ dãy −6, 5, −3, 3, 1, −1, −2,−3, , −2011ta đánh số a2 = 5,a3 =−3,
a4 = 3,a5 = 1) Chứng minh dãy cho có số dương tổng
(109)101 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Hải Phòng 2017-2018 (Vòng 1)
Bài Cho x≥0, x6= hai biểu thức
A=√45−√63√7−√5, B = √
x−1−
1
√
x+ +
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị củax để giá trị biểu thức A giá trị biểu thức B
Bài a) Điểm M(xM;yM) thuộc đường thẳng y = 3x+ cách trục hồnh khoảng
bằng Tìm tọa độ điểm M b) Giải hệ phương trình
(
3x+ 2y =
x+ 3y =
Bài Cho phương trình bậc hai với ẩn số x, tham số m sau x2−2(m−1)x+ 2m−3 = a) Giải phương trình với m=−1
b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1, x2 phương trình khơng phụ thuộc vào
tham sốm
Bài BM I (Body Mass Index) số thể đươc bác sĩ chuyên gia sức khỏe sử dụng để xác định tình trạng thể người có bị béo phì, thừa cân hay q gầy hay khơng Thơng thường, người ta dùng để tính tốn mức độ béo phì Nhược điểm sốBM I khơng thể tính lượng chất béo thể - yếu tố tiềm ẩn nguy liên quan đến sức khỏe tương lai Chỉ sốBM I tính sau BM I = p
h2 (P trọng lượng thể (kg);h chiều cao (m)) Ta tự đánh
giá số BM I thân sau
• IBM <18,5: gầy,
• 18,5< IBM <25: sức khỏe tốt,
• 25< IBM <30: thừa cân,
• IBM >30: béo phì
Chỉ số BM I khơng xác bạn vận động viên người tập thể hình (bởi múi ln nặng mỡ) số BM I bạn nằm mức béo, béo Nó khơng xác với bà bầu, cho bú hay người vừa ốm dậy Khi anh An khám sức khỏe, bác sĩ đo trọng lượng anh P(kg) chiều cao anh h(m) Biêt P số tự nhiên có hai chữ số chia hết cho chia cho11thì dư6; cịnh độ dài cạnh huyền tam giác vuông có hai cạnh góc vng 8dm và15dm Có thể nhận xét số BM I anh An
(110)a) Chứng minh tứ giácKEDC nội tiếp Xác định tâm đường tròn b) Chướng minh KB tia phân giác góc AKD.\
c) Tia DE cắt đường thẳng AB I Qua E kẻ đường thẳng vng góc với OA, cắt
AB H Chứng minh CH kKI
Bài Tính diện tích xung quanh hình trụ đứng có chu vi đường trịn đáy
13cmvà chiều cao 3cm
Bài a) Chox≥1, y≥1 Chứng minh
1 +x2 +
1 +y2 ≥
2 +xy Dấu đẳng thức xảy nào?
b) Chox≥1, y≥0 và6xy+ 2x−3y≤2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
A=
x2−4x+ 2 +
(111)102 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Hải Phòng 2017-2018 (Vòng 2)
Bài Cho x >0, x6= biểu thức
Q=
1
√
x−1 +
2
x−1
:
x+√x
√
x+ −
1−√x
√
x−x
a) Rút gọn biểu thức Q
b) Tìm giá trị củax để Q=−1
Bài Cho phương trình tham sốm sau
x2−2(m−1)x−2017m2−1 = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 thỏa mãn
x1 − x2
= 2018
Bài a) Giải phương trình
√
x+ 1−√x−7 = √12−x
b) Giải hệ phương trình
(
x3+xy2−10y =
x2+ 6y2 = 10
Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), Y cạnh CA, Z cạnh AB cho AZY >[ 900 Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AY Z, S là giao điểm
khácA AI với đường tròn (O)
a) Chứng minh SAC[ =AZY[ −900
b) GọiX giao điểm củaY Z vàBC,M giao điểm khácY đường tròn ngoại tiếp tam giác AY Z CXY Chứng minh M nằm đường tròn (O)
c) Gọi J, K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BZX CXY, T giao điểm củaAI vàBJ Chứng minh rằng6điểm T,O,M,I,J,K nằm đường tròn
Bài Cho số dươnga, b,c Chứng minh a4
b3 c+ 2a +
b4
c3 a+ 2b +
c4
a3 b+ 2c ≥1
Bài a) Chứng minh không tồn số tự nhiênx, y, z thỏa mãn x16+y16+ 2017 = z16
(112)các thi Toán nước giới như: Đề thi học sinh giỏi Toán quốc gia, Đề thi chọn đội tuyển Toán nước, Đề thi học sinh giỏi Toán Quốc tế Khu vực, , kỳ thi Tốn Sinh viên Tại Việt Nam, chúng tơi sưu tầm đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề thi tuyển sinh lớp 10, đề thi thử tuyển sinh đại học, Tại trang web
www.molympiad.com bạn tìm thấy nhiều tài liệu khác để rèn luyện học tập trước bước vào kỳ thi
TUYỂN TẬP CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN WWW.MOLYMPIAD.COM www.molympiad.com nhấn vào đây mẫu liên hệ. Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh An Giang 2016–2017 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh An Giang 2017–2018 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2007-2008 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu2014-2015 (Vòng 1) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu2014-2015 (Vòng 2) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu2016-2017 (Vòng 1) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu2016-2017 (Vòng 2) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu2017-2018 (Vòng 1) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu2017-2018 (Vòng 2) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Giang 2006-2007 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Giang 2010-2011 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Giang 2011-2012 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Giang 2012-2013 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Giang 2014-2015 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Giang 2015-2016 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Giang 2017-2018 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bạc Liêu 2017-2018 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Ninh 2012-2013 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Ninh 2016-2017 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bắc Ninh 2017-2018 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bến Tre 2014-2015 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Định 2016-2017 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chun tỉnh Bình Định 2017-2018(Vịng 1) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Định 2017-2018(Vòng 2) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Dương 2014-2015 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Dương 2017-2018 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Phước 2013-2014 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Phước 2015-2016 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Phước 2017-2018 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Thuận 2012-2013 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Thuận 2015-2016(Chuyên Tin) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chun tỉnh Bình Thuận 2015-2016(Chun Tốn) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Bình Thuận 2016-2017 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chun tỉnh Bình Thuận 2017-2018(Vịng 1) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chun tỉnh Bình Thuận 2017-2018(Vịng 2) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Cần Thơ 2017-2018 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Đà Nẵng 2005-2006 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Đà Nẵng 2009-2010 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Đà Nẵng 2011-2012(Chuyên Toán) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Đà Nẵng 2011-2012(Chuyên Tin) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Đà Nẵng 2012-2013 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Đà Nẵng 2016-2017 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Đà Nẵng 2017-2018 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đắk Lắk 2009-2010 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đắk Lắk 2011-2012 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đắk Lắk 2012-2013 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đắk Lắk 2014-2015 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đắk Lắk 2015-2016 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đắk Lắk 2017-2018 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đắk Lắk 2013-2014 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Điện Biên 2014-2015 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đồng Nai 2012-2013 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đồng Nai 2013-2014 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đồng Nai 2014-2015 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đồng Nai 2015-2016 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đồng Nai 2016-2017 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đồng Nai 2017-2018(Vòng 1) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đồng Nai 2017-2018(Vòng 2) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Đồng Tháp 2017-2018 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Gia Lai 2014-2015 (Vòng1) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Gia Lai 2014-2015 (Vòng2) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Gia Lai 2017-2018 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Hà Nội 2013-2014 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Hà Nội 2014-2015(Chuyên Toán) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Hà Nội 2014-2015(Chuyên Tin) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Thành phố Hà Nội 2017-2018(Chuyên Toán) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Hà Nội 2017-2018(Chuyên Tin) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Sư Phạm thành phố Hà Nội2013-2014 (Vòng 1) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Sư Phạm thành phố Hà Nội2013-2014 (Vòng 2) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội 2014-2015 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Sư Phạm Hà Nội 2015-2016 [Đáp án] Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Sư Phạm thành phốHà Nội 2017-2018 (Vòng 1) [Đáp án] Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Sư Phạm thành phốHà Nội 2017-2018 (Vòng 2) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội2014-2015 (Vòng 1) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội2014-2015 (Vòng 2) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội2015-2016 (Vòng 1) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội2015-2016 (Vòng 2) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội2016-2017 (Vòng 1) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội2016-2017 (Vòng 2) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội2017-2018 (Vòng 1) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội2017-2018 (Vòng 2) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Ngoại Ngữ Đại Học Quốc Giathành phố Hà Nội 2014-2015 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên Amsterdam Hà Nội 2016-2017 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2004-2005 (Vòng2) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2004-2005 (Vòng1) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2013-2014 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2015-2016 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2014-2015 (Vòng2) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2014-2015 (Vòng1) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hà Tĩnh 2016-2017 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hải Dương 2007-2008 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hải Dương 2012-2013 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hải Dương 2013-2014 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT tỉnh Hải Dương 2017-2018 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hải Dương 2014-2015(Vòng 2) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hải Dương 2014-2015(Vòng 1) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên tỉnh Hải Dương 2017-2018 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Hải Phòng 2013-2014 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Hải Phòng 2015-2016 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Hải Phòng2016-2017 Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Hải Phòng2017-2018 (Vòng 1) Đề thi Tuyển sinh Lớp 10 THPT Chuyên thành phố Hải Phòng2017-2018 (Vòng 2)