Phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh lớp 12 thông qua một số bài toán về chủ Đề tích phân

Môn toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học cho học sinh, phát triển kiến thức, kỹ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được vận dụng toán học vào

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGUYỄN SỸ SÁCH

- -

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN CHO HỌC SINH LỚP 12 THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN

Lĩnh vực: Toán học Tác giả: Nguyễn Quang Sáng

Tổ chuyên môn: Toán - Tin

Năm học: 2022 – 2023

MỤC LỤC

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu 2

3.1 Khách thể nghiên cứu 2

3.2 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Giả thuyết khoa học 2

5 Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu 2

6 Phương pháp nghiên cứu 3

7 Những luận điểm cần bảo vệ của đề tài 3

8 Tính mới, đóng góp của đề tài 3

PHẦN II NỘI DUNG 4

I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Cơ sở lí luận 4

1.2 Cơ sở thực tiễn và thực trạng của đề tài 6

II PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN THÔNG QUA MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN 7

2.1 DẠNG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH 7

2.1.1 Dạng các bài toán liên quan đến diện tích 7

2.1.2 Dạng các bài toán liên quan đến thể tích 14

2.2 DẠNG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CHUYỂN ĐỘNG 22

2.3 DẠNG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TĂNG TRƯỞNG 32

III KHẢO SÁT SỰ CẤP THIẾT VÀ TÍNH KHẢ THI CỦA CÁC GIẢI PHÁP ĐỀ XUẤT 36

3.1 Mục đích khảo sát 36

3.2 Nội dung và phương pháp khảo sát 36

3.3 Tổng hợp các đối tượng sau khảo sát 37

IV THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 42

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 42

3.2 Đối tượng thực nghiệm 42

3.3 Nội dung thực nghiệm 42

3.4 Kết quả thực nghiệm 42

3.5 Bài học kinh nghiệm rút ra khi tiến hành thực nghiệm 43

PHẦN III KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 44

1 Kết luận 44

2 Khuyến nghị 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO 45

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

THPT Trung học phổ thông

THPT QG Trung học phổ thông quốc gia

GD-ĐT Giáo dục và đào tạo

ĐGNL Đánh giá năng lực

PTNL Phát triển năng lực

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài

Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống Những kiến thức và

kỹ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển Môn toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học cho học sinh, phát triển kiến thức, kỹ năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được vận dụng toán học vào thực tiễn, tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa toán học với thực tiễn Đặc biệt xã hội ngày càng phát triển thì con người càng quan tâm đến mô hình toán ứng dụng

Trong toán học chủ đề tích phân được ứng dụng rộng rãi trong thực tế như là tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, cách thiết kế khúc cua của con đường, tính vận tốc, tính quãng đường, tính công sinh ra, Vì thế mà trong các kỳ thi THPTQG, thi học sinh giỏi các cấp đều có sự xuất hiện của toán ứng dụng Hiện nay với xu hướng thi trắc nghiệm, thi đánh giá năng lực và thi đánh giá tư duy phần tích phân còn được yêu cầu rộng hơn và đòi hỏi học sinh phải tư duy linh hoạt hơn, mặc dù đã được học kỹ các phương pháp tính tích phân Nhưng đứng trước yêu cầu về bài toán tính tích phân nhất là những bài toán vận dụng thực tế Khi xuất hiện trong đề thi thường ở mức độ vận dụng và vận dụng cao Đa số các

em còn nhiều lúng túng và thậm chí là không định hình được lời giải, hoặc giải thì các em cũng không tự tin về kết quả của mình

Vì vậy tôi quyết định viết đề tài này nhằm hướng tới các mục tiêu sau:

Mục tiêu thứ nhất: Nhằm phát triển năng lực toán học giúp các em học sinh

có cách nhìn tổng thể về mô hình toán ứng dụng của tích phân trong thực tiễn, các dạng toán gặp phải trong đề thi, từ đó các em dễ tiếp cận với các câu hỏi được xem

là “hóc búa” trong đề thi Các em sẽ tự tin dành trọn điểm cao trong các kỳ thi một cách nhẹ nhàng

Mục tiêu thứ hai: Đào tạo các em thành những con người năng động, tự tin,

sáng tạo, sẵn sàng thích ứng với những đổi mới diễn ra hàng ngày Học là phải gắn liền với ứng dụng vào thực tế trong cuộc sống

Mục tiêu thứ ba: Làm nguồn tài liệu giảng dạy cho bản thân và đồng nghiệp

trong quá trình giảng dạy chủ đề tích phân lớp 12

Xuất phát từ những lý do trên, với mong muốn góp phần đổi mới và nâng cao hiệu quả dạy học môn toán 12, tôi quyết định làm sáng kiến kinh nghiệm với đề tài

“Phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh lớp 12 thông qua một số bài toán về chủ đề Tích phân” để nghiên cứu, tìm hiểu và áp dụng trong quá trình dạy học

2 Mục đích nghiên cứu

Làm rõ vấn đề mà học sinh còn lúng túng, thậm chí là không có định hình về lời giải trong việc giải các bài toán tích phân có ứng dụng thực tiễn

Góp phần gây hứng thú học tập chủ đề ứng dụng của tích phân trong thực tiễn, một trong các phần được coi là hóc búa, đòi hỏi tính tư duy cao

Làm cho học sinh thấy được tầm quan trọng của chương học, là vấn đề then chốt cho việc tiếp nhận và ứng dụng vào thực tiễn

Nâng cao chất lượng bộ môn toán theo từng chuyên đề khác nhau góp phần nâng cao chất lượng dạy học

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

3.1 Khách thể nghiên cứu

Hoạt động dạy và học môn Toán ở trường THPT

3.2 Đối tượng nghiên cứu

- Học sinh lớp 12 và giáo viên dạy môn Toán THPT

- Chương Nguyên hàm - Tích phân và chủ yếu là ứng dụng tích phân để giải các bài toán thực tiễn

4 Giả thuyết khoa học

Nguyên nhân dẫn đến tình trạng nhiều học sinh còn chưa thành thạo và ngại giải các bài toán liên quan đến bài toán thực tiễn thông qua ứng dụng tích phân là

do các em chưa được rèn luyện nhiều bài tập dạng này Nếu được giáo viên định hướng và phân các dạng toán cụ thể thì các em sẽ biết vận dụng giải và đạt kết quả

cao trong các kỳ thi cũng như biết vận dụng vào thực tiễn trong cuộc sống

5 Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu

5.1 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu dạy học theo hướng phát triển năng lực cho học sinh, vận dụng vào chủ đề ứng dụng của tích phân

- Đề xuất phương án ứng dụng tích phân vào dạy học một số dạng toán

- Thử nghiệm sư phạm để kiểm chứng các biện pháp sư phạm đã đề ra trong

đề tài

5.2 Phạm vi nghiên cứu

- Về nội dung: Đề tài tập trung nghiên cứu “Phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh lớp 12 thông qua một số bài toán về chủ đề Tích phân” áp dụng trong quá trình dạy học

- Về thời gian: Từ năm học 2020-2021 đến nay

6 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp sau:

a Nghiên cứu tài liệu:

- Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đề tài

- Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo

- Tham khảo các đề minh họa, đề thi THPT- QG của Bộ Giáo dục và đề thi thử của các trường trên toàn quốc

- Trao đổi kinh nghiệm với các giáo viên dạy toán trên toàn quốc thông qua các nhóm VD-VDC MÔN TOÁN, Diễn đàn toán học …

b Nghiên cứu thực tế:

- Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung tích phân

- Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học

- Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của đề tài

- Nghiên cứu khả năng nắm bắt của học sinh qua từng buổi học

- Tìm hiểu qua phiếu thăm dò của học sinh

7 Những luận điểm cần bảo vệ của đề tài

Thứ nhất: Thay đổi cách dạy và học của học sinh theo phương pháp dạy học tích cực chú trọng vào người học

Thứ hai: Các em biết vận dụng kiến thức vào giải toán để đạt kết quả cao trong các kỳ thi

Thứ ba: Học là phải gắn liền với ứng dụng vào thực tế trong cuộc sống

8 Tính mới, đóng góp của đề tài

Đề tài giúp các em học sinh phát triển năng lực, tư duy giải toán, biết vận dụng kiến thức toán học để giải quyết vấn đề thực tiễn cũng như nhìn nhận các vấn

đề thực tiễn qua lăng kính toán học Xu hướng “gắn lý thuyết với các vấn đề thực tiễn” đã có từ lâu ở các nền giáo dục tiên tiến và đã có ảnh hưởng lớn trong những lần đổi mới giáo dục gần đây của nước ta Qua đề tài cũng giúp học sinh hoàn thiện

kĩ năng sống và đảm bảo vốn kiến thức thực tế cho một con người bắt đầu bước sang giai đoạn trưởng thành Vì vậy chúng ta cần làm cho học sinh thấy được không chỉ học để đi thi, mà còn để vận dụng vào đời sống hàng ngày, từ đó các em

có thêm động lực và lòng ham mê học tập

Đề tài cũng là nguồn tài liệu tham khảo để giúp các em học và tự tin làm các bài toán trong các kỳ thi THPTQG, kỳ thi đánh giá năng lực, đánh giá tư duy của các trường đại học trên toàn quốc

Đề tài có thể là nguồn tài liệu cho đồng nghiệp trong công tác giảng dạy và tích lũy chuyên môn

PHẦN II NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Cơ sở lí luận

1.1.1 Năng lực toán học

Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có

và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỉ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí thực hiện thành công một loạt hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể

Thông qua chương trình môn Toán, học sinh cần hình thành và phát triển được năng lực toán học, biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán Năng lực

toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau:

a) Năng lực tư duy và lập luận toán học

- So sánh, phân tích, tổng hợp, đặt biệt hóa, khái quát hóa, tương tự, quy nạp, diễn dịch

- Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận

- Giải thích hoặc điều chỉnh cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học

b) Năng lực mô hình hóa toán học

- Sử dụng các mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị ) để mô tả các tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế

- Giải quyết các vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập

Như vậy, thông qua tìm hiểu, phân tích vấn đề chưa có cách giải quyết, học sinh tìm cách đưa vấn đề về mô hình toán học đã biết cách giải quyết, qua đó học sinh có cơ hội được phát triển năng lực mô hình hóa toán học

c) Năng lực giải quyết vấn đề toán học

- Nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết bằng toán học

- Đề xuất, lựa chọn được cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề

- Sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra

- Đánh giá giải pháp đề ra và khái quát hóa cho vấn đề tượng tự

Thông qua quá trình phân tích, thảo luận và đưa ra phương án giải quyết của nhóm mình, học sinh có cơ hội được phát triển năng lực giải quyết vấn đề toán học

d) Năng lực giao tiếp toán học

- Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép được các thông tin toán học cần thiết được trình bày dưới dạng văn bản toán học hay do người khác nói hoặc viết ra

- Trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) được các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác với người khác (với yêu cầu thích hợp về sự đầy đủ, chính xác)

- Sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học (chữ số, chữ cái, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các liên kết logic ) kết hợp với ngôn ngữ thông thường hoặc động tác hình thể khi trình bày, giải thích và đánh giá các ý tưởng toán học trong sự tương tác (thảo luận, tranh luận) với người khác

Như vậy, thông qua hoạt động mua bán giả định, học sinh được cùng nhau thảo luận, trao đổi và đưa ra quyết định của mình đã tạo cơ hội cho học sinh được phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực giao tiếp toán học

e) Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học

- Sử dụng thành thạo và linh hoạt các công cụ, phương tiện toán học, đặc biệt phương tiện khoa học công nghệ để tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học ( phù hợp với đặc điểm nhận thức lứa tuổi)

- Chỉ ra được các ưu điểm, hạn chế của những công cụ, phương tiện hỗ trợ để

có những cách sử dụng hợp lí

1.1.2 Năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn

Phát triển năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh sẽ làm thay đổi cách dạy của giáo viên và cách học của HS theo hướng “ Học đi đôi với hành”,

lí thuyết gắn với thực tiễn, nhà trường gắn với gia đình và xã hội Thực trạng dạy học ở các trường phổ thông hiện nay, hầu hết GV mới chỉ tập trung vào hình thành

và phát triển kiến thức cho HS mà chưa chú trọng vào phát triển năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn cho HS Do đó, quá trình dạy học hướng tới giúp HS có kỷ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn rất cần thiết, được xem như mục tiêu cốt lõi của chương trình phổ thông

1.1.3 Năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn

Năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn là khả năng của người học tự giải quyết những vấn đề đặt ra một cách nhanh chóng và hiệu quả bằng cách áp dụng các kiến thức đã lĩnh hội vào những tình huống, hoạt động thực tiễn để tìm hiểu thế giới xung quanh và có khả năng biến đổi nó Năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn thể hiện phẩm chất và nhân cách của con người trong quá trình hoạt động để

thỏa mãn nhu cầu chiếm lĩnh tri thức Như vậy, có thể hiểu: Năng lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn là khả năng chủ thể phát hiện được vấn đề thực tiễn, huy động được các kiến thức liên quan nhằm giải quyết các vấn đề thực tiễn hiệu quả

1.1.4 Các thành tố cơ bản của năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn trong nội dung bài toán chuyển động, tính diện tích, thể tích và tăng trưởng

Thành tố 1: HS có năng lực thu nhận thông tin Toán học từ tình huống thực

tế liên quan đến bài toán chuyển động, tính diện tích, thể tích, tăng trưởng Thể hiện ở khả năng HS nhận thức được các thông tin định lượng về diện tích, thể tích của các khối, các hình trong thực tế hoặc các thông tin định tính như đặc điểm hình

dạng, tính chất của các hình, các khối, kích thước, đối tượng

Thành tố 2: Học sinh có năng lực thiết lập mối quan hệ giữa các kiến thức

Toán học với các thông tin có được từ các tình huống thực tiễn

Thể hiện ở khả năng chuyển đổi thông tin giữa thực tiễn và Toán học bao gồm: năng lực mã hóa thông tin toán học từ tình huống thực tiễn, năng lực giải mã thông tin Toán học có được từ tình huống thực tế

Thành tố 3: Năng lực ước lượng, tính gần đúng của quảng đường, diện tích,

thể tích của các hình, khối có trong thực tiễn Bao gồm năng lực ước lượng trong

tính giá trị đại lượng, năng lực sử dụng hợp lí các giá trị gần đúng

Thành tố 4: Vận dụng tối ưu nguyên hàm, tích phân để tính các bài Toán liên quan đến vận tốc, gia tốc, quảng đường, diện tích, thể tích và tăng trưởng 1.2 Cơ sở thực tiễn và thực trạng của đề tài

Chương trình GDPT tổng thể năm 2018 đã nêu rõ nhiệm vụ dạy học của môn Toán: trang bị những tri thức cơ bản cần thiết cho HS, rèn luyện kỹ năng Toán học

và kỹ năng vận dụng Toán học vào thực tiễn, phát triển trí tuệ… chú trọng bồi dưỡng những HS có năng khiếu về bộ môn Toán Góp phần hình thành và phát triển các năng lực cốt lõi của năng lực toán học: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán

Năm học 2016 - 2017 bộ GD-ĐT chuyển đổi hình thức thi THPT quốc gia của môn toán từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phương pháp dạy và học cũng phải thay đổi cho phù hợp

Trong các đề minh họa của bộ GD - ĐT, đề thi THPTQG và đề thi ĐGNL của các trường Đại học trên toàn Quốc, học sinh thường gặp một số câu về tính tích phân ở mức độ 3 và mức độ 4 và đây là các bài toán vận dụng thực tế Phần lớn các em học sinh đều bỏ qua hoặc giải thì cũng không tự tin vào kết quả của mình Vì vậy các em phải chuyển được mô hình bài toán thực tế đó về bài toán đã học, thì các em sẽ thấy đơn giản và tự tin vào kết quả của mình và càng không phải lo âu sợ học toán nữa

Đề tài góp phần vào giải các bài toán trong thực tiễn sẽ tạo được cho các em có thêm phương pháp, linh hoạt hơn trong việc tính tích phân và nâng cao tư duy trong giải toán nhằm lấy được điểm cao hơn trong bài thi

Trước khi áp dụng đề tài này vào dạy học, tôi đã khảo sát chất lượng học tập của học sinh trường THPT Nguyễn Sỹ Sách (thông qua các lớp 12C1 và 12C2) về các bài toán tính tích phân có vận dụng thực tế, đã thu được kết quả như sau:

Lớp Sĩ

số

12C1 46 15 32,6 25 54,3 6 13,1 0 0 0 0 12C2 45 14 31,1 25 55,6 6 13,3 0 0 0 0 Như vậy số lượng học sinh nắm bắt dạng này không nhiều, có rất nhiều em chưa định hình được lời giải do chưa có được nguồn kiến thức và kĩ năng cần thiết

Từ những thực trạng nêu trên, tôi nhận thấy cần phải có giải pháp để khắc phục, thôi thúc tôi nghiên cứu tìm tòi để đưa ra phương pháp giải các dạng toán dạng này

II PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN THÔNG QUA MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN

Như đã trình bày ở lí do chọn đề tài, các bài toán ứng dụng tích phân vào giải các bài toán thực tiễn liên quan đến tính quảng đường, vận tốc, gia tốc, tính diện tích, thể tích và tăng trưởng…luôn gây khó khăn cho học sinh và nhiều học sinh e ngại hoặc bỏ qua khi gặp dạng bài tập dạng này Để giúp học sinh có hướng giải cũng như phát triển năng lực của mình khi giải quyết các bài toán dạng này, tôi đưa ra một số dạng toán đã rút ra được trong quá trình giảng dạy bao gồm :

Dạng 1: Dạng các bài toán liên quan đến diện tích và thể tích

Dạng 2: Dạng các bài toán liên quan đến chuyển động

Dạng 3: Dạng các bài toán liên quan đến tăng trưởng

Trong mỗi dạng tôi nêu kiến thức cần sử dụng và các ví dụ Ở mỗi ví dụ đó, tôi phân tích, định hướng phương pháp giải cho học sinh theo hướng PTNL và nêu ứng dụng của các bài toán vào thực tiễn cuộc sống

2.1 DẠNG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH 2.1.1 Dạng các bài toán liên quan đến diện tích

a Kiến thức sử dụng:

Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

( )

y f x liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x a , x b

(hình bên) được tính theo công thức b ( ) d

a

S f x x