Toán tử tích phân kì dị trên không gian morrey với số mũ biến

BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC SU PHAM THANH PHO HO CHi MINH Nguyén Duy Ting TOAN TU TICH PHAN Ki DI TREN KHÔNG GIAN MORREY VỚI SỐ MŨ BIẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC 'Thành phố

BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC SU PHAM THANH PHO HO CHi MINH

Nguyén Duy Ting

TOAN TU TICH PHAN Ki DI TREN KHÔNG GIAN MORREY VỚI

SỐ MŨ BIẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

'Thành phố Hồ Chí Minh - 2022

BO GIAO DUC VA DAO TAO

TRUONG DAI HOC SU PHAM THANH PHO HO CHi MINH

Nguyén Duy Ting

TOAN TU TICH PHAN Ki DI TREN

KHÔNG GIAN MORREY VỚI

LOI CAM DOAN

‘Toi xin cam đoan rằng luận văn thạc sĩ với tôn đề tài “Toán tit tích phân kì dị trên không gian Morrey với số mũ biến” là công trình nghiên cứu do riêng tôi Các kết quả được nêu trong luận văn là trung thực và không sao chép của bất kỳ luận văn nào khác

“Trong quá trình thực hiện luận văn này, tôi đã tham khảo và thừa kế những kết quả trong một số bài báo đã được công hồ bởi các nhà khoa học với sự trân trọng và biết on, Toi xin cam doan mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn đã dược cảm ơn; đồng thời, các thông tin trích dân trong luận văn đều đã được ghỉ rõ nguồn gốc và được phép công bó

Học viên thực hiện

Nguyễn Duy Tùng

bò Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý giảng viên trong khoa Toán - Tìn học, Trường Dại học Sư phạm TP Hỗ Chí Minh Đặc biệt, cho phép tôi gửi lời cảm ơn chân thành dến Giảng viên

‘TS Trin Tri Ding, giảng viên trực tiếp hướng dẫn, giúp dã tôi Tôi

xin cảm ơn thầy, cảm ơn những lời góp ý bổ ích mà thầy dành cho tối,

cảm øn những tài liệu, bài báo cần thiết thầy giúp tôi tìm kiếm trong suốt quá trình nghiên cứu

Hôn tất cả, sự tân tâm và nhiệt huyết của thay dã truyền cảm hứng, tiếp thêm động lực cho tôi hoàn thành luận văn này Mặc dù bản thân

dã rất có gắng tìm tòi tài liên, tuy nhiên, việc thực hiện tham gia lĩnh vite sing tao trong nghiên cứu khoa học, lôi cũng gặp không ít khó khăn, nhưng kết quả nhận dược cũng thật sự tuyệt vời Tôi nhận thấy tầng, toán học xung quanh ta thật thú vị, nó không hắn là quá khó và khô khan với những ai dám yêu thích, đam mô và trải nghiém Toi tin tầng, thành công sẽ luôn ở phía cuối con dường mà ta đã chọn Tời cuối, tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô đã quan tâm và theo

ru

GIAN MORREY VOI SO MU BIBN" cia tôi Trong quá trình nghiên doi luận văn để tài: "TOÁI ICH PHAN KI DI TREN KHONG cứu không thể tránh khỏi những sai sót, hạn chế Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp từ phía các thầy cô Tôi xin kính chúc quý thầy cô súc khỏe và gặt hái được thành công trong sự nghiệp của mình

Hoe viên thực hiện

Nguyễn Duy Tùng

oán từ tích phan ki dị Calderén

oán từ cục đại Hardy-Littlewood

1.19 |Không gian VMO| 8

Bat ding thrice Minkowski

3.1|Không gian LPOA0 (R™]

3.9|Dặc trưng của tập compaet tương đối| .cc++- lỗ Chương 3 Toán tử và hoán tử

\Calderén — Zygmund trén khong gian 1°00) (R”) 20 [Tính bị chăn của toán tử tích phân kì dị và hoán tử

của chúng trên không gian U"C**Ð (") 20

với số mũ biến

Không gian Lehe

số mũ biến

- Xết toán tử T là toán tử tích phân kì dị Calderon - Zygmund

với S"-1 = {2 € R": |x| = 1} 1 mat cau don vị trong R”

- Cho 6 € L},.(R”) va M) là toán tử nhân tương ứng được xác định

bởi A,ƒ = bƒ với ƒ là hàm do được Khi đó hoán tử giữa T va ð được xác định bẩi:

lb,7|:= MụT — TM, = px ƒ SŒ = Vy) » |e yl” ~ b(y))f(y)dy,

“Trong ba thập kỉ gần đây, lý thuyết về tính bị chin và tính compact

của các toán tử tích phân 7 và hoán tử (b, T dã được nghiên cứu sôi

động bởi nhiều nhà toán học trên nhiều không gian hàm khác nhau như là không gian Lebesgue va Lehesgue you, Lorentz, Morrey Trong, luận văn này chúng tôi sẽ xót khong gian Morrey với số mũ biến như sau

- Cho E là tập con do được trong R sao cho |E| > 0,p(-) là hàm do được trên E, có giá trị thuộc nửa khoảng (1; 20)

1

I/llsaogst= sẽP —ammllfXnes 2€Rfr>0 ĐỊT mạn:

trong đó mị là thể tích quả cầu đơn vị trong RY

Luận văn này tập trung tìm hiểu và nghiên cứu tính bị chăn và tính compact của toán tử T và hoán tử |ð,] trên không gian LPO (RY)

0.2 Mục tiêu của đề tài

Mục tiêu của luận văn là bước dầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, đồng thời định hướng một số hướng nghiên cứu về sau thuộc chuyên ngành Toán giải tích

Về mặt khoa học tác giả mong muốn đạt được các mục tiêu san đây Nghiên cứu đặc trưng cho tập cornpaet tương đối trong không gian LPO OR)

~ Nghiên cứu tính bị chăn và tính compact của toán tử 7 và hoán

tử Íb, 7] tren khong gian 2°00 (R”),

0.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của đề tài bao gồm:

~ Không gian L?0A0 (Re)

- Tap compact tong déi trong không gian L°OO (R")

~ Toan tit T va hoan tit (5,7)

Pham vi nghiên cứu của dé tài thuộc lĩnh vực giải tích điều hòa, giải tích thực và giải tích hàm

0.4 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn này, tác giả sẽ đọc hiểu, tổng hợp và trình bày chỉ

tiết một số khái niệm liên quan đến không gian 1?C*^© (R*), toán tử

Calderon - Zygmund và các kết quả nghiên cứu gần đây về tính bì chăn

và tính compaet của toán tử 7 và [b, T] trên không gian /#*^© (IR»),

0.5 Nội dung tổng quan của đề tài Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức về giải tích hàm, giải tích thực 1.2 Một số kiến thức về Không gian Lebesgue với số mũ biến Chương 2: Không gian Morrey với mũ số biến

2.1, Khong gian L°OAG) (RY)

3.2 Đặc trưng của tập compact tương đối

Chương 3: Toán tử và hoán tử Calderón - Zygmund trên không gian 10AU) (Rm)

3.1, Tinh bị chặn của toán tử 7 và hoán tit [6,7] trên không gian LOO (Ry

3.2 Tinh compact cia hon tit [6,7] trén khong gian L040) (R")

Chương 1 Kiến thức chuẩn bi

1.1 Một số kiến thức về giải tích hàm, giải tích thực

1.1.1 Lớp hàm Schwarzt

Định nghĩa 1.1.1 Một hàm số ƒ được gọi là thuộc lớp hàm Sehuarzt S(R") nếu nó khả tí tô hạn lần tà các đạo hàm riêng của nó giảm nhanh ở uô cực; nghĩa là với mọi a, 8 € Ñ*

sup |2"D° f(2)| = pa,s(f) < 20

Nhận sét 1.1.2 Tap hop {pas} Wa ho đếm được các nửa chuẩn trên 8,

ta có thể định nghĩa một topo tren S: Day {oe} hoi tụ về 0 nếu và chỉ

niếu Ya, ở € Ñ",

lim p„;(ó) = 0

tim, Pays(x)

1.1.2 Không gian các hàm suy rộng

Định nghĩa 1.1.3 Không gian các phiém ham tuyến tính bi chan

trên S, ký hiệu S', được gọi là không gian các hàm suy réng

Nhận zét 1.1.4 Một phiếm hàm tuyến tính 7 từ & vào C thuộc &!

Mf được định nghĩa bởi

M/G)= eal, I/f0)|du, vee Re trong đó supremum được lấu theo các khối lập phương Q chứa z

Dinh nghia 1.1.7 Cho b ¢ L},,(R") Khi đó hoán từ của 7

được định nghĩa bỏi

I.T|() := WTf ~ Thƒ, (14)

udi f do dude trén BY

1.1.6 Toán tử cực đại Af#

Cho ƒ € 1}„(R") Khi đó toán tử cực dai M# dutge dink nghĩa bởi wtp) = sun ge f Mt fels gee Jo với

Với p € (1;5), ta định nghĩa lớp 4, là tập hợp các hàm trọng ø

RY 5 [0, 00) théa man

(Gi foo) (q feorts)! <C <0, với moi qua cdu B trong R", trong d6 q là số mũ liên hợp của p 1.1.9 Không gian VMO

Cho ƒ € J}„(R*) Khi đó không gian VMO(") được định m la bởi

VMO(R") = {ren (R") wart, |7~ toler a} (1.6)

trong đó

1

đọ = also

1.1.10 Khong gian Morrey

Dinh nghia 1.1.9 Ta dink nghĩa không gian Morrey L”A(R") bai

LIAR") = {fF © LR"): (Uap)? < co} (17)

Bổ dé 1.1.10 Giả sử rằng (Sì.mị) 0à (S2, ga) là 2 không gian độ

Si x S¿ — 3 là hàm do dược không âm hoặc khả tích

An watt) “Ƒ (/ Fee ni att)) ste

Mệnh đề 1.1.11 ([Ï]) Tâp E là tập tiền compact trong không gian

Đanach Ä khi uà chỉ khi tập E bị chăn hoàn toàn, nghĩa là với mỗi

©>0, lồn lại lập con hữu hạn N, của X sao cho

VĂN,

với B,{u) là quả cầu tâm ụ, bán kính ‹

1.1.18 Dinh Ii Arzelà-Ascoli

Định lý 1.1.12 ([T|) Cho E là tập bị chăn của TR", Tập con E của

€C() là lập compaet tương đối trong C(E) nếu thỏa mãn hai điều kiến sau

1 Tôn tại hằng số M sao cho |u(x)\ < M, tới mọi u € P tà z € E

8 Với mọi c >0, tan tai 5 > 0 sao cho (u(x) — uly)| < «

tối moi ue Frr.y € E va |e — | < ổ

Khi đó, nếu p€ (1.) va w € A,, thì tồn tại hằng số Œ sao cho

I ITs (0)|Pwlx)de < ef J/(e)†Pue(z)áz Rs Rs

1.22 Một số kiến thức về không gian Lebesgue với số mũ biến

1.2.1 Không gian Lebesgue với số mũ biến

Định nghĩa 1.2.1 ([I2]) Cho E là tập con do được trong TÈ" sao

cho |El > 0, p là hàm đo được trên E, có giá trị thuộc khoảng [; se)

Ta định nghĩa không gian Lebesgue uới số mũ biến LYE) la tập hợp các hàm ƒ đo được trên E sao cho pạ(j(ƒ) < s, trong đó

Py iP) = nen <œ (19)

“rên không gian Lebesgue với số mũi biến 7)(E) ta xét chuẩn được định nghĩa bởi

IF llzeoce) = ut {a>a Pot.) (5) < } (1.12)

Đặc biệt, khi E R" la kí hiệu chuẩn của hàm ƒ trên không gian Lebesgue vdi sé mit bién li [fll po

Uys = {ae BR: (f-'(a,00}) = 0},

va essinf f = supt/2* uổi

ups = {be R: pe (f-(-00,b)) = OF

1.2.3 Bất đẳng thức Hölder

Bổ đề 1.2.3 (I) Cho (S.u) là không gian độ do và p,ạ € PI(R")

với 1/p + l/ạ = 1 Khi đồ, với mọi hàm Ƒ, g đo được trên S va

fe LOS), g € LW(S) ta có

Ilfalla < IF lzeo¢sqllgllexocs) (1.13) 1.2.4 Khong gian B(R")

Dinh nghia 1.2.4 ([6]) Ta dinh nghia khong gian B(R") la tap hợp các hàm p(-) € " (R") sao cho toán tử cực dai Hardy-Littlewood

M bi chan trén LPO (RY),

Bồ đề 1.2.5 (||) Cho p(-) € ‘B(R") uà quả cầu B trong R" Khi

đó tôn tại 0 < ð < 1 (chỉ phụ thuộc tào p() tà w) sao cho mới tap

cơn đo được S C B thỏa mãn

ve| "U

Uxsll sagan <e()

lIxøllze) l3

Bồ đề 1.2.6 (||) Cho p(:) € 8 (R") va qua cầu B trong R" Khi

dé tan tai hang sé C > 0 théa man

1 IBiIXEliiroee ÍXellurogey SG

với pl(-) là số mã liên hợp của p(), nghĩa là p{z) = p(z)/(p(s) - 1)

Bổ đề 1.2.7 ([S|(I0) Giả sử p(.) € B(R") Khi đó tần tại hằng số

Csao cho uói mỗi be BAO (R")

Chương 2 Không gian Morrey với

h quả cầu đơn tị tren BR"

Bổ đề 2.1.2 ([[H) Cho 0< A() < n Giá sử 9 là hàm bị chăn

Dinh ly 2.2.1 Cho p(.) € PUR") vi 0 < Mz) <n, vdi moire R”

Gid sit W la tap con trong LP?OAO (IR) théa các điều kien sau:

i (Tinh bi chen déu)

sup [I fllzecvacgny < %: 22)

sp IV lzo^se) (22)

si (Tính liên tục đều)

Jim IFC + 9) — ƒC)|luzoao(g») = 0 đều theo các ƒ€W (2.3)

va

iii (Hội tụ đều tại uô cực)

tim, real zeviav gq = 0 đều theo e

Xét h > 0, ta dịnh nghĩa giá trị trung bình cña f tren B(x, h) béi

1

Myf (2) = onl 1® Jy<B(0á) f{œ+w)dụ - với € R" (2.5) Cho ƒ € LPOAC) (R") va 2 € R"

1

Muf) = /0)= mi | PL" SyeB(0,h) [fứ +) — ƒ(z)|du (2.6)

Ấp dụng bất đẳng thức Hökler và định lý Fubini, với moi t € R” va r>0, tà có

[Mnf = Flinn

Cw llmo,gyayS1z€B(tr) Jục (0n) MM [ ƒ TU +) = ƒŒ)Jdy glo)

1

.¬ Blyog,„y<LdvebtoM) MU" Ízepga)

SƠ sp IƒC +9) = ƒC)luzn, ble

chỉ cần chứng minh A/¿VŸ là tập compact tương

Ti Bé dé ‘a cin chi ra ton tai tap hitu han N, thỏa mãn điều

m

Với mỗi z € R", theo bất đẳng thức Hölder, ta có

IMs < se feet way

Với 0 < c< 1, tin tai N > 0 và a > 0 sao cho

1<c X/4<a*/P <c /2 và với mỗi f € W thi

lỨe.luuoaogs < š

tồn tại {fi đà Ín} C  sao cho {A,fi, Mi f2 Miu} là phủ hữu hạn chita M,W trong Œ(Eg)

Ta cin ching minh {My fi, Myfo, , Mafm} la phi hitw han chita

MW trong LPO (R"),

Do dé, ta cin ching minh wi f € W, ton tại ƒ; (7€ {1,2, m}) sao cho với mọi r > 0,t € R"

Chon fj, € {1,2, m} sao cho

Trường hợp 2: B(t,r) C Ba Khi đó ta có

“tạng (MU = Mu) Xe yoga)

< saan (lots - A) xeon

+S = 45) xtallsocaqeny + UG ~ Mafi)XE,lloqswz))

MU = /luoaoge) + XE, uoao ge) + XE, Ïlzooge) + — Ma lzaAo < +

Trường hợp 3: B(t.r) NB #0, và Blt,r) VE, #0 Vi vay,

GO day hp <e tit tring hap 1 va 2

Do dé M,W Ia tap compact tuang d6i trong L°O20 (IR)

Chương 3 Toán tử và hoán tử Calderón — 2Zygmund trên không gian 1?) (R")

3.1 Tính bị chặn của toán tử tích phân kì dị và hoán tử của chúng trên không gian /”)^U) (E")

Định lý 3

1, Cho 0 < A(#) <n tới mọi z € TRh và Š thỏa mãn

ử 8 là loán tử tuyến tính hoặc dưới luyến lính

thỏa mãn

5/0)1<€ ƒ lô, vdi moi x ¢ supp ƒ Sas b= | (3.1)

Néu p(-) € B(R").A* < nép~ nà toán tử S bị chain tren LP) (IR),

thi S eting bi chan trén LOO (R") Nghia la

Xét fe LPOAO (R"), chon bit ki t € R", va viét

+30)

a

với Íu = Xpuarjft fi

Dau tiên ta dinh gia $fo trên tập B(,r) Do 8 bị chăn trên #0 (R*"),

Tiếp theo ta đánh giá $ (SO, fi) (x) trên tập B(t,r) Tà có

IS/ø)|<€@(2) ” lễ Lfi(0)|dụ, với z B(t,r)

Sr) Mle aryl tllro wert) * Wlleo waz

Sf(x) = kh Me 2D sya, Tra tới x ¢ supp f,

ở đâu Q là hầm do được bị chặn Cho 0 < A(z) <n wéi moi x € RB" 0€ BMO (RP) va p(-) € 'B (R°) Khi đó nếu hoán tử [b, S] bị chăn

trên LPO (R"), thi [b, SỊ cũng bị chặn trên LPC)^C) (R")

Chứng mỉnh Với ( € RR" và r > 0, đặt Ø = Õt,r) tà viết ƒ dưới

'Từ tính bị chặn trên PC (R*) của hốn tử

bạn, “mamÍ, [B26 4r)| Jou ace) Hy)dy

Do dé, voir > 0 vA KEN, thi

la, — | < C/R|D

1sy(z) < C( + 1)|Jl| 607C eels

<€Œ+1) (2) ”|ll‹ Ixeesgluyo fix œsaz

Vì vậy, với k > 0, theo Bổ di

Lfasxpll„o <Œ( + 1) (#Êr) li Ixellyo + lvessgllyg ÍfllzoEà)

< CΠ+ 0), - 279269 (yErt) X9" xo ygs)

SOU + 1) «OI 2- FOTN Vy (ap)MĐ/P)l | ƒ||rzaoygs)