Giáo trình SBVL1 - Công thức, bài tập, ví dụ - Đại học GTVT HCM

Khối lượng giảng dạy 3 tín chỉ bao gồm các nội dung sau: Chương 1: Những khái niệm cơ bản về sức bền vật liệu Chương 2: Các đặc trưng hình học của hình phẳng Chương 3: Kéo, nén đúng tâm

LỜI NÓI ĐẦU

Giáo trình Sức bền vật liệu cũng như những giáo trình khác đã được xuất bản với số lượng lớn do nhiều tác giả khác nhau biên soạn Tuy nhiên hiện nay hầu hết các trường đại học, cao đẳng trên cả nước đều tiến hành đào tạo theo hệ thống tín chỉ Do

đó việc tự học của sinh viên đòi hỏi phải có một thời lượng lớn gấp đôi thời lượng lên lớp trực tiếp nghe giảng bài Như vậy sinh viên phải có giáo trình do chính nhà trường biên soạn để học tập và tự nghiên cứu Từ lý do đó chúng tôi tiến hành biên soạn giáo trình này

Sức bền vật liệu là một môn kỹ thuật cơ sở nhằm cung cấp những kiến thức tính toán công trình hay chi tiết máy về độ bền, độ cứng và độ ổn định Trong giáo trình này chúng tôi không đề cập hết tất cả các dạng chịu lực của bộ phận công trình trong

kỹ thuật mà chỉ xét những hình thức chịu lực cơ bản thường gặp

Giáo trình Sức bền vật liệu được biên soạn theo chương trình đề cương chi tiết

đã được trường Đại học sư phạm kỹ thuật Vĩnh Long phê duyệt Khối lượng giảng dạy

3 tín chỉ bao gồm các nội dung sau:

Chương 1: Những khái niệm cơ bản về sức bền vật liệu Chương 2: Các đặc trưng hình học của hình phẳng Chương 3: Kéo, nén đúng tâm

Chương 4: Trạng thái ứng suất và thuyết bền Chương 5: Cắt - dập

Chương 6: Xoắn thuần túy thanh tròn thẳng Chương 7: Uốn phẳng

Chương 8: Thanh chịu lực phức tạp Chương 9: Ổn định của thanh thẳng chịu nén đúng tâm (Uốn dọc)

Trong quá trình biên soạn giáo trình, chúng tôi có tham khảo nhiều giáo trình của các trường đại học và cao đẳng, mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng khó tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến xây dựng của các nhà chuyên môn, quý Thầy, Cô giáo, sinh viên và bạn đọc

Xin chân thành cảm ơn

Vĩnh Long, ngày 02 tháng 10 năm 2013

Tác giả

CHƯƠNG 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ SỨC BỀN VẬT LIỆU

1.1 NHIỆM VỤ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA MÔN HỌC

1.1.1 Nhiệm vụ

Sức bền vật liệu là môn học kết hợp giữa lý thuyết và thực nghiệm, trên cơ sở nghiên cứu khả năng chịu lực của vật liệu và giải quyết ba bài toán cơ bản đối với một cấu kiện công trình hay một chi tiết máy đó là độ bền, độ cứng và độ ổn định

Về mặt hình học, vật thể nghiên cứu được chia làm 3 dạng sau:

- Khối: Khối là vật thể có kích thước theo 3 phương đều tương đương nhau (hình 1.1.a)

Trong giáo trình này, vật thể được nghiên cứu là vật rắn thực và hình dạng chủ yếu là dạng thanh Hình dạng hình học của thanh được biểu diễn bằng trục của nó và mặt cắt thẳng góc với trục của thanh gọi tắt là mặt cắt

1.2 CÁC GIẢ THUYẾT CƠ BẢN VỀ VẬT LIỆU

Môn Sức bền vật liệu sử dụng 3 giả thuyết cơ bản sau:

1.2.1 Giả thuyết 1

Vật liệu có tính chất liên tục, đồng tính và đẳng hướng

- Vật liệu liên tục nghĩa là không có lỗ rỗng

- Vật liệu đồng tính nghĩa là tính chất cơ học và vật lý tại mọi điểm của nó giống nhau

- Vật liệu đẳng hướng nghĩa là tính chất cơ học và vật lý của vật thể theo mọi phương là như nhau

1.2.2 Giả thuyết 2

Biến dạng của vật thể là biến dạng đàn hồi và đàn hồi tuyệt đối

Khi có lực tác dụng sẽ làm cho vật thể bị biến dạng; Bỏ lực đi, vật thể lại trở lại kích thước và hình dạng ban đầu đó là tính đàn hồi của vật thể và biến dạng của vật được gọi là biến dạng đàn hồi

Trong thực tế khi bỏ lực tác dụng thì vật thể không trở lại kích thước và hình dạng ban đầu mà nó còn có biến dạng dư hay còn gọi là biến dạng dẻo Tuy nhiên các thí nghiệm cho thấy khi lực tác dụng chưa vượt quá một giới hạn xác định thì biến dạng dư của vật thể là rất nhỏ có thể bỏ qua và coi vật thể đàn hồi tuyệt đối

1.2.3 Giả thuyết 3

Biến dạng của vật thể do ngoại lực gây ra là nhỏ so với kích thước của chúng và tuân theo định luật Hooke

Nghĩa là vật thể có biến dạng tỷ lệ bậc nhất với lực gây ra biến dạng đó

Giả thuyết này cho phép coi điểm đặt của các lực là không đổi khi vật thể bị biến dạng, làm đơn giản hơn trong tính toán

1.3 BIẾN DẠNG VÀ CHUYỂN VỊ

1.3.1 Định nghĩa

- Biến dạng là sự thay đổi hình dạng hình học ban đầu của vật dưới tác dụng của lực

- Khi vật thể bị biến dạng thì vị trí của một điểm bất kỳ thuộc vật thể thay đổi

Sự thay đổi vị trí của một điểm được gọi là chuyển vị

1.3.2 Biến dạng, chuyển vị của thanh

Đối với thanh, được mô tả bằng trục và tiết diện, biến dạng và chuyển vị thường được định nghĩa như sau:

- Biến dạng của thanh là sự thay đổi kích thước, hình dạng của tiết diện, sự thay đổi chiều dài, độ cong và độ xoắn của trục thanh

- Chuyển vị là sự thay đổi vị trí của tiết diện trước và sau khi thanh bị biến dạng

1.3.3 Các loại biến dạng cơ bản của thanh

Dưới tác dụng của ngoại lực hoặc sự thay đổi nhiệt độ, vật thể bị biến dạng Biến dạng có nhiều loại song Sức bền vật liệu chủ yếu nghiên cứu các loại biến dạng sau:

a Biến dạng kéo và nén: Khi thanh chịu tác dụng bởi các lực hay hợp lực có hướng dọc theo trục thanh, thì thanh có thay đổi chiều dài mà không thay đổi độ cong Thanh sẽ bị giãn ra hoặc co lại, ta nói thanh chịu kéo hoặc nén, biến dạng của thanh khi đó là biến dạng dài Khi kéo thanh bị dài ra (hình 1.2.a), khi nén thanh bị co lại (hình 1.2.b)

Ví dụ: Các thanh dàn, cột, cột chống, dây cáp, …

P

P P c)

Hình 1.2: Các loại biến dạng cơ bản của thanh

b Biến dạng trượt (cắt): Là biến dạng trong đó trục thanh không thay đổi độ cong, các mặt cắt ngang có xu hướng trượt lên nhau dưới tác dụng của ngoại lực (hình 1.2.c)

Ví dụ: Các bu lông, đinh tán, các liên kết hàn,…

c Biến dạng xoắn: Khi thanh chịu tác dụng bởi các ngẫu lực nằm trong những mặt phẳng vuông góc với trục thanh, khi đó trục thanh không thay đổi độ dài, độ cong, các tiết diện không có chuyển vị thẳng, nhưng có chuyển vị xoay quanh trục thanh trong mặt phẳng của tiết diện Sau biến dạng những đường xoắn ốc tạo thành trên bề mặt của thanh (hình 1.2.d)

Ví dụ: Các trục truyền động, mũi khoan,…

d Biến dạng uốn: Dưới tác dụng của các lực có phương vuông góc với trục thanh và nằm trong mặt phẳng chứa trục thanh, hoặc các ngẫu lực nằm trong mặt phẳng chứa trục thanh Khi đó, trục thanh bị cong đi, tiết diện thanh có cả chuyển vị thẳng và chuyển vị xoay (hình 1.2.e)

Ví dụ: Các thanh dầm, dầm cầu, trục các toa xe,…

Ngoài những trường hợp biến dạng cơ bản kể trên, trong thực tế thì thanh thường có biến dạng phức tạp là trường hợp kết hợp của hai hay nhiều trường hợp cơ bản, chẳng hạn trên thanh vừa có biến dạng uốn vừa có biến dạng kéo (nén) hay vừa uốn vừa xoắn, …

1.4 KHÁI NIỆM VỀ NGOẠI LỰC, NỘI LỰC, PHƯƠNG PHÁP MẶT CẮT VÀ ỨNG SUẤT

1.4.1 Ngoại lực

Ngoại lực là tác dụng của môi trường bên ngoài hay từ vật thể khác lên vật thể đang xét Ngoại lực bao gồm tải trọng và phản lực

a Tải trọng: Là loại ngoại lực tác dụng lên vật thể mà vị trí, tính chất và trị số

đã được cho trước

Tải trọng bao gồm tải trọng tập trung và tải trọng phân bố:

- Tải trọng tập trung là tải trọng tác dụng lên vật thể theo một diện tích rất nhỏ coi như một điểm Đơn vị: (N), (KN),

Tải trọng phân bố có thể theo diện tích hoặc theo chiều dài

+ Tải trọng phân bố theo diện tích: Là tải trọng tác dụng liên tục trên bề mặt của vật thể Đơn vị: (N/m2), (KN/m2),

+ Tải trọng phân bố theo chiều dài: Khi tải trọng phân bố theo diện tích phân

bố đều theo một cạnh và cạnh đó rất nhỏ so với cạnh kia thì được thay thế bằng tải

trọng phân bố theo chiều dài Đơn vị: (N/m), (KN/m),

q(z)

Hình 1.5: Tải trọng phân bố theo chiều dài * Chú ý: Theo tính chất, tải trọng còn có thể được phân ra là tải trọng tĩnh và tải trọng động - Tải trọng tĩnh là tải trọng không thay đổi theo thời gian trong suốt quá trình tác dụng - Tải trọng động là tải trọng biến đổi theo thời gian hay tăng đột ngột trong quá trình tác dụng b Phản lực: Cũng là ngoại lực như tải trọng nhưng là các lực chưa biết, xuất hiện tại các liên kết giữa vật thể đang xét với vật thể khác (phần này đã được học ở môn Cơ học lý thuyết) Các loại liên kết gồm: liên kết tựa, liên kết thanh, liên kết dây mềm, gối đỡ bản lề di động, gối đỡ bản lề cố động, liên kết ngàm,

Tóm lại, ngoại lực bao gồm các loại tải trọng: lực tập trung, lực phân bố, mômen tập trung, mômen phân bố và các phản lực liên kết Ví dụ: Ngoại lực tác dụng lên dầm AE gồm lực tập trung P, lực phân bố q, mômen tập trung M và các phản lực X A, Y A, Y E (hình 1.6) YA M = qa2 P = qa q YE

XA

A B C D E

1m 1m 1m 2m

Hình 1.6: Các loại ngoại lực

1.4.2 Nội lực

Giữa các phần tử vật chất của vật thể luôn luôn có các lực liên kết để giữ cho nó

có hình dáng nhất định

Khi có ngoại lực tác dụng lên vật thể làm cho vật thể bị biến dạng Khi đó các

lực liên kết giữa các phân tố trong vật thể sẽ bị biến đổi làm xuất hiện trong vật thể

những lực chống lại biến dạng đó Những lực này gọi là nội lực

Như vậy nội lực là độ tăng của lực liên kết giữa các phần tử trong thanh khi

chúng bị biến dạng

Tuy nhiên độ tăng này chỉ đến một mức độ nào đó tùy loại vật liệu, nếu lực cứ

tăng mãi thì vật liệu sẽ bị phá hỏng Vì thế xác định nội lực là một trong những vấn đề

cơ bản của môn Sức bền vật liệu

1.4.3 Phương pháp mặt cắt

Để xác định nội lực tại một điểm bất kỳ trong vật thể ta dùng phương pháp mặt

cắt: Xét vật thể cân bằng dưới tác dụng của hệ lực (P1,P2, ,P n ) như hình 1.7.a

Tưởng tượng dùng một mặt phẳng  cắt qua vật thể khảo sát thành hai phần (A) và

Khảo sát phần (A): Để phần (A) cân bằng (hình 1.7.b), ta thấy trên mặt cắt sinh

ra hệ lực để cân bằng với các ngoại lực tác dụng lên phần (A) Hệ lực này chính là

những nội lực cần tìm Muốn xác định chúng phải lập các phương trình cân bằng tĩnh

học, gồm 3 phương trình hình chiếu và 3 phương trình mômen:

Fx = 0 mx(F) = 0

Fy = 0 my(F) = 0

Fz = 0 mz(F) = 0 Các thành phần nội lực:

Tại trọng tâm O (hình 1.8) của mặt cắt ta gắn hệ trục Oxyz Thu gọn hệ lực về

= p là ứng suất tại điểm C

p còn gọi là ứng suất toàn phần tại C, được phân làm hai thành phần:

- Thành phần vuông góc với mặt cắt gọi là ứng suất pháp, ký hiệu  

- Thành phần nằm trong mặt cắt gọi là ứng suất tiếp, ký hiệu 

= 1 + 2

Hình 1.10:  = 1 + 2

CÂU HỎI ÔN TẬP

1 Hãy nêu nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu của môn Sức bền vật liệu

2 Hãy nêu các giả thuyết đối với vật liệu dùng trong Sức bền vật liệu

3 Định nghĩa biến dạng và chuyển vị của thanh Nêu các loại biến dạng cơ bản của thanh

4 Định nghĩa ngoại lực và phân loại ngoại lực

5 Định nghĩa nội lực và ứng suất

6 Trình bày phương pháp mặt cắt

CHƯƠNG 2 CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA HÌNH PHẲNG

2.1 KHÁI NIỆM

Đối với một hình phẳng thì đặc trưng của nó là diện tích F mà ta đã biết Tuy nhiên, khi quan sát khả năng chịu lực của thanh ta thấy nó không những phụ thuộc vào diện tích của mặt cắt ngang F mà còn phụ thuộc vào các đặc trưng khác

Hình 2.1: So sánh khả năng chịu uốn của thanh

Ví dụ: Cho thanh chịu uốn trong hai trường hợp như hình 2.1 Bằng trực giác ta

dễ thấy rằng thanh trong trường hợp (a) có khả năng chịu uốn tốt hơn trong trường hợp (b) mặc dù diện tích mặt cắt ngang là không đổi

Như vậy khả năng chịu lực của một thanh không chỉ phụ thuộc vào diện tích mà còn phụ thuộc vào hình dáng và cách sắp đặt của mặt cắt ngang Hiểu biết các đặc trưng này cho phép tính toán được độ bền, độ cứng, độ ổn định của thanh và cho phép thiết kế tiết diện thanh một cách tiết kiệm hợp lý

Ta có định nghĩa: Mômen tĩnh của hình phẳng đối với trục x và trục y là:

Sx = 

F

ydF và Sy = 

F xdF

Như vậy mômen tĩnh của một hình phẳng đối với một trục là những lượng đại

số được xác định bằng tổng của tích giữa diện tích phân tố dF và khoảng cách từ phân

x F

y F

Jx = 

F dF

y2 là mômen quán tính của hình F đối với trục x

Jy = 

F dF

x2 là mômen quán tính của hình F đối với trục y

b Định nghĩa 2: Mômen quán tính ly tâm của hình phẳng đối với một hệ trục là lượng đại số được xác định bằng tổng của tích giữa diện tích phân tố dF và khoảng cách từ phân tố đến hai trục

Jxy = 

F xydF là mômen quán tính ly tâm của hình F đối với hệ trục Oxy

c Định nghĩa 3: Mômen quán tính độc cực của hình phẳng đối với một điểm là lượng đại số được xác định bằng tổng của tích giữa diện tích phân tố và bình phương khoảng cách từ phân tố đến điểm đó

Jo = 

F dF

2

 là mômen quán tính độc cực của hình F đối với điểm O

Vì: 2 = x2 + y2  Jo = Jx + Jy

Đơn vị của mômen quán tính là (m4), (cm4), …

Dấu của Jx , Jy ,Jo luônluôn dương

Dấu của Jxy có thể (+), (-) hoặc bằng 0

Định nghĩa 4: Mômen quán tính của hình phẳng đối với trục quán tính chính trung tâm gọi là mômen quán tính chính trung tâm

2.4 MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐƠN GIẢN

y2 = 



2 /

2 /

Hình 2.4: Tính mômen quán tính của hình tam giác trong hệ tọa độ Oxy

Ta chọn dF là dải song song với trục x, có chiều cao dy Vì dy bé nên suy ra:

dF = by.dy =

h

y

h.b.dy

Jx = 

F dF

y2 = h  b dy

h

y h y

y

by dy 2h/3

dF y

C x

h/3

b/3 2b/3

Hình 2.5: Tính mômen quán tính của hình tam giác trong hệ tọa độ Cxy dF = by.dy = h y h 3 2 b.dy Jx =  F dF y2 =    3 / 2 3 / 2 3 2 h h dy b h y h y = 36 3 bh (2.7) Tương tự: Jy = 36 3 hb (2.8) 2.4.3 Hình tròn y d ρ dF O x

D

Hình 2.6: Tính mômen quán tính của hình tròn

Vì hình tròn có tâm đối xứng nên mọi trục đi qua trọng tâm O đều là trục quán chính trung tâm

Ta có: Jx = Jy =

2

o J

Lấy phân tố dF như hình vẽ, ta có: dF = 2.d

Suy ra: Jo = 

F dF

2

0

3

2 

Jo =

2

4

R

 =

32

4

D

Vậy: Jx = Jy =

2

o

J

=

4

4

R

 =

64

4

D

2.4.4 Hình vành khăn

y

d O x

D Hình 2.7 Tính mômen quán tính của hình vành khăn Jo = 32 4 D  (1 - 4)  0,1 D4 (1 - 4) (2.11) Jx = Jy = 64 4 D  (1 - 4)  0,05 D4 (1 - 4) (2.12) Trong đó:  = D d , d là đường kính trong, D là đường kính ngoài 2.5 MÔMEN QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI TRỤC SONG SONG Giả sử ta đã tính được các mômen quán tính của F đối với hệ trục tọa độ Oxy (hình 2.8) Hãy xác định các mômen quán tính của F đối với hệ trục O1x1y1 song song với hệ trục Oxy y1 y x

dF F y O x

b

O1 a x1

Hình 2.8: Cách tính mômen quán tính đối với trục song song

Gọi (a, b) là tọa độ của O trong hệ tọa độ O1x1y1 Tương quan giữa các tọa độ như sau:

x1 = a + x

y1 = b + y

Ta có: Jx1= 

F dF

y12 = 

F

dF y

b )2

F

dF y by

( 2 2 = b2F + 2bSx + Jx

Jx1= Jx + 2bSx + b2F Tương tự ta có:

Jy1= Jy + 2bSy + a2F Mômen quán tính ly tâm:

Ta có: Jx1y1= 

F dF y

x1 1 =  

F

dF y b x

a )( )

F

dF xy bx ay

(

= abF + aSx + bSy + Jxy

Jx1y1= Jxy + aSx + bSy + abF Trường hợp Oxy là hệ trục trung tâm (O là trọng tâm của F), ta có:

Jx1 = Jx + b2F

Jx1y1= Jxy + abF

Bước 1: Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm

Xác định trọng tâm C của hình: Chia hình làm 3 phần I, II, III và gắn chúng vào

y F





=

3 2 1

3 2

1 1 2 3

F F F

y F y F y

)27.(

12.36)27.(

12.360.36.18

Vậy hệ trục quán tính chính trung tâm là Cxy

Bước 2: Tính các mômen quán tính chính trung tâm:

- Tính Jx = I

x

J + II x

J + III x J

Trong đó:

I x

J = Jx1 + 15,432.F1 =

12

18

+ 15,432.18.36 = 171775,01 cm4

II x

J = III x

J = Jx3+ 11,572.F3 =

12

36

J + III y

J

Trong đó:

I y

J = Jy1 + 02.F1 =

12

36

= 69984 cm4

II y

J = III y

J = Jy3+ 122.F3 =

12

12

Bước 1: Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm

Xác định trọng tâm C của hình: Chia hình làm 2 phần I, II và gắn chúng vào hệ tọa độ C1xy1

Ta có tọa độ trọng tâm C:

yc = 0 (x là trục đối xứng)

x F





=

2 1

2

1 1 2

F F

x F x

)5,1.(

0.4.6

a a a

a a

a a

5 ,

5 ,

Hình 2.10: Ví dụ tính mômen quán tính chính trung tâm

Bước 2: Tính các mômen quán tính chính trung tâm:

- Tính Jx = I

x

J - II x

J

Trong đó:

I x

J = Jx1 + 02.F1 =

12

)4.(

= 32a4

II x

Trong đó:

I y

J = Jy1+

2

24

5,1

12

)6(

2 2

) 24 (

25 , 2





.a4

II y

J = Jy2 +

24

245

,0

24

245

,0

24

24 5 , 0 4

1 24

3 4

25 , 0 4

CÂU HỎI ÔN TẬP

1 Viết công thức tính mômen tĩnh của một hình phẳng đối với một trục khi biết diện tích và vị trí trọng tâm của hình đó

2 Định nghĩa mômen quán tính của một hình phẳng đối với một trục

3 Định nghĩa hệ trục quán tính chính, hệ trục quán tính chính trung tâm của một hình

4 Viết công thức tính mômen quán tính của hình chữ nhật, hình tam giác, hình tròn, hình vành khăn

5 Viết công thức tính mômen quán tính đối với trục song song

2 Tính các mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt cho trên hình 2.12 với a = 1 cm

5 Cho hình ghép như trên hình 2.15 với c = 4 cm

a Cho x = 6 cm, tính các mômen quán tính chính trung tâm của hình

b Tìm x để cho hình ghép có Jmax = Jmin

CHƯƠNG 3 KÉO, NÉN ĐÚNG TÂM

3.1 KHÁI NIỆM

Một thanh thẳng khi chịu tác dụng của ngoại lực có hướng song song và trùng với trục thanh, khi đó trên mỗi mặt cắt ngang của nó chỉ tồn tại một thành phần nội lực

là lực dọc Nz ta nóithanh chịu kéo hay nén đúng tâm

- Nếu lực dọc Nz mang dấudương (hướng ra ngoài mặt cắt) thì thanh chịu kéo đúng tâm (hình 3.1.a)

- Nếu lực dọc Nz mang dấu âm (hướng vào trong mặt cắt) thì thanh chịu nén đúng tâm (hình 3.1.b)

Hình 3.1: Thanh chịu kéo (a), nén (b) đúng tâm

Ví dụ: Cột trụ chịu nén đúng tâm bởi trọng lượng bản thân, dây cáp của kết cấu treo chịu kéo đúng tâm ,

3.2 BIỂU ĐỒ NỘI LỰC

Biểu đồ nội lực là đồ thị biểu diễn sự biến thiên của lực dọc tại mọi mặt cắt ngang suốt trục thanh

Để vẽ biểu đồ nội lực (lực dọc) ta phải thực hiện:

- Vẽ đường chuẩn song song với trục thanh

- Xác định lực dọc trên từng mặt cắt của thanh Biểu diễn trị số lực dọc bằng những đoạn vuông góc với đường chuẩn Nối điểm của những trị số này ta được biểu

đồ

Quy ước vẽ trị số lực dọc:

+ Nz > 0: Vẽ phía trên đường chuẩn và ghi dấu (+) nếu đường chuẩn nằm ngang; Vẽ bên phải đường chuẩn nếu đường chuẩn thẳng đứng

+ Nz < 0: Vẽ phía dưới đường chuẩn và ghi dấu (-) nếu đường chuẩn nằm

ngang; Vẽ bên trái đường chuẩn nếu đường chuẩn thẳng đứng

Ví dụ 1: Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh chịu lực như hình 3.2.a, biết trị số các

Sau khi xác định giá trị của nội lực trên toàn thanh ta vẽ được biểu đồ nội lực

Nz như hình 3.3.b

3.3 ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG

Xét thanh chịu kéo đúng tâm bởi hai lực P ngược chiều nhau nằm dọc theo trục thanh như hình 3.4

b) P P

Hình 3.4: Thí nghiệm tìm ứng suất trên mặt cắt của thanh chịu kéo, nén

- Trước khi thanh chịu lực, ta kẻ trên mặt ngoài của thanh những đường thẳng song song và vuông góc với trục thanh (hình 3.4.a)

+ Những đường thẳng vuông góc với trục thanh biểu diễn các mặt cắt ngang của thanh

+ Những đường thẳng song song với trục thanh biểu diễn các lớp vật liệu nằm dọc trục của thanh gọi là các thớ dọc của thanh

- Sau khi cho thanh chịu lực (hình 3.4.b) quan sát biến dạng ta thấy những đường thẳng vẫn thẳng và song song hoặc vuông góc với trục thanh, khoảng cách giữa các đường thẳng có sự thay đổi nhưng các góc vuông không thay đổi Trên cơ sở quan sát này, ta có thể nêu các giả thiết về tính chất biến dạng của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm như sau:

1 Giả thuyết về các mặt cắt ngang:

Trước và sau biến dạng các mặt cắt ngang vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh

Ta có: Nz =

F

z dF

Hình 3.5: Ứng suất trên mặt cắt của thanh chịu kéo, nén

Ta xét thêm điều kiện biến dạng, bằng cách xét một đoạn thanh nằm giữa hai mặt cắt cách nhau một đoạn dz (hình 3.6)

Vì sau biến dạng mặt cắt (2’-2’) vẫn vuông góc trục thanh nên độ dãn dài của các thớ dọc là như nhau, nên biến dạng của các thớ dọc như nhau và bằng dz tức là:

z =

dz dz

Hình 3.6: Biến dạng của thanh chịu kéo, nén

Theo định luật Hooke: Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là bậc nhất, tức là ứng suất pháp theo phương trục thanh tỷ lệ với biến dạng dọc tỷ đối theo phương đó:

Trong đó:

z là trị số ứng suất pháp tại điểm bất kỳ trên tiết diện đang xét

Nz là lực dọc tại tiết diện đang xét

Flà diện tích tiết diện đang xét

Hình 3.7: Biến dạng của thanh chịu kéo, nén

Thanh có chiều dài l chịu kéo (nén) sẽ bị dãn (hay co) một đoạn l gọi là biến dạng dọc hay biến dạng dọc tuyệt đối của thanh (hình 3.7)

EF

N z

(3.5) Biến dạng dọc của một vi phân chiều dài thanh dz là: zdz

Biến dạng dọc của cả chiều dài thanh l là: l = l z dz

0

E là môđun đàn hồi khi kéo (nén) của vật liệu

Tích EF gọi là độ cứng của thanh

Chú ý: Khi thanh có nhiều đoạn khác nhau muốn tính biến dạng ta chia thanh

làm nhiều đoạn sao cho trên mỗi đoạn tỷ số

F E

l N

1

Để so sánh biến dạng dọc của những thanh có kích thước l khác nhau người ta

dùng khái niệm biến dạng dọc tương đối (còn gọi là biến dạng dọc tỷ đối):

Khi lực P tác dụng (hình 3.7), chiều dài dài ra, bề ngang hẹp lại một đoạn b

gọi là biến dạng ngang:

Để so sánh biến dạng ngang của những thanh có kích thước ngang khác nhau,

người ta dùng khái niệm biến dạng ngang tương đối:

1 =

b b

Có thể nhận thấy biến dạng dọc và biến dạng ngang có dấu ngược nhau Các

nghiên cứu thực nghiệm và lý thuyết cho thấy độ lớn của hai loại biến dạng này tỷ lệ

với nhau hệ số tỷ lệ phụ thuộc vào loại vật liệu

Giữa và1 cómối liên hệ:

1 = -  = - 

E



(3.12) (x = y = - z)

với  gọi là hệ số Poisson, tùy thuộc vào loại vật liệu:

Thép: μ = 0,25 ÷ 0,33 Gang: μ = 0,23 ÷ 0,27 Nhôm: μ = 0,32 ÷ 0,36 Bêtông: μ = 0,08 ÷ 0,18 Cao su: μ = 0,47

Ví dụ: Cho thanh chịu lực như hình 3.8.a, biết P1 = 30 KN, P2 = 40 KN,

Hình 3.9: Tính nội lực trên từng đoạn thanh

Dùng mc (1-1) cắt qua DC, mc (2-2) cắt qua CB, mc (3-3) cắt qua BA ta được các nội lực trong mỗi đoạn thanh như hình 3.9.a, b, c

Nz1 = P1 = 30 KN

Nz2 = P1 - P2 = 30 - 40 = - 10 KN

Nz3 = P1 - P2 + P3 = 30 - 40 + 20 = 10 KN Sau khi xác định giá trị của nội lực trên toàn thanh ta vẽ được biểu đồ nội lực

20 10

40 10

40 30

4 = 0,03 cm Vậy: l = 0,005 - 0,01 + 0,03 = 0,025 cm

d Tính chuyển vị tại mặt cắt B, C, D và vẽ biểu đồ chuyển vị của thanh

Tương tự như biểu đồ nội lực, biểu đồ chuyển vị diễn tả sự chuyển vị (biến dạng) của các mặt cắt ngang theo vị trí của chúng đối với một gốc nào đó (thường chọn đầu ngàm làm gốc, tại ngàm chuyển vị bằng 0)

Để vẽ biểu đồ chuyển vị ta tính chuyển vị tại từng mặt cắt từ đầu ngàm ra theo công thức giống như tính biến dạng:

 = l Sau đó xuất phát từ đầu ngàm vẽ đến mặt cắt cuối đoạn thanh bằng đường bậc nhất (nếu nội lực là đường bậc nhất thì chuyển vị là đường bậc hai); Tiếp tục vẽ từ mặt cắt cuối đoạn thanh này đến mặt cắt cuối đoạn thanh kế tiếp cho đến mặt cắt ngoài cùng

3.5 TÍNH CHẤT CƠ HỌC CỦA VẬT LIỆU

Muốn hiểu biết rõ tính chất cơ học của vật liệu ta cần làm thí nghiệm kéo, nén

để quan sát tính chất chịu lực và quá trình biến dạng từ lúc bắt đầu chịu lực cho đến lúc phá hỏng

Vật liệu được phân thành hai loại cơ bản:

- Vật liệu dẻo, gồm: thép, đồng, nhôm, …

- Vật liệu dòn, gồm: gang, đá, bê tông,

3.5.1 Thí nghiệm kéo vật liệu dẻo

Hình 3.11: Đồ thị biểu diễn quan hệ giữa P và l khi kéo vật liệu dẻo

Khi thí nghiệm kéo, bộ phận vẽ biểu đồ của máy kéo sẽ vẽ đồ thị quan hệ giữa lực P và biến dạng dài l của mẫu như hình 3.11

Đồ thị P - ∆l chia làm 3 giai đoạn rõ rệt:

- Giai đoạn tỷ lệ (giai đoạn đàn hồi): Biểu diễn bằng đoạn thẳng OA Trong giai đoạn này P và ∆l quan hệ bậc nhất, lực lớn nhất gọi là lực tỷ lệ Ptl Ứng với Ptl có giới hạn tỷ lệ:

σtl =

o

tl F

P

Trong đó Fo là diện tích mặt cắt ngang của mẫu lúc ban đầu

- Giai đoạn chảy: Sau giai đoạn tỷ lệ, biểu đồ chuyển sang một đoạn cong ngắn gần như nằm ngang (đoạn ABC) Lúc này, lực không tăng nhưng biến dạng vẫn tăng,

vì thế ta gọi tên là giai đoạn chảy Lực lớn nhất trong giai đoạn này gọi là lực chảy Pch Ứng với Pch có giới hạn chảy:

σch =

o

ch F

P

- Giai đoạn củng cố (tái bền): Lực có tăng thì biến dạng mới tăng, nhưng quan

hệ P và ∆l biểu diễn bằng đường cong CD Ứng với điểm D, mẫu bị thắt lại tại một mặt cắt nào đó Lực lớn nhất trong giai đoạn này gọi là lực bền Pb Ứng với Pb có giới hạn bền:

σb =

o

b F

P

Sau đó lực kéo P giảm dần trong khi biến dạng vẫn tăng Tới điểm E thì mẫu bị đứt hẳn tại mặt cắt bị thắt (hình 3.12)

Ba đại lượng tl, ch, b là ba đặc trưng về tính bền của vật liệu

Ngoài ta, sau khi mẫu bị đứt ta chấp mẫu lại như hình 3.12 và có kết quả về tính dẻo của vật liệu như sau:

Hình 3.12: Mẫu vật thể sau khi chịu kéo bị đứt và chấp lại

- Độ biến dạng dài tương đối:

 =

o

o l

F

F  1

Với: l1 là chiều dài mẫu sau khi đứt

F1 là diện tích mặt cắt ngang của mẫu, chỗ bị đứt

3.5.2 Thí nghiệm nén vật liệu dẻo

Hình 3.14: Đồ thị biểu diễn quan hệ giữa P và l khi nén vật liệu dẻo

Kết quả ta cũng nhận được 3 giai đoạn:

- Giai đoạn đàn hồi với lực tỷ lệ Ptl và giới hạn tỷ lệ

0

F

p tl

ch 



- Giai đoạn củng cố, nhưng không xác định được lực bền vì lúc này mẫu phình

ra dạng trống (hình 3.13.b) và chịu lực tăng lên

3.5.3 Thí nghiệm kéo vật liệu dòn

- Mẫu: Giống thí nghiệm kéo vật liệu dẻo

- Thí nghiệm: Tăng lực từ 0 đến khi mẫu đứt

- Kết quả: Đồ thị P - l (hình 3.15) là đường có độ cong bé gần như thẳng và vật liệu chỉ có giới hạn bền

- Mẫu: Giống thí nghiệm nén vật liệu dẻo

- Thí nghiệm: Tăng lực từ 0 đến khi mẫu bể

- Kết quả: Ta nhận được đồ thị P - l giống như khi kéo và cũng có giới hạn bền n

a Khái niệm về ứng suất cho phép - Hệ số an toàn

Khi tính độ bền của công trình hay chi tiết máy, cần phải đảm bảo chúng không phát sinh vết nứt hay gãy bể tức là ứng suất lớn nhất trong hệ không vượt quá một giới hạn nguy hiểm quy định o cho từng loại vật liệu:

maxzo

- Đối với vật liệu có giai đoạn chảy tức là có giai đoạn lực không tăng mà biến dạng tăng sẽ nguy hiểm đến sự làm việc của hệ cho nên đối với vật liệu dẻo người ta chọn giới hạn chảy là giới hạn nguy hiểm

Ta có: o = k

ch= n

ch= ch

- Trái lại đối với vật liệu dòn thì vì các cấu kiện bị phá hỏng khi biến dạng còn

bé nên người ta chọn giới hạn bền làm giới hạn nguy hiểm

Trong đó  =

n

o

, với n gọi là hệ số an toàn, chọn lớn hơn 1

Ta có:

+ Đối với vật liệu dẻo: k = n =  =

n ch



+ Đối với vật liệu dòn: k =

n

k b

, n =

n

n b



- Hệ số an toàn được chọn phụ thuộc vào các yếu tố sau:

+ Phương pháp công nghệ sản xuất vật liệu, kết cấu

+ Mức độ tin cậy của các số liệu về tải trọng

+ Phương pháp và kết quả tính toán

+ Điều kiện làm việc cụ thể của kết cấu

+ Ý nghĩa kinh tế xã hội của công trình…

+ Nếu max  Kết luận: Thanh đảm bảo điều kiện bền

+ Nếu max =  Kết luận: Thanh vừa đủ bền

+ Nếu max  Kết luận: Thanh không đảm bảo điều kiện bền

Xác định nội lực trong các thanh:

Bằng phương pháp mặt cắt tưởng tượng dùng mc (1-1) cắt hệ thanh như hình

a Kiểm tra điều kiện bền:

- Thanh AB:

AB =

AB

AB F

N 

 =

2,2

318

3.7.2 Cách giải

Để giải bài toán siêu tĩnh ta phải viết thêm các phương trình mô tả tính chất biến dạng của hệ siêu tĩnh kết hợp với các phương trình cân bằng tĩnh học độc lập Số phương trình thêm vào bằng số bậc siêu tĩnh, nghĩa là nếu hệ có bậc siêu tĩnh là n thì phải thêm vào n phương trình

Phương trình thêm vào được lập bằng các điều kiện biến dạng của hệ (gọi là phương trình biến dạng)

Để hiểu rõ bài toán siêu tĩnh ta xem các ví dụ sau:

Ví dụ 1: Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh chịu lực như hình 3.17.a, biết F1 = 2 cm2,

Hình 3.17: Sơ đồ chịu lực (a), biểu đồ giả định (b) và biểu đồ nội lực (c) của thanh

Giải:

Giả sử tại C có phản lực là V C hướng ra

Ta vẽ biểu đồ nội lực giả định như hình 3.17.b

Ở đây có một ẩn số là VC, nên ta thêm vào một phương trình biến dạng

Điều kiện biến dạng là biến dạng dọc tuyệt đối của thanh AC bằng 0 (vì A, C đều ngàm), tức là l = 0

Dựa vào biểu đồ giả định, ta có:

V C 

= 0



2 10 2

80

40 ).

60 (