Giải tích 1 - Lí thuyết, công thức, ví du - Đại học GTVT HCM

Học phần này cung cấp các kiến thức cơ bản về giới hạn và sự liên tục của hàm một biến, phép tính vi phân hàm một biến đạo hàm, vi phân, ứng dụng, phép tính tích phân hàm một biến tích p

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA CƠ BẢN – BỘ MÔN TOÁN

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1CHƯƠNG I GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN

TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

ThS Đinh Tiến Dũng

§ 1 Hàm số một biến số thực

Giới thiệu giảng viên

• ThS: Đinh Tiến Dũng

• SĐT: 0793112122 (Zalo)

• Mail: dung.dinh@ut.edu.vn

Học phần này cung cấp các kiến thức cơ bản về giới hạn và sự liên tục của hàm một biến, phép tính vi phân hàm một biến (đạo hàm, vi phân, ứng dụng), phép tính tích phân hàm một biến (tích phân bất định, tích phân xác định, ứng dụng tích phân xác định, tích phân suy rộng), phép tính vi phân hàm nhiều biến (đạo hàm, vi phân hàm nhiều biến, cực trị hàm nhiều biến).

Đây là phần kiến thức cần thiết để sinh viên tiếp thu các học phần khác trong tất cả các chuyên ngành kinh tế, kỹ thuật.

Giới thiệu học phần

TÀI LIỆU THAM KHẢO

• [1] Bộ môn Toán, Bài giảng giải tích 1 (lưu hành nội bộ), Trường đại Học GTVT TP.HCM, 2019

• [2] Đỗ Công Khanh (chủ biên), Toán cao cấp – Giải tích hàm nhiều biến và phương trình vi phân, NXB ĐHQG TPHCM, 2010.

• [3] Nguyễn Đình trí (chủ biên), Giáo trình Toán cao cấp, tập 1, tập

NỘI DUNG CHÍNH

 Bài 1 Hàm số một biến số thực (hàm số và đồ thị hàm số, các

phép toán đối với hàm số, hàm hợp, hàm ngược, hàm số sơ cấp).

 Bài 2 Giới hạn của hàm một biến (định nghĩa giới hạn hàm số,

các quy tắc, giới hạn một phía, tính chất của giới hạn, vô cùng

bé và vô cùng lớn).

 Bài 3 Tính liên tục của hàm một biến (các định nghĩa về hàm

liên tục; sự gián đoạn).

CHƯƠNG I GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

 b) Tiêu chuẩn đường thẳng đứng

• Với mỗi giá trị 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 thuộc tập xác định 𝐷𝐷 ta chỉ xác định được duy nhất một giá trị 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎 , do đó, mỗi đường thẳng đứng 𝑥𝑥 =

𝒚𝒚 = 𝒙𝒙, (𝒙𝒙 ≥ 𝟎𝟎)

𝒚𝒚 = −𝒙𝒙, (𝒙𝒙 < 𝟎𝟎)Đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = |𝑥𝑥| 𝒚𝒚 = 𝒙𝒙Đồ thị hàm số 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥)𝟐𝟐 , (𝒙𝒙 < 𝟏𝟏) 𝒚𝒚 = 𝟐𝟐, 𝒙𝒙 ≥ 𝟏𝟏

d) Hàm f(x) = 2𝑥𝑥 + 4 không chẵn, không lẻ vì:

𝑓𝑓(−1) = 2 ≠ 𝑓𝑓 1 = 6 ≠ −𝑓𝑓(1) = −6

Hàm f được gọi là hàm 1-1 (one to one

function), nếu nó không nhận cùng

một giá trị hai lần, có nghĩa:

∀𝑥𝑥1 ≠ 𝑥𝑥2 ⇒ 𝑓𝑓 𝑥𝑥1 ≠ 𝑓𝑓 𝑥𝑥2

hay 𝑓𝑓 𝑥𝑥1 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥2 ⇒ 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥2.

không có đường thẳng nằm ngang (song song với 0x ) nào cắt đồ thị của nó tại nhiều hơn một điểm.

 Ví dụ

a) Hàm số 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥3 là hàm 1-1 vì với mọi 𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 mà

𝑥𝑥1 ≠ 𝑥𝑥2 ⇒ 𝑥𝑥13 ≠ 𝑥𝑥23 ⇒ 𝑓𝑓 𝑥𝑥1 ≠ 𝑓𝑓 𝑥𝑥2 .b) Hàm số 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 không phải là hàm 1-1

Vì tồn tại 𝑥𝑥1 = 1, 𝑥𝑥2 = −1 là hai đối số khác nhau nhưng:

B1 Giải phương trình 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 , thu được x = 𝑔𝑔 𝑦𝑦

B2 Hoán đổi ký hiệu đối số với hàm số ta được 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔 𝑥𝑥

 Ví dụ 1

CMR 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = −1 − 𝑥𝑥 là hàm 1-1 trên TXĐ của nó, tìm hàmngược và vẽ đồ thị của các hàm này trên cùng một hệ trục tọa độ

Hoán đổi ký hiệu x với y được: 𝑦𝑦 = −1 − 𝑥𝑥2 (với x ≥ 0) là hàm

số ngược của hàm số đã cho Tức là 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓−1 𝑥𝑥 = −1 − 𝑥𝑥2.

-𝟏𝟏

𝒚𝒚 = 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝝅𝝅/𝟐𝟐

Đổi ký hiệu ta được y=arcsinx là hàm ngược

của y=sinx với txđ [-1;1] và tập giá trị −𝜋𝜋2 ; 𝜋𝜋2 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂:[ − 𝟏𝟏; 𝟏𝟏] → −

𝝅𝝅

𝟐𝟐 ;

𝝅𝝅 𝟐𝟐

𝒙𝒙 ↦ 𝒚𝒚 = 𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒂𝒙𝒙

 Định nghĩa 1 (Hàm sơ cấp cơ bản)

1.4 Các hàm số sơ cấp

Các hàm số đơn giản nhất khi kết hợp với các phép toán giải tích ta có

thể xây dựng nên mọi hàm sơ cấp, ta gọi chúng là các hàm sơ cấp cơ

bản Hiện nay các hàm sơ cấp cơ bản đã được tạo lập trên hầu hết các

thế hệ máy tính bỏ túi, phần mềm tính toán và được giảng dạy kỹ trong chương trình phổ thông Đó là:

Chú ý: Hàm siêu việt là những hàm số mà không phải là hàm đại số, bao gồm: hàm lượng giác; hàm lượng giác ngược; hàm mũ; hàm logarit; hàm hyperbolic; hàm hyperbolic ngược, và nhiều hàm khác nữa.

 Định nghĩa 2 (Hàm sơ cấp)

Hàm số sơ cấp làm số số được cho bằng một biểu thức giải tích và được xây dựng từ các hàm số sơ cấp cơ bản bằng một số phép toán số học cộng, trừ, nhân, chia, phép lấy hàm hợp.

Hàm đa thức 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥 − 3 là một hàm số sơ cấp

Hàm số 𝑦𝑦 = sin( 4𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥 − 3) là hàm hợp của hàm sin

với hàm đa thức nên nó cũng là hàm sơ cấp

Hàm số 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥−3𝑥𝑥−1 + 2x tan( 3x − 2) là hàm sơ cấp

Hàm số 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 = � 𝑥𝑥 , 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑥𝑥 ≥ 0−𝑥𝑥 , 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑥𝑥 < 0 nhiều hơn một

công thức nên không phải là hàm số sơ cấp

Nhắc lại tính chất các hàm số sơ cấp cơ bản

𝒚𝒚 = cos𝐬𝐬

Phần tự học

𝟑𝟑𝝅𝝅 𝟐𝟐

Phần tự học

𝝅𝝅 𝟐𝟐

Phần tự học

BÀI THU HOẠCH Xây dựng hàm số ngược của các hàm:

y = cosx; y = tanx; y = cotx.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA CƠ BẢN – BỘ MÔN TOÁN

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1

§ 2 Giới hạn hàm số

CHƯƠNG I GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN

TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

ThS Đinh Tiến Dũng

NỘI DUNG CHÍNH

 Định nghĩa giới hạn hàm số, giới hạn một phía

 Các tính chất, qui tắc giới hạn cơ bản.

 Các khử giới hạn các dạng vô định.

 Khái niệm vô cùng bé và vô cùng lớn và ứng dụng.

§ 2 Giới hạn hàm số

1 Giới hạn ( lim𝑥𝑥→𝑥𝑥

0 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = L , tại 𝑥𝑥0 hữu hạn và L hữu hạn) 1.1 Ví dụ mở đầu:

Xét hàm số f 𝑥𝑥 = sin 𝑥𝑥𝑥𝑥 khi cho đối số 𝑥𝑥 dần tới 0

Hãy dùng máy tính CASIO tính giá trị của hàm số và điền vàobảng sau đây:

Dùng máy tính CASIO ta tính được:

Dùng máy tính CASIO ta tính được:

𝑥𝑥

𝐟𝐟 𝑥𝑥 = 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝑥𝑥𝑥𝑥

-1 -0,5 -0,3 -0,1 0 0,05 0,4 0,6 1

|| 0,999 0,97 0,94 0,840,99

0,980,95

𝒇𝒇(𝒙𝒙) = 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒙𝒙 𝒙𝒙

 Nhận 𝑥𝑥ét: Khi 𝑥𝑥 tiến dần đến 0 từ phía bất kỳ ta luôn có 𝑓𝑓(𝑥𝑥) tiến dần đến 1 Kí hiệu: lim𝑥𝑥→𝟎𝟎 sin 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝟏𝟏 Tóm lại:

𝑥𝑥 đủ gần 𝒙𝒙𝟎𝟎 (về cả hai phía)

𝑥𝑥 − 𝒙𝒙𝟎𝟎 < 𝛿𝛿với một 𝛿𝛿 dương nào đó

1.2 Định nghĩa

Cho hàm số f(𝑥𝑥) 𝑥𝑥ác định trong một lân cận của điểm 𝒙𝒙𝟎𝟎 (có thể không

𝑥𝑥ác định tại 𝒙𝒙𝟎𝟎) Ta nói hàm số f có giới hạn 𝐋𝐋 khi 𝑥𝑥 dần tới 𝒙𝒙𝟎𝟎 nếu với

mọi số 𝜀𝜀 > 0, tồn tại số 𝛿𝛿 > 0 sao cho với mọi 𝑥𝑥 mà 0 < 𝑥𝑥 − 𝒙𝒙𝟎𝟎 < 𝛿𝛿

 Ta chỉ quan tâm đến giá trị của hàm số f(𝑥𝑥) khi 𝑥𝑥 nhận những giá trị gần 𝒙𝒙𝟎𝟎 Vậy ta không cần quan tâm đến hàm số có 𝑥𝑥ác định tại 𝒙𝒙𝟎𝟎 haykhông Chẳng hạn, hàm f 𝑥𝑥 = sin 𝑥𝑥𝑥𝑥 không 𝑥𝑥ác định tại 𝒙𝒙𝟎𝟎 = 0 nhưng vẫn tồn tại lim𝑥𝑥→𝟎𝟎sin 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝟏𝟏.

Lưu ý:

 Weierstrass là người đầu tiên sử

dụng định nghĩa epsilon-delta

cho giới hạn và vẫn được dùng

đến ngày nay Định nghĩa ngắn

gọn và chuẩn 𝑥𝑥ác nhất:

lim

𝑥𝑥→ 𝒙𝒙𝟎𝟎 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐋𝐋 ⇔đ𝐬𝐬 ∀𝜀𝜀 > 0, ∃𝛿𝛿 > 0: 0 < 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 < 𝛿𝛿 ⇒ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 < 𝜀𝜀

1.3 Tính chất của giới hạn (tại 𝑥𝑥𝟎𝟎 hữu hạn)

2) lim𝑥𝑥→𝑥𝑥

0 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥03) lim𝑥𝑥→𝑥𝑥

0(sin𝑥𝑥) = sin 𝑥𝑥06) lim𝑥𝑥→𝑥𝑥

0(c𝑜𝑜𝑜𝑜𝑥𝑥) = cos𝑥𝑥0

VD lim

𝑥𝑥→𝜋𝜋2 s𝑖𝑖𝑖𝑖𝑥𝑥 = sin 𝜋𝜋2 = 1; lim𝑥𝑥→5𝑥𝑥 = 5; 𝑥𝑥→3lim2𝑥𝑥 = 23 = 8

 Định lý 2: (Tính duy nhất của giới hạn)

Giới hạn của hàm số f(𝑥𝑥) tại điểm 𝑥𝑥0 (nếu có ) là duy nhất

Cho hàm số f(𝑥𝑥) 𝑥𝑥ác định trong một lân cận của D điểm 𝑥𝑥𝟎𝟎 (cóthể không 𝑥𝑥ác định tại 𝑥𝑥𝟎𝟎) Ta có lim𝑥𝑥→𝑥𝑥

0[𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ] = 0.

0 C 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐶𝐶 ⋅ lim𝑥𝑥→𝑥𝑥

0 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝐶𝐶 𝑎𝑎 (Với C là hằng số) 3) lim𝑥𝑥→𝑥𝑥

0 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ⋅ 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = lim

𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ⋅ lim

𝑥𝑥→𝑥𝑥0 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 𝑏𝑏 4) lim𝑥𝑥→𝑥𝑥

0

𝑓𝑓 𝑥𝑥

𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥→𝑥𝑥0limlim 𝑓𝑓 𝑥𝑥

𝑥𝑥→𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑏𝑏 , 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛 𝑏𝑏 ≠ 0 5) lim𝑥𝑥→𝑥𝑥

0 [𝑓𝑓 𝑥𝑥 ]𝑛𝑛= [ lim𝑥𝑥→𝑥𝑥

0 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ]𝑛𝑛= 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑣𝑣𝑣𝑖𝑖 𝑖𝑖 = 1,2,3, … 6) lim𝑥𝑥→𝑥𝑥

0

𝑛𝑛 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑛𝑛 lim

𝑥𝑥→𝑥𝑥0𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑛𝑛 𝑎𝑎 (Khi n chẵn thêm ĐK 𝑎𝑎 > 0) 7) lim𝑥𝑥→𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→5 2𝑥𝑥2 − lim𝑥𝑥→5 3𝑥𝑥 + lim𝑥𝑥→5 4

= 2 (lim𝑥𝑥→5𝑥𝑥)2−3lim𝑥𝑥→5 𝑥𝑥 + lim𝑥𝑥→5 4

 Tổng quát: Qui tắc giới hạn hàm đa thức

Nếu 𝑃𝑃(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑥𝑛𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑎0 thì lim𝑥𝑥→𝑥𝑥

0𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 𝑃𝑃 𝑥𝑥0

Giải nhanh hơn: 𝑥𝑥→5lim 2𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 + 4 = 2 52 − 3.5 + 4 = 39.

(AD Quy tắc 1 ) (AD Quy tắc 2,5 ) (Giới hạn cơ bản )

= (−2)5−3×(−2)3+2×(−2)2−1

b)𝑥𝑥→−2lim 𝑥𝑥3+2𝑥𝑥5−3𝑥𝑥2−1 = 𝑥𝑥→−2lim (𝑥𝑥3 + 2𝑥𝑥2 − 1)

lim𝑥𝑥→−2(5 − 3𝑥𝑥) (AD Quy tắc lim thương)

(AD Quy tắc giới hạn hàm đa thức)

= − 111 .

 Tổng quát: Qui tắc giới hạn hàm phân thức

Nếu 𝑃𝑃(𝑥𝑥) và 𝑄𝑄(𝑥𝑥) là các đa thức và 𝑄𝑄(𝑥𝑥0) ≠ 0 thì lim𝑥𝑥→𝑥𝑥

0

𝑃𝑃(𝑥𝑥) 𝑄𝑄(𝑥𝑥) = 𝑃𝑃(𝑥𝑥0 )

𝑄𝑄(𝑥𝑥0)

Giải nhanh hơn:𝑥𝑥→−2lim 𝑥𝑥3+2𝑥𝑥5−3𝑥𝑥2−1 = (−2)5−3×(−2)3+2×(−2)2−1 = − 111 .

VD2 Tính các giới hạn sau

a) lim𝑥𝑥→1 2 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥2+5 b) lim𝑥𝑥→2𝑔𝑔(𝑥𝑥), với 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = �|1 − 3𝑥𝑥| khi 𝑥𝑥 ≠ 2𝑛𝑛 khi 𝑥𝑥 = 2 .

Giảia) lim𝑥𝑥→1 2 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥2+5 = lim𝑥𝑥→1 2 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥→1lim(𝑥𝑥

= |𝑥𝑥→2lim (1 − 3𝑥𝑥)| (AD Quy tắc 7)

= |1 − 3.2)| (AD Quy tắc giới hạn hàm đa thức)

= −5 = 5.

2 Giới hạn một phía ( lim

Tập 𝑥𝑥ác định của hàm số D = [0; ∞), nên 𝑥𝑥 chỉ có thể tiến về

0 từ phía bên phải số 0 Khi đó hàm số f(𝑥𝑥) có giới hạn phảibằng 1 khi 𝑥𝑥 dần tới 0 từ bên phải

𝑥𝑥 đủ gần 𝒙𝒙𝟎𝟎 về phía bên phải(𝑥𝑥 lớn hơn 𝒙𝒙𝟎𝟎)

0 < 𝑥𝑥 − 𝒙𝒙𝟎𝟎 < 𝛿𝛿với một 𝛿𝛿 dương nào đó

𝑥𝑥 đủ gần 𝒙𝒙𝟎𝟎 về phía bên phải

(𝑥𝑥 lớn hơn 𝒙𝒙𝟎𝟎)

2.2 Các định nghĩa

Định nghĩa giới hạn phải: Cho hàm số f(𝑥𝑥) 𝑥𝑥ác định trong [𝒙𝒙𝟎𝟎; 𝒂𝒂)

(có thể không 𝑥𝑥ác định tại 𝒙𝒙𝟎𝟎) Ta nói hàm số f có giới hạn phải là 𝐋𝐋 khi

𝑥𝑥 dần tới 𝒙𝒙𝟎𝟎 nếu với mọi số 𝜀𝜀 > 0, tồn tại số 𝛿𝛿 > 0 sao cho với mọi 𝑥𝑥

mà 0 < 𝑥𝑥 − 𝒙𝒙𝟎𝟎 < 𝛿𝛿 thì ta có |𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝐿𝐿| < 𝜀𝜀

Kí hiệu: lim

𝑥𝑥→ 𝒙𝒙𝟎𝟎+ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐋𝐋 hoặc 𝑓𝑓 𝑥𝑥 →L khi 𝑥𝑥 → 𝒙𝒙𝟎𝟎+

 Định nghĩa giới hạn trái: Cho hàm số f(𝑥𝑥) 𝑥𝑥ác định trong

(𝒂𝒂; 𝒙𝒙𝟎𝟎] (có thể không 𝑥𝑥ác định tại 𝒙𝒙𝟎𝟎) Ta nói hàm số f có giới hạn

trái là 𝐋𝐋 khi 𝑥𝑥 dần tới 𝒙𝒙𝟎𝟎 nếu với mọi số 𝜀𝜀 > 0, tồn tại số 𝛿𝛿 > 0 sao

cho với mọi 𝑥𝑥 mà 0 < 𝒙𝒙𝟎𝟎 − 𝒙𝒙 < 𝛿𝛿 thì ta có |𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝐿𝐿| < 𝜀𝜀

𝒍𝒍𝒔𝒔𝒍𝒍𝒙𝒙→𝒙𝒙𝟎𝟎 𝒇𝒇 (𝒙𝒙) = 𝑳𝑳 ⇔ 𝒍𝒍𝒔𝒔𝒍𝒍𝒙𝒙→𝒙𝒙

𝑥𝑥→ −1 −(1 − 𝑥𝑥) = 2

Vì lim

𝑥𝑥→−1+ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→ −1 − 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 2 nên lim𝑥𝑥→−1 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 2

3.1 Giới hạn tại vô cùng ( 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑙𝑙𝑥𝑥→±∞ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐿𝐿 )

 Định nghĩa 1: Cho hàm 𝑓𝑓 𝑥𝑥ác định trên khoảng (𝑎𝑎; +∞) Ta

nói f(𝑥𝑥) có giới hạn 𝐋𝐋 khi 𝑥𝑥 → +∞ nếu với mỗi số 𝜀𝜀 > 0, tồn tại

số 𝑁𝑁 thỏa 𝑥𝑥 > 𝑁𝑁 thì |𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝐿𝐿| < 𝜀𝜀

Kí hiệu: lim𝑥𝑥→+∞𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐋𝐋 hoặc 𝑓𝑓 𝑥𝑥 →L khi 𝑥𝑥 → +∞.

 Định nghĩa 2: Cho hàm 𝑓𝑓 𝑥𝑥ác định trên khoảng (−∞; a) Ta

nói f(𝑥𝑥) có giới hạn 𝐋𝐋 khi 𝑥𝑥 → −∞ nếu với mỗi số 𝜀𝜀 > 0, tồntại số 𝑁𝑁 thỏa 𝑥𝑥 < 𝑁𝑁 thì |𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝐿𝐿| < 𝜀𝜀

Kí hiệu: lim𝑥𝑥→−∞𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐋𝐋 hoặc 𝑓𝑓 𝑥𝑥 →L khi 𝑥𝑥 → −∞.

3 Các loại giới hạn tại vô cùng, giới hạn vô cùng, giới hạn

vô cùng tại vô cùng

 Định nghĩa 3: Đường thẳng y= 𝐋𝐋 gọi là tiệm cận ngang của đồ

thị hàm số y=f(𝑥𝑥) nếu lim𝑥𝑥→+∞ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐋𝐋 ℎ𝑜𝑜ặ𝑜𝑜 lim𝑥𝑥→−∞ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝐋𝐋

 Chú ý:

Các Đ.lý 2,3,4,5,6 vẫn đúng khi thay 𝑥𝑥 → 𝑥𝑥0 bởi 𝑥𝑥 → +∞ hoặc 𝑥𝑥 → −∞.

𝑥𝑥→ 𝒙𝒙𝟎𝟎− 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = +∞ ⇔ ∀𝑀𝑀 > 0, ∃𝛿𝛿 > 0: −𝛿𝛿 < 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 < 0 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 𝑀𝑀.lim

𝑥𝑥→ 𝒙𝒙𝟎𝟎+ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = −∞ ⇔ ∀𝑁𝑁 < 0, ∃𝛿𝛿 > 0: 0 < 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 < 𝛿𝛿 ⇒ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 < 𝑁𝑁.lim

𝑥𝑥→ 𝒙𝒙𝟎𝟎− 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = −∞ ⇔ ∀𝑁𝑁 < 0, ∃𝛿𝛿 > 0: −𝛿𝛿 < 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 < 0 ⇒ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 < 𝑁𝑁

VD Tìm các tiệm cận đứng của mỗi hàm số sau:

𝑦𝑦

𝟏𝟏

 Định nghĩa 3: Đường thẳng 𝑥𝑥=a được gọi là tiệm cận đứng của

đồ thị hàm số y=f(𝑥𝑥) nếu ít nhất một trong 4 điều kiện sau 𝑥𝑥ảy ra:

 𝑥𝑥→lim𝒂𝒂+ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = +∞ ; 𝑥𝑥→lim𝒂𝒂−𝑓𝑓 𝑥𝑥 = +∞ ;

 lim𝑥𝑥→ 𝒂𝒂+𝑓𝑓 𝑥𝑥 = −∞ ; 𝑥𝑥→lim𝒂𝒂−𝑓𝑓 𝑥𝑥 = −∞

3.3 Giới hạn vô cùng tại vô cùng ( 𝑙𝑙𝑖𝑖𝑙𝑙𝑥𝑥→±∞ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ±∞)

 Định nghĩa 1: Cho hàm 𝑓𝑓 𝑥𝑥ác định trên 𝑎𝑎; +∞ Ta định nghĩa:

 Định nghĩa 3: Đường thẳng y=a𝑥𝑥+b được gọi là tiệm cận 𝑥𝑥iên

của đồ thị hàm số y=f(𝑥𝑥) nếu:

 Chú ý:

1 Điều kiện cần để đồ thị hàm y=f(𝑥𝑥) có tiệm cận 𝑥𝑥iên là

lim𝑥𝑥→+∞𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ±∞ hoặc lim𝑥𝑥→−∞ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ±∞

2 Nếu 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 + 𝑔𝑔(𝑥𝑥), 𝑎𝑎 ≠ 0 và hàm 𝑔𝑔(𝑥𝑥) thỏa điềukiện lim𝑥𝑥→+∞𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 0 hoặc lim𝑥𝑥→−∞ 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 0 thì 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 làđường tiệm cận 𝑥𝑥iên của đồ thị hàm y=f(𝑥𝑥)

3 Trường hợp tổng quát, các hệ số 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 của đường tiệm cận𝑥𝑥iên được 𝑥𝑥ác định theo công thức sau:

�𝑥𝑥→−∞lim

𝑓𝑓(𝑥𝑥)

𝑥𝑥 = 𝑎𝑎(𝑎𝑎 ≠ 0)lim

𝑥𝑥→−∞[𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑎𝑎𝑥𝑥] = 𝑏𝑏 hoặc �𝑥𝑥→+∞lim

𝑓𝑓(𝑥𝑥)

𝑥𝑥 = 𝑎𝑎(𝑎𝑎 ≠ 0)lim

𝑥𝑥→+∞[𝑓𝑓(𝑥𝑥) − 𝑎𝑎𝑥𝑥] = 𝑏𝑏 .

3.4 Tính chất của giới hạn tại vô cùng, giới hạn vô cùng, giới hạn vô cùng tại vô cung

Các định lý: ĐL2-về tính duy nhất, ĐL3-tương đương định nghĩa, ĐL4-bất đẳng thức qua giới hạn, ĐL5-giới hạn kẹp vẫn đúng và được phát biểu tương tự trong phần này.

 Định lý 8: (Mở rộng Bảng công thức giới hạn cơ bản)

6) lim𝑥𝑥→+∞a𝑥𝑥 = �+0∞𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛 0 <𝐬𝐬𝑛𝑛𝑛 𝑎𝑎 > 1𝑎𝑎 < 11) lim𝑥𝑥→±∞𝐶𝐶 = 𝐶𝐶

 Định lý 9: (Quy tắc tính giới hạn vô hạn)

khi 𝑥𝑥 → 𝑥𝑥0 và ngược lại.

 𝑥𝑥2, sin(3𝑥𝑥), e𝑥𝑥 − 1 là các vô cùng bé khi 𝑥𝑥 → 0

𝑥𝑥−2 là các VCL khi 𝑥𝑥 → 2

 3𝑥𝑥2 − 2𝑥𝑥 + 1 là VCL khi 𝑥𝑥 → ∞

 Ví dụ.

Cho 𝒇𝒇(𝒙𝒙) và 𝒈𝒈(𝒙𝒙) là hai VCB khi 𝒙𝒙 → 𝒙𝒙𝟎𝟎 Muốn so sánh 𝒇𝒇(𝒙𝒙) và 𝒈𝒈(𝒙𝒙) ta 𝑥𝑥ét:

4.2 So sánh hai vô cùng bé

𝒍𝒍𝒔𝒔𝒍𝒍

𝒙𝒙→𝒙𝒙𝟎𝟎

𝒇𝒇(𝒙𝒙)𝒈𝒈(𝒙𝒙) = 𝒌𝒌

 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = sin 𝑥𝑥 và 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 là hai VCB tương đươngkhi 𝑥𝑥 → 0 vì: lim𝑥𝑥→0 sin 𝑥𝑥𝒙𝒙 = 1

 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥3 là VCB bậc cao hơn VCB 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥 khi

𝑥𝑥 → 0 vì: lim𝑥𝑥→0𝟓𝟓𝒙𝒙𝑥𝑥3 = 15 𝑥𝑥→0lim𝑥𝑥2 = 0

VD:

Cho 𝒇𝒇(𝒙𝒙) và 𝒈𝒈(𝒙𝒙) là hai VCL khi 𝒙𝒙 → 𝒙𝒙𝟎𝟎 Muốn so sánh 𝒇𝒇(𝒙𝒙) và

𝒈𝒈(𝒙𝒙) ta 𝑥𝑥ét:

4.3 So sánh hai vô cùng lớn

𝒍𝒍𝒔𝒔𝒍𝒍𝒙𝒙→𝒙𝒙𝟎𝟎

𝒇𝒇(𝒙𝒙)𝒈𝒈(𝒙𝒙) = 𝒌𝒌

𝑥𝑥2

= +∞.

VD:

4.4 Các VCB-VCL tương đương thường dùng

�f x g(x) .

�f 𝑥𝑥 �h 𝑥𝑥

g(𝑥𝑥)

( Với 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∼ �𝑓𝑓(𝑥𝑥) ; 𝑔𝑔 𝑥𝑥 ∼ �𝑔𝑔 𝑥𝑥 , h 𝑥𝑥 ∼ �ℎ 𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 → 𝑥𝑥0 )

3𝑥𝑥.sin𝑥𝑥tan2𝑥𝑥

VD. = 𝑥𝑥→0lim 3𝑥𝑥.sin𝑥𝑥 (tan𝑥𝑥)2 𝑉𝑉𝐶𝐶𝑉𝑉= 𝑥𝑥→0lim 3𝑥𝑥.𝑥𝑥

= lim𝑥𝑥→𝑥𝑥

0

𝑓𝑓(𝑥𝑥)h( 𝑥𝑥) ± lim𝑥𝑥→𝑥𝑥0

g( 𝑥𝑥)h( 𝑥𝑥)

= 𝑥𝑥→𝑥𝑥lim

0

𝑓𝑓(𝑥𝑥)ℎ(𝑥𝑥) ± lim𝑥𝑥→𝑥𝑥0

𝑔𝑔(𝑥𝑥)ℎ(𝑥𝑥) = lim𝑥𝑥→𝑥𝑥0

0

f(𝑥𝑥) h(𝑥𝑥) ; lim𝑥𝑥→𝑥𝑥

0

g( 𝑥𝑥) h(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥→𝑥𝑥lim

0

g(𝑥𝑥) h(𝑥𝑥).Giả sử kết quả 𝑥𝑥→𝑥𝑥lim

0

f(𝑥𝑥) h(𝑥𝑥) ± lim𝑥𝑥→𝑥𝑥

0

g(𝑥𝑥) h(𝑥𝑥) không phải dạng vô định thì

BÀI TẬP NHÓM

Giả sử g(𝑥𝑥) là VCB cấp cao hơn VCB f(𝑥𝑥) khi 𝑥𝑥 → 𝑥𝑥0 Khi đó: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ± 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ∼ 𝑔𝑔(𝑥𝑥), 𝑥𝑥 → 𝑥𝑥0 do đó:

lim𝑥𝑥→𝑥𝑥0

VCB bậc thấp nhất của tử thức VCB 𝐛𝐛𝐛𝐛𝐛 𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭 𝐬𝐬𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭 của mẫu thức

lim𝑥𝑥→0

Giả sử g(𝑥𝑥) là VCL bậc thấp hơn VCL f(𝑥𝑥) khi 𝑥𝑥 → 𝑥𝑥0 Khi đó:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) ± 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ∼ 𝑔𝑔(𝑥𝑥), 𝑥𝑥 → 𝑥𝑥0 do đó:

lim𝑥𝑥→𝑥𝑥0

VCL bậc cao nhất của 𝑡𝑡𝑡 VCL 𝐛𝐛𝐛𝐛𝐛 𝐛𝐛𝐜𝐜𝐜𝐜 𝐬𝐬𝐭𝐭𝐭𝐭𝐭 của mẫu

Ví dụ. 𝑥𝑥→∞lim 2𝑥𝑥33𝑥𝑥+ 4𝑥𝑥3 − 5𝑥𝑥−12 − 𝑥𝑥 + 4 𝑉𝑉𝐶𝐶𝐿𝐿= 𝑥𝑥→∞lim 2𝑥𝑥3𝑥𝑥33 = lim

𝑥𝑥→𝑥𝑥0 f 𝑥𝑥 g 𝑥𝑥 chúng ta thường quy về việc tính lim𝑥𝑥→𝑥𝑥

0 f(𝑥𝑥) vàlim

𝑥𝑥→𝑥𝑥0 g(𝑥𝑥) Có 7 dạng sau đây không thể áp dụng trực tiếp cáctính chất và quy tắc tính giới hạn: 00, ∞∞, ∞ − ∞ , ∞ 0 , 1∞, ∞0,

00 ta gọi đó là cá dạng vô định Việc biến đổi bài toán giới hạnlàm mất đi dạng vô định, ta gọi là khử dạng vô định

Muốn khử dạng vô định 0.∞ ta đưa về dạng 00 hoặc ∞∞ bằngmột trong các biến đổi hình thức sau:

𝑥𝑥tan𝑥𝑥 𝑉𝑉𝐶𝐶𝑉𝑉= lim𝑥𝑥→0+ 𝑥𝑥𝑥𝑥 = lim𝑥𝑥→0+1 = 1

(Dạng 0.∞)

ADCT: lim𝑡𝑡→0 1 + 𝑡𝑡 1𝑡𝑡 = 𝑒𝑒

Đặt 𝑡𝑡 = 4 − 𝑥𝑥2 thì 𝑡𝑡 → 0 khi 𝑥𝑥 → 2 nên:

= lim𝑥𝑥→2−(2 + 𝑥𝑥)(𝑥𝑥 + 3)𝑥𝑥 − 2

 Chú ý: Cách chung để khử các dạng vô định mũ 1∞ , ∞0, 00 ta sẽ sẽ được hoàn chỉnh

khi có quy tắc L’Hôpital và tính liên tục.

lim

𝑥𝑥→2 [1 + 4 − 𝑥𝑥2 ] 4−𝑥𝑥21 = lim𝑡𝑡→0 1 + 𝑡𝑡 1𝑡𝑡 = 𝑒𝑒

ĐÁP ÁN

0 ) 0 (dạng

Tính các giới hạn:

𝐴𝐴 = lim𝑥𝑥→0 ln(1+𝑥𝑥)𝑒𝑒𝑥𝑥−1 𝐵𝐵 = lim𝑥𝑥→0 𝑒𝑒ln(1+2𝑥𝑥)sin 5𝑥𝑥−1

BÀI TẬP NHÓM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA CƠ BẢN – BỘ MÔN TOÁN

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1

CHƯƠNG I GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN

TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN

GV: Đinh Tiến Dũng

§ 3 Hàm số liên tục

Sự khác nhau của giới hạn trái và giới hạn phải tại 𝑥𝑥 0 =0 là nguyên

nhân dẫn đến sự đứt (gián đoạn) của hàm số tại 𝑥𝑥 0 =0.

Suy ra 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐱𝐱→𝟎𝟎− 𝐟𝐟 𝐱𝐱 ≠ 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥

𝐱𝐱→𝟎𝟎+ 𝐟𝐟 𝐱𝐱 = 𝐟𝐟(𝟎𝟎)𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � (𝑥𝑥 + 1)2, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑥𝑥 < 1

2, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑥𝑥 ≥ 1

 Ví dụ 2

Cho hàm số: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒙𝒙−𝟏𝟏)𝒙𝒙−𝟏𝟏 , 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑥𝑥 ≠ 1

2, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑥𝑥 = 1 Hãy vẽ đồ thị hàm

số Tính lim𝑥𝑥→1− 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ; lim𝑥𝑥→1+ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ; 𝑓𝑓 1 So sánh các giá trị trên để

lý giải nguyên nhân đồ thị hàm số bị gián đoạn tại 𝑥𝑥0 = 1

𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒙𝒙−𝟏𝟏) 𝒙𝒙−𝟏𝟏 = 𝟏𝟏

=2

Sự khác nhau của giới hạn tại 𝑥𝑥 0 =1 với giá trị hàm số tại 𝑥𝑥 0 =1 là nguyên nhân dẫn đến sự đứt (gián đoạn) của hàm số tại 𝑥𝑥 0 =1.

Suy ra 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐱𝐱→𝟏𝟏− 𝐟𝐟 𝐱𝐱 = 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐱𝐱→𝟏𝟏+ 𝐟𝐟 𝐱𝐱 ≠ 𝐟𝐟(𝟏𝟏)

 Định nghĩa 1

 Hàm số f(𝑥𝑥) gọi là liên tục tại điểm 𝒙𝒙𝟎𝟎

nếu f 𝑥𝑥ác định trong một lân cận

(𝒙𝒙𝟎𝟎−𝛿𝛿; 𝒙𝒙𝟎𝟎 + 𝛿𝛿) và lim𝑥𝑥→𝒙𝒙

𝟎𝟎 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓 𝒙𝒙𝟎𝟎

 Hàm số f(𝑥𝑥) gọi là gián đoạn tại 𝒙𝒙𝟎𝟎

nếu nó không liên tục tại 𝒙𝒙𝟎𝟎 Khi đó

𝒙𝒙𝟎𝟎 gọi là điểm gián đoạn của hàm số f.

0− 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) = lim

𝑥𝑥→𝑥𝑥0+ 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥0)

• Nếu f liên tục tại 𝑥𝑥0 thì đồ thị hàm y=f(𝑥𝑥) liền nét tại 𝑥𝑥0.

• f gián đoạn tại 𝑥𝑥0 nếu lim

𝑥𝑥→ 𝒙𝒙𝟎𝟎 𝑓𝑓(𝑥𝑥) không tồn tại hữu hạn hoặc 𝑓𝑓 𝒙𝒙𝟎𝟎không tồn tại ( f không 𝑥𝑥ác định tại 𝑥𝑥0) hoặc hai giá trị ấy khác nhau.

 Lưu ý: