Bài tập Hình học họa hình tập hợp các bài toán Hình học họa hình kèm hướng dẫn giải và đáp án. Mỗi bài toán đều có các bước: phân tích bài toán, tìm cách dựng hình không gian để thỏa mãn yêu cầu của bài toán và dùng hình học họa hình để thực hiện.
Bài Giảng Hình học họa hình Fanpage: https://www.facebook.com/tailieusinhvientop1/ Chương Mở đầu Cơ sở biểu diễn Trong kỹ thuật, bản vẽ kỹ thuật( giấy) được sử dụng sản xuất và trao đổi thông tin giưa ̃ các nhà thiết kế Bản vẽ kỹ thuật là một mặt phẳng chiều còn hầu hết vật thể đều là các vật thể chiều Vậy làm để biểu diễn các đối tượng chiều lên mặt phẳng chiều? Gaspard Monge Hình họa 1.1- Đối tượng môn học -Nghiên cứu phương pháp biểu diễn hình khơng gian một mặt phẳng -Nghiên cứu phương pháp giải tốn khơng gian mợt mặt phẳng S 1.2- Các phép chiếu 1- Phép chiếu xuyên tâm a) Xây dựng phép chiếu -Cho mặt phẳng Π, một điểm S không thuộc Π một điểm A bất kỳ -Gọi A’ giao đường thẳng SA với mặt phẳng Π *Ta có định nghĩa sau: + Mặt phẳng Π gọi mặt phẳng hình chiếu + Điểm S gọi tâm chiếu + Điểm A’ gọi hình chiếu xuyên tâm điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π + Đường thẳng SA gọi tia chiếu điểm A A A’ П Hình 0.1 Xây dựng phép chiếu xuyên tâm b) Tính chất phép chiếu П S C S B A C’ C A A’ E F’ B D B’ D F D’ C’=D’ E’ A’ B’ T’ b) П a) Hình 0.2a,b Tính chất phép chiếu xuyên tâm - Nếu AB đoạn thẳng khơng qua tâm chiếu S hình chiếu xun tâm mợt đoạn thẳng A’B’ - Nếu CD đường thẳng qua tâm chiếu S C’=D’.(Hình chiếu suy biến) (Hình 0.2.a) - Hình chiếu xuyên tâm đường thẳng song song nói chung đường đồng quy (Hình 0.2.b) 2- Phép chiếu song song a) Xây dựng phép chiếu -Cho mặt phẳng Π, một đường thẳng s không song song mặt phẳng Π một điểm A bất kỳ không gian -Qua A kẻ đường thẳng a//s A’ giao đường thẳng a với mặt phẳng Π * Ta có định nghĩa sau: + Mặt phẳng Π gọi mặt phẳng hình chiếu + Đường thẳng s gọi phương chiếu + Điểm A’ gọi hình chiếu song song điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π theo phương chiếu s + Đường thẳng a gọi tia chiếu điểm A a s A A’ П Hình 0.3 Xây dựng phép chiếu xuyên tâm b) Tính chất phép chiếu a) - Nếu đường thẳng AB khơng song song với phương chiếu s hình chiếu song song đường thẳng A’B’ - Nếu CD song song với phương chiếu s hình chiếu song song mợt điểm C’=D’ - Nếu M tḥc đoạn AB M’ tḥc A’B’ + Tỷ số đơn điểm không đổi: C D A C’=D’ A’ П b) - Nếu IK// Π thì: M'N' //P' Q' M'N' MN P' Q' PQ I'K' //IK I'K' IK M’ N A'M' AM M'B' MB - Nếu MN//QP thì: s B M M Q B’ K I s P N’ M’ П Q’ P’ Hình 0.4a,b Tính chất phép chiếu song song I’ K’ a 3- Phép chiếu vng góc a) -Phép chiếu vng góc trường hợp đặc biệt phép chiếu song song phương chiếu vng góc với mặt phẳng hình chiếu -Phép chiếu vng góc có đầy đủ tính chất phép chiếu song song, ngồi có thêm tính chất sau: + Chỉ có mợt phương chiếu s b) nhất + Giả sử AB tạo với П mợt góc φ thì: A’B’=AB.cosφ A’B’ ≤ AB - Sau ứng dụng phép chiếu vng góc mà ta gọi phương pháp hình chiếu thẳng góc s A A’ П B s A φ П A’ B’ Hình 0.5a,b Phép chiếu vng góc Chương Biểu diễn, liên thuộc b)Đường thẳng cắt mặt cong * Tìm giao đường thẳng với mặt nón trường hợp tổng quát α S S k α K k K I I I’ - F J F R I’ J Lập mặt phẳng phụ trợ α(S, k) Kéo dài đường thẳng k cắt mặt phẳng đáy nón Trên k lấy điểm K tùy ý, kéo dài SK cắt mặt phẳng đáy nón 12 cắt đáy nón hai điểm F, J Nối SF, SJ cắt k I I’ I, I’ giao điểm cần tìm * Trường hợp giao điểm đường thẳng k với mặt phẳng đáy nón xa, ta lấy thêm điểm R đường thẳng k * Tìm giao đường thẳng với mặt trụ trường hợp tổng quát (Hình 6.15) b) k a) α α K k K I’ I R I I’ O O - F J F J Lập mặt phẳng phụ trợ α qua k song song với trục trụ Kéo dài đường thẳng k cắt mặt phẳng đáy trụ Trên k lấy điểm K tùy ý, qua K kẻ đường thẳng song song với trục trụ, cắt mặt phẳng đáy trụ 12 cắt đáy nón hai điểm F,J Qua điểm F, J kẻ hai đường thẳng song song với trục trụ cắt k I I’ * Trường hợp giao điểm đường thẳng k với mặt phẳng đáy trụ xa, ta lấy thêm điểm R đường thẳng k - *Đường thẳng cắt mặt cầu Ví dụ 2: Vẽ giao đường mặt f với mặt cầu (S) cho hình 6.11 Giải: - Trong tốn này, chưa biết hình chiếu giao điểm, ta phải dùng phương pháp mặt phẳng phụ trợ f1 K1 (C 1) (S1) O1 11 I1 - Lấy mặt phẳng φ(φ2) chứa đường f(f1, f2), φ(φ2) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến phụ đường tròn (C ): (C 2) ≡ (φ2) - Tìm (C 1) - Ta có: I1, K1 ≡ (C 1)∩ f1 (S2) I2, K2 f2 Hình 6.11 Ví dụ 1: Vẽ giao đường mặt f với mặt cầu (S) O2 I2 12 (C 2) K2 f2 ≡ φ2 Giao hai đa diện Ví dụ 1: Tìm giao hình chóp với lăng trụ chiếu đứng (Hình 5.11) Giải: -Nhận xét: Lăng trụ xuyên qua hình chóp, giao tuyến có hai đường gấp khúc khép kín - Hình chiếu đứng giao tuyến trùng với đáy hình lăng trụ: 11, 21, 31, 41, 51 -Tìm hình chiếu bằng: Giải tốn điểm thuộc mặt hình chóp -Để nối xét thấy khất, ta dùng phương pháp khai triển hình 5.12 S1 51 ≡5’1 41 E1 D1 21 F1 31 ≡3’1 11=1’1 B1 A1 D2 C1 F2 E2 3’2 A2 D S S E S 1’2 32 S 1’ 5’ 5’2 12 S2 52 42 3’ F 22 (-) D A B B2 1’ C A C2 Ví dụ 2: Tìm giao hai lăng trụ có lăng trụ lăng trụ chiếu (Hình 5.13) 51 4’1 E F C B (-) D E 21 41 61 11 3’1 A1 A 31 H1 (-) 4’ B1 3’ G1 C C1 D1 C2 Hình 5.14 Bảng nối xét thấy khuất giao tuyến hình chiếu đứng H2 G2 A2 F1 E1 32≡3’2 D2 42≡4’2 F2 52 22 B2 12 62 E2 S1 4.4- Giao đa diện với mặt cong Mỗi mặt đa diện cắt mặt cong bậc theo đường bậc 2.Vì vậy, giao đa diện với mặt cong tổ hợp đường bậc A1 ≡A’1 B1 ≡B’1 11 21 Ví dụ 1: Tìm giao tuyến lăng trụ chiếu đứng với hình nón tròn xoay cho hình 6.16 41 Giải: - Vì lăng trụ cho lăng trụ chiếu đứng, biết hình chiếu đứng giao tuyến đoạn 1-2-3-4 -Tìm hình chiếu giao tuyến : tốn điểm thuộc mặt nón Bổ xung thêm điểm 5-6 để vẽ giao tuyến xác 51 61 C1 ≡C’1 ≡31 C2 A2 - Nhận xét: + Mặt (AA’B’B) song song với đáy hình nón, mặt phẳng cắt mặt nón theo cung tròn 1-2 B2 32 52 62 + Mặt (BB’C’C) song song với đường sinh hình nón, mặt phẳng cắt mặt nón theo cung parabol: 2-5-3 + Mặt (AA’C’C) cắt tất đường sinh hình nón, mặt phẳng cắt mặt nón theo cung elip 3-6-4 22 42 S2 12 2’2 6’2 3’2 A’2 C’2 5’2 B’2 S1 4.5- Giao hai mặt cong Ví dụ 1: Tìm giao trụ chiếu đứng với nón tròn xoay (Hình ) Giải: - Giao trụ chiếu đứng nón tròn xoay đường cong ghềnh bậc - Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng giao tuyến - Tìm hình chiếu giao tuyến, xét điểm sau: + Điểm 1,4 thuộc đường sinh biên nón cắt trụ + Điểm điểm xét giới hạn thấy khuất + Điểm điểm đường sinh thấp - Để vẽ đường cong ghềnh xác tìm thêm điểm X, Y Hình 6.18 Tìm giao trụ chiếu đứng với nón tròn xoay 11 X1 21 41 Y1 31 32 Y2 22 X2 42 12 S2 X’2 2’2 3’2 Y’2 Ví dụ 2: Tìm giao tuyến mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu (Hình ) Giải: - Giao trụ chiếu đứng mặt cầu đường cong ghềnh bậc - Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng giao tuyến - Tìm hình chiếu giao tuyến, xét điểm sau: + Điểm 2,6 điểm xét giới hạn thấy khuất + Điểm điểm đường sinh thấp trụ 71 51 61 21 31 32 22 62 52 + Điểm điểm thuộc đường sinh cao trụ + Điểm điểm tiếp xúc trụ với cầu 72 5’2 6’2 Hình 6.19 Tìm giao mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu 2’2 3’2 Chú ý: Hai mặt cong tiếp xúc điểm chúng cắt theo đường cong ghềnh bậc 4, điểm tiếp xúc hai mặt cong đường cong ghềnh bậc tự cắt S1 Định lý 1: Nếu hai mặt cong bậc hai cắt theo đường bâc hai chúng cắt theo đường bậc hai thứ hai 11 21 31 32 22 S2 2’2 3’2 12 S1 Định lý 2: Nếu hai mặt cong bậc hai tiếp xúc với hai điểm chúng cắt theo hai đường cong bậc hai qua hai điểm tiếp xúc 51 81 71 61 21 31 32 52 62 22 S2 72 82 6’2 2’2 5’2 3’2 S1 e1 11 31 d1 A1 S2 e2 21 41 51=61 B1 f1 C1 + f2 A2 52 62 C2 e2 + 12 + S2 A2 32 d2 d2 22 42 B2 e2 f2 + + B2 C2 A2 e1 S1 11=21 31=41 A1=B1 91=101f1 A2 71 61 81 + + g1 + D1 10 32 B2 42 + 12 S2 22 52 62 e2 D2 72 C2 92 g2 A2 e2 + 82 f2 - C2 D2 102 g2 B2 C1 A2 f2 e2 51 S2 S1 11 31 A1 41 71 A1 f1 81 B1 101 + + - 21 91 e1 + 111 - g1 51 61 S1 h1 C1 D1 121 11 h2 6(hg) C1 B1 5(eh) + S2=B2 D1 + A2 12=52 32 e2 =72=82 62=22 g2=112=122 42 92=102= f2 D2 h1 C2 e1 f1 g1 h1 A1 S1 e1 11 21 A1 A2 51 d1 31 C1 41 f1 61=71 + S2 A2 12 e2 22 32 e2 B2 C2 5(de) 42 B2 4(df) C2 72 62 S d2 + + B1 52 f2 + f2 - + d2 e2 d2 A2 ... (Pg2) Hình 1.6 Mặt phẳng phân giác I II D1 =D2 Π2 Hình 1.7 Đồ thức điểm A,B,C,D thuộc mặt phẳng phân giác (P1) (P2) 2.1.3- Ví dụ: Vẽ hình chiếu thứ ba điểm đồ thức Bài tốn: Cho hình chiếu đứng hình. .. A hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.1.b) Π2 Hình 1.1a,b Xây dựng đồ thức điểm hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu * Các định nghĩa tính chất - Mặt phẳng П1: mặt phẳng hình chiếu đứng a) Π1... điểm thuộc mặt phẳng (bài toán liên thuộc) 2.3.2.1- Bài toán Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b I, đường thẳng l thuộc mặt phẳng (α) Biết hình chiếu đứng l1, tìm hình chiếu l2 (Hình 3.11) I1 I1 21 11