Bài giảng HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Bài giảng HÌNH HỌC HỌA HÌNH 1. Biểu diễn các hình không gian lên mặt phẳng nhờ phép chiếu 2. Giải các bài toán hình học không gian trên hình biểu diễn phẳng. Các bài toán đó là: Giao điểm, Giao tuyến, Độ lớn thật của hình, Các bài về tính song song, tính vuông góc, Các bài quĩ tích,.... Dụng cụ cần thiết: Chì, tẩy, compa, thước

Bài giảng

Bé m«n H×nh ho¹ - VÏ kü thuËt

Nội dung môn học:

1 Biểu diễn các hình không gian lên mặt phẳng nhờ phép chiếu

2 Giải các bài toán hình học không gian trên hình biểu diễn phẳng Các bài toán đó là: Giao điểm, Giao tuyến, Độ lớn thật của hình, Các bài về tính song song, tính vuông góc, Các bài quĩ tích,

Dụng cụ cần thiết: Chì, tẩy, compa, thước

II PhÐp chiÕu song song

TÝnh chÊt cña phÐp chiÕu song song

1 H×nh chiÕu cña mét ® êng th¼ng kh«ng song song víi h íng chiÕu

lµ mét ® êng th¼ng

Π i

as

M

M i N i

N d

e

LM i

Trườngưhợpưđặcưbiệtư2: Một đ ờng thẳng song song với mặt phẳng

hình chiếu thì song song với hình chiếu của nó

Më­réng: mét h×nh ph¼ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu

th× cã h×nh chiÕu b»ng h×nh thËt

Πi

2 Hai ® êng th¼ng song song (vµ kh«ng song song víi h íng chiÕu) th× hai h×nh chiÕu song song.

3 Phép chiếu song song bảo toàn thứ tự và tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng

4 Mét mÆt ph¼ng song song víi h íng chiÕu th× h×nh chiÕu cña

nã suy biÕn lµ mét ® êng th¼ng

A=A i s

Π i

5 Một điểm nằm trên mặt phẳng hình chiếu thì điểm đó trùng với hình chiếu của nó

III PhÐp chiÕu vu«ng gãc

1.5 Tính chất của phép chiếu vuông góc

* Có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song, ngoài ra còn có các tính chất riêng A

Tính chất 1

Hình chiếu của một đ ờng thẳng không vuông góc với mặt phẳng hình chiếu một đ ờng thẳng

B

A i =B i

Hình chiếu của một đ ờng thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu một

điểm

Tr ờng hợp đặc biệt 1

Π i

Một đ ờng thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu thì song song với hình chiếu của nó

Chú ý: ABA i B i là hình chữ nhật

Tr ờng hợp đặc biệt 2

TÝnh chÊt 4

α

g

Lα i≡

Mét mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu th× h×nh chiÕu cña

nã suy biÕn lµ mét ® êng th¼ng

M

M i

TÝnh chÊt b¶o toµn gãc vu«ng cña phÐp chiÕu vu«ng gãc:

* H×nh chiÕu cña mét gãc vu«ng nãi chung kh«ng ph¶i lµ mét gãc vu«ng;

* H×nh chiÕu cña mét gãc vu«ng lµ mét gãc vu«ng chØ khi cã Ýt nhÊt mét c¹nh gãc vu«ng song song víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu vµ c¹nh kia kh«ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh chiÕu

Më réng:

i i

i

b a

b

a a

b a

i

i i

TÝnh chÊt 4

Tính phản chuyển của hình biểu diễn:

+ Với một điểm A, tìm đ ợc duy nhất một điểm A i

+ Cho A i là hình chiếu vuông góc của điểm A, ta không xác định đ ợc A

Vậy biểu diễn điểm A bằng một hình chiếu A i là không có tính phản chuyển.

Π 1 Gọi là mặt phẳng hình chiếu đứng

Π 2 Gọi là mặt phẳng hình chiếu bằng

A 1 Gọi là hình chiếu đứng, A 2 Gọi là hình chiếu bằng

Độ cao của A: Vị trí t ơng đối của A so với Π 2 ; có dấu(+) khi A ở phía trên Π 2 ; có dấu

âm khi A ở phía d ới Π 2 Có trị số bằng khoảng cách từ A đến Π 2 z A AA2 A1 A x

Độ xa của A: Vị trí t ơng đối của A so với Π 1 ; có dấu(+) khi A ở phía tr ớc Π 1 ; có dấu

âm khi A ở phía sau Π 1 Có trị số bằng khoảng cách từ A đến Π 1 y A AA1 A2 A x

2) Tồn tại duy nhất 1 điểm A

Chú ý: A1Ax=Trị số độ cao của điểm A; A2Ax =Trị số độ xa của điểm A

2.2 §å thøc cña ®iÓm trong hÖ thèng ba mÆt ph¼ng h×nh chiÕu

A1 là hình chiếu đứng

A2 là hình chiếu bằng

A3 là hình chiếu cạnh

yz

x Ax

z

Π3

y

Ay

3.1 Biểu diễn đ ờng thẳng trên đồ thức

Có hai cách

1) Biểu diễn bằng cách xác định 2 điểm

2) Biểu diễn bằng cách cho 2 hình chiếu( Không cùng vuông góc với trục x)

3.1.1 Biểu diễn bằng cách xác định hai điểm

B

Π i Nh¾c l¹i tÝnh chÊt phÐp chiÕu (H×nh chiÕu cña mét ® êng th¼ng):

áp dụng, ta có A 1 B 1 là hình chiếu đứng của AB; A 2 B 2 là hình chiếu bằng của AB

Mét vÝ dô kh¸c vÒ biÓu diÔn ® êng th¼ng qua hai ®iÓm

3.1.2 Biểu diễn bằng cách xác định hình chiếu( không cùng vuông góc với trục x)

x

a1

a2

x

a1

a2

x

a1

a2

định duy nhất a:

x

a1

a2

a: bÊt kú thuéc mÆt ph¼ng αLβ

Π3

3.2 §iÒu kiÖn ®iÓm thuéc ® êng th¼ng

3.2.1 §èi víi ® êng th¼ng th êng

ThÝ dô ¸p dông: Cho ®iÓm I thuéc ® êng th¼ng a BiÕt I 1 , t×m I 2

3.2.1 Đối với đ ờng thẳng cạnh

Th ờng áp dụng hai mệnh đề sau:

Điều kiện cần và đủ để điểm M thuộc

ThÝ dô ¸p dông: Cho ®iÓm M thuéc ® êng th¼ng AB BiÕt M 1 , t×m M 2

M'

3.3 Độ lớn thật của một đoạn thẳng và góc của nó so với các mặt phẳng hình chiếu

Bài toán: Cho đoạn thẳng AB xác định bởi các hình chiếu Hãy tìm độ dài thật của AB và góc của nó so với các mặt phẳng hình chiếu

1- Lấy A1B1làm một cạnh của tam giác vuông

3- Dựng 1 đ ờng vuông góc với A1B1tại A1 hoặc

B1, trên đó lấy 1 đoạn = yAB làm cạnh thứ hai của tam giác vuông

1- Lấy A2B2 làm một cạnh của tam giác vuông

3- Dựng 1 đ ờng vuông góc với A2B2tại A2 hoặc

B2, trên đó lấy 1 đoạn = zAB làm cạnh thứ hai 2- Xác định zAB

β

zAB

zAB

3.4 Các đ ờng thẳng có vị trí đặc biệt so với các mặt phẳng

hình chiếu

Các đ ờng thẳng song song với các mặt phẳng hình chiếu:

1) Đ ờng bằng: Là đ ờng thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng

2) Đ ờng cạnh: Là đ ờng thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh và

có hình chiếu đứng, hình chiếu bằng cùng vuông góc với x

C¸c ® êng th¼ng vu«ng gãc víi c¸c mÆt ph¼ng h×nh chiÕu:

3.5 Vị trí t ơng đối của 2 đ ờng thẳng.

Trong không gian, hai đ ờng thẳng có thể:

- Cắt nhau

- Song song

- Chéo nhau nếu không cắt nhau và không song song

3.5.1 Tr ờng hợp cả hai đ ờng không phải là đ ờng cạnh

M

M b

a

M b

a M

b

a

2 1

2 2

2

1 1

b) Hai ® êng th¼ng song song:

1 1

//

//

//

b a

b

a b

c) Hai ® êng th¼ng chÐo nhau:

a1

a2

b1

b2x

a1

a2

b1

b2x

3.5.2 Tr êng hîp mét trong hai ® êng lµ ® êng c¹nh

NhËn xÐt: Hai ® êng th¼ng nµy kh«ng song song, chØ c¾t nhau hoÆc chÐo nhau

b)Bài toán 2: Tìm điều kiện để 2 đ ờng cắt nhau

3.5.2 Tr êng hîp c¶ hai ® êng lµ ® êng c¹nh

b) Bài toán 1: Xác định điều kiện song song:

Đ ờng thẳng a cắt tại điểm M, thì điểm M đ ợc gọi là vết đứng của đ ờng thẳng a

Đ ờng thẳng a cắt tại điểm N, thì điểm N đ ợc gọi là vết bằng của đ ờng thẳng a

II.Điều kiện điểm, đ ờng thẳng thuộc mặt phẳng

Điểm M α và N α

Qua M và N vẽ đ ờng thẳng a thì aα

M

N a

Mệnh đề 3:

Cho mặt phẳng α α

Đ ờng thẳng a α

a

M

Điểm M α Qua M vẽ một đ ờng thẳng b//a thì bα

Điều kiện đ ờng thẳng thuộc mặt phẳng là đ ờng thẳng đi qua 1 điểm của

Cho mÆt ph¼ng α(ABC), ABC), ), ® êng

A2

B2x

III.Các mặt phẳng có vị trí đặc biệt so với các mặt phẳng hình chiếu

n2

Trong mét mÆt ph¼ng, c¸c ® êng b»ng song song víi nhau vµ

song song víi vÕt b»ng

I1

V.Giao cña ® êng th¼ng víi mÆt ph¼ng Giao cña hai mÆt ph¼ng

g=αGβ(ABC), ABC), )

1) VÏ mÆt ph¼ng β chøa ® êng t (th êng lÊy β lµ mÆt ph¼ng chiÕu)

2) VÏ giao tuyÕn cña α vµ β (® êng th¼ng g)

B1

A2x

Ph ¬ng ph¸p mÆt ph¼ng phô trî gi¶i bµi to¸n giao cña hai mÆt ph¼ng:

VÏ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng cho b»ng vÕt

V.Đ ờng thẳng song song với mặt phẳng

Hai mặt phẳng song song.

1 Đ ờng thẳng song song với mặt phẳng

Điều kiện để một đ ờng thẳng song song với một mặt phẳng là đ ờng thẳng này phải song song với một đ ờng thẳng của mặt phẳng.

α

ab

ThÝ dô ¸p dông: VÏ t 2 biÕt ® êng th¼ng t ®i qua M vµ song song víi mÆt ph¼ng α(ABC)ABC).

M1

M2

B1

VÏ mÆt ph¼ng α(ABC)ABC) song song víi ® êng th¼ng t.

1 Hai mặt phẳng song song.

Điều kiện để hai mặt phẳng song song là mặt phẳng này chứa 2 đ ờng thẳng cắt nhau t

ơng ứng song song với 2 đ ờng thẳng cắt nhau của mặt phẳng kia

ThÝ dô ¸p dông: Qua ®iÓm M vÏ mÆt ph¼ng β song song

lµ β(t,k)

Qua ®iÓm M vÏ mÆt ph¼ng β song song víi mÆt ph¼ng α(mα,nα)

Vi.§ êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng

i i

®iÓm M  c¸ch vÏ

l ợt là đ ờng bằng h và đ ờng mặt f.

dα dh Mặt khác h//2 suy ra

d2h2  cách vẽ hdα df Mặt khác h//1 suy ra

d2f1  cách vẽ fMặt phẳng α xác định bởi h và f là mặt phẳng cần vẽ

Bµi to¸n 2: Cho mÆt ph¼ng α, Qua ®iÓm M h·y vÏ ® êng th¼ng d vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng α.

Bµi to¸n 2: Cho mÆt ph¼ng α, Qua ®iÓm M h·y vÏ ® êng th¼ng d vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng α.

ë trªn, ta vÏ ® îc d

Thí áp dụng: Tìm khoảng cách từ 1 điểm M đến một mặt phẳng (m,n).m,n).

®a diÖn

§a­ diÖn­ lµ­ mÆt­ kÝn­ ®­îc­ t¹o­ thµnh­ bëi­ c¸c­ ®a­ gi¸c­ ph¼ng­(låi)­g¾n­liÒn­víi­nhau­bëi­c¸c­c¹nh­cña­chóng.

Biểu diễn đa diện

Trên đồ thức, đa diện đ ợc biểu diễn thông qua biểu diễn các cạnh của chúng với qui định: các mặt của đa diện là không trong suốt.

M1=N1

M2=

-Giao mặt phẳng và đa diện

Giao của một mặt phẳng với một đa diện là một đa giác phẳng

mà mỗi đỉnh của nó là giao điểm của 1 cạnh đa diện với mặt phẳng, mỗi cạnh của nó là giao của mặt phẳng với một mặt của

A

B

C t

Giao của hai đa diện

Giao của hai đa diện là một hoặc nhiều đ ờng gấp khúc không gian kép kín mà mỗi đỉnh là giao điểm của một cạnh đa diện này với một mặt đa diện kia; mỗi cạnh là giao của một mặt đa diện này với một mặt đa diện kia.

Cách vẽ giao tuyến:

+ Lần l ợt tìm giao của từng cạnh đa diện này với các mặt đa diện kia và ng ợc lại, ta đ ợc các đỉnh của giao tuyến.

+ Nối các đỉnh của giao tuyến theo nguyên tắc: Hai

điểm đ ợc nối với nhau nếu vừa thuộc một mặt của đa diện này, vừa thuộc một mặt của đa diện kia Cạnh

đó chỉ thấy khi nó thuộc cả hai mặt thấy.

C

I Mét sè mÆt cong th êng dïng trong kü thuËt

 S

s

C

s

s

s

II BiÓu diÔn mÆt cong

Si

i

O2

III §iÓm thuéc mÆt cong



C C

K1 M1

K2

IV Giao cña mÆt ph¼ng vµ mÆt cong



Giao cña mÆt ph¼ng víi mÆt cÇu lµ

® êng trßn

1) Tr ờng hợp đặc biệt

Một trong 2 mặt là đặc biệt (Mặt phẳng  hoặc mặt cong ).

Các b ớc:

b1: Xác định dạng

b2: Từ tính chất đặc biệt suy ra đ ợc 1 hình chiếu của giao tuyến ;

b3: Chọn các điểm quan trong trên giao tuyến: Trên đ ờng bao, cao (thấp) nhất, gần (xa) nhất

b4: Vẽ hình chiếu thứ hai của các điểm bằng cách giải bài toán điểm thuộc mặt rồi nối giao tuyến theo dạng đã biết

b5: Xét thấy khuất



ThÝ dô 1

3

3'

ThÝ dô 2

ThÝ dô 3

t2

k2

ThÝ dô 5

2) Tr ờng hợp tổng quát

Tr ờng hợp tổng quát có thể giải theo 2 cách

a) Biến đổi đ a về đặc biệt (không phải bao giờ cũng đ ợc)b)Theo ph ơng pháp mặt phẳng phụ trợ:

Giao của G và t là các điểm chung của  và 

- Chọn các mặt phẳng phụ trợ khác và lặp lại các b ớc 2 và 3 , ta có nhiều điểm

chung của  và  Sau đó nối giao tuyến theo dạng đã xác định

nx

nx

V Giao cña §a diÖn víi mÆt cong

Ta gi¶ bµi to¸n nµy b»ng c¸ch lÇn l ît vÏ giao cña tõng mÆt ®a diÖn víi mÆt cong

a1 b1

c1

VI Giao cña hai mÆt cong

ThÝ dô 1

1 2

3

4

4' 5

1 2

3

4

4' 5

ThÝ dô 3

V Giao cña § êng th¼ng víi mÆt cong

t1 A1 =B1

A2

B2

t1=A

1 =B1

t2

O2

O'1

E

F t

B

E

F t

B

i