địa phương hóa

Cho tập con nhân S của vành A .Trên tập ta định nghĩa quan hệ hai ngôi như sau: Dễ thấy là một quan hệ tương đương trên... Khi đó, trở thành một vành giao hoán có đơn vị và được gọi là v

HV: 1 Đoàn Văn Tuấn Khanh

2 Vũ Kim Hồng

3 Nguyễn Quốc Thắng

4 Nguyễn Thanh Toàn

GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam

II

•

Địa p hư

ĐỊA PHƯƠNG HÓA

Tập con nhân:

Cho vành A là một vành giao hoán giao hoán có đơn vị 1 ≠ 0

Một tập S ⊂ A được gọi là tập con nhân của A nếu:

 S = A\{0} với A là miền nguyên.

 S = 1 + a với a là một iđêan của A.

Cho tập con nhân S của vành A

Trên tập ta định nghĩa quan hệ hai ngôi như sau:

Dễ thấy là một quan hệ tương đương trên

S là tập con nhân nên Do đó .

Chứng minh: là một quan hệ tương đương trên

Khi đó, trở thành một vành giao hoán có đơn vị và được gọi là vành các thương của

vành A theo tập con nhân S.

Trên xác định phép cộng và nhân:

 Phép cộng:

 Phép nhân:

Ta sẽ chứng minh các quy tắc trên là phép toán

Các tiên đề định nghĩa vành tự kiểm tra dễ dàng

2 Mọi phần tử của có dạng với đều khả nghịch.

Nghịch đảo của là vì: 

Chứng minh:

Tính chất:

u v

u v

v u

u v uv 1

v u = vu = 1

1

S A− u v S , ∈

3 Nếu A là miền nguyên, S = A\{0} thì là trường và gọi là trường các thương của A.

(do u ∈ S nên u ≠ 0 và A là miền nguyên)

1

S A−

5 Đồng cấu f ở trên có các tính chất sau:

Cho là một đồng cấu vành sao cho khả

nghịch trong B với mọi Khi đó tồn tại duy nhất một đồng cấu vành sao cho

A

Giả sử có đồng cấu thoả thì , thật vậy:

Nếu là một đồng cấu vành thỏa:

i) khả nghịch trong B;

ii) ;

iii) Mỗi phần tử của B có dạng với

thì tồn tại duy nhất đẳng cấu sao cho

A

Chứng minh:

Vì khả nghịch trong B với mọi nên theo mệnh đề 3.1 tồn tại duy nhất đồng cấu

thỏa Ta sẽ chứng minh h là đẳng cấu.

 h là toàn cấu, thật vậy:

 h là đơn cấu, thật vậy:

II

•

Địa p hư

ĐỊA PHƯƠNG HÓA

Khi đó, vành là vành địa phương với iđêan tối đại duy nhất là tập hợp

và được gọi là địa phương hóa của vành A theo iđêan nguyên tố p

Cho p là iđêan nguyên tố của vành A Tập là tập con nhân của A Vành các thương được ký hiệu là

 là iđêan thật sự của , thật vậy:

II

•

Địa p hư

ĐỊA PHƯƠNG HÓA

Cho tập con nhân S của vành A và A – môđun M.

Trên tập ta định nghĩa quan hệ hai ngôi như sau:

Dễ thấy là một quan hệ tương đương trên

Chứng minh: là một quan hệ tương đương trên

Tập cùng với hai quy tắc:

 Cộng: , thì

 Nhân: , thì

là một – môđun

Ta sẽ chứng minh các quy tắc trên là phép toán

Các tiên đề định nghĩa môđun tự kiểm tra dễ dàng

m s

Hiển nhiên, cũng là một A – môđun với phép toán nhân ngoài:

– môđun được gọi là môđun các thương của A – môđun M theo tập con nhân S.

 Nếu với p là iđêan nguyên tố của vành A thì ký hiệu lại là

 Nếu là một đồng cấu A – môđun thì

Mệnh đề 3.3 chỉ ra rằng nếu là một môđun con của A – môđun M thì đồng cấu chính tắc

là một đơn cấu Do đó, có thể xem là một môđun con của

là một – môđun với phép nhân ngoài:1

Mệnh đề 3.5:

Cho M là một A – môđun Khi đó, các – môđun

và đẳng cấu với nhau Chính xác hơn,

tồn tại duy nhất đẳng cấu thỏa với mọi

Dễ dàng chứng minh g là A – song tuyến tính.

Theo tính phổ dụng của , tồn tại duy nhất

S A m M s

Do đó, mọi phần tử của đều có dạng

Do đó hay f đơn cấu.

Mệnh đề 3.7:

Nếu M, N là các A – môđun thì tồn tại duy nhất đẳng cấu – môđun

thỏa

Nếu p là iđêan nguyên tố thì

Nói riêng:

1

:

A

S A

f S M− ⊗− S N− → S− M ⊗ N

m n m n f

s t st

⊗

A

M ⊗ N ≅ M ⊗ N

p p

p

II

•

Địa p hư

ĐỊA PHƯƠNG HÓA

Một tính chất P của vành A (hoặc của A – môđun M) được gọi là tính chất địa phương nếu:

A (hoặc M) có P ⇔ (hoặc ) có P, với mọi iđêan nguyên tố p của A

Mệnh đề 3.8:

Cho M là một A – môđun Khi đó, các phát biểu sau tương đương:

i) ;

ii) với mọi iđêan nguyên tố p của A;

iii) với mọi iđêan tối đại m của A

vô lý vìVậy .

0

M =

Mệnh đề 3.9:

Cho là một đồng cấu A – môđun Khi đó, các phát biểu sau tương đương:

i) là đơn cấu;

ii) là đơn cấu với mọi iđêan nguyên tố p của A;

iii) là đơn cấu với mọi iđêan tối đại m của A

Mệnh đề trên vẫn đúng nếu thay thế “đơn cấu” bởi “toàn cấu”.

Đối với toàn cấu, ta đổi chiều các mũi tên và chứng minh tương tự.

Mệnh đề 3.10:

Cho M là một A – môđun Khi đó, các phát biểu sau tương đương:

i) M là A – môđun phẳng;

ii) là – môđun phẳng với mọi iđêan nguyên tố p của A;

iii) là – môđun phẳng với mọi iđêan tối đại m của A

M m

Mp Ap

Am

là đơn cấu (2.19)

 iii) i) Giả sử là đơn cấu A – môđun bất

kỳ và m là iđêan tối đại của A Theo 2.19, ta sẽ chứng

minh là đơn cấu