Toán tử tích phân kỳ dị calderón zygmund

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Thanh Minh TỐN TỬ TÍCH PHÂN KỲ DỊ CALDERĨN - ZYGMUND LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Thanh Minh TỐN TỬ TÍCH PHÂN KỲ DỊ CALDERĨN - ZYGMUND Chun ngành : Tốn Giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN TRÍ DŨNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ Toán học với đề tài “Toán tử tích phân kỳ dị Calderón – Zygmund” tơi thực hướng dẫn TS Trần Trí Dũng, không chép Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số thơng tin, tài liệu từ nguồn sách, tạp chí liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm luận văn Học viên thực Đỗ Thanh Minh LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Trần Trí Dũng, Thầy tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành luận Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới Thầy khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh tận tình giảng dạy, giúp đỡ tơi nâng cao trình độ chun mơn suốt trình học cao học Xin gửi lời cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, Phòng Tổ chức Hành chính, Phịng Kế hoạch - Tài Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập làm luận văn Và cảm ơn bạn Học viên K25 chia sẻ với nhiều kinh nghiệm học tập, rèn luyện viết luận văn Xin gửi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc thành công tới Quý thầy cô, anh chị bạn! Đỗ Thanh Minh MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Các kí hiệu MỞ ĐẦU 1  Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3  1.1 Toán tử cực đại Hardy - Littlewood .3  1.1.1 Định nghĩa toán tử cực đại Hardy - Littlewood 3  1.1.2 Tính chất tốn tử cực đại 3  1.2 Ứng dụng định lí khả vi Lebesgue .10  1.2.1 Định lí khả vi Lebesgue .11  1.2.2 Ứng dụng khả vi Lebesgue vào phân hoạch Calderón – Zygmund 13  1.2.3 Ứng dụng phân hoạch Calderón – Zygmund 14  1.3 Không gian A p 21  1.3.1 Định nghĩa không gian Ap ,  p <  21  1.3.2 Các tính chất Ap ,  p <  bất đẳng thức Holder đảo 22  1.3.3 Tính bị chặn tốn tử cực đại Hardy – Littlewood 35  1.3.4 Quan hệ A1 Ap ,  p <  .45  Chương NHÂN CALDERÓN - ZYGMUND 48  2.1 Các kiến thức tốn tử tích phân kỳ dị 48  2.1.1 Biến đổi Hilbert biến đổi Riesz 49  2.1.2 Tốn tử tích phân TΩ 51  2.2 Nhân Calderón – Zygmund K K ε , N .52  Chương TÍNH BỊ CHẶN CỦA TỐN TỬ TÍCH PHÂN KỲ DỊ CALDERĨN – ZYGMUND TRÊN CÁC KHÔNG GIAN Lp VÀ Lp YẾU .57  3.1 Tính bị chặn khơng gian L p 58  3.1.1 Tính bị chặn tốn tử tích phân kỳ dị Calderón – Zygmund Lp , 1< p <  L1, 58  3.1.2 Tính bị chặn tốn tử tích phân kỳ dị Calderón – Zygmund với nhân Lp , 1< p <  65  3.1.3 Tính bị chặn tốn tử tích phân kỳ dị cực đại Calderón – Zygmund Lp , 1< p <  L1, 70  3.2 Tính bị chặn khơng gian Lp Lp yếu có trọng 79  3.2.1 Tính bị chặn tốn tử tích phân kỳ dị Calderón – Zygmund Lp    , 1< p <  L1,   .79  3.2.2 Tính bị chặn tốn tử tích phân kỳ dị cực đại Calderón – Zygmund Lp    , 1< p <  L1,   93  KẾT LUẬN 95  TÀI LIỆU THAM KHẢO 97  CÁC KÍ HIỆU E hàm đặc trưng tập E n không gian Euclide n chiều x12  x22   xn2 với x  ( x1 , x2 , , xn )  x n1 mặt cầu đơn vị x  ln  t max 0,ln t với t  n x x y j 1 j n y j với x, y  n cầu tâm x  A độ đo Lebesgue tập A  dx độ đo Lebesgue fQ trung bình f tập Q, ta có f Q  p có bán kính R số liên hợp với p , ta có C0 ( Lp ( n n : x  1 B ( x, R ) n n n Q  f ( x )dx Q 1   1, với  p    p p ) không gian hàm có đạo hàm hạng, có giá compact ) không gian độ đo Lebesgue n chiều Lp, ( n ) không gian Lp yếu p Lloc ( n ) khơng gian hàm khả tích địa phương tập I compact không gian M f f n toán tử cực đại Hardy – Littlewood p chuẩn hàm f Lp (  ess.sup f  inf B  :   n x : ): f p p   p    f ( x ) dx   n      f ( x )  B  n MỞ ĐẦU Giải tích điều hịa đại ngày nhánh quan trọng Toán học có nguồn gốc từ lý thuyết chuỗi Fourier tích phân Fourier cổ điển Trong khoảng 60 năm gần đây, giải tích điều hịa đại phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng đa dạng lĩnh vực khác như: phương trình đạo hàm riêng, xác suất thống kê, xử lí tín hiệu Tích phân kỳ dị chủ đề đóng vai trị trung tâm giải tích điều hịa Trong lý thuyết tốn tử tích phân kỳ dị, tốn tử tích phân Calderón - Zygmund đặc biệt quan trọng, tổng quát hóa phép biến đổi Hilbert phép biến đổi Riesz Trải qua nhiều thập kỉ, lý thuyết tốn tử Calderón - Zygmund trở thành cơng cụ hữu ích khơng chun ngành giải tích điều hịa mà cịn lĩnh vực ứng dụng đề cập Trong luận văn này, tác giả tìm hiểu, khảo sát tính chất đặc trưng tốn tử tích phân kỳ dị Calderón - Zygmund, phần quan trọng tính chất bị chặn tốn tử tích phân kỳ dị Calderón - Zygmund khơng gian L p L p yếu Mục tiêu luận văn bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, đồng thời định hướng số hướng nghiên cứu sau, thuộc chun ngành Tốn giải tích Về mặt khoa học, tác giả mong muốn đạt mục tiêu sau Mục tiêu thứ tìm hiểu khái niệm số tính chất tốn tử tích phân kỳ dị Calderón Zygmund Mục tiêu thứ hai nghiên cứu tính bị chặn tốn tử tích phân kỳ dị Calderón – Zygmund không gian Lp Lp   1  p    Trong luận văn này, tác giả thu thập tài liệu liên quan đến đề tài, tự tìm hiểu, tổng hợp trình bày số kiến thức toán tử cực đại Hardy - Littlewood, ứng dụng định lí khả vi Lebesgue, phân hoạch Calderón – Zygmund, khơng gian Ap , tính chất tốn tử tích phân kỳ dị Calderón - Zygmund khơng gian Lp Lp yếu Cơng việc địi hỏi tác giả phải biết vận dụng kiến thức chuyên sâu giải tích Fourier, giải tích hàm, độ đo - tích phân giải tích thực Luận văn gồm chương với nội dung chương sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày khái niệm tính chất tốn tử cực đại Hardy – Littlewood, phân hoạch Calderón - Zygmund Khái niệm không gian Ap kết quan trọng khơng gian trình bày cuối chương Chương 2: Nhân Calderón – Zygmund Chương trình bày kiến thức biến đổi Hilbert biến đổi Riesz, tốn tử tích phân T Nhân Calderón – Zygmund nội dung trình bày chương Chương 3: Tính bị chặn tốn tử tích phân kỳ dị Calderón – Zygmund không gian Lp Lp yếu Chương phát biểu chứng minh định lí tính chất quan trọng tốn tử tích phân kỳ dị Calderón – Zygmund khơng gian Lebesgue Lp  không gian L1,   n  1  p    , không gian L 1, , không gian Lp   1  p    Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Toán tử cực đại Hardy - Littlewood 1.1.1 Định nghĩa toán tử cực đại Hardy - Littlewood Giả sử f  L1loc  n  , x  n , hàm cực đại Hardy - Littlewood định nghĩa Mf  x   sup r 0 rn  f  x  y  dy (1.1) y r Ngồi ra, cịn có số hàm cực đại sau:  Giả sử f  L1loc  n  , x  n : M f ( x)  sup r 0 Q( x, r ) Q ( x , r ) khối lập phương có tâm x , cạnh  Giả sử f  L1loc  n  , x  n  f ( y) dy, (1.2) Q ( x ,r ) r , song song với trục tọa độ : M f ( x)  sup Q x Q  f ( y) dy, (1.3) Q Q khối lập phương chứa x ( x không cần tâm Q ) 1.1.2 Tính chất tốn tử cực đại Nhận xét 1.1 Từ (1.1), (1.2), (1.3), tồn số C i  i  0,1, 2,  cho  x  n ta có: C0 Mf ( x)  C1M f ( x)  C2 M f ( x)  C3 Mf ( x) Ta nói A tương đương với B , kí hiệu A (1.4) B tồn số C1 , C  cho C1 B  A  C B Khi đó, theo (1.4) hàm cực đại Hardy - Littlewood Mf hàm cực đại M f , M f tương đương với điểm Nhận xét 1.2 Giả sử f  L1loc  Mf ( x) hàm đo n n  , Mf ( x) hàm nửa liên tục n Do Chứng minh: Do Nhận xét 1.1 nên ta cần chứng minh M f ( x ) hàm nửa liên 83 đặt Qk   0, k  k toàn khối lập phương n Tương tự, với k  tịnh tiến từ Qk với 2k đơn vị Khi độ dài cạnh khối lập phương k 2k chúng không chồng lên nhau, hợp chúng chứa n Ta có tính chất sau: (i) Với x  n cố định lại, k  có khối lập phương Qk chứa x (ii) Với khối lập phương nhị nguyên cho trước chúng khơng có phần chung chúng nằm chồng lên n (iii) Mọi khối lập phương k chứa khối lập phương k1 (iv) Khi k  j , khối lập phương k nằm khối lập phương  j Bổ đề 3.17 ([3]) Giả sử   A tồn p0  1,   cho Mf  Lp   Khi với p0  p   ta   Mf  x   n p   x  dx  C   M # f  x     x  dx p (3.23) n Chứng minh: Do (3.17) ta có Q  f  y  fQ dy  Q Q  f  y  f Q dy  Q Q  f  y   a dy, Q suy M# f   x   2M f  x  # không tính tổng quát ta giả sử f  Với   ta áp dụng phân hoạch Calderón – Zygmund (Định lí 1.12) Theo tính chất (ii) khối lập phương nhị nguyên, tồn dãy khối lập phương nhị nguyên thỏa mãn Q1  Q2  fQ     Qk k bị chặn k Thật vậy, với x  Qk ta có  Qk  f  y  dy  Mf  x  Qk 84 Giả thiết cho Mf  Lp0   ,   A nên áp dụng Định lí 1.25 ta   Qk      x  dx  Qk C    Mf  x   p0 p0 C   x  dx   Qk p0 Mf p0 Lp0   Do   x  dx độ đo   A nên dãy  Qk  bị chặn Vì tất khối lập phương nhị nguyên Q thỏa fQ   chứa khối lập phương nhị ngun gọi khối lập phương nhị nguyên cực đại Giả sử Q j  tập tất khối lập phương nhị nguyên cực đại Q j thỏa  Qj  f  y  dy   n Qj Dãy Q j  phụ thuộc vào  nên khơng tính tổng qt ta kí hiệu Q , j  Giả sử   , Q , j tồn k cho Q , j  Q , k   đặt Q0  Q  2n 1 , j0 A    + Nếu Q0   x : M # f  x    A    j:Q , j  Q0      Q , j      x : M # f  x      A   (3.24)   + Nếu Q0   x : M # f  x    A  Q0  f  y  f Q0 dy  Q0  A fQ  Q0  f  t  dt  Q0 n   n 1 2 Do       Q , j    2 Q    j :Q  Q  Q   j :Q , j ,j ,j       dy    f  y   fQ dy 2   j :Q  Q  Q ,j ,j 85   f  y  f Q0 dy  Q0  A Q0 Suy   j :Q , j  Q0  Mặt khác,   j :Q , j  Q0  Q , j  Q0 A Q , j  Q0   A nên theo (xi) Mệnh đề 1.18 tồn   0, C  cho       Q , j    Q , j   j:Q  Q       C   j:Q  Q     Q0  Q0    ,j ,j         Ta  2    Q , j   C  A    Q0   j :Q  Q  ,j (3.25) Từ (3.24) (3.25) ta có     2    Q , j      x : M # f  x   A    C  A    Q0     j :Q  Q  ,j Nếu xét tất Q0 bất đẳng thức trở thành     2 j   Q , j      x : M # f  x   A    C  A       Q  k  2n 1   ,k  (3.26) Đặt         Q , j  j        x : Mf  x      Với  Q j ta có ,j   x : Mf  x    dãy Q , j  khối lập phương đôi rời 86        (3.27) Tiếp theo ta cần chứng minh      C2         3Q    C1  ,j  j  4n    (3.28) Đặt E   x : Mf  x     , 3Q khối lập phương có độ dài cạnh gấp lần Q có tâm với Q Nếu ta chứng minh E   3Q  , j (3.29) ,j 4n vế thứ bất đẳng thức (3.28) x  E , R khối lập phương chứa x thỏa R  f  y  dy   R Nếu ta gọi d độ dài cạnh R tồn số nguyên k cho 2k 1  d  2k Do k có 2n khối lập phương nhị nguyên giao với R, tồn khối lập phương nhị nguyên Q thỏa  f  y  dy  R R Q 2n Vì R  Q  2n R nên ta có  f  y  dy  R R Q n  Q 4n Suy Q   f  y  dy  n Q Vì tồn j để khối lập phương nhị nguyên cực đại Q  4n ,j  Q Ta có Q  R  , R  Q nên R  3Q  3Q  , ta chứng minh (3.29) 4n ,j Khi suy (3.28) (ta thấy vế thứ hai (3.28) đúng) 87 Từ (3.26) suy     2            x : M # f  x      C     n 1  A  A    Với N  , từ (3.27)  p p0 1    d   p0   x  dx, ta n N   Mf  x   N N I N   p p 1    d    p p 1     d   p p p N p0  p p p N p0 (3.30) 0 p p0 1    d  0   Mf  x   p0   x  dx   n Mặt khác, từ (3.30) suy  N N    2 I N   p p 1   x : M # f  x     d   C   A  A   p    d n 1  2   p 1 N  2n 1    2   p p 1   x : M # f  x     d   C 2 n 1 p   A  A  N  p p 1    d      2   p    x : M # f  x     d   C 2 n 1 p   I N A  A  N p 1 Chọn A  cho C2  n 1 p  N    2 p 1 #    I N   p    x : M f  x     d  A  A  Cho N   ta có   p        d    p p 1   x : M # f  x   p 1    d  A   Kết hợp với (3.28) suy  p 1   Mf  x     x  dx   p     d  p n     C1  p p 1   C2   p 1  d  C  0 p     d   88     C  p p 1  x : M  f  x    d   C   M  f  x     x  dx p  n Định lí 3.18 ([3]) Giả sử  hàm bị chặn bậc thỏa mãn (3.6), (3.7) Khi tồn số C  không phụ thuộc vào f ,   x   Ap  n  , 1 p   thỏa  T f  x  n p   x  dx  C  f  x    x  dx p (3.31) n Chứng minh: Trước hết ta chứng minh (3.31) với f hàm bị chặn có giá compact Để chứng minh tốn tử cực đại Hardy – Littlewood M T f  x   Lp   , ta chứng minh T f  Lp   Khơng tính tổng quát giả sử su pp  f    y : y  R Đặt  T f  x  p   x  dx   T f  x    x  dx  p x 2R n  T f  x    x  dx  I1  I p x 2R (3.32) + Chứng minh I1 bị chặn: Với   , theo bất đẳng thức Holder ta  p 1     1   I1    T f  x  dx   x 2R      1  1      x  dx   x 2R  p Mà T bị chặn L ,  p   (Định lí 3.3) nên suy phần đầu vế phải bất dẳng thức bị chặn Ngoài ra,  thỏa bất đẳng thức Holder đảo (Định lí 1.19) nên với  đủ nhỏ phần hai vế phải bất đẳng thức bị chặn + Chứng minh I bị chặn: Theo tính chất (vi) không gian A p Mệnh đề 1.18, với   Ap 1  p    , Q  n , a  ta   aQ   Ca np  Q  , với C phụ thuộc  (3.33) 89 f  Lp   ,   0, từ Định lí 1.25 ta x n  : Mf  x       x  dx  C  p  f  x p   x  dx n  f  y  dy  Chọn f  khối lập phương Q cho Q Với    f Q ta có  Q  x : M  f Q   x     suy  Q   C  p  f  x p   x  dx Q Vì   Q    p   C  f  x    x  dx p Q Cho   fQ ta   Q   fQ   C  f  x    x  dx p p Q Nếu ta đặt f   E với E  Q tập đo bất đẳng thức trở thành p E   Q     C  E  Q Thay Q aQ thay E Q kết vừa ta (3.33) Hơn ta thay khối lập phương Q cầu (3.33) Trong đánh giá I x  R , y  R nên x x  y x  y  x  y  2 Khi T f  x    y R    x  y  x y n  f  y  dy 90    x  y      n x y y R 2n  x y R C f x f  y  dy   n  f  y  dy  (3.34) n Với   Ap , áp dụng (ix) Mệnh đề 1.20 tồn q  1, p  cho   Aq Từ (3.33) (3.34) suy (3.34) Cp f C p f  p I2  C p f  p  p    x x x 2 R   np dx   x   np x k 1 2k R  x  2k 1 R   B  0, 2k 1 R  k 1 2 R  (3.33) p  Cp f  k   dx  np C   2k 1 R    B  0,1  k 1 nq 2 R k np  C  n, R,     Vậy ta I1, I bị chặn nên theo (3.32) ta T f  Lp   , toán tử cực đại Little - Hardywood M T f   Lp   Khi đó, với M T f   Lp   , f hàm bị chặn có giá compact áp dụng Bổ đề 3.15 Bổ đề 3.17 ta  n T f  x    x  dx  p   M T f  x     x  dx  C   M T f  x     x  dx p n p #   n    ( x) ( x)dx C M f n s p s 91  C  f  x   ( x) dx p n Vậy (3.31) với f bị chặn có giá compact Khơng gian hàm bị chặn với giá compact trù mật Lp   nên T mở rộng liên tục lên Lp   , tức (3.31) với f  Lp    Định lí 3.19 ([3]) Giả sử  thỏa mãn điều kiện Định lí 3.18   A1 Khi tồn số C  0, với   f  L1   cho   x  n : T f  x      C  f  x    x  dx n Chứng minh: Quá trình chứng minh tương tự với chứng minh toán tử chặt cụt T loại yếu 1,1 Định lí 3.1 Áp dụng phân hoạch Calderón – Zygmund (Định lí 1.15), với   ta đặt f  g  b chuỗi khối lập phương rời Qk  Ta  x n  : T f  x        x  dx    x : T f  x                x : T g  x         x : T b  x      I1  I     + Đánh giá I1 : Theo Định lí 3.18 T bị chặn Lp   ,  p   nên T bị chặn L2   Với   A1  A2 , ta có đánh sau I1  2 Trên  T g  x    x  dx  n n 4C 2  g  x    x  dx  n \  Qk f  g (do b  x   0, x  k n n 4C   g  x    x  dx n \  Qk theo (iv) Định lí 1.15) k 92 I1  C      n  f  x    x  dx   f  x    x  dx   f  x    x  dx   f  x    x  dx  \ Qk C  n C  n C  C  n     k Qk  Qk C \ Qk \  Qk \  Qk     k Qk  Qk C C  C    b  y  dy    x  dx      f  y  dy    x  dx (do (v) Định lí 1.15)   Qk Qk f  y    Qk  k Qk Qk f  y  dy  Qk  Qk dy   f  y    y  dy k Qk  f  x    x  dx n + Đánh giá I :  Dựa vào cách chứng minh Bổ đề 3.15, với Qk đặt Bk cầu có tâm với Qk đường kính gấp 16 lần Qk Từ (3.33) ta có        Bk      Bk   C    Qk   C  k k k   Qk  Qk k  C k   Giả sử Qk có tâm ck , (v) Định lí 1.15   n \  Bk* : Tb  x   k  C    k n \ Bk*      Tbk  x    x  dx  C    Qk  f  y  dy Qk  Q k   f  y    y  dy k Qk  f  y    y  dy n  b  x  dx  k Qk   x  C Qk với k , ta có 93  C    k   C  n \ Bk   bk  y       k Qk       x  c    k    x  y    b y dy  x dx      k  n n  x y x  ck Qk        n    x  y  x y \ Bk n      x  c     x dx dy k n x  ck    Áp dụng tương tự cách chứng minh (3.20) tính chất (1.20) A1 , với y  Qk :  n    x  y  x y \ Bk n     x  c     x  dx k (3.20)  CM   y  n x  ck (1.20)  C  y  (3.35) Do (3.35) ta    x   n \  Bk* : Tb  x   k   C      bk  y    y  dy   k Q k   C  C   f ( y )  g ( y )   ( y ) dy n  f ( y )  ( y ) dy n Vậy I2  C   f  y    y  dy n Kết hợp đánh giá I1, I2 suy   x  n : T f  x    Định lí chứng minh   C  f  x    x  dx n  3.2.2 Tính bị chặn tốn tử tích phân kỳ dị cực đại Calderón – Zygmund Lp  ω  , 1 p   L1,  ω  94 Định lí 3.20 ([3]) Giả sử  hàm bị chặn bậc thỏa mãn (3.6), (3.7)  Khi T bị chặn từ Lp   vào Lp   với   Ap ,  p   Chứng minh: Với   x   A p  n  ,  p  ,  hàm bị chặn bậc thỏa mãn (3.6) (3.7) nên theo Định lí 3.18 suy T bị chặn từ Lp   vào Lp   Hơn theo Định lí 1.26 với   x   Ap  n  ,  p  , tốn tử cực đại Hardy – Littlewood M loại mạnh  L p  dx  , L p  dx   , f  Lp ,  p   Khi ta M T f  Mf bị chặn Lp   Tiếp theo áp dụng Bất đẳng thức Cotlar (Bổ đề 3.6) C1, C2  cho T f  x   C1M T f  x   C2 Mf  x  Vậy T bị chặn từ chặn từ Lp   vào Lp   với   Ap ,  p    Định lí 3.21 Giả sử  hàm bị chặn bậc thỏa mãn (3.6) (3.7) Khi  T bị chặn từ L1   vào L1,    với   A1 Chứng minh: Với   A1  n ,  hàm bị chặn bậc thỏa mãn (3.6) (3.7) nên theo Định lí 3.19 suy T bị chặn từ L1   vào L1,   Hơn theo Định lí 1.25 với   x   A1  n  , toán tử cực đại Hardy – Littlewood M loại yếu  L1  dx  , L1  dx   Khi ta M T f  Mf bị chặn từ L1   vào L1,   Áp dụng Bất đẳng thức Cotlar (Bổ đề 3.6) C1, C2  cho  f  L1  n : T f  x   C1M T f  x   C2 Mf  x  Vậy T bị chặn từ chặn từ L1   vào L1,    với   A1  Theo tính chất bị chặn tốn tử tích phân kỳ dị Calderón – Zygmund ta có hệ tính bị chặn biến đổi Hilbert biến đổi Riesz Lp   ,  p   L1,    95 Hệ 3.22 Giả sử  p     x   Ap  n  ,  (i) H H bị chặn từ Lp   vào Lp   với  p  ;  (ii) H H bị chặn từ L1   vào L1,    Hệ 3.23 Giả sử  p   , j  1, 2,   x   Ap  n  , (i) R R j bị chặn từ Lp   vào Lp   với  p  ; (ii) R R j bị chặn từ L1   vào L1,     KẾT LUẬN Luận văn trình bày số nội dung sau đây: Toán tử cực đại Hardy – Littlewood tốn tử có vai trị quan trọng chứng minh tính bị chặn tốn tử tích phân kỳ dị cực đại Calderón - Zygmund Để nghiên cứu tính chất bị chặn tốn tử tích phân kỳ dị Lp  văn nghiên cứu tính chất bị chặn nhân K không gian L2  n  , trước hết luận n  96 Phân hoạch Calderón – Zygmund có ý nghĩa đặc biệt quan trọng giúp luận văn đánh giá tính bị chặn hàm xấu Đánh giá dùng để nghiên cứu tính bị chặn yếu 1,1 tốn tử tích phân kỳ dị Calderón – Zygmund Ngồi Mục 3.2, luận văn cịn nghiên cứu tính bị chặn không gian độ đo tổng quát  n ,   x  dx  ,  hàm trọng Để đánh giá tính bị chặn tốn tử cực đại khơng gian Lp   , luận văn sử dụng số công cụ hữu hiệu: bất đẳng thức chuẩn có trọng, bất đẳng thức Holder đảo, … không gian Ap Sau đánh giá tính bị chặn tốn tử cực đại, Bất đẳng thức Cotlar giúp đánh giá tính bị chặn tốn tử tích phân kỳ dị (cực đại) Calderón – Zygmund Lp   Việc nghiên cứu tính bị chặn tốn tử tích phân kỳ dị Calderón – Zygmund mang lại hệ tới tính bị chặn biến đổi Hilbert biến đổi Riesz không gian Lp  n  L   p Trong giới hạn khuôn khổ luận văn, việc nghiên cứu dừng lại tính chất bị chặn tốn tử tích phân kỳ dị Calderón – Zygmund không gian độ đo Lebesgue Vấn đề đặt để nghiên cứu sau luận văn tính bị chặn tốn tử khơng gian khác như: không gian Hardy, không gian BMO, không gian Morrey, … Giải tích điều hồ đại Cuối cùng, luận văn nghiên cứu soạn thảo cách nghiêm túc với vốn kiến thức hạn chế khiến cho sai sót điều khơng thể tránh khỏi Rất mong góp ý Quý thầy bạn đọc để luận văn hồn thiện 97 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đậu Thế Cấp (2000), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục, Việt Nam Nguyễn Xuân Liêm (1994), Tôpô đại cương – Độ đo Tích phân, Nxb Giáo dục, Việt Nam Tiếng Anh Ding Y Lu S.Z (2006), Singular Integrals and Related Topics, World Scientific, Singapore, pp 1-68 Duoandikoetxea J (2000), Fourier Analysis, American Mathematical Society, USA, pp 1-107, pp 133-147 Gerald B Folland (1999), Real Analysis – Modern techniques and their applications, John Wiley & Sons, Inc., USA Grafakos L (2008), Classical Fourier Analysis, Springer, USA, pp 249-314 Torchinsky A (1986), Real – Variable Methods in Harmonic Analysis, Academic press, Inc., USA, pp 285-290 ... tử tích phân kỳ dị Calderón – Zygmund Lp , 1< p <  L1, 58  3.1.2 Tính bị chặn tốn tử tích phân kỳ dị Calderón – Zygmund với nhân Lp , 1< p <  65  3.1.3 Tính bị chặn tốn tử. .. suất thống kê, xử lí tín hiệu Tích phân kỳ dị chủ đề đóng vai trị trung tâm giải tích điều hịa Trong lý thuyết tốn tử tích phân kỳ dị, tốn tử tích phân Calderón - Zygmund đặc biệt quan trọng,... tốn tử tích phân kỳ dị cực đại Calderón – Zygmund Lp , 1< p <  L1, 70  3.2 Tính bị chặn khơng gian Lp Lp yếu có trọng 79  3.2.1 Tính bị chặn tốn tử tích phân kỳ dị Calderón – Zygmund