Toán tử calderón zygmund loại theta trên không gian morrey lorentz

Lời cam đoan ‘Toi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp "Toán tử Calderón - Zygmund loại theta trên không gian Morrey - Lorentz" do chính tôi thực hiên dưới sự hỗ trợ của T8.. ME"R" toán tử

Họ và lên : Lê Minh Thức

Mã số sinh viên : “46.01.101.156

“Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2024

Lời cam đoan

‘Toi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp "Toán tử Calderón - Zygmund loại theta trên không gian Morrey - Lorentz" do chính tôi thực hiên dưới sự hỗ trợ của T8 Trần Thí Dũng và không sao chép từ bắt kỳ khóa luận tốt nghiệp nào khác

đủ nguồn, Các tài liệu tham khảo sử dụng trong bài viết đồu là những sách khoa hoe, bai báo khoa học đã được công bồ trên các tạp chí lớn

‘Néu những lời cam đoan trên không chính xác, tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm trước Khoa và Nhà trường

“Thành phố Hỗ Chí Minh, tháng 05 năm 2024 Sinh viên thực hiện

Lê Minh Thức

Lời cảm ơn

Để hoàn thành Khóa luận tốt nghiệp này, tôi đã nhân được nhiều sự hỗ trợ từ

‘Thiy Co, gia đình và ban be

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến TS Trần Thí Dũng, là giảng Viên trực tiếp hướng dẫn tôi thực hiện để tài này Thầy luôn hỗ trợ tôi tân tâm, từ hàng tuần Dông thời, Thay cũng truyền cảm hứng về sự đam mô nghiên cứu Khoa một cách trọn ven nhất Tôi cũng gửi lời cảm ơn đến các Thầy Co trong Hoi đồng

chim khóa luận đã có những g6p ý, bổ sung để khóa luãn của ôi được hoàn chỉnh hơn

cite thi

“Tiếp theo, tối xin gửi lời cảm ơn các Thay Co tổ Giải tích nói riêng, trong Khoa Toán - Tìn học của trường Dại học Sư phạm Thành phó Hồ Chí Minh nói

tối trong bốn chủng, là những người đã truyền đạt rất nhiều kiến thức quý báu đết

¡ luôn kính trong, ngưởng mô các Thầy Cô, bởi day là những hình mẫu lý tưởng về người giảng viên vừa giàu chuyên món, vữa tận tuy với nghề dạy của năm đại học

rình, giúp tôi trưởng thành qua từng học kỳ: Đồn bay giờ, Thủy Có vẫn là nguồn động

ực lớn giúp tôi hoàn thành nhiệm vụ quan trọng nhất thời sinh viên ở trường đại học Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đồn gia đình và bạn bè đã hỗ trợ tôi rất nhiều về tinh thần để tôi ngày càng hoàn thiện bản thân, nỗ lực học tập và nghiên cứu Khoa học trong suốt bồn năm qua

Chúc mọi người luôn hạnh phúc, bình an trong cuộc sống,

“Thành phố Hỗ Chí Minh, tháng (5 năm 2021 Sinh viên thực hiện

Lê Minh Thức

2_ Không gian Lorentz và không giam Money - Loreng]

1.13 _ Không gian BMO (Bownded Mean Oscillation)} [L2 Các toán tửi

3.2 Bất đẳng thức John - Nirenberg

1 Từ tính bị chặn yêu (1.1) đến tính bì chăn mạnh („gi

[Id Phân tich Calderon - Zygmund (Calderón - Zygmund decomposition)

u

Is Í_ Hoan tit Calderon - Zygmund loai 0 trén khong gian Morrey - Lorentz] 19

(8.3 Tính bị chăn của hoán tử Í0,7) trên không gian A/Z"(R°) 2

26

Giới thiệu

0.1 Tóm tắt khóa luận

"Nội dung chính của khóa luận là tìm hiểu về khong gian Morrey'- Lorentz ME"(R") toán tử Calderón - ⁄yzmund loại Ø (toán tử 7) và hoán tử tương ứng (hoán tử (9,71) sau đó xây dựng các bắt đẳng thúc cản thiết để chứng minh toán tử 7 và hoán tử l0.7| bì chăn trên không gian AfÊ"(R°) với các giả thiết phù hợp

Cu thể, ta sẽ chứng mình với p € (1s); r € [1,0); ham 6 là hàm không âm, không giảm trên (0,00) va Í_ 6(0)”-ldt < oe; ham g(t) théa các điều kien ở (L3) thì toán tử 7` bị chăn từ AP"(R®) vào A/P”(EE"), cụ thể là bất đẳng thức

IfUNlu¿r Š lfluz"

Nếu có giả thiết mạnh hơn cho Ø là [ At} Md log t] < oe thì với b € BAIO(R") cho trước, hoán tử ,T] cũng bị chấn trên AVỆ”(R*), cụ thể là bất đẳng thức IB.71/0luạ* S IIBnarolLflluạr, Vƒ € M2*(R?).

0.2 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết về toán tit Calderon - Zygmund đóng vai trò trung tâm của giải tích điều hòa Nghiên cứu về toán tit Calderén ~ Zygmund tren các không gian hàm có nhiều ứng dụng trong phương trình đạo hàm riêng

Xe khong gian RY với độ do Lebesgue / Cho hàm ở Không âm, Không giảm trên (0,s) thỏa Í W9) 4 < se (*) Một toán tử tuyến tính ? đi từ SE”) vào sau đây:

(i) 7 bi cham trên V2(R°), nghĩa là

2021, |) đã chứng mình được tính bị chặn của toán tử Calderón - Zygmund trên

không gian Lorentz có trọng Trên cơ sở đó, Minh và công sự (2022, J], [TD) đã chứng

à hoán tử [I,f] tương ứng trên không,

mình được tính bị chăn của toán tử ? loại # vị

gian Lorentz có trong, Vốn là không gian tổng quát hơn không gian Lorentz, không gian Morrey - Lorentz efing là một ài nghiên cứu thú vị Một câu hỏi đặt ra là toán tử T và hoán tit (6,7) 66 bi chăn trên không gian Mortey - Lorentz khô

có những giả thiết thích hợp?

Với câu hỏi trên, tôi quyết định nghiên cứu tính bị chăn của toán tử và hoán tit Calderon ~ Zygmund loại Ø trên không gian Morrey — Lotentz cho khóa luận tốt Calderon - Zggmund loại Ø trên không gian Mortey và không gian Lorentz

Khóa luân tốt "op Chuyên ngành: Ớ; i ich Le Minh Thức 0.3 Cấu trúc khóa luận

Nội dung của khóa luận tốt nghiệp được trình bày trong ba chương:

+ Chương 1 Ki thức chuẩn bị

Ở chương này, tôi trình bày tom tất các kiến thức quan trọng về lý thuyết đội

số mộnh đề cơ bản liên quan,

+ Chương 3 Toán tử Calderón - Zygmund loại # trên không gian Morrey'

- Lorentz

Đầu chương, tối tình bày mốt chứng mình cho tính bị chặn mạnh (p,p) của

/xemtund loại 8 T tren L? voi 1 < p< se, Tiếp theo, tôi trình các đánh giá chuẩn và đánh giá điểm cho toán tử cực đại hiệu chỉnh

và toán từ cực dại nhọn Các bất đẳng thức này được sử dụng trực tiếp trong chứng mình tính bị chăn của 7 trên không gian Mortoy ~ Lorentz được trình bày

ở định lý cuối chương

+ Chương 3 Hoán tử Calderón - Zygmund loại 9 trên khí

ÔỞ chương này, tôi trình bày một bổ đồ kỹ thuật liên quan đốn sai số tích phân giá điểm cho toán tử cực đại nhọn như Chương 2 Bồ đề về đánh giá điểm này cùng với các kết quả ở Chương 2 sẽ dẫn đến tính bị chặn của [2,7] trên không, gian Morrey - Lorentz

"Toán tử cực đại Hardy - Littlewood

Kết thúc chứ n không gian 1: mình,

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trước khi bước vào nội dung nghiền cứu chính, tôi nhắc lai các khái niệm về không gian hàm và toán tử trên không gian hàm Các dịnh nghĩa về toán tử cực đại, toán tử không gian Mortey - Lorentz lin lượt được giới thiệu Ngoài ra, các mục cuối chương: giới thiêu về những bắt đẳng thức quan trong và định lý vẻ phân tích Calderon - Zyamund được sử dụng cho các chứng minh ở chương tiếp theo

Chú ý tầng, trong toàn bộ bài báo cáo, ta xét không gian RE" với độ đo tướng ứng là độ đo Lebesgue

1.1 Các không gian ham

Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giả: đích Lê Minh Thức thỏa mãn

lente < 0,108 mos 10 tp compact trong Re

1.1.2 Không gian Lorentz va khong gian Morrey - Lorentz Dinh nghia 1.1.3 (Hàm phân phối, hàm giảm sắp xếp lại) Cho ƒ là hàm do dude rên

(i) Ham phan phốt của ƒ theo độ đo m được định nghĩa bai

#() =w(fz €R*:|/0)| > A}) (ii) Ham gidm sắp xếp lại của ƒ là ƒ* rác định trên |J,so) nà định nghĩa bởi

(i) 40) Không tăng

(ii) ø(B,)zP() không tăng với mọi quả cầu By CR"

(ii) (2) < Dp(), v6i moi t> 0

“Từ điều kien (ii) ta suy ra ¿ không là hàm hằng,

Định nghĩa 1.1.5 (Khong gian Morroy - Lorentz.jl]) Với hàm thưc ƒ đo được trên

sien va 92240

trong dé supremum doe lấy trên tất cả các quả cầu B(x,f) thong R® wa | flexes)

là chuẩn Lonentz của hầm ƒ tên quả cầu Bứm,9)

“Khi đó, không gian các hầm ƒ thỏa mãn |[lJys" < s được gọi là không gian Mortey

- kerents, ký hiệu MP” (R")

Khir =p, ta vidt gon M2"(R") thank M2(R"),

1.1.3 Khong gian BMO (Bounded Mean Oscillation) Định nghĩa 1.1.6 (Không gian BMO, [l|) Cho ƒ € 1}, (R°) Ta ký hiệu

Mllasco = S80 Foy aif wo folds

trong dé fq = a / JlG)dk và supromam, được lấy trên tắt cả hành lập phương Q

Định nghĩa 1.2.2 (Toán tử cực đại hiệu chỉnh, toán tử cực đại nhọn DJ), Với ¿ > 0, 1a định nghĩa

Toán tử cực đại hiệu chink Ma zác định như sau

2/0) = me [ asi } =p mua FOS pepe osc 6 = ih (af ý Ve Toán tử cức đại nhọn AMỆ sắc định như sau:

-Mÿf6) =eg ink (mui † i)

trong đá B = B(x,v) là quả ci trong RY

Mệnh đề 1.2

đà 3 Néw f = fit fa tà các hàm Jị,J; cũng khả tích địa phương trên Tết Mal S)(2) S Mal fall) + Mal f2)(0), Ve € R® Chứng mình Vối mỗi x € R®, bằng cách lấy supremum trén tất cả quả cầu B trong đánh giá sau

parr lacy $ pai (Milan + Wal ogy) BR

ta thu được ngay điều phải chứng mình,

Mệnh đề 1.2.4 A4, là ánh za từ 27(RP) tảo E2*(RP)

©

0) Kewl < oe

đi |Kfx,w)~ K(so.v)L+ |K(w,z) = K(w,za)| or 6

): di mot 2.20.0 w=m Ade — zl < ly —

Định nghĩa 1.2.6 (Toán tử Calderón - Zygmund loni 6) Cho hàm 8 như Định nghĩa [1.2.5] Một toán tử tuyến tính 7` dị từ S(R") mào S'(R") được gọi là toán tử Calderôn-Zgmund loại 9 nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau đây: (TP bi chan trên Đ2(R°), nghĩa là

IT Slee < Clifllees tối mọi 7 © CFR")

(a)

ồn tại nhân chuẩn K loại 8 sao cho wdi moi f € CCR") rà z ý supp() T/6)= K.9)fI0)4u hn

Dinh nghĩa 1.2.7 (Hoán tit Calderén - Zygmund loai 6) Cho T là toán tử Caldersin

= Zygmund loại 0 tà be LỆ (") Khi đó, hoán tử [b,TỊ được zác định bởi

0.TJ/() := Mz)T()(ø) =T(MJ)

với ƒ là hàm đo được,

1.3 Hai bất đẳng thức quan trọng

1.3.1 Bat ding thtte Kolmogorov

Dinh ly 1.3.1 (Bat ding thite Kolmogorov)

Cho p € |I;+2) và T là toán từ dưới tuyến tink tit RY va0 khong gian các hàm đơ được trên Re

(1) Nếu T 1a loai yếu (p,g) thi vdi mọi 0 < q < p tà AC RP thốn 0 < |A| < sc, tần lại

6 < 00 sao cho

(2) Nếu tần tại0 < q < p tà hằng số c thỏa mãn

vdi moi tap ACR", 0-<|Al <0, thì 7 ta loot yeu (p.p)

“Chứng mink (1) Giả sử T là loại yêu (mg),

Lay q € (0,p) va AC R® théa 0 < [Al < se Do T là loại yêu (ø.p) nên tốn tai e thôa mãn

mà= HAI < ƒ If/(ø)fde < clAkl'T?IVIf, = ek'"Ÿ7ll,,VE €N Suy ra

#< SI//lfy.Vk € N aut

Cho & ta gấp mâu thuẫn với £ >0 Vậy |Á| < s

Khi đó, từ giả thiết, ta có:

Als [rreartar <cialFiait,

Khóa luân tốt "op Chuyên ngành: Ớ; i th Lê Minh Thức Suy ra

“Chứng mình ch tiết của định lý trên có thể xem ở [|

“Trong bài báo cáo này, ta sé sit dung mot he quả nổi tiếng của bất đẳng thức John - Nirenberg sau,

Voi chú ý |jfl[myo = 1, ta suy ra

>

(a JIno- sts) < Coals

a

từ đó có điều phải chứng minh

1.4 Phân tích Calderón - Zygmund (Calderón - Zygmund decomposition)

Định lý 1.4.1 (BỊ, Theorem 43.1) Cho ƒ € LY(R") vd > 0 Khi đó, tổn tại các ham g, b xée dink tren R tà họ đốm được các hình lập phương Q, rời nhau thỏa mãn các điều kiên sưa:

(6) SjlQil so" Flas

“Ta gọi phân tích trong định lý trên là phân tích Calderon - Zygmund cho hàm f với mức a Hàm ø được goi là hàm tốt (good finetion) vì nó được chọn vừa bị chăn, vừa khả tích Trong khi đó, hàm 6 được gọi là ham ấu (bad fonction) nhưng cũng được chọn sao cho tích phân trung bình là 0

Chứng mình Phân hoạch TP thành các họ A các hình lập phương rời nhan, có cùng

11> Sil eA

“Tiếp theo, phn hoạch mỗi hình lập phương Q € A thành 2" hình lâp phương nhỏ

8

Ro ring Q, vi Q, rồi nhan nếu ¡ Z 7, nếu không, phải tồn tai một hình lấp phương

là tập hop con thực sự của một hình lặp phương khác, điều này võ lý vì các hình lập trước

Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giả: đích Lê Minh Thức Dẫn đồn

điều kiện (5) được thỏa man

Ngoài ra, ta đánh giá được

TĐ6l<‡3 [Urele = J woe dist

Do đó điều kiện (6) được thỏa mãn

"Ta kiểm tra được rằng

Chương 2

Toán tử Calderón - Zygmund loại 2 trên không gian Morrey

- Lorentz

‘rong Chong 2, din fein được nghiên et in bị hân của toán tế Culdzn

Zygmund loai Ø 7 tiên không gian Motrey - Lorentz Dé chứng mình

Ta biết rằng, toán tử 7 : S(IR") —> &'(R") được gọi là

® Toán tử loại yéu (p,p) nếu tồn tại Œ > 0 sao cho

Định lý 3.1.1 Cho T là toán tử Calderón - Zygmund loaé 8 như trong Định nghĩa 1.2.6 Khi a6

(1) T là toán tử loại yến (1,1)

(2) T là toán tử loại manh {p,p), tôi 1 < p< %

Chứng mình (1) Có định a > 0 và ƒ € 1E) Sử dụng phân tích Caldorón cho him f với mức +a, trong đó + là hằng số thích hợp số được chọn sau Ta có

T=u+b

với ø,b là các hàm thỏa man Dinh lý

Ñ€ hiệu /(Q) là độ dài canh hình lập phương Ợ, Q* là hình lập phương đồng tâm, có các cạnh song song với Q va (Q") = 2Vi(Q))

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev và các tính chất của him g,b trong Dink

Willan

'Ta còn phải chứng mình biểu thức thứ bai ở về phải bì chăn bi

Lấy ụ là tâm của hình lập phương Ợ, Với z € (Q5), ta 66 Íz — | >

vI9,)

Vail(Q;) Mat khác, nếu y € Q, thi ly ~ yl < do 6 y=

“Ta đánh giá biểu thức nói trên như sau

trong đồ 2 +

& Soy’, ova, © wet [a Chon + = C7! thi ngoài kết luận 7 là toán tử loi yếu (1,1), ta edn 66 dnb id ITs < P;(€ + €')

(2) Ö câu (1), ta đã có T là toán tử loại yếu (1,1) Sử dụng lý thuyết nội suy và tính

bi chan trên 1# ta có 7 là toán tử loại mạnh (g.g), với 1 < q < 2 Bằng đối ngẫu,

ta suy ra được T là loại mạnh (.q) với 1 < g< se

2.2 Các đánh giá liên quan đến toán tử cực đại

Bồ đề 2.2.1 Cho p€ (1;%),r € Í1,%) và g(t) thỏa mãn điển kien [1.1.9 Khi dé, với mối 0 < ạ< p, tồn fại hằng số đương C= Cla,p,) thôn mãn

IA4,0)lus> < Clflue"

Chứng mình Với qua cu By = B(v,1) tay ý, ta phân rã hàm ƒ như sau

ƒ= fan + fan = fit fe

'Khi đó, theo Mệnh đi

AU)) < A/()Œ) + 4s(2)(), ve €

“Tà sẽ đánh gia Mg(fi) va Mol f2)

“Theo Mệnh A623) ta có A4, là ánh xu từ 727(RP) vào /27(R°), dẫn đến

1 Maid ane (ay) 1 ——T——Hflz #——T—Ifillssgy & Liv 1

Từ đó suy ra

(24) Mal falllarge S Illa

“4