Luận văn thạc sĩ về tính chất toán tử của toán tử tích phân kỳ dị với dịch chuyển carleman

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN HUU TRUNG VE TÍNH CHAT TỐN TU CUA TỐN TU TÍCH PHÂN KỲ D± VéI D±CH CHUYEN CARLEMAN LUắN VN THAC S TON HOC H Nđi - 2011 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN HUU TRUNG VE TÍNH CHAT TỐN TU CUA TỐN TU TÍCH PHÂN KỲ D± VéI D±CH CHUYEN CARLEMAN Chuyên ngành: TOÁN GIAI Mã so : 60 46 01 TÍCH LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC PGS TS NGUYEN MINH TUAN Hà N®i - Năm 2011 Mnc lnc Lài nói đau Kien thÉc chuan b% 1.1 Toán tu Noether chi so cna toán tu Noether 1.1.1 Toán tu Noether 1.1.2 Chi so cna tốn tu Noether m®t so tính chat 1.2 Tốn tu tích phân kỳ d% 16 1.2.1 Tốn tu tích phân kỳ d% 16 1.2.2 M®t so tính chat cna SIFO 17 1.3 Hàm d%ch chuyen toán tu d%ch chuyen 21 1.3.1 Hàm d%ch chuyen hàm d%ch chuyen Carleman 21 1.3.2 Toán tu d%ch chuyen Carleman m®t so tính chat 25 Tiêu chuan Noether cơng thÉc tính chi so cho SIFO cap m®t vái d%ch chuyen Carleman 29 2.1 Trưòng hop d%ch chuyen Carleman bao tồn hưóng .29 2.1.1 Tiêu chuan Noether cho tốn tu tích phân kỳ d% vói m®t nhân Cauchy 30 2.1.2 Tiêu chuan Noether cho tốn tu c¾p đơi .31 2.1.3 Tiêu chuan Noether cho SIFO cap m®t trưịng hop d%ch chuyen Carleman bao tồn hưóng .34 2.1.4 Chi so cna tốn tu tích phân kỳ d% vói nhân Cauchy38 2.1.5 Chi so cna SIFO Kveselava-Vekua 41 2.1.6 Chi so cna SIFO cap m®t vói d%ch chuyen Carleman bao tồn hưóng 45 2.2 Trưịng hop d%ch chuyen Carleman ngưoc hưóng 51 2.2.1 Toán tu thu hep toán tu liên ket 52 2.2.2 Tiêu chuan Noether cho SIFO cap m®t vói d%ch chuyen Carleman ngưoc hưóng 54 Ket lu¾n 58 Lài nói đau Lý thuyet hàm tốn tu tích phân kỳ d%, phương trình tích phân kỳ d% tốn bị Riemann cna hàm giai tích bien phúc đưoc xây dnng phát trien nua the ky, tù nhung năm 1920 đen 1970 Các ket qna nghiên cúu gan lien vói tên tuői cna nhà toán hQc női tieng Noether, Muskhelishvili, Gakhov, Vekua, Đe giai m®t lóp phương trình tích phân kỳ d% ngưịi ta can quan tâm tói tốn tu hàm tích phân kỳ d% (singular integral funtional opera- tor(SIFO)) Vi¾c giai phương trình tích phân kỳ d% khơng phai bao giị thnc hi¾n đưoc tưịng minh tù vi¾c nghiên cúu tốn tu tích phân kỳ d% ta có the dn đốn đưoc m®t so tính chat cna nghi¾m tính giai đưoc cna phương trình Tính chat Noether chi so cna SIFO nhung tính chat liên quan đen sn ton tai nghi¾m moi liờn hắ giua so nghiắm đc lắp tuyen tớnh cna phương trình tích phân kỳ d% thuan nhat vói so đieu ki¾n giai chuan Lu¾n văn t¾p trung nghiên cúu tính Noether xây dnng cơng thúc tính chi so cna tốn tu hàm tích phân kỳ d% cap mđt vúi d%ch chuyen Car- leman Luắn gom phan mo đau đưoc chia thành hai chương: Chương 1: Giúi thiắu ve tiờu chuan Noether oi vúi mđt toỏn tu tuyen tính, chi so cna m®t tốn tu Noether, tốn tu hàm tích phân kỳ d % vói hàm d%ch chuyen toán tu d%ch chuyen Carleman Là so đe xác đ%nh tính chat Noether cơng thúc tính chi so cna SIFO Chương 2: Tiêu chuan Noether cơng thúc tính chi so cho SIFO cap m®t vói d%ch chuyen Carleman Đây phan cna lu¾n văn, trưóc tiên xây dnng tiêu chuan Noether cơng thúc tính chi so cna SIO vói m®t nhân Cauchy, tốn tu c¾p đơi, SIFO Kveselava-Vekua cho h¾ so cna chúng Sau đó, tác gia phân chia d%ch chuyen Carleman thành hai trưịng hop bao tồn hưóng ngưoc hưóng đong thịi xây dnng tiêu chuan Noether cơng thúc tính chi so cna SIFO cap m®t vói d%ch chuyen Carleman Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan khoa HQc cna PGS TS Nguyen Minh Tuan, trưòng Đai HQ c Giáo duc, Đai HQ c Quoc gia H Nđi, ngũi thay ó tắn tỡnh húng dan, giỳp đõ tác gia suot q trình hồn thành ban lu¾n văn Tác gia xin bày to lịng cam ơn chân thành kính TRQNG sâu sac đoi vói Giáo sư Tác gia xin bày to lòng cam ơn tói thay giáo, thành viên, anh ch% đong nghi¾p Seminar Giai tích trưịng Đai HQc Khoa Tn nhiên, Đai HQc HQc Quoc gia Hà N®i ve nhung ý kien đóng góp quý báu giúp đõ t¾n tình thịi gian qua Tác gia xin chân thành cam ơn Ban Giám hi¾u, Phịng Sau Đai Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc trưịng Đai HQ c Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQ c, HQ c Quoc gia H Nđi ó tao ieu kiắn thuắn loi cho tác gia suot q trình HQ c t¾p tai trưòng Chương Kien thÉc chuan b% Trong chương này, giói thi¾u tốn tu Noether, chi so cna tốn tu Noether, tốn tu tích phân kỳ d%, hàm d%ch chuyen Carleman, toán tu d %ch chuyen Carleman m®t so tính chat quan 1.1 TRQNG Tốn tE Noether chi so cua toán tE Noether 1.1.1 Toán tE Noether Cho X1 X2 này, không gianve Banach, L(X1,Noether X2) không gian Banach Trong muc ta giói thi¾u tiêu chuan tốn tu Noether tốn tu tuyen tính b% ch¾n A : X1 → X2, vói chuan ||A|| = sup{||Ax|| : ||x|| = 1} Đ%nh nghĩa neu 1.1.t¾p Tốn ch¾n A ∈ L(X , X2 ) đưoc giai chuan imAtulàtuyen đóng tính trongb%khơng gian X2 nghĩa là: imA = imA GQI Không gian thương X2 /imA đưoc GQI đoi nhân cna toán tu A đưoc kí hi¾u boi CokerA, kí hi¾u β(A) = dim CokerA Đ%nh nghĩa 1.2 toán tu tuyen đưoc GQI m®t tốnM®t tu Noether neu: tính b% ch¾n A ∈ L(X1 , X2 ) 1, A m®t tốn tu giai chuan 2, α(A) β(A) nhung so huu han 1.1.2 Chi so cua toán tE Noether m®t so tính chat Đ%nh nghĩa 1.3 So nguyên: indA = α(A) − β(A) đưoc GQI chi so cna toán tu Noether Đ%nh nghĩa 1.4 Toán tu tuyen tính b% ch¾n đưoc gQI A : X1 → X2 toán tu Noether neu thoa mãn hai đieu ki¾n: 1, Tốn tu A giai chuan (túc là: imA = imA), 2, So α(A) = dim KerA α(A∗) = dim KerA∗ huu han A∗ toán tu liên hop cna toán tu A Đ%nh nghĩa 1.5 So nguyên indA = α(A) − α(A∗ ) đưoc GQI chi so cna toán tu Noether A Đ%nh nghĩa 1.6 (Chi so cna hàm so) Gia su Γ m®t chu tuyen đóng trơn G(t) m®t hàm liên tuc khơng tri¾t tiêu trên Γ Chi so cna hàm so G(t) DQ c theo chu tuyen Γ đưoc hieu ty so đ® tăng trưong (so gia) cna argumen cna chuyen đ®ng het m®t lưot theo chu tuyen (theo chieu dương) 2π DQc ký hiắu {} l đ tng cna DQc theo chu tuyen Γ chi so cna G(t) đưoc viet dưói dang IndG(t) = {arg G(t)}Γ 2π Đ%nh nghĩa 1.7 (Toán tu compact) Gia su E F khơng gian đ%nh chuan Tốn tu tuyen tính f đưoc GQI compact neuf ({x ∈ E : ||x|| ≤ 1}) compact tương đoi F Nghĩa bao đóng cna compact F Tốn tu compact có chi so bang khơng Tốn tu Fredholm tốn tu Noether vói chi so bang khơng A tốn tu Fredholm tac neu A = I + D, D tốn tu compact Ví dn 1.1 : toán tu U : C[a, b] → C[a, b] ∫ b K(x, s)ϕ(s)ds a K(x, s) hàm liên tuc mien [a,b]x[a,b] Sau đây, ta giúi thiắu mđt so %nh lý c ban ve cụng thúc tính chi so cna tốn tu Noether: Nikolskii, Atkinson, Dieudonne, Mikhlin and Atkinson Đ%nh 1.1 (Nikolskii) Toán sau tu Ađưoc ∈ L(X 1, X2) Fredholm chi mđtlýtrong cỏc ieu kiắn thoa món: a, Toỏn tu A có bieu dien A = B + D, B tốn tu kha ngh%ch liên tuc D tốn tu compact b, Tốn tu A có bieu dien A = B1 + K B1 có ngh%ch đao (Uϕ)(x) ≡ ϕ(x) + liên tuc, K toán tu huu han chieu Chúng minh Đau tiên chúng minh đieu ki¾n can (b): ∗ ∗ Cho (A), , xα(A) (A) u1 (A ), (A ), , uα(A) (A∗ ) x là1 (A), so x cna khơng gian KerA kerA∗ uVì tốn tu A Fredholm nên α(A) = α(A∗ ) < ∞ α(A) α(A) 1 nên ton tai h¾ {ξk } k= ∈ X1∗ {ζk }j= α(A) j= {uj}1 α(A) ∈ X2 trnc giao vói h¾: {xk }k= se nghiên cúu toán tu: α(A) Σ B1x ≡ Ax + ξj(x)ζj (1.1) j=1 Chúng ta có có ngh%ch đao liên tuc Theo Đ%nh lý Banach đieu ki¾n đnBcho sn ton tai nghi¾m cna phương trình B1x = y, ∀y ∈ X2 Chúng minh tính nhat cna nghi¾m: cho x0 ∈ X1 mđt nghiắm cna phng trỡnh thuan nhat Ngha l: B1x0 = thì: = uj(B1x0) = α(A α(A ) ) uj(Ax0+ Σ ξj(x0)ζj) = uj(Ax0)+Σ ∗ j= j= ξj (x0 )uj (ζ) = A uj (x0 )+ξj (x0 ), j = 1, 2, , α(A) nên Do uj ∈ KerA∗ nên A∗uj (x0) = Do j= j= α(A) α(A) {uj} {ξj } Σ α(A uj(ξk) = δjk Suy ra, x0 ∈ KerA Ax0 = bieu dien: α(A Σ j=1 ξj(x0) = Nên ta có j= α(A) x0 = ) αjxj so cna KerA vói moi hang so αj M¾t ) Do x ∈ KerA {x j=1 α(A) Σ α(A) K0, K1, , Kk−1 đưoc quan h¾ vói boi h¾ thúc: K0.zj(t) c zj(t).Kj, j = 1, 2, , k − (2.31) theo bő đe (2.3), zj(t) ƒ= Γ tù ta có: indK0 = indKj, j = 1, 2, , k − Đe tính chi so cna tốn tu K bat au vúi mđt trũng hop ắc biắt cna tốn tu có dang E0 = (I + u(t)U )P+ + P− u ∈ C(Γ), 0, ta MQI nơi Γ U k = I Chúng ta viet u(t) toán tu kèm theo sau: Ej = (I + wju(t)U )P+ + P− Theo bő đe (3.2), có indEj = indE0, j = 1, 2, , k − Chúng ta xây dnng tích Ej vói tính compact yeu cna giao hoán tu kQ j=−1 [aI, S] [S, U ] vói đieu ki¾n U k = I tính chat cna b¾c k cna đơn − wk v% w = e2π k + w + · · · + i = w 1−w k−1 k(k −1) w Chúng ta đưoc h¾ thúc: = = wπi(k−1) = (−1)k−1 k−1 k−1 Y j= 0Ej Suy ra: k−1 c [1 + (−1) Y j= U (αj(t))]P+ + P− k−1 ind Y Ej = j=0 k Y1 = arg +1) (t))} − ( Γ k −{ − u(αj2π j kindE0 =− Do đó: {arg vα(1, u)}Γ 2π indE0 = − 2πk {arg vα(1, u)}Γ cho Bây giò xét tốn tu : AP++P− đó: A = aI+bU, U k = I a(t)b(t) ƒ= 0, ∀t ∈ Γ (2.32) Bieu dien tốn tu AP+ + BP− dưói dang AP+ + P− c (aP+ + P−)E0, (túc AP+ +BP − = (aI +bU )P+ +P− c (aP+ +P−)[(I +b(t)a−1(t))P+ + P−]) Trong u(t) = b(t)a−1(t), đưoc ind(AP+ + BP−) = ind(aP+ + P−) + indE0 (1, b(t)a−1(t))}Γ = − arga(t)} {argv Γ α − { 2πk 2π k−1 Y a(αj − {arg 2πk (t)) + (t))}Γ =− j=0 2π k−1 Y { arga(t)Γ (−1)k−1b(αj + 2πkarg Chúng ta có cơng thúc a(αj (t))}Γ j=0 ind(AP+ + P−) = − {argvα(a, b)}Γ (2.33) 2πk Neu (2.32) thoaεmãn túc ton tai t0 : a(t0 )b(t0 ) = cHQNkhông hàm (t), ε2 (t) ∈ C(Γ) vói chuan đn nho: ||ε1(t)||C(Γ), ||ε2(t)||C(Γ) cho (a(t) + ε1(t))(b(t) + ε2(t)) c 0, ∀t ∈ Γ tính chi so cna tốn tu lân c¾n tương úng Aε = [(a + ε1)I + (b + ε2)U ]P+ + P− Su dung đ%nh lý ve tính őn đ%nh cna chi so Cauchy cna hàm vα(a+ε1, b+ε2) nên ta có indA = indAε = − 2πk {argvα(a + ε1, b + ε2)}Γ = − 2πk {argvα(a, b)}Γ Xét toán tu: B = cI + dU, U k = I, đưoc công thúc tương tn ind(P+ + BP−) = {argvα(c, d)}Γ (2.34) 2πk Trong hoptoán nàytutoán tu oK0trên = (aI )P+ thúc + (cI + dU ) đưoc đơn giantrưòng thành xét +tabU có h¾ K0 c [(aI + bU )P+ + P−][P+ + (cI + dU )P−] (2.35) Áp dung đ%nh lý Atkinson cho toán tu (2.35) su dung công thúc (2.32), (2.33) ta đưoc công thúc cho chi so cna tốn tu SIFO cap m®t vói m®t d%ch chuyen Carleman cap k Đ%nh lý 2.8 Chi so cna m®t tốn tu tich phân kỳ d% Noether k T A,B = (aI + bU )P+ + (cI + dU )P−; a, b, c, d ∈ C(Γ), U = I, đưoc xác đ%nh boi công thúc: indT A,B = {argvα(c, d)} 2πk 2.2 vα(a, b) Γ Trưàng hap d%ch chuyen Carleman ngưac hưáng Trong muc này, đe nghiên cúu tiêu chuan Noether cơng thúc tính chi so cho SIFO cap m®t vói d%ch chuyen Carleman ngưoc hưóng, ta dna ket qua có cna d%ch chuyen Carleman bao tồn hưóng tù tính chat cna toán tu thu hep toán tu liên ket 2.2.1 Toán tE thu hep toán tE liên ket Chúng ta xét m®t SIFO cap m®t: K = a1(t)I + a2(t)U + a3(t)S + a4(t)US : Lp(Γ) → Lp(Γ).(2.36) Trong a1chuyen , a2 , a2α(t) , a4 thay ∈ C(Γ) (U ϕ)(t) = |α1J (t)| p ϕ(α(t)) Gia su rangđó: d%ch đői hưóng Bo đe 2.7 H¾ so aj ∈ C(Γ), j = 1, 2, 3, d%ch chyen α(t) thay đői hưóng chu tuyen Γ tốn tu: K = a1(t)I + a2(t)U + a3(t)S + a4(t)US : Lp(Γ) → Lp(Γ) toán tu Noether neu hai toán tu sau Noether: K1 = ^a1 (t)I + + ^a3 (t)S + S ^ ^ ^a2(t)U (2.37) ^a4(t)U S K2 = a1(α−1(t))I + (2.38) + ^a3 (α−1 (t))S + a2(t)U ^a4(t)U ^ = −a (t)a (α(t)) + a (t)a (α(t)) a1(t) 1 3 a2^(t) = a2(t)a2(α(t)) − a4(t)a4(α(t)) a3^(t) = a1(t)a3(α(t)) − a1(α(t))a3(t) ^ a4(t) = a2(t)a4(α(t)) − a2(α(t))a4(t) Chúng minh Ta xét hai toán tu: K3 =a −a 1(α(t))I + a2(t)U + a3U + a3(α(t))S + 4(t)US, K4 = −a1(α−1(t))I + a2(t)U + a3(α−1)S + a4(t)US (2.39) a(t)S c Sa(t)I, S = I, US = −SU đưoc h¾ thúc K K c K1 (2.40) theo tính chat cna tốn tu S U , đưoc h¾ thúc: Uϕ(ψ(t)) = ϕ(Uψ(t)) Ta có h¾ thúc KK4 c K2, tốn tu K1 K2 đưoc gia su tốn tu Noether, có tốn tu K ban dau toán tu Noether Bő đe đưoc chúng minh K2 GQ đưoc GQi toán tu thu hep cna toán tu K, toán Toán tu K3tu vàKK14và đưoc i toán tu liên ket cna toán tu K Vì tốn tu U˜ = U tương úng vói d%ch chuyen α = α(α(t)) bao tồn hưóng Γ nên toán tu thu hep K1 K2 nhung tốn tu vói d%ch chuyen bao tồn hưóng Γ Do đó, đe nghiên cúu tính chat Noether cna tốn tu d%ch chuyen ngưoc hưóng ta có the su dung ket qua cna tốn tu d%ch chuyen bao tồn hưóng tương úng Bő đe (2.5) cho ta đieu ki¾n đn cho tính Noether cna tốn tu SIFO cap m®t Vì tốn tu thu hep tốn tu vói m®t d%ch chuyen bao tồn hưóng Γ nên ta bieu dien dưói dang tốn tu c¾p đơi đe thu¾n ti¾n nghiên cúu Ta kí hi¾u u(t) = (a1(t) − a3(t))(a1(α(t)) + a3(α(t))), v(t) = (a2(t) + a4(t))(a2(α(t)) − a4(α(t))), u1(t) = (a1(t) + a3(t))(a1(α(t)) − a3(α(t))), v1(t) = (a2(t) − a4(t))(a2(α(t)) + a4(α(t))) Các tốn tu thu hep có dang K1 = (−u1(t)I + v1(t)U 2)P+ + (−u(t)I + v(t)U 2)P−, K2 = (−u(α−1(t))I + v1(t)U 2)P+ + (−u(α−1)(t)I + v(t)U 2)P− Nh¾n xét: D%ch chuyen α(t) đői hưóng Γ chac chan có hai điem bat đ®ng t1, t2 Nhung điem bat đ®ng nhung điem bat đ®ng cna d%ch chuyen bao tồn hưóng: α2 (t) = α(α(t)) D%ch chuyen α˜(t) = α2 (t) khơng có điem tuan hồn cap ˜k > Do đó, nhung kha có the xay lý thuyet SIFO cap vói d%ch chuyen ngưoc hưóng: 1, α(t) m®t d%ch chuyen Carleman cap 2, α(t) khơng m®t d%ch chuyen Carleman 2(t) cú mđt huu han cỏc iem bat đng α(t) khơng d%ch rong3, điem bat đ®ng batchuyen k Carleman v 2(t) cú mđt khỏc 2.2.2 Tiờu chuan Noether cho SIFO cap m®t vái d %ch chuyen Carleman ngưac hưáng Chúng ta xét toán tu (2.36), gia su rang α2(t) = t, ∀t ∈ Γ thì: U = I, α(t) = α−1(t), a˜1(α−1(t)) = a˜1(t)), a3(α˜−1(t)) = a3(t), u1(α(t)) = u(t), v1(α(t)) = v1(t) Do đó, hai toán tu K1 K2 trùng nhau, hai toán tu K3 K4 trùng ˜ K1 = K2 = M = (−u(α(t)) + v(α(t)))P+ + (−u(t) + v(t))P− K3 = K4 = K˜ = a1(α(t))I − a2(t)U − a3(α(t))S − a4(t)US tù hai h¾ thúc (2.33) (2.35) ta có: K˜ K c M, KK˜ c K˜ K Tiêu chuan Noether cho tốn tu M có ∆(t) = u(t) − v(t) = (a1(t) − a3(t))(a1(α(t)) + a3(α(t))) −(a2(t) + a4(t))(a2(α(t)) − a4(α(t))) ƒ= (2.41) Do đó, neu đieu ki¾n (2.41) đưoc thoa mãn tốn tu K tốn tu liên ket K˜ đong thịi tốn tu Noether Chúng ta tính chi so cna tốn tu Noether K Tù h¾ thúc: K˜ K c M, có indK˜ + indK = indM = 2π ∆(t) {arg ∆(α(t)) }Γ = π {arg∆(t)}Γ (2.42) e tớnh indK ta can mđt vi hắ thỳc liờn h¾ giua indK indK˜ Bo đe 2.8 Tốn tu Noether K K˜ có chi so Chúng minh Chúng ta muon chúng minh rang indK = indK˜ (2.43) Kiem tra trnc tiep ta đưoc h¾ thúc: N˜ KS = SK˜ N, (2.44) N = a1 (t)I + a3 (t)S, N˜ = a1 (α(t))I − a3(α(t))S Chúng ta ˜ ý rang toán tu N N đong thịi tốn tu Noether trưịng hop indN = indN˜ (2.45) gia su tốn tu N Noether tù (2.44) (2.45) de thay ˜ indK = indK Neu N không phai toán tu Noether su dung đ%nh lý liên quan đen tính őn đ%nh cna chi so (Đ%nh lý Dieudone) Chúng ta xap xi h¾ so aε(t), aε(t) tốn tu Nε = aε(t)I + aε(t)S tro thành toán tu Noether cho ε đn nho đe đam bao cho toán tu: Kε = aε(t)I + a2(t)U + aε(t)S + a4(t)US, 3 K˜ ε = aε (α(t))I − a2(t)U − aε (α(t))S − a4(t)U S nhung toán tu Noether bao toàn chi so cna chúng ˜ indK˜ε = indK, indKε = indK v¾y bő đe (2.5) van trưòng hop này, tù (2.42) (2.43) ta có cơng thúc tính chi so indK = {arg∆(t)}Γ 2π Cuoi chúng minh đieu ki¾n Noether (2.41) can thiet Neu đieu ki¾n (2.41) khơng gia su rang tốn tu K Noether theo bő đe (2.5) tốn tu kèm theo K˜ Noether Tù h¾ thúc KK˜ c M , tốn tu thu hep M m®t tốn tu tích phân kỳ d% cap m®t vói nhân Cauchy tốn tu Noether Do đieu ki¾n (2.41) đưoc thoa mãn Chúng ta đưoc Đ%nh lý 2.9 Cho aj(t) ∈ C(Γ), j = 1, 2, 3, α(t) m®t d%ch chuyen Carleman ngưoc hưóng cna chu tuyen Γ Toán tu: K = a1(t)I + a2(t)U + a3(t)S + a4(t)US : Γ → Γ (vói U = I) toán tu Noether chi ∆(t) = (a1(t) − a3(t))(a1(α(t)) + a3(α(t))) − (a2(t) +a4(t))(a2(α(t)) − a4(α(t))) ƒ= Chi so cna toán tu Noether K đưoc xác đ%nh boi công thúc indK = {arg∆(t)}Γ 2π Ket lu¾n Lu¾n văn trình bày thu đưoc M®t so đ%nh lý ve tiêu chuan Noether, đ%nh lý ve chi so cna tốn tu tuyen tính liên tuc toán tu d%ch chuyen: Nikolskii, Atkinson, Dieudonne, Mikhlin and Atkinson Xây dnng tiêu chuan Noether công thúc tính chi so cho tốn tu tích phân vói nhân Cauchy, SIFO Kveselava -Vekua, SIFO cap m®t vói d%ch chuyen Carleman ca hai trưòng hop d%ch chuyen bao tồn hưóng d%ch chuyen ngưoc hưóng M®t so hưóng nghiên cúu có the phát trien tù đe tài này: 1, Xây dnng tiêu chuan Noether cơng thúc tính chi so cho SIFO cap n (n > 1, n ∈ N) vói d%ch chuyen Carleman 2, Giai phương trình tích phân kỳ d% vói d%ch chuyen Carleman, Tài li¾u tham khao [1] Nguyen Văn Khuê, Lê M¾u Hai, (2010), Giáo trình giai tích hàm, NXB Đai HQc Quoc gia Hà N®i [2] Nguyen Văn Khuê, Lê M¾u Hai, (2001), Hàm bien phúc, NXB Đai HQc Quoc gia H Nđi [3] Nguyen Vn Mắu, (2006), Lý thuyet tốn tu phương trình tích phân kỳ d%, NXB Đai HQc Quoc gia Hà N®i [4] Lar H oărmander, (1990),An Introduction to complex analysis in several variables, 3rd edn, North-Holland, Amsterdam [5] Victor G Kravchenko and Georgii S Litvinchuk, (1994), Introduction to the Theory of Singular Integral Operators with Shift, Kluwer Academic Publishers, Ukraine, [6] Walter Rudin, (1986), Real and complex analysis, 3rd edn Mc GrawHill Book Co., Singapore ... thúc tính chi so cho tốn tu tích phân kỳ d% vói nhân Cauchy, toán tu Kveselava- Vekua 2.1.1 Tiêu chuan Noether cho tốn tE tích phân kỳ d % vái m®t nhân Cauchy Đ%nh lý 2.1 M®t tốn tu tích phân kỳ. .. trịn lay ϕ(τ ) ϕ(τ tích phân cung cịn lai ∫ dτ Giói han cna tích ) τ− Γq dτ τ− phân ∫ t t Γq q → đưoc GQi giá tr% Cauchy cna tích phân kỳ d% Đ%nh nghĩa 1.11 (Tốn tu tích phân kỳ d%) Tốn tu: ∫ (Sϕ)(t)... tớnh cna phương trình tích phân kỳ d% thuan nhat vói so đieu ki¾n giai chuan Lu¾n văn t¾p trung nghiên cúu tính Noether xây dnng cơng thúc tính chi so cna tốn tu hàm tích phân kỳ d% cap m®t vói d%ch