bộ đề luyện thi tuyển sinh lớp 10

B THI TH MễN TON THI TH MễN TON Thi gian lm bi: 120 phỳt Bi (2) Cho biu thc A= ữ: x +3 x x a) Tỡm iu kin xỏc nh, rỳt gn biu thc A b) Vi giỏ tr no ca x thỡ A > c) Tỡm x A t giỏ tr ln nht Bi (2) cho phng trỡnh x2 -2( m + )x +4m = a) Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca m b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim x1 v x2 tho iu kin x1 x2 + = x2 x1 Bi (1.5) i on ng t A n B, mt xe mỏy ó i ht 3h20 phỳt, cũn mt ụtụ ch i ht 2h30phỳt Tớnh chiu di quóng ng AB bit rng tc ca ụtụ ln hn tc xe mỏy 20km/h Bi (4) Bi (0.5) Cho a c ; b c CMR: c(a c) + c(b c) ab 1 + : Bi Cho biu thc P = ữ x +1 x +1 x a) Nờu iu kin xỏc nh v rỳt gn biu thc P b) Tỡm cỏc giỏ tr ca x P = c) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: M = x + 12 x P Bi 2.Cho phng trỡnh x2 + ( 2m )x m = a) Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim vi mi m b) Tỡm m A = x12 + x22 x1 x2 t gi tr nh nht Bi 3.Cú hai vũi nc, vũi chy y b 1,5 gi, vũi chy y b gi Ngi ta ó cho vũi chy mt thi gian, ri khúa li v cho vũi chy tip, tng cng 1,8 gi thỡ y b Hi mi vũi ó chy bao lõu? Bi 4.Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn (O;R) M l im di ng trờn cung ln BC , t M dng ng vuụng gúc vi AB ,BC v AC ln lc ti H, K ,P Chng minh : a) BKMH ni tip b) Tam giỏc MHK ng dng tam giỏc MAC c) Tỡm v trớ ca M di on HK t giỏ tr ln nht Bi 5.Cho a2+b2 CMR : -2 a + b x x 3x + x + 1ữ Bi Cho biu thc: D = ữ: x x + x x a) Tỡm KX, rỳt gn biu thc b) Tỡm x D < - c) Tỡm giỏ tr nh nht ca D Bi 2.Cho phng trỡnh bc hai x2 2(m + 1)x + m2 + = a)Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim phõn bit b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim l 2, tỡm nghim cũn li c) Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim x1 v x2 tho x12 +x 22 = Bi 3.Tng cỏc ch s hng chc v hai ln ch s hng n v ca mt s cú hai ch s bng 18 Nu i ch hai ch s cho thỡ c s mi ln hn s ban u l 54 Tỡm s ban u Bi 4.Cho on thng AB v mt im C nm gia A v B Ngi ta k trờn na mt phng b AB hai tia Ax v By vuụng gúc AB ,trờn tia Ax ly mt im I Tia vuụng gúc vi CI ti C ct tia By ti K ng trũn ng kớnh IC ct IK ti P Chng minh : a) T giỏc CPKB ni tip b) AI.BK = AC CB c) Tam giỏc APB vuụng d) Gi s A,B I c nh Hóy xỏc nh v trớ ca im C cho S ABKI ln nht Bi 5.Cho x , y , z > x+y+z=1 CMR: x+y 16 xyz Bi a+2 a a a 1ữ: + 1ữ Cho biu thc: P = a +2 a a) Tỡm KX, rỳt gn P b) Tỡm a Z P nhn giỏ tr nguyờn Bi Cho phng trỡnh: x + ( m ) x + m + = a) Gii phng trỡnh vi m = -1 b) Tỡm cỏc giỏ tr ca m phng trỡnh cú nghim x1, x2 tho x12 + x22 = 10 Bi 3.Mt ỏm t hỡnh ch nht cú chu vi 124m Nu tng chiu di 5m v chiu rng 3m thỡ din tớch tng thờm 225 m2 Tớnh kớch thc ca hỡnh ch nht ú Bi Cho ( O;R) v mt im A nm ngoi ng trũn T A k hai tip tuyn AB v AC v cỏt tuyn AMN ti ng trũn ( B,C,M,N nm trờn ng trũn v AM < AN ) Gi D l trung im ca MN , E l giao im th hai ca ng thng CD vi ng trũn a) CM: im A,B,O,D,C cựng nm trờn ng trũn ng kớnh AO b) CM: BE // MN c) Xỏc nh v trớ cỏt tuyn AMN din tớch tam giỏc AEN ln nht Bi 5.Cho a,b,c>0 CMR: a b c + + không a+b b+c c+a số tự nhiên Bi Cho biu thc B = ( ) 2( x + 1 ) x + +1 a) Tỡm x B cú ngha v rỳt gn B b) Tỡm x nguyờn B nhn giỏ tr nguyờn Bi Cho phng trỡnh: x mx + (m 1) = a) Gii phng trỡnh vi m = -1 b) Tỡm cỏc giỏ tr ca m phng trỡnh cú nghim x1, x2 tho x1 x2 + ( x1 + x2 ) 19 = Bi 3.Hai ngi hai a im A v B cỏch 3,6 km, hnh cựng mt lỳc ngc chiu v gp mt im cỏch A l 2km Nu c hai cựng gi nguyờn tc nhng ngi i chm hn xut phỏt trc ngi phỳt thỡ h s gp chớnh gia quóng ng Tớnh tc ca mi ngi Bi 4.Cho tam giỏc u ABC cnh a T mt im M trờn on BC v ng thng song song AB ct AC ti F , cng t M v ng thng song song AC ct AB ti E a) chng minh : t giỏc A F M B ni tip b) Chng minh : BF = CE c) Xỏc nh v trớ ca M trờn on BC din tớch tam giỏc MEF bng v din tớch) Bi 5.Cho a,b,c>0 ; a b CMR : a + b(a b) x2 x 2x + x ( x 1) + Bi Cho biu thc P = x + x +1 x x a) Tỡm KX, rỳt gn P b) Tỡm giỏ tr nh nht ca P c) Tỡm x biu thc Q = x nhn giỏ tr nguyờn P Bi 2.Cho phng trỡnh: mx2 2(m + 3)x + m + = a) Gii phng trỡnh vi m = a2 (n 16 b) Tỡm m cỏc phng trỡnh sau cú nghim kộp v tỡm nghim kộp ú Bi 3.Hai i cụng nhõn cựng lm mt on ng 24 ngy thỡ xong Mi ngy phn vic ca i A lm c nhiu gp ri i B Hi nu lm mt mỡnh thỡ mi i lm xong on ng ú bao lõu? Bi 4.Cho tam giỏc u ABC ni tip ( O;R ) Gi AI l ng kớnh c nh v D l im di ng trờn cung nh AC ( D khỏc A v C ) a) Tớnh cnh ca tam giỏc ABC theo R v chng t AI l phõn giỏc gúc BAC b) Trờn tia DB ly on DE = DC ,chng minh tam giỏc CDE u v DI vuụng gúc CE c) Tỡm Tp hp cỏc im E D di ng trờn cungnh AC ca ng trũn (O) d) Tớnh theo R din tớch tam giỏc ADI lỳc D l im chớnh gia cung nh AC Bi 5.Cho a + b + c = CMR: a + 2b + 3c 14 x +1 P = + : ữ Bi Cho biu thc: x x x x ( a) Tỡm KX v rỳt gn P ) b) Tỡm x P > Bi 2.Cho phng trỡnh: (1 + 4m)x2 4mx + m = a) Gii phng trỡnh vi m = b) Tỡm m cỏc phng trỡnh sau cú nghim kộp v tỡm nghim kộp ú Bi 3.: Mt chic thuyn hnh t bn sụng A Sau ú 5h20 mt chic cano chy t bn sụng A ui theo v gp chic thuyn ti mt im cỏch bn A 20km Hi tc ca thuyn, bit rng cano chy nhanh hn thuyn 12km Bi 4.Cho tam giỏc ABC ( AC = BC ) ni tip ng trũn (0) cú ng kớnh CD = 2R , ly mt im M trờn cung nh BC ( M B ,M C ) ,trờn tia AM ly im E cho ME = MB ( M nm gia A v E ) a) Chng minh MD // BE b) Kộo di CM ct BE ti I Chng minh BI = IE suy CA = CB = CE c) CMR : MA + MB CA + CB d) Gi s cung AB = 1200 ,Trờn tia i ca tia CD ly im N cho CA = CN Tỡm im K trờn ND ( theo R ) tam giỏc NEK vuụng ti E 1 Bi 5.Cho a,b,c>0 a+b+c =1 CMR : + a (1 + b )(1 + c ) 64 a +1 a +2 Bi Cho biu thc P = ữ ữ: a a a a a) Tỡm KX, rỳt gp P b) Tỡm giỏ tr ca a P > Bi 2.Cho phng trỡnh: (m 2)x2 mx + 2m = a) Gii phng trỡnh vi m = b) Tỡm m cỏc phng trỡnh sau cú nghim kộp v tỡm nghim kộp ú Bi 3.Mt ngi i xe p i t a im A n a im B cỏch 30km Khi t B tr v A, ngi ú chn ng khỏc d i hn nhng di hn ng c 6km Vỡ th, i v vi tc ln hn tc lỳc i l 3km/h nờn thi gian v ớt hn thi gian i 20 phỳt Tớnh tc lỳc i Bi 4.Cho tam giỏc ABC vuụng ti A ,ng cao AH ng trũn tõm ng kớnh AH ct AB v AC ln lc ti E v F ( E A, F A) Gi M,N,P ln lc l trung im cỏc on thng OH ,BH v CH Chng minh: a) AHF = ACB b) T giỏc BE FC ni tip c) im M l trc tõm tam giỏc ANP d) Chng minh rng nu S ABC = S AEHF thỡ tam giỏc ABC vuụng cõn Bi 5.Trong cỏc hỡnh bỡnh hnh cú hai ng chộo bng cm v cm ,hỡnh no cú din tớch ln nht ? Tớnh din tớch ln nht ú Bi Cho biu thc: P = x x + x x x +1 a) Tỡm KX, rỳt gn P b) Tỡm x P < Bi 2.Cho phng trỡnh bc hai (m 4)x2 2( m 2)x + m = a ) Tỡm m phng trnh cỳ hai nghim phõn bit 1 + =5 x1 x2 c) Tỡm h thc gia x1 v x2 c lp vi m b) Tỡm m Bi 3.Mt xớ nghip cú k hoch sn xut 180 tn dng c mt thi gian ó nh Nhng nh tinh thn thi ua, nờn mi ngy xớ nghip sn xut nhiu hn mc d kin tn; chng nhng rỳt ngn thi gian d nh ngy m cũn sn xut thờm 10 tn ngoi k hoch Hi thi gian d kin bao nhiờu ngy ? Mi ngy d kin lm bao nhiờu tn dng c ? Bi 4.Cho ng trũn (0;R) ng kớnh AB Gi Cl mt im bt kỡ thuc ng trũn ú ( C khỏc A v B ) , M v N ln lc l cỏc im chớnh gia ca cỏc cung nh AC v BC ,cỏc ng thng BN , AC ct ti I , cỏc dõy cung AN v BC ct P a) chng minh ICPN ni tip , xỏc nh tõm K ca ng trũn ngoi tip ú b) chng minh KN l tip tuyn ( 0;R) c) Chng minh rng C di ng trờn ng trũn (0;R) thỡ ng thng MN luụn tip xỳc vi mt ng trũn c nh Bi 5.Tớnh tớch s vi a b P = ( a + b )( a2 + b2 ) )( a4 + b4) a + b ( 2005 2005 ) 10 x x + (1 x) Bi Cho biu thc P = ữ x x + x + a) Tỡm KX, rỳt gn P b) Tỡm x P < Bi 2.Gii v bin lun phng trỡnh (m 2)x2 2(m + 1)x + m = theo tham s m Bi 3.Mt hi ng thi cú 390 thớ sinh phõn u cỏc phũng Nu xp mi phũng thi thờm thớ sinh thỡ s phũng thi s gim i phũng Hi lỳc u mi phũng thi d nh xp bao nhiờu thớ sinh ? Bi 4.T im S ngoi ng trũn (0) K hai tip tuyn SA,SB ti ng trũn ( A,B l tip im ) ng thng qua S ct ng trũn (0) ti D v E ( D nm gia S v E ) dõy DE khụng qua tõm (0) Gi H l trung im ca DE ; SE ct AB ti K a) chng minh: SA0B ni tip b) chng minh : HS l tia phõn giỏc ca gúc AHB c) chng minh : 1 = + SK SD SE a b c Bi 5.Cho a+b+c = , x+y + z = v x + y + z = Chng minh : a x2+by2 + cz2 = 11 Bi Cho biu thc : Q = ( 1 a +1 a +2 ):( ) a a a a a) Tỡm TX ri rỳt gn Q b) Tỡm a Q dng c) Tớnh giỏ tr ca biu thc a = - Bi 2.Cho phng trỡnh bc hai (m2 4)x2 2( m 2)x + = a ) Gii phng trỡnh vi m = b) Vi giỏ tr no ca m thỡ phng trỡnh cú hai nghim phõn bit x1, x2 tha 1 + = x1 x2 Bi 3.Cho hai s, s ny gp ba ln s Nu ta thờm vo mi s thỡ tng nghch o ca chỳng bng ắ Tỡm hai s ú? Bi 4.Cho tam giỏc ADC vuụng ti D cú ng cao DH ng trũn tõm O ng kớnh AH ct cnh AD ti im M (M#A); ng trũn tõm O/ng kớnh CH ct cnh DC ti im N ( N#C ) Chng minh : 1, T giỏc DMHN l hỡnh ch nht 2,T giỏc AMNC ni tip tronh mt ng trũn , MN l tip tuyn chung ca ng trũn ng kớnh AH v ng trũn ng kớnh OO/ Bi 5.Cho hai s t nhiờn a,b tho iu kin : a+b=2016 Tỡm giỏ tr ln nht ca tớch ab 12 a a a a + a Bi Cho biu thc : M = a) Tỡm TX ri rỳt gn M a a + a b) Tỡm giỏ tr ca a M = - Bi 1, Cho tam giỏc ABC vuụng ti A cú cnh AB = 21cm , AC = 2cm Quay tam giỏc ABC mt vũng quanh cnh gúc vuụng AB c nh , ta c mt hỡnh nún Tớnh th tớch hỡnh nún ú Bi 3.Tỡm s nguyờn dng liờn tip bit rng tng bỡnh phng ca hai s ln nht bng tng bỡnh phng ca s cũn li Bi 4.Cho (O) v mt im A nm ngoi (O) T A k hai tip tuyn AB, AC v cỏt tuyn AMN vi (O) (B, C, M, N cựng thuc (O); AM v a Bi Cho biu thc: P = ữ a + a a a) Rỳt gn biu thc P b) Vi nhng giỏ tr no ca a thỡ P > Bi 2.Cho phng trỡnh: 2x + (2m 1)x + m = a, Gii phng trỡnh vi m = b, Cmr: phng trỡnh trờn luụn cú nghim vi mi giỏ tr cu m c, Tỡm m phng trỡnh cú nghim x1, x2 tho 3x1- 4x2= Bi 3.Mt hỡnh ch nht cú chiu rng ngn hn chiu di 1cm Nu tng thờm chiu di ẳ ca nú thỡ din tớch hỡnh ch nht ú tng thờm 3cm Tớnh din tớch hỡnh ch nht ban u? Bi 4.Cho h phng trỡnh mx + ny = 2mx 3ny = Gii h phng trỡnh vi n = m = Tỡm giỏ tr ca n v m x = 2; y = l nghim ca h phng trỡnh Bi 5.Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim nht: + x + x (3 + x)(6 x) = m 15 Bi Cho biu thc : A = x 2x x vi ( x > v x 1) x x x 1) Rỳt gn biu thc A 2) Tớnh giỏ tr ca biu thc x = + 2 Bi 2.Cho h phng trỡnh mx + ny = 2mx 3ny = Gii h phng trỡnh vi n = m = Tỡm giỏ tr ca n v m x = 2; y = l nghim ca h phng trỡnh Bi 3.Mt hỡnh ch nht cú chu vi l 180m Nu bt mi chiu i thỡ din tớch ch cũn 1276m2 Tỡm di mi chiu? Bi 4.Cho ng trũn tõm O, ng kớnh EF; BC l mt dõy cung c nh vuụng gúc vi EF; A l im bt k trờn cung BFC ( A B, A C) 1/ CM: AE l phõn giỏc ca gúc BAC 2/ Trờn tia i ca tia AC ly im D cho AD = AB CM: BD// AE 3/ Gi I l trung im ca BD CM: I, A, F thng hng 4/ M l im bt k trờn dõy cung AB cho AM = k (k khụng i), qua M MB k ng thng d vuụng gúc vi AC Chng minh A thay i trờn cung BFC thỡ ng thng d luụn i qua mt im c nh Bi 5.Cho a, b, c l s dng tho món: abc = Tỡm giỏ tr nh nht ca M = a + b + c + ab + ac + bc 16 Bi Cho biu thc : P = a+4 a +4 a +2 + 4a a ( Vi a ; a ) 1) Rỳt gn biu thc P 2) Tỡm giỏ tr ca a cho P = a + Bi 2.Cho phng trỡnh : x2 - ax + a +b = ( a; b l tham s) 1/ Gii phng trỡnh vi a = 7; b = 2/ Tỡm giỏ tr ca a v b x1 = v x2 = l nghim ca phng trỡnh Bi 3.Mt ngi i theo chiu di ca mt cụng viờn hỡnh ch nht thỡ mt ht phỳt giõy v nu i theo chiu rng cụng viờn thỡ mt ht 39 giõy Ngi ta lm mt li i xung quanh cụng viờn rng 1,5m, nh th bn c cũn li l 5529m Tớnh cỏc chiu ca cụng viờn? Bi 4.Cho ng trũn tõm O, ng kớnh AB = 2R Gi C l trung im ca on OA, D l im nm trờn ng trũn cho BD = R ng trung trc ca on OA ct AD ti E v BD ti F: 1/ Tớnh gúc BOD BAD 2/ Tớnh di cỏc on: AE; EC v theo R ADB FCB 3/ CM: BE AF 4/ CM: 5/ Mt im M nm trờn ng trũn CMR: Khi M thay i trờn ng trũn thỡ trung im I ca on MD chy trờn mt ng trũn c nh , sỏc nh tõm v bỏn kớnh ng trũn ú Bi 5.Chng minh bt ng thc: n ( với n N , n > 2) 17 Bi Cho biu thc : A = x +1 x x + x + x x +1 1) Tỡm KX v rỳt gn biu thc A 2) Vi giỏ tr no ca x thỡ A < -1 Bi 2.Gii phng trỡnh x6 x5 + x4 x3 + x2 x + =0 Bi 3.Ngi ta trn 8g cht lng ny vi 6g cht lng khỏc cú lng riờng nh hn l 0,2g/cm3 c mt hn hp cú lng riờng l 0,7g/cm Tỡm lng riờng ca mi cht lng? Bi 4.Cho na ng trũn tõm O, ng kớnh AB = 2R v mt im M bt k trờn na ng trũn ( M A; M B ) , ng thng d tip sỳc vi na ng trũnti M v ct ng trung trcca AB ti I ng trũntõm I tip sỳc vi AB v ct ng thngd ti E v F (F nm gúc BOM ) a/Chng minh OE v OF theo th t l phõn giỏc ca AOM BOM b/ Chng minh: EA EB= R2 3/ Xỏc nh v trớ ca M trờn na ng trũn dien tớch t giỏc AEFB nh nht Bi 5.Cho a , b , c > CMR : a b c + + bc ca ab 1 2( a + b - c ) 18 Bi Cho biu thc : A = (1 + x+ x x x )(1 ) x +1 x (Vi x 0; x ) a) Rỳt gn A b) Tỡm x A = - Bi 2.Cho phng trỡnh x + x + = ( 1) a) Gii phng trỡnh ( 1) b) Gi x1; x2 l hai nghim ca phng trỡnh ( 1) Hóy tớnh giỏ tr ca biu thc B = x13 + x23 Bi 3.Mt ming kim loi nng 880g, ming kim loi th hai nng 858g Th tớch ming th nht nh hn ming th hai l 10cm3, nhng lng riờng ca ming th nht ln hn l 1g/cm3 Tỡm lng riờng ca mi kim loi? Bi 4.Cho hai ng trũn (O) v (O), tip xỳc ngoi ti A K tip tuyn chung ngoi DE, D ẻ (O), E ẻ (O) K tip tuyn chung ti A, ct DE ti I Gi M l giao im ca OI v AD, M l giao im ca OI v AE a) T giỏc AMIN l hỡnh gỡ? Vỡ sao? b) Chng minh h thc IM.IO = IN.IO c) Chng minh OO l tip tuyn ca ng trũn cú ng kớnh DE d) Tớnh DE bit OA = 5cm; OA = 3,2cm Bi 5.Tỡm giỏ tr ca x biu thc: M = ( x 1) x + t giỏ tr nh nht v tỡm giỏ tr nh nht ú 19 Bi Cho biu thc : B = x x +2 + x x a) Tỡm KX v rỳt gn biu thc B b) Tớnh giỏ tr ca B vi x = c) Tớnh giỏ tr ca x A = Bi 2.Cho phng trỡnh x x + = gi x1 ; x2 l hai nghim ca phng trỡnh 1) Khụng gii phng trỡnh hóy tớnh giỏ tr ca cỏc biu thc sau: a) x1 + x2 ; x1.x2 b) x13 + x23 2) Xỏc nh phng trỡnh bc hai nhn x12 x2 v x22 x1 l nghim Bi 3.Hai ngi i xe p cựng hnh ti mt a im v hai hng vuụng gúc vi Sau gi h cỏch 60km theo ng chim bay Tỡm tc ca mi ngi Bit rng tc ca ngi ny hn tc ngi l 6km/h Mt chic thuyn hnh t bn sụng A Sau ú 5h20 mt chic cano chy t bn sụng A ui theo v gp chic thuyn ti mt im cỏch bn A 20km Hi tc ca thuyn, bit rng cano chy nhanh hn thuyn 12km Bi 4.Cho tam giỏc ABC vuụng ti A ng cao AH chia cnh huyn thnh hai on: BH = 4cm; CH = 9cm Gi D, E theo th t ú l chõn ng vuụng gúc h t H xung AB v AC a) Tớnh di on thng DE? b) Chng minh ng thc AE.AC = AD.AB? c) Gi cỏc ng trũn (O), (M), (N) theo th t ngoi tip cỏc tam giỏc ABC, DHB, EHC Xỏc nh v trớ tng i gia cỏc ng trũn: (M) v (N); (M) v (O); (N) v (O)? d) Chng minh DE l tip tuyn chung ca hai ng trũn (M) v (N) v l tip tuyn ca ng trũn ng kớnh MN? Bi 5.Cho b, c l hai s tho h thc: 1 + = b c Chng minh rng hai phng trỡnh di õy cú ớt nht mt phng trỡnh cú nghim: ax2 + bx + c = v x2 + cx + b = 20 Bi Cho biu thc : P= x +1 x + x x +2 + 2+5 x x a) Tỡm TX ri rỳt gn P b) Tỡm x P = Bi 2.Cho phng trỡnh x x + = gi x1 ; x2 l hai nghim ca phng trỡnh 1) Khụng gii phng trỡnh hóy tớnh giỏ tr ca cỏc biu thc sau: a) x1 + x2 ; x1.x2 b) x13 + x23 2) Xỏc nh phng trỡnh bc hai nhn x1 3x2 v x2 3x1 l nghim Bi 3.Mt ngi i xe p i t a im A n a im B cỏch 30km Khi t B tr v A, ngi ú chn ng khỏc d i hn nhng di hn ng c 6km Vỡ th, i v vi tc ln hn tc lỳc i l 3km/h nờn thi gian v ớt hn thi gian i 20 phỳt Tớnh tc lỳc i Bi 4.Cho tam giac ABC cú gúc A tự, ng trũn (O) ng kớnh AB ct ng trũn (O) ng kớnh AC ti giao im th hai l H Mt ng thng d quay quanh A ct (O) v (O) th t ti M v N cho A nm gia M v N a) Chng minh H thuc cnh BC v t giỏc BCNM l hỡnh thang vuụng b) Chng minh t s HM: HN khụng i c) Gi I l trung im ca MN, K l trung im ca BC Chng minh A, H, K, I cựng thuc mt ng trũn v I chy trờn mt cung trũn c nh d) Xỏc nh v trớ ca ng thng d din tớch t giỏc BMNC ln nht Bi 5.Cho a,b,c ba cạnh tam giác CMR : 1 1 1 + + 2( + + ) pa p b p c a b c với p = a+b+c Gi ý gii Hỡnh cú din tớch ln nhỏt: B H O A B C A OH C D D h.6 h.7 Xột hỡnh bỡnh hnh ABCD cú AC = cm; BD = cm ( h.6) Gi O l giao im hai ng chộo K BH AC Ta cú : SABCD = 2SABC = AC.BH Ta cú AC = 8cm, BH BO = 3cm Do ú : SABCD 8.3 = 24 (cm2) SABCD = 24 cm2 BH BO H O BD AC Vy max SABCD = 24 cm2 Khi ú hỡnh bỡnh hnh ABCD l hỡnh thoi (h.7) cú din tớch 24cm2 Ví dụ 1: CMR với x , y ta có : a) x2 + y2 xy Giải: a) Ta có Vậy b) x2+y2+1 xy + x + y x + y xy x2 + y2 - 2 xy = x xy + y dấu xẩy = c) x4+y4 ( 2x + y) xy3+x3y y = 2x (2x2+2y2+2-2xy-2x-2y) = ( x y ) + ( x 1) + ( y 1) Vậy x2+y2+1 xy +x +y b) Ta có : x2+y2+1 -(xy + x + y) = [ Dấu xẩy x=y=1 c) Ta có: x +y - ( xy +x y) 4 3 Dấu xẩy x=y ] y 3y = (x-y) x + + 4 Vậy x +y xy +x3y Ví dụ 2: Cho a< b < c < d xếp x,y,z theo thứ tự tăng dần nếu: x=(a+b)(c+d) ; y=(a+c)(b+d) ; z=(a+c)(b+d) HD : Xét y -x > y > x z - y > z > y Vậy x< y < z 2) Phơng pháp 2: Sử dụng tính chất bắc cầu A B B C A C Lu ý : x x2 Ví dụ 1: Cho x , y ,z CMR: a) x x+ y + z - xy - yz - xz ; b) x2+y2+z2 1+x2y+y2z+z2x Giải: a) Ta có x+y+z -xy -yz -xz = x(1-y) +y(1-z) + z(1-x) Mà (1-x)(1-y)(1-z) = 1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz (1) x+y+z-xy-xz-yz 1-xyz 1( x,y,z 0) (2) Từ (1) (2) ta có: ĐPCM b) Ta có x2+y2+z2-x2y-y2z-z2x = x2(1-y) +y2(1-z) +z2(1-x) x(1-y) + y(1-z) +z(1-x) ( x x ; y y ; z z ) = x+y+z-xy-yz-xz (từ câu a) Vậy x2+y2+z2 1+x2y+y2z+z2x Ví dụ 2: CMR với x > Giải: ta có : x -x y+x y -xy +y 2 ;y> ta có : x4-x3y+x2y2-xy3+y4> x2+y2 x5 + y = x+ y Vì x ; y > nên x2>2 ; y2 > x5+y5=x2x3+y2y3 > 2(x3+y3) x5 + y 2( x + y ) Suy : x + y > x + y =2(x2-xy+y2) (1) Mà : 2(x2-xy+y2)-(x2+y2) =(x-y)2 nên 2(x2-xy+y2) x2+y2 (2) Từ (1) (2) ta có : ĐPCM 3) Phơng pháp 3: Dùng phép biến đổi tơng đơng Ví dụ 1: Cho a , b , c > CMR : Giải: a b c + + bc ca ab a b c 1 2( + ) + + bc ca ab a b c 2 a +b +c 2(bc+ac-ab) (vì a , b , c (a+b-c)2 (1) Ví dụ 2: Cho Giải: Ta có : a c ; b c CMR: c (a c) + c(b c) ab ( c(a c ) + c(b c) )2 c(a-c) +c(b-c) + 1 2( a + b - c ) (1) >0) c(a c ) + c (b c) ab ab c ( a c)(b c ) ab (1) c2-2c ( a c)(b c ) + (a-c)(b-c) ( c- (a c)(b c) )2 (1) 4) Phơng pháp 4: Sử dụng bất đẳng thức phụ Các bất đẳng thức thờng dùng: x + y xy ; x +y 2xy ; (x+y)2 4xy Ví dụ 1: Cho a2+b2 CMR : -2 a + b Giải: Ta có a2+b2 2ab mà a2+b2 Do đó: (a+b)2=a2+b2+2ab a+b 2 nên 2ab Ta cần chứng minh 4z(x+y)2 Thật vậy: 4z(x+y)2 Ví dụ3: CMR: x2 + x2 +1 Giải: áp dụng BĐT x2 +1 + x2 +1 x+y hay ab : -2 a + b Ví dụ 2: Cho x , y , z > x+y+z=1 CMR: x+y Giải:Từ 4xy (x+y)2 ta có : 16xyz 16 xyz 4z(x+y)2 (1) x+y 4z(x+y) 4x(1-z) (2z-1)2 với x x+ x ta có: x2 + x2 +1 = x2 +1+1 x2 +1 = Ví dụ 4: Cho a,b,c ba cạnh tam giác CMR : 1 1 1 a+b+c + + 2( + + ) với p = pa p b p c a b c 1 Giải: áp dụng BĐT : x + y x + y với x>0,y>0 ta có: 1 4 + = pa p b pa+ pb c 1 4 + = pb pc pb+ pc a 1 4 1 1 1 + = + + 2( + + ) cộng vế với vế ta có: pc pa pc+ pa b pa p b p c a b c 5) Phơng pháp 5: Phơng pháp phản chứng Ví dụ: Cho số tự nhiên nhỏ 108 CMR chọn đợc số số chẳng hạn a,b,c cho a [...]... nhỏ hơn 108 CMR có thể chọn ra đợc 3 số trong 6 số đó chẳng hạn a,b,c sao cho a