(Luận văn thạc sĩ) về các bất đẳng thức kiểu hadamard cho hàm r lồi

a 1−t t ′ 1−t t ′ ≤ t[a b |f (a b )| + at b1−t |f (at b1−t )|]dt ln b − ln a ≤ ′ ′ ln b − ln a = ≤ ′ 1 ′ t[ta + (1 − t)b][t|f (a)|r + (1 − t)|f (b)|r ] r dt + + ′ t[(1 − t)a + tb][(1 − t)|f (a)|r + t|f (b)|r ] r dt ′ [at + (b − a)t2 ][(1 − t)|f (a)|r + t|f (b)|r ] r dt ′ ′ [bt + (a − b)t2 ][t|f (a)|r + (1 − t)|f (b)|r ] r dt ln b − ln a ′ ′ ′ ′ aR(|f (a)|, |f (b)|, r) + (b − a)S(|f (a)|, |f (b)|, r) ′ ′ ′ ′ + bR(|f (b)|, |f (a)|, r) + (a − b)S(|f (b)|, |f (a)|, r) Định lí 2.5.1 chứng minh Định lí 2.5.2 [10, p 7] Cho f : I ⊆ R+ → R+ hàm khả vi I 55 a, b ∈ I với a < b, r ∈ R, r = f ∈ L([a, b]) Nếu |f |q r-lồi hình ′ ′ học [a, b] với q > b f (x) f (a) + f (b) − dx ln b − ln a a x q q q−1 ln b − ln a ′ ′ [R0 (a q−1 , b q−1 )] q [R(|f (a)|q , |f (b)|q , r)] q ≤ q q + [R0 (b q−1 , a q−1 )] q−1 q ′ (2.39) ′ [R(|f (b)|q , |f (a)|q , r)] q Ở R(u, v, r) R0 (u, v) xác định Bổ đề 2.5.2, 2.5.3 Chứng minh Từ |f |q r-lồi hình học [a, b], theo Bổ đề 2.5.1, 2.5.2, ′ 2.5.3 bất ng thc Hăolder ta cú b f (a) + f (b) f (x) − dx ln b − ln a a x ln b − ln a 1−t t ′ 1−t t ′ t[a b |f (a b )| + at b1−t |f (at b1−t )|]dt ≤ ln b − ln a ≤ + ta q(1−t) q−1 ta b qt 1−q q−1 q qt q−1 b q 1−t t q b )| dt q(1−t) 1−q q−1 q ′ q t 1−t q t|f (a b dt )| dt q q q−1 ln b − ln a [R0 (a q−1 , b q−1 )] q ≤ q q−1 ,a q q−1 )] q−1 q ′ ′ qr qr r t[(1 − t)|f (a)| + t|f (b)| ] dt ′ ′ r t[t|f (a)|qr + (1 − t)|f (b)|qr ] dt = ′ t|f (a dt 0 + [R0 (b 1 q q q q−1 ln b − ln a ′ ′ [R0 (a q−1 , b q−1 )] q [R(|f (a)|q , |f (b)|q , r)] q q q + [R0 (b q−1 , a q−1 )] q−1 q ′ ′ [R(|f (b)|q , |f (a)|q , r)] q Định lí 2.5.2 chứng minh Định lí 2.5.3 [10, p 8] Cho f : I ⊆ R+ → R+ hàm khả vi I q 56 a, b ∈ I với a < b, r ∈ R, r = f ∈ L([a, b]) Nếu |f |q r-lồi hình ′ ′ học [a, b] với q > b f (a) + f (b) f (x) − dx ln b − ln a a x q−1 ln b − ln a ′ ′ [R0 (a, b)] q [aR(|f (a)|q , |f (b)|q , r) ≤ ′ ′ + (b − a)S(|f (a)|q , |f (b)|q , r)] q + [R0 (b, a)] q−1 q ′ ′ ′ ′ [bR(|f (b)|q , |f (a)|q , r) + (a − b)S(|f (b)|q , |f (a)|q , r)] q (2.40) Ở R(u, v, r), S(u, v.r) R0 (u, v) xác định Bổ đề 2.5.2, 2.5.3 Chứng minh Từ |f |q r-lồi hình học [a, b], theo Bổ đề 2.5.1, 2.5.2, ′ 2.5.3 bất đẳng thc Hăolder ta cú b f (a) + f (b) f (x) − dx ln b − ln a a x ln b − ln a 1−t t ′ 1−t t ′ ≤ t[a b |f (a b )| + at b1−t |f (at b1−t )|]dt ln b − ln a ≤ + ta1−t bt dt ta b q−1 q t 1−t ta b dt 0 q−1 ln b − ln a ≤ [R0 (a, b)] q ′ ′ ta1−t bt |f (a1−t bt )|q dt t 1−t q |f (a b q ′ ′ qr ′ ′ r t[(ta + (1 − t)b][(t|f (a)|qr + (1 − t)|f (b)|qr ] dt ′ qr r t[(1 − t)a + tb][(1 − t)|f (a)| + t|f (b)| ] dt q−1 ln b − ln a ′ ′ [R0 (a, b)] q [aR(|f (a)|q , |f (b)|q , r) ′ q )| dt 1 q−1 q = t 1−t + [R0 (b, a)] q−1 q + (b − a)S(|f (a)|q , |f (b)|q , r)] q q q 57 + [R0 (b, a)] q−1 q ′ ′ ′ ′ [bR(|f (b)|q , |f (a)|q , r) + (a − b)S(|f (b)|q , |f (a)|q , r)] q Định lí 2.5.3 chứng minh Kết luận chương Chương trình bày số mở rộng bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho lớp hàm r−lồi bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho họ hàm r−lồi, cho lớp hàm (h, r)−lồi, cho lớp hàm r−lồi hai biến, cho lớp hàm ϕ − r−lồi, cho lớp hàm r−lồi hình học 58 Kết luận Đề nghị Luận văn giới thiệu, hệ thống hóa, chứng minh số bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard cho hàm r−lồi, cho họ hàm r−lồi, cho lớp hàm (h, r)−lồi, cho lớp hàm r−lồi hai biến, cho lớp hàm ϕ − r−lồi, cho lớp hàm r−lồi hình học, bất đẳng thức Fejer cho hàm r−lồi r−lồi suy rộng Qua q trình làm luận văn, tơi biết đến bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard mà từ trước tới chưa biết đến Qua tơi thấy kiến thức bất đẳng thức Hermite-Hadamard, kiến thức tốn giải tích tốn ứng dụng nâng lên rõ rệt Việc tìm hiểu bất đẳng thức giúp tơi nâng cao trình độ ứng dụng thiết thực học tập giảng dạy Theo tôi, bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard cho hàm lồi hàm lồi suy rộng vấn đề lý thú, địi hỏi thời gian tiếp tục tìm tòi, đặc biệt ứng dụng Hy vọng nhận đóng góp q báu từ thầy giáo bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! 59 Tài liệu tham khảo [1] Adiyasuren ities V involving (2010), several A Note on r-convex integral inequal- functions, web: iom.num.edu.mn/journal/2010/V.Adiyasuren.pdf [2] Cerone P., Dragomir S S (2011), Mathematical Inequalities: A perspective, CRS Press, Taylor and Francis Group, LLC, USA [3] Chen F and Liu X (2013), “Refinements on the Hermite–Hadamard Inequalities for r-Convex Functions”, Journal of Applied Mathematics, Volume 2013, Article ID 978493, Hindawi Publishing Corporation, pages [4] Gill P M., Pearce C E M., and Peări´c J (1997), “Hadamard’s inequality for r-convex functions”, J Math Anal Appl., pp 461–470 [5] Hap L V and Vinh N V (2013), “On some Hadamard–type Inequalities for (h, r)-Convex Functions”, Int Journal of Math Analysis, pp 2067–2075 [6] Lee K C and Tseng K L (2000), “On weighted generalization of Hadamard’s Inequality for G–convex functions”, Tamsui Oxford Journal of Mathematical Sciences, pp 91–104 [7] Ngoc N P N., Vinh N V and Hien P T T.(2009), “Integral Inequalities 60 of Hadamard type for r-convex functions, International Mathematical Forum, pp 17231728 ă [8] Ozdemir M E and Akdemir A O (2010), On Hadamar–type inequalities for co-ordinated r-convex functions, arXiv:1009.4081v2 [math.CA], pp 1-10 [9] Sarikaya M Z., Yaldiz H and Bozkurt H (2012), On the Hadamard Type Integral Inequalities Involving Several ϕ − r−Convex Functıons, arXiv:1203.2278v1 [math.CA] [10] Xi B Y and Qi F (2014), “Hermite–Hadamard Type Inequalities for Geometrically r-Convex Functions”, Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, pp.530–546 [11] Sulailman W T (2010), “Integral inequality regading r-convex and rconcave functions”, J Korean Math Soc., pp 373-383 [12] Zabandan G., Bodaghi A and Kılıc¸man A (2012), “The HermiteHadamard inequality for r-convex functions”, Journal of Inequalities and Applications , 2012:215 ... bất đẳng thức kiểu Hermite -Hadamard cho hàm r? ? ?lồi, cho họ hàm r? ? ?lồi, cho lớp hàm (h, r) ? ?lồi, cho lớp hàm r? ? ?lồi hai biến, cho lớp hàm ϕ − r? ? ?lồi, cho lớp hàm r? ? ?lồi hình học, bất đẳng thức Fejer cho. .. r) ] q Định lí 2.5.3 chứng minh Kết luận chương Chương trình bày số mở r? ??ng bất đẳng thức Hermite -Hadamard cho lớp hàm r? ? ?lồi bất đẳng thức Hermite -Hadamard cho họ hàm r? ? ?lồi, cho lớp hàm (h, r) ? ?lồi, ... hàm r? ? ?lồi r? ? ?lồi suy r? ??ng Qua q trình làm luận văn, tơi biết đến bất đẳng thức kiểu Hermite -Hadamard mà từ trước tới chưa biết đến Qua tơi thấy kiến thức bất đẳng thức Hermite -Hadamard, kiến thức