Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 48 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
48
Dung lượng
1,08 MB
Nội dung
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Thị Kim Hương lu an n va gh tn to p ie TOÁN TỬ HARDY-CESÀRO oa nl w CÓ TRỌNG SUY RỘNG VÀ HỐN TỬ d TRÊN KHƠNG GIAN MORREY CĨ TRỌNG nf va an lu z at nh oi lm ul z LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC m co l gm @ an Lu Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Thị Kim Hương lu an n va p ie gh tn to TỐN TỬ HARDY-CESÀRO CĨ TRỌNG SUY RỘNG VÀ HỐN TỬ TRÊN KHƠNG GIAN MORREY CĨ TRỌNG oa nl w d Chun ngành: Tốn giải tích lu nf va an Mã số: 60 46 01 02 lm ul z at nh oi LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z gm @ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: m co l TS TRẦN TRÍ DŨNG an Lu Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 n va ac th si LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn TS Trần Trí Dũng Nội dung luận văn có tham khảo sử dụng số kết quả, nội dung từ sách, báo liệt kê danh mục tài liệu tham khảo Tôi xin chịu trách nhiệm hồn tồn luận văn Lê Thị Kim Hương lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Trần Trí Dũng, người tận tình hướng dẫn tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Phịng Sau Đại học, Khoa Tốn – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện học tập tốt cho Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cơ Hội đồng góp ý q báu để tơi hồn thiện luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, anh chị khóa bạn bè chuyên lu ngành Giải tích ln bên cạnh, động viên điểm tựa vững cho thời an gian làm luận văn va n TP Hồ Chí Minh, tháng 03 năm 2018 to p ie gh tn Lê Thị Kim Hương d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Mục lục Danh mục ký hiệu MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Kiến thức giải tích điều hịa lu 1.2 Hàm trọng 𝝎 .3 an 1.3 Tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng hốn tử va n 1.4 Khơng gian 𝑩𝑴𝑶 có trọng .6 ie gh tn to 1.5 Khơng gian Morrey có trọng .9 p 1.6 Toán tử cực đại Hardy-Littlewood 10 nl w Kết hợp đánh giá trên, ta 13 d oa CHƯƠNG TÍNH BỊ CHẶN CỦA TỐN TỬ HARDY-CESÀRO CĨ TRỌNG SUY an lu RỘNG VÀ HỐN TỬ TRÊN KHƠNG GIAN MORREY TRUNG TÂM CÓ TRỌNG nf va 14 lm ul 2.1 Không gian Morrey trung tâm có trọng khơng gian BMO trung tâm có trọng 14 z at nh oi 2.2 Tính bị chặn tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng khơng gian Morrey trung tâm có trọng 21 z gm @ 2.3 Tính bị chặn hốn tử tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng khơng gian Morrey trung tâm có trọng .24 l m co 2.4 Hoán tử bậc cao khơng gian Morrey trung tâm có trọng 37 an Lu KẾT LUẬN 39 n va ac th si TÀI LIỆU THAM KHẢO .40 lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si DANH MỤC KÝ HIỆU ℕ Tập hợp số tự nhiên ℝ Tập hợp số thực ℝ𝑛 Không gian vector n chiều ℝ, mà phần tử có dạng x x1, x2 , , xn với 𝑥𝑖 ∈ ℝ, ∀𝑖 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛 Tập hợp số phức 𝜒𝐸 Hàm đặc trưng E 𝐿𝑝 Không gian hàm khả tích Lebesgue 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ với chuẩn lu ℂ an n va Lp p n f ( s ) ds p ie gh tn to f 𝐿∞ (𝑋) p Tập hợp hàm 𝑓 đo cho tồn số 𝑐 < ∞ thỏa ‖𝑓‖∞ = 𝑖𝑛𝑓{𝑐: |𝑓(𝑥)| ≤ 𝑐 ℎầ𝑢 𝑘ℎắ𝑝 𝑛ơ𝑖 𝑡𝑟ê𝑛 𝑋} d oa nl w f ( x) c hầu khắp nơi 𝑋, với chuẩn định lu Khơng gian hàm khả tích Lebesgue bậc p địa phương ℝ𝑛 lm ul 𝐿𝑝 (𝜔) nf va an 𝑝 𝐿𝑙𝑜𝑐 (ℝ𝑛 ) Không gian hàm khả tích Lebesgue độ đo 𝜔(𝑥 )𝑑𝑥 z at nh oi z m co l gm @ an Lu n va ac th si MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích điều hòa đại nhánh quan trọng Tốn học có nguồn gốc từ lý thuyết chuỗi Fourier tích phân Fourier cổ điển Trong khoảng 60 năm gần đây, giải tích điều hịa đại phát triển mạnh mẽ có nhiều ứng dụng đa dạng lĩnh vực như: phương trình đạo hàm riêng, xác suất thống kê, xử lí tín hiệu Bất đẳng thức tích phân Hardy biến thể đóng vai trị quan trọng nhánh khác giải tích lý thuyết xấp xỉ, phương trình vi phân, lý thuyết lu khơng gian hàm Do đó, bất đẳng thức tích phân Hardy cho tốn tử biến thể an nghiên cứu mở rộng nhiều Carton-Lebrun Fosset [2] định n va nghĩa tốn tử Hardy có trọng 𝑈𝜓 sau: to tn ie gh 𝑈𝜓 𝑓(𝑥 ) = ∫0 𝑓 (𝑡𝑥 )𝜓(𝑡)𝑑𝑡, 𝑥 ∈ ℝ𝑛 , p 𝜓: [0,1] → [0, ∞) hàm đo 𝑓 hàm đo nhận giá trị phức nl w ℝ𝑛 Các tác giả 𝑈𝜓 bị chặn từ 𝐵𝑀𝑂(ℝ𝑛 ) vào Trong [21], oa Xiao đạt kết tương tự có thêm kết tính bị chặn 𝑈𝜓 d khơng gian 𝐿𝑝 (ℝ𝑛 )) an lu nf va Nhận thấy giá trị 𝑈𝜓 𝑓 𝑥 phụ thuộc giá trị trung bình trọng lượng 𝑓 dọc lm ul theo tham số 𝑠(𝑡, 𝑥 ) = 𝑡𝑥 Do đưa đến việc xem xét toán tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng 𝑈𝜓,𝑠 𝑓 kết hợp với đường cong tham số 𝑠(𝑡, 𝑥 ): = 𝑠(𝑡)𝑥 z at nh oi Không gian Morrey cổ điển (biến thể tự nhiên 𝐿𝑝 (ℝ𝑛 )) giới thiệu Morrey [15] để khảo sát tính chất địa phương nghiệm phương trình đạo hàm z riêng elliptic bậc hai Sau đó, K Yasuo S Satoru [22] đưa định nghĩa khơng @ gm gian Morrey có trọng lượng 𝐿𝑝,𝜆 (𝜔) để nghiên cứu tính bị chặn tốn tử cổ điển m tốn tử tích phân phân số co l giải tích điều hịa toán tử cực đại Hardy-Littlewood, toán tử Calderon-Zygmund an Lu n va ac th si Gần đây, Z.W Fu, Z.G Liu S.Z Lu [7] thiết lập điều kiện cần đủ hàm trọng 𝜓 đảm bảo hốn tử tốn tử Hardy có trọng 𝑈𝜓 bị chặn 𝐿𝑝 (ℝ𝑛 ), < 𝑝 < ∞ với biểu tượng (symbol) 𝐵𝑀𝑂(ℝ𝑛 ) Sau đó, tính bị chặn 𝑈𝜓 nghiên cứu số không gian như: không gian Morrey, không gian Campanato, 𝛼 không gian loại 𝒬𝑝,𝑞 , không gian loại Triebel-Lizorkin Do đó, tiếp nối chủ đề luận văn nghiên cứu bất đẳng thức chuẩn có trọng cho tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng hốn tử khơng gian Morrey có trọng Các kết chủ yếu tham khảo [19] Mục tiêu nghiên cứu lu an Mục tiêu luận văn bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, đồng thời n va định hướng số hướng nghiên cứu sau, thuộc chun ngành Tốn giải tích Về tn to mặt khoa học, tác giả mong muốn đạt mục tiêu: tìm hiểu khái niệm tính bị chặn ie gh tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng hốn tử khơng gian Morrey có trọng p Phương pháp nghiên cứu nl w Trong luận văn này, thu thập tài liệu liên quan đến đề tài, tự tìm hiểu, tổng d oa hợp trình bày số kiến thức tốn tử cực đại Hardy-Littlewood, tính an lu ̇ 𝑝 (𝜔) Cơng việc địi hỏi tác giả chất hàm trọng 𝜔 không gian 𝐵𝑀𝑂(𝜔), 𝐶𝑀𝑂 phân giải tích thực Chương Kiến thức chuẩn bị z at nh oi lm ul Cấu trúc luận văn nf va phải vận dụng kiến thức chuyên sâu giải tích Fourier, giải tích hàm, độ đo - tích Chương Tính bị chặn tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng hốn tử z m co l gm @ không gian Morrey trung tâm có trọng an Lu n va ac th si CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Kiến thức giải tích điều hịa Các định lí sau trích dẫn từ [6], cơng cụ sử dụng hầu hết chứng minh kết luận văn Định lí 1.1.1 Bất đẳng thức H𝒐̈ lder 1 𝑝 𝑞 Giả sử < 𝑝 < ∞ + = Nếu 𝑓 𝑔 hai hàm đo 𝑋 ⊂ ℝ𝑛 ‖𝑓𝑔‖1 ≤ ‖𝑓‖𝑝 ‖𝑔‖𝑞 , nghĩa 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 𝑔 ∈ 𝐿𝑞 𝑓𝑔 ∈ 𝐿1 lu an Trong suốt luận vặn này, áp dụng bất đẳng thức H o lder với cặp số ( p, p) ta n va 1 p p gh tn to nói p p’ hai số liên hợp, tức p ie Định lí 1.1.2 Bất đẳng thức Minkowski’s w Nếu ≤ 𝑝 < ∞ 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐿𝑝 oa nl ‖𝑓 + 𝑔‖𝑝 ≤ ‖𝑓‖𝑝 +‖𝑔‖𝑝 d 1.2 Hàm trọng 𝝎 an lu lm ul (hầu khắp nơi) ℝ𝑛 nf va Định nghĩa 1.2.1 Ta nói 𝜔 hàm trọng 𝜔 đo ℝ𝑛 ( x) h.k.n z at nh oi Với tập đo 𝐸 ⊂ 𝑋, ta định nghĩa ( E ) : ( x) dx E Một hàm trọng 𝜔 gọi thỏa tính chất “doubling”, nghĩa tồn số dương z 𝐶 cho gm @ 𝜔(𝐵(𝑥, 2𝑟)) ≤ 𝐶𝜔(𝐵 (𝑥, 𝑟)) m co l an Lu n va ac th si 27 C K2 ( B) C( 1 ( ( B) | f (s(t ) y) | q ( y )dy)1/ q | bB , bs (t ) B , | (t )dt B ( s (t ) B)1 q | f ( y ) |q ( y )dy)1/ q | bB , bs ( t ) B , || s (t ) |( n ) (t )dt s (t ) B C‖ f ‖ Lq , ( ) |bB , bs (t ) B , || s (t ) |( n ) (t )dt C‖ f ‖ Lq , ( ) k 0 |bB , bs ( t ) B , || s (t ) |( n ) (t )dt 2 ( k 1) |s ( t )| 2 k Dễ thấy với 𝑘 ∈ ℕ, lu 𝑘 an |𝑏𝐵,𝜔 − 𝑏𝑠(𝑡)𝐵,𝜔 | ≤ ∑|𝑏2−(𝑖+1)𝐵,𝜔 − 𝑏2−𝑖𝐵,𝜔 | + |𝑏2−(𝑘+1) 𝐵,𝜔 − 𝑏𝑠(𝑡)𝐵,𝜔 | n va 𝑖=0 tn to Theo bổ đề 2.3.1 bổ đề 2.1.5 tồn số C cho BMO ( ) , i 0, , k , w p ie gh | b2 ( i 1) B , b2 i B , | C‖ b‖ BMO ( ) , d oa nl | b2 ( k 1) B , bs (t ) B , | C‖ b‖ nf va Khi an lu ( k 1) s(t ) 2 k lm ul k | bB , bs (t ) B, | C‖ b‖ BMO ( ) C‖ b‖ BMO ( ) C‖ b‖ BMO ( ) (k 2) Suy z ∞ z at nh oi i 0 ∫ (𝑘 + 2)|𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 gm @ 𝐾2 ≤ 𝐶 ‖𝑓‖ 𝐿̇𝑞,𝜆(𝜔) ‖𝑏‖𝐵𝑀𝑂(𝜔) ∑ 𝑘=0 2−(𝑘+1) ≤|𝑠(𝑡)|≤2−𝑘 co l an Lu Kết hợp đánh giá 𝐾1 , 𝐾2 𝐾3 ta ) 𝑑𝑡, |𝑠(𝑡)| m ≤ 𝐶 ‖𝑓‖ 𝐿̇𝑞,𝜆(𝜔) ‖𝑏‖𝐵𝑀𝑂(𝜔) ∫ |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 𝜓(𝑡) (2 + log n va ac th si 28 K C‖ b‖ BMO ( ‖ ) f‖ Lq , ( ) |s(t ) | ( n ) (t )dt C‖ f ‖ ‖ b‖ BMO ( ) Lq , ( ) |s(t ) | ( n ) log C‖ b‖ ‖ f‖ BMO ( ) Lq , ( ) |s(t ) | ( n ) (t )dt | s (t ) | (t )dt Hay K C‖ f ‖ Lq , (‖) b‖ BMO ( ) |s (t ) |( n ) log (t )dt | s(t ) | lu q , Vậy Ub ,s bị chặn từ L ( ) vào Lp , ( ), b BMO( ) an n va Ngược lại, giả sử (𝑖 ) thực Lấy ℎ(𝑥 ) = |𝑥 |(𝑛+𝛼)𝜆 ∈ 𝐿̇𝑠,𝜆 (𝜔), ∀𝑠 > 𝑏0 = to gh tn log|𝑥 | ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔) (theo bổ đề 2.1.2) Khi đó, p ie 𝑏0 𝑈𝜓,𝑠 ℎ = ℎ ∫ |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 𝜓(𝑡) log 𝑏 𝑑𝑡 |𝑠(𝑡)| d oa nl w Do 𝑈𝜓,𝑠 bị chặn 𝐿𝑝,𝜆 (𝜔) nên an lu ∫ |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 𝜓(𝑡) log 𝑑𝑡 < ∞ |𝑠(𝑡)| (2.14) nf va lm ul Mặt khác, ta lấy 𝑔(𝑥 ) = |𝑥 |(𝑛+𝛼)𝜆 1𝒳𝐵(0,1) (𝑥 ) ∈ 𝐿𝑝,𝜆 (𝜔) xét họ hàm 𝑏 ∈ 𝑏 𝑈𝜓,𝑠 𝑔(𝑥 ) = 𝑏(𝑥 )|𝑥 |(𝑛+𝛼)𝜆 z at nh oi 𝐵𝑀𝑂(𝜔) với 𝑏(𝑥 ) = 1𝒳𝐵(0,1) (𝑥 ) sgn(sin 𝜋𝑑|𝑥 |), 𝑑 ∈ ℕ Suy ∫ |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 𝜓(𝑡) z l gm @ − |𝑥 |(𝑛+𝛼)𝜆 ∫ |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 𝜓(𝑡) sgn(sin 𝜋𝑑|𝑠(𝑡)| |𝑥 |) 𝑑𝑡, |𝑥 | < Theo bổ đề Riemann-Lebesgue, lấy 𝑑, phụ thuộc vào 𝜓 đủ lớn cho co (𝑛+𝛼)𝜆 1 ≥ |𝑥 | ∫ |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 𝜓(𝑡)𝑑𝑡, < |𝑥 | < 2 m an Lu 𝑏 |𝑈𝜓,𝑠 𝑔(𝑥 )| n va ac th si 29 𝑏 Từ bất đẳng thức tính bị chặn tốn tử 𝑈𝜓,𝑠 ta có 𝑏 ∫ |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 ≤ 𝐶‖𝑈𝜓,𝑠 𝑓‖ ̇ 𝑞,𝜆 𝐿 (𝜔) →𝐿̇𝑝,𝜆 (𝜔) (2.15) Kết hợp (2.14) (2.15) ta |s(t ) | ( n ) log (t )dt | s(t ) | Vậy định lí chứng minh lu Hệ 2.3.3 Cho 𝜔 ∈ 𝒲𝛼 (𝛼 > −𝑛) thỏa tính chất “doubling”, < 𝑝 < 𝑞 < ∞ an −1⁄𝑞 < 𝜆 < Giả sử 𝑠 ∶ [0,1] → ℝ hàm đo thỏa < |𝑠(𝑡)| ≤ h.k.n va [0,1] Khi khẳng định sau tương đương: n gh tn to 𝑏 (𝑖 ) 𝑉𝜓,𝑠 bị chặn từ 𝐿̇𝑞,𝜆 (𝜔) vào 𝐿̇𝑝,𝜆 (𝜔) ∀𝑏 ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔); p ie (𝑖𝑖 ) ∫0 |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 |𝑙𝑜𝑔 | 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 < ∞ |𝑠(𝑡)| nl w Chú ý 2.3.4 Dễ dàng nhận thấy (𝑖𝑖 ) định lí 2.3.2 điều kiện cần cho hoán tử d oa 𝑏 𝑈𝜓,𝑠 bị chặn 𝐿̇𝑝,𝜆 (𝜔) (𝑝 = 𝑞 ), ∀𝑏 ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔) Tuy nhiên, (𝑖𝑖 ) có điều kiện đủ an lu 𝑏 để hoán tử 𝑈𝜓,𝑠 bị chặn 𝐿̇𝑝,𝜆 (𝜔), ∀𝑏 ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔) hay khơng cịn câu hỏi nf va mở đầy thú vị Cho đến bây giờ, có kết sau lm ul Định lí 2.3.5 Cho 𝜔 ∈ 𝒲𝛼 (𝛼 > −𝑛) thỏa tính chất “doubling”, < 𝑝 < ∞ −1⁄𝑝 < 𝜆 < Giả sử 𝑠 ∶ [0,1] → ℝ hàm đo thỏa < |𝑠(𝑡)| ≤ h.k.n z at nh oi [0,1] Khi đó, (𝑖𝑖 ) điều kiện đủ (𝑖′) 𝑏 (𝑖′) 𝑀𝜔,𝑐 (𝑈𝜓,𝑠 (∙)) bị chặn 𝐿𝑝,𝜆 (𝜔) 𝐿̇𝑝,𝜆 (𝜔), ∀𝑏 ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔), 𝑀𝜔,𝑐 z gm @ toán tử cực đại Hardy-Littlewood trung tâm với độ đo 𝜔(𝑥 )𝑑𝑥 cho m co 𝐵 ∫ |𝑓(𝑦)|𝜔(𝑦)𝑑𝑦, 𝜔(𝐵) 𝐵 l 𝑀𝜔,𝑐 𝑓(𝑥 ) = 𝑠𝑢𝑝 an Lu supremum lấy tất cầu B tâm gốc chứa x n va ac th si 30 (𝑖𝑖 ) ∫0 |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 |𝑙𝑜𝑔 | 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 < ∞ |𝑠(𝑡)| Chứng minh Giả sử (𝑖𝑖 ) thỏa mãn Đầu tiên, ta chứng minh M ,c (Ub ,s ()) bị chặn Lp , ( ), nghĩa ( ( M ,c (Ub , s f )( x)) p ( x)dx)1/ p 1 p ( B) B ‖ b‖ ‖ f‖ BMO ( ) Lp , ( ) |s(t ) | ( n ) log (t )dt , | s (t ) | lu an với b BMO( ), f Lp , ( ) cầu B va n Thật vậy, xét 𝑏 ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔), 𝑓 ∈ 𝐿𝑝,𝜆 (𝜔) Khi đó, với cầu B ℝ𝑛 có tâm to gh tn gốc, 𝑥 ∈ 𝐵 p ie 𝑏 ∫ |𝑈𝜓,𝑠 𝑓(𝑦)|𝜔(𝑦)𝑑𝑦 𝜔(𝐵) 𝐵 d oa nl w 1 ≤ ∫ ∫ |(𝑏(𝑦) − 𝑏(𝑠(𝑡)𝑦))𝑓 (𝑠(𝑡)𝑦)|𝜓(𝑡) 𝜔(𝑦)𝑑𝑡𝑑𝑦 𝜔(𝐵) 𝐵 lu nf va an 1 ≤ ∫ ∫ |(𝑏(𝑦) − 𝑏(𝑠(𝑡)𝑦))𝑓(𝑠(𝑡)𝑦)| 𝜔(𝑦)𝑑𝑦𝜓(𝑡)𝑑𝑡 𝜔(𝐵) 𝐵 ≤ z at nh oi lm ul 1 ≤ ∫ ∫ |(𝑏(𝑦) − 𝑏(𝑠(𝑡)𝑦))𝑓(𝑠(𝑡)𝑦)| 𝜔(𝑦)𝑑𝑦𝜓(𝑡)𝑑𝑡 𝜔(𝐵) 𝐵 1 ∫ ∫ |(𝑏(𝑦) − 𝑏𝐵,𝜔 )𝑓(𝑠(𝑡)𝑦)| 𝜔(𝑦)𝑑𝑦𝜓(𝑡)𝑑𝑡 𝜔(𝐵) 𝐵 z l gm @ 1 + ∫ ∫ |(𝑏𝐵,𝜔 − 𝑏𝑠(𝑡)𝐵,𝜔 )𝑓(𝑠(𝑡)𝑦)| 𝜔(𝑦)𝑑𝑦𝜓(𝑡)𝑑𝑡 𝜔(𝐵) 𝐵 1 ∫ ∫ |(𝑏(𝑠(𝑡)𝑦) − 𝑏𝑠(𝑡)𝐵,𝜔 )𝑓 (𝑠(𝑡)𝑦)| 𝜔(𝑦)𝑑𝑦𝜓(𝑡)𝑑𝑡 𝜔(𝐵) 𝐵 m co + an Lu =: 𝐽1 + 𝐽2 + 𝐽3 n va ac th si 31 Trước tiên, ta đánh giá J1 Áp dụng bất đẳng thức H o lder cho hàm f (s(t ) y) hàm b( y ) bB , với cặp số (r , r ), r (1, p) ta 1 | f ( s (t ) y ) |r ( y )dy)1/ r ( |b( y ) bB , |r ( y )dy)1/ r (t )dt ( B) B ( B) B J1 ( Sử dụng bổ đề 1.4.3 ta đạt J1 C‖ b‖ BMO ( ) ( | f ( s (t ) y ) |r ( y )dy)1/ r ( B) B lu an C‖ b‖ BMO ( ) ( (s(t ) B) va n tn to C‖ b‖ BMO ( ) M | f ( y ) |r ( y )dy)1/ r (t )dt s (t ) B r ,c f ( s (t ) x ) (t ) dt , 1/ r gh p ie với C số phụ thuộc vào p nl w Đánh giá tương tự ta có d oa J C‖ b‖ BMO ( ) M f r ( s (t ) x) (t )dt 1/ r ,c an lu J2 ( z at nh oi | f ( s(t ) y ) | ( y )dy) | bB , bs (t ) B , | (t )dt ( B) B lm ul nf va Tiếp theo, ta đánh giá số hạng lại K Số hạng viết lại sau Kết hợp sử dụng bất đẳng thức H o lder cho hàm f (s(t ) y) hàm với cặp số (r , r) ta z m co l gm @ an Lu n va ac th si 32 J2 ( | f ( s (t ) y ) |r ( y )dy )1/ r | bB , bs (t ) B , | (t )dt ( B) B M f r ( s (t ) x) | bB , bs (t ) B , | (t )dt 1/ r 2 k / k 0 M f r ( s (t ) x) | bB , bs (t ) B , | (t )dt 1/ r 2 ( k 1)/ Dễ thấy với 𝑘 ∈ ℕ, 𝑘 |𝑏𝐵,𝜔 − 𝑏𝑠(𝑡)𝐵,𝜔 | ≤ ∑|𝑏2−(𝑖+1)𝐵,𝜔 − 𝑏2−𝑖𝐵,𝜔 | + |𝑏2−(𝑘+1)𝐵,𝜔 − 𝑏𝑠(𝑡)𝐵,𝜔 | 𝑖=0 lu an Theo bổ đề 2.3.1 bổ đề 2.1.5 tồn số C cho va n | b2 ( i 1) B , b2 i B , | C‖ b‖ BMO ( ) , i 0, , k , tn to gh p ie | b2 ( k 1) B , bs (t ) B , | C‖ b‖ BMO ( ) , oa nl w ( k 1) s(t ) 2 k d Do nf va an lu | bB, bs (t ) B, | C‖ b‖ BMO ( ) (k 2) lm ul Khi M k 0 1/ r f r ( s (t ) x) 1/ r ,c ) (t )dt | s(t ) | Từ đánh giá 𝐽1 , 𝐽2 𝐽3 , ta 1 l gm @ (2 log z M ,c 2 ( k 1)/ C‖ b‖ BMO ( ) f r ( s (t ) x) (k 2) (t )dt z at nh oi J C‖ b‖ BMO ( ) 2 k / 1⁄𝑟 (2 + m co 𝑏 𝑓(𝑦)|𝜔(𝑦)𝑑𝑦 ≤ 𝐶 ‖𝑏‖𝐵𝑀𝑂(𝜔) ∫0 (𝑀𝜔 𝑓 𝑟 (𝑠(𝑡)𝑥 )) ∫ |𝑈𝜓,𝑠 𝜔(𝐵) 𝐵 an Lu |log |𝑠(𝑡)||) 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 n va ac th si 33 Theo định nghĩa M ,c (Ub ,s f ), ta 𝑏 𝑀𝜔 (𝑈𝜓,𝑠 𝑓)(𝑥 ) 1⁄𝑟 ≤ 𝐶 ‖𝑏‖𝐵𝑀𝑂(𝜔) ∫ (𝑀𝜔 𝑓 𝑟 (𝑠(𝑡)𝑥 )) (2 + |log ( |) 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 |𝑠(𝑡)| ( M ,c (Ub ,s f )( x)) p ( x)dx)1/ p 1 p ( B) B C‖ b‖ BMO ( ) ( 11 p ( B) ( (M B ,c f r ( s(t ) x))1/ r (2 log ) (t )dt ) p ( x)dx)1/ p | s(t ) | Áp dụng bất đẳng thức Minkowski’s cho vế phải bất đẳng thức trên, ta lu an ( va ( M ,c (Ub ,s f )( x)) p ( x)dx)1/ p 1 p ( B) B n C‖ b‖ BMO ( ) 1 p tn to ( ( B) (M gh Lp , ( ) |s(t ) | ( n ) p ie ‖ f‖ BMO ( ) f r ( s (t ) x)) p / r ( x)dx)1/ p (2 log B C‖ b‖ ,c (2 log ) (t )dt | s(t ) | ) (t )dt , | s (t ) | nl w p , đó, bất đẳng thức cuối suy từ định lí 1.6.2 kết f L ( ) d oa r p / r , r ( ) f L lu nf va an 𝑏 (∙)) bị chặn 𝐿̇𝑝,𝜆 (𝜔), ta sử dụng Để chứng minh tính bị chặn 𝑀𝜔,𝑐 (𝑈𝜓,𝑠 đối số kết hợp với việc thay toán tử cực đại Hardy-Littlewood M lm ul định lí 1.6.2 tốn tử cực đại Hardy-Littlewood trung tâm M ,c bổ đề sau z at nh oi Bổ đề 2.3.6 Giả sử 𝜔 có tính chất “doubling”, < 𝑝 < ∞ −1⁄𝑝 < 𝜆 < Khi đó, toán tử 𝑀𝜔,𝑐 bị chặn 𝐿̇𝑝,𝜆 (𝜔) z cầu B có tâm gốc l gm @ Chứng minh tương tự chứng minh định lí 1.6.2 cách thay cầu B tùy ý m co Sau đây, ta điều kiện đủ để hốn tử tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy gian BMO trung tâm có trọng với điều kiện thích hợp an Lu q , p , rộng Ub ,s bị chặn từ L ( ) vào L ( ) với biểu tượng (symbol) b thuộc khơng n va ac th si 34 Định lí 2.3.7 Cho 𝜔 ∈ 𝒲𝛼 (𝛼 > −𝑛) thỏa tính chất “doubling”, < 𝑝 < 𝑞 < ∞ −1⁄𝑞 < 𝜆 < Giả sử 𝑠 ∶ [0,1] → ℝ hàm đo thỏa < |𝑠(𝑡)| ≤ h.k.n [0,1] Khi đó, ∫0 |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 |𝑙𝑜𝑔 |𝑠(𝑡)| 𝑏 | 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 < ∞ 𝑈𝜓,𝑠 bị chặn từ 𝐿̇𝑞,𝜆 (𝜔) vào ̇ 𝑟 (𝜔), 𝑟 ≥ 𝑟 ∗ : = 𝐿̇𝑝,𝜆 (𝜔) với 𝑏 ∈ 𝐶𝑀𝑂 𝑝𝑞 𝑞−𝑝 Chứng minh Ở đây, thay sử dụng tốn tử cực đại Hardy-Littlewood để chứng minh, ta chứng minh trực tiếp định lí Giả sử ∫0 |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 |log |𝑠(𝑡)|| 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 < ∞ lu an Lấy B cầu có tâm gốc, 𝑓 hàm không gian 𝐿̇𝑝,𝜆 (𝜔) 𝑏 ∈ n va ̇ 𝑟 (𝜔), 𝑟 ≥ 𝐶𝑀𝑂 𝑝𝑞 tn to 𝑞−𝑝 ie gh Đặt p K ( w |U b f ( y ) | p ( y ) dy)1/ p 1 p , s ( B) B 1 d oa nl ( |b( y) f (s(t ) y) (t )dt b(s(t ) y) f ( s(t ) y) (t )dt |p ( y)dy)1/ p 1 p ( B) B 0 lu | (b(y) b(s(t ) y)) f ( s(t ) y) (t )dt | p ( y) dy)1/ p nf va B an ( ( B)1 p lm ul Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta z at nh oi 𝐾≤∫ ( ∫ |𝑏(𝑦) − 𝑏(𝑠(𝑡)𝑦)𝑓(𝑠(𝑡)𝑦)|𝑝 𝜔(𝑦) 𝑑𝑦) 1+𝜆𝑝 𝜔(𝐵) 𝐵 1⁄𝑝 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 z gm @ Áp dụng bất đẳng thức m cho vế phải đánh giá ta co l 3𝑝−1 (|𝑥 |𝑝 + |𝑦|𝑝 + |𝑧|𝑝 ) ≥ |𝑥 + 𝑦 + 𝑧|𝑝 , 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℂ, an Lu n va ac th si 35 1⁄𝑝 1 𝑝 ( ) ( ( ) ) 𝐾 ≤ 𝐶∫ ( ∫ |(𝑏 𝑦 − 𝑏 )𝑓 𝑠 𝑡 𝑦 | 𝜔(𝑦) 𝑑𝑦) 𝐵,𝜔 1+𝜆𝑝 ( ) 𝜔 𝐵 𝐵 +𝐶∫ ( ∫ |(𝑏𝐵,𝜔 𝜔(𝐵)1+𝜆𝑝 𝐵 1⁄𝑝 𝑝 − 𝑏𝑠(𝑡)𝐵,𝜔 )𝑓 (𝑠(𝑡)𝑦)| 𝜔(𝑦) 𝑑𝑦) +𝐶∫ ( 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 ∫ |(𝑏(𝑠(𝑡)𝑦) 𝜔(𝐵)1+𝜆𝑝 𝐵 1⁄𝑝 𝑝 − 𝑏𝑠(𝑡)𝐵,𝜔 )𝑓 (𝑠(𝑡)𝑦)| 𝜔(𝑦) 𝑑𝑦) 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 ≔ 𝐾1 + 𝐾2 + 𝐾3 lu an n va C số phụ thuộc vào p tn to Trước hết ta đánh giá số hạng 𝐾1 Sử dụng bất đẳng thức H𝑜̈ lder cho hàm b( y) bB , hàm f ( s (t ) y ) p với cặp p ie gh p 𝑞 𝑞 , 𝑙 ′ = ) số (𝑙 = 𝑞−𝑝 𝑝 nl w C K1 ( B) d B ( | f ( s (t ) y ) |q ( y ) dy)1/ q (t ) dt ( B) B 1 q CMO ( ) CMO ( ) B C‖ b‖ r | f ( y ) |q ( y ) dy )1/ q | s (t ) |( n ) (t ) dt s (t ) B ‖ f ‖ Lq , ( ) |s (t ) |( n ) (t ) dt CMO ( ) m an Lu Tương tự ta có đánh giá co ( y ) dy)1/ q (t ) dt l q gm CMO ( ) | f (s(t ) y) | ( s (t ) B)1 q ( y ) dy )1/ q (t ) dt @ ( r 1 q q z B ( ( B) r | f (s(t ) y) | z at nh oi ( ( B) r lm ul C‖ b‖ |b( y ) bB , |r* ( y ) dy )1/ r* (t ) dt ( B) B nf va ( B) C‖ b‖ ( y ) dy)1/ q ( an r CMO ( ) C‖ b‖ q lu oa C‖ b‖ ( ( B) | f (s(t ) y) | n va ac th si 36 (𝑛+𝛼)𝜆 𝐾3 ≤ 𝐶 ‖𝑏‖𝐶𝑀𝑂 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 ̇ 𝑟 (𝜔) ‖𝑓 ‖ 𝐿̇𝑞,𝜆 (𝜔) ∫ |𝑠(𝑡 )| Cuối cùng, ta đánh giá số hạng lại Đầu tiên viết lại 𝐶 𝐾2 = ∫ ( ∫ |𝑓(𝑠(𝑡)𝑦)|𝑝 𝜔(𝑦) 𝑑𝑦) 𝜔(𝐵)𝜆 𝜔(𝐵) 𝐵 1⁄𝑝 |𝑏𝐵,𝜔 − 𝑏𝑠(𝑡)𝐵,𝜔 |𝜓(𝑡)𝑑𝑡 Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức H𝑜̈ lder cho cặp số (𝑞⁄𝑝 , (𝑞⁄𝑝)′) ta lu C K2 ( B) an va C( n C( ( ( B) | f (s(t ) y) | q ( y )dy )1/ q | bB , bs (t ) B , | (t )dt B | f ( s (t ) y ) |q ( y )dy )1/ q | bB , bs (t ) B , | (t )dt 1 q ( B) B ( s (t ) B)1 q | f ( y ) |q ( y )dy )1/ q | bB , bs (t ) B , || s (t ) |( n ) (t )dt s (t ) B ie gh tn to 1 p C‖ f ‖ Lq , ( ) |bB , bs (t ) B , || s (t ) |( n ) (t )dt w oa nl C‖ f ‖ Lq , ( ) k 0 |bB , bs (t ) B , || s (t ) |( n ) (t )dt 2 ( k 1) |s ( t )| 2 k d lu nf va an Dễ thấy với 𝑘 ∈ ℕ, 𝑘 𝑖=0 z at nh oi lm ul |𝑏𝐵,𝜔 − 𝑏𝑠(𝑡)𝐵,𝜔 | ≤ ∑|𝑏2−(𝑖+1)𝐵,𝜔 − 𝑏2−𝑖𝐵,𝜔 | + |𝑏2−(𝑘+1) 𝐵,𝜔 − 𝑏𝑠(𝑡)𝐵,𝜔 | Theo bổ đề 2.1.5 bổ đề 2.3.1, ta có | b2 ( i 1) B , b2 i B, | C | b‖ , i 0, , k r z CMO ( ) r CMO ( ) , m co | b2 ( k 1) B , bs (t ) B , | C | b‖ l gm @ an Lu ( k 1) s(t ) 2 k n va ac th si 37 Suy | bB , bs (t ) B , | (k 2)C | b‖ , k r CMO ( ) Khi ∞ 𝐾2 ≤ 𝐶 ‖𝑓‖ 𝐿̇𝑞,𝜆(𝜔) ‖𝑏‖𝐶𝑀𝑂 ̇ 𝑟 (𝜔) ∑ (𝑘 + 2)|𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 ∫ 𝑘=0 2−(𝑘+1) ≤|𝑠(𝑡)|≤2−𝑘 (𝑛+𝛼)𝜆 ≤ 𝐶 ‖𝑓‖ 𝐿̇𝑞,𝜆(𝜔) ‖𝑏‖𝐶𝑀𝑂 𝜓(𝑡) |2 + log ̇ 𝑟 (𝜔) ∫ |𝑠(𝑡 )| | 𝑑𝑡 |𝑠(𝑡)| lu Kết hợp đánh giá 𝐾1 , 𝐾2 𝐾3 ta thu an va n K C‖ f ‖ Lq , (‖) b‖ |s(t ) | r ( n ) log tn to CMO ( ) (t )dt | s(t ) | ie gh Vậy ta có điều phải chứng minh p Nhận xét : Theo định lí 2.3.2 bổ đề 2.1.4 (b) chiều ngược lại định lí 2.3.7 nl w hiển nhiên d oa Hệ 2.3.8 Cho 𝜔 ∈ 𝒲𝛼 (𝛼 > −𝑛) thỏa tính chất “doubling”, < 𝑝 < 𝑞 < ∞ an lu −1⁄𝑞 < 𝜆 < Giả sử 𝑠 ∶ [0,1] → ℝ hàm đo thỏa < |𝑠(𝑡)| ≤ h.k.n nf va [0,1] Khi đó, ∫0 |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 |𝑙𝑜𝑔 |𝑠(𝑡)| 𝑏 | 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 < ∞ 𝑉𝜓,𝑠 bị chặn từ 𝐿̇𝑞,𝜆 (𝜔) vào lm ul ̇ 𝑟 (𝜔), 𝑟 ≥ 𝑟 ∗ : = 𝐿̇𝑝,𝜆 (𝜔) với 𝑏 ∈ 𝐶𝑀𝑂 𝑝𝑞 𝑞−𝑝 z at nh oi 2.4 Hốn tử bậc cao khơng gian Morrey trung tâm có trọng Cho vector 𝒃 = (𝑏1 , … , 𝑏𝑘 ) hoán tử bậc cao tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy z rộng định nghĩa gm 𝑘 @ 𝑗=1 m an Lu 𝒃 𝒃 𝑏 Khi 𝑘 = 𝑈𝜓,𝑠 = 𝑈𝜓,𝑠 , 𝑘 = 𝑈𝜓,𝑠 = 𝑈𝜓,𝑠 co l 𝒃 𝑈𝜓,𝑠 𝑓(𝑥 ) = ∫ (∏ (𝑏𝑗 (𝑥 ) − 𝑏𝑗 (𝑠(𝑡)𝑥 ))) 𝑓(𝑠(𝑡)𝑥 ) 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 n va ac th si 38 Tương ứng, ta định nghĩa hoán tử bậc cao toán tử Cesàro có trọng suy rộng 𝑘 𝒃 𝑉𝜓,𝑠 𝑓(𝑥 ) = ∫ (∏ (𝑏𝑗 (𝑥 ) − 𝑏𝑗 (𝑠(𝑡)𝑥 ))) 𝑓(𝑠(𝑡)𝑥 ) |𝑠(𝑡)|𝑛 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 𝑗=1 Chú ý 𝒃 ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔) nghĩa 𝑏𝑖 ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔), ∀𝑖, ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 Áp dụng phương pháp chứng minh định lí 2.3.2, ta có kết tương tự cho hoán tử bậc cao tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng Định lí 2.4.1 Cho 𝜔 ∈ 𝒲𝛼 (𝛼 > −𝑛) thỏa tính chất “doubling”, < 𝑝 < 𝑞 < ∞ −1⁄𝑞 < 𝜆 < Giả sử 𝑠 ∶ [0,1] → ℝ hàm đo thỏa < |𝑠(𝑡)| ≤ h.k.n lu an [0,1] Khi khẳng định sau tương đương: n va 𝒃 (𝑖 ) 𝑈𝜓,𝑠 bị chặn từ 𝐿̇𝑞,𝜆 (𝜔) vào 𝐿̇𝑝,𝜆 (𝜔) ∀𝒃 ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔); 𝑘 ie gh tn to (𝑖𝑖 ) ∫0 |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 |𝑙𝑜𝑔 | 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 < ∞ |𝑠(𝑡)| p Và hai mệnh đề sau tương đương: oa nl w 𝒃 (𝑖 ) 𝑉𝜓,𝑠 bị chặn từ 𝐿̇𝑞,𝜆 (𝜔) vào 𝐿̇𝑝,𝜆 (𝜔) ∀𝒃 ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔); 𝑘 d (𝑖𝑖 ) ∫0 |𝑠(𝑡)|(𝑛+𝛼)𝜆 |𝑙𝑜𝑔 | 𝜓(𝑡)𝑑𝑡 < ∞ |𝑠(𝑡)| nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 39 KẾT LUẬN Luận văn hệ thống lại điều kiện cần đủ để tốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng bị chặn khơng gian Morrey trung tâm có trọng Ngồi ra, luận văn trình bày lại kết tính bị chặn hốn tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng với biểu tượng C M O p ( ) Các kết luận văn trình bày chương Hướng nghiên cứu nối tiếp luận văn: nghiên cứu tính bị chặn tốn tử Hardy- lu Cesàro có trọng suy rộng hốn tử tốn tử khơng gian quen thuộc an Giải tích điều hịa như: khơng gian Campanato, không gian loại Triebel-Lizorkin n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO J Alvarez, M Guzmán-Partida, J Lakey (2000), "Spaces of bounded 𝜆 −central mean oscillation, Morrey spaces, and 𝜆 -central Carleson measures", Collect Math 51, pp.1–47 C Carton-Lebrun, M Fosset (1984), "Moyennes et quotients de Taylor dans BMO", Bull Soc R Sci Liege 53 (2), pp.85-87 Y.Z.Chen, K.S Lau (1989), “On some new classes of Hardy spaces”, J Funct Anal 84, pp.255-278 lu an N.M Chuong, H.D Hung (2012), “A generalized weighted Hardy-Cesaro n va operator, and its commutator on weighted Lp and BMO spaces”, J Duoandikoetxea (2001), Fourier Analysis, Grad Stud Math, vol 29, American Mathematical Society, Providence, RI, Translated and revised from p ie gh tn to arXiv:1208.5242v1 [math.CA] w the 1995 Spanish original by David Cruz-Uribe oa nl G.B Folland (1999), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, second edition, John Wiley and Sons d an lu Z.W Fu, Z.G Liu, S.Z Lu (2009), “Commutators of weighted Hardy nf va operators on ℝ𝑛 ”, Proc 137 (10), pp.3319-3328 lm ul Z.W Fu, S.Z Lu (2010), “Weighted Hardy operators and commutators on Morrey spaces”, Front Math China 5(3), pp.531-539 z at nh oi J Garcia-Cuerva and J L Rubio de Francia (1985), “Weighted Norm Inequalities and related topics”, North-Holland Mathematics Studies 116, z North-Holland, Amsterdam @ l University Press, London/NewYork gm 10 G.H Hardy, J.E Littlewood, G Pólya (1952), Inequalities, 2nd ed., Cambridge m co 11 J Heinonen, T Kilpel a inen and O Martio (2006), Nonlinear potential theory an Lu of degenerate elliptic equations, Dover Pulications, Inc., NewYork n va ac th si 41 12 F John, L Nirenberg (1961), “On functions of bounded mean oscillation”, Comm Pure Apple Math 14, pp.415-426 13 S.G Krantz, H.R Parks (2008), Geometric Integration Theory, Birkh𝑎̈ user 14 J Kuang (2010), “Weighted Morrey–Herz spaces and applications”, Appl Math E-Notes 10, pp.159–166 15 C.B Morrey (1938), “On the solutions of quasi-linear elliptic partial differential equations”, Trans Amer Math Soc 43, pp.126–166 16 E.M Stein (1993), Harmonic Analysis, Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton University Press 17 C Tang, Z Zhai (2010), “Generalized Poincaré embeddings and weighted lu an Hardy operator on 𝒬𝛼,𝑞𝑝 spaces”, J Math Anal Appl 371, pp.665–676 va n 18 C Tang, R Zhou (2012), Boundedness of weighted Hardy operator and its 19 T.D Tran (2014), “Generalized weighted Hardy-Cesàro operators and their commutators on weighted Morrey spaces”, J Math Anal 412, pp.1025-1035 p ie gh tn to applications on Triebel–Lizorkin-type spaces, J Funct Spaces Appl 2012 20 T.D Tran (2015), A study of Musielak-Orlicz Hardy spaces, weighted Morrey w oa nl spaces and boundedness of operators, Thesis for the degree of doctor of d philosophy department of mathematics, Australia Macquare University, an lu Sydney nf va 21 J Xiao (2001), “𝐿𝑝 and 𝐵𝑀𝑂 bounds of weighted Hardy–Littlewood lm ul averages”, J Math Anal Appl 262, pp.660–666 22 Komori Yasuo, Shirai Satoru (2009), “Weighted Morrey spaces and a singular z at nh oi integral operator”, Math Nachr 282 (2), pp.219–231 23 F Zhao, Z Fu, S Lu (2011), “Sharp bounds for generalized Hardy operators”, z arXiv:1106.0455v1 [math.FA] m co l gm @ an Lu n va ac th si