Phân tích 3 bài toán tiền Đề về cực trị không gian giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết vấn Đề toán học

Biện pháp 1: Đưa ra bài toán số 1 và định hướng giải các bài toán cực trị trong không gian dựa vào bài toán số 1 .... Biện pháp 4: Đưa ra một số bài toán cực trị có thể sử dụng ba bài to

1

SÁNG KIẾN KINH NGHIÊM

Tên đề tài:

PHÂN TÍCH 3 BÀI TOÁN TIỀN ĐỀ

VỀ CỰC TRỊ KHÔNG GIAN GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TOÁN HỌC

Năm học 2022 - 2023

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

Năm học 2022 - 2023

SÁNG KIẾN KINH NGHIÊM

Tên đề tài:

PHÂN TÍCH 3 BÀI TOÁN TIỀN ĐỀ

VỀ CỰC TRỊ KHÔNG GIAN GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TOÁN HỌC

MÔN: TOÁN TỔ: TOÁN - TIN

MỤC LỤC

PHẦN I MỞ ĐẦU 5

1 Lý do chọn đề tài 5

2 Những điểm mới của sáng kiến 5

3 Mục đích nghiên cứu 5

4 Đối tượng nghiên cứu 6

5 Phương pháp nghiên cứu 6

PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 7

1 Cơ sở lý luận 7

1 1 Năng lực GQVĐ Toán học 7

1 2 Một số đẳng thức hình học và đại số 7

1.2.1 Đẳng thức 1 7

1.2.2 Đẳng thức 2 7

1.2.3 Tỷ số thể tích 7

1.2.4 Một số bất đẳng thức đại số 8

1.2.5 Sử dụng đạo của hàm để tìm GTLN-GTNN 9

2 Cơ sở thực tiễn và thực trạng 9

2.2 Thực trạng 9

3 Biện pháp 10

3 1 Biện pháp 1: Đưa ra bài toán số 1 và định hướng giải các bài toán cực trị trong không gian dựa vào bài toán số 1 10

3.1.1 Lời giải bài toán 10

3.1.2 Đặc biệt hoá bài toán 11

3.1.3 Những bài toán cực trị có thể sử dụng bài toán 1 hỗ trợ 15

3 2 Biện pháp 2: Đưa ra bài toán số 2 và định hướng giải các bài toán cực trị trong không gian dựa vào bài toán số 2 21

3.2.1 Lời giải bài toán 21

3.2.2 Đặc biệt hoá bài toán 21

3.2.3 Những bài toán cực trị có thể sử dụng bài toán số 2 hỗ trợ 28

3 3 Biện pháp 3: Đưa ra bài toán số 3 và định hướng giải các bài toán cực trị trong không gian dựa vào bài toán số 3 33

3.3.1 Lời giải bài toán 33

3.3.2 Đặc biệt hoá bài toán 35

3.3.3 Những bài toán cực trị có thể sử dụng bài toán 3 hỗ trợ 37

3 4 Biện pháp 4: Đưa ra một số bài toán cực trị có thể sử dụng ba bài toán trên hoặc

định hướng cho học sinh dùng đẳng thức hình học không gian để giải quyết 39

4 Đánh giá và kết quả thực hiện 48

Tài liệu này đã được chúng tôi sử dụng để ôn thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An 48

Năm học 49

Số học sinh đạt Học sinh giỏi tỉnh 49

2020-2021 49

1 Giải Ba 49

2021-2022 49

2 Giải Ba 49

2022-2023 49

1 Giải Nhì, 1 Giải Ba 49

Đề tài này đã được các đồng nghiệp của các trường THPT Kim Liên, THPT Nam Đàn 1, THPT Thái Lão, sử dụng làm tài liệu giảng dạy và đem lại kết quả cao 49

PHẦN III KẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

PHỤ LỤC II 51

PHẦN I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Làm thế nào để học sinh có thể giải được bài toán hình học không gian ở mức độ vận dụng và vận dụng cao trong đề thi học sinh giỏi là vấn đề mà các giáo viên bồi dưỡng luôn suy nghĩ để tìm ra cách giải quyết

Cực trị hình học là một vấn đề gây ra rất nhiều khó khăn cho học sinh nói chung

và học sinh trung học phổ thông nói riêng Đặc biệt đối với chương trình trung học phổ thông, bài toán cực trị hình học không gian quả thực là một thách thức lớn cho không chỉ các thế hệ học sinh mà cho cả đội ngũ giáo viên trong công cuộc dạy và học Hơn nữa, các câu hỏi thuộc dạng toán này thường nằm trong lớp các bài toán vận dụng và vận dụng cao, khiến cho việc giải quyết chúng trong quá trình học cũng như quá trình thi luôn nhận quá ít sự quan tâm chú ý Qua sự tìm hiểu các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh các năm gần đây, chúng tôi thấy sự xuất hiện của các bài toán tìm GTLN, GTNN của các biểu thức về độ dài, thể tích Với mong muốn giúp học sinh có thể chọn được hướng

đi phù hợp khi gặp một bài toán như vậy Cụ thể là trả lời được các câu hỏi: “Biểu thức này liên quan đến đẳng thức hình học tổng quát nào?”, “Nên sử dụng những đẳng thức hình học đặc biệt nào?”; “Tỉ số này có thể thu được từ đâu?”; … Chúng tôi đã tìm hiểu

và chọn ra 3 bài toán làm tiền đề để học sinh có thể huy động khi gặp bài toán dạng này Từ đó tôi đã mạnh dạn đưa ra đề tài:

“Phân tích 3 bài toán tiền đề về cực trị không gian giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học”

2 Những điểm mới của sáng kiến

- Rèn luyện cho học sinh các năng lực giải quyết vấn đề, năng lực mô hình hóa

Cụ thể định hướng cách giải quyết bài toán

- Cung cấp một số bài toán tiền đề, một số bài toán cực trị sử dụng đẳng thức về

độ dài, khoảng cách, thể tích kết hợp bất đẳng thức đại số để giải quyết các bài toán có trong các kì thi HSG cấp tỉnh Đề tài giúp học sinh củng cố được kiến thức về hình học không gian Là tài liệu tham khảo để ôn thi học sinh giỏi

3 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về cách thức tổ chức dạy học Toán bằng hoạt động phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh khá, giỏi THPT

Với quan điểm đi từ tổng quát đến cụ thể, từ tuỳ ý đến đặc biệt trong dạy học phân môn hình học nói chung dạy học hình học không gian nói riêng Sử dụng đặc biệt

để tạo những bài toán mới, phân tích bài toán mới đó Giúp học sinh rèn luyện khả năng ứng biến khi gặp bài toán mới

Phát triển năng lực, tư duy toán học cho học sinh khi phân tích một số bài toán cực trị

Đề tài giúp học sinh có định hướng chính xác hơn khi gặp bài toán cực trị hình học không gian

4 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu đề tài chủ yếu tập trung vào những đẳng thức trong tứ diện, hình chóp tứ giác với đáy là hình bình hành kết hợp với các bất đẳng thức đại số quen thuộc để giải quyết các bài toán cực trị về hình học không gian Từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học nội dung cực trị hình học không gian trong chương trình toán trung học phổ thông

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu phương pháp dạy học giải quyết vấn

đề

Tổng kết kinh nghiệm: Dùng tỉ số độ dài, tỉ lệ diện tích, tỉ lệ thể tích, dùng phương pháp véc tơ, dùng bất đẳng thức đại số

Điều tra, quan sát, thử nghiệm sư phạm: Điều tra kết quả giải quyết bài toán cực trị trước và sau khi thực hiện dạy chủ đề

PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

1 Cơ sở lý luận

1 1 Năng lực GQVĐ Toán học

Hoạt động GQVĐ trong môn toán là hoạt động diễn ra khi HS đứng trước những tình huống có vấn đề về TH cần giải quyết, HS cần phải: tự rút ra công thức, tự chứng minh định lí, tìm cách chủ động ghi nhớ những vấn đề cần lĩnh hội; tự tìm ra giải pháp tốt và rõ ràng cho các vấn đề lý thuyết hoặc TT, Bằng cách này, HS tiếp thu kiến thức và học cách tự khám phá

NL GQVĐ trong môn Toán là khả năng huy động, tổng hợp kiến thức, kỹ năng

và các thuộc tính cá nhân nhằm giải quyết một nhiệm vụ học tập môn Toán NL GQVĐ của HS được bộc lộ, hình thành và phát triển thông qua hoạt động GQVĐ trong học tập hoặc trong cuộc sống

1 2 Một số đẳng thức hình học và đại số

1.2.1 Đẳng thức 1

Cho tam giác ABC, điểm M bất kỳ nằm trong tam giác ABC

Ta có SMBC MA S MCA MB S MAB MC 0

1.2.2 Đẳng thức 2

Trong không gian cho tam giác ABC, điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) khi và chỉ khi

OM xOA yOB zOC   với mọi điểm O trong đó x + y + z = 1

1.2.3 Tỷ số thể tích

+ Nếu hai khối chóp có cùng chiều cao thì V' S'

+ Nếu hai khối chóp có cùng đáy thì V ' h'

V  h + Cho khối chóp S.ABC A'SA, B'SB, C'SC

' 'C'

C

S A B

S AB

- Nếu A A ' thì 'C'

C

S AB

S AB

- Nếu A A ', B B' thì 'C'

C

'

S AB

S AB

+ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Một mặt phẳng cắt SA,

SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’ khi đó ' 'C'D'

CD'

2

S A B

S AB

+ Cho hình chóp S.ABCD Một mặt phẳng song song mp đáy và cắt SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’ khi đó ' 'C'D' 3

CD'

,

S A B

S AB

1.2.4 Một số bất đẳng thức đại số

2 2

2 2

2

2

2

x y





3

x y



7) Bất đẳng thức Côsi

Với n số không âm a a1, , , 2  a n bất kì ta có: 1 2 n 1 2

Dấu ‘’=’’ xảy ra khi và chỉ khi a1 a2   a n

Bất đẳng trên tương đương với bất đẳng thức:

1 2

1 2

n n n

a a a

n

8) Bất đẳng thức Bunhiacopski

Với hai bộ n số bất kì a a1, , ,2  a nvà b b1, , , 2  b nta có:

(a b a b   a b n n) (a a   a b n)( b   b n)

Dấu ‘’=’’ xảy ra khi và chỉ khi: 1 2

1 2

n

9) Bất đẳng thức Svacxơ

Với hai bộ n số dương bất kì a a1, , ,2  a nvà b b1, , , 2  b n ta có:

3 Biện pháp

3 1 Biện pháp 1: Đưa ra bài toán số 1 và định hướng giải các bài toán cực trị trong không gian dựa vào bài toán số 1

Cho hình chóp S.ABC M là một điểm bất kì trong hình chóp Mặt phẳng ( ) qua M cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F SM cắt mặt đáy (ABC tại N Chứng minh ) đẳng thức:

3.1.1 Lời giải bài toán

Cách 1 Dùng Vectơ

Cho tam giác ABC, điểm N nằm trong tam giác ABC

Ta có SNBCNA S NCANB S NAB NC 0

Với điểm S bất kỳ,

S SA S  SB S  SC S S S SN

Nên (1) trở thành S NBC.SA.SD S NCA.SB.SE S NAB.SC.SF S ABC.SN SM

Mà D, E, F, M cùng thuộc mp(P), ta có

Cách 2 Dùng tỉ lệ thể tích

B

S

M

N

D

E

F

Ta có: . (1)

.

S DEM

S ABN

(2)

.

.

S DEM ABN

S ABC ABC

S

.

Tương tự:

(4)

.

(5)

.

Từ(3)(4)và(5)

.

.

.

.

S DEF

S ABC

3.1.2 Đặc biệt hoá bài toán

* Khi điểm M thuộc các mặt bên của hình chóp thì chúng ta có đẳng thức nào? Chẳng hạn khi điểm MSAB ta sẽ có bài toán sau:

Bài 1 Cho hình chóp S ABC , M là một điểm bất kì thuộc mặt bên (SAB) Mặt phẳng ( ) qua M cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F SM cắt mặt đáy (ABC tại N ) Chứng minh đẳng thức:

(*)

Lời giải

Theo bài toán 1 ta có:

MSAB nên SNAB  , khi đó (1) trở thành 0

(*)

toán sau:

Bài 2 Cho hình chóp S.ABC, M là một điểm bất kì thuộc mặt bên (SAB) Mặt phẳng ( ) qua M cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F SM cắt mặt đáy (ABC tại N )

(**)

Lời giải

Theo bài 1 ta có

(*)

Đặt

Khi đó (*) trở thành:

(**)

* Cho k các giá trị cụ thể chúng ta sẽ có các bài toán đặc biệt khác

2

* Khi M là trọng tâm của hình chóp S.ABC ta có bài toán sau:

Bài 3 Cho điểm M là trọng tâm của hình chóp S.ABC Mặt phẳng ( ) qua M cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F SM cắt mặt đáy (ABC tại N Chứng minh đẳng ) thức:

4

Lời giải

Theo bài toán 1 ta có:

3

SN

N là trọng tâm tam giác ABC thì

B

C

F

D

E

1 3

Bài 4 Cho điểm MABC của hình chóp S.ABC Mặt phẳng ( ) qua M cắt các tia

SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F Chứng minh đẳng thức:

Lời giải

Theo bài toán 1 ta có :

SM 

* Đặc biệt hơn nữa là Khi M là trọng tâm tam giác ABC thì S MBC S MAC S MAB Ta có được đẳng thức :

Bài 5 Cho điểm M là trọng tâm tam giác ABC của hình chóp S.ABC Mặt phẳng ( )

qua M cắt các tia SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F Chứng minh đẳng thức:

3

Lời giải

BMC AMC ABM 1(*)

1 3

* Hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a Khi đó ta có bài toán sau:

Bài 6 Hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a, M là một điểm bất kì trong hình chóp Mặt phẳng ( ) qua M cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F SM cắt mặt đáy (ABC ) tại N Chứng minh đẳng thức:

a

Lời giải

Hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a nên (1) trở thành

a

* Với các bất đẳng thức ở trên kết hợp với các bất đẳng thức đại số chúng ta có các bài toán cực trị trong hình học không gian Học sinh cần phát hiện dấu hiệu bài toán

từ đó đưa ra các đẳng thức hình học

3.1.3 Những bài toán cực trị có thể sử dụng bài toán 1 hỗ trợ

Bài 1 (Đề thi môn toán học sinh giỏi bảng A tỉnh Nghệ An 2011) Cho tứ diện

S.ABC có SA = SB = SC = a Mặt phẳng (P) thay đổi luôn đi qua trọng tâm G của tứ diện, cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’ (khác điểm S) Tìm giá trị lớn

Q

SA SB SB SC SC SA

Định hướng:

SA SB SC

SA SB SC

- Cần sử dụng bất đẳng thức đại số nào đây để biểu diễn

SA SB  SB SC  SC SA qua 1 1 1

Lời giải

Sử dụng bài toán 1 cụ thể bài 4 mục 3.1.2 (trường hợp đặc biệt của điểm M G ) ta

có được đẳng thức:

4

a

Áp dụng: 3.(ab bc ca  ) ( a b c  )2

Bài toán được giải quyết:

2 2

* Cũng là dự kiện bài toán trên nhưng áp dụng bất đẳng thức:

1 2

1 2

n n n

a a a

n

Bài 2 Cho tứ diện S.ABC có SA = SB = SC = a Mặt phẳng (P) thay đổi luôn đi qua

trọng tâm G của tứ diện, cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’ (khác điểm

P

SA SB SC

* Áp dụng BĐT cauchy ta có :

SA  SB  SC   SA SB SC  V  

S

A

B

C G

S'

A'

B'

C'

11 Đề thi học sinh giỏi tỉnh, thành phố lớp 11 & 12

12 Internet

PHỤ LỤC II

KHẢO SÁT SỰ CẤP THIẾT VÀ TÍNH KHẢ THI CỦA CÁC GIẢI PHÁP ĐỀ

XUẤT

1 Mục đích khảo sát

Xác định mức độ cần thiết và tính khả thi của 4 giải pháp trong đề tài: Phân tích 3

bài toán tiền đề về cực trị không gian giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học Xuất phát từ cơ sở đánh giá đó để nghiên cứu phương án điều chỉnh

nếu cần

2 Nội dung và phương pháp khảo sát

2.1 Nội dung khảo sát

Khảo sát mức độ cần thiết và tính khả thi của 4 biện pháp sau:

- Biện pháp 1: Đưa ra bài toán số 1 và định hướng giải các bài toán cực trị trong không gian dựa vào bài toán số 1

- Biện pháp 2: Đưa ra bài toán số 2 và định hướng giải các bài toán cực trị trong không gian dựa vào bài toán số 2

- Biện pháp 3: Đưa ra bài toán số 3 và định hướng giải các bài toán cực trị trong không gian dựa vào bài toán số 3

- Biện pháp 4: Đưa ra một số bài toán cực trị có thể sử dụng ba bài toán trên hoặc định hướng cho học sinh dùng đẳng thức hình học không gian để giải quyết

2.2 Phương pháp khảo sát và thang đánh giá

Phương pháp được sử dụng để khảo sát là Trao đổi bằng bảng hỏi; với thang đánh giá 04 mức (tương ứng với điểm số từ 1 đến 4):

Tính điểm trung bình X theo phần mềm Excel

3 Đối tượng khảo sát

Tổng hợp các đối tượng khảo sát

4 Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đã đề xuất

4.1 Sự cấp thiết của các giải pháp đã đề xuất

_

X

Mức

1 Đưa ra bài toán số 1 và định hướng giải các

bài toán cực trị trong không gian dựa vào

bài toán số 1

thiết

2 Đưa ra bài toán số 2 và định hướng giải các

bài toán cực trị trong không gian dựa vào

bài toán số 2

thiết

3 Đưa ra bài toán số 3 và định hướng giải các

bài toán cực trị trong không gian dựa vào

bài toán số 3

thiết

4 Đưa ra một số bài toán cực trị có thể sử

dụng ba bài toán trên hoặc định hướng cho

học sinh dùng đẳng thức hình học không

gian để giải quyết

thiết

Từ số liệu thu được ở bảng trên, có thể thấy: Hầu hết tất cả các biện pháp đều có cấp thiết, riêng biện pháp “Đưa ra bài toán số 1 và định hướng giải các bài toán cực trị

trong không gian dựa vào bài toán số 1” là rất cấp thiết

4.2 Tính khả thi của các giải pháp đề xuất

_

X

Mức

1 Đưa ra bài toán số 1 và định hướng giải các

bài toán cực trị trong không gian dựa vào

bài toán số 1

thi

2 Đưa ra bài toán số 2 và định hướng giải các

bài toán cực trị trong không gian dựa vào

bài toán số 2

3 Đưa ra bài toán số 3 và định hướng giải các

bài toán cực trị trong không gian dựa vào

bài toán số 3

thi

4 Đưa ra một số bài toán cực trị có thể sử

dụng ba bài toán trên hoặc định hướng cho

học sinh dùng đẳng thức hình học không

gian để giải quyết

Từ số liệu thu được ở bảng trên, có thể thấy: Hầu hết tất cả các biện pháp đều có tính khả thi trở lên