Bất đẳng thức kiểu john nirenberg trên các không gian morrey campanato

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HỨA CHÍ NINH BẤT ĐẲNG THỨC KIỂU JOHN-NIRENBERG TRÊN CÁC KHƠNG GIAN MORREY-CAMPANATO LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định, năm 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HỨA CHÍ NINH BẤT ĐẲNG THỨC KIỂU JOHN-NIRENBERG TRÊN CÁC KHÔNG GIAN MORREY-CAMPANATO Chuyên ngành : Tốn giải tích Mã số : 8460102 Người hướng dẫn: PGS.TS LƯƠNG ĐĂNG KỲ Bình Định, năm 2021 Mục lục Lời nói đầu Một số ký hiệu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian định chuẩn 1.2 Lý thuyết độ đo 11 1.3 Tích phân Lebesgue 15 Không gian Morrey-Campanato không gian Rn 17 2.1 Không gian Morrey-Campanato Lα,q,s (Rn ) 17 2.2 Phân hoạch Calderón-Zygmund Rn 30 2.3 Bất đẳng thức kiểu John-Nirenberg Lα,q,s (Rn ) 33 Không gian Morrey-Campanato không gian loại 37 3.1 Khơng gian loại (X, d, µ) 37 3.2 Không gian Morrey-Campanato Lα,q (X) 38 3.3 Phân hoạch Calderón-Zygmund X 39 3.4 Bất đẳng thức kiểu John-Nirenberg Lα,q (X) 40 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 Lời mở đầu Trong luận văn này, trình bày số vấn đề Khơng gian hàm có dao động trung bình bị chặn, ký hiệu BM O (Bounded Mean Oscillation), John Nirenberg giới thiệu vào năm 1961 trở nên tiếng nhờ vào kết đối ngẫu Fefferman Stein năm 1972 không gian BM O John-Nirenberg thực đối ngẫu khơng gian Hardy thực Stein Weis Ban đầu việc nghiên cứu không gian BM O nảy sinh từ tốn dao động điều hịa học tốn đạo hàm riêng, sau kết đối ngẫu Fefferman Stein trở nên tiếng nhiều người làm Giải tích điều hòa quan tâm nghiên cứu Vài năm sau John-Nirenberg giới thiệu không gian BM O, Sergio Campanato mở rộng khái niệm lên lớp không gian tổng quát mà ngày biết với tên gọi không gian Morrey-Campanato Lα,q,s ứng dụng vào việc nghiên cứu tốn Phương trình đạo hàm riêng Để nghiên cứu không gian BM O tổng quát không gian Morrey-Campanato, người ta cần sử dụng kết tiếng Phân hoạch Calderón-Zygmund Calderón Zygmund giới thiệu vào năm 1952 Trong báo, John-Nirenberg sử dụng phân hoạch để đưa đặc trưng không gian BMO, sau kết Campanato tổng quát lên cho không gian Morrey-Campanato Lý thuyết không gian hàm ứng dụng nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu Mục đích đề tài nhằm nghiên cứu lý thuyết không gian hàm Morrey-Campanato không gian loại theo nghĩa Coifman-Weiss, cụ thể nghiên cứu đặc trưng không gian thông qua bất đẳng thức kiểu John-Nirenberg Luận văn gồm có ba chương, cụ thể sau: Chương Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị gồm định nghĩa, tính chất giải tích hàm, khơng gian độ đo, khơng gian định chuẩn, tích phân Lebesgue nhắc lại tính chất sơ cấp tính chất cộng tính, tính chất bảo tồn thứ tự, tính chất tuyến tính, tính chất khả tích, kiến thức tích độ đo - tích phân lặp, để bổ trợ cho trình chứng minh kết nêu đề tài Chương Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm khơng gian MorreyCampanato Lα,q,s (Rn ), phân hoạch Calderón-Zygmund Rn Bất đẳng thức kiểu John-Nirenberg Lα,q,s (Rn ) Chương Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm khơng gian (X, d, µ), Khơng gian Morrey-Campanato Lα,q (X), Phân hoạch CalderónZygmund X Bất đẳng thức kiểu John-Nirenberg Lα,q (X) Tôi xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Quy Nhơn Khoa Toán giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn Luận văn thực hướng dẫn PGS TS Lương Đăng Kỳ Tôi xin chân thành cảm ơn hướng dẫn tận tâm Thầy suốt thời gian học tập, nghiên cứu hồn thành Luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc Thầy Nhân dịp xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý Thầy, Cơ Khoa Tốn, Trường Đại học Quy Nhơn dày công giảng dạy suốt năm qua tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Mặc dù có tơi cố gắng nỗ lực q trình hồn thành luận văn, chắn luận văn cịn nhiều thiếu sót Tơi mong nhận góp ý quý Thầy, Cơ bạn để luận văn hồn thiện Bình Định, ngày tháng năm 2021 Học viên thực Hứa Chí Ninh Một số ký hiệu N : Tập số tự nhiên R : Tập số thực C : Tập số phức K : R C Rn : Không gian vectơ thực n-chiều f +, f − : Phần dương, phần âm hàm f h.k : Hầu khắp h.k.n : Hầu khắp nơi supp f : Giá hàm f A≲B : A ⩽ CB với số dương C A≳B : A ⩾ CB với số dương C A∼B : A ≲ B A ≳ B L1loc (Rn ) : Khơng gian hàm khả tích Lebesgue tập bị chặn Rn |E| : Độ đo Lebesgue tập E ⊂ Rn fB : Trung bình f B BM O (Rn ) : Khơng gian hàm có dao động trung bình bị chặn Lα,q,s (Rn ) : Không gian Morrey-Campanato Rn Lα,q (X) : Không gian Morrey-Campanato X Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức liên quan đến Giải tích hàm khơng gian định chuẩn, khơng gian Banach, tốn tử tuyến tính khái niệm định lý Lý thuyết độ đo tích phân, tích phân Lebesgue Các kiến thức đề cập chương nhằm cung cấp kiện làm tảng cho chương sau Tài liệu tham khảo chương [1, 2, 3] 1.1 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.1 Cho X khơng gian tuyến tính trường K Một chuẩn X hàm x → ∥x∥ từ X vào R thỏa mãn điều kiện sau: với x, y ∈ X, α ∈ K (i) ∥x∥ ⩾ 0; ∥x∥ = x = 0; (ii) ∥αx∥ = |α| ∥x∥ ; (iii) ∥x + y∥ ⩽ ∥x∥ + ∥y∥ Một không gian tuyến tính định chuẩn trường K khơng gian tuyến tính với chuẩn Một số ví dụ khơng gian định chuẩn + Khơng gian Rn Xét khơng gian tuyến tính Rn Với x = (x1 , , xn ) ∈ Rn đặt  ∥x∥2 =  1/2 n |xi | i=1 2 Việc kiểm tra ∥ · ∥2 chuẩn khó bất đẳng thức tam giác Khi ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz Có nhiều chuẩn khác Rn mà ta gọi p - chuẩn Với ⩽ p < ∞ ta định nghĩa  ∥x∥p =  1/p n |xi | p i=1 Việc kiểm tra ∥ · ∥p chuẩn dựa vào bất đẳng thức Mincowski Một chuẩn khác Rn ứng với trường hợp p = ∞ : ∥x∥∞ = sup |xi | 1⩽i⩽n Người ta thường ký hiệu chung không gian ℓnp Chú ý không gian tuyến tính ℓnp , ℓnq có phần tử + Không gian co không gian ℓ∞ Dễ dàng kiểm tra khơng gian tuyến tính co ℓ∞ không gian định chuẩn với chuẩn ∥x∥ = sup |ξn | n + Không gian ℓp , p ⩾ Xét p > Với x = (ξn ) ∈ ℓp ta đặt 1/p ∞ ∥x∥ = |ξn | p n=1 Ta dễ dàng kiểm tra ||.|| chuẩn Như ℓp không gian định chuẩn + Không gian C[a, b] Dễ dàng kiểm tra khơng gian tuyến tính C[a, b] không gian định chuẩn với chuẩn ∥x∥ = sup |x(t)| t∈[a,b] Sau xét không gian C[a, b] khơng nói khác, ta hiễu xét với chuẩn Ngoài C[a, b] với ⩽ p < ∞ ta có p -chuẩn ∥x∥p = b a 1/p |x(t)|p dt Việc kiểm tra ∥ · ∥p chuẩn dựa vào bất đẳng thức Mincowski (dạng tích phân) + Khơng gian Lp (X) Giả sử X tập đo Lebesgue R Ta ký hiệu Lp (X) tập hợp tất hàm số f từ X vào K cho |f |p khả tích Lebesgue Trong không gian ta đồng hàm hầu khắp nơi Trên Lp (X) ta xét hai phép toán cộng hàm số nhân hàm số với số theo nghĩa thông thường Với p ⩾ 1, hầu khắp nơi ta có |f (x) + g(x)|p ⩽ (|f (x)| + |g(x)|)p ⩽ (2 sup{|f (x)|, |g(x)|})p ⩽ 2p sup {|f (x)|p , |g(x)|p } Vì f, g ∈ Lp (X) nên diều cho ta f + g ∈ Lp (X) Rõ ràng αf ∈ Lp (X) với α ∈ K Với hai phép toán ta dễ dàng kiểm tra Lp (X) khơng gian tuyến tính Với p ⩾ f ∈ Lp (X) đặt ∥f ∥p = X |f |p 1/p Ta dễ thấy ∥.∥ chuẩn.Như Lp (X) không gian định chuẩn Sau xét khơng gian Lp (X) khơng nói khác, ta hiểu xét với chuẩn 1.1.1 Sự hội tụ không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Dãy {xn } không gian định chuẩn E gọi hội tụ đến xo ∈ E limn→∞ ∥xn − xo ∥ = Ký hiệu xn → xo limn→∞ xn = xo Mệnh đề 1.1.3 Nếu limn→∞ xn = xo limn→∞ ∥xn ∥ = ∥xo ∥ Mệnh đề 1.1.4 Giả sử limn→∞ xn = xo , limn→∞ yn = yo không gian định chuẩn E limn→∞ λn = λo K Khi lim (xn + yn ) = xo + yo n→∞ lim λn xn = λo xo n→∞ Định nghĩa 1.1.5 Dãy {xn } không gian định chuẩn E gọi dãy Cauchy với ε > tồn no ∈ N cho với n, m ∈ N, n, m ⩾ no ta có ∥xm − xn ∥ < ε (hay nói cách khác limm,n→∞ ∥xm − xn ∥ = 0) 1.1.2 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.6 Không gian Banach không gian định chuẩn đầy đủ với mêtric sinh chuẩn ∞ Định lý 1.1.7 Nếu chuỗi xn không gian định chuẩn E hội tụ n=1 thỏa mãn điều kiện: ∀ε, ∃no , ∀n ⩾ no , p ⩾ ∥sn+p − sn ∥ = ∥xn+1 + · · · + xn+p ∥ < ε Ngược lại, E không gian Banach chuỗi thỏa mãn điều kiện hội tụ Định lý suy trực tiếp từ tiêu chuẩn Cauchy để dãy {sn } hội tụ không gian mêtric ∞ Định lý 1.1.8 Nếu chuỗi xn hội tụ limn→∞ xn = n=1 Chứng minh Ta có limn→∞ xn = limn→∞ (sn − sn−1 ) = s − s = Mệnh đề 1.1.9 ∞ ∞ ∞ yn hội tụ có tổng tương ứng làs t chuỗi xn (a) Nếu chuỗi n=1 n=1 (xn + yn ) hội tụ có tổng s + t; với λ ∈ K chuỗi ∞ λxn hội n=1 n=1 tụ có tổng λs ∞ ∞ xn (b) Nếu n=1 yn hai chuỗi cho xn = yn với n trừ hữu hạn n=1 số chuỗi đồng thời hội tụ phân kỳ (c) Giả sử {kn } dãy tăng thực số tự nhiên k1 = 1, chuỗi ∞ xn n=1 có tồng s Nếu đặt yn = kn+1 −1 ∞ xp chuỗi 1.1.3 yn hội tụ có tổng s n=1 p=kn Chuỗi hội tụ tuyệt đối Chuỗi ∞ xn gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi số dương n=1 ∞ ∥xn ∥ hội tụ n=1 ∞ Định lý 1.1.10 Nếu E không gian Banach ∞ đíi E chuổi ∞ xn hội tụ ∥xn ∥ xn ⩽ n=1 xn chuổi hội tụ tuyệt n=1 ∞ n=1 39 supremum lấy tất hình cầu B ⊂ X fB trung bình f B µ(B) fB = B f (x)dµ(x) Ta đồng hàm Lα,q (X) mà chúng sai khác số cộng 3.3 Phân hoạch Calderón-Zygmund X Bổ đề 3.3.1 Cho µ độ đo dương σ− đại số tập X, với r > hình cầu B(x, r) ⊂ X, ta có µ(B(x, 2r)) ⩽ C0 µ(B(x, r)) với C0 > Cho f hàm khơng âm cho với hình cầu B ⊂ X λ > có tính chất µ(B) B f (x)dµ(x) ⩽ λ Khi đó, tồn dãy {Bj } hình cầu B số dương C, phụ thuộc vào C0 , κ1 κ2 , cho f (x) ⩽ λ với µ -hầu hết x ∈ B\ λ< µ (Bj ) Bj j Bj f (x)dµ(x) ⩽ Cλ với j Hơn nữa, tồn số dương hữu hạn M , phụ thuộc vào κ1 κ2 , cho khơng có điểm B thuộc M hình cầu Bj Chứng minh Ta định nghĩa hàm cực đại Hardy-Littlewood cổ điển M f tương ứng với độ đo µ B cách đặt M f (x) = sup x∈S µ(S) S f (y)dµ(y), ∀x ∈ B supremum lấy tất hình cầu S ⊂ B chứa x Rõ ràng, M f hàm nửa liên tục Do đó, tập Eλ := {x ∈ B : M f (x) > λ} mở bị chặn, tồn dãy {Bj } hình cầu Eλ cho chúng tạo thành phủ Eλ Tất nhiên, khơng có điểm B thuộc q M hình cầu {Bj } Ở đây, số M phụ thuộc vào κ1 κ2 ; nữa, gọi độ rời họ {Bj } Theo định lý vi phân Lebesgue cho không gian loại nhất, ta có r→0 µ(B(x, r)) f (x) = lim B(x,r) f (y)dµ(y) ⩽ M f (x) ⩽ λ 40 với µ -hầu hết x ∈ B\ λ< µ (Bj ) j Bj Bj Hơn nữa, với j ⩾ 1, ta suy f (x)dµ(x) ⩽ µ Bj∗ µ (Bj ) µ Bj∗ Bj− f (x)dµ(x) ⩽ Cλ Bj∗ hình cầu tâm với hình cầu Bj bán kính gấp 3κ1 lần bán kính Bj , số C phụ thuộc vào C0 , κ1 κ2 Vì vậy, ta kết thúc chứng minh bổ đề Bổ đề 3.3.2 Với q ∈ (1, ∞), tồn số C cho q′ µ({x ∈ B : < β}) ⩽ C (β) µ(B) với hình cầu B 3.4 Bất đẳng thức kiểu John-Nirenberg Lα,q (X) Mục đích tiểu mục phát biểu chứng minh kết bất đẳng thức loại John-Nirenberg cho không gian Morrey-Campanato không gian loại Kết phát biểu sau Định lý 3.4.1 Cho f ∈ Lα,q (X) thỏa mãn ∥f ∥Lα,q (X) ̸= Khi đó, tồn số dương C1 , C2 C3 , độc lập với f , cho với α > hình cầu B ⊂ X, khẳng định sau đúng: (i) Nếu q = µ ({x ∈ B : |f (x) − fB | > α}) ⩽ C1 e−C2 α/∥f ∥BM O(X) µ(B) (ii) Nếu q ∈ (1, ∞)  µ ({x ∈ B : |f (x) − fB | > α}) ⩽ C3 1 + α ∥f ∥BM O(X) −q ′  Chứng minh Lấy tùy ý f ∈ Lα,1 (X) với |f |Lα,1 (X) ̸= cố định hình cầu B0 ⊂ X Với α > hình cầu B ⊂ B0 , ta ký hiệu EB (α) := {x ∈ B : |f (x) − fB | > α} 41 µ({x ∈ B : |f (x) − fB | > α}) µ(B) B⊂B0 F (α) := sup Hiển nhiên F (·) hàm giảm [0, ∞) F (α) ⩽ F (0) ⩽ Ta khảo sát mối liên hệ tập EB (α) B α thay đổi Công cụ cho phép ta làm điều phiên phân tích loại Calderón-Zygmund cho khơng gian loại Với x ∈ X, ta suy C µ(B) µ(B) ⩾ µ (B0 ) µ (B0 ) với hình cầu B ⊂ B0 Do đó, từ f ∈ Lα,1 (X) ta suy µ (B0 ) µ(B) B |f (x) − fB | dµ(x) ⩽ µ(B)µ(B0 ) ∥f ∥BM O(X) µ(B) ⩽ Cµ (B0 ) ∥f ∥BM O(X) Vì vậy, cách áp dụng Bổ đề 3.3.1 cho λ0 ⩾ Cµ(B0 )∥f ∥BM O(X) bất kỳ, ta nhận dãy {Bj } hình cầu B cho với µ -hầu hết x ∈ B\ j Bj j ⩾ 1, ta có |f (x) − fB | µ(B0 ) ⩽ λ0 λ0 < µ(B0 ) µ(Bj ) Bj |f (x) − fB | dµ(x) ⩽ C1 λ0 C1 số dương Bổ đề 3.3.1 Tất nhiên, khơng có điểm B thuộc q M hình cầu Bj Ở đây, số M cho Bổ đề 3.3.1 Do đó, |f (x) − fB | dµ(x) µ (βj ) Bj µ (B0 ) = |f (x) − fB | dµ(x) µ (B0 ) µ (Bj ) Bj |fBj − fB | ⩽ ⩽ C1 λ0 µ (B0 ) Với j ⩾ với µ -hầu hết x ∈ Bj , ta có 1 ⩽ C2 ess inf x∈Bj µ (B0 ) µ (B0 ) 42 C˜2 số phụ thuộc vào kích thước Ta |fBj − fB | ⩽ C1 C2 λ0 ess inf x∈Bj µ(B0 ) với j ⩾ Do đó, với µ -hầu hết x ∈ Bj j ⩾ 1, ta có |f (x) − fB | µ (B0 ) ⩽ f (x) − fBj µ (B0 ) + C1 C2 λ0 ess inf x∈Bj µ(B0 ) µ(B0 ) ⩽ f (x) − fBj µ (B0 ) + C1 C2 λ0 := f (x) − fBj µ (B0 ) + b Điều dẫn đến bao hàm thức EB (α + b) ⊂ j EBj (α) với µ -hầu hết x ∈ B Vì vậy, ta suy ∞ µ(E (α))µ(B ) µ(EB (α + b))µ(B0 ) Bj ⩽ µ(B)µ(B0 ) µ(B)µ(B0 ) j=1 Ta = µ(Bj )µ(B0 ) µ(EBj (α))µ(B0 ) µ(Bj )µ(B0 ) j=1 µ(B)µ(B0 ) ⩽ F (α)µ(B0 ) ∞ µ(B) µ(B) µ(B ) j=1 ∞ µ(EB (α + b)µ(B0 ) F (α)M ⩽ |f (x) − fB |dµ(x) µ(B)µ(B0 ) λ0 µ(B) B F (α)M ⩽ ∥f ∥BM O(X) λ0 µ(B) ⩽ λ−1 M C∥f ∥BM O(X) F (α) Ta suy F (α + b) ⩽ λ−1 CM ∥f ∥BM O(X) F (α) Do đó, lấy λ0 = eCM ∥f ∥BM O(X) b = eC C1 C2 M ∥f ∥BM O(X) F (α + b) ⩽ e−1 F (α) với α > Bằng quy nạp, ta F ((k + 1)b) ⩽ e−k F (b) với k ⩾ Hơn nữa, với α ∈ (kb, (k + 1)b], ta có F (α) ⩽ F (kb) ⩽ e−k F (0) ⩽ ee−α/b 43 Nói riêng, bất đẳng thức với α ∈ [0, b] Do đó, ta vừa hồn thành việc chứng minh cho trường hợp q = với số C1 = e C2 = 1/ eC C1 C2 M Bây giờ, ta xét trường hợp q ∈ (1, ∞) Với µ -hầu hết x ∈ B, ta có |f (x) − fB |µ(B0 ) ⩽ |f (x) − fBj |µ(B0 ) + C1 λ0 Cho nên, với hình cầu Bj α > ta đặt SBj α α := x ∈ Bj : C1 λ0 > 2 bao hàm thức  EB (α) ⊂  EBj j  α  ∪ α SBj j   miễn α ⩾ λ0 Kết hợp điều với Bổ đề 3.3.1, ta α ∞ µ E µ (EB (α)) Bj ⩽ µ (B0 ) µ (B0 ) j=1 µ SBj α2 + µ (B0 ) j=1 ∞ q ′ µ EBj α2 2C1 λ0  ⩽ + C3  µ (B0 ) α j=1  ∞ µ EBj α2 ⩽ µ (B0 ) j=1 ∞ + C3 µ (Bj ) j=1 µ (B0 ) q′ 2c1 λ0 α ∞ M µ(B) ∥f ∥BM O(X) λ0 µ(B0 ) C3 số dương Bổ đề 3.3.2 Từ đây, lập luận tương tự với chứng minh trường hợp q = 1, ta suy  q ′ CM ∥f ∥BM O(X) CM ∥f ∥BM O(X)  2C1 λ0  α F (α) ⩽ F + C3 λ0 λ0 α ′ ′ Lấy λ0 = CM 4q ∥f ∥BM O(X) C0 := C3 C C1 M 4q /2 viết lại  q′ , bất đẳng thức −q ′ α α  F (α) ⩽ 4−q F + C0  ∥f ∥BM O(X) ′ với α > CM 4′ ∥f ∥BM O(X) 44 Bằng cách sử dụng phương pháp quy nạp bất đẳng thức trên, ta suy  F (2m α) ⩽ C4 1 + −q ′ α m  ∥f ∥BM O(X) với m ∈ N, CM 4q′ ∥f ∥BM O(X) < α ⩽ 2CM 4q′ ∥f ∥BM O(X) C4 ⩾ max + 2CM 4q q′ ′ ′ , C0 2q +1 , hay  F (α) ⩽ C4 1 + −q ′ α ∥f ∥BM O(X)  ′ với α > CM 4q ∥f ∥BM O(X) Nói riêng, bất đẳng thức với ′ ⩽ α ⩽ CM 4q ∥f ∥BM O(X) Do đó, ta vừa hồn thành việc chứng minh định lý cho trường hợp q ∈ (1, ∞) Nhận xét 3.4.2 Bằng cách sử dụng Định lý 3.4.1, ta nhận Lα,1 (X) = Lα,q (X) = Lα,q (X) với q ∈ [1, ∞), Lα,q (X) mở rộng Lα,q (X) cho định lý sau Định lý 3.4.3 Cho q ∈ [1, ∞) Khi đó, với hàm µ -khả tích địa phương f , khẳng định sau tương đương: (i) ∥f ∥Lα,1 (X) := sup µ(B) B (ii) ∥f ∥Lα,q (X) := sup B B |f (x) − fB | dµ(x) < ∞; µ(B) B (iii) ∥f ∥Lα,q (X) := sup inf q |f (x) − fB | dµ(x) µ(B) a∈R B q q |f (x) − a| dµ(x) < ∞; 1/q < ∞ Hơn nữa, chuẩn ∥ · ∥Lα,1 (X) , ∥ · ∥Lα,q (X) ∥ · ∥Lα,q (X) tương đương Chứng minh Trước hết, ta chứng minh tính tương đương (i) (ii) Sử dụng bất đẳng thc Hăolder, d thy rng (ii) kộo theo (i) Vỡ vây, cần chứng minh (i) kéo theo (ii) Để làm điều này, ta xét hai trường hợp 45 Từ Định lý 3.4.1 với q ∈ (1, ∞), ta có q B =q [|f (x) − fB | µ(B)] ∞ dµ(x) µ(B) αq−1 µ ({x ∈ B : |f (x) − fB | > α}) ∞ ⩽C1 q dα µ(B) αq−1 e(−C2 α/∥f ∥Lα,1(X) ) dα −q =C1 C2 q∥f ∥qLα,1 (X) ∞ αq−1 e−α dα ∼∥f ∥qLα,1 (X) Ước lượng cho ta ∥f ∥Lα,q (X) ≲ ∥f ∥Lα,1 (X) Cho nên, khẳng định (i) kéo theo (ii) chứng minh xong Với q ∈ (1, ∞), với r > q, tồn s ∈ (0, r − q) Từ Định lý 3.4.1, với q ∈ (1, (r − s)′ ), ta có [|f (x) − fB | µ(B)] =q B ∞ ∞ ⩽q q dµ(x) µ(B) αq−1 µ({x ∈ B : |f (x) − fB | > α})  αq−1 C3 1 + =qC3 ∥f ∥qLα,1 (X) ∞ dα µ(B) −(r−s)′ α ∥f ∥Lα,1(x) dα  ′ αq−1 (1 + α)−(r−s) dα ∼∥f ∥qLα,1 (X) hay ∥f ∥Lα,q (X) ≲ ∥f ∥Lα,1 (X) Vì vây, ta kết thúc chứng minh trường hợp q ∈ (1, ∞) Tiếp theo, ta chứng minh tính tương đương (ii) (iii) Rõ ràng (ii) kéo theo (iii) ta cần chứng minh (iii) kéo theo (ii) Dễ dàng với a ∈ R, ta có B |f (x) − fB | dµ(x) ⩽ B |f (x) − a|dµ(x) + |fB − a| µ(B) ⩽ Cho nên, a∈R µ(B) ∥f ∥Lα,1 (X) ⩽ sup inf B B B |f (x) − a|dµ(x) |f (x) − a|dµ(x) 46 supremum lấy tất hình cầu B X Mặt khác, tương tự với chứng minh tính tương đương (i) (ii), ta có µ(B) 1/q |f (x) − a| dµ(x) B µ(B) q ⩾ B |f (x) − a|dµ(x) Ta ∥f ∥Lα,q (X) ≳ ∥f ∥Lα,1 (X) ≳ ∥f ∥Lα,q (X) Do đó, (iii) kéo theo (ii) định lý chứng minh xong Từ hai định lý trên, ta nhận đặc trưng bất đẳng thức loại JohnNirenberg cho không gian Lα,q (X) sau Định lý 3.4.4 Cho q ∈ [1, ∞) Khi đó, hàm µ-khả tích địa phương f thuộc Lα,q (X) thuộc Lα,q (X) tồn số dương C1 , C2 , C3 κ cho với hình cầu B ⊂ X α > 0, điều kiện sau đúng: (i) Nếu q = µ({x ∈ B : |f (x) − f (B)| > α}) ⩽ C1 e− C2 α κ µ(B) (ii) Nếu q ∈ (1, ∞) µ({x ∈ B :| f (x) − fB |> α}) ⩽ C3 α 1+ κ −q ′ · Chứng minh Ta cần chứng minh f ∈ Lα,1 (X) điều kiện cho Định lý 3.4.4 Để làm điều này, ta viết lại µ(B) = µ(B) = µ(B) J := B |f (x) − fB | dµ(x) |f (x) − fB | µ(B) B ∞ dµ(x) µ(B) µ ({x ∈ B : |f (x) − fB | > α}) Nếu q = J⩽ C1 µ(B) ∞ = κC1 C2−1 = κC1 C2−1 e −C2 α κ ∞ dα e−α dα dα µ(B) 47 Nếu q ∈ (1, ∞) J⩽ C3 µ(B) = κC3 ∞ ∞ 1+ −q α κ dα ′ (1 + α)−q dα κC3 · = ′ q −1 Từ hai ước lượng J ta suy ∥f ∥Lα,1 (X) < ∞ hàm f ∈ Lα,1 (X) Vì vậy, ta kết thúc việc chứng minh định lý Sự trùng BM O(X) BM Ow (X) 3.4.1 Cho hàm trọng w Rn , hàm khả tích địa phương f Rn gọi thuộc BM Ow (Rn ) ∥f ∥BM Ow (Rn ) := sup B w(B) B |f (x) − fB,w | w(x)dx < ∞ supremum lấy tất hình cầu B ⊂ Rn fB,w trung bình có trọng f B Không gian giới thiệu lần Muckenhoupt Wheeden vào năm 1976; nữa, họ w ∈ A∞ (Rn ) BM Ow (Rn ) ≡ BM O (Rn ) Mục đích mở rộng kết tới không gian MorreyCampanato không gian loại trọng w ∈ A∞ (X) Để đạt mục đích này, ta nhắc lại số định nghĩa cần thiết Cho w trọng thuộc lớp trọng A∞ (X) Muckenhoupt Một hàm khả tích địa phương f X gọi thuộc không gian Morrey-Campanato Lβ,q,w (X) với β ∈ [0, ∞) q ∈ [1, ∞) ∥f ∥Lβ,q,w := sup β B [w(B)] fB,w := w(B) w(B) 1/q q B |f (x) − fB,w | w(x)dµ(x) B α}) ⩽ C1 e −C2 α [µ(B)]1/p−1 µ(B) với hàm f ∈ Lφ,q (X) ≡ L −1,q (X) Với lập luận chứng minh p Định lý 3.4.1 cho trường hợp φ ∈ A1 (X) sử dụng độ đo ν tương ứng với dν(x) = w(x)dµ(x) thay độ đo µ với w ∈ A∞ (X), ta nhận phiên có trọng bất đẳng thức loại John-Nirenberg w ({x ∈ B : |f (x) − fB,w | > α}) ⩽ C1 e −C2 α [w(B)]1/p−1 w(B) f ∈ L −1,q,w (X) Ở đây, số C1 C2 độc lập với hình cầu B Bây giờ, p ta phát biểu kết tiểu mục sau Định lý 3.4.5 Không gian BM Ow (X) trùng với không gian BM O(X) trọng w ∈ A∞ (X) Để chứng minh định lý này, ta cần bổ đề bổ trợ sau Bổ đề 3.4.6 Nếu w ∈ A∞ (X) thi tồn q ∈ [1, ∞) r ∈ (1, ∞] cho w ∈ Aq (X) ∩ RHr (X); nữa, tồn hai số dương C1 C2 thỏa mãn C1 µ(E) µ(B) q w(E) µ(E) ⩽ ⩽ C2 w(B) µ(B) r−1 r với hình cầu B ⊂ X tập đo E ⊂ B Chứng minh Một khẳng định tiếng với trọng Muckenhoupt không gian loại nhất, ta có A∞ (X) = Ap (X) ⊂ 1⩽p α}) µ ({x ∈ B : |f (x) − fB | > α}) ≲ w(B) µ(B) ≲ e−C2 r−1 r α r−1 r Dễ thấy với hình cầu B X, ta có w(B) B |f (x) − fB,w | w(x)dµ(x) ⩽ w(B) B |f (x) − fB | w(x)dµ(x) Hai đánh giá dẫn đến w(B) B |f (x) − fB | w(x)dµ(x) w(B) B ∞ w ({x ∈ B : |f (x) − fB | > α}) = dα w(B) |f (x) − fB,w | w(x)dµ(x) ≲ ∞ ≲ e−C2 r−1 r α dα ≲1 đó, ta kết thúc chứng minh BM O(X) ⊂ BM Ow (X) 50 Tiếp theo, ta chứng minh BM Ow (X) ⊂ BM O(X) Thật vậy, ta có w ({x ∈ B : |f (x) − fB,w | > α}) ⩽ C1 e−C2 α w(B) với hàm f ∈ BM Ow (X) Ta µ ({x ∈ B : |f (x) − fB,w | > α}) w ({x ∈ B : |f (x) − fB,w | > α}) ≲ µ(B) w(B) ≲ e− C2 q α 1/q Sử dụng ước lượng với lập luận đơn giản chứng minh phần trước định lý, ta suy µ(B) B |f (x) − fB,w | dµ(x) µ(B) B ∞ µ ({x ∈ B : |f (x) − fB,w | > α}) dα ≲ µ(B) |f (x) − fB | dµ(x) ≲ ∞ ≲ e−C2 α/q dα ≲ vậy, ta kết thúc chứng minh BM Ow (X) ⊂ BM O(X) Nhận xét 3.4.7 Tương tự với chứng minh Định lý 3.4.5, khơng khó khăn để L −1,q (X) ≡ L −1,1 (X) p p L −1,q,w (X) ≡ L −1,1,w (X) p p với p ∈ (0, 1] q ∈ [1, ∞) Do đó, sử dụng Định lý 3.4.5 với w ∈ A∞ (X) q ∈ [1, ∞), ta suy L0,q (X) ≡ L0,q,w (X) ≡ BM O(X) Hơn nữa, w ∈ A∞ (X) thỏa mãn điều kiện tồn hai số dương C1 C2 cho với hình cầu B ⊂ X, ta có C1 µ(B) ⩽ w(B) ⩽ C2 µ(B) với q ∈ [1, ∞) ta nhận Lβ,q,w (X) ≡ Lβ,q (X) ≡ BM O(X) với cách thức chứng minh Định lý 3.4.5 Kết luận Trong luận văn này, thực công việc sau đây: • Trình bày có hệ thống khái niệm tính chất khơng gian Morrey-Campanato không gian Euclid không gian loại nhất, từ ứng dụng khái niệm khơng gian Morrey-Campanato vào việc nghiên cứu toán Phương trình đạo hàm riêng • Nghiên cứu bất đẳng thức kiểu John-Nirenberg không gian Phân hoạch Calderón-Zygmund khơng gian loại • Nghiên cứu số kết liên quan đến Phân hoạch Calderón-Zygmund khơng gian loại • Đưa bất đẳng thức kiểu John-Nirenberg không gian MorreyCampanato Trong luận văn này, ln cố gắng đưa thêm điều mới, thời gian kiến thức hạn chế tơi chưa thể nói lên hết nhiều khía cạnh vấn đề, nhiều sai sót khơng tránh khỏi Vì vậy, tơi trân trọng góp ý q Thầy, Cơ bạn để khóa luận hoàn thiện Tài liệu tham khảo [1] L Đ Kỳ, Bài giảng Lý thuyết độ đo tích phân, Quy Nhơn, 2013 [2] L Đ Kỳ, Bài giảng Giải tích thực, Quy Nhơn, 2015 [3] T T Quang, Cơ sở lý thuyết Giải tích hàm, Quy Nhơn, 2013 [4] D Deng, X T Duong and L Yan, A characterization of the MorreyCampanato spaces Math Z 250 (2005), no 3, 641–655 [5] X T Duong and L Yan, New function spaces of BMO type, the JohnNirenberg inequality, interpolation, and applications Comm Pure Appl Math 58 (2005), no 10, 1375–1420 [6] D Q Huy and L D Ky, John-Nirenberg type inequalities for Musielak-Orlicz Campanato spaces on spaces of homogeneous type Vietnam J Math 47 (2019), no 2, 461–476 [7] F John and L Nirenberg, On functions of bounded mean oscillation Comm Pure Appl Math 14 (1961), 415–426 [8] W Li, John-Nirenberg inequality and self-improving properties J Math Res Exposition 25 (2005), no 1, 42–46 [9] W Li, John-Nirenberg Type Inequalities for the Morrey-Campanato Spaces J Inequal Appl 2008, Art ID 239414, pp [10] S Lu, Four Lectures on Real H p Spaces World Scientific Publishing Co Pte Ltd (1995) 53 [11] H Rafeiro, N Samko and S Samko, Morrey-Campanato Spaces: an Overview Vol 228, 293–323 [12] Y Sawano, Morrey Spaces, Introduction and Applications to Integral Operators and PDE’s, Volume I Book (2020) [13] E M Stein and G Weiss, On the theory of harmonic functions of several variables I The theory of Hp-spaces Acta Math 103 (1960), 25–62 ... không gian ℓnp không gian Banach (b) Không gian C[a, b] không gian Banach (c) Không gian ℓp không gian Banach (d) Không gian Lp (X) không gian Banach (e) Không gian L∞ [0, 1] không gian Banach Định... với hình cầu B 3.4 Bất đẳng thức kiểu John- Nirenberg Lα,q (X) Mục đích tiểu mục phát biểu chứng minh kết bất đẳng thức loại John- Nirenberg cho không gian Morrey- Campanato không gian loại Kết phát... Chương Không gian Morrey- Campanato không gian Rn Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm khơng gian Morrey- Campanato khơng gian Rn , Phân hoạch Calderón-Zygmund Rn Bất đẳng thức kiểu John- Nirenberg