Bài giảng Cao học Bách Khoa Tp.HCM: Cơ học vật rắn biến dạng
CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG Chương CƠ SỞ TỐN HỌC 1.1 TENXƠ VÀ CƠ HỌC MƠI TRƯỜNG LIÊN TỤC (CHMTLT) Các đại lượng vật lý, hình học… đặc trưng cho tính chất mơi trường liên tục có chất khơng phụ thuộc vào việc lựa chọn hệ tọa độ Trong hệ tọa độ, đại lượng biểu diễn qua số giá trị gọi thành phần đại lượng Khi thay đổi hệ trục tọa độ, thành phần thay đổi, song theo quy tắc định Những đại lượng CHMTLT có thành phần thay đổi theo quy luật gọi tenxơ Như vậy, tenxơ đối tượng tốn học, tồn độc lập với hệ trục tọa độ Các định luật vật lý CHMTLT thường biểu diễn ngơn ngữ tenxơ, dạng phương trình tenxơ Quy luật biến đổi thành phần tenxơ thay đổi hệ tọa độ mang tính tuyến tính đồng nên phương trình tenxơ hệ tọa độ hệ tọa độ khác Sức mạnh phép tính tenxơ CHMTLT tính bất biến hệ thức tenxơ phép biến đổi tọa độ Nếu phép biến đổi giới hạn hệ tọa độ vng góc tenxơ gọi tenxơ đề Tenxơ đề sử dụng nhiều CHMTLT nên thuật ngữ “tenxơ” giáo trình hiểu “tenxơ đề các” khơng có thích thêm Tenxơ phân loại theo hạng hay cấp ứng với số thành phần Ví dụ: Trong khơng gian Ơclít ba chiều, chẳng hạn khơng gian vật lý thơng thường, tenxơ hạng N có 3N thành phần * Tenxơ hạng khơng: 30 = thành phần Tenxơ hạng khơng có thành phần hệ tọa độ Đó đại lượng vơ hướng (scalar) a a’, song a = a’ Ví dụ: khối lượng, mật độ, nhiệt độ, chiều dài * Tenxơ hạng nhất: 31 = thành phần Tenxơ hạng có thành phần tọa độ khơng gian chiều, gọi véctơ Ví dụ: vận tốc, lực, gia tốc * Tenxơ hạng hai (còn gọi điađic), cần thiết việc miêu tả đặc trưng CHMTLT, gồm 32 = thành phần Ví dụ: ứng suất σij, biến dạng εij… * Tenxơ hạng ba (triađic), tenxơ hạng bốn (têtrađic) v.v… định nghĩa sử dụng nhiều CHMTLT Chương CƠ SỞ TỐN HỌC CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG 1.2 VƠ HƯỚNG VÀ VÉCTƠ 1.2.1 Khái niệm Vơ hướng: Các đại lượng vật lý có độ lớn, khối lượng, chiều dài, thời gian… (tenxơ hạng 0) Ký hiệu: vơ hướng a, b, c (chữ thường, nét nghiêng) Véctơ: Các đại lượng vật lý đặc trưng trị số hướng, lực Fi, vận tốc vi, gia tốc … Ký hiệu: véctơ a, b, c (chữ in đậm) a , b, c (chữ thường, có gạch dưới) Trị số véctơ a , ký hiệu a a Hai véctơ hướng độ dài Véctơ đơn vị: có độ dài đơn vị, ký hiệu ê ˆi Véctơ âm so với véctơ cho véctơ có mơđun hướng ngược lại ê a b c d Hình 1.1: Các véctơ 1.2.2 Cộng trừ véctơ Quy tắc hình bình hành hay tam giác: (1.1) c = a+b b a a+b a a+b b b -b a-b=d a a a+b b+g g a+b+g Hình 1.2 Các phép tính vector Tính giao hốn: a+b = b+a (1.2) Tính chất kết hợp (hình 2c) (a+b) + g = a+(b+ g) (1.3) Nhân véctơ với vơ hướng: có tính kết hợp phân bố Chương CƠ SỞ TỐN HỌC CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG Nhân véctơ với nghịch đảo mơđun nhận véctơ đơn vị có hướng: b bˆ = b Biểu diễn véctơ: (1.4) z, a k O j i y, x, Hình 1.3 Hệ vectơ sở Trong hệ tọa độ trực giao đề (hệ tọa độ thuận), véctơ biểu diễn dạng tổ hợp tuyến tính ba véctơ khác khơng, khơng đồng phẳng cho trước hệ, gọi véctơ sở Hệ véctơ sở trực chuẩn: hệ véctơ đơn vị tạo nên tam diện thuận hệ tọa độ đề Ví dụ: ˆi, ˆj, kˆ - hệ véctơ sở trực chuẩn hình 1.3 Véctơ a biểu diễn theo hệ sở trực chuẩn sau: a = a x i + a y j + a zk ( 1.5) 1.2.3 Tích vơ hướng tích véctơ: Tích vơ hướng: a θ b Hình 1.4 Tích vô hướng véc tơ a.b = a b cosθ = abcos θ (1.6) Tích vơ hướng véctơ sở trực chuẩn: ˆi ˆi ˆi = ˆj ˆj= kˆ kˆ = ˆj= ˆj kˆ = kˆ ˆi = (1.7) a = a x ˆi + a y ˆj + a z kˆ b = bx ˆi + b y ˆj + bz kˆ a.b = axbx + ayby + azbz (1.8) Tính chất tích vơ hướng Giao hốn: Chương CƠ SỞ TỐN HỌC a.b = b.a CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG Phân bố: a.(b+c) = a.b + b.c z, v γ β k O i α j y, x, Hình 1.5 Phương vector v = v x ˆi + v y ˆj + v z kˆ Trong đó: vx = vˆi = v cos α Véctơ đơn vị theo hướng v vˆ = Vì : v = vˆ x ˆi + vˆ y ˆj + vˆ z kˆ = (cos α )ˆi + (cos β )ˆj + (cos γ )kˆ v (1.9) vˆ x = vˆ ˆi = cosα vˆ y = vˆ ˆj = cosβ (cosα, cosβ , cosγ cosin phương vˆ ) vˆ z = vˆ kˆ = cosγ (1.10) Góc hai véctơ: a.b = ab cosθ cosθ = a x bx + a y b y + a z bz a.b = 2 ab (a x + a y + a z2 )1 / (bx2 + b y2 + bz2 )1 / Tích véctơ:(hình 1.6) c =axb c a θ b Hình 1.6 Tích vector c trực giao với a b cho a, b, c tạo thành hệ thuận Chương CƠ SỞ TỐN HỌC CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG a x b = -b x a = (absin θ ), (0 ≤θ ≤ π ) (1.11) c véctơ đơn vị có hướng cho quay theo quy tắc bàn tay phải (quy tắc vặn nút chai ) quanh c góc θ dẫn a đến b Mođun c diện tích hình bình hành Tích véctơ khơng giao hốn: a x b = -b x a Đối với hệ véctơ sở trực chuẩn i ˆi x ˆi = ˆj x ˆj = kˆ x kˆ = ˆi x ˆj = kˆ , ˆj x kˆ = ˆi , kˆ x ˆj = ˆi k j ˆj x ˆi = - kˆ , kˆ x ˆj = - ˆi , ˆi x kˆ = - ˆj Hình 1.7 Hoán vò số Tích véctơ có tính phân bố a x (b + c) = a x b + a x c a x b = (aybz – azby) ˆi + (azbx – axbz) ˆj + (axby - aybx) kˆ hay ˆi ˆj kˆ a x b = ax ay az bx by bz Tích véctơ khơng kết hợp, tích véctơ kép: a x (b x c) ≠ ( a x b) x c Móc đơn biểu thức thứ tự nhân Biểu thức: a x b.c có nghĩa (a x b).c khơng cần ngoặc đơn biểu thức có ý nghĩa ta tính tích véctơ trước Tích hỗn hợp: c b a Hình 1.8 Biểu diễn tích hỗn hợp [abc] = a x b.c = a.b x c = ax ay az bx by bz cx cy cz (1.13) Chương CƠ SỞ TỐN HỌC CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG Có trị số thể tích hình hộp xiên có cạnh a, b, c Như tích hỗn hợp, tích véctơ tích vơ hướng đổi chỗ cho Xác định véctơ đơn vị trực giao với hai hướng cho trước: phải xác định nˆ vng góc với a b nˆ nˆ = a b a.b a.b (1.14) 1.3 KÝ HIỆU CHỈ SỐ VÀ BIỂU TƯỢNG Thành phần tenxơ hạng biểu diễn rỏ gọn nhờ ký hiệu số Ví dụ: ai, bj, Tij , εijk , Rpq … Chỉ số tự (hoặc có nghĩa) số gặp lần biểu thức, nhân giá trị từ 1, 2,…., n (n ngun dương, xác định khoảng biến thiên số) Chỉ số tổng (hoặc câm) số lặp lại hai lần biểu thức Chỉ số câm tổng thực thay chữ khác mà khơng thay đổi giá trị phần tử Quy ước phép lấy tổng: Chỉ số lặp hai lần có nghĩa số lấy tất giá trị khoảng biến thiên số thành phần tương ứng với giá trị số cộng lại Ví dụ: bi = a1b1 + a2b2 + a3b3 akmbm = ak1b1 + ak2b2 + ak3b3 gss = g11 + g22 + g33 Một số tự viết xuất phần tử hệ thức tenxơ Ví dụ: cij cjkxk tổng theo j k, viết cmj cmm xm số m lặp lần, khơng hiểu xj = aij bi + dj xj = aij bi + dk khơng có nghĩa Hạng tenxơ phần tử cho số tự phần tử p + Tenxơ hạng (các véctơ): ai, ai, aijbj, Fikk, R qp , εijkujvk + Tenxơ hạng hai: Được viết dạng Dij , D ij D ij , Dij … Trong hệ trục tọa độ đề khơng có phân biệt số tenxơ (thành phần phản biến hợp biến) Điều khác với hệ tọa độ cong + Còn tenxơ hạng khơng (vơ hướng) λ, εkk Trong khơng gian vật lý thơng thường: véctơ a hồn tồn cho ba thành phần (xem §1.2) Chương CƠ SỞ TỐN HỌC CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG (ai) = (a1, a2, a3) hay { } a1 = a2 a 3 Tenxơ hạng (điađic) Aij ( i,j = 1,2,3) có thành phần: A11 [ Aij] = A21 A31 A12 A13 A23 A33 A22 A32 Tổng qt, tenxơ hạng N khơng gian n chiều có nN thành phần Ký hiệu số (hay biểu tượng Gibbs) thật thuận tiện để viết hệ phương trình rút gọn Ví dụ: 1) vi = σij nj ( i = 1,2,3) có dạng khai triển v1 =σ11 n1 + σ12 n2 +σ13 n3 v3 = σ31 n1 + σ32 n2 + σ33 n3 2) i,j = 1, biểu thức Aij = Bip Cjq Dpq Có dạng khai triển hệ thức A11 = B11 C11 D11 + B11 C12 D12 + B12 C11 D21 + B12 C12 D22 A12 = B11 C21 D11 + B11 C22 D12 + B12 C21 D21 + B12 C22 D22 A21 = B21 C11 D11 + B21 C12 D12 + B22 C11 D21 + B22 C12 D22 A22 = B21 C21 D11 + B21 C22 D12 + B22 C21 D21 + B22 C22 D22 Một số ký hiệu đặc biệt: Ký hiệu Kronecker delta δij (tenxơ đơn vị hạng hai) 1 , δij = 0 , i= j i≠ j (1.15) δ11 = δ22 = δ33 =1; δ12 = δ23 =δ31 =δ21 = δ32 =δ13 = Ký hiệu hốn vịεijk (tenxơ hạng ba Levi-Chivit) εijk = -1 i,j,k = 1,2,3 lập thành hốn vị chẵn từ 1,2,3 lập thành hốn vị lẻ từ 1,2,3 hai số (1.16) Ví dụ: εii = ε11 + ε22 +ε33 = Chương CƠ SỞ TỐN HỌC CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG 1.4 ĐẠI SỐ TENXƠ ĐỀ-CÁC 1.4.1 Quy luật biến đổi thành phần tenxơ Cho xi xi' hai hệ tọa độ đề trực giao có chung gốc tọa độ aij = cos( xi , x 'j ) (1.17) Xác định hệ số aij sau: x1' x 2' x3' x1 a11 a12 a13 x2 a21 a22 a23 x3 a31 a32 a33 Theo định nghĩa cosin phương (1.10) ta có: x3’ x3 v x2’ -1 cos a13 -1 cos a31 x1 x2 x1’ Hình 1.9 Xoay hệ trục toạ độ Nói chung, a ij ≠ a ji (Xem Hình 1.9) Biểu diễn véctơ đơn vị ˆi j hệ tọa độ xi' ˆi = a11 ˆi ' + a12 ˆi ' + a13 ˆi ' 1 ˆi = a31 ˆi ' + a32 ˆi ' + a33 ˆi ' 3 Hay ˆi = aik ˆi ' i k Và ˆi ' = a11 ˆi + a21 ˆi + a31 ˆi 1 ( 1.18) ˆi ' Hay = a13 ˆi1 + a23 ˆi + a33 ˆi ˆi ' = aki ˆi i k (1.19) Véctơ v biểu diễn sau: Chương CƠ SỞ TỐN HỌC CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG v = v1ˆi1 + v2 ˆi + v3ˆi3 v = v ' ˆi ' + v ' ˆi ' + v ' ˆi ' 1 Hay v = Theo (1.19) 2 = v ˆi k k 3 PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG v j ˆi 'j ' = v 'j akj ˆi k ( v k – v 'j a kj ) ˆi k = Hay Suy ra: v k = akj v 'j (chỉ số thứ k akj số tự do) (1.20) Đây quy luật biến đổi thành phần véctơ quay trục tọa độ Tương tự: v 'j ˆi 'j = v m ˆi m Theo (1.18) v 'j ˆi 'j = v m a mk ˆi k' ( v k' – v m a mk ) ˆi k' = v k' = a mk v m Hay (1.21) (chỉ số tự do) • Do tính chất hệ véctơ sở trục chuẩn: • ˆi ' ˆi ' = δ pq p q ˆi ˆi = δ nm n m Ta có: akp ˆi k alq ˆi l = δpq ank ˆi k' aml ˆil' = δnm akp alq ˆi k ˆi l = δpq ank aml δkl = δnm Suy ra: akp akq = δpq ank amk =δnm (1.22) Đây điều kiện trực giao ma trận quay gồm phương trình Ma trận chuyển đổi hệ tọa độ [aij]– ma trận quay trực giao Phép biến đổi tuyến tính dạng (1.20) hay (1.21) qui luật biến đổi thành phần tenxơ đề bậc xoay hệ trục tọa độ Theo quy tắc biến đổi véctơ (1.21) ui’ vj’ ta có: ui’vj' = ( api up ) ( aqj vq ) = api aqj up vq Mở rộng cơng thức (1.23), ta có qui tắc biến đổi tenxơ đề hạng hai: (1.23) Tij’ = api aqj Tpq (1.24) Nhân (1.24) với aki alj, sử dụng điều kiện trực giao (1.22), thu Chương CƠ SỞ TỐN HỌC CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG Tij = aip ajq T’pq (1.25) Tổng qt hóa cho tenxơ đề hạng N T’ijk… = api aqj ark … Tpqr … (1.26) Tijk… = aip ajq akr … T’pqr… (1.27) Và ngược lại: Khái niệm tenxơ đề Tenxơ đề đại lượng có thành phần chuyển từ hệ tọa độ sang hệ tọa độ khác biến đổi theo qui luật (1.26) (1.27) Ví dụ: Cho véctơ a = (2,1,1) xác định hệ trục xi Tìm ai’ quay x1, x2 quanh x3 góc 300 Lời giải: x1 ’ x2 ’ x3 ’ x1 cos300 cos1200 cos900 x2 cos600 cos300 cos900 x3 cos900 cos900 cos00 x2 x2’ 30 x1’ 300 x1 O x3, x3’ Hình 1.10 Ví dụ [a ] ij 1 = 2 0 − = [a ] = T ij 0 − Chương CƠ SỞ TỐN HỌC 0 2 2,232 1 = − 1,344 1 10 ;2("427 452("426[...]... có biến dạng thuần túy Khi phân tố biến dạng thuần túy, các cạnh biến dạng dài còn góc vng ban đầu bị lệch gọi là biến dạng góc 2.2.2 Liên hệ vi phân giữa biến dạng bé và chuyển vị Tại điểm M( xi ), tách một phân tố hình hộp để xét biến dạng tại điểm này Với các biến dạng là bé,ta có thể quan sát biến dạng của phân tố qua biến dạng của các hình chiếu của nó trên các mặt tọa độ (H.2.3) Xét biến dạng. .. các mặt phẳng của mơi trường ở thời điểm t Trạng thái biến dạng như thế gọi là trạng thái biến dạng thuần nhất Khi biến dạng khơng thuần nhất, các hàm số u i là phi tuyến đối với biến số tọa độ Ví dụ 1: Cho qui luật chuyển động: x1' = x1 x 2' = x 2 + x1 (e − 2t − 1) ' 3 x = x3 + x1 (e − 3t CHƯƠNG 2: TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG (a) − 1) 2 CƠ VẬT RẮN BIẾN DẠNG GVGD: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG Tìm chuyển vị... φ (n) (t)H(t) ∑ dt n i =0 Chương 1 CƠ SỞ TỐN HỌC (9.9a) (9.9b) (9.9c) (9.9) 30 CƠ VẬT RẮN BIẾN DẠNG Chương 2 GVGD: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG 2.1 CHUYỂN ĐỘNG, CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG 2.1.1 Chuyển động và hai cách mơ tả chuyển động Ta dùng hệ tọa độ đề các thơng dụng để khảo sát vật thể đàn hồi chịu lực Chịu tác động của các ngun nhân bên ngồi, vật thể sẽ thay đổi hình dáng Mơi... theo phương các trục tọa độ và trong các mặt phẳng vng góc với trục tọa độ tại điểm M (2, 1, 1) Giải: Theo cơng thức (2.6): CHƯƠNG 2: TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG 5 CƠ VẬT RẮN BIẾN DẠNG - Biến dạng dài: ε11 = GVGD: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG ∂u1 = 0; ∂x1 ε 22 = ∂u 2 = 0; ∂x 2 ε 33 = ∂u 3 =0 ∂x3 - Biến dạng góc: ∂u 2 ∂u1 + = Ax3 + Ax3 = 2 Ax3 ∂x1 ∂x 2 ∂u ∂u γ 23 = 2ε 23 = 3 + 2 = Ax1 + Ax1 = 2 Ax1 ∂x 2 ∂x3... xi: T V = { xi } σ ij { x j } = σ ij xi x j Với phép biến đổi (1.64a), V có dạng chính tắc của tọa độ chuẩn yl: (1.68) n V =∑ λk yk yk = λ1 y12 + λ2 y22 + + λn yn2 (1.69) k =1 Chương 1 CƠ SỞ TỐN HỌC 20 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG Tính xác định dương: (i)Với V xác định theo (1.68): Ma trận thực, đối xứng [σij] và dạng tồn phương (1.68) được xem là xác định dương nếu V>0... M ' N '− MN M ' N "− MN ∂u1 = = MN MN ∂x1 (c) Tương tự, ε 22 = ∂u 2 ∂x 2 CHƯƠNG 2: TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG (d) 4 CƠ VẬT RẮN BIẾN DẠNG GVGD: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG Biến dạng góc hay độ lệch của góc vng trong mặt phẳng đang xét gọi là góc trượt kỹ thuật, với ký hiệu γ 12 = 2ε 12 , như vậy ε 12 là nửa biến dạng góc Từ hình vẽ, ta có: γ 12 = α + β Góc quay của cạnh MN là: ∂u ∂u 2 u 2 + 2 dx1... I2, I3 là bất biến λ1 Thật vậy, với [σii] trùng với ma trận chính tắc: 0 λ2 0 λ3 Ta có: det σ ij − λδ ij = (λ1 − λ )(λ2 − λ )(λ3 − λ ) Khi λ= 0: σ ij = λ1λ2λ3 Phương trình đặc trưng (1.52) có dạng: λ 3 − (λ1 + λ2 + λ3 )λ 2 + (λ1λ2 + λ2λ3 + λ3λ1 )λ − λ1λ2λ3 = 0 (1.75) So sánh (1.73), và (1.75), rút ra Ik (k=1, 2, 3) – bất biến Chương 1 CƠ SỞ TỐN HỌC 21 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS NGUYỄN... dưới dạng: xi = xi ( x1' , x 2' , x3' , t ) (2.3) CHƯƠNG 2: TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG 1 CƠ VẬT RẮN BIẾN DẠNG GVGD: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG cho phép theo dõi hạt vật chất ở vị trí ban đầu mà tại thời điểm t nó chiếm vị trí x’i Đây là phương trình mơ tả chuyển động theo Euler, x’i được gọi là tọa độ Euler hay tọa độ khơng gian Nếu cố định x’i (hay điểm M’), phương trình (2.3) xác định dòng các hạt vật. .. sẽ là hàm vơ hướng của tọa độ, biến số tọa độ có thể là biến số Lagrange hoặc Euler Khi vật thể biến dạng, mỗi phân tố đều thay đổi hình dáng Để khảo sát biến dạng tại điểm, ta xét sự biến đổi của một phần tử thẳng ds nối điểm M và điểm N rất gần với nó Chuyển động của đoạn thẳng có thể phân làm 2 thành phần: - Chuyển vị tổng thể mang ds chuyển đến ds’ mà khơng có biến dạng (khơng làm nó thay đổi về... dS 1.8 Hình học vi phân 1.8.1 Đường cong và mặt khơng gian x3 xi(u+∆ ∆u) ∆xi = xi(u + ∆u) – xi(u) xi(u) x2 x1 Hình 1.13 Đường cong khơng gian Trong khơng gian vật lý thơng thường, cho bán kính véctơ x là hàm của vơ hướng u: xi = xi(u) với u - thơng số Điểm cuối xi vẽ nên một đường cong khơng gian khi thơng số u thay đổi Chương 1 CƠ SỞ TỐN HỌC 25 CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG PGS.TS NGUYỄN THỊ