Định lí euler và tính ứng dụng thực tiễn

Lý do chọn đề tài Ngay từ lớp 6, khi học về lũy thừa, các học sinh khá giỏi đã được tiếp cận dang bài toán: tìm số dư khi chia 1 lũy thừa lớn cho một số tự nhiên A nào đó, trong đó có b

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU

SÁNG KIÊN KINH NGHIỆM

x

Đề tai:

DINH Li EULER VA TINH UNG DUNG THUC TIEN

LINH VUC: TOAN HOC

Tac gia: Phan Phuong Duc

Tổ bộ mon: Toan - Tin

Nam hoc: 2022-2023

Mục lục

Chương 1 ĐẶT VÂN ĐỄ -.-.-. -<-: 5 1.1 Lý do chọn để tài .cccccccn 5

1.2 Mục đích nghiên cứu 6

1.3 Phạm vi nghiên cỨu - 6

1.4 Nhiệm vụ nghiên cỨu - 6

1.5 Phương pháp nghiên cứu - 7

Chương 2 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 8

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 8

2.1.1 Phi hàm Euler SH HH HE kh ve 8 2.1.2 Định lí Euler - c c c n n ĐH HE HH HH n k vn va 8 2.1.3 Các tính chất và hệ quả ‹‹- cà 10 2.2 Phân loại một số bài toán liên quan đến định lí Euler 13

2.2.1 Các bài toán về nghiệm của phương trình, hệ phương trình đồng dư 13

2.2.2 Các bài toán về chứng minh sự tổn tại, không tổn tại 15

2.2.3 Các bài toán về phi hàm Euler -.- 19

2.2.4 Các bài toán khác -c c ene e nsec nee eeneeeenaees 23 2.3 Ứng dụng vào hệ mã hóa RŠA 26

2.3.1 Nguyên lí của hệ mã hóa RŠA -ẶQQQQ QQ Q HH như 27 2.3.2 Ví dụ thực tẾ .cc CC Q ng ng ĐH ng ng HH ng ng ba 28 2.4 Bài tập tự luyện c.Qn 30 2.5 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đổi với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 32

Chương 3 KẾT LUẬN -. . -< <<: 34 3.1 Kết luận - -.c.cc Q ch 34 3.2 Kiến nghị và để xuất s 34

Tài liệu tham khảo - «<< << << «<< << <2 36 Phụ lục .-.- SG HS n1 1V 37

Các kí hiệu sử dụng trong sáng kiến kinh nghiệm

sed

a | b

IA|

I]

op (a)

()

»

A\B

Lx

đồng dư ước chung lớn nhất

a chia hết b (hoặc b chia hết cho a)

lực lượng (số phân tử) của tập hợp A

tich sigma

số mũ đúng của ø theo ước ø nguyên tô

ki hiéu Legendre vé thang dư bình phương

t6ng sigma

hiệu của tập A trừ tập B

phân nguyên của z

Chương 1

DAT VAN DE

1.1 Lý do chọn đề tài

Ngay từ lớp 6, khi học về lũy thừa, các học sinh khá giỏi đã được tiếp cận

dang bài toán: tìm số dư khi chia 1 lũy thừa lớn cho một số tự nhiên A nào

đó, trong đó có bài toán tìm chữ số tận cùng, nhiều chữ số tận cùng của một lũy thừa Cách làm thời điểm đó về cơ bản là xét sự tuần hoàn số dư của lũy thừa tăng dân theo cơ số đó khi chia cho A Sau khi học thêm về số nguyên

tố, học sinh khá giỏi cấp THCS và theo định hướng chuyên toán có thể được học thêm định lí Fermat nhỏ, là 1 định lí tốt để không chỉ dùng cho việc xác

định số dư như đề cập ở trên, mà còn để giải quyết các bài toán Số học về số

nguyên tô

Trong bài viết này, tôi xin trình bày về Định lí Euler, là định lí tổng quát cho định lí Fermat nhỏ, là một công cụ sắc bén giải quyết nhiều bài toán Số

học, hay và khó trong các kì thi Olympic trên toàn thể giới Do khuôn khổ bài viết bị giới hạn về số trang, nên tôi sẽ trình bày vẫn đề lí thuyết một cách

cơ bản (với mục đích được phổ biến rộng rãi đến bạn đọc) và một số ví dụ áp dung minh họa trong các đề thi Olympic, để thấy được sự sắc bén của van

đề này

Ngoài ra, tôi còn trình bày về tính ứng dụng thực tiễn của định lí Euler,

chính là hệ mã hóa RŠA, một trong những hệ mã hóa có tính bảo mật và ứng dụng rât cao hiện nay

1.2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu những vẫn đề cơ bản của định lí Euler và các tính

chất hệ quả, sáng kiến xác định các biện pháp bồi dưỡng năng lực học Số học cho học sinh nhằm phát triển tư duy nghiên cứu chuyên sâu cho học sinh chuyên Toán

Rèn luyện kí năng vận dung dinh li Euler và các hệ quả vào giải toán thông qua các bài thi học sinh giỏi và các kì thi Olympic Hướng cho học

sinh đến việc hiểu được tính ứng dụng thực tiễn của định lí nói riêng, và của

Toán học nói chung trong dòng chảy cuộc sống hiện đại, giúp cho các em có định hướng tốt hơn cho môn học

1.3 Phạm vi nghiên cứu

Dựa trên dữ liệu các đề thi học sinh giỏi, kì thi Olympic trong nước và nước ngoài, đề tài tập trung nghiên cứu và đề xuất các bài toán rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh chuyên Toán và học sinh tham gia các đội tuyển thi học sinh giỏi các cấp

1.4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài tập trung làm rõ một số vẫn đề sau:

© Khái niệm phi hàm Euler và phát biểu định lí Euler

Các tính chất và hệ quả của định lí

Các bài toán áp dụng

Ứng dụng vào hệ mã hóa RSA

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với

bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

1.5 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo tài liệu trong và ngoài nước về Số học để biên soạn cơ sở lí

thuyết về định lí Euler Phân loại một số dạng đề thi Olympic toán được giải bằng định lí Euler Nếu học sinh được học chuyên sâu theo chuyên đề

sẽ phát triển năng lực tư duy Toán học, đặc biệt là có phương pháp để giải quyết được một lớp các bài toán về số học liên quan đến định lí Euler Đây là

phan khó với học sinh các lớp chuyên toán

Tham khảo các nguồn tài liệu, sách báo trong và ngoài nước để biên soạn

tính ứng dụng của định lí vào hệ mã hóa RSA

Chương 2

NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Phi ham Euler

Trước hết, ta định nghĩa phi ham Euler cua mét s6 nguyén duong n Định nghĩa 2.1.1 Với mỗi số nguyên dương ø, kí hiệu ø(ø) là số các số

nguyên dương nhỏ hơn ø và nguyên tô cùng nhau với ø Ta gọi ø(ø) là phi ham Euler cua n

Quy ước ø(1) = 1

Ví dụ

e ø(3) = 2, vì có 2 số nguyên dương nhỏ hơn 3 và nguyên tổ cùng nhau với 3 (là các số 1, 2)

¢ œ(12) = 4, vì có 4 số nguyên dương nhỏ hon 12 và nguyên tô cùng nhau với 12 (là các số 1, 5, 7, 11)

Nhận xét Rõ ràng nếu ø là số nguyên tố thì ø(ø) = ø - 1

2.1.2 Định lí Euler

Với số nguyên dương ñø, có duy nhất 1 số ø(ø) tương ứng Vậy hằng số

này có ứng dung øì? Ta có nội dung định lí Euler, là phát biểu chính của cơ

sở lí thuyết như sau:

Định lí 2.1.2 (Định lí Euler) Cho ø là một số nguyên dương bất kì Khi đó,

nếu ø là số nguyên dương nguyên tô cùng nhau với ø, ta luôn có

a?) =1 (mod n)

Chứng tính Gọi ø1,ña, - - - „8„(„) là các số nguyên dương nhỏ hơn # và nguyên

tố cùng nhau với ? Theo định nghĩa hệ thặng dư thu gọn (HTDTG) thì các

số trên lập thành 1 HTDTG mod

Với a € Z*,(a,n) = 1 bẫt kì, theo tính chất của HTDTG thì bộ

(am, 12, ' ' ° „88 (y) )

cũng lập thành 1 HTDTG mod

Khi đó ta thu được

1182 - - - ñ gữ) = aay: aado -aa p(n) = aq ay ` 8o(n) (mod ø)

Vì Ø1,Ø2, ' ,đ„(„) là các số nguyên dương nhỏ hơn ø và nguyên tổ cùng nhau với ? nên từ đó suy ra

a?) =1 (mod n)

Hệ qua 2.1.3 (Dinh li Fermat nhỏ) Với mỗi ø nguyên tố thì

a’-1=1 (mod p),Va € Z*, gcd(a,p) = 1

Chứng tỉnh Với p nguyên tô thì tat cA cdc s6 nguyén duong nhé hon p déu

nguyên tố cùng nhau với ø Do đó ø(p) = p — 1 Ap dung dinh li Euler ta có

điều cần chứng minh LÌ

Ví dụ 1 Tìm số dư khi chia 2911””" cho 12

Phân tích Như đã nói ở đầu, đây là dạng bài toán mà ta phải đi tìm hằng số

3 sao cho 29“ đồng dư 1 hoặc —1 theo mod 12 Định lí Euler cho ta số ø thỏa

Ching minh Ta có (12) = 4 Hơn nữa, vì (29,12) — 1 nên áp dụng định lí

Euler, ta có

29*=1 (mod 12)

Dễ thấy 117! = 3 (mod 4), nên 1179! — 4k + 3 Do đó,

201" ~ 2g#t3 — (294) 29

= 29° =5°=5 (mod 12)

Chú ý 2 = 4 không phải là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn 29” = 1 (mod 12), vì

292=5ˆ =1 (mod 12)

2.1.3 Các tính chất và hệ quả

Đôi khi để sử dụng định lí Euler, ta cần biết công thức để tính phi hàm

Euler œ(ø), đặc biệt khi ø là một số khá lớn Ta có các tính chất sau để suy ra

công thức tính phi hàm Euler cho một số ø bất kì

Tính chất 2.1.4

ø (p*) = p—1(p — 1),Vp € P,k € Z* (2.1)

Phân tích Để ý là gcd @ p*) >1© gcd(n,p) >1 © pỊr

Do đó, thay vì đếm số các số 1 nhỏ hơn ø# và nguyên tố cùng nhau với Ø##, ta

có thể đếm số các số # nhỏ hơn Ø* và là bội của ø L] Chứng minh Từ 1 đến 0Ÿ, các số là bội của p có thể lập thành dãy:

p,2p, wae pt Dp,

nên có ø#~! số như vậy Các số nguyên duong cén lai nho hon p* déu nguyén

tố cùng nhau với pk Vi vay,

ø (p*) = pk — pet = pp 1)

Tinh chat 2.1.5 @(mn) = g(m) - p(n), néu gcd(m,n) = 1

Với tính chất này thì ø(z) là một hàm nhân tính số học

10

Chứng minh Gọi A, B,C lần lượt là tập hợp các số nguyên đương nguyên tô cùng nhau và nhỏ hơn ?m, n, nn Khi đó,

g(m) = |A|, pữu) = |BỊ, pữmn) = |CI

Hơn nữa, với mỗi a € A,b € B, vi gcd(m,n) = 1 nén theo dinh li phan du

Trung Hoa, tôn tại duy nhất một số c € C thỏa mãn hệ đồng du:

c=a (mod m)

‘ =b (mod n)

Do đó, ta có một song ánh từ A x B vào C, dẫn đến |A| - |B| = |C|, tức là

p(mn) = p(m) - p(n)

LÌ

Từ 2 tính chất trên, ta thu được cách tính y(n) cua 1 số ø bất kì như sau

Tính chất 2.1.6 Nếu phân tích tiêu chuẩn của ø là = 1!g?ˆ - - - p„* thì

Chứng mrỉnh Thật vậy, với n0 = p1'p?2 - - - p„, áp dụng 2 tính chất 2.1.4 và

2.1.5, ta có:

ọ(n) = ø (p1') ø (p2') - ø (p„*)

= p28 (pr — 1) p27 (po -1) + pe (pe - 1)

0-3)0-3)-0-4)

Tính chất tiếp theo có vai trò quan trọng trong việc ứng dụng định lí Euler

LÌ

vào các bài toán chỉ ra sự tổn tại nghiệm của các phương trình đồng du

Tính chất 2.1.7 Với a, b là 2 số nguyên dương bắt kì nguyên tố cùng nhau, ta luôn có

11

Chứng trinh Vì gcd(a,b) = 1 nên theo định lí Euler thi a?) = 1 (mod b) va

b?Œ) = 1 (mod a) Từ đó a#) _ p?#) — 1 chia hết cho cả ø và b Ta có điều

Hệ quả 2.1.8 Với z,b là 2 số nguyên dương bất kì nguyên tố cùng nhau, và 7n, ¡0 nguyên dương bất kì ta luôn có

g”?() + p"9) = 1 (mod ab) (2.4)

Tính chất 2.1.9 Giả sử có k > 2 số nguyên dương ?1,?nạ, - - -ry đôi một

nguyên tố cùng nhau Dat M = m,-m2 - my = mjt; vii = 1,2,3 ,k, khi

đó

/m) _ p9) 54 90) =1 (mod M)

Chitng minh Tex gia thiét ta c6 (m;,t;) = 1 với mỗi ¡ = 1,2,- - - ,k nên theo

định lí Euler thì

Mat khac véi i,j thuéc tap {1,2, -,k} vai A j thi t; chia hét cho m; nén

(tj, m;) = m; hay

J

S=f”=1(modứ;)

Mà 7m1, rạ, - - - ,1r„ đôi một nguyên tô cùng nhau, nên suy ra

prem) + pgm) + + ppm) =1 (modm,-mp m),

tức là điều cân chứng minh L]

Hệ quả 2.1.10 Với giả thiết từ tính chất 2.1.9, ta luôn có

1+f2+ -+f =(h+fz+ -+tr)” (modM),

với mọi 7 nguyên dương

12

Ví dụ 2 Chứng minh sự tôn tại nghiệm của hệ phương trình đồng du:

(

x =a, (mod mj)

x =a (mod mp)

x=y (mod mx)

`

trong đó ø1, đa, - - - „8; là các số nguyên bat ki, 1, ma, - - - „ rr„ là các số nguyên

dương bắt kì đôi một nguyên tô cùng nhau (định lí phan du Trung Hoa)

Phân tích Ta cần tìm 1 số x có dang x = Aj + Ap + + + Ax sao cho với mỗi

¡€ 1,k thì

Aj =0 (mod mj),Vj #i

Aj =a; (mod m;) Hon nữa, các biểu thức A1, 4a, - : : „A¿ phải có tính đối xứng giữa các biến

1m, ma, - : : ,1y Từ đó ta nghĩ đến việc chọn các biểu thức 4; chứa tích các

biến f1, mạ, - - - „1y trù Trị L] Chứng minh Ta chon

g(m) g(m;) g(mr)

+ 82 rit a

X= ay

Từ đây, theo định lí Euler, dễ dàng kiểm tra được x thỏa mãn phương trình

2.2 Phân loại một số bài toán liên quan đến định lí Euler

2.2.1 Các bài toán về nghiệm của phương trình, hệ phương trình đồng

dư

Bài toán 1 Chỉ ra ít nhất 2 nghiệm của phương trình đồng dư:

x+°=1 (mod 28),

trong đó z, đều không chia hết cho 28

13

Lời giải Ta có 28 = 4- 7 và gcd(4,7) = 1 Áp dung hé qua 2.1.8 cho a = 4,

b =7 (9(4) = 2, 0(7) = 6), ta được:

e Chon m = 1,n = 5 thì

709+4°=1 (mod 28)

Do đó, x = 72, = 4 là một nghiệm của phương trình ban đầu

e Chọn # = 5,n = 6 thi

4° 4712 =1 (mod 28)

Do đó, x = 45, = 72 là một nghiệm của phương trình ban đầu

Vậy, phương trình đồng dư trên có ít nhất 2 nghiệm (z,) = (72,4); (46,72)

LÌ

Bài toán 2 Chứng minh rằng tôn tại các số nguyên dương x, y,z khéng chia

hết cho 60, thỏa mãn:

x16 4 yl6 + 716 = 4 (mod 60)

Lời giai Do 60 = 3-4-5,nén ta chon

gq, =3-4=12,9 =3-5= 15,93 = 4-5 = 20

Ap dung hé qua 2.1.10 cho n = 16, ta có

1216 + 1519 + 2016 = (12+ 15 +20)! = 471% (mod 60)

Lại vì ø(60) = ø(3) - ø(4) - ø(5) = 16 và gcd(47,60) = 1 nên

47 =1 (mod 60)

Từ dé chon x = 12,y = 15,z = 20 ta có điều cần chứng minh L]

Nhận xét Bài toán vẫn đúng nếu ta thay số mũ 16 thành 4, vì ta dễ kiểm tra

theo đồng dư thì 47 = 1 (mod 60)

Bài toán 3 Chứng minh rằng hệ phương trình đồng dư sau có nghiệm (x,„z, †) nguyên dương:

x++zi=1 (mod 1155)

x,y,z #0 (mod 1155)

14

Chứng minh Tuong tu bai 2, vi 1155 = 7-11-15 nén ta có

77! + 105! + 165! = 347! (mod 1155)

Vì gcd(347, 1155) — 1 nên chọn

t = ø(155) = ø@) - G) - pgữ) - p(1) = 480,

ta có

77130 + 1095480 + 165489 = 347#U =1 (mod 1155)

Chọn (z,,z,£) = (77,105, 165,480) ta có điều cần chứng minh L]

2.2.2 Các bài toán về chứng minh sự tôn tại, không tôn tại

Bài toán 4 Cho k € Z thỏa mãn gcd(k,10) = 1 Chứng minh rằng tổn tại

vô hạn số hạng của dãy

1,11,111,1111,- - -,

chia hết cho k

10” —1

Chitng minh Cac sô hạng của dãy trên đều có dạng

minh tôn tại vô hạn ø để 10” — 1 chia hết cho 9k Rõ ràng vì gcd(10,k) = 1

nên gcd(10,9k) = 1 Thế thì với mọi # = zø(9k) với a c Z.* bất kì, ta có

la sẽ chứng

10) =1 (mod 9k),

Bài toán 5 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương #r, tồn tại số nguyên dương 7: có tổng các chữ số bằng m va chia hét cho m

Phân tích Thông thường với bài toán như thế này, ta sẽ tìm số # chỉ gồm m chữ số 1 và một số hữu hạn chữ số 0, do đó 7 sẽ có dạng

# = 101 -+ 102 + - - - + 10”,

VOI a, < a2 < +++ < dự, Đên đây, nêu mỗi 10: đều đồng dư với 1 theo modulo ? thì ta có điều cần chứng minh L]

15