Phân tích ma trận thành tích của các giao hoán tử của các ma trận Đối hợp

Trong đó, người ta quan tâm nhiều tổi các ma lình, giao hoán tử của các ma trân, “Ta kí hiệu GI„ E là nhóm các ma trân vuông khả nghịch cấp ø trên trường F va SL, F là nhóm các ma trân v

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÔ HỖ CHÍ MINH

KHÓA LUẬN TÔT NGHIỆP

THÀNH PHÔ HO CHi MINH - 2024

Chuyên ngành: Đại sô

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS PHAM THI THU THUY THANH PHO HO CHi MINH - 2024

Lời nói đầu

Đổi toán mô tả nhóm sinh bởi một tập hợp cho trước đã có một lịch sử lâu đồi

và có nhiều mối liên hồ thú vị với các lĩnh vực khác nhau của Toán bọc Mặc dù

có rất nhiều kết quả quan trọng trong hướng nghiền cứu này nhưng cho đến nay sinh bởi tập hợp các ma trân Trong đó, người ta quan tâm nhiều tổi các ma lình, giao hoán tử của các ma trân,

“Ta kí hiệu GI„ (E) là nhóm các ma trân vuông khả nghịch cấp ø trên trường

F va SL, (F) là nhóm các ma trân vuông cấp n trên trường F, có định thức bằng 1 Trong bài báo [I], Thompson chỉ ra rằng mọi ma tran trong La (F) nhiều hơn ba phần tử, Voi res là hạng của ma trận 4— 7, 4 € GL„ (F), Hahn giao hoán tử của nhóm trực giao Oy (V) trén trường F có đặc số khác 2) có thể phân tích thành tích của nhiều nhất |"SSẼ 1 giao hoán tử của các ma tran đối xứng Trong bài báo [3], Zheng vit You chứng mình được nến trường # có đặc số khác 2 và có nhiều hon 9 phan tử thì mọi ma tran trong nhóm symplectic

Spo, (V) 66 thé phan tích thành tích của nhiều nhất (| +3 giao hoán tử:

của các ma trận sympleetic chuyển vị

Ma trận đối hợp cũng là một đối tượng xuất hiện nhiễu trong các nghiên cứu

về bài toán này Một ma trận vuông A được gọi là ma trân đối hợp nếu A2 hoán Lử của hai ma trận đối hợp nếu tôn tại hai ma trận đối hop X.Y théa mãn A=AYA-

Khóa luận này tập trung vào bài toán phân tích các ana trận trong các nhóm:

an trân quen thuộc thành tích các giao hoán tử của các xua trăn đối hợp, dồng bai báo [1], tác giả GustafSon và cộng sự đã chỉ ra mọi ma trân vuông trên trường

F có định thức bằng 1 hoặc —1

ồu có thể phân tích thành kích của nhiều nhất

báo (S], tác giả Baodong Zheng đã chỉ ra một kết quả quan trọng liên quan đến Đài toán phân tích ma trân nh sau:

Định lí 8: [8] Cho n đà một số tự nhiền tà E là trường số hực hoặc là trường số phúc Khi đó mọi ma trận A € SL„ (F) đều là ích của hai giao hoán

tử của các ma trận đốt hợp Hơn näa, hai là số nhỏ nhất thỏa tônh chất như vay,

“Trong khóa luận này, chúng tối tập trung trình bày và chứng minh xnột cách chỉ tiết các bổ đề, định lí, kết quả của Zheng trong bài báo [3] Hơn nữa chúng tới nhận ra kết quả chính của Zheng cũng đúng trong trường hợp # là một trường đồng đại số bất kì có đặc số khác 2, hoặc # là trường số hữu tỉ Do đó

Định lí: Cho n là mật số tự nhiên tà E là mật trường đóng dại số có đặc số khác hai hoặc F € {Q,R} Khi đồ mọi ma trận A € SL, (F) đều là tích căn hai tink chat nay

xì bổ đề Đồng thời chúng tối cũng dhưa ra các cách chứng mình mối cho nh định l trong bài báo [S] Đặc biệt, dối với kết quả chính trong khóa luân này

‘ing nh bài báo của Zheng, chúng tôi đã đưa ra được một cách chứng minh ngắn gọn hơn nhiều so với cách chứng minh của tác giả

“Töi xin gửi lời biết ơn chân thành nhất đến Tiến sĩ Pham Thị Thu Thủy và anh Lê Quang Trường, những người đã tận tâm hướng dẫn tôi trong quá trình đặc biệt đến tất cả các giáo viên trong khoa Toán và dặc biệt là các thầy cô thức và kỹ năng cần thiết để hoàn thành khóa luận này Mặc dù tôi đã đành rất nhiều tâm huyết vào trong khóa luận này nhưng vẫn khó tránh khỏi những sai của tôi hoàn thiên hơn Tôi xin chan thành cảm ơn

Sinh viên thực hiện

Va Minh Tam

"Vành các đa thức có hệ số trong F Giá tị lớn nhất

Giá trị lớn nhất của đãy các số thực œ

Định thức của ma trận 4

Đà thức đặc trưng của ma trận A Hạng cũa ma trận 41

Số chiều cña khong gian vector V

Ma trận đơn vj efp 1, ma tran đơn vị với cấp hương ting

Ma trận A với các phần tử øy

Ma trận nghịch đảo của ma trân 4

Ma trận chuyển vị của ma trận A

‘Ma tran của ánh xa tuyến tính ƒ trong cơ sở U'

Ma tran chuyển cơ sở từ cơ sở Ù sang cơ sở 1”

Ma tran đường chéo với các phần tit tren đường chéo chính lần lượt là ø¡, đa e„ Giao hoán tử của hai ma trận 4, B

“Tổng trực tiếp của hai ma trận A,

“Tổng trực tiếp của các ma trân Ái, Áa 4,

“Tổng tre tiếp của các ma trân dụ, với 1< ¡ <w

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

“Trong chương này, chúng tôi trình bày một cách có hệ thống các kết quả cơ sở liên quan dén bai toán phân tích ma trận thành tích của các giao hoán tử của các mua trận đối hợp

1.1 Kiến thức cơ bản về trường

Định nghĩa 1.1.1 Cho P là một tập hợp khác rông, hai phép toán cộng và

¬

là một nhóm Abel, \{0} cùng với phép nhân là một nhóm Abel va vol moi a,b,e€ F,

(846) = (49) + (6e)

Để tránh nhằm lẫn, ta gọi phần tử trung hòa của phép cong trên trường #

là phần tử không, kí hiệu 0, phần tử trung hòa của phép nhân trên trường F là công được gọi là phần tứ đối của a, kí hiệu —a, phần tử đối xứng của ø theo phép nhân được gọi là phần tử nghịch đảo của a, kí hiệu ø Ì Định lí 1.1.2 Moi trường P đều là một miền nguyên, nghĩa là P không có ước của 0

Định lí 1.1.8 Một brường E chỉ có đúng bai iđêan là 0 và F Định nghĩa 1.1.4 Vành con 4 của trường Ƒ được gọi là trường eon của P nến là một trường,

Định lí 1.1.5 Cho K là một trường va F la mot tap con có nhiều hơn một 4,b€ Fed ab- € F wdi moi abe F\ {0}

Định nghĩa 1.1.6 Cho F là một trường Số k được gọi là đặc số của trường

F néu k la s6 nguyen dương nhỏ nhất thỏa mãn kl = 0, kí hiệu charF = & Đặc Diet, néu không tôn tại số k như trên thì ta nói trường ƒ' có đặc trưng 0, kí hiệu charF = 0

Vi dy 1.1.7 Dé thay charQ = chart = charC =0 Voi p là một số nguyên tổ, charZ = p

Định lí 1.1.8 Cho F li mot trường, Khí đồ chatE = 0 hose charF te mot s6 nghjên tố

Chứng mình Giả sửt chayP z0 Tà chứng mình n = charƑ là một số nguyên tổ Giả sử phần chứng n khong là ó nguyên tố, Khi d6 n= uv voi ae <n Tacs

Ching mink Giả sử tồn tại E = (m,aa, eạ] là một trường đồng đại số có hữu Xét da thức bậc » trên Ƒ

7@)=]]Œ~4)+1~~a)£S=á) 2m) +1

Sas) = (a; ~ a) (as ~ a9) (0 = a4) (a) ay) + 1= L0, Suy ra đa thức f(2), bậc w #0, võ nghiệm trên F (miu thudn) Vậy trường đồng dại số là một trường võ hạn

DE thấy điều ngược lại khong đúng Ví dụ trường số thực có võ hạn phần

tử nhưng đa thức z2 1 võ nghiệm trên B nên trường số thực không phát là một trường đồng đại số

Nhận xét 1.2.2 Dựa vào định nghĩa trên, dễ thấy đa thức đạc trưng của ma trận vuông cấp „ là một đa thức bậc ø

Định nghĩa 1.3.8 Cho một ma trân 4 € M, (F) với n là một số tự nhiên, #

Ta mot trường và A là một giá trị riêng của 4 Khi đó hệ phương bình ø ấn

Định nghĩa 1.2.4 Cho F là một trường, ụ là một số tự nhiên và A, B la hai ma thì A, 8 là hai ma trân đồng đạng với nhau, kí hiệu 4L~ Ö Nhận xết 1.2.5 Dễ thấy quan hệ đồng dạng được định nghĩa như trên là mot quan hộ tướng đương Hơn nữa, nến hai ma trận 4 và Ð đồng dang ( det (A) = det (B), rank (A) = rank (B), Pa(Q) = Pg(A) và các giá trị riêng của hai ma trận này là như nhau

Định nghĩa 1.2.6 Cho F là một trường, ø là một số tự nhiền và 4 Ja mot ma trận P € GI„ (#) sao cho ?—LAP là sna trận đường chéo Tương tự, ma trận A PUP là ma trận tam giác

“Trong một số bà

tam giác đơn giản hơn nhiều so với nghiên cứu trên ma trận vuông tổng quát

Vi du ta xét bài toán có hay không một ma trận X € M (R) thỏa mãn toán, việc nghiên cứu trên ma trận đường chéo và ma trận

011

và bài toán có hay khong mot ma trận X € Mạ (8) thỏa man

Rõ rằng bài toán thứ bai đơn giản hơn nhiều so với bài toán thứ nhất, Do đó

ta có thé thấy được việc nghiên itu tren các ma trân đường chéo và ma trân tran giác để đàng hơn nhiều so với việc nghiền cứu trên ma trận vuông bắt Mì Tuy nhiên, nến các ma trận vuông là các ma trận chéo hóa được hay các ma vuông tổng quát sang nghiên cứu trên các ma trận đường chéo hoặc ma trân đồng dạng,

Định lí 1.3.7 Cho Ƒ là một trường, là mộ số tự nhiề và A là một ma tran

™ các giá trị riêng của sua trận A tà Và là các không gian con riêng tứng tới giá trị riêng À của ma trận A

“Thông qua định lí trên ta thấy được dầ cho chéo hóa ma trận là công cụ rất him ich trong nhiên cứu ma trân nhưng không phải ma trận nào cũng là ma trận chéo hóa được Ngoài ma trận dường chéo, người ta còn nghiên cứ bai loán về ma trận thông qua các ma trận lam giác Người ta đã chứng ninh được mọi xua trân trên trường số phức đều là ma trận tam gi

Mí sau đây của chúng tới là một mở rộng của kết quả này trên trường đóng đại

hưng mình Ta chứng mình mệnh đề trên bằng phương pháp quy nạp toán trên nên mệnh đề tiên đồng với n = 1

Giả sử mệnh đề trên đúng với số tư nhiên n, nghia [A moi ma tran trong

M, (F) déu đồng dang với một ma trận tam giác trên trong M„(F) Tà chứng mình mệnh đề tiến đồng với ø + Ì

Tẩy tùy ý 4 € Mes (F) Theo Nhan xét 1.2.2, P(A) = đet (A — AI) là đa thức bac n+1 theo biển A trên trường đóng đại số nên tồn tai Ay la nghiém của đa thức Pa (AJ Khi đó tồn tại ư € Ƒ'!! là nghiệm của phương trình (A ~ Aol) x= 0, hay Au = ou DoF" hia han chiều nên tồn tại bộ {nị,tạ 0ạ} C #"*T sao cho {ae sa 0u} là một cơ sở của /21,

Dat S= [um oy | © Mus (F) Khi ds

Ase [ae ans ay) = [aor an os as] S[ XS May os SU]

Aul=AsS 1⁄8 = [ Ag8 har ASH > ABS ] Suy ra các phan tử của AaS~Lu chính là các phin tử ở cột dầu tiên của Au,

= 808461, với B = | ÂM" | cương đó w € Eh, 0B

AE Gly (F) được gọi là ma tận đối hợp nêu

của nhóm Ga, (7)

Nhận xét 1.8.3 Dễ thấy 4 € GL„(F) là ma trận đối hợp khi và chỉ khi

`, Hơn nữa, ma trận đơn vị ƒ và ma trận —7 là các ma trận đối hợp

na trận trong GL, (F) Khi đó giao hoán fử của hai ma trin XY Ta

[XY]=XYX tt

Nhận xét 1.8.4 Một ma trận 4 là một giao hoán tử của hai ma trận đối hợp, khi và chỉ khi 4 là bình phương của tích hai ma tran

hứng mình Cho X,Y ]à hai mà trận đối hợp Khi đó

[X.Y]=XYX-!Y-!= XYXY =(XY#

6 Nhận xết 1.3.5 Cho k là một số tự nhiên Nếu một ma trận 4 là tích của k giao hoán tử của các ma trận đối hợp thi A cũng là tích của &-+ 1 giao hoán Lử của các ma trận đối hợp,

Định nghĩa 1.8.6 Cho mụn là hai số tự nhiền, Z là một trường, X = (xụ) là trực liếp của hai xua trận X,Y là mã trân A = (nj) trong Mua, (F) thỏa mãn

ụ tên 1< j <m

a=) tụ tu m<bj <m‡n,

trong các trường hợp còn lại Định lí 1.8.7 Cho mụn là hai số tự nhiên, P là một trườ trân trong Miu (P), Y,T là hai ma tran trong Mạ (P) Khi đó

Kí hiệu A

9 X,Z la hai ma Y)+(Z@T) =(X+Z)0(¥ +7) k.(X @Y) = (kX) @ (AY)

det (X @¥) = dot (X) det (1)

Hơn nữa, nếu X € GUạ (F) tà ¥ € GL, (F) thi (XY) ' = (X) a (¥)

tư với tổng trực tiếp của hai ma trận Do đó tổng trực tiếp của hữu hạn các ma trận có các tinh chất hoàn toàn tướng tự với tổng trực tiếp của hai ma trận Cho m là một số tự nhiên Tổng trực tiếp của các mưa trận Ai, với 1 € í < m, được kí hiệu là

Chương 2

Phân tích ma trận thành tích của các giao hoán tử của các ma trận đối hợp

‘Trong chương này, chúng tôi đưa ra các chứng xinh chỉ tiết cho các bổ đề, định 1í được trình bày trong bài báo [5] của Zheng Đặc biệt, chúng tôi phát biểu định ninh ngấn gọn hơn nhiều sơ với chứng minh của Zheng

2.1 Một số bổ đề quan trọng

Bổ đề 3.1.1 Cho n là một số tự nhiên, F là mật trường va A,B la hai ma tran tran doi hop khi tà chỉ khi I? cũng là một giao hoán tử của hai ma trân đối hop Chứng mình Giả sử A Ta mot giao hoán tử của bai ma trận đối hợp Khi đó, theo Nhận xét 1.3.1, tồn tại hai ma trận đối hợp ® và T sao cho A= ( khác, 4 đồi

Ta có

ST), Mat dạng với B nôn tén tai ma tran P € GLy (F) théa min 2 = PAP™!

(psp)

(pre)?

psp-ipsp-! = psp! = pp

PIP“ PEP = PITP = PP =1

ly ra PSP và PTP-' là các ma trận đối hợp Khi đó

B= PAP-L= PSTSTP-!

= (PsP) (PrP) (PSP) (PrP) ((esp-!) (pre-))"

[(esP>).(prP-)]

Nhit vay B cing la mot giao hoán tử của ha ma tran déi hợp Chiều ngược lại

Dựa vào Định IF 1.2.8 va Bé dB 2.1.1, vige nghiên cứu phân tích ma trân thành tích của các giao hoán tử cña các ma trận đối hợp rở nên nhọ nhàng hơn tập trăng nghiên cứu trên các ma trận đặc biệt (tha trận tam giác ) thay vì nghiên cứu trôn các ma trận tổng quát

Bồ đề 2.1.2 Cho mụn là hai số tự nhiền, F là một trường tà A € Gia (F), Gln (F) nà B là một giao hoán tử của hai mua trấn đất hợp trong G1 (F) thì AG:B cũng là một giao hoán tử củn hai ma trận đối hạp trong GL„„.„ (F)

Chứng mình Giả sử A Ia mot giao hoán từ của các xa trân đối hợp trong

Lạ, (F) xà B là một giao hoán tử của các ma trận đối hợp trong GL„ (F) Khi đó, theo Nhận xét L.3.1, tồn tai các ma trần đối hop X,Y € GL„ (F) và 2,7 € Gly (F) théa min A= (XY)? va B= (ZT) Sy ra

Hệ quả 2.1.8 Cho m là một số tự nhiên, E là một trường uà A; là me trận

trong Gly, (F), với 1 < š < mu Khi đồ nến mọi ma trận 4; đều là giao hoán tử các ma trận đối hạp trong GL„, (F)

Bồ đề 2.1.4 Cho m,n là hai số tự nhiên, E là một trường tà A € GLạ„,(P) BEGLy(F) Khi đó nến A là tích của k giao hoán tử của các ma trần đối hop

GL (F) thi Aw B la ích của h giao hoán tử của các ma trận đối hợp trong

GU/u¿y (F), mới h— max {E,1}

Chứng mình Giả sử A là tích của k giao hoán tử của các ma trăn đối hợp trong 1u, (E) và Ø là tích của I gino hoán tử của các ma trận đối hợp trong GI„ (#)

Xi € GUạ (F) và Yị, à, 3ị = Ga (F) hợp thỏa mẫn A = ÄỊX; Ấy và Đ =

Khi đó tần tại các ma trận Xị, X;

là các giao hoán tử của các ma trận d