CÁC KHÁI NIỆM c ơ BÀN - LÝ THUYẾT NGOẠI Lự c - LÝ THUYẾT ỨNG SUẤT
CÁC KHÁI NIỆM C ơ B Ả N
Các vật thể nghiên cứu trong "Cơ học cơ sở" là vật rẵn tuyệt đối, nghĩa là các vật thể không bị biến dạng khi chịu lực còn đối tượng nghiên cứu của "Sức bền vật liệu" (SBVL) là vật liệu rắn thực, tức là các vật thể bị biến dạng khi có ngoại lực tác dụng
Vì vật rắn thật có biến dạng nên trong lý thuyết cũng như trong thực nghiệm, ngoài phần nghiên cứu về lực, còn phải nghiên cứu biến dạng của vật thể khi chịu lực.
Các vật thế trong kỹ thuật được chia ra làm 3 loại cơ bản:
- Khối: là những vật thể có kích thước theo 3 phương tương đương Ví dụ: đê đập, móng máy.
Hình 1.1: Vật th ề dạng khõi
2 B À I 1 : CÁC KH ÁI NIỆM c ơ BÀN - LÝ TH UYẾT NGOẠI Lực - LÝ THUYẾT NỘI L ự c - ỨNG SUẤT
- Tấm và vỏ: là những vật thể mỏng có kích thước một phương rất nhỏ so với hai phương còn lại, tấm có dạng phắng, vỏ có dạng cong Ví dụ: sàn nhà, mái vỏ, vỏ nồi hơi, vỏ máy bay
- Thanh: là những vật thể có hình dạng dài có kích thước một phương rất lớn so với phương còn lại Đây là loại vật thể được dùng rộng rãi trong thực tế, như thanh của dàn cầu, cột điện, trục máy và được nghiên cứu chủ yếu trong SBVL Thanh được thay bằng trục thanh và mặt cắt vuông góc với trục thanh Tùy theo trục thanh thẳng, cong, gãy khúc (phầng hay không gian) mà gọi !à thanh thẳng, thanh cong hay khung (phẳng hay không gian).
1 1 2 Các giả th iế t cơ bản vật liệu dùng trong kỹ thuật xây dựng có nhiều loại khác nhau như thép, gạch, gỗ, đồng Tính chất chịu lực và biến dạng rất khác nhau Song khi xây dựng lý thuyết
Khi giải bài toán SBVL, người ta chấp nhận một số giả thiết nhằm đơn giản hóa vấn đề nhưng cố gắng đảm bảo tính chính xác cần thiết phù hợp với yêu cầu thực tế Các giả thiết này liên quan đến sơ đồ hình học của vật thể, tính chất của vật liệu và tính chất biến dạng, chuyển vị của vật thể.
1.1.2.1 Giả thiết về sơ đô tính
Khi tính toán, người ta thay vật thể thực bằng sơ đồ tính Sđ đồ tính phải đảm bảo đồng thời các yêu cầu sau:
Hình 1.2: vật th ể dạng tấm vỏ
Hình 1.3: Các dạng trục thanh tính toán, ta phải coi các vật liệu này có các tính chất chung, gọi là giả thiết về vật liệu.
B À I 1: CÁC KH ÁI NIỆM c ơ BẢN - LÝ TH UYẾT NGOẠI L ự c - L Ý TH UYẾT NỘI L ự c - ỨNG SUẤT 3
- Phản ánh gần đúng nhất tình trạng làm việc của vật thể đang xét.
1.1.2.2 Giả thiết về vật liệu vật liệu được coi là liên tục, đồng nhất, đẳng, hướng và đàn hồi tuyết tính.
Vật liệu là liên tục tức là khi ta lấy một phân tố bé tùy ý mà vẫn chứa vật liệu thì ta nói vật liệu liên tục tại điểm đó.
Vật liệu đồng nhất nghĩa là tính chất cơ học tại mọi điểm trong vật thể là như nhau.
Vật liệu đẳng hướng nghĩa là tính chất cơ học tại một điểm theo các phương là giống nhau.
Tính chất đàn hồi của vật thể là khả năng khôi phục lại hình dạng ban đầu của nó khi ngoại lực thôi tác dụng Nếu quan hệ giữa ngoại lực và biến dạng là bậc nhất thì vật liệu được coi là đàn hồi tuyến tính.
Hình 1 4 : Quan hệ giữa lự c và biến dạng là đàn hồi tuyến tính
Tuy nhiên, đối với các loại vật liệu, quan hệ ứng suất và biến dạng cho đến khi phá hoại là một đường cong Nếu giới hạn biến dạng trong phạm vi đủ bé thì quan hệ này là một đường thẳng (chẳng hạn đối với thép) hoặc có thể xấp xỉ bằng một đường thẳng Giả thiết vật liệu đàn hồi tuyến tính làm giảm bớt sự phức tạp của bài toán SBVL.
1.1.2.3 Giả thiết về biến dạng và chuyển vị
Khì chịu tác động bên ngoài, vật thể có biến dạng và chuyển vị bé vì vậy có thể khảo sát sự cân bằng của vật thể hoặc các bộ phận của nó trên hình dạng ban đầu.
B À I 1 : CÁC KH Á I NIỆM cơ BẢN - LÝ TH UYẾT NGOẠI Lực - LÝ TH UYẾT NỘI L ự c - ỨNG SU ẤT
Giả thiết biến dạng bé và đàn hồi tuyến tính thường đi kèm với nhau Khi'vật thể có chuyển vị bé và vật liệu đàn hồi tuyến tính thì có thể áp dụng nguyên lý cộng tác dụng như sau: Một đại lượng do nhiều nguyên nhân đồng thời gây ra sẽ bằng tổng đại lượng đó do tác động của các nguyên nhân riêng lẻ.
Hình 1 5 : Nguyên lý cộng tác dụng khi chuyển vị b é
Chuyển vị A ở đầu thanh do lực Pj và P2 đồng thời tác dụng sẽ bằng tổng chuyển vị Aj và Aj do hai lực Pj và P2 tác dụng riêng lẻ.
Nguyên lý cộng tác dụng biến bài toán phức tạp thành các bài toán đơn giản hơn nên dễ giải quyết hơn vì vậy nó thường được sử dụng trong SBVL.
1.1.3 Các dạng làm v iệ c của kết cấu công trình
Ta thường gặp trường hợp này khi thanh chịu tác dụng của lực ở hai đầu thanh, có chiều dọc trục thanh và có cùng trị số nhưng trái chiều.
Hình 1.6: Thanh chịu kéo và thanh chịu nén
Trong thực tế ta có thể gặp nhiều cấu kiện chịu kéo và nén đúng tâm như: dây cáp cần cẩu, các thanh trong dàn t P
Hình 1.7: Một s ố dạng chịu kéo (nén) trong thực t ế
B À I 1 : CẤC KH Á I NIỆM c ơ BẢN - L Ý TH U YẾT NGOẠI L ự c - LÝ TH UYẾT NỘI L ự c - ỨNG SUẤT
Nếu trục của một thanh bị uốn cong dưới tác dụng của ngoại lực thì ta gọi thanh đó chịu uốn Những thanh chủ yếu chịu uốn được gọi là dầm.
Trong thực tế ta gặp rất nhiều các dạng chịu lực này v í dụ: các thanh xà ngang, dầm cầu, dầm sàn trong các Èông trình
Thanh chịu xoắn là khi chịu tác dụng của ngoại lực, các mặt cắt ngang của thanh bị xoay quanh trục của thanh Trong thực tế, những cấu kiện chịu xoắn như: trục truyền động của máy, dầm biên, dầm đỡ ô văng.
1 1 4 Các biến dạng và ch u yển vị
Biến dạng dài là sự thay đổi kích thước của vật thể theo một phương nào đó, đặc biệt là theo phương dọc trục thanh Loại biến dạng này có thể gặp nhiều trong thanh chịu kéo (nén).
Biến dạng trượt dưới tác dụng của ngoại lực, giữa các lớp vật liệu trong vật thể bị chuyển vị tương đối lẫn nhau, gây ra biến dạng trượt.
LÝ THUYẾT NGOẠI L ự c
Ngoại lực là lực tác động từ môi trường bên ngoài hoặc từ vật thể khác lên vật thể đang xét Đây là loại tác động quan trọng và thường gặp trong thực tế Ngoại lực được phân loại theo nhiều các khác nhau.
1.2.2.1 Theo tính chất chủ động và bị động
Ngoại lực được phân ra tải trọng và phản lực Tải trọng là những lực chủ động, nghĩa là có thể biết trước về vị trí, phương và độ lớn Tải trọng là đầu vào của bài toán. Phản lực là những lực thụ động, được sinh ra tại các vị trí liên kết vật thể đang xét với các vật thế xung quanh nó.
1.2.2.2 Theo hình thức phân bố
Ngoại lực được phân ra thành lực tập trung và lực phân bố.
- Lực tập trung: là lực tác dụng tại một điểm của vật thể Trong thực tế, khi diện tích truyền lực bé thì người ta coi như lực truyền qua một điểm để đơn giản hóa sự phân tích.
- Lực phân bố: là lực tác dụng trên một diện tích, một thể tích hoặc một đường của vật thể Đơn vị là [lực/thể tích] hoặc [lực/diện tích] hoặc [lực/chiều dài].
B À I 1: CẤC KH Á I NIỆM C ơ BẢN - LÝ TH UYẾT NGOẠI L ự c - LÝ THUYẾT NỘI L ự c - ỨNG SUẤT
1.2.2.3 Theo tính chất tác dụng
Tải trọng được phân ra thành lực tĩnh và lực động Lực tĩnh là lực biến đổi chậm hoặc không biến đổi theo thời gian Do đó gây ra gia tốc rất bé, có thề bỏ qua khi xét cân bằng.
Lực động là lực thay đổi nhanh theo thời gian, gây ra chuyển động có gia tốc lớn Với íực động thì cần đến sự tham gia của lực quán tính trong phương trình cân bằng tĩnh học.
1.2.2.4 Theo khả năng nhận biết
Ngoại lực phân ra tải trọng tiền định và ngẫu nhiên Tải trọng tiền định là tải trọng biết trước giá trị hoặc quy luật thay đổi theo thời gian Ví dụ: trọng lượng công trình, áp lực đất tác dụng lên tường chắn
Tải trọng ngẫu nhiên là tải trọng chỉ biết được các đặc trưng xác suất thống kê như giá trị trung bình, độ lệch chuẩn, v í dụ: lực sóng tác dụng lên dàn khoan Tuy nhiên trong sức bền chỉ xét đến tải trọng tiền định.
Tải trọng tác dụng lên vật thể gồm có hai dạng sau:
- Tải trọng bên ngoài tác dụng lên vật thể hay còn gọi là ngoại lực.
- Phản lực liên kết tại các vị trí liên kết của vật thể.
1 2 4 Liên kết v à phản lực liên kết
Một thanh muốn duy trì hình dạng, vị trí ban đầu khi chịu tác động của ngoại lực thì nó phải được liên kết với vật thể khác hoặc với đất Tùy theo tính chất ngăn cản chuyển động mà người ta đưa ra các sơ đồ liên kết, thường gặp là gối tựa di động, gối cố định hay ngàm.
Hình 1.10: Các liên kết và phản lực Hên kết
B À I 1 : CÁC K H Á I N IỆM C ơ BẢN - L Ý T H U Y Ế T N G O Ạ I L ự c - L Ý T H U Y Ế T N Ộ I L ự c - ỨNG SU Ẩ T
1.2.5 C á c phương trình cân bằng tĩnh học
Các thành phần phản lực được xác định từ điều kiện cân bằng tĩnh học Bài toán phẳng có 3 phương trình cân bằng độc lập, được thiết lập ở các dạng khác nhau như:
- ^ X = 0 ;]Ty = 0;]>]Mo =0 (x, y không song song)
- = = 0 (AB không vuông góc với x).
1.3.1 Khái niệm v ề nội lực - ứng su ấ t xét một vật thể chịu tác dụng của một hệ lựe và ở trạng thái cân bằng Trước khi tác dụng lực, giữa các phần tử của vật thể luôn tồn tại các lực tương tác giữ cho vật thể có hình dáng nhất định Dưới tác dụng của ngoại lực, các phần tử của vật thể có khuynh hướng nhích lại gần nhau hoặc tách xa nhau ra hơn Khi đó lực tương tác giữa các phần tử của vật thể thaý đổi để chống lại sự dịch chuyển này sự thay đổi của lực tương tác giữa các phần tử trong vật thể được gọi là nội lực.
Một vật thể không chịu tác động nào từ bên ngoài như ngoại lực, sự thay đổi nhiệt độ thì được gọi là vật thể ở trạng thái tự nhiên và nội lực của nó được coi là bằng không.
Người ta dùng phương pháp mặt cắt để khảo sát nội lực trong một vật thể xét vật thể cân bằng dưới tác dụng của ngoại lực như hình vẽ.
LÝ THUYẾT NỘI L ự c
Hình 1.11: Vật thể chịu lực cân bằng và nội lực trên mặt cắt
B À I 1: CÁC K H Á I NIỆM c ơ BẢN - L Ý TH UYẾT NGOẠI L ự c - LÝ TH UYẾT NỘI L ự c - ỨNG SUẤT 9
Một mặt phẳng chia vật thể thành hai phần A và B Giữa hai phần A và B luôn tồn tại lực tương tác trên bề mặt mặt phẳng cắt qua Nếu ta tách riêng phần A thì hệ lực tác động từ phần B vào nó phải cân bằng với ngoại lực tác dụng ban đầu.
Trên mặt cắt đang xét, ta tách lấy một phân tố có diện tích AA Gọi Ap là vectơ nội lực tác dụng trên AA Ta định nghĩa ứng suất toàn phần tại điểm khảo sát là:
— _ Ap _ dp pv = lim = - £- AẲ4.0AA dA Thứ nguyên của ứng suất là [lực]/[chiều dài]2.
Chú ý rằng, định nghĩa ứng suất như trên đòi hỏi sự liên tục của vật liệu như đã giả thiết ở chứơng trước.
Ta có thể phân ứng suất toàn phần pv ra thành hai thành phần gồm thành phần ứng suất pháp ơv hướng theo phương pháp tuyến của diện tích AA và thành phần ứng suất tiếp Tv nằm trong mặt phẳng chia vật thể Các đại lượng này liên hệ nhau qua công thức: p l= ° l+ < ứng suất là một đại lượng cơ học đặc trưng cho mức độ chịu đựng của vật liệu tại một điểm Khi ứng suất vượt quá một giới hạn nào đó thì vật liệu bị phá hoại, vì vậy, việc xác định ứng suất là cơ sở để đánh giá mức độ an toàn của vật liệu, và vì vậy đây là nội dung quan trọng của môn SBVL.
1.3.2 Các thành phần nội lực trên m ặt cắt ngang Đối tượng khảo sát cùa môn SBVL là những chi tiết dạng thanh, được đặc trưng bởi trục thanh và mặt cắt ngang (hay còn gọi là tiết diện) Ta có thể dời nội lực phân bố trên toàn bộ mặt cắt ngang của thanh về trọng tâm c của mặt cắt và thu được vectơ hợp lực R và mômen M có phương bất kỳ trong không gian.
Lập hệ trục tọa độ Oxyz có trục tọa độ o trùng với trọng tâm củạ tiết diện như hình vẽ Từ đó ta phân tích vectđ hđp lực R và mômen M lên 3 trục tọa độ, ta có được các thành phần nội lực như sau:
- Thành phần theo phương trục z, ký hiệu là Nz, gọi là lực dọc.
B À I 1: CÁC K H Á I NIỆM cơ BẢN - t Ý TH UYẾT NGOẠI L ự c - LÝ TH UYẾT N Ộ I Lực - ỨNG SUẨT
Hai thành phần nằm trong mặt c ắ t và hướng theo hai t r ụ c X và y , k ý h iệ u lấ Qx và
Qy, được gọi là lực cắt.
Mômen quay quanh hai trục X và y, ký hiệu là Mx và My, được gọi là mômen uốn.
Mômen quay quanh trục z, ký hiệu I.^MZ, được gọi là mômen xoắn. ĩ ,
Sáu thành phần này được gọi là các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang.
Hình 1.12: Các thành phần nội lực trên m ặt cắt ngang
1.3.3 Q uy ước dấu cá c thành phần nội lực
Trong trường hỢp bài toán phẳng (chủ yếu xét trong chương sau) ta chỉ có 3 thành phần nội lực nằm trong mặt phẳng Oyz, bao gồm: Nz,Mx,Qy Quy ước dấu các thành phần nội lực này như sau:
- Lực dọc được xem là dương khi có chiều hướng ra ngoài mặt cắt (nghĩa là gây kéo đoạn thanh đang xét).
- Lực cắt được xem là dương khi có khuynh hướng làm quay đoạn thanh đang xét theo chiều kim đồng hồ.
- Mômen uốn được xem là dương k h i nó làm căng thớ dưới.
Hình 1.13: Chiều dương của các thành phần nội lực
B À I 1 : CÁC K H Ả I NIỆM c a BẢN - L Ý TH UYẾT NGOẠI L ự c - LÝ TH UYẾT NỘI L ự c - ỨNG SUẤT 11
1.3.4 Quan hệ giữa các thành phần nội lực và ngoạĩ lực sáu thành phần nội lực trên mặt cắt ngang được xác định từ sáu phương trình cân bằng độc lập của phần vật thể được tách ra, trên đó có tác dụng của ngoại lực ban đầu và các thành phần nội lực.
Sử dụng các phương trình hình chiếu các lực trên các trục tọa độ, ta được:
Q „ - È pi - 0 i=l Trong đó Pj^Pjy.Pfc là hình chiếu của lực P; xuống các trục X, y, z.
Dùng phương trình cân bằng mômen đối với các trục tọa độ ta được:
M z + i > z(p ) = 0 i=l Trong đó mx(Pi),m y(Pi ),m z(Pi) là các mômen của các lực Pj đối với các trục X, y, z.
1.3.5 Quan hệ giữa các th àn h phần nội lực vẩ ứng su ấ t
Bên cạnh đó, các thành phần nội lực trên mặt cẳt ngang liên hệ với các thành phần ứng suất trên mặt ngang đó như sau:
N2= Jơ zdA Mx = jơ zydA
12 B À I l i CẢC KH ÁI N IỆM C ơ BẢN - LÝ TH U YẾT NGOẠI Lực - L Ý TH UYẾT NỘI L ự c - ỨNG SUẤT
Như đã nghiên cứu ở phần trên, trên một mặt cắt ngang của thanh có tất cả sáu thành phần nội lực Đó là ba thành phần lực theo ba trục và ba thành phần mômen quay quanh ba trục đó.
Tuy nhiên, nếu tất cả các thành phần rtgoại lực tắc dụng lên vật thể đều nằm‘trong một mặt phẳng, thì các phản lực liên kết phát sinh cũng sẽ nằm trong mặt phẳng tải trọng đó Đồng thời, nội lực xuất hiện trong các mặt cắt ngang của vật thể cũng sẽ chỉ nằm trong mặt phẳng của ngoại lực tác dụng Trong trường hợp đó, ta gọi bài toán đang xét là bài toán phẳng.
Khi chiếu sáu thành phần nội lực trên mặt cắt ngang lên mặt phẳng Ozy, ta còn lại ba thành phần nội lực được thể hiện như hình vẽ:
Hình 1.14: Các thành phần nội lực trong mặt phẳng Ozy
Ví dụ 2.1: Cho một thanh chịu lực như hình vẽ với các trị số ngoại lực như sau q = 10(daN/m); a = l(m ), M =2qa2 Xác định nội lực tại mặt cắt 1-1.
B À I 1 : CẮC K H Ẵ I NIỆM c a BẢN - L Ý TH U YẾT NGOẠI L ự c - LÝ TH UYẾT N Ộ I L ự c - ỨNG SUẴT 13
Hình 1.15: s ơ đỗ tải trọng: a) Mặt cắ t bên trái; b ) Mặt cắt bên phải
Giải phóng các liên kết và thay vào đó bằng các phản lực liên kết Va,H ,,V b xét sự cân bằng của một hệ phằng ta tính được các thành phần phản lực liên kết như sau: £ % = 0 ^ H a =0
= 0 -> -q a -y - 2cla-a - 2W2 + VA.2a = 0 => VA Cát mặt cắt 1-1 ra thành 2 phần.
Cách 1: Xét phần bên trái (hình a)
! = 0 -> M +2qa - + qa.a-■VA.— = 0 => M = = 21,25daNmCách 2: xét phần bên phải (hình b)
Thông thường nội lực trên các mặt cắt ngang của cùng một thanh là không giống nhau Đường cong biểu diễn sự biến thiên của các nội lực theo vi trí măt cắt gọi là biểu đồ nội lực Nhờ vào biểu đồ này ta có thể xác định vị trí mặt cắt có trị số nội lực lớn nhất và g]á tri đó bằng bao nhiêu. Để vẽ biểu đồ nội lực ta dùng phương pháp mặt cắt cắt ngang qua thanh ở một vị trí bất kỳ có tọa độ z Xét sự cân bằng của một phần, ta viết được biểu thức giải tích của nội lực theo z Sau đó vẽ đường biểu diễn trên hệ trục tọa độ có trục hoành độ song song với trục thanh mà ta gọi là đường chuẩn, còn tung độ của biểu đồ nội lực sẽ được biểu dierTb^Tcac đoạn thẳng vuông góc với đường chuẩn.
Ví dụ 2.2: Vẽ biểu đồ nội lực của dầm mút đầu thừa chịu tác dụng của tải trọng tập trung p.
B Ă I l c ấ c k h á i n iệ m c ờ b à n - LỶ TH U YẾT NGOẠĨ Lực - LỶ THUYẾT N Ộ I L ự c - ỨNG SUẤT _
Hỉnh 1.16: Biểu đô nội lực của ví dụ 2.2
Dung ’phương pháp mặt cắt cắt lấy phần bên phải như hình vẽ ta có:
Phương trình giải tích lực cắt:
B À I 1 : CÁC K H Á I NIỆM c ơ BẢN - L Ý TH UYẾT NGOẠI L ự c - LÝ TH U YẾT N ỘI L ự c - ỨNG SUẤT 15
Phương trình giải tích mômen: j ; ỉ^ / _ 1 = 0->M+P.z = 0=>M = -P.z z = 0 => M = -P.Z = 0 z = L => M = -P.Z = -P.L
Ví dụ 2.3: Vẽ biểu đồ nội lực của dầm đơn' giản chịu tác dụng của tầi trọng phân bố đều q. q qƯ2 Ĩ I ^ ìT ĩtt-1-^ qư2 © qỞ8
Hình 1.1 7 : Biểu đỗ nội lực của ví dụ 2 3
Loại bỏ các liên kết tại A và B thay thế bằng các phản lực liên kết như trên hình vẽ Dùng các phương trình cân bằng ta xác định các phản lực này.
Dùng phương pháp mặt cắt cắt lấy phần bên trái như hình vẽ:
16 B À I l i CÁC K H Á I NIỆM C ơ BÀN - LÝ TH UYẾT NGOẠI L ự c - LÝ TH UYẾT N ỘI L ự c - ỨNG SUẤT
Phương trình giải tích lực cắt:
PhƯđng trình giải tích mômen:
1.3.8 Liên hệ vi phân giữa các thành phần nội lực và tải trọng 1.3.8.1 Đối với tải phân bố xét một dầm chịu tải trọng bất kỳ và một đoạn thanh vi phân có chiều dài dz, được giới hạn bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2 như.hình vẽ. q(z)
Hình 1.18: Liên hệ vi phân giữa nội lực và tải trọng phân b õ
B À I 1: CÁC KH Á I NIỆM cơ BẢN - LÝ TH U YẾT NGOẠI L ự c - LỸ TH U YẾT NỘI L ự c - ỨNG SUẤT 17
Nôi lưc tác dung lên măt cẳt 1-1 là Qv và Nôi lưc trên măt cắt 2-2 so với trên mặt cắt 1-1 đã tăng một lượng vi phân dQy và dMx và trở thành Qy+dQy và
Tải trọng tác dụng lên đoạn thanh này là lực phân bố theo chiều dài có cường độ q(z) hướng theo chiều dương như hình vẽ vì dz rất bé nên có thế xem tải trọng là phân bố đều trên đoạn dz.
Viết phương trình cân bằng hình chiếu các lực trên phương thằng đứng ta có:
Từ đó ta suy ra:
TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT - LÝ THUYẾT B Ề N
KHÁI NIỆM TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT TẠI MỘT Đ IỂ M
2.1.1 Trạng th áĩ ứng su ấ t xét một vật thể cân bằng dưới tác dụng cùa ngoại lực (hình 3.1) Trên các mặt cắt
; đi qua điểm K của vật thể, ta có thể xác định được các thành phần ứng suất pháp ơ và ứng suất tiếp T Các thành phần ứng suất này sẽ thay đổi tùy thuộc theo vị trí của mỗi mặt cắt đi qua điểm K Ta xét tập hợp tất cả những ứng suất trên mọi mặt cắt đi qua K, tạo thành trạng thái ứng suất tại điểm này.
Có thể nói cách khác, tập hợp tất cả những ứng suất trên các mặt đi qua điểm K được gọi là trạng thái ứng suất tại điểm đó. y y p ơ y
Hình 2 1: Trạng thái tại một điểm
42 B À I 2 : TRẠNG T H Á I ỨNG SU ÃT - LÝ TH UYẾT BỀN
Trạng thái ứng suất tại một điểm đặc trưng cho mức độ chịu lực của vật thể t điểm đó Những thành phần ứng suất của trạng thái ứng suất tại một điểm có liên h với nhau Bởi vậy chúng ta cần nghiên cứu trạng thái ứng suất, tìm ra mối liên h giữa các ứng suất, xác định ứng suất nguy hiểm để từ đó tính toán độ bền và dự đoc dạng phá hỏng của vật thể chịu lực. Để nghiên cứu những ứng suất đó ta tưởngiiượng tách tại điểm khảo sát một phc tố hình hộp lập phương vô cùng bé ứng suất tác dụng trên các mặt của hình hc được phân thành các thành phần song song với các cạnh của hình hộp đó.
Chọn hệ trục tọa độ xyz có các trục song song với các cạnh của hình hộp IẾ phương Trên các mặt của phân tố, sẽ có chín thành phần ứng suất gồm ba ứng su pháp ơx,ơy,ơz và sáu ứng suất tiếp 'cxy,xxz>Tyx,Tyz,Tzx,Tzy.
2 1 2 Mặt chính, phương chính, ứng su ấ t chính Phân loại trạng thái ứng su ấ t
Trong lý thuyết đàn hồi, người ta chứng minh được rằng tại một điểm bất kỳ CI vật thể chịu lực, bao giờ cũng tìm được ba mặt tương hỗ vuông góc với nhau mà tri ba mặt đó thành phần ứng suất tiếp bằng 0, chỉ có thành phần ứng suất pháp Nhữi mặt đó được gọi là mặt chính Phương vuông góc mặt chính được gọi là phương chín ứng suất pháp tác dụng trên mặt chính được gọi là ứng suất chính và được ký hiệu ƠJ,Ơ2,Ơ3 theo thứ tự quy ước ơ, > ơ2 > ơ3.
Như vậy, một trạng thái ứng suất sẽ có 3 ứng suất chính Nếu cả 3 ứng suất n đều khác không ta nói điểm đó có ứng suất khối Nếu có một ứng suất chính bằ không, điểm đó ở trạng thái ứng suất phẳng Nếu có hai ứng chính bằng khống, đié ấy ở trạng thái ứng suất đơn Trạng thái ứng suất khối và trạng thái ứng suất phầ được gọi là trạng thái ứng suất phức tạp.
Hình 2 2 : Các trạng thái ứng suất
B À I 2 : TRẠNG T H Á I ỨNG SUẤT - LÝ TH UYẾT BỀN 43
Nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm ta có thể xác định được quan hệ ữa các thành phần ứng suất của trạng thái ứng suất đó, và cũng tìm được các phương chính, mặt chính, ứng suất chính, các giá trị cực trị của ứng suất Trạng thái ứng suất đơn đã được khảo sát ở chương kéo nén đúng tâm, trong chương này ta chỉ nghiên cứu trạng thái ứng suất phẳng còn trạng thái ứng súất khối ta chỉ trình bày khái niệm.
NGHIÊN CỨU TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI T ÍC H
PHĂNG BÀNG PHƯƠNG PHÁP G IÀ I TÍCH
Giả sử có một điểm nào đó thuộc về vật thể có trạng thái ứng suất phằng nghĩa là có một ứng suất chính bằng 0 Tách từ điếm đó một phân tố hình hộp lập phương có một mặt trùng với mặt chính của ứng suất chính bằng 0 và chọn hệ trục tọa độ xyz có trục z trùng với phương mặt chính đó Trên những mặt còn lại (không phải là mặt chính) của phân tố sẽ có những ứng suất ơx, ơy> T xy và Ty,. jar ìn
Hình 2 3 : Trạng thái ứng suấ t phẳng
2.2.1 Định luật đối ứng của ứng su ấ t tĩếp
Lập phương trình cân bằng mômen đối với trục z của các ứng suất tiếp trên phân tố:
Z M z = - T xyd yd zd x + T ^ d xd zd y = 0 ^ Txy = Ty* ( 2 1 ) Đó là định luật đối ứng của ứng suất tiếp: ứng suất tiếp trển hai mặt vuông góc nhau có trị số bằng nhau và có chiều hướng về cạnh chung hoặc tách rời cạnh chung.
B À I 2 : TRẠNG TH Ẵ I ỨNG SUẤT - L Ý TH UYẾT B ÌN
Trên hình 2.3 theo định luật này T xy = T yx, T xz = T zx, T zy =xyz vì vậy chỉ có sáu thành phần ứng suất độc lập với nhau đó là ba ứng suất pháp ơx,ơ y,ơz và ba ứng suất tiếp
2 2 2 ứng su ấ t pháp v à tiếp trên m ặt cắt nghiêng bất kỳ
(song song với trụ c z ) ' cắt lát phân tố như trên hình 2.3 bằng mặt cắt nghiêng song song với trục z và xét sự cân bằng của phân tố đó như trên hình 2.4 Gọi u, V là phương pháp tuyến và tiếp tuyến của mặt cắt nghiêng, a là góc hợp bởi trục X và trục u, chiều dương của a là ngược chiều kim đồng hồ kể từ trục X Gọi ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt c ắ t nghiêng là ƠU>TUV.
Hình 2.4: ứng su ấ t trên mặt cắt nghiêng
Lập phương trình hình chiếu trên phương u và V ta có:
= ơ ud s d z - ơ xd y d z c o s a - ơ yd x d z sin a + T^ dydz sin a + T^dxdzCOS a = 0
Thay dx = ds.sina;dy = ds.cosa và Txy = , sau khi rút gọn ta được: y ds ơx +ơv ơx - ơ v „ ơ u = - — Ỉ - + - - c o s 2 a - T vv s in 2 a
BÀ I 2 : TRẠNG T H Á I ỨNG SU ẤT - LÝ TH U YẾT B ÌN 45
Khi áp dụng công thức này cần chú ý ơx,a y,ơu là dương khi là ứng suất kéo,
T' xm là dương khi xoay pháp tuyến ngoài của măt phân tố theo chiều kim đồng hồ xy I một góc 90° thì trùng với chiều của ứng suất tiếp.
2.2.3 ứng su ấ t chính và phương chính
Theo định nghĩa, các mặt không có ứng suất tiếp là các mặt chính, phương cùa các mặt chính được gọi là phương chính và được xác định từ điều kiện Tuv =0.
Trong đó a 0 là góc hợp bởi trục X và phương chính, ta có:
Từ điều kiện (2.4) ta có thể tìm được hai phương chính (Xj và a 2 làm thành với nhau một góc 90° thay các giá trị (Xj và a 2 vào (2.2) ta tìm được các ứng suất chính.
2.2.4 ứng su ấ t tiếp cự c trị
Ta tìm được ứng suât tiếp cực trị và mặt phân tố trên đó có tác dụng ứng suất tiếp cực trị bằng cách lấy đạo hàm ứng suất Tuv đối với a và cho đạo hàm này bằng không.
Từ đó ta tính được ứng tiếp cực trị theo công thức (2.3).
46 B À I 2 : TRẠNG TH Á I ỨNG SUẤT - L Ý THUYẾT BẼN
NGHIÊN CỨU TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG BẰNG ỨNG SU ẤT
PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ TH Ị -
VÒNG TRÒN MOHR ỨNG SUẤT
Nếu cho biết trị số của ơ x, ơ y,T xy và góc a , ta có thể tìm được các ứng suất trên các mặt cắt bất kỳ và các mặt chính.
2.3 1 Phương trình vòng tròn m ohr ứng su ấ t và cách v ẽ
Từ phương trình (2,2) và (2.3) ta có thể viết được như sau: ơ -■ +ơ, írr - ơ_ - ơ \ 2
Cộng hai vế và rút gọn ta được: ơ +ơ, \ 2
Phương trình trên có dạng: (ơu- C ) 2 +(xuv)2 = R 2
Nếu lấy trục hoành là ơ , trục tung là Tuv thì đây là phương trình đường tròn có tâm nằm trên trục ơu với hoành độ ơu = c = (ơx +ơy)/2 , bán kính R.
Muốn dựng vòng tròn Mohr, lấy trên trục hoành các đoạn OE = ơx,OF = ơy, tâm c là trung điểm của đoạn EF Nếu ta lấy điểm p có tọa độ (ơ y,Txy) , gọi là cực của vòng tròn Mohr Đoạn CP là bán kính của vòng tròn Mohr Ta chứng minh được: ơ + ơ
B À I 2 : TRẠNG TH Á I ỨNG SU ẤT - LÝ TH U YẾT BầN 47
2.3.2 Biểu diễn ứng su ấ t chính và ứng su ấ t tiếp cực đại
Mỗi điểm trên vòng tròn ứng suất tương ứng với ứng suất trên mọi mặt cắt nghiêng nào đó, hoành độ của điểm đó là ơu, tung độ là Tuv vì vậy giao điểm A và B của vòng tròn Mohr với trục hoành cho ta trị số của ứng suất chính (các điểm này có
Các điểm I, J có tung độ lớn nhất, tương ứng với các ứng suất tiếp cực trị:
Hình 2.5: Vòng tròn mohr ứng suất
48 BÀI 2: TRẠNG TH ÁI ỨNG SUẤT - LÝ THUYẾT BỀN
Từ (2.6) ta thấy: Điều này có nghĩa là tổng ứng suất pháp trên hai mặt vuông góc với nhau là một hằng số đối với trạng thái ứng suất tại một điểm.
2 3 i3 ứng su ấ t trên m ặt cắt nghiêng ứng suất trên mặt cắt Tuv nghiêng bất kỳ song song với Xuv trục z có thể xác định bằng vòng xy tròn Mohr Từ địểm p ta kẻ một tia song song vỏi phương pháp tuyến ngoài của mặt cắt nghiêng
(nghĩa là làm một góc a với trục x) Giaọ điểm M cùa tia này với vòng tròn Mohr ứng suất có hoành độ là ơu, tung độ là Tuv, đó là ứng suất phải tìm trên mặt cắt nghiêng.
Hình 2 6 : X á c định ứng su ấ t trên mặt nghiêng bằng vòng Mohr ứng suấ t
Như vậy, muốn tìm phương cùa các ứng suất chính và ứng suất tiếp cực trị, ta kẻ các tia PA, PB, PI, PJ Các mặt có ứng suất chính tác dụng được vẽ trên phân tố đã cho Ta thấy các mặt có , Tjjjj,, làm thành một góc 45° so với các phương chính, Các phương chính a j,a 2 được xác định từ vòng tròn Mohr. tgdi = • *y
^max (2.8) t g a 2 = ■ *yTrong đó chiều dương của avạ 2 được lấy theo chiều dương của a
B À I 2 : TRẠNG TH Á I ỨNG SUẤT - L Ý TH U YẾT BỀN 49 v í dụ 2 1 : xác định ứng suất chính và phương chính của phân tố có ứng suất như hình vẽ 400kN/m2
Theo quy ước dấu của ứng suất: ơx = 400kN / m2, ơy = 0,Xxy = -200kN / m2
Giá trị ứng sụất chính: o * = “ Ậ ^ - j + (-200)2 = -83 (fcN / cm! ) DhiiWnn rua IVnn Cl inf- /■'hình*
Phương của ứng suất chính: tsa i = -200 a 1"°30'
2.3.4 Trạng th ái ứng s u ấ t phẳng đặc biệt
Một phân tố ở trạng T thái ứng suất phẳng, Xmax nếu phân tố đó có ứng suất tiếp và một thành phần ứng suất pháp bất kỷ thì người ta gọi đó là 02 trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt.
Hình 2.7: Phân tô phẳng đặc biệt
50 B À I 2 : TRẠNG T H Ẵ I ỨNG SU ẤT - LÝ TH UYẾT BầN
Bằng phương pháp đồ thị, ta vẽ vòng tròn Mohr ứng với phân tố đã cho ta thấy vòng tròn Mohr có tâm ở tọa độ í — ,0 , cực p nằm trên trục tung tại tọa độ (o,Txy)
\ 2 ) và các ứng suất chính có giá trị:
2 3 5 Trạng th ái trượt th u ần túy
Một phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng, nếu các mặt bên của phân tố đó chì có ứng suất tiếp không có ứng suất pháp thì người ta gọi trạng thái ứng suất này là trạng thái ứng suất trượt thuần túy.
Hình 2.8: Trạng thái trượt thuần túy
Bằng phương pháp đồ thị, ta vẽ vòng tròn Mohr ứng với phân tố đã cho ta thấ\ vòng tròn Mohr có tâm ở góc tọa độ 0 , cực p nằm trên trục tung tại tọa độ (o.x^) Vc các ứng suất chính có giá trị:
B À I 2: TRẠNG TH Ả I ỨNOỊ SUẤT - LÝ TH U YẾT BỀN 51 ơ x + ơ y , gmax= , +‘ vxy = x xy ơ = m in ơ -hơ v x y \'L
T_ = —X , = T “max min vxy Các phương chính nghiêng một góc 45° so với các trục X và y.
Nếu sử dụng phương pháp giải tích, ứng với ơx = ơy = 0 , ta cũng sẽ tìm được: Mặt chính: tg2a0 = - ứng suất chính:
—— => 2a = -90° + kTĩ => Ị a °_1 ơx - ơy k _ 2E0 c0s2cc0 - Xxy sin 2Ơ2); (ơ2,ơ3); (ơ3,ơ ,) ta vẽ “ õ được ba vòng tròn Mohr ứng suất có tâm là c pc 2, c 3.
Xét một mặt cắt nghiêng bất kỳ, trên mặt cắt này sẽ có ứng suất pháp và tiếp Theo lý thuyết đàn hồi, người ta chứng minh được rằng ứng suất trên mặt nghiêng đó tương ứng với một điểm nằm trong miền (gạch chéo) giới hạn bởi ba đường tròn ứng suất.
Hình 2 9 : Biểu diễn ứng su ấ t khõĩ
B À I 2 : TRẠNG T H Á I ỨNG SU ẤT - L Ý THUYẾT BỀN
Nếu ký hiệu các ứng suất tiếp cực đại là t1>2;'c23;t1i3 ta có thể tính được:
Vì các điểm nằm trên chu vi cùa các vòng tròn tưdng ứng với các ứng suất trên các mặt song song với ứng suất còn lại, nên các ứng suất cực trị này tác động trên mặt nghiêng góc 45° với hai phương chính tương ứng và song song với phương chính còn lại.
2 5 1 Định lu ật Hook tổng quát cho biến dạng dài
Nếu trên phân tố vừa có ứng suất pháp và tiếp, thì các biến dạng dài của các cạnh chi có ứng suất pháp gây ra, những ứng suất pháp chỉ gây ra biến dạng góc Gọi biến dạng tương đối theo các phương X, y, z là £x,£y,ez Dựa trên nguyên lý cộng tác dụng: biến dạng theo một phương nào đó do nhiều ứng suất gây ra bằng tổng biến dạng do từng ứng suất, vì vậy, biếu thức định luật Hook cho biến dạng đài theo các phương khác nhau là:
E: mô đun đàn hồi của vật liệu [lực/chiều dài2] n : hệ số nở hông của vật liệu. Đối với phân tố có ứng suất chính, ta có biểu thức tương tự, chỉ cần thay X, y, z bằng 1, 2, 3.
QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG ĐỊNH LUẬT HOOKE
B À I 2: TRẠNG TH Á I ỨNG SUX t - LÝ TH U YẾT BầN 53
2.5.2 Định lu ật Hook cho biến dạng trượt ứng suất tiếp chỉ gây ra sự thay đổi góc của phân tố, gọi sự biến đổi góc vuông cửa phân tố là biến dạng trượt, ký hiệu là Ỵ Giữa ứng suất tiếp X và biến dạng trượt Y eó quan hệ bậc nhất gọi là định luật Hook về biến dạng trượt.
Trong đó G là môđun đàn hồi trượt, thứ nguyên là [lực/chiều dài2] Và G có quan hệ với E theo công thức sau:
2.5.3 Định lu ật Hook cho biến dạng th ể tích xét một phân tố ở trạng thái ứng suất khối có các cạnh là da^da^daj.
Thể tích ban đầu của phân tố:
Gọi độ giãn dài của các cạnh sau khi biến dạng là: Ada1,Ada2,Ada3.
Thể tích cùa phân tố sau khi biến dạng:
Biến dạng thể tích tương đối:
V - V e= 1 - * ■ v0 Sau khi khai triển biểu thức V ị- y , và bỏ qua các số hạng vô cùng bé bậc 2 và 3.
Ada, _ Ada, _ Ada, Đồng thời ta có: 8j = 1 ;e2 = 2 ;s 3 = — Ta có: dat da2 da3
E Định luật Hooke khối: biến dạng thể tích tưdng đối tỷ lệ với tống các ứng suất pháp.
54 B À I 2 : TRẠNG T H Á I ỨNG SU ẤT - LÝ TH UYẾT BỀN
2.6 THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI
Khi phân tố biến dạng, trong mỗi đơn vị thể tích tích lũy một thế năng biến dạng đàn hồi u trong trạng thái ứng suất đơn (kéo hay nén), thế năng riêng u = — Đối với phân tố ở trạng thái ứng suất khối có các ứng suất chính Ơ1,Ơ2,Ơ3 Theo nguyên lý cộng tac dụng, thế năng biến dạng đàn hồi riêng sẽ là: u _ a i s i Ị Ơ 2S 2 Ị ơ 3e 3
Thay ej,e2,e3 theo (2.10) ta được: u = 2E l-ơ'2 + ơ* + °* “ 2v(ơ>ơ2 + Ơ2Ơ3 + Ơ,Ơ3) ] (2,14)
Khi phân tố biến dạng, thể tích và hình dáng của phân tố đều thay đổi vì vậy, thế năng biến dạng gồm thế năng biến đổi hình dáng uhd và thế riăng biến đổi thể tích urt. u = u h d + u tt ( 2 1 5 )
Người ta thiết lập được biểu thức của uhd và utt như sau:
B À I 2 : TRẠNG TH Á I ỨNG SU ẤT - LÝ TH U YỄT BỀN 55
Bài 1: a Tìm giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt AB của phân tố như trên hình vẽ bằng phương pháp giải tích và đồ thị Đơn vị tính bằng kN/cm2.
Ta có: ơx = 4(kN/cm 2) , ơy =-2(kN/cm 2) , Txy= 0 và a = -40° ứng suất pháp: ơ _ + ơ v ơ —ơ v ơ u = - — - + - c o s 2 a - T sin 2 a
56 B À I 2 : TRẠNG TH Á I ỨNG SUẤT - L Ý TH UYẾT BỀN
Dựng vòng tròn Mohr có trục hoành là trục ơ, trục tung là trục T và có tâm là C:
2 2 Điểm cực p có tọa độ là (ơ y,Txy) Do Txy = 0 nên điểm cực p có tọa độ là (-2,0) như hình vẽ.
Từ điểm cực p ta vẽ đường thẫng hợp với trục X một góc 40° cùng chiều kim đồng hồ (vì a mang giá trị âm) Đường thẳng này cắt vòng tròn Mohr tại điểm M, đó là điểm trạng thái ứng suất trên mặt cắt AB. Điểm M này sẽ có tọa độ là (1,52,-2,95) Như vậy, ứng suất trên mặt cắt AB như sau
B À I 2 : TR Ạ N G T H Ả I ỨNG SU Ấ T - L Ý T H U Y ấ T BầN ơu = l,52(kN/cm 2)
Tuv=-2,95(kN/cm2) b Tìm giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt AB của phân tố như trên hình vẽ bằng phương pháp giải tích và đồ thị Đơn vị tính bằng kN/cm2.
Ta có: ơx =-3(kN /cm 2),ơ y =0,Txy =4(kN/cm 2) và a = 60° ứng suất pháp:
58 B À I 2 : TRẠNG TH Á I ỨNG SUẤT - L Ý THUYẾT BỀN ơ +ơ ơ — ơ ơ„ = + — - cos2a - T sin 2a ô 2 2 * ơu= — +— cos(2.60)-4sin(2.60) = -4,2l(kN /cm 2) ứng suất tiếp: ơx - ơ v
Tuv = — sin (2.60) + 4cos (2.60) = -3,3 (kN/ cm2)
Dựng vòng tròn Mohr có trục hoành là trục ơ , trục tung là trục X và có tâm là C: c = = - l , 5(kN /cm 2)
2 2 Điểm cực p có tọa độ là (ơy,Txy) Do đó, điểm cực p có tọa độ là (0,4) như hình vẽ.
Từ điểm cực p ta vẽ đường thẳng hợp với trục X một góc 60° ngƯỢc chiều kim đồng hồ (vì a mang giá trị dương) Đường thẳng này cắt vòng tròn Mohr tại điểm M, đó là điểm trạng thái ứng suất trên mặt cắt AB. Điểm M này sẽ có tọa độ là (-4,21,-3,3) Như vậy, ứng suất trên mặt cắt AB như sau:
BÀI 2: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT - LÝ THUYẾT BỀN ơ u = - 4 , 2 l ( k N / c m 2) Tuv= - 3 , 3 ( k N / c m 2) c Tìm giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt AB của phân tố như trên hình vẽ bằng phương pháp giải tích và đồ thị Đơn vị tính bằng kN/cm2.
Ta có: ơx =0,ơy =0,Txy =-6(kN /cm 2) và a = 30° ứng suất pháp: ơ ơ, ơ x + ơ v ơ x - ơ v - - + — - - c o s 2 a - T sin 2 a
6 s in ( 2 3 0 ) = 5 , 2 ( k N / cm 2) ứng suất tiếp:
60 B À I 2 : TRẠNG T H Á I ỨNG SUẤT - L Ỷ THUYẾT BỀN
Dựng vòng tròn Mohr có trục hoành là trục ơ , trục tung là trục T và có tâm là C: ơ, +ơv c= x y =0
2 Điểm cực p có tọa độ là Do đó, điểm cực p có tọa độ là (0 ,-6 ) như hình vẽ.
Từ điểm cực p ta vẽ đường thẳng hỢp với trục X một góc 30° ngược chiều kim (ạồng hồ (vì a mang giá trị dương) Đường thầng này cắt vòng tròn M0 tại điểm M, đó là điểm trạng thái ứng suất trên mặt cắt AB. Điểm M này sẽ có tọa độ là (5,2 ;-3 ) Như vậy, ứng suất trên mặt cắt AB như sau: ơu =5,2(kN/cm2) xuv=-3(kN /cm 2)
Trên hai mặt tạo với nhau một góc a = 60° và đi qua một điểm ở trạng thái ứng suất phẳng có các ứng suất như trên hình vẽ Cho E = 2.104(kN/cm2),n = 0,3.
- Tính các ứng suất chính tại điểm đó.
- Tính ứng suất pháp ơu và biến dạng tương đối Eu theo phương u.
B À I 2 : TRẠNG TH Á I ỨNG SUẤT - L Ý TH UYẾT BỀN 61
Từ hình vẽ ta có: ơy =3(kN/cm2),Txy =5(kN/cm2),T uv =6(kN/cm2) và a = 30°
Thay các số liệu vào phương trình trên, ta có: ơ - 3
6 = - sin (2.30)+ 5cos (2.30) => crx = ll,08(kN /cm 2)
Tính ứng suất chính: ơ +ơ max = ■ ơmin - ^x+gy
+ T *y Thay các giá trị vào ta tính được:
TH Ế NẦNG BIẾN DẠNG ĐÀN H O I
Tính ứng suất ơu: ơ +ơv ơ - ơ ơ„ = — — L + — L c o s 2 a - T sin 2 a
Tính biến dạng tương đối theo phương u: ứng suất theo phương vuông góc với u (phường V): ơx +ơy =ơu+ơv
=> ơv = ơx + ơ y -ơ u ,08 + 3-4,73 = 9,35(kN/cm2j Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng dài theo phương u: ô - | [ đ - | * ( ô , + o ) ] “ 2 ^ i-K 7 3 -0 ,3 9 ,3 5 ].9 ,6 2 5 1 0 -1
Trong đó ơz =0 vì đây là phân tố phẳng.
KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẲT NGANG
Một tấm mỏng có kích thước như hình vẽ, chịu tác dụng của ứng suất kéo ơ = 30(kN/cm2) theo chiều dài của tấm và ứng suất tiếp T = 15(kN/cm2) Cho
Xác định ứng suất pháp theo phương đường chéo mn và phương vuông góc với đường chéo.
Tính biến dạng dài tuyệt đối của đường chéo mn.
Gọi a là góc hợp bởi phương đường chéo mn và phương ngang.
66 B À I 2: TRẠNG TH Ả I ỨNG SUẤT - LÝ TH UYẾT B ÌN ơ|> tga = — = 0,6 => a = 30,96°
Ta có: ơx 0(kN/cm2) , ơy = 0 , Txy = -15(kN / cm2) và a = 30,96° ứng suất pháp trên phương đường chéo mn: ơ +ơ ơ —ơ a = - ± — ± + - l - ^ c o s 2 a - x xvsm2a
2 2 y ơn = — + — cos(2.30,96) - (-15)sin(2.30,96) = 35,29(kN / cm2) ứng suất pháp trên phương vuông góc với đường chéo mn: ơk = — + — cos(2.120,96)-(-15)sin(2.120,96) = -5,29(kN/cm2)
Hoặc: ơk = ơx +ơy - ơ n= 30-35,29 = -5,29(kN /cm2)
Tính biến dạng dài tuyệt đối trên phương đường chéo mn:
Biến dạng dài tương đối trên phương đường chéo mn:
Biến dạng dài tuyệt đối:
Một tấm thép mỏng hình chữ nhật chịu ứng suất pháp phân bố đều ơx và ơy như hình vẽ Các tậm điện trở A và B được gắn lên tấm theo hai phương X và y cho các số đo như sau: ex =4,8.10'4 và £y =1,3.10^ Tính ơx và ơy Biết
B À I 2 : TRẠNG TH Á I ỨNG SUẤT - L Ý TH UYẾT BỀN 67 ơ y
BÀI LÀM: Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng dài:
Thay các giá trị: £x =4,8.10^, ey =1,3.10^, E = 2.104(kN/cm2) , n = 0,3 và ơz =0 ( vì đây ià phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng).
Bài 6: Tại một điểm trên mặt vật thể chịu lực, người ta gắn các tấm điện trở A, B và c để đo biến dạng tỷ đối theo các phương Om, On và Ou như hình vẽ Các số đo thu được: £„=-2,81.10^, En =-2,81.10“4 và Eu =1,625.10^ Cho
E = 2.104(kN/cm2) , n = 0,3 Yêu cầu xác định phương chính và ứng suất chính tại điểm đó. n
68 B À I 2 : TRẠNG T H Á I ỨNG SU ẤT - LỶ TH U YẾT BỀN
BÀI LÀM: Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng dài cho phương m và n:
Thay các giá trị £m =-2,81.10"4, en =-2,81.10-4, E = 2.104(kN/cm2) , p = 0,3 và ơz =0 (phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng) vào hệ phương trình trên.
2.10 n mJ Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng dài cho phương u: eu = | [ ơu - ^ K + ơz) ]
Ngoài ra, ta lại có: cytt = — ^ơn + COS (2.45) - Tp, sin(2.45)
B À I 2 : TRẠNG TH Á I ỨNG SU ẤT - LÝ TH U YẾT BỀN 69 ứng suất chính: m n -ơ „ \2
+ < thay các giá trị vào ta tính được:
+6,822 =-14,85(kN/cm2) Phương chính: tg2a„ 2.(-6,82) ơm — ơ„ m n -8,03 + 8,03 +00
Từ đó ta xác định được góc giữa 2 phương chính so với trục m là: k - = 4 5 °
Bài 7: Một phân tố hình hộp có các cạnh a = 2(cm ), b = 4(cm ), c = 2(cm ), chịu tác dụng của các lực p, = 60(kN) và P2 = 120(kN) trên bốn mặt của phân tố như hình vẽ Cho E = 2.104(kN/cm2) , n = 0,3.
- Xác định cắc biến dạng dài Àa,Ab,À c của các cạnh a, b, c và biến đối thể tích của phân tố hình hộp.
~ Muốn biến đổi thể tích ÀV = 0 thì phải đặt thêm lực pháp tuyến P3 bằng bao nhiêu vào hai mặt còn lại.
70 B À I 2 : TRẠNG TH Á I ỨNG SUẤT - L Ý THUYẾT BỀN
BÀI LÀM: ứng suất tác dụng lên vật thể theo phương của lực Pị: ơ[ = —— = - ^ = - 1 5 ( k N / c m 2) ã c 2 2 ứng suất tác dụng lên vật thể theo phương của lực P2:
-p, - 120=_ 15JkN/ cm2Ị '2 b.c 4.2 ứng suất trên mặt còn lại của phân tố bằng không (vì không có lực tác dụng) Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng dài theo 3 phương của vật thể, do ơ3 =0 nên ta có: ea = e 2 = | [ ơ 2 - v ơ 1] eb = e i= ^ K -V C T 2] e, = ^ = ^ [ - 1 5 - 0 , 3(-15)] = - 5 ,25.10-
1 r -VI eằ = E, “ - [ a - v c r ,] I = ^1 = — ' 'J = ~ ’ ô = E = | [ - v ( ô , + ° ) ] e = 8, = ^ [ - 0 ,3 ( - 1 5 - 1 5 ) ] = 4,5.10 Biến dạng dài Àa,Ab,A c theo các phương a, b và c:
B À I 2 : TRẠNG T H Á I ỨNG SU ẤT - LÝ TH U YẾT BỀN Điều đó CÓ nghĩa là theo phương cạnh a và cạnh b vật thể bị co lại một đoạn bằng 10,5.10^(cm ) Và theo phương cạnh c vật thể giãn ra một đoạn bằng 9.10^*(cm ).
Biến đổi thể tích của phân tố hình hộp:
Biến dạng thể tích tương đối:
Biến đổi thể tích của phân tố:
AV = 0.V = e.a.b.c = -6.1(Y*2A 2 = -9,6.10'3 (cm3) Điều đó có nghĩa là thể tích phân tố hình hộp bị giảm 9,6.1(T3(cm3)
Xác định lực P3 để biến đổi thể tích bằng không: Để ÀV = 0 điều đó đồng nghĩa với việc 0 = 0 Ta lại có:
=> ơ3 = -(ơ ị + a2) = 3ơ(kN / cm2) Như vậy phải đặt vào măt còn lại lực kéo P3 có giá trị là: p3 =ơ3.a.b = 30.2.4 = 240(kN/cm2) Bài 8: Một khổi lập phương có cạnh là a = 5(cm) được đặt vừa khít vào rãnh của vật thể A tuyệt đối cứng, chịu áp suất phân bố đều của mặt trên là p = l(kN /cm 2) Cho E = 2.104(kN/cm2) , n = 0,3.
- Xác định lực nén vào vách rãnh.
- Xác định độ biến dạng thể tích tuyệt đối của khối lập phương.
72 B À I 2 : TRẠNG T H Á I ỨNG SU ẤT - LÝ TH U YẾT BỀN
Ta có: ơ =-p = -l(k N /c m 2) , ex =Ez = 0 do vật A tuyệt đối cứng nên khối lập phương không thể nở hông. Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng dài theo 3 phương X y và z:
A Ẹ L ' V y / J ez = ^ [ơ z- J i(ơ x +ay)] o= 5 ^ 4 [ ^ -o.3(->+“ ) ] ằ = n 5 r h - 0 3 K - l ) ] ơx = -0,43 (kN / cm2)
Bài 9: Một tấm thép có kích thước a X b X c đặt giữa hai tấm tuyệt đối cứng Hai tấm này được liên kết với nhau bằng bốn thanh như hình vẽ Biết thanh có diện tích mặt cắt ngang là A, môđun đàn hồi của tấm thép và thanh bằng nhau
E „ m = E,hnnh ■ Khi tấm thép chịu áp lực p phân bố đề trên hai mặt bên thì ứng suất trong tấm thép và trong các thanh là bao nhiêu?
B À I 2 : TRẠNG THÁX ỨNG SUẤT - L Ý TH UYẾT BầN
BÀI LÀM: Đối với tấm thép, ta có: ơy = - p , ơz = 0. Áp dụng định luật Hooke tổng quát cho biến dạng d à i theo phương X của tấm t h é p : £x = ^ [ ơ , - n ( ơ y + CTZ) ] = ~ - [ ơ x + u p ]
Phương trình cân bằng lực:
Phương trình chuyển vị: Ax_tam = A l ^
Thay (2) và (3) vào (1 ), ta được:
F thanh A F ^tara thanh a.b + MP ứng suất trong thanh:
A , +Ị Ạ ab ứng suất trong tấm thép:
BÀI 3: KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
Thanh được gọi là chịu kéo hay nén đúng tâm khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh chi có một thành phần nội lực là lực dọc N z
Ta thường gặp trường hợp này khi thanh chịu tác dụng của lực ở hai đầu thanh, có chiều dọc trục thanh và có cùng trị số nhưng trái chiều.
Hình 3 1: Thanh chịu kéo nén đúng tâm
Trong thực tế ta có thể gặp nhiều cấu kiện chịu kéo và nén đúng tâm như: dây cáp cần cẩu, các thanh trong dàn
3 2 1 T h í nghiệm xét thanh thẵng chịu kéo (nén) đúng tâm như hình 3.3a và giả thiết mặt cắt ngang của thanh là hình chữ nhật.
Người ta khảo sát sự biến dạng của thanh như sau Trước tiên, người ta vạch lên mặt ngoài của thanh những đường song song và vuông góc với trục thanh tạo nên các
B À I 3 : KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM 75 ô vuông như hình 3.3a Những đường thẳng song song với trục thanh biểu diễn cho những thớ dọc, những đường thẳng vuông góc biểu diễn cho các mặt cắt ngang. a) b)
Hình 3 3 : Thí nghiệm kéo thanh thẳng
Sau khi thanh chịu kéo bởi ngoại lực p, thanh bị biến dạng nhưng người ta nhận thấy những đường thẳng đó vẫn song song và vuông góc với trục thanh Tuy nhiên những ô vuông ban đầu trở thành những hình chữ nhật có chiều dài dọc theo trục thanh.
Từ những nhận xét đó, người ta đề ra các giả thiết như sau:
- Giả thiết mặt cắt phắng: mặt cắt ngang ban đầu là phẳng và vuông góc với trục thanh thì sau khi biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh.
- Giả thiết về các thớ dọc: trong quá trình biến dạng, các thớ dọc không chèn ép lên nhau và không đẩy nhau.
- Ngoài ra, người ta còn thừa nhận rằng vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi và tuân theo định luật Hooke, tức là tương quan giữa ứng suất và biến dạng là bậc nhất.
3.2.3 Th iết lập công thứ c tính ứng su ấ t
Ta hãy xét ứng suất trên một mặt cắt ngang nào đó Trên mặt cắt ngang đó xác lập hệ trục toạ độ oxyz Gọi A là điểm cần khảo sát Tách tại A một phân tố hình hộp bằng các mặt cắt song song với các mặt tọa độ.
Hình 3.4: ứng suất trên phân tố của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm
Với giả thiết về mặt cắt ngang, trước và sau khi biến dạng các mặt cẳt vẫn vuông góc với trục thanh nên các góc vuông trong phân tố không đổi, tức là trên các phân tõJ chỉ có biến dạng dài mà không có các biến dạng góc Từ đó có thể kết luận trên phân tố chì có các ứng suất pháp, không có ứng suất tiếp
ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẤT NGHIÊNG
Một tấm mỏng có kích thước như hình vẽ, chịu tác dụng của ứng suất kéo ơ = 30(kN/cm2) theo chiều dài của tấm và ứng suất tiếp T = 15(kN/cm2) Cho
Xác định ứng suất pháp theo phương đường chéo mn và phương vuông góc với đường chéo.
Tính biến dạng dài tuyệt đối của đường chéo mn.
Gọi a là góc hợp bởi phương đường chéo mn và phương ngang.
66 B À I 2: TRẠNG TH Ả I ỨNG SUẤT - LÝ TH UYẾT B ÌN ơ|> tga = — = 0,6 => a = 30,96°
Ta có: ơx 0(kN/cm2) , ơy = 0 , Txy = -15(kN / cm2) và a = 30,96° ứng suất pháp trên phương đường chéo mn: ơ +ơ ơ —ơ a = - ± — ± + - l - ^ c o s 2 a - x xvsm2a
2 2 y ơn = — + — cos(2.30,96) - (-15)sin(2.30,96) = 35,29(kN / cm2) ứng suất pháp trên phương vuông góc với đường chéo mn: ơk = — + — cos(2.120,96)-(-15)sin(2.120,96) = -5,29(kN/cm2)
Hoặc: ơk = ơx +ơy - ơ n= 30-35,29 = -5,29(kN /cm2)
Tính biến dạng dài tuyệt đối trên phương đường chéo mn:
Biến dạng dài tương đối trên phương đường chéo mn:
Biến dạng dài tuyệt đối:
Một tấm thép mỏng hình chữ nhật chịu ứng suất pháp phân bố đều ơx và ơy như hình vẽ Các tậm điện trở A và B được gắn lên tấm theo hai phương X và y cho các số đo như sau: ex =4,8.10'4 và £y =1,3.10^ Tính ơx và ơy Biết
B À I 2 : TRẠNG TH Á I ỨNG SUẤT - L Ý TH UYẾT BỀN 67 ơ y
BÀI LÀM: Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng dài:
Thay các giá trị: £x =4,8.10^, ey =1,3.10^, E = 2.104(kN/cm2) , n = 0,3 và ơz =0 ( vì đây ià phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng).
Bài 6: Tại một điểm trên mặt vật thể chịu lực, người ta gắn các tấm điện trở A, B và c để đo biến dạng tỷ đối theo các phương Om, On và Ou như hình vẽ Các số đo thu được: £„=-2,81.10^, En =-2,81.10“4 và Eu =1,625.10^ Cho
E = 2.104(kN/cm2) , n = 0,3 Yêu cầu xác định phương chính và ứng suất chính tại điểm đó. n
68 B À I 2 : TRẠNG T H Á I ỨNG SU ẤT - LỶ TH U YẾT BỀN
BÀI LÀM: Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng dài cho phương m và n:
Thay các giá trị £m =-2,81.10"4, en =-2,81.10-4, E = 2.104(kN/cm2) , p = 0,3 và ơz =0 (phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng) vào hệ phương trình trên.
2.10 n mJ Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng dài cho phương u: eu = | [ ơu - ^ K + ơz) ]
Ngoài ra, ta lại có: cytt = — ^ơn + COS (2.45) - Tp, sin(2.45)
B À I 2 : TRẠNG TH Á I ỨNG SU ẤT - LÝ TH U YẾT BỀN 69 ứng suất chính: m n -ơ „ \2
+ < thay các giá trị vào ta tính được:
+6,822 =-14,85(kN/cm2) Phương chính: tg2a„ 2.(-6,82) ơm — ơ„ m n -8,03 + 8,03 +00
Từ đó ta xác định được góc giữa 2 phương chính so với trục m là: k - = 4 5 °
Bài 7: Một phân tố hình hộp có các cạnh a = 2(cm ), b = 4(cm ), c = 2(cm ), chịu tác dụng của các lực p, = 60(kN) và P2 = 120(kN) trên bốn mặt của phân tố như hình vẽ Cho E = 2.104(kN/cm2) , n = 0,3.
- Xác định cắc biến dạng dài Àa,Ab,À c của các cạnh a, b, c và biến đối thể tích của phân tố hình hộp.
~ Muốn biến đổi thể tích ÀV = 0 thì phải đặt thêm lực pháp tuyến P3 bằng bao nhiêu vào hai mặt còn lại.
70 B À I 2 : TRẠNG TH Á I ỨNG SUẤT - L Ý THUYẾT BỀN
BÀI LÀM: ứng suất tác dụng lên vật thể theo phương của lực Pị: ơ[ = —— = - ^ = - 1 5 ( k N / c m 2) ã c 2 2 ứng suất tác dụng lên vật thể theo phương của lực P2:
-p, - 120=_ 15JkN/ cm2Ị '2 b.c 4.2 ứng suất trên mặt còn lại của phân tố bằng không (vì không có lực tác dụng) Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng dài theo 3 phương của vật thể, do ơ3 =0 nên ta có: ea = e 2 = | [ ơ 2 - v ơ 1] eb = e i= ^ K -V C T 2] e, = ^ = ^ [ - 1 5 - 0 , 3(-15)] = - 5 ,25.10-
1 r -VI eằ = E, “ - [ a - v c r ,] I = ^1 = — ' 'J = ~ ’ ô = E = | [ - v ( ô , + ° ) ] e = 8, = ^ [ - 0 ,3 ( - 1 5 - 1 5 ) ] = 4,5.10 Biến dạng dài Àa,Ab,A c theo các phương a, b và c:
B À I 2 : TRẠNG T H Á I ỨNG SU ẤT - LÝ TH U YẾT BỀN Điều đó CÓ nghĩa là theo phương cạnh a và cạnh b vật thể bị co lại một đoạn bằng 10,5.10^(cm ) Và theo phương cạnh c vật thể giãn ra một đoạn bằng 9.10^*(cm ).
Biến đổi thể tích của phân tố hình hộp:
Biến dạng thể tích tương đối:
Biến đổi thể tích của phân tố:
AV = 0.V = e.a.b.c = -6.1(Y*2A 2 = -9,6.10'3 (cm3) Điều đó có nghĩa là thể tích phân tố hình hộp bị giảm 9,6.1(T3(cm3)
Xác định lực P3 để biến đổi thể tích bằng không: Để ÀV = 0 điều đó đồng nghĩa với việc 0 = 0 Ta lại có:
=> ơ3 = -(ơ ị + a2) = 3ơ(kN / cm2) Như vậy phải đặt vào măt còn lại lực kéo P3 có giá trị là: p3 =ơ3.a.b = 30.2.4 = 240(kN/cm2) Bài 8: Một khổi lập phương có cạnh là a = 5(cm) được đặt vừa khít vào rãnh của vật thể A tuyệt đối cứng, chịu áp suất phân bố đều của mặt trên là p = l(kN /cm 2) Cho E = 2.104(kN/cm2) , n = 0,3.
- Xác định lực nén vào vách rãnh.
- Xác định độ biến dạng thể tích tuyệt đối của khối lập phương.
72 B À I 2 : TRẠNG T H Á I ỨNG SU ẤT - LÝ TH U YẾT BỀN
Ta có: ơ =-p = -l(k N /c m 2) , ex =Ez = 0 do vật A tuyệt đối cứng nên khối lập phương không thể nở hông. Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng dài theo 3 phương X y và z:
A Ẹ L ' V y / J ez = ^ [ơ z- J i(ơ x +ay)] o= 5 ^ 4 [ ^ -o.3(->+“ ) ] ằ = n 5 r h - 0 3 K - l ) ] ơx = -0,43 (kN / cm2)
Bài 9: Một tấm thép có kích thước a X b X c đặt giữa hai tấm tuyệt đối cứng Hai tấm này được liên kết với nhau bằng bốn thanh như hình vẽ Biết thanh có diện tích mặt cắt ngang là A, môđun đàn hồi của tấm thép và thanh bằng nhau
E „ m = E,hnnh ■ Khi tấm thép chịu áp lực p phân bố đề trên hai mặt bên thì ứng suất trong tấm thép và trong các thanh là bao nhiêu?
B À I 2 : TRẠNG THÁX ỨNG SUẤT - L Ý TH UYẾT BầN
BÀI LÀM: Đối với tấm thép, ta có: ơy = - p , ơz = 0. Áp dụng định luật Hooke tổng quát cho biến dạng d à i theo phương X của tấm t h é p : £x = ^ [ ơ , - n ( ơ y + CTZ) ] = ~ - [ ơ x + u p ]
Phương trình cân bằng lực:
Phương trình chuyển vị: Ax_tam = A l ^
Thay (2) và (3) vào (1 ), ta được:
F thanh A F ^tara thanh a.b + MP ứng suất trong thanh:
A , +Ị Ạ ab ứng suất trong tấm thép:
BÀI 3: KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
Thanh được gọi là chịu kéo hay nén đúng tâm khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh chi có một thành phần nội lực là lực dọc N z
Ta thường gặp trường hợp này khi thanh chịu tác dụng của lực ở hai đầu thanh, có chiều dọc trục thanh và có cùng trị số nhưng trái chiều.
Hình 3 1: Thanh chịu kéo nén đúng tâm
Trong thực tế ta có thể gặp nhiều cấu kiện chịu kéo và nén đúng tâm như: dây cáp cần cẩu, các thanh trong dàn
3 2 1 T h í nghiệm xét thanh thẵng chịu kéo (nén) đúng tâm như hình 3.3a và giả thiết mặt cắt ngang của thanh là hình chữ nhật.
Người ta khảo sát sự biến dạng của thanh như sau Trước tiên, người ta vạch lên mặt ngoài của thanh những đường song song và vuông góc với trục thanh tạo nên các
B À I 3 : KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM 75 ô vuông như hình 3.3a Những đường thẳng song song với trục thanh biểu diễn cho những thớ dọc, những đường thẳng vuông góc biểu diễn cho các mặt cắt ngang. a) b)
Hình 3 3 : Thí nghiệm kéo thanh thẳng
Sau khi thanh chịu kéo bởi ngoại lực p, thanh bị biến dạng nhưng người ta nhận thấy những đường thẳng đó vẫn song song và vuông góc với trục thanh Tuy nhiên những ô vuông ban đầu trở thành những hình chữ nhật có chiều dài dọc theo trục thanh.
Từ những nhận xét đó, người ta đề ra các giả thiết như sau:
- Giả thiết mặt cắt phắng: mặt cắt ngang ban đầu là phẳng và vuông góc với trục thanh thì sau khi biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh.
- Giả thiết về các thớ dọc: trong quá trình biến dạng, các thớ dọc không chèn ép lên nhau và không đẩy nhau.
- Ngoài ra, người ta còn thừa nhận rằng vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi và tuân theo định luật Hooke, tức là tương quan giữa ứng suất và biến dạng là bậc nhất.
3.2.3 Th iết lập công thứ c tính ứng su ấ t
Ta hãy xét ứng suất trên một mặt cắt ngang nào đó Trên mặt cắt ngang đó xác lập hệ trục toạ độ oxyz Gọi A là điểm cần khảo sát Tách tại A một phân tố hình hộp bằng các mặt cắt song song với các mặt tọa độ.
Hình 3.4: ứng suất trên phân tố của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm
Với giả thiết về mặt cắt ngang, trước và sau khi biến dạng các mặt cẳt vẫn vuông góc với trục thanh nên các góc vuông trong phân tố không đổi, tức là trên các phân tõJ chỉ có biến dạng dài mà không có các biến dạng góc Từ đó có thể kết luận trên phân tố chì có các ứng suất pháp, không có ứng suất tiếp
ĐẶC TRƯNG c ơ HỌC CỦA VẬT L IỆ U
Chúng ta cần phải so sánh độ bền, độ cứng của vật liệu khi chịu lực với ứng suất biến dạng của vật liệu cùng loại Ta cần thí nghiệm kéo (nén) đế tìm hiểu tính chất chịu lực và quá trình biến dạng từ lúc bắt đầu chịu lực đến lúc phá hoại của các loại vật liệu khác nhau.
Căn cứ vào biến dạng và sự phá hỏng, khả năng chịu kéo, nén khác nhau người ta phân vật liệu thanh hai loại cơ bản:
- Vật liệu dẻo: là vật liệu bị phá hoại khi biến dạng khá lớn như thép, đồng nhôm
- Vật liệu giòn: là vật liệu bị phá hoại khi biến dạng còn khá nhỏ như gang, đá, bê tông
3 5 2 T h í nghiệm kéo v ậ t liệu dẻo (th ép )
Mẩu thí nghiệm có chiều dài L 0, đường kính d0 và diện tích A0.
Hình 3 8 : Mấu thí nghiệm kéo thép
Tăng lực kéo từ 0 đến khi mẫu bị đứt, với bộ phận vẽ biểu đồ của máy kéo, ta nhận được đồ thị quan hệ giữa lực kéo p và biến dạng dài AL của mẫu như hình 3.6 Ngoài ra khi mẫu bị đứt ta chấp mẫu lại, mẫu có hình dáng như hình vẽ.
Hình 3 9 : Quan hệ lực và chuyển vị khi kéo vật liệu dẻo
Quá trình chịu lực của vật liệu có thể chia làm 3 giai đoạn:
- OA: giai đoạn đàn hồi, tương quan giữa p và AL là bậc nhất Lực lớn nhất trong giai đoạn này là lực tỉ lệ P(1/ ứng suất tương ứng trong mẫu là giới hạn tỉ lệ:
- AD: giai đoạn chảy, lực kéo không tăng nhưng biến dạng tăng liên tục Lực kéo tương ứng là và ta có giới hạn chảy:
- DBC: giai đoạn củng cố (tái bền), tương quan giữa lực p và biến dạng AL là đường cong Lực lớn nhất là lực bền Pb và ta có giới hạn bền:
Nếu ta gọi chiều dài mẫu sau khi bị đứt là L j và diện tích mặt cắt ngang nơi đút là
Aj thì ta có các định nghĩa đặc trưng cho tính chất dẽo của vật liệu như sau:
- Biến dạng dài tương đối (tính bằng phần trăm):
(3.13) Độ thắt tỉ đối (tính bằng phần trăm): ¥ = ^ 2 _ A ioo %
3.5.2.4 Biểu đồ quan hệ ứng suất và biến dạng p A L
Từ biểu đồ P-AL ta dễ dàng suy ra biểu đồ quan hê ứng suất ơ = —— và biến dạng 8 = -—
Biểu đồ này có hình dáng giống như biểu đồ P-AL, trên biểu đồ còn ghi rõ mô đun ơ 1 đàn hồi E = —= tga
Hình 3 1 0 : Quan hệ ứng suấ t và biến dạng khi kéo vậ t liệu dẻo
Biểu đồ kéo vật liệu giòn có dạng đường cong, vật liệu không có giới hạn tỉ lệ và giới hạn chảy và chỉ có giới hạn bền:
Hình 3 1 1 : Biểu đô P-AL khi kéo vật liệu dòn
Tuy nhiên, người ta cũng quy ước một giới hạn đàn hồi nào đó và xem đồ thị quan hệ lực kéo và biến dạng là một đường thẳng (đường quy ước).
Mấu nén vật liệu dẻo (và giòn) thường có dạng hình trụ tròn hay hình íập phương Biểu đồ nén vật liệu dẻo như hình 3.12 Ta chỉ xác định được giới hạn tỷ lệ và giới hạn chảy, mà không xác định được giới hạn bền do sự phình ngang của mẫu là cho tiết diện mặt cắt ngang mẫu tăng lên liên tục Sau thí nghiệm, mẫu có dạng hình trống. b) c)
Hình 3.1 2 : Biểu đồ nén vật liệu dẻo và các mẫu th í nghiệm nén
Biếu đồ quan hệ P-AL khi nén vật liệu giòn cũng là đường cong tương tự biểu đồ kéo vật liệu giòn Ta chỉ xác định được giới hạn bền tương ứng với lực nén phá hỏng
Pb Mẩu thí nghiệm bị phá hỏng đột ngột.
Nghiên cứu các thí nghiệm kéo và nén vật liệu dẻo và vật liệu dòn, người ta thấy rằng:
- Đối với vật liệu dẻo: giới hạn chảy khi kéo và nén là như nhau.
- Đối với vật liệu giòn: giới hạn bền khi kéo bé hơn nhiều so với giới hạn bền khi nén Ví dụ: gang xám có giới hạn bền khi kéo là 2,5(kN/cm2) còn giới hạn bền khi nén có thể đạt lo(kN/ cm2 Ị
TH Ế NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN H Ồ I
Một tấm mỏng có kích thước như hình vẽ, chịu tác dụng của ứng suất kéo ơ = 30(kN/cm2) theo chiều dài của tấm và ứng suất tiếp T = 15(kN/cm2) Cho
Xác định ứng suất pháp theo phương đường chéo mn và phương vuông góc với đường chéo.
Tính biến dạng dài tuyệt đối của đường chéo mn.
Gọi a là góc hợp bởi phương đường chéo mn và phương ngang.
66 B À I 2: TRẠNG TH Ả I ỨNG SUẤT - LÝ TH UYẾT B ÌN ơ|> tga = — = 0,6 => a = 30,96°
Ta có: ơx 0(kN/cm2) , ơy = 0 , Txy = -15(kN / cm2) và a = 30,96° ứng suất pháp trên phương đường chéo mn: ơ +ơ ơ —ơ a = - ± — ± + - l - ^ c o s 2 a - x xvsm2a
2 2 y ơn = — + — cos(2.30,96) - (-15)sin(2.30,96) = 35,29(kN / cm2) ứng suất pháp trên phương vuông góc với đường chéo mn: ơk = — + — cos(2.120,96)-(-15)sin(2.120,96) = -5,29(kN/cm2)
Hoặc: ơk = ơx +ơy - ơ n= 30-35,29 = -5,29(kN /cm2)
Tính biến dạng dài tuyệt đối trên phương đường chéo mn:
Biến dạng dài tương đối trên phương đường chéo mn:
Biến dạng dài tuyệt đối:
Một tấm thép mỏng hình chữ nhật chịu ứng suất pháp phân bố đều ơx và ơy như hình vẽ Các tậm điện trở A và B được gắn lên tấm theo hai phương X và y cho các số đo như sau: ex =4,8.10'4 và £y =1,3.10^ Tính ơx và ơy Biết
B À I 2 : TRẠNG TH Á I ỨNG SUẤT - L Ý TH UYẾT BỀN 67 ơ y
BÀI LÀM: Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng dài:
Thay các giá trị: £x =4,8.10^, ey =1,3.10^, E = 2.104(kN/cm2) , n = 0,3 và ơz =0 ( vì đây ià phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng).
Bài 6: Tại một điểm trên mặt vật thể chịu lực, người ta gắn các tấm điện trở A, B và c để đo biến dạng tỷ đối theo các phương Om, On và Ou như hình vẽ Các số đo thu được: £„=-2,81.10^, En =-2,81.10“4 và Eu =1,625.10^ Cho
E = 2.104(kN/cm2) , n = 0,3 Yêu cầu xác định phương chính và ứng suất chính tại điểm đó. n
68 B À I 2 : TRẠNG T H Á I ỨNG SU ẤT - LỶ TH U YẾT BỀN
BÀI LÀM: Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng dài cho phương m và n:
Thay các giá trị £m =-2,81.10"4, en =-2,81.10-4, E = 2.104(kN/cm2) , p = 0,3 và ơz =0 (phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng) vào hệ phương trình trên.
2.10 n mJ Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng dài cho phương u: eu = | [ ơu - ^ K + ơz) ]
Ngoài ra, ta lại có: cytt = — ^ơn + COS (2.45) - Tp, sin(2.45)
B À I 2 : TRẠNG TH Á I ỨNG SU ẤT - LÝ TH U YẾT BỀN 69 ứng suất chính: m n -ơ „ \2
+ < thay các giá trị vào ta tính được:
+6,822 =-14,85(kN/cm2) Phương chính: tg2a„ 2.(-6,82) ơm — ơ„ m n -8,03 + 8,03 +00
Từ đó ta xác định được góc giữa 2 phương chính so với trục m là: k - = 4 5 °
Bài 7: Một phân tố hình hộp có các cạnh a = 2(cm ), b = 4(cm ), c = 2(cm ), chịu tác dụng của các lực p, = 60(kN) và P2 = 120(kN) trên bốn mặt của phân tố như hình vẽ Cho E = 2.104(kN/cm2) , n = 0,3.
- Xác định cắc biến dạng dài Àa,Ab,À c của các cạnh a, b, c và biến đối thể tích của phân tố hình hộp.
~ Muốn biến đổi thể tích ÀV = 0 thì phải đặt thêm lực pháp tuyến P3 bằng bao nhiêu vào hai mặt còn lại.
70 B À I 2 : TRẠNG TH Á I ỨNG SUẤT - L Ý THUYẾT BỀN
BÀI LÀM: ứng suất tác dụng lên vật thể theo phương của lực Pị: ơ[ = —— = - ^ = - 1 5 ( k N / c m 2) ã c 2 2 ứng suất tác dụng lên vật thể theo phương của lực P2:
-p, - 120=_ 15JkN/ cm2Ị '2 b.c 4.2 ứng suất trên mặt còn lại của phân tố bằng không (vì không có lực tác dụng) Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng dài theo 3 phương của vật thể, do ơ3 =0 nên ta có: ea = e 2 = | [ ơ 2 - v ơ 1] eb = e i= ^ K -V C T 2] e, = ^ = ^ [ - 1 5 - 0 , 3(-15)] = - 5 ,25.10-
1 r -VI eằ = E, “ - [ a - v c r ,] I = ^1 = — ' 'J = ~ ’ ô = E = | [ - v ( ô , + ° ) ] e = 8, = ^ [ - 0 ,3 ( - 1 5 - 1 5 ) ] = 4,5.10 Biến dạng dài Àa,Ab,A c theo các phương a, b và c:
B À I 2 : TRẠNG T H Á I ỨNG SU ẤT - LÝ TH U YẾT BỀN Điều đó CÓ nghĩa là theo phương cạnh a và cạnh b vật thể bị co lại một đoạn bằng 10,5.10^(cm ) Và theo phương cạnh c vật thể giãn ra một đoạn bằng 9.10^*(cm ).
Biến đổi thể tích của phân tố hình hộp:
Biến dạng thể tích tương đối:
Biến đổi thể tích của phân tố:
AV = 0.V = e.a.b.c = -6.1(Y*2A 2 = -9,6.10'3 (cm3) Điều đó có nghĩa là thể tích phân tố hình hộp bị giảm 9,6.1(T3(cm3)
Xác định lực P3 để biến đổi thể tích bằng không: Để ÀV = 0 điều đó đồng nghĩa với việc 0 = 0 Ta lại có:
=> ơ3 = -(ơ ị + a2) = 3ơ(kN / cm2) Như vậy phải đặt vào măt còn lại lực kéo P3 có giá trị là: p3 =ơ3.a.b = 30.2.4 = 240(kN/cm2) Bài 8: Một khổi lập phương có cạnh là a = 5(cm) được đặt vừa khít vào rãnh của vật thể A tuyệt đối cứng, chịu áp suất phân bố đều của mặt trên là p = l(kN /cm 2) Cho E = 2.104(kN/cm2) , n = 0,3.
- Xác định lực nén vào vách rãnh.
- Xác định độ biến dạng thể tích tuyệt đối của khối lập phương.
72 B À I 2 : TRẠNG T H Á I ỨNG SU ẤT - LÝ TH U YẾT BỀN
Ta có: ơ =-p = -l(k N /c m 2) , ex =Ez = 0 do vật A tuyệt đối cứng nên khối lập phương không thể nở hông. Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng dài theo 3 phương X y và z:
A Ẹ L ' V y / J ez = ^ [ơ z- J i(ơ x +ay)] o= 5 ^ 4 [ ^ -o.3(->+“ ) ] ằ = n 5 r h - 0 3 K - l ) ] ơx = -0,43 (kN / cm2)
Bài 9: Một tấm thép có kích thước a X b X c đặt giữa hai tấm tuyệt đối cứng Hai tấm này được liên kết với nhau bằng bốn thanh như hình vẽ Biết thanh có diện tích mặt cắt ngang là A, môđun đàn hồi của tấm thép và thanh bằng nhau
E „ m = E,hnnh ■ Khi tấm thép chịu áp lực p phân bố đề trên hai mặt bên thì ứng suất trong tấm thép và trong các thanh là bao nhiêu?
B À I 2 : TRẠNG THÁX ỨNG SUẤT - L Ý TH UYẾT BầN
BÀI LÀM: Đối với tấm thép, ta có: ơy = - p , ơz = 0. Áp dụng định luật Hooke tổng quát cho biến dạng d à i theo phương X của tấm t h é p : £x = ^ [ ơ , - n ( ơ y + CTZ) ] = ~ - [ ơ x + u p ]
Phương trình cân bằng lực:
Phương trình chuyển vị: Ax_tam = A l ^
Thay (2) và (3) vào (1 ), ta được:
F thanh A F ^tara thanh a.b + MP ứng suất trong thanh:
A , +Ị Ạ ab ứng suất trong tấm thép:
BÀI 3: KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
Thanh được gọi là chịu kéo hay nén đúng tâm khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh chi có một thành phần nội lực là lực dọc N z
Ta thường gặp trường hợp này khi thanh chịu tác dụng của lực ở hai đầu thanh, có chiều dọc trục thanh và có cùng trị số nhưng trái chiều.
Hình 3 1: Thanh chịu kéo nén đúng tâm
Trong thực tế ta có thể gặp nhiều cấu kiện chịu kéo và nén đúng tâm như: dây cáp cần cẩu, các thanh trong dàn
3 2 1 T h í nghiệm xét thanh thẵng chịu kéo (nén) đúng tâm như hình 3.3a và giả thiết mặt cắt ngang của thanh là hình chữ nhật.
Người ta khảo sát sự biến dạng của thanh như sau Trước tiên, người ta vạch lên mặt ngoài của thanh những đường song song và vuông góc với trục thanh tạo nên các
B À I 3 : KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM 75 ô vuông như hình 3.3a Những đường thẳng song song với trục thanh biểu diễn cho những thớ dọc, những đường thẳng vuông góc biểu diễn cho các mặt cắt ngang. a) b)
Hình 3 3 : Thí nghiệm kéo thanh thẳng
Sau khi thanh chịu kéo bởi ngoại lực p, thanh bị biến dạng nhưng người ta nhận thấy những đường thẳng đó vẫn song song và vuông góc với trục thanh Tuy nhiên những ô vuông ban đầu trở thành những hình chữ nhật có chiều dài dọc theo trục thanh.
Từ những nhận xét đó, người ta đề ra các giả thiết như sau:
- Giả thiết mặt cắt phắng: mặt cắt ngang ban đầu là phẳng và vuông góc với trục thanh thì sau khi biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh.
- Giả thiết về các thớ dọc: trong quá trình biến dạng, các thớ dọc không chèn ép lên nhau và không đẩy nhau.
- Ngoài ra, người ta còn thừa nhận rằng vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi và tuân theo định luật Hooke, tức là tương quan giữa ứng suất và biến dạng là bậc nhất.
3.2.3 Th iết lập công thứ c tính ứng su ấ t
Ta hãy xét ứng suất trên một mặt cắt ngang nào đó Trên mặt cắt ngang đó xác lập hệ trục toạ độ oxyz Gọi A là điểm cần khảo sát Tách tại A một phân tố hình hộp bằng các mặt cắt song song với các mặt tọa độ.
Hình 3.4: ứng suất trên phân tố của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm
Với giả thiết về mặt cắt ngang, trước và sau khi biến dạng các mặt cẳt vẫn vuông góc với trục thanh nên các góc vuông trong phân tố không đổi, tức là trên các phân tõJ chỉ có biến dạng dài mà không có các biến dạng góc Từ đó có thể kết luận trên phân tố chì có các ứng suất pháp, không có ứng suất tiếp
THANH c ó ĐỘ BỀN Đ Ề U
Một tấm mỏng có kích thước như hình vẽ, chịu tác dụng của ứng suất kéo ơ = 30(kN/cm2) theo chiều dài của tấm và ứng suất tiếp T = 15(kN/cm2) Cho
Xác định ứng suất pháp theo phương đường chéo mn và phương vuông góc với đường chéo.
Tính biến dạng dài tuyệt đối của đường chéo mn.
Gọi a là góc hợp bởi phương đường chéo mn và phương ngang.
66 B À I 2: TRẠNG TH Ả I ỨNG SUẤT - LÝ TH UYẾT B ÌN ơ|> tga = — = 0,6 => a = 30,96°
Ta có: ơx 0(kN/cm2) , ơy = 0 , Txy = -15(kN / cm2) và a = 30,96° ứng suất pháp trên phương đường chéo mn: ơ +ơ ơ —ơ a = - ± — ± + - l - ^ c o s 2 a - x xvsm2a
2 2 y ơn = — + — cos(2.30,96) - (-15)sin(2.30,96) = 35,29(kN / cm2) ứng suất pháp trên phương vuông góc với đường chéo mn: ơk = — + — cos(2.120,96)-(-15)sin(2.120,96) = -5,29(kN/cm2)
Hoặc: ơk = ơx +ơy - ơ n= 30-35,29 = -5,29(kN /cm2)
Tính biến dạng dài tuyệt đối trên phương đường chéo mn:
Biến dạng dài tương đối trên phương đường chéo mn:
Biến dạng dài tuyệt đối:
Một tấm thép mỏng hình chữ nhật chịu ứng suất pháp phân bố đều ơx và ơy như hình vẽ Các tậm điện trở A và B được gắn lên tấm theo hai phương X và y cho các số đo như sau: ex =4,8.10'4 và £y =1,3.10^ Tính ơx và ơy Biết
B À I 2 : TRẠNG TH Á I ỨNG SUẤT - L Ý TH UYẾT BỀN 67 ơ y
BÀI LÀM: Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng dài:
Thay các giá trị: £x =4,8.10^, ey =1,3.10^, E = 2.104(kN/cm2) , n = 0,3 và ơz =0 ( vì đây ià phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng).
Bài 6: Tại một điểm trên mặt vật thể chịu lực, người ta gắn các tấm điện trở A, B và c để đo biến dạng tỷ đối theo các phương Om, On và Ou như hình vẽ Các số đo thu được: £„=-2,81.10^, En =-2,81.10“4 và Eu =1,625.10^ Cho
E = 2.104(kN/cm2) , n = 0,3 Yêu cầu xác định phương chính và ứng suất chính tại điểm đó. n
68 B À I 2 : TRẠNG T H Á I ỨNG SU ẤT - LỶ TH U YẾT BỀN
BÀI LÀM: Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng dài cho phương m và n:
Thay các giá trị £m =-2,81.10"4, en =-2,81.10-4, E = 2.104(kN/cm2) , p = 0,3 và ơz =0 (phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng) vào hệ phương trình trên.
2.10 n mJ Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng dài cho phương u: eu = | [ ơu - ^ K + ơz) ]
Ngoài ra, ta lại có: cytt = — ^ơn + COS (2.45) - Tp, sin(2.45)
B À I 2 : TRẠNG TH Á I ỨNG SU ẤT - LÝ TH U YẾT BỀN 69 ứng suất chính: m n -ơ „ \2
+ < thay các giá trị vào ta tính được:
+6,822 =-14,85(kN/cm2) Phương chính: tg2a„ 2.(-6,82) ơm — ơ„ m n -8,03 + 8,03 +00
Từ đó ta xác định được góc giữa 2 phương chính so với trục m là: k - = 4 5 °
Bài 7: Một phân tố hình hộp có các cạnh a = 2(cm ), b = 4(cm ), c = 2(cm ), chịu tác dụng của các lực p, = 60(kN) và P2 = 120(kN) trên bốn mặt của phân tố như hình vẽ Cho E = 2.104(kN/cm2) , n = 0,3.
- Xác định cắc biến dạng dài Àa,Ab,À c của các cạnh a, b, c và biến đối thể tích của phân tố hình hộp.
~ Muốn biến đổi thể tích ÀV = 0 thì phải đặt thêm lực pháp tuyến P3 bằng bao nhiêu vào hai mặt còn lại.
70 B À I 2 : TRẠNG TH Á I ỨNG SUẤT - L Ý THUYẾT BỀN
BÀI LÀM: ứng suất tác dụng lên vật thể theo phương của lực Pị: ơ[ = —— = - ^ = - 1 5 ( k N / c m 2) ã c 2 2 ứng suất tác dụng lên vật thể theo phương của lực P2:
-p, - 120=_ 15JkN/ cm2Ị '2 b.c 4.2 ứng suất trên mặt còn lại của phân tố bằng không (vì không có lực tác dụng) Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng dài theo 3 phương của vật thể, do ơ3 =0 nên ta có: ea = e 2 = | [ ơ 2 - v ơ 1] eb = e i= ^ K -V C T 2] e, = ^ = ^ [ - 1 5 - 0 , 3(-15)] = - 5 ,25.10-
1 r -VI eằ = E, “ - [ a - v c r ,] I = ^1 = — ' 'J = ~ ’ ô = E = | [ - v ( ô , + ° ) ] e = 8, = ^ [ - 0 ,3 ( - 1 5 - 1 5 ) ] = 4,5.10 Biến dạng dài Àa,Ab,A c theo các phương a, b và c:
B À I 2 : TRẠNG T H Á I ỨNG SU ẤT - LÝ TH U YẾT BỀN Điều đó CÓ nghĩa là theo phương cạnh a và cạnh b vật thể bị co lại một đoạn bằng 10,5.10^(cm ) Và theo phương cạnh c vật thể giãn ra một đoạn bằng 9.10^*(cm ).
Biến đổi thể tích của phân tố hình hộp:
Biến dạng thể tích tương đối:
Biến đổi thể tích của phân tố:
AV = 0.V = e.a.b.c = -6.1(Y*2A 2 = -9,6.10'3 (cm3) Điều đó có nghĩa là thể tích phân tố hình hộp bị giảm 9,6.1(T3(cm3)
Xác định lực P3 để biến đổi thể tích bằng không: Để ÀV = 0 điều đó đồng nghĩa với việc 0 = 0 Ta lại có:
=> ơ3 = -(ơ ị + a2) = 3ơ(kN / cm2) Như vậy phải đặt vào măt còn lại lực kéo P3 có giá trị là: p3 =ơ3.a.b = 30.2.4 = 240(kN/cm2) Bài 8: Một khổi lập phương có cạnh là a = 5(cm) được đặt vừa khít vào rãnh của vật thể A tuyệt đối cứng, chịu áp suất phân bố đều của mặt trên là p = l(kN /cm 2) Cho E = 2.104(kN/cm2) , n = 0,3.
- Xác định lực nén vào vách rãnh.
- Xác định độ biến dạng thể tích tuyệt đối của khối lập phương.
72 B À I 2 : TRẠNG T H Á I ỨNG SU ẤT - LÝ TH U YẾT BỀN
Ta có: ơ =-p = -l(k N /c m 2) , ex =Ez = 0 do vật A tuyệt đối cứng nên khối lập phương không thể nở hông. Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng dài theo 3 phương X y và z:
A Ẹ L ' V y / J ez = ^ [ơ z- J i(ơ x +ay)] o= 5 ^ 4 [ ^ -o.3(->+“ ) ] ằ = n 5 r h - 0 3 K - l ) ] ơx = -0,43 (kN / cm2)
Bài 9: Một tấm thép có kích thước a X b X c đặt giữa hai tấm tuyệt đối cứng Hai tấm này được liên kết với nhau bằng bốn thanh như hình vẽ Biết thanh có diện tích mặt cắt ngang là A, môđun đàn hồi của tấm thép và thanh bằng nhau
E „ m = E,hnnh ■ Khi tấm thép chịu áp lực p phân bố đề trên hai mặt bên thì ứng suất trong tấm thép và trong các thanh là bao nhiêu?
B À I 2 : TRẠNG THÁX ỨNG SUẤT - L Ý TH UYẾT BầN
BÀI LÀM: Đối với tấm thép, ta có: ơy = - p , ơz = 0. Áp dụng định luật Hooke tổng quát cho biến dạng d à i theo phương X của tấm t h é p : £x = ^ [ ơ , - n ( ơ y + CTZ) ] = ~ - [ ơ x + u p ]
Phương trình cân bằng lực:
Phương trình chuyển vị: Ax_tam = A l ^
Thay (2) và (3) vào (1 ), ta được:
F thanh A F ^tara thanh a.b + MP ứng suất trong thanh:
A , +Ị Ạ ab ứng suất trong tấm thép:
BÀI 3: KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
Thanh được gọi là chịu kéo hay nén đúng tâm khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh chi có một thành phần nội lực là lực dọc N z
Ta thường gặp trường hợp này khi thanh chịu tác dụng của lực ở hai đầu thanh, có chiều dọc trục thanh và có cùng trị số nhưng trái chiều.
Hình 3 1: Thanh chịu kéo nén đúng tâm
Trong thực tế ta có thể gặp nhiều cấu kiện chịu kéo và nén đúng tâm như: dây cáp cần cẩu, các thanh trong dàn
3 2 1 T h í nghiệm xét thanh thẵng chịu kéo (nén) đúng tâm như hình 3.3a và giả thiết mặt cắt ngang của thanh là hình chữ nhật.
Người ta khảo sát sự biến dạng của thanh như sau Trước tiên, người ta vạch lên mặt ngoài của thanh những đường song song và vuông góc với trục thanh tạo nên các
B À I 3 : KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM 75 ô vuông như hình 3.3a Những đường thẳng song song với trục thanh biểu diễn cho những thớ dọc, những đường thẳng vuông góc biểu diễn cho các mặt cắt ngang. a) b)
Hình 3 3 : Thí nghiệm kéo thanh thẳng
Sau khi thanh chịu kéo bởi ngoại lực p, thanh bị biến dạng nhưng người ta nhận thấy những đường thẳng đó vẫn song song và vuông góc với trục thanh Tuy nhiên những ô vuông ban đầu trở thành những hình chữ nhật có chiều dài dọc theo trục thanh.
Từ những nhận xét đó, người ta đề ra các giả thiết như sau:
- Giả thiết mặt cắt phắng: mặt cắt ngang ban đầu là phẳng và vuông góc với trục thanh thì sau khi biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh.
- Giả thiết về các thớ dọc: trong quá trình biến dạng, các thớ dọc không chèn ép lên nhau và không đẩy nhau.
- Ngoài ra, người ta còn thừa nhận rằng vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi và tuân theo định luật Hooke, tức là tương quan giữa ứng suất và biến dạng là bậc nhất.
3.2.3 Th iết lập công thứ c tính ứng su ấ t
Ta hãy xét ứng suất trên một mặt cắt ngang nào đó Trên mặt cắt ngang đó xác lập hệ trục toạ độ oxyz Gọi A là điểm cần khảo sát Tách tại A một phân tố hình hộp bằng các mặt cắt song song với các mặt tọa độ.
Hình 3.4: ứng suất trên phân tố của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm
Với giả thiết về mặt cắt ngang, trước và sau khi biến dạng các mặt cẳt vẫn vuông góc với trục thanh nên các góc vuông trong phân tố không đổi, tức là trên các phân tõJ chỉ có biến dạng dài mà không có các biến dạng góc Từ đó có thể kết luận trên phân tố chì có các ứng suất pháp, không có ứng suất tiếp
BÀI TOÁN SIÊU T ĨN H
B À I 3 : KÉO (N ÉN ) ĐÚNG TÂM, 93 Để tính ứng suất nhiệt ta vẫn giữ sơ đồ tính đã nói trên Trong các điều kiện tĩnh học chi có các nội lực tham gia, còn độ thay đổi chiều dài của thanh bị đốt nóng hay bị làm lạnh thì bằng tổng đại số của độ thay đối chiều dài do nội lực và độ thay đổi chiều dài do nhiệt độ Độ thay đổi chiều dài theo nhiệt độ được tính theo công thức:
- a : hệ số giãn nở bình quân của vật liệu.
- Àt°: độ thay đổị nhiệt độ. ứng suất lắp ghép tính từ cắc điều kiện cân bằng tĩnh học và điều kiện thực về chuyển vị Khi lập những điều kiện thực tế về chuyển vị ta có xét đến độ sai lệch về chiều dài của các bộ phận của hệ vì chiều dài thực tế của các bộ phận khi chế tạo khác rất ít so với chiều dài thiết kế, do đó khi tính biến dạng của các bộ phận, do biến dạng bé nên ta vẫn lấy chiều dài thiết kế chứ không phải chiều dài thực tế sau biến dạng ( theo Bài tập SBVL - Bùi Trọng Lựu, Nguyễn Văn vượng - NXB Giáo dục).
Ví dụ 3 3 : Xét thanh chịu lực như hình 3.17 Tính phản lực ở 2 đầu ngàm và vẽ biểu đồ lực dọc của thanh.
Hình 3.17: Bài toán siêu tĩnh trong kéo (nén) đúng tâm
BÀI LÀM: ở hay ngàm có 2 phản lực VA,V B Ta có phương trình cân bằng:
' Tưởng tượng bỏ ngàm B và thay thế vào đó một phản lực v b Điều kiện biến dạng của hệ:
= A L CB = 0 Gọi Nac,Ncb là nội lực trong từng đoạn AC và CB ta có: NCT =-VB và NAC = P -V B
Suy ra: AL^ = — B- +-V Bb , (P - V B) a _ Pa
Bài 1: a Vẽ biểu đồ lực dọc, tính ứng suất trong mỗi đoạn Tính biến dạng toàn phần của thanh: cho P = 10kN, A = 5cm2, E = 2.104kN/cm2. oE ọ
30 (N) kN ứng suất trên từng đoạn thanh: ƠJ = — = 6 (k N /c m 2) ƠJ = — = -2(kN / era2) Biến dạng toàn phần của thanh:
E A j E 2 1 0 ỉ • \ ) b Vẽ biểu đồ lực dọc, tính ứng suất trong mỗi đoạn Tính biếh dạng toàn phần của thanh: cho PkN, A = 5cm2, E = 2.104kN/cm2
BÀI LÀM: ứng suất trên từng đoạn thanh:
Biến dạng toàn phần của thanh:
Bài 2: Cho hệ như hình vẽ Hãy:
- Tính nội lực trong thanh AC, từ đó tìm c đường kính mặt cắt ngang thanh AC sao cho thanh đảm bảo độ bền.
- Giả sử thanh AB cứng tuyệt đối, hãy tính chuyển vị tại điểm A.
Cho p = 10kN,q = 1 0 k N /m ,[ơ ] = lO kN / cm2, E = 2 10 4 k N /c m 2
Dùng mặt cắt cắt qua thanh AC: Để tìm nội lực thanh AC, ta sử dụng phưđng trình cân bằng mômen tại điểm B
= 0 ->P-2- cos 30 + q ( 2 -cos3° ) _ N AC.cos60.2.cos30 = 0 =>N AC = 3 7 ,3 2 (k N )
Diện tích mặt cắt ngang tối thiểu của thanh AC:
Tính chuyển vị tại điểm A khi xem thanh AB tuyệt đối cứng:
Chuyển vị theo phương đứng tại A:
Bài 3: Cho khối tuyệt đối cứng đặt trên ba thanh 1, 2 và 3 Trọng lượng của khối là Q = 40kN, lực ngang q = lkN/m, các thanh có [ơ] = 16kN/cm2 Yêu cầu: "
- Xác định nội lực trong các thanh.
Chọn số hiệu mặt cắt ngang cho các thanh theo điều kiện bền, biết rằng cả ba thanh 1, 2 và 3 đều có cấu tạo bởi hai thép góc đều cạnh ghép vào nhau. q=1kl\l/m cslE
Xác định lực dọc trong các thanh:
Sử dụng các mặt cắt cắt qua các thanh 1,
Từ đó sử dụng các phương trình cân bằng tĩnh học để tìm lực dọc trong các thanh 1, 2 và 3: ỵ y = 0 -ằq 2 + N2.cos45 = 0=>N2 = -2,83(kN ) £ % = 0->q.— + Q.2 + N3.4 = 0=>N3=-20,5(kN)
Chọn số hiệu mặt cắt ngang cho các thanh thép:
Ta biết mỗi thanh thép được cấu tạo bằng hai thép góc đều cạnh ghép vào nhau Gọi A là diện tích của một thép góc đều cạnh.
Trong các thanh, ta thấy thanh số 3 là có giá trị nội lực lớn nhất nên ta lấy thanh số 3 đổ tính toán.
Ta chọn thép góc đều cạnh có số hiệu nhỏ nhất đó là No2 có bề dày cánh 3mm Có
Bài 4 : Tính chuyến vị đứng của điểm đặt lực p Các thanh đều có
E = 2.104kN/cm2 các thanh AB và
Xác định lực dọc trong thanh 3:
Lấy phương trình cân bằng mômen tại điểm A:
= 0 -> N3.2- P I = 0 => N3 = 10(kN) Xác định lực dọc trong thanh 1 và 2:
Lấy phương trình cân bằng lực lên phương X và phương trình cân bằng mômen^tại điểm G:
Giải hệ hai phương trình bên trên ta được: Nị =N2 ,14(kN)
Tính chuyển vị của điểm đặt lực P: £
C O S 45 EAcos45 2.104.5.cos45 CC' = 2DD' = 0,057 (cm)
Phương trình chuyển vị của điểm B:
Chuyển vị của điểm đặt lực p
Bài 5: Vẽ biểu đồ lực dọc, biết PkN và E là hằng số (Hình a).
Ta bỏ liên kết ngàm tại A và thay vào đó phản lực ngàm Na như hình b.
Từ đó, vẽ biểu đồ nội lực của thanh theo phản lực Na ta được biểu đồ như hình C: Điều kiện chuyển vị: Chuyển vị tương đối giữa hai điểm A và B phải bằng 0.
Từ đó ta tính được: NB =-(10-8,75) = -1,25(kN)
Biểu đồ lực dọc của thanh:
102 BÀI 3: KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
Bài 6: a Định lực dọc trong các thanh treo, q = 10kN/m, E là hằng số sơ đồ như hình vẽ.
Phương trình cân bằng mômen tại điểm B:
Giải hệ (1) và (2) ta được:
N 1=0,88(kN) N2 =7,06(kN) b Định lực dọc trong các thanh treo, P = 10kN, E là hằng số sơ đồ như hình vẽ.
Tách nút D của hệ, phương trình cân bằng lực:
Dùng hai mặt cắt qua thanh 3 và 4 ta được:
Bên cạnh đó: DD' = AL3 +AL4
- ^ Ị - = AL 3 + AL 4 cos45 E.AJCOS45 EA2 EA2
Giải hệ (1) (2) (3) và (4) ta được:
Bài 7: a Xác định [5] để ứng suất trong các thanh BD và CG không vượt quá ứng suất cho phép [ơ], giả thiết thanh AB tuyệt đối cứng và các thanh khác đều có cùng loại vật liệu với môđun đàn hồi E.
Phương trình cân bằng mômen tại điểm A:
E A 2 EA Tính [6] theo điều kiện bền của thanh 1:
Từ (1) và (2) ta có: Ĩ N1L | NI ( L - S 1)
B À I 3 : KÉO (N ÉN ) ĐÚNG TÂM 107 Điều kiện bền của thanh 1: Ơ 1 = ^ [ơ ] N ị < [cr] A (3b)
Tính [5] theo điều kiện bền cùa thanh 2:
E Á 2 E A 2 K } Điều kiện bền của thanh 2: ° 2 = f j * M - > N2N2, nên ta tính [S] theo điều kiện bền của thanh 1:
EA V ỈE A 1 Điều kiện bền của thanh 1: ơ j= ^ ắ [ơ ]-> N ,ắ [ơ ]A
Bài 8: a Tính nội lực trong các thạnh treo khi nhiệt độ trong các thanh tăng lên At° Các dầm AB xem như tuyệt đối cứng B iết Eịị, = 2 104 k N /c m 2 , (Xa, 2.Ỉ0"7,
Phương trình cân bằng mômen tại điểm A:
1 5 2 E dA, d 1 5 Thay số vào phương trình trên ta được:
-> 5Nj +1,8Àt° = N2 Giải (1) và (2) ta đy*Ợc:
N2=0,133At°(kN) b Tính nội lực trong các thanh khi nhiệt độ trong các thanh tăng lên At° Các dầm AB xem như tuyệt đối cứng Biết
Phương trình cân bằng mômen tại điểm B:
Từ đó ta có: 3AL! =2V2AL2
F A = 2-JĨ r ] í h , + a L At° v.Ed2A Thay số vào phương trình trên ta có:
^ 3í_iílị_ + 125.10”7.a.At°ì = 2 Vĩ í ìỉ^ n + 165.1(T7.aVĨAt’
N2 = -2,794.At° (kN) LÝ THUYẾT BỀN
KHÁI NIỆM V Ề LÝ THUYẾT B Ề N
Ta đã từng kiểm tra bền ở một điểm thuộc trạng thái ứng suất đơn, thì điều kiện bền sẽ là: ơmax^H ơmin|^[ơ]
Trong đó, vế trái là giá trị ứng suất tại các điểm nguy hiểm của thanh, còn vế phải là các giá trị ứng suất cho phép của vật liệu Các giá trị ứng suất cho phép này được suy ra từ các kết quả thí nghiệm bằng cách lấy giá trị ứng suất nguy hiểm của vật liệu chia cho hệ số an toàn.
- Đối với vật liệu giòn: ứng suất nguy hiểm là giá trị giới hạn bền ƠB. Đối với vật liệu dẻo: ứng suất nguy hiểm là giá trị giới hạn chảy ơch. Đế kiểm tra độ bền ở một điểm của vật thể ở trạng thái ứng suất phức tạp (phằng hay khối), ta cần phải có kết quả thí nghiệm phá hỏng những mẫu thử ở trong trạng thái ứng suất tương tự Song việc thực hiện những thí nghiệm như thế rất khó khăn và phức tạp bởi vì:
- ứng suất nguy hiểm không chỉ phụ thuộc vào độ lớn của các ứng suất chính mà còn phụ thuộc vào tỷ lệ giữa những ứng suất này Do đó, phải thực hiện một số lượng rất lớn các thí nghiệm mới đáp ứng được tỷ lệ giữa các ứng suất chính có thể gặp trong thực tế.
- Thí nghiệm kéo nén theo ba chiều đòi hỏi những thiết bị phức tạp không phổ biến rộng rãi như trong thí nghiệm kéo nén một chiều.
Bởi vậy, người ta không thể căn cứ vào các thí nghiệm trực tiếp mà phải dựa trên các phán đoán về nguyên nhân gây ra phá hỏng và giả thiết về độ bền của vật liệu hay còn gọi là những thuyết bền Đó là những giả thiết về nguyên nhân cơ bản của sự phá hoại vật liệu, không phụ thuộc vào trạng thái ứng suất của vật liệu, nhờ đó ta có thể đánh giá được độ bền của vật liệu ở mọi trạng thái ứng suất khi ta chỉ biết độ bền của vật liệu ở trạng thái ứng suất đơn.
Nghĩa là, có nhiều yếu tố ảnh hưởng đến độ bền của vật liệu: ứng suất pháp, ứng suất tiếp, biến dạng dài, thế năng biến dạng và mỗi yếu tố đều có thể được chọn làm tiêu chuẩn đánh giá độ bền của vật liệu Theo một thuyết bền nào đó, vật liệu sẽ bị phá hoại khi yếu tố mà thuyết bền đó chọn làm nguyên nhân phá hoại đạt tới một giới hạn nào đó về giá trị Dựa vào thí nghiệm phá hoại đối với trạng thái ứng suất đơn, người ta xác định được giới hạn này và lấy đó làm giá trị giới hạn đối với trạng thái ứng suất khối hay phẳng.
CÓ nhiều lý thuyết bền, phạm vi ứng dụng của nó phụ thuộc vào khả năng phù hợp với thực nghiệm và khả năng áp dụng thực tiễn Ở đây, các lý thuyết bền chỉ xét đến một nhân tố là trạng thái ứng suất và vật liệu nghiên cứu làm việc trong giới hạn đàn hồi.
THUYẾT BỀN BIẾN DẠNG DÀI TƯƠNG Đ Ố I LỚN NHẤT: (THUYẾT BỀN THỨ HAI)
Một tấm mỏng có kích thước như hình vẽ, chịu tác dụng của ứng suất kéo ơ = 30(kN/cm2) theo chiều dài của tấm và ứng suất tiếp T = 15(kN/cm2) Cho
Xác định ứng suất pháp theo phương đường chéo mn và phương vuông góc với đường chéo.
Tính biến dạng dài tuyệt đối của đường chéo mn.
Gọi a là góc hợp bởi phương đường chéo mn và phương ngang.
66 B À I 2: TRẠNG TH Ả I ỨNG SUẤT - LÝ TH UYẾT B ÌN ơ|> tga = — = 0,6 => a = 30,96°
Ta có: ơx 0(kN/cm2) , ơy = 0 , Txy = -15(kN / cm2) và a = 30,96° ứng suất pháp trên phương đường chéo mn: ơ +ơ ơ —ơ a = - ± — ± + - l - ^ c o s 2 a - x xvsm2a
2 2 y ơn = — + — cos(2.30,96) - (-15)sin(2.30,96) = 35,29(kN / cm2) ứng suất pháp trên phương vuông góc với đường chéo mn: ơk = — + — cos(2.120,96)-(-15)sin(2.120,96) = -5,29(kN/cm2)
Hoặc: ơk = ơx +ơy - ơ n= 30-35,29 = -5,29(kN /cm2)
Tính biến dạng dài tuyệt đối trên phương đường chéo mn:
Biến dạng dài tương đối trên phương đường chéo mn:
Biến dạng dài tuyệt đối:
Một tấm thép mỏng hình chữ nhật chịu ứng suất pháp phân bố đều ơx và ơy như hình vẽ Các tậm điện trở A và B được gắn lên tấm theo hai phương X và y cho các số đo như sau: ex =4,8.10'4 và £y =1,3.10^ Tính ơx và ơy Biết
B À I 2 : TRẠNG TH Á I ỨNG SUẤT - L Ý TH UYẾT BỀN 67 ơ y
BÀI LÀM: Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng dài:
Thay các giá trị: £x =4,8.10^, ey =1,3.10^, E = 2.104(kN/cm2) , n = 0,3 và ơz =0 ( vì đây ià phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng).
Bài 6: Tại một điểm trên mặt vật thể chịu lực, người ta gắn các tấm điện trở A, B và c để đo biến dạng tỷ đối theo các phương Om, On và Ou như hình vẽ Các số đo thu được: £„=-2,81.10^, En =-2,81.10“4 và Eu =1,625.10^ Cho
E = 2.104(kN/cm2) , n = 0,3 Yêu cầu xác định phương chính và ứng suất chính tại điểm đó. n
68 B À I 2 : TRẠNG T H Á I ỨNG SU ẤT - LỶ TH U YẾT BỀN
BÀI LÀM: Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng dài cho phương m và n:
Thay các giá trị £m =-2,81.10"4, en =-2,81.10-4, E = 2.104(kN/cm2) , p = 0,3 và ơz =0 (phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng) vào hệ phương trình trên.
2.10 n mJ Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng dài cho phương u: eu = | [ ơu - ^ K + ơz) ]
Ngoài ra, ta lại có: cytt = — ^ơn + COS (2.45) - Tp, sin(2.45)
B À I 2 : TRẠNG TH Á I ỨNG SU ẤT - LÝ TH U YẾT BỀN 69 ứng suất chính: m n -ơ „ \2
+ < thay các giá trị vào ta tính được:
+6,822 =-14,85(kN/cm2) Phương chính: tg2a„ 2.(-6,82) ơm — ơ„ m n -8,03 + 8,03 +00
Từ đó ta xác định được góc giữa 2 phương chính so với trục m là: k - = 4 5 °
Bài 7: Một phân tố hình hộp có các cạnh a = 2(cm ), b = 4(cm ), c = 2(cm ), chịu tác dụng của các lực p, = 60(kN) và P2 = 120(kN) trên bốn mặt của phân tố như hình vẽ Cho E = 2.104(kN/cm2) , n = 0,3.
- Xác định cắc biến dạng dài Àa,Ab,À c của các cạnh a, b, c và biến đối thể tích của phân tố hình hộp.
~ Muốn biến đổi thể tích ÀV = 0 thì phải đặt thêm lực pháp tuyến P3 bằng bao nhiêu vào hai mặt còn lại.
70 B À I 2 : TRẠNG TH Á I ỨNG SUẤT - L Ý THUYẾT BỀN
BÀI LÀM: ứng suất tác dụng lên vật thể theo phương của lực Pị: ơ[ = —— = - ^ = - 1 5 ( k N / c m 2) ã c 2 2 ứng suất tác dụng lên vật thể theo phương của lực P2:
-p, - 120=_ 15JkN/ cm2Ị '2 b.c 4.2 ứng suất trên mặt còn lại của phân tố bằng không (vì không có lực tác dụng) Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng dài theo 3 phương của vật thể, do ơ3 =0 nên ta có: ea = e 2 = | [ ơ 2 - v ơ 1] eb = e i= ^ K -V C T 2] e, = ^ = ^ [ - 1 5 - 0 , 3(-15)] = - 5 ,25.10-
1 r -VI eằ = E, “ - [ a - v c r ,] I = ^1 = — ' 'J = ~ ’ ô = E = | [ - v ( ô , + ° ) ] e = 8, = ^ [ - 0 ,3 ( - 1 5 - 1 5 ) ] = 4,5.10 Biến dạng dài Àa,Ab,A c theo các phương a, b và c:
B À I 2 : TRẠNG T H Á I ỨNG SU ẤT - LÝ TH U YẾT BỀN Điều đó CÓ nghĩa là theo phương cạnh a và cạnh b vật thể bị co lại một đoạn bằng 10,5.10^(cm ) Và theo phương cạnh c vật thể giãn ra một đoạn bằng 9.10^*(cm ).
Biến đổi thể tích của phân tố hình hộp:
Biến dạng thể tích tương đối:
Biến đổi thể tích của phân tố:
AV = 0.V = e.a.b.c = -6.1(Y*2A 2 = -9,6.10'3 (cm3) Điều đó có nghĩa là thể tích phân tố hình hộp bị giảm 9,6.1(T3(cm3)
Xác định lực P3 để biến đổi thể tích bằng không: Để ÀV = 0 điều đó đồng nghĩa với việc 0 = 0 Ta lại có:
=> ơ3 = -(ơ ị + a2) = 3ơ(kN / cm2) Như vậy phải đặt vào măt còn lại lực kéo P3 có giá trị là: p3 =ơ3.a.b = 30.2.4 = 240(kN/cm2) Bài 8: Một khổi lập phương có cạnh là a = 5(cm) được đặt vừa khít vào rãnh của vật thể A tuyệt đối cứng, chịu áp suất phân bố đều của mặt trên là p = l(kN /cm 2) Cho E = 2.104(kN/cm2) , n = 0,3.
- Xác định lực nén vào vách rãnh.
- Xác định độ biến dạng thể tích tuyệt đối của khối lập phương.
72 B À I 2 : TRẠNG T H Á I ỨNG SU ẤT - LÝ TH U YẾT BỀN
Ta có: ơ =-p = -l(k N /c m 2) , ex =Ez = 0 do vật A tuyệt đối cứng nên khối lập phương không thể nở hông. Áp dụng định luật Hooke cho biến dạng dài theo 3 phương X y và z:
A Ẹ L ' V y / J ez = ^ [ơ z- J i(ơ x +ay)] o= 5 ^ 4 [ ^ -o.3(->+“ ) ] ằ = n 5 r h - 0 3 K - l ) ] ơx = -0,43 (kN / cm2)
Bài 9: Một tấm thép có kích thước a X b X c đặt giữa hai tấm tuyệt đối cứng Hai tấm này được liên kết với nhau bằng bốn thanh như hình vẽ Biết thanh có diện tích mặt cắt ngang là A, môđun đàn hồi của tấm thép và thanh bằng nhau
E „ m = E,hnnh ■ Khi tấm thép chịu áp lực p phân bố đề trên hai mặt bên thì ứng suất trong tấm thép và trong các thanh là bao nhiêu?
B À I 2 : TRẠNG THÁX ỨNG SUẤT - L Ý TH UYẾT BầN
BÀI LÀM: Đối với tấm thép, ta có: ơy = - p , ơz = 0. Áp dụng định luật Hooke tổng quát cho biến dạng d à i theo phương X của tấm t h é p : £x = ^ [ ơ , - n ( ơ y + CTZ) ] = ~ - [ ơ x + u p ]
Phương trình cân bằng lực:
Phương trình chuyển vị: Ax_tam = A l ^
Thay (2) và (3) vào (1 ), ta được:
F thanh A F ^tara thanh a.b + MP ứng suất trong thanh:
A , +Ị Ạ ab ứng suất trong tấm thép:
BÀI 3: KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM
Thanh được gọi là chịu kéo hay nén đúng tâm khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh chi có một thành phần nội lực là lực dọc N z
Ta thường gặp trường hợp này khi thanh chịu tác dụng của lực ở hai đầu thanh, có chiều dọc trục thanh và có cùng trị số nhưng trái chiều.
Hình 3 1: Thanh chịu kéo nén đúng tâm
Trong thực tế ta có thể gặp nhiều cấu kiện chịu kéo và nén đúng tâm như: dây cáp cần cẩu, các thanh trong dàn
3 2 1 T h í nghiệm xét thanh thẵng chịu kéo (nén) đúng tâm như hình 3.3a và giả thiết mặt cắt ngang của thanh là hình chữ nhật.
Người ta khảo sát sự biến dạng của thanh như sau Trước tiên, người ta vạch lên mặt ngoài của thanh những đường song song và vuông góc với trục thanh tạo nên các
B À I 3 : KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM 75 ô vuông như hình 3.3a Những đường thẳng song song với trục thanh biểu diễn cho những thớ dọc, những đường thẳng vuông góc biểu diễn cho các mặt cắt ngang. a) b)
Hình 3 3 : Thí nghiệm kéo thanh thẳng
Sau khi thanh chịu kéo bởi ngoại lực p, thanh bị biến dạng nhưng người ta nhận thấy những đường thẳng đó vẫn song song và vuông góc với trục thanh Tuy nhiên những ô vuông ban đầu trở thành những hình chữ nhật có chiều dài dọc theo trục thanh.
Từ những nhận xét đó, người ta đề ra các giả thiết như sau:
- Giả thiết mặt cắt phắng: mặt cắt ngang ban đầu là phẳng và vuông góc với trục thanh thì sau khi biến dạng vẫn phẳng và vuông góc với trục thanh.
- Giả thiết về các thớ dọc: trong quá trình biến dạng, các thớ dọc không chèn ép lên nhau và không đẩy nhau.
- Ngoài ra, người ta còn thừa nhận rằng vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi và tuân theo định luật Hooke, tức là tương quan giữa ứng suất và biến dạng là bậc nhất.
3.2.3 Th iết lập công thứ c tính ứng su ấ t
Ta hãy xét ứng suất trên một mặt cắt ngang nào đó Trên mặt cắt ngang đó xác lập hệ trục toạ độ oxyz Gọi A là điểm cần khảo sát Tách tại A một phân tố hình hộp bằng các mặt cắt song song với các mặt tọa độ.
Hình 3.4: ứng suất trên phân tố của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm
Với giả thiết về mặt cắt ngang, trước và sau khi biến dạng các mặt cẳt vẫn vuông góc với trục thanh nên các góc vuông trong phân tố không đổi, tức là trên các phân tõJ chỉ có biến dạng dài mà không có các biến dạng góc Từ đó có thể kết luận trên phân tố chì có các ứng suất pháp, không có ứng suất tiếp
THUYẾT BỀN ỨNG SUẤT T IẾP LỚN NHẤT: (THUYẾT BỀN THỨ B A )
NHẤT (THUYẾT BỀN THỨ BA) _
Nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do ứng suất tiếp lớn nhất của phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp đạt đến ứng suất tiếp nguy hiểm của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn.
Do đó, ta có điều kiện bền X ^ ^ [ t ]
Do đó điều kiện bền của thuyết bền thứ ba là: ơ l- ơ3 a 3
Do đó thuyết bền thứ nhất ta có điều kiện bền: Ơ1 - [ƠL
Nếu điều kiện kiểm tra chi có ứng suất kéo hoặc chỉ có ứng suất nén thì dùng một trong hai công thức trên Thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất ra đời sớm nhất trong các thuyết bền, nhưng trong nhiều trường hợp nó không phù hợp với thực tế Chẳng hạn mẫu thử chịu áp lực đều theo ba phương (áp lực thủy tĩnh) thì vật liệu hầu như không bị phá hoại dù chịu áp lực rất lớn, nhưng theo thuyết này thì vật liệu sẽ bị phá hoại khi áp lực đạt tới giới hạn bền của trường hợp nén một phương
124 BÀ I 4 : LÝ TH UYẾT BỀN
THUYẾT BỀN BIẾN DẠNG DÀI TƯƠNG ĐỐI LỚN NHẤT: (THUYẾT BỀN THỨ H A I)
ĐỐI LỞN NHẤT (THUỸẾT BỀN THỨ HAI)
Nguyên nhân vật liệu bị phá hoại là do biến dạng dài tương đối lớn nhất của phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp đạt tới biến dạng dài tương đối ở trạng thái nguy hiểm của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn.
Gọi là giá trị biến dạng dài tương đối lớn nhất của phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp, ta có điều kiện bền: e ,ắ [e ].
Theo định luật Hooke ở trạng thái ứng suất khối, ta có:
Còn với trạng thái ứng suất đơn ta có:
Do vậy, điều kiện bền của thuyết bền thứ hai là: Ơ1 - ^ ( Ơ2 + Ơ3)^1Ơ] (4-2)
Thuyết này cho kết quả phù hợp nhất đối với vật liệu giòn.
V IỆC ÁP DỤNG CÁC THUYẾT BỀN
Ta có: ơx 0(kN/cm2) , ơy = 0 , Txy = -15(kN / cm2) và a = 30,96° ứng suất pháp trên phương đường chéo mn: ơ +ơ ơ —ơ a = - ± — ± + - l - ^ c o s 2 a - x xvsm2a
2 2 y ơn = — + — cos(2.30,96) - (-15)sin(2.30,96) = 35,29(kN / cm2) ứng suất pháp trên phương vuông góc với đường chéo mn: ơk = — + — cos(2.120,96)-(-15)sin(2.120,96) = -5,29(kN/cm2)
Hoặc: ơk = ơx +ơy - ơ n= 30-35,29 = -5,29(kN /cm2)
Tính biến dạng dài tuyệt đối trên phương đường chéo mn:
Biến dạng dài tương đối trên phương đường chéo mn:
Biến dạng dài tuyệt đối:
ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
CÁC ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CÂT NGANG
Xét hình phẳng biểu diễn mặt cắt ngang A và hệ trục tọa độ Oxy được xác lập như hình 5.2 Lấy M là một điểm bất kỳ trên hình,, lấy chung quanh điểm M một vi phân diện tích dA.
Mômen tĩnh của diện tích A đối với trục X (hay y) nào đó của mặt cắt là biểu thức tích phân sau:
Trong đó: X , y tọa độ của điểm M - tâm của phân tố diện tích dA.
Mômen tĩnh có đơn vị là [chiều dài3] Mômen tĩnh có thể có giá trị âm, dương hoặc bằng không.
Trục trung tâm là trục có mômen tính của diện tích A đối với trục đó bằng không Trọng tâm là giao điểm cùa hai trục trung tâm của mặt cắt Như vậy, mômen tĩnh đối với trục đi qua trọng tâm là bằng không.
B À I 5 : ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CÂT NGANG 133
Từ đỏ suy ra cách xác định trọng tâm đối với diện tích A như sau:
Gọi c là trọng tâm của tiết diện cần tìm Qua c dựng hệ trục tọa độ song với hệ trục tọa độ oxy ban đầu Từ hình vẽ ta có được quan hệ sau: x = x c + x 0 y = y c + y „
Thay vào công thức (4.1) ta có: s* = j A ( y +y0 ) dA=yc JA dA+JA YodA=ycA +s „ sy = 1A (xc + yằ) dA = xc JẠ dA + JA x 0dA = XCA + Sy,,
Vì x0 và y0 là trục trung tâm nên s x = Sy =0 Từ đó ta có:
Tọa độ của điểm c là ( x cty c) được xác định như sau: yc= % c A s„ x 0 Cy 0 song
134 BÀX 5 : ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
Tọa độ trọng tâm c của tiết diện được xác định qua công thức (5.5) Ngược lại, nếu biết tọa độ trọng tâm của tiết diện, ta có thể sử dụng công thức (5.4) để tìm mômen tỉnh của tiết diện.
Nếu mặt cắt cỏ một trục đối xứng, trọng tâm cùa tiết diện sẽ nằm trên trục này vì mômen tình của tiết diện đối với trục này bằng không Nếu mặt cắt có hai trục đối ' xứng, trọng tâm sẽ nằm ở giao điểm hai trục đối xứng.
Trong thực tế, ta hay gặp những mặt cắt ngang có hình dáng phức tạp được ghép từ nhiều hình đơn giản Ta có thế tính mômen tinh của hình phức tạp bằng tổng mômen tĩnh của các hình đơn giản. sx = ẳ v = a iY i + A2yy+ +Anyn
1 Trong đó, Aj,x., Ỵ; là diện tích và tọa độ trọng tâm của các hình đơn giản thứ i n là số hình đơn giản.
Mômen quán tính của diện tích A đối với trục X (hay y) là các biểu thức tích phân sau:
Ix = Jy2dA; Iy= jV d A (5.7)
Mômen quán tính có đơn vị là [chiều dài4] Ix,Iy luôn luôn dương.
Một đặc trưng hình học hay được dùng để tính toán kết cấu đó là bán kính quán tính được xác định như sau: r’=ễ (5-8)
Bán kính quán tính đối với các trục chính được gọi là bán kính quán tính chính và có thứ nguyên là [chiều dài].
B À I 5 : ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG 135
5 2 4 Mômen quán tính độc cực
Mômen quán tính độc cực của diện tích A đối với góc tọa độ 0 là biểu thức tích phân sau:
Trong đó, p là khoảng cách từ điểm M - tâm của phân tố diện tích dA đến góc tọa độ 0
Ta có quan hệ sau: p 2 = x 2 + y 2do đó:
5 2 5 Mômen quán tính ly tâm
Mômen quán tính ly tâm cùa diện tích A đối với hệ trục xoy là biểu thức tích phân sau:
Mômen quán tính ly tâm có thứ nguyên là [chiều dài4], và có giá trị âm, dương hoặc bằng không.
5 2 6 Hệ trụ c quán tính chính
Hệ trục quán tính chính là hệ trục có mômen quán tính ly tâm bằng không.
Ta có thể chứng minh được rằng đối với mỗi mặt cắt bất kỳ luôn tồn tại duy nhất một hệ trục quán tính chính trung tâm, đó là hệ trục quán tính chính có gốc tọa độ tại trọng tâm tiết diện.
Một hệ trục tọa độ bất kỳ trong đó có một trục nào đó là trục đối xứng của diện tích A là hệ trục quán tính chính của mặt cắt đó Vì mômen quán tính ly tâm của hai nữa diện tích đối xứng với trục đối xứng có giá trị bằng nhau nhưng ngược dấu nhau nên mômen quán tính của cả hình bằng không.
136 B À I 5 : ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG
MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT s ố HÌNH ĐƠN G IẢ N
Cho hình chữ nhật b X h xác định các mômen quán tính I , , I y đối với trục đối xứng X và y.
Từ định nghĩa Ix = jV d A ta khai triển tích phân Á này với dA = b.dy ta được: h/2 V 3
Cho hình tam giác đáy bằng b, chiều cao h, tính I* của tam giác (x là trục qua đáy của tam giác) Tương tự cách làm đối với hình chữ nhật ta có:
Ta có mối quan hệ: y
B À I 5 : ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẲT NGANG 137
Cho hình tròn bán kính R (D =2R) xác định mômen quán tính độc cực I p của hình tròn.
Theo định nghĩa: Ip=Jp2dA khai triển tích phân theo tích
A phân đường từ 0 đến R Trong đó dA chọn như hình vẽ: dA = 27ip.dp.
Vì tính chất đối xứng nên:
Ix = I y = ^ * 0 , 0 5 D 4 Đối với trường hợp hình vành khăn ta có thể suy ra từ công thức trên Coi diện tích hình vành khăn bằng diện tích hình tròn lớn trừ diện tích hình tròn nhỏ, ta được:
CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔ I HỆ TRỤC TỌA Đ Ộ
5.4 CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỐI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
5 4 1 Công th ứ c chuyển trụ c song song
Cho diện tích A, trong hệ trục xoy có các đặc trưng hình học là Ix, Iy/ Ixy xác định ìx/ !y/ !xy cùa diện tích A trong hệ trục mớỉ XOY song song với hệ trục ban đầu.
Ta có các liên hệ sau:
Ix = | Y 2đA = j* (y + b )2dA = J (y 2 + 2 b y + b 2)dA = J y 2dA + 2 bJ y d A + b 2JdA Á A A A A Ã
Trong đó a, b là tọa độ của gốc tọa độ ban đầu trong hệ trục tọa độ mới XOY.
B À I 5 : ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG 139
Trong trường hợp đặc biệt khi gốc tọa độ ban đầu nằm tại trọng tâm mặt cắt Ta có s x = s y =0 và ta có các công thức sau:
Xét hệ trục uov xoay từ hệ trục ban đầu một góc a , xác định IU,IV,IUV trong hệ trục mới theo Ix, Iyí ĩfy, chiều dương của góc a là quay từ trục X theo chiều ngược kim đồng hồ.
Ta có liên hệ tọa độ giữa hệ trục tọa độ xoy và uov như sau:
140 B À I 5 : DẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẲT NGANG
Thay vào công thức Iu ta có:
Iu = j ( y cos a - X sin a ) 2dA = cos2a j V d A + sin 2 a j x 2dA - 2 sin a c o s a ị xydA
I„ = I„cos2a + Iv sin u A y 2 a - 2 I„ sin a cosa xy
Sử dụng các công thức lượng giác: cos2a = - ( l + cos 2 a ) sin2a = ỉ ( l - c o s 2 a )
Khai triển và thu gọn biểu thức trên ta có:
Các công thức trên có dạng tương tự với công thức ứng suất trên mặt cắt nghiêng
Vì vậy phần xác định phương chính, ứng suất chính của trạng thái ứng suất có thể áp dụng để xác định hệ trục chính và các mômen quán tính chính, công thức như sau:
B À I 5: DẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANG 141
Trong đó là các mômen quán tính chính, dị và
