Biểu thức giải tích cho năng lượng exciton trạng thái 1s trong Đơn lớp tmdcs

Thể này được khảo sát à phụ thuộc vào các thông số cầu trúc của đơn lớp TMDCs: tham số độ dài chắn liên quan đến độ phân cực từ [21].bẳng số điện môi của môi trường và khổi lượng hi dụ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

‘TRUONG DAI HQC SU’ PHAM THANH PHO HO CHi MINH

KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Thành phổ Hô Chí Minh, tháng 04 năm 2024

IỌC SƯ PHẠM THÀNH PHÓ HÒ CHÍ MINH

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Ngọc Huy

Thành phố Hà Chí Minh, tháng 04 năm 2024

“rước hết, tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo nhà trường, Ban chủ nhiệm Khoa Vật lý

đã tạo điều kiện thuận lợi, mở ra sân khoa học cho các bạn sinh viên năm cuối có cơ hội nghiệm, rèn luyện kĩ năng, tư đuy khoa học; tạo nén tang vững chắc cho sinh viên sau khi ra trường cũng như việc học ở những bậc cao hơn,

Ngoài ra, quý Thầy/Cô hướng dẫn khoa học cũng tận tình hỖ trợ cho sinh vi

cạnh đó, gia đình và bạn bề còn là chỗ dựa vững chắc, luôn đưa ra những lõi động viên, khuyên khích để giáp sinh viên hoàn thành

được khoá luận

có thể hoàn thành để tài

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến với người hướng dẫn khoa học

PGS.TS Định Thị Hạnh đã hết lòng hướng dẫn, tận tình giúp đỡ tôi trong toàn bộ quá

trình thực hiện khoá luận Cô đã luôn đồng hành cũng tôi, động viên khích lệ tôi vào tiết Những lời khuyên, góp ý từ Cô đã iúp tôi trưởng thành hơn và có định hưởng đúng

trợ tôi những tài liệu tham khảo vô cùng quý báu giúp tôi thực hiện

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, các anh chị, các bạn Lê Thị Kim

gân, Nguyễn Thị Ái Liêm đã đồng hành cũng tôi trong suốt quá tình thực hiện khoá xót Kính mong nhận được sự góp ý từ quý Thầy, Cô và bạn bè

'CHƯƠNG 1 BÀI TOÁN NẴNG LƯỢNG EXCITON TRONG ĐƠN LỚP TMDCs

1.1 Phương tình Schrödinger cho cxciton đơn lớp TMDCs 5 1.2 Phương trình Schrodinger cho cxiton trong hệ tạ độ khối tâm và chuyển động

L3 Phương pháp đại số cho bai ton exciton trong đơn lớp TMDCS 8

(CHUONG 2 LY THUYET NHIEU LOAN RAYLEIGH-SCHRODINGER CHO

(CHUONG 3 BIEU THUC GIAI TICH CHO NANG LUQNG EXCITON TRONG DON LOP TMDCs

3.1 Biểu thức giải ích cho bổ chính bậc không vào năng lượng 21 3.2 Biểu thức giải ích cho bổ chính bậc hai vào năng lượng 24 3.3 Biểu thức giải tích cho bổ chính bậc ba vào năng lượng 3L

DANH MYC BANG BIEU Bảng 1 Giá tị X được tim theo điều kiện OE” 12x=0 cho timg chat

Bảng 2 Năng lượng giải tích gân đúng bậc không của exciton cho trạng thái 1s,

Bang 3 Vũng lượng của sổ hạng đầu tiên tron bổ chính bậc lai

Bang 4 Măng lượng của số hạng thứ hai trong bổ chính bậc hai

Bang 5 Vũng lượng của sổ lạng thử ba trong bổ chính bậc hai

Bảng 6 Năng lượng của số hạng thứ tư trong bồ chính bậc hai

Bảng 7 Vũng lượng của sổ hạng thử năm trong Bổ chính bộc hai Bảng 8 Năng lượng của số hạng thứ sáu trong bd chink bc ha Bang 9 Văng lượng của sổ hạng thứ bảy trong bổ chính bậc lai Bảng 10 Năng lượng giải ích của exchon tính tới bổ chính bậc hai Bang 11 Năng lượng của số họng đẫu tiên trong bổ chính bộc ba Bảng I2 Năng lượng của số hạng thứ lai trong bổ chính bậc ba

Bảng 13 Năng lượng của số hạng thứ ba trong bổ chính bậc ba

Bang 14 Năng lương của số hong thứ tr trong BỔ chính bậc ba Bảng l5 Năng lượng của số họng thứ năm trong bổ chính bậc ba Bảng l6 Năng lương của số hong thứ sấu trang bổ chính bộc ba Bang 17 Nang lượng giải tích của exeiMon tính tới bổ chính bậc ba

“Trong những năm gần đây, vật liệu hai chiều (two-dimensional materials) dang

được quan tâm, thu hút nhiều nhà khoa học nghiên cứu Người ta thường sử dụng các một loạt các vậ liệu khác nhau đưới dạng tắm hai chiều, bao gồm chất cách điện với những lớp mỏng nguyên tử này có thể ắt khác so với tỉnh thể nguyên Khối tương ứng

lớp mỏng, cấu trúc điện tử trải qua những thay đổi đáng kể so với tinh thể nguyên khối

Hiệu ứng này phát sinh từ việc hạn chế không gian của clecon và lỗ trống ong mặt

phẳng hai chiều Sự giảm chiều không gian cũng làm tăng tương tác giữa electron va

electron, cũng như giữa electron và các dao động của lưới tỉnh thể, tạo ra những hiện

tượng tăng cường tương tác Coulomb và tạo ra các cặp elecon - lỗ trồng (exeiton) bị r và thuộc tính mới Như vậy, hi một vã liệu chuyển tử dạng khối sang 2D sẽ làm if buộc với nhau Hơn nữa, các vật liệu thấp chiều khác biệt so với phiên bản khối của

Exciton là trạng thái ràng buộc của một lecron rnang điện ích âm và mộtlỗ trồng

‘mang điện tích đương thông qua tương tác Coulomb, tương tự như nguyên tử hydrogen L4] Nó là một chuẩn hạt (quasi-partile) tồn tại chủ yếu trong bán dẫn, cũng như một

số chất cách điện và chất lỏng, được phát sinh từ quá trình kích thích bằng ánh sáng

Exciton là cơ chế chính cho phát xạ ánh sáng và tái hợp nhờ vào sự dao động mạnh mẽ 'của chúng và tương tác của ánh sáng với vật chất [5] Nêu photon tới mang năng lượng lớn hơn năng lượng vàng cắm E,, các trạng thấi năng lượng cao sẽ hắp thụ photon để

ạ0ra một "e ston nóng và tạo ra một phần năng lượng dư AE,„ =hv~E, Tong bin

dẫn, răng lượng dư này được chuyển đỗi thành động năng, và nễu AE,, > E, cổ thể được sử dụng để tạo ra một hoặc nhiều cặp clectron lỗ trồng bổ sune [l3]

der Waals với công thức hóa học MX:, trong đó M là kim loại chuyển tiếp (Mo, W) va

X là nguyên tổ chaleogen (S, Se, Te) [6] Các lớp mỏng của các hợp chất TMDCs như MoS:, MoSc›, WS2 vi WSc; là những vật liệu đầy hứa hẹn trong các ứng dụng quang, điện tử và thao tác lượng tử (quantum maniplation) [7] IS] Các tính chất quang điện mỏng TMDCs (MLs) 4

là 1.8 eV và nằm trực tiếp trong không gian K [ð], [10] với khả năng hắp thụ ánh sáng

á trình chuyển đổi giữa các đãi thấp nhất có năng lượng thường mạnh (khoảng 109) [11] Đơn lớp TMDCs là đơn lớp bán dẫn với khoảng cách vùng sắm hẹp, vào cỡ ánh sáng khả kiến 9] [10] Do hiệu ứng màn chắn không đáng kể và

bật đã được chứng mình trong các chẳm lượng tử (quantum do) và các Ống nanocarbon'

cứu cơ bản vẻ các hiện tượng quang học lượng tử và cả các ứng dụng quang tử học hay

quang điện từ (photonie/optoeleconie) trong thồi gian gằn đầy: những hiệu ứng

a vật liệu, được mô tả hiệu quả hơn với

Keldysh [15] Thể tương tác này đã được áp dụng cho các hệ thống hai chiều như các

lớp đơn TMDCs với độ dày khoảng 6 A [16}, [17], [18], [19], [20] Thể này được khảo sát à phụ thuộc vào các thông số cầu trúc của đơn lớp TMDCs: tham số độ dài chắn liên quan đến độ phân cực từ [21].bẳng số điện môi của môi trường và khổi lượng hi

dụng rất gọn của cxcioa Mặc dù thể tương tác tổng quất hơn cho màng mỏng đã được đứa m ở công trình [22], (23: nhưng thể Keldyah vẫn được sử dụng phổ biế

lượng exciton trong đơn lớp TMDCs được nghiên cứu rộng rãi và rất tích cực cả lý

lượng exciton trong don lép TMDCs với thế tương tác Keldysh cũng dang là một bài

lột trong những ứng dụng tiềm năng của biểu thức

toán đang cần được sự nghiên cứu À

giải tích là trích xuất thông tin vật liệu TMDCs Trong công trình [26], tác giả sử dụng phép biến đỗi gần đúng của thể tương tác Keldysh thy vì sử đụng dạng nguyên bản, vì

thế, biểu thức giải tích thu được cho kết quả có độ chính xác tương đối, chưa thật sự được cũng chưa thật sự cao Thật vậy, biểu thức giải tích mang nhiễu ý nghĩa, giúp thụ

loại đơn lớp TMDCs khi biết được các thông số liên quan (độ dài chắn của đơn lớp

'TMDCv, khối lượng hiệu dụng eta exciton), thay vì giải số phải sử dụng thông qua các

phần mềm lập trình để tính toán cho từng c

XVới những lí do trên, tối xin đề xuất để ài khoá luận: “Biểu đhức giải ích cho

"năng lrgng exciton trạng thái 1s trong đơn lấp TMDCS”

Khoá luận hướng đến việc xây dựng biểu thức giải tích cho năng lượng exciton

trang thai cơ bản trong đơn lớp TMDCs ĐẺ ti sử dụng phương pháp toán từ FK và lý

thuyết nhiễu loạn có điều tiét (Modulated Perturbation Method ~ MPM) cho exciton

trong đơn lớp TMDCs để tìm ra biểu thúc giải tích Đ tải gồm các nội dung như sau:

~ Xây dựng phương trình Schrödinger cho chuyển động khối tâm và chuyển động tương đổi của clectron-lổ trống trong đơn lớp TMDCS

~ Tìm hiểu phương pháp toán từ EK và lý thuyết nhiễu loạn có điều tiết, xây dựng bigu thức tính bổ chỉnh năng lượng và hàm sống

3

trong đơn lớp TMDCs

h thực hiện khóa luận là

Phương pháp nghiên cứu được sử dụng trong quá

~ Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: ìm hiễu lý thuyết về TMDCS, cxciton trong đơn lớp TMDCs, thế tương tác Keldysh lý thuyết nhiễ loạn có điều tiết, phương pháp,

- Phương pháp ính: kết hop sr dang phn mém Mathematica để đưa ra biễu thức giải ích cho năng lượng exeton

Ngoài phần mỡ đầu và kết luận, cấu trúc của luận văn gồm cổ ba chương

“Chương 1: Bài toán năng lượng exeiton trong đơn lớp TMDCs

Chương 2: Lý thuyết nhiễu loạn Rayleigh- Sehrödinger cho bài toán năng

lượng exciton trong đơn lớp TMDCs

Chương 3: Biểu thức giải tích cho năng lượng exeiton trong đơn lớp TMDCs

TMDCs

1.1 Phương trình Sehrödinger cho exciton don lép TMDCs

Như đã đi

kết với một lỗ rồng tích điện đương Phương trình Schrödinger cho eveitn trong dom

lớp TMDCs hai chiều được viết dưới dạng:

fp, exciton là một chuẳn hạt bao gồm một elecron tích điện âm lí

O day, V,_ là thé Keldysh [15] m6 tả tương tác giữa electron và lỗ trống Thế tương

tác này được biểu diễn thông qua các hàm toán học như sau:

ae eln (et -x(2) he =—Z—| Banl "ad “Ue Hy — |-% | —] as )

với rụ là độ đài chắn liên quan đến độ phân cực của đơn lớp TMDCs, & là hẳng số điện

môi trung binh: H,, ¥, là các hàm Struve và Bessel (Neumann) bậc không Ngoài ra

cồn có các đại lượng ), B, m,', m,” lần lượt là toán tử động lượng và khối lượng hiệu dụng của elecuon và lỗ trồng Giá tơị khối lượng này sẽ thay dồi tuỷ thuộc vào loại

chất bán dẫn được sử dụng; ví dụ, ở công trình [29] đã đưa ra số liệu các kỉ

4im,, mộ =05Ảm,, WSe: có mộ

hiệu dụng như sau: MoS; có m,

‘m, =9.1x10" kg 1a khdi lugng cua electron), v.v Hamiltonian (1.2) chưa xét đến các

ác động bên ngoài như hiệu ứng nhiệt độ, thể vector của từ trường ngoài cũng

y như là hiệu ứng spin của exciton

động tương đối của electron và lỗ trồng lton trong hệ toạ độ khi

Để đơn giản bài oín, ta tích chuyển động của clecuon và lỗ rồng thành hai tâm huyền động tương chuyén dng thành phần, bao gồm chuyển động của khi

đối giữa chúng Đây là một cách giải khá quen thuộc và được trình bày phỏ biến trong

nhiễu giáo trình Cơ học lượng tử, với hai veclor đặc trưng cho hai chuyển động trên cược xắc định như sau

d4)

trong đó, Ẩ đặc trưng cho chuyển động khỗi tâm của clecon cho chuyển động tương đối giữa chúng và 7, ñ là vector toạ độ của clectron, lỗ trồng và lỗ hồng, 7 đặc trưng

trong hệ toạ độ Descartes

Bằng các phép biến đổi cơ bản, ta dễ dãng thu được:

as) a6

an trong công thức trên: Ê, j Kin hugt la todn tử động lượng của khối tâm exciton va dong, lượng chuyển động tương đổi của hệ elecon - lỗ trồng Ở đây có xuất hiện của đại

lượng ÂM mạ` + m,` là khối lượng hiệu dụng khối tâm và #r= mm im,” +m," Ta Khoi lượng nút gọn của hệ eleetron - lỗ trống Đề tài quan tâm đến năng lượng liên kết

exciton, tức quan tâm đến chuyển động khối tâm của hệ elcctron — lỗ trống, nên ở các tính toán phía sau sẽ bỏ qua thành phần Ê° /2Af liên quan đến chuyển động khối tâm

Như vậy, phương trình Sebrödinger cho exeiton trong đơn lớp TMDCS được viết lại

ở đây, đj =4ø,l” (,ue` sọ là bán kính Bohr hiệu dụng tuỷ thuộc vào tồng loại chất

va don vj Hartree 2R,’ =A? /yua,? v6i R,” duge goi Ia hing sé Rydberg ning lượng

hiệu đụng ứng với tùng chất, ta viết phương trình như sau:

Sử dụng phép bin đổi Levi.Civia để đưa bài toán về dạng đao động từ phi diều

‘hoa trong không gian (w, v) Đây là một phép biến đôi chính tắc bằng cách đặt:

hương pháp đại số cho bài toán cxeiton trong đơn lớp TMDCs Phương trình (1.13) là phương trình Schrédinger cho dao động tử phi điều hoà hai chiêu, phương pháp đại số giải phương trình này đã được tình bày ở công tình [30]

“Theo bài báo của ác giả, ta định nghĩa các oán tứ sinh ~ huỷ như sau:

6 ple -ip }2=s|a+2)

Khi định nghĩa các toán tử, ta thấy có sự xuất hiện của tham số tự do «2 Đây lả một

tham số thực dương, được đưa vào nhằm mục đích đẩy nhanh tốc độ hội tụ của bài toán

mà không làm ảnh hưởng đến kết quả Bằng các phép tính cơ bán, ta đễ dàng thú được:

“Ta biểu diễn lại các số hạng trong phương trình (1.13), thông qua các toán tử sinh

uỷ như sau:

Ta xây dựng bộ hàm sóng được biểu diễn thông qua các toán tử sinh, huỷ nhằm thuận tiện hơn trong việc tính to bộ hàm sóng này đã được thể hiện trong bài báo [31] và được xác định như sau:

Các bước xây dụng bộ hảm cơ sở này đã được tình bày chi tit rong sách chuyên khảo

130], bộ hàm của đao động tử phi điều hoả nay được đặc trưng bởi hai chỉ số lượng tử

£122 và 0k2,

“Tiếp theo, ta cần tính toán yếu tố ma trận cho các toán tử Ÿ, Ÿ, Ứ, Các cặp toán

tử sinh — huỷ tác đụng lên keL-vector |k,m) được định nghĩa ở phương trình (1.21) như tác dụng lên hầm sóng của dao động tử điều hoà Trước hết ta có:

(a6 +8°8)|nm) = 2n|nm

6° |nam) = fre |

46 um) =i? =m |n Lam)

Dựa vào đó các yêu tổ ma trận cho các toán tử trung gian dễ đàng được xác định:

Kí hiệu ở, là dea-Kronecker, được định nghĩa (jun|k,n) = ổ,.Ở đây có thêm

sự xuất hiện của các toán tử rùng gian

Thông quads, cic yéut6 matrinchotoin tr P= M1" 81-8, R=M + + Ñ,

được tính toán như sau:

toán tử trung gian để thuận tiện cho tiện tính toán Trước tiên, ta có: jm|o|k,m)=(2k-+1)U + YE mW, +0 PU, (1.28) với Ư„, được xác định:

Để xác định yêu ổ ma trận Ứ„, ta cần thêm một toán từ trung gian O=e #4)

Kết hợp với biểu thức rong phương trình (123) (1.24) ta có được kết quả sau:

“Thay vào biểu thức (1-30), ta xúc định được yếu tổ ma trận, kết quả này cũng đã được trình bầy trong công trình của [31]

U,- SEL wey

Ga (on) en) (i)

im pd, (~

CHO BAI TOÁN EXCITON TRONG ĐƠN LỚP TMDCs

Lý thuyết nhiễu loạn là một phương pháp toán học gằn đúng để giải các phương

trình Sehrödinger không thẻ tìm được nghiệm chính xác Trong thực tế, số phương trình

Sehrödinger có thé tim được lời giải chính xác là khả ít, và phần lớn các hệ thực đều

không có lời giải giải tích Lý thuyết này được sẽ dụng khá rộng rãi, phổ biển trong

nhiều tính toán lượng tử; nhiều gio trinh Cơ học lượng tử cũng đã trình bảy chỉ tt về Xhai triển gn cde sé hang nhs (chia cic tham số bổ) có trong Hamilfonian cũa hộ lượng:

tử, các tham số này thường được gọi là thành phần nhiễu loan,

Lý thuyết nhiễu loạn tách Hamiltonian thành hai thành phần như sau

A+,

trong đó: /, là hành phần chính của Hamitonian và có nghiệm chính xá, còn Va

thành phần nhiều loạn; cả hai đều là toán tử Hermite Sau đó ta thêm vào tham số nhiễu

nhỏ hơn toán từ lấy một bộc Tham số này được sử đụng

loạn / để th hiện toán từ

trong việc so sánh cũng như loại bỏ những số hạng "nhiễu loạn” ra khỏi phương trình

“Chúng ta sẽ loại bỏ tham số này bằng cách cho / =1 ở kết quả cuối cùng

Bài toán năng lượng exciton trong đơn lớp TMDCs có một khác biệt về phương, trình Sehrödinger Các bước tính toán tìm các bổ chính năng lượng đã được trình bày một cách tổng quát trong công trình [32] Trong chương này, tôi sẽ trình bảy lại và bổ lớp TMDC

thương trình Schrédinger:

trong 46, Hamiltonian #? =—- Ý + Ý„ là toán tử năng lượng cho bài toán trên 8

‘Ta tach các toán tử /?,Ÿ gồm hai thành phẩn như sau:

@2)

(0 m|È|kum)=vạ, (jon|Â, |kam) =r„

Con với trường hợp / =K, ta xác định được:

“Tiếp theo, ta tính toán các bổ chính bậc không vào năng lượng và hàm sóng thông

“qua phương trình sau:

Nhân khai triển và giữ lại thành phẫn bậc nhất của tham số /2, thú được: (Ñ,—s„Ñ)|Av/))+(Ở =s„Ñy ||nn)—AEĐÑ |nm)=0.— @1n Nhân hai về phương trình cho vector đối ngẫu (mm ta được:

(nan|( Fl, s„„Ñ,)|A/8)+ (6ml (Ÿ =s„,Êu )|nm) =(n m|AE,SR,|nam) =0

Do Hg, k, là các toán tử Hermite nôn

eøl(ñ,~s„&)Jav5)= |av2)(8, ~s„Â,)iem)=0

“Ta thu được biểu thức bổ chính bậc một vào năng lượng:

12 2.13)

thảm cơ sở và tính các hệ số khai triển theo các yếu tổ ma trận để thu được biểu thức:

V nn) = x |i)» Ry fnsan) = Sr Jom) 4) Khi đó, bổ chính bậc một vào hàm sóng:

(Fi en) AVE) +(P ey |) AW) AEE Rn) =0 @18)

"Nhân hai VỀ phương trình cho vector đối ngẫu (n,m, ta được

(u(y eR) 4.2) +n 0 ed, ).Av22) 06

Do bộ hàm cơ sở trực chuẩn, ta có thể phân tích các hàm Ý|/,m} và Ẩ, |j,m) theo bộ

"hảm cơ sở và tính các hệ số khai triển theo các yếu tổ ma trận để thu được các biểu thúc:

¥ vy lam), Ñ, ion) = Š |ksm) 223)

Emly Mee — Enis I )

Đối với gần đúng bậc ba, ta có phương trình:

x(Ñ, + Ø8, )(|n.m)+ Ø|Aw;9) + Ø*|Ay2)) + Ø'|Av2))

iữ lại các thành phần có tham số /”

(Ñ, -s„Ñ)JAy2)+(ý =s„Â,)|Ay2)=AE9lÁ A2)

ex

AER Ry |n.m)— AER, n,m) =0

Nhân hai vé phurong trinh cho vector déi ngdu (n,m), ta được

(en|(ñ, =s„Â,)|Ay3)* enl( Y —2u8, Avie) AE (em|Ã|Av3) 2g

AE? (num|Ñ, |num)= AE) (num|Ñ, |nun) =0

Do Ay, Ñ,là các toán tử Hermite nên:

«(—s„Â,)|/2)=(Avi? (8, ~s„Ê is n)=0 (m8, s.8)|sv2)=(Avel(8,~s„ )m)=8 (em|Ä|ayz)=(avz|äl»)=0 Tat ge ba thúc ỗ chính bộc ba ào năng lượng

(une) "

‘Thay các biểu thức (2.3), (2.4), (2.22) vào, ta được:

Với KAM J PV =I 9y, =lụ,cụy —, la hú được:

AEO - Š Š hat —efy hượi Ca, huy, — hạn, 633

hằm cơ sở và tính các hệ số khai triển theo các yêu tổ ma trận để thu được các biểu thức:

Shatin Milan lool Van

Jun = Baa Fon

Thu#n Matin his Yan a a — Pai lam

TRONG DON LOP TMDCs

Chương này sử dụng kết quả đã tính toán ở chương trước, biểu thức giải ích được

xây dựng dựa trên lý thuyết nhiễu loạn để tìm ra biểu thức tính số, nhờ sự hỗ trợ của

công cụ Mathematica dé xirly các phép toán phức tạp trong các khai triển được sử đụng

Biểu thức giải tích xây đựng áp dụng cho bổn đơn lớp TMDCs sau day; WSe:, WS: MoSe2 vi MoS2, Các thông số liên quan đến các đơn lớp TMDCs sử dụng trong tính chất WSe, WS: và hú chất còn lại được ổy từ công trình [33] Mục tiêu đ tài hướng

đến xây dựng biểu thức giả ích phụ thuộc vào các thông số x là hằng số điện môi

trúng bình và tham số không thứ nguyên ơ =r /xa, thay cho độ dài chấn fy,

Dé tài chỉ đề cập đến năng lượng exeiton trạng thái 1s, các chỉ số lượng tử ở trạng

thi này ứng với „ =0, m =0, khi đồ các yêu tổ ma trận được xác định lại như sau: