Bài tập lớn latex Đề tài Ôn tập giữa kỳ 2 giải tích i

Dãy Cauchy: Dãy số an được gọi là dãy số Cauchy nếu với mọi ϵ>0, tồntại số tự nhiên N sao cho |an− am|N... - Tiệm cận xiên: Nếu lim thì y=ax+b là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số... Đ

TRƯỜNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ

1 Hàm số một biến 2

1.1 Hàm số lượng giác 2

1.2 Hàm Hyperbolic: 2

1.3 Tính chẵn lẻ của hàm số 3

1.4 Hàm số tuần hoàn 3

1.5 Giới hạn 4

1.6 Tiêu chuẩn Cauchy 4

1.7 Các giới hạn cơ bản 5

1.8 VCB-VCL 5

1.9 Hàm số liên tục 7

1.10 Đạo hàm và vi phân 8

1.11 Vi phân của hàm số 9

1.12 Đạo hàm cấp cao - Vi phân cấp cao 9

1.13 Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 9

1.14 Công thức khai triển Taylor, Maclaurin 10

1.15 Quy tắc L’Hospital 11

1.16 Khảo sát hàm số 13

2 Tích phân 15 2.1 Tích phân bất định 15

2.2 Tích phân hàm lượng giác 17

2.3 Tích phân xác định 17

2.4 Ứng dụng của tích phân xác định 19

y = cosh x = e

x+ e−x2

1.3 Tính chẵn lẻ của hàm số

Hàm số chẵn: Hàm số f(x) chẵn ⇔

(x∈ TXĐ → −x ∈ TXĐ

- Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

Chú ý : TXĐ không đối xứng → hàm không chẵn, không lẻ

Hàm số tuần hoàn: Hàm số f(x) tuần hoàn với chu kì T>0 ⇔

(x∈ TXĐ → x + T → TXĐ

f (x) = f (x + T )

Chu kỳ của những hàm số lượng giác

• y = sin x, cos x: Chu kỳ T0 = 2π

• y = tan x, cot x: Chu kỳ T0 = π

• y = sin(ax + b), y = cos(ax + b): Chu kỳ T0 = 2π|a|

• y = tan(ax + b), y = cot(ax + b): Chu kỳ T0 = |a|π

• y = asin(mx) + bcos(nx) + c(m, n ∈ Z): Chu kỳ T0 = 2π

• Miền xác định của f = Miền giá trị của f−1

• Miền xác định của f = Miền xác định của f−1

∞ − ∞, 0 × ∞,∞

∞,

0

0.

Dãy Cauchy: Dãy số an được gọi là dãy số Cauchy nếu với mọi ϵ>0, tồntại số tự nhiên N sao cho |an− am|<ϵ với mọi m,n>N

Ví dụ: Chứng minh rằng dãy số an với an = 1 + 1

• k=1 ⇒ α(x) ∼ β(x)

• k=0 ⇒ α(x) được gọi là bậc VCB cao hơn β(x)

• k=∞ ⇒ α(x) được gọi là bậc VCB thấp hơn β(x) Các VCBthường gặp x → ∞:

• k=1 ⇒ α(x) ∼ β(x)

• k=0 ⇒ α(x) được gọi là bậc VCB thấp hơn β(x)

• k=∞ ⇒ α(x) được gọi là bậc VCB cao hơn β(x)

Quy tắc ngắt bỏ VCB(VCL):

- Giả sử ta có 1 VCB(VCL) có dạng tổng của nhiều VCB(VCL) bậc khácnhau Khi đó ta có thể ngắt bỏ các VCB(VCL) bậc cao(thấp) chỉ giữ lạinhững VCB(VCL) bậc thấp(cao) nhất Kết quả ta sẽ thu được 1 VCB(VCL)mới tương đương trước khi ngắt bỏ

f (x)lim

x→x o

f (x) = f (xo)-f(x) giạn đoạn tại xo⇒ f(x) không liên tục tại xo

Điểm gián đoạn: Giả sử xo là điểm gián đoạn của hàm số f(x)

• Điểm gián đoạn loại 1: Giả sử lim

x→x+o

= a, limx→x−o

= b.(a,b hữu hạn)

– Nếu a=b → ta gọi là giới hạn bỏ được

– Nếu a̸= b → |a − b| gọi là bước nhảy

• Điểm gián đoạn loại 2: x = xo gọi là gián đoạn loại 2 ⇒

limx→x+o

f (x) = ∞lim

x→x−o

f (x) = ∞ Cácđịnh lý về hàm liên tục:

- Định lý Cantor: Nếu f(x) liên tục trên [a,b] thì nó liên tục đều trên đó (nếu

ta thay [a,b] bằng khoảng (a,b) thì định lý không còn đúng

- Định lý Cauchy: Nếu f(x) liên tục trên [a,b] và có f(a).f(b)<0 thì ∃α ∈ (a, b)

để f (α) = 0

- Một số đạo hàm sơ cấp học C3 không đề cập nữa nhé :)))

(arcsin x)′ = √ 1

1 − x2 (arctan x)′ = 1

x2+ 1(arccos x)′ = −√ 1

1 − x2(sinh x)′ = cosh x (cosh x)′ = sinh x

Đạo hàm của hàm ngược:







Hàm số x=φ(y) có đạo hàm ngược y=f(x)

y = f (x)liên tục tại xo = φ(yo)

φ′(yo) ̸= 0

f’(xo) = 1

φ′(yo)Đạo hàm theo tham số:

Hàm số f(x) khả vi tại xo ⇒

(f(x) liên tục tại xo

∃f′(xo) : f′(x+

o) = f′(x−o)

1.11 Vi phân của hàm số

Biểu thức vi phân cấp 1:

df(x)=f’(x)dxCông thức tính xấp xỉ: f (xo+ ∆x) ≈ f (xo) + f′(xo)∆x

Đạo hàm cấp cao của một số hàm số cơ bản

→ f′(c) = 0

2 Định lý Rolle

f(x) liên tục trên [a,b]

f(x) khả vi trên (a,b) → ∃c ∈ (a, b)|f′(c) = f (b) − f (a)

1 Công thức Taylor

Khai triển Taylor tại x=xo:

f (x) =

nXk=0

f(k)(x0)k! (x − x0)

k+ o(xn)

= f (0) + f

′(0)1! x + · · · +

f(n)(0)n! x

n+ o(xn)

2 Khai triển Maclaurin (x=0):

f (x) =

nXk=0

f(k)(0)k! x

k+ o(xn)

= f (0) + f

′(0)1! + +

f(n)(0)n! + o(x

n)Các khai triển Maclaurin quan trọng:

• ex = 1 + x

1!+

x22! +

x33! + +

xnn! + o(x

n)

• sin x = x − x3

3! +

x55! + +

(−1)nx2n+1(2n + 1)! + o(x

2n+1)

• cos x = 1 − x2

2! +

x44! −x

6

6! + +

(−1)nx2n+1(2n)! + o(x

x2n+1(2n + 1)! + o(x

2n+1)

• cosh x = 1 + x2

2! +

x44! + +

x2n(2n)!+ o(x

2n)

Quy tắc L’Hospital: Các hàm số f(x), g(x) khả vi trong một lân cận nào

đó của điểm xo đồng thời g’(x)̸=0 trong lân cận ấy, lim

x→x o

f (x) = lim

x→x o

g(x) =0(Khử dạng 0

0).

→ Khi đó lim

x→x o

f (x)g(x) = limx→x o

f′(x)

g′(x)

(Quy tắc L’ vẫn đúng nếu ta thay x → xo) bởi x → x+o, x → x−o, x →+∞, x → −∞

1/x

−1/x2 = 0

2 Dạng vô định ∞ − ∞: Để tính các giới hạn này ta sẽ đưa phép trừ

về dạng thương, như quy đồng mẫu hay đặt nhân tử chung, ,

Ví dụ: Tính lim

x→0(1

x − 1sin x)∗

cos x − 1sin x + x cos x =

L′

−→ limx→0

− sin x

2 cos x − x sin x =0

3 Dạng lim

x→x o

A(x)B(x)Cách giải:

Đặt f (x) = A(x)B(x) và đi tính lim

- Định nghĩa: y=a được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm sốf(x) nếu lim

x→∞f (x) = a(c) Tiệm cận xiên

- Định nghĩa: Đường thẳng y=ax+b được gọi là tiệm cân xiên của

đồ thị hàm số y=f(x) nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau:

a = limx→∞

f (x)x

b = ( limx→∞f (x) − ax)Nhận xét: về cùng một phía −∞; +∞ hàm số không thể có đồngthời TCN và TCX

Đối với đường cong cho dưới dạng tham số:

là một tiệm cận đứng của đường cong

- Tiệm cận ngang: Nếu lim

t→t o (∞)x(t) = ∞ và lim

t→t o (∞)= yothì y = yo

là một tiệm cận ngang của đường cong

- Tiệm cận xiên: Nếu lim

thì y=ax+b là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

- Nếu f”(x)>0 ∀x ∈ D thì f(x) lồi trên D

(Đối với hàm lõm thì dấu ngược lại)

Z

M tdt(t2+ a2)m +

Z(N − M p/2)(t2+ a2)m dt-

Z

M tdt(t2+ a2)m = − M

2(m − 1(t2+ a2)m−1)-

Z (N − M p/2)(t2+ a2)m dt → đặt t=atanx

2.2 Tích phân hàm lượng giác

DẠNG 1:

Z(sinmx + cosnx)dx, trong đó m,n là số nguyên

- Nếu m là số nguyên dương lẻ, ta đặt t = cosx

- Nếu n là số nguyên dương lẻ, ta đặt t = sinx

- Nếu m,n là các số nguyên dương chẵn, ta sử dụng công thức hạ bậc:sin2x = 1 − cos2x

- Ta sẽ sử dụng phép biến đổi tổng quát t=tan t/2:

Z(cotmx)dx

Phương pháp:

d(tan x) = 1

cos2x, d(cot x) = −

1sin2x)d( 1

cosx) =

sin xcos2xdx =

tan xcot xdxd( 1

sinx) = −

cos xsin2xdx = −

cot xsin xdx

f (x)dx = F (x)|ba

2 Các tiêu chuẩn khả tích

f (x) khả tích trên [a, b] ⇒







f (x) liên tục trên [a, b]

f (x) bị chặn và có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a, b]

f (x) bị chặn và đơn điệu trên [a, b]

f (x)dx ±

bZag(x)dx

f (x)dx +

bZc

|f (x)|dx

Nếu f (x) ≥ g(x)∀x ∈ [a, b] thì:

bZa

f (x)dx ≥

bZag(x)dx

Nếu m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ [a, b] thì: m(b − a) ≤

bZa

f (x)dx ≤ M (b − a)

4 Đạo hàm dưới dấu tích phân

G(x) =

xZa

f (t)dt ⇒ G′(x) = f (x)

G(x) =

βZα

f (ξi)∆xi = b − a

n

nXi=1

y = 0

a ≤ x ≤ b

→ S =

bZa

dZc

|f (y) − g(y)|dy

x = o

c ≤ y ≤ d

f2(x)

0 ≤ g(x) ≤ f (x)

a ≤ x ≤ b

→ V0x =

bZa[f2(x) − g2(x)]dx

0 ≤ g(y) ≤ f (y)

c ≤ y ≤ d

→ VOy = π

dZc[f2(y) − g2(y)]

Đề thi thử

Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và in học

Thời gian làm bài 30 phút

ĐỀ THI THỬ GIỮA KÌ GIẢI TÍCH 1 2021

A −13

B 12

C 23

D 1

Câu hỏi 4 Cho hai hàm số f(x)=arctan(sin x) và g(x)=sinh(x)+cosh(x).Khi đó, khẳng định nào sau đây là đúng?

A f(x) là hàm số lẻ và g(x) không là hàm số chẵn cũng không là hàm số

B f(x) là hàm số chẵn và g(x) là hàm số

C f(x) là hàm số lẻ và g(x) là hàm số chẵn

D f(x) không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ và g(x) là hàm sốchẵn

Câu hỏi 5 Viết khai triển Maclaurin hàm f(x)=1112√

A a=3; b=18

B a=71

4 , b = 18

C a=71

4 , b = 18

D Cả A,B,C đều sai

Câu hỏi 7 Tìm nguyên hàm In=

π/2Z0

D Hàm số không có cực trị

E Hàm số xác định ∀x ∈ R

F Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang

Câu hỏi 10 Điểm x=0 là điểm gián đoạn bỏ được của hàm số nào sau đây?

A Phương trình (Pn[x])’=0 có đúng n-1 nghiệm thực phân biệt

B Phương tình (Pn[x])"=0 có đúng n-2 nghiệm thực phân biệt

C Chưa thể kết luận được gì về số nghiệm thực của phương trình (Pn[x])’=0

D Số nghiệm thực của phương trình (Pn[x])’=0 phụ thuộc vào tính chẵn,lẻcủa n

E Chưa thể kết luận được gì về số nghiệm thực của phương trình (Pn[x]"=0.Câu hỏi 12 Xét hàm số f :R → R Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A Hàm số khả vi tại xo khi và chỉ khi đạo hàm của hàm số tồn tại và liêntục tại điểm đó

B Hàm số khả vi tại điểm nào thì có đạo hàm tại điểm đó

C Nếu tại điểm xo hàm số có các đạo hàm một phía thì hàm số khả vi tạiđiểm đó

D Hàm số khả vi tại điểm nào thì liên tục tại điểm đó

Câu hỏi số 13 Tính giới hạn L = lim

x→0

(x2− 5x + 4) arcsin(x2− x3)(ex− e)(1 −√4x − 3) =

c

d.

1

e.H=c-d=

Câu hỏi số 14 Tính diện tích phần nằm ngoài đường r=2a và nằm bêntrong r=4acos ⊖ S=

Câu hỏi số 15 Tính tích phân sau: I =

1Z0

1 −√

x + 1

1 +√3

x + 1=