Tính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng Nơron

Tính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng NơronTính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình vi phân phi tuyến có trễ trong các mạng Nơron

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Luận án được hoàn thành tại:

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Văn Hiện

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Phản biện 1: PGS.TS Trần Đình Kế

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Phản biện 2: PGS.TS Đỗ Lân

Trường Đại học Thủy Lợi

Phản biện 3: PGS.TS Dương Anh Tuấn

Đại học Bách khoa Hà Nội

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại Trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội, 136 Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội

Vào hồi giờ ngày tháng năm 2024

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

- Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

MỞ ĐẦU

A Tổng quan vấn đề nghiên cứu và lí do chọn đề tài

Lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính các phương trình

vi phân Được nghiên cứu có hệ thống từ những công trình đầu tiên của A.M.Lyapunov vàocuối thế kỉ XIX, đến nay lý thuyết này vẫn đang là chủ đề rất được quan tâm nghiên cứubởi những ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như cơ học, vật lý, hóa học, sinh thái học hay trítuệ nhân tạo

Xuất hiện một cách rất tự nhiên trong thực tế, nhiều mô hình ứng dụng có các trạng tháiliên quan luôn không âm như lượng điện tích, mức chất lỏng trong bể điều khiển, nồng độhóa chất, kích thước quần thể loài hoặc số lượng phân tử Những mô hình như vậy được

mô tả bởi các hệ dương (trạng thái và đầu ra luôn không âm ứng với đầu vào không âm).Các ứng dụng thực tế của các lớp hệ dương có thể được tìm thấy trong đa dạng các lĩnh vựckhoa học từ sinh học, sinh thái và dịch tễ học, hóa học, dược động học cho đến các mạngviễn thông hay các quá trình hóa lý Nghiên cứu trên các hệ dương cho thấy, bên cạnh khảnăng ứng dụng vào thực tiễn, các hệ dương còn có nhiều tính chất định tính khác mà các hệđộng lực tổng quát không có như tính vững với nhiễu hay tính đơn điệu theo quỹ đạo trạngthái Dựa trên những đặc tính đó, các hệ dương thường được ứng dụng trong việc thiết kếcác bộ quan sát dạng khoảng, ước lượng trạng thái hay phân tích tính ổn định của hệ phituyến Do ứng dụng rộng rãi và có các đặc tính riêng biệt, nghiên cứu trên các hệ dươngluôn nhận được sự quan tâm lớn của giới toán học và kỹ sư trong những năm gần đây

Lý thuyết về hệ dương tuyến tính đã được nghiên cứu chuyên sâu, mở rộng và ngày cànghoàn thiện, tuy nhiên, đối với các hệ dương phi tuyến, đặc biệt là các hệ dương phi tuyến

có trễ mô tả các mạng nơron, bao gồm cả mạng nơron nhân tạo và sinh học vẫn còn nhiềucâu hỏi cần giải đáp Trong những năm gần đây, các ứng dụng của trí tuệ nhân tạo đã xuấthiện trong hầu hết các lĩnh vực khoa học công nghệ và đời sống Điều đó cho thấy tầm quantrọng của các nghiên cứu trên các mô hình mạng nơron nói chung và các mô hình mạngnơron dương phi tuyến có trễ nói riêng

Thuật ngữ mạng nơron (neural networks) xuất hiện khá sớm, vào khoảng cuối thập niên

1800, khi các nhà khoa học muốn tìm hiểu chức năng ý thức não bộ của con người với mongmuốn có thể thiết kế các máy tính hoạt động giống chức năng não bộ, có khả năng học thôngqua cơ sở dữ liệu, lưu trữ kinh nghiệm và sử dụng trong những tình huống phù hợp Trảiqua lịch sử hơn 200 năm, với sự ra đời của máy tính, việc nghiên cứu mạng nơron đã pháttriển rất sâu rộng và thu được những kết quả quan trọng trong việc mở rộng khả năng nhậnbiết và thích ứng trong ngành công nghệ máy tính Sử dụng ý tưởng từ kết quả thực nghiệmtrong nghiên cứu về não bộ, nhiều máy tính thông minh có các chi tiết tương tự như cácnơron hoặc tập hợp (mạng) các nơron, các kết nối giữa các chi tiết này được thiết kế nhưcác khớp thần kinh của nơron đã được phát minh

Trong việc mô hình hóa toán học, các mạng nơron được mô tả bởi các phương trình toánhọc, hay còn gọi là các phương trình trạng thái, thông qua các phương trình hoặc hệ phươngtrình vi phân Có nhiều mô hình phương trình trạng thái của các mạng nơron, trong đó môhình Hopfield (HNNs), Cohen-Grossberg (CGNNs), mạng nơron quán tính INNs và mạngnơron bộ nhớ hai chiều kết hợp (BAM) được nghiên cứu rộng rãi hơn do cấu trúc đặc thù vàkhả năng ứng dụng trong thực tiễn Khi các mạng nơron được thiết kế với mục đích nhậndạng, hoặc điều khiển các hệ dương thì trạng thái của mạng thường kế thừa tính dương của

hệ và do đó mạng nơron thường được thiết kế là mạng nơron dương Cho đến nay, mới chỉ

có rất ít kết quả nghiên cứu về tính ổn định của của mạng nơron dương phi tuyến có trễđược công bố Đối với các mô hình mạng nơron, tính phi tuyến của các hàm kích hoạt nơronlàm cho việc nghiên cứu trở nên phức tạp và thách thức hơn

Mặc dù nhiều kết quả liên quan đến hệ động lực dương và lý thuyết điều khiển cho hệđộng lực dương đã được công bố trong hai thập kỷ qua, lĩnh vực nghiên cứu định tính vềdáng điệu của nghiệm nói chung và tính ổn định nói riêng đối với một số mô hình mạngnơron, chẳng hạn như các mô hình mạng BAM, vẫn còn nhiều vấn đề còn bỏ ngỏ và cầnthiết nghiên cứu Việc phát triển nghiên cứu định tính về các mô hình này gặp khó khăn vìnhững hạn chế về mặt kỹ thuật và các phương pháp tiếp cận hiện có Đây là lý do và độnglực chính cho việc nghiên cứu nghiệm dương và tính ổn định của các lớp phương trình viphân phi tuyến có trễ mô tả các mô hình mạng nơron trong luận án này

B Mục đích nghiên cứu

Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu tính dương và tính ổn định mũ của điểm cânbằng dương của một số mô hình mạng nơron phi tuyến có trễ Cụ thể, luận án tập trungcho các chủ đề sau:

• Tính ổn định mũ của mô hình mạng BAM-Cohen-Grossberg với trễ biến thiên và hệ số

tự ức chế phi tuyến

• Nghiệm dương và tính ổn định mũ của điểm cân bằng dương của mô hình mạng BAM

có trễ với đạo hàm phân thứ tương thích

• Tính ổn định mũ của mô hình mạng BAM quán tính với trễ biến thiên

Luận án nghiên cứu một số mô hình mạng BAM-Hopfield với trễ bị chặn Với các giả thiếtliên quan đến các trọng số kết nối và các hàm hoạt hóa nơron, chúng tôi chứng minh tínhdương của nghiệm và hướng tới thiết lập các điều kiện dưới dạng LP để đảm bảo tính ổnđịnh mũ của các mô hình này Mặc dù có một số điểm tương đồng nhất định trong lược đồphân tích, chẳng hạn như kỹ thuật so sánh bằng các bất đẳng thức vi tích phân, nhưng docấu trúc đặc thù mà đối với từng mô hình cụ thể vẫn cần có những phát triển độc lập vềphương pháp nghiên cứu và kỹ thuật chứng minh

C Các phương pháp nghiên cứu đã sử dụng

• Phương pháp sử dụng nguyên lí so sánh bằng các bất đẳng thức vi phân và tích phân

• Cách tiếp cận dựa trên lý thuyết M-ma trận

• Phương pháp sử dụng lý thuyết điểm bất động và một số công cụ của giải tích hàm phituyến

D Đối tượng và nội dung nghiên cứu

Các nội dung chính sau đây sẽ được nghiên cứu và trình bày trong luận án

D1 Tính ổn định mũ của mô hình mạng BAM-Cohen-Grossberg với trễ biến thiên

Xét mô hình mạng BAM-Cohen-Grossberg có trễ sau

tự ức chế fj, gi là các hàm kích hoạt nơron và aij, bij, cji, dji, i ∈ [n], j ∈ [m], là các matrận trọng số kết nối τi(t) và σj(t) là các trễ liên kết giữa các nơron thỏa mãn

ở đó τ vàσ là các hằng số dương Ii vàJj là các vectơ đầu vào của nơron thứ i trong lớp X

và thứ j trong lớp Y Hàm điều kiện ban đầu liên kết với hệ (1) được cho như sau

x(t0+ ξ) = x0(ξ), ξ ∈ [−τ , 0], y(t0+ θ) = y0(θ), θ ∈ [−σ, 0], (3)

ở đóx0 ∈ C([−τ , 0],Rn) và y0 ∈ C([−σ, 0],Rm) là các hàm điều kiện đầu

Mục tiêu của phần này là xem xét sự tồn tại của nghiệm dương toàn cục cũng như sự tồntại, tính duy nhất và tính ổn định mũ của điểm cân bằng dương của (1) Dựa trên các kỹthuật so sánh mới thông qua các bất đẳng thức vi phân, các điều kiện đảm bảo cho sự tồntại và tính ổn định mũ của điểm cân bằng dương duy nhất của (1) được đưa ra Các kết quảnghiên cứu của nội dung này sẽ được trình bày cụ thể trong Chương 2 của luận án

D2 Nghiệm dương và tính ổn định mũ của điểm cân bằng dương của mô hình mạng BAM có trễ với đạo hàm phân thứ tương thích

Trong chương 3, chúng tôi xét lớp phương trình vi phân phi tuyến trong mô hình mạngBAM được tả bởi đạo hàm phân thứ tương thích (conformable fractional derivative) với trễsau đây

cDtα

0

x(t)y(t)

!

+ Bf (yσ(t))Dg(xτ(t))

Với t0 ≥ 0 cho trước và σ, τ là các hằng số dương đã biết, hàm điều kiện ban đầu của hệ(4) được cho bởi

với mọi t ≥ t0, trong đó τ, σ là các hằng số đã biết.

Điều kiện ban đầu liên kết với hệ (6a)-(6b), được cho bởi

x(t0+ θ) = ϕ(θ), x0(t0+ θ) = ϕd(θ), θ ∈ [−τ , 0],y(t0+ θ) = ψ(θ), y0(t0+ θ) = ψd(θ), θ ∈ [−σ, 0],

E Kết quả đạt được của luận án

Luận án nghiên cứu tính ổn định của nghiệm dương đối với một số lớp phương trình viphân phi tuyến có trễ trong các mô hình mạng nơron BAM-Hopfield Những kết quả trìnhbày trong luận án được tóm tắt như sau

1 Chứng minh được tính dương của nghiệm toàn cục và đưa ra điều kiện ổn định mũ củađiểm cân bằng dương cho lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến trong mô hình mạngBAM-Cohen-Grossberg với trễ biến thiên và tốc độ tự ức chế phi tuyến

2 Thiết lập được các điều kiện cho sự tồn tại của điểm cân bằng dương ổn định mũ kiểuphân thứ cho lớp hệ phương trình vi phân phân thứ phi tuyến mô tả mạng nơron dạngBAM Hopfield với trễ biến thiên

3 Thiết lập được các điều kiện đảm bảo tính dương của nghiệm và tính ổn định mũ toàncục của điểm cân bằng dương cho lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến trong mô hìnhmạng BAM quán tính với trễ biến thiên không đồng nhất

F Cấu trúc của luận án

Ngoại trừ phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình đã công bố và danh mụctài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị.Chương 2 nghiên cứu tính ổn định mũ của điểm cân bằng dương đối với hệ phương trinh viphân phi tuyến có trễ trong mô hình mạng BAM-Cohen-Grossberg Chương 3 nghiên cứutính ổn định mũ của hệ dương phi tuyến có trễ trong mô hình mạng BAM với đạo hàm phânthứ tương thích Chương 4 nghiên cứu bài toán về tính ổn định mũ của mạng BAM quántính với trễ biến thiên

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi trình bày những kiến thức chuẩn bị gồm: Lý thuyết M-matrận, lý thuyết ổn định Lyapunov, định nghĩa và các tính chất cơ bản của đạo hàm phânthứ tương thích và một số kết quả bổ trợ khác

1.1 Ma trận không âm và M-ma trận

1.2 Hệ phương trình vi phân có trễ và ổn định Lyapunov

1.3 Hệ dương và tính ổn định của hệ dương phi tuyến

1.3.1 Hệ dương phi tuyến

1.3.2 Một kết quả về ổn định mũ của mạng nơron Holfield

1.4 Đạo hàm phân thứ tương thích

1.5 Một số kết quả bổ trợ

Chương 2

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MÔ HÌNH MẠNG BAM-COHEN-GROSSBERG PHI

TUYẾN VỚI TRỄ BIẾN THIÊN

Chương này nghiên cứu bài toán về tính dương và tính ổn định mũ toàn cục của điểm cânbằng dương của mô hình mạng BAM-Cohen-Grossberg đa trễ biến thiên với hàm tốc độ tự

ức chế phi tuyến sau đây

2.1 Mô tả hệ thống và kết quả sơ bộ

Xét hệ (2.1) với n, m tương ứng là số lượng nơron trong lớp X và lớp Y Các hàm

xi(t), i ∈ [n], vàyj(t), j ∈ [m]là các biến trạng thái thể hiện trạng thái của nơron thứ itronglớp X và nơron thứ j trong lớp Y αi(xi) và βj(yj) là các hàm khuyếch đại nơron, ϕi(xi),

ψj(yj) là các hàm tốc độ tự ức chế phi tuyến, δi > 0, ρj > 0 là các hệ số tự ức chế Với cáchàm tự ức chế tuyến tính (cụ thể, ϕi(xi) = xi và ψj(yj) = yj), δi và ρj là tốc độ mà nơronthứ i trong lớp X và noron thứ j trong lớp Y thiết lập lại trạng thái ban đầu khi không có

sự kết nối với mạng và không có tác động từ bên ngoài Trong hệ (2.1), fj, gi là các hàmkích hoạt nơron và aij, bij, cji, dji là các ma trận trọng số kết nối, Ii và Jj là các vectơ đầuvào từ bên ngoài, τi(t) và σj(t) là các trễ liên kết giữa các nơron thỏa mãn

trong đó τ và σ là các hằng số dương Điều kiện ban đầu liên kết với hệ (2.1) được cho nhưsau

x(t0+ ξ) = x0(ξ), ξ ∈ [−τ , 0], y(t0+ θ) = y0(θ), θ ∈ [−σ, 0], (2.3)trong đó x0 ∈ C([−τ , 0],Rn) vày0∈ C([−σ, 0],Rm) là các hàm ban đầu

Ký hiệu các ma trận α(x) = diag {α1(x1), , αn(xn)}, β(y) = diag {β1(y1), , βm(ym)},

Dδ = diag {δ1, , δn}, Dρ = diag {ρ1, , ρm}, A = (aij), B = (bij) ∈ Rn×m, C = (cji), D =(dji) ∈Rm×n, các vectơ I = (Ii) ∈Rn, J = (Jj) ∈Rm và các hàm vectơ

Φ(x(t)) = col(ϕi(xi(t))), Ψ(y(t)) = col(ψj(yj(t))),

f (y(t)) = col(fj(yj(t))), f (y(t − σ(t))) = col(fj(yj(t − σj(t)))),g(x(t)) = col(gi(xi(t))), g(x(t − τ (t))) = col(gi(xi(t − τi(t))))

Khi đó, (2.1) có thể viết dưới dạng sau

2.1.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Gọi D là tập gồm những hàm liên tụcϕ :R →R thỏa mãn ϕ(0) = 0 và tồn tại các hằng

số dương cϕ, ˆcϕ sao cho

Định lí 2.1.1 Với các giả thiết (B1)-(B3)và bất kỳ hàm điều kiện đầu xác định bởi x0 ∈C([−τ , 0],Rn) và y0∈ C([−σ, 0],Rm), hệ (2.1) có duy nhất một nghiệm χ(t) = col(x(t), y(t))

xác định và liên tục trên [t0, +∞)

2.1.2 Nghiệm dương và điểm cân bằng dương

Giả sử χ(t) = col(x(t), y(t)) là một nghiệm của (2.4) Nếu quỹ đạo của χ(t) nằm trongnón dương, nghĩa là,χ(t) ∈Rn+m+ với mọi t ≥ t0, thì χ(t)được gọi là một nghiệm dương của

(2.4) Ta xác định tập các điều kiện ban đầu cho hệ (2.4) như sau

Hơn nữa, χ∗ là một điểm cân bằng dương nếu nó là điểm cân bằng và χ∗ 0

Định nghĩa 2.1.4 Một điểm cân bằng dương χ∗ = col(x∗, y∗) của hệ (2.4) được gọi là ổnđịnh mũ toàn cục (GES) nếu tồn tại các hằng số dương κ và λ sao cho nghiệm bất kỳ

χ(t) = col(x(t), y(t)) của (2.4) với hàm điều kiện ban đầu cho bởi (2.3) đều thỏa mãn bấtđẳng thức sau

kχ(t) − χ∗k∞≤ κkφ − χ∗kCe−λ(t−t0 ), t ≥ t0

2.2 Nghiệm dương

Trong mục này chúng tôi chứng minh rằng, với các giả thiết (B1)-(B3) và trạng thái banđầu cùng với các ma trận trọng số kết nối không âm, nghiệm bất kỳ của hệ (2.4) là dương.Tính dương của mô hình BAM-Cohen-Grossberg (2.4) được trình bày trong định lý sauĐịnh lí 2.2.1 Giả sử các giả thiết (B1)-(B3) được thỏa mãn và ma trậnM =

2.3 Điểm cân bằng dương

Trong phần này, dựa trên Định lý điểm bất động Brouwer, chúng tôi đưa ra các điều kiệnkhẳng định sự tồn tại của điểm cân bằng dương của hệ (2.4) Trước tiên, từ (2.7) cho thấy,một vectơ χ∗ = col(x∗, y∗) ∈ Rn+m là một điểm cân bằng của (2.4) khi và chỉ khi nó thỏamãn hệ sau

Từ đó, ta định nghĩa ánh xạ H :Rn+m →Rn+m cho bởi

và ϕ−1i (.), ψ−1j (.)tương ứng là ký hiệu các hàm ngược của ϕ(.) và ψ(.)

Từ (2.8) và (2.9) cho thấy, một vectơ χ∗ ∈ Rn+m là một điểm cân bằng của (2.4) khi vàchỉ khi nó là điểm bất động của ánh xạ H, nghĩa là, H (χ∗) = χ∗ Ta có kết quả sau về sựtồn tại của điểm cân bằng của (2.4)

Định lí 2.3.1 Giả sử các giả thiết (B1)-(B3) được thỏa mãn và giả sử rằng

âm và điều kiện (2.10) được thỏa mãn, thì với mỗi vectơ đầu vào không âm J = col(I, J)

cho trước, hệ (2.4) có ít nhất một điểm cân bằng dương χ∗ ∈Rn+m+

Sử dụng biến đổi Schur, ta có

det(λIn+m− Λ) = det λIn −Λ1

với mọi λ ∈ C, λ 6= 0 Do đó, λ ∈ σ(Λ)\{0} khi và chỉ khi µ = λ2 ∈ σ(Λ)\{0}e Vì vậy,

ρ(Λ) < 1 khi và chỉ khi ρ(Λ) < 1e Kết quả này dẫn đến, điều kiện (2.10) thỏa mãn khi và chỉkhi ρ(Λ) < 1e Tương tự, ta cũng suy ra rằng (2.10) thỏa mãn khi và chỉ khi ρ(Λ) < 1b , trong

2.4 Tính ổn định mũ của điểm cân bằng dương

Phần này tập trung nghiên cứu tính ổn định mũ của điểm cân bằng dương của hệ (2.4)

Để thuận tiện, ta ký hiệu

Định lí 2.4.1 Với các giả thiết (B1)-(B3), nếu ma trận M =

(i) Tồn tại một vectơ ξ ∈Rn, ξ = (ξk)  0, sao cho

Nhận xét 2.4.1 Các điều kiện (2.13) và (2.14) là các điều kiện đủ cho sự tồn tại và ổn định

mũ toàn cục của điểm cân bằng dương duy nhất của hệ (2.1) Tuy nhiên, trong trường hợp

hệ tuyến tính (các hàm khuyếch đại nơron, các hàm tốc độ tự ức chế và các hàm kích hoạt