TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁI

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁITÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁI

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9 46 01 03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Tập thể hướng dẫn khoa học:

1 PGS.TS LÊ VĂN HIỆN2 TS TRỊNH TUẤN ANH

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoànthành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Văn Hiện và TS Trịnh Tuấn Anh.Các kết quả trình bày trong luận án là trung thực, đã được sự nhất trí củacác đồng tác giả khi đưa vào luận án và chưa từng được công bố trong côngtrình, luận văn, luận án nào khác.

Tác giả

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được thực hiện tại bộ môn Giải tích, khoa Toán-Tin,trường Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TSLê Văn Hiện và TS Trịnh Tuấn Anh Tôi xin tỏ lòng biết ơn chân thành và sâusắc tới các thầy, đặc biệt là PGS.TS Lê Văn Hiện, đã có những định hướngđúng đắn và chỉ dẫn sát sao cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứuvà hoàn thành luận án này Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự độngviên và lòng tin tưởng của các thầy dành cho tác giả là nguồn động lực lớnlao đem lại niềm say mê, giúp tác giả vượt qua những khó khăn trongnghiên cứu.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm HàNội, Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Toán-Tin cùng các thầy giáo,cô giáo trong bộ môn Giải tích đã luôn giúp đỡ, động viên, tạo môi trườngthuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu của mình Đồngthời, tôi cũng xin chân thành cảm ơn các bạn nghiên cứu sinh và các thànhviên trong xemina Phương trình vi phân và tích phân của bộ môn Giải tíchđã quan tâm, trao đổi và góp ý cho tôi trong quá trình học tập và làm luậnán.

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc Sở Giáo dục và Đào tạoHải Phòng, Ban Giám hiệu trường Trung học phổ thông Chuyên Trần Phú,các thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng nghiệp tại tổ Toán-Tin, trường Trunghọc phổ thông Chuyên Trần Phú, đã luôn tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡvà động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Sau cùng, tôi xin dành những tình cảm và lòng biết ơn chân thành tớigia đình, những người luôn yêu thương, chia sẻ, động viên tôi vượt qua khókhăn để hoàn thành luận án này.

Tác giả

Kí hiệu 6

MỞ ĐẦU 7

1 SƠ BỘ MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN 15

1.1 M-ma trận 15

1.2 Hệ phương trình vi phân có trễ và tính ổn định Lyapunov 16

1.3 Tính ổn định trong thời gian hữu hạn 18

1.3.1 Khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn 18

1.3.2 Mối liên hệ giữa tính ổn định trong thời gian hữu hạn vớitính ổn định theo Lyapunov 19

1.3.3 Tính ổn định trong thời gian hữu hạn của lớp hệ tuyến tínhvới trễ hỗn hợp biến thiên 20

1.4 Tính tiêu hao của một số lớp phương trình vi phân có trễ 22

1.4.1 Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halanay và một số cải biên 231.4.2 Tính tiêu hao của một lớp phương trình vi phân với trễ tỉlệ: Cách tiếp cận bằng phương pháp đổi biến 25

1.5 Một số kết quả bổ trợ 26

1.5.1 Đạo hàm Dini 26

1.5.2 Một số bổ đề bổ trợ 27

2 TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN CỦA LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MÔTẢ MẠNG NƠRON HOPFIELD VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN

VÀ TRỄ TỈ LỆ 28

2.1 Mô hình mạng nơron Hopfield với trễ tỉ lệ 28

2.2 Tính ổn định hữu hạn của mô hình mạng nơron Hopfield với hệ sốbiến thiên và trễ tỉ lệ không đồng nhất 30

2.3 Dáng điệu tiệm cận: Sự đồng bộ nghiệm của mô hình (2.1) 34

3.2 Tính tiêu hao toàn cục của mô hình (3.1) 46

3.2.1 Trường hợp hệ số phản hồi chính quy 46

3.2.2 Trường hợp hệ số phản hồi suy biến 50

4.2 Nghiệm dương toàn cục và tính bền vững 64

4.2.1 Sự tồn tại của nghiệm dương toàn cục 64

4.2.2 Tính bền vững đều 67

4.3 Tính hút toàn cục của nghiệm tuần hoàn dương 69

Danh mục công trình công bố 84

TÀI LIỆU THAM KHẢO 84

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

[n] Tập hợp n số nguyên dương đầu tiên {1, 2,

, n} a ¾ bb là biểu thức định nghĩa của a

Không gian Euclide n chiều

ǁxǁ∞ maxi∈[n] |xi|, chuẩn max của vectơ x = (xi) ∈

[A]ij Phần tử tại dòng i và cột j của ma trận AA ≤ 0 Ma trận không âm, tức là [A]ij≥ 0 với mọi i, jA ≻ 0 Ma trận dương, tức là [A]ij > 0 với mọi i, j

Đối với các lớp hệ có cấu trúc tương đối đơn giản như lớp hệ tuyếntính dừng, hệ có trễ hằng số vv, phương pháp hàm Lyapunov là một côngcụ quan trọng và hiệu quả để nghiên cứu tính ổn định Bằng việc xây dựngcác phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii phù hợp, các điều kiện ổn định của hệđược thiết lập thông qua các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (t.ư.LMIs) Khiđó, các công cụ giải số và một số thuật toán tối ưu lồi được vận dụng để tìmnghiệm chấp nhận được của lớp điều kiện LMIs đó đảm bảo tính ổn địnhcủa hệ.

Tuy nhiên, nhiều lớp hệ từ các mô hình thực tiễn và nhân tạo, nhất làcác hệ trong sinh thái, thường có cấu trúc rất phức tạp, dạng phi tuyến

không dừng [30] Việc nghiên cứu tính chất định tính nói chung, tính ổnđịnh nói riêng,

cho các lớp hệ như vậy đòi hỏi phải tiếp tục phát triển các công cụ vàphương pháp nghiên cứu đặc thù Nhiều vấn đề mở trong hướng nghiêncứu về lý thuyết định tính và dáng điệu tiệm cận nghiệm nói chung, tính ổnđịnh nói riêng, đối với các hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ, đặc biệtlà lớp phương trình mô tả các mô hình trong sinh thái học, cần tiếp tục đượcnghiên cứu và phát triển Đó cũng là lí do và là động lực chính chúng tôichọn chủ đề nghiên cứu về tính ổn định của các hệ phương trình vi phân cótrễ và ứng dụng trong các mô hình sinh thái.

2 Đối tượng và nội dung nghiên cứu

2.1 Tính ổn định hữu hạn của một lớp phương trình vi phân phi tuyến mô tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ

Trong hai thập kỉ gần đây, các hệ động lực có cấu trúc mạng nơron đãđược nghiên cứu và ứng dụng thành công trong nhiều lĩnh vực như xử lí tínhiệu số, nhận dạng mẫu, ước lượng tham số và đặc biệt trong lĩnh vực về trítuệ nhân tạo [28, 34] Trong các mô hình đó, việc đảm bảo tính ổn định củamạng nơron đã được thiết kế là hết sức quan trọng [40] Mặt khác, trong cácmô hình mạng nơron, yếu tố trễ truyền tải là không tránh khỏi do quá trìnhxử lí và truyền tín hiệu qua các kênh với băng thông hạn chế Sự xuất hiệncủa trễ thời gian thường dẫn đến hiệu suất kém và nguy cơ làm mất tính ổnđịnh của mạng Trong các công trình đã công bố, tính ổn định và tính đồngbộ mới chỉ được nghiên cứu cho một số mô hình mạng nơron với trọng sốkết nối các nơron là hằng và trễ bị chặn Các kết quả đó hầu như không ápdụng được cho các mô hình mạng nơron với trễ tỉ lệ, một lớp trễ được sửdụng rất phổ biến trong mô tả động lực các hệ có cấu trúc mạng [41] Chẳnghạn, với cấu trúc một mạng nơron có nhiều tầng (t.ư.layers), quá trình xử lí vàtruyền tín hiệu giữa các tầng thường được mô tả bằng các tín hiệu trễ màthời gian trễ tỉ lệ với thời gian hiện tại Về dáng điệu tiệm cận, trễ tỉ lệ thuộclớp trễ biến thiên không bị chặn, tăng trưởng tỉ lệ

với khoảng thời gian Bởi vậy, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệmcác mô hình mạng nơron với trễ tỉ lệ thường gặp nhiều khó khăn so với cáclớp trễ khác, kể cả lớp trễ không bị chặn ở dạng phân phối.

Mặc dù khái niệm ổn định theo Lyapunov đã được ứng dụng rất thànhcông trong nhiều bài toán thực tiễn và đã được phát triển một cách sâurộng, khái niệm ổn định với thời gian hữu hạn (t.ư.hay tính ổn định trongkhoảng thời gian ngắn) mang ý nghĩa thực tiễn quan trọng [2] Ra đời từnửa sau của thế kỉ XX [20], khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn tìmthấy nhiều ứng dụng trong thực tiễn kĩ thuật, đặc biệt là trong các mô hìnhđiều khiển cơ học [2] Một hệ động lực gọi là ổn định trong thời gian hữuhạn nếu cho trước một ngưỡng của điều kiện đầu (t.ư.chẳng hạn một lân cậncủa trạng thái cân bằng), mọi quỹ đạo nghiệm tương ứng của hệ khôngvượt quá một ngưỡng cho trước trên một khoảng thời gian xác định trước.Như vậy, khác với tính ổn định theo Lyapunov (t.ư.LS), một khái niệm thiên vềđịnh tính, xác định dáng điệu của nghiệm tại vô hạn, ổn định hữu hạn (t.ư.FTS)là khái niệm có tính định lượng Hơn nữa, LS và FTS là hai khái niệm độclập theo nghĩa một hệ là FTS nhưng có thể không ổn định theo Lyapunov vàngược lại (t.ư.xem phản ví dụ trong [16]) Trước bài báo [1] trong Danh mụccông bố của luận án này, chúng tôi chưa tìm thấy một kết quả nghiên cứunào đề cập đến tính ổn định hữu hạn của mô hình mạng nơron với hệ sốbiến thiên và trễ tỉ lệ Đây sẽ là chủ đề được chúng tôi nghiên cứu và trìnhbày trong Chương 2 của luận án này Cụ thể hơn, dựa trên bài báo [1] trongDanh mục công trình công bố, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định hữu hạncủa mô hình mạng nơron Hopfield với hệ số kết nối biến thiên chứa đa trễ tỉlệ dạng

sau đây

j=1

Trong Chương 3 của luận án chúng tôi nghiên cứu bài toán phân tíchtính tiêu hao của lớp hệ phương trình vi phân trong mô hình mạng nơronHopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ không đồng nhất dạng sau đây

bij(t)fj(xj(t))

Để phân tích tính tiêu hao của các hệ phương trình vi phân dạng (t.ư.2),chúng tôi phát triển một số kĩ thuật so sánh dựa trên lý thuyết M-ma trận đểthiết lập các điều kiện đảm bảo sự tồn tại của các tập hấp thụ dạng mũ suyrộng trong cả hai trường hợp: (t.ư.i) các hệ số tự phản hồi (t.ư.tốc độ tự ức chế củanơron) thỏa mãn điều kiện chính quy, ai(t) ≥ ai > 0, và (t.ư.ii) các hệ số tự phản

hồi suy biến, tức là ai(t) > 0 và inft≥0 ai(t) = 0 Nội dung của chương này

được trình bày dựa trên bài báo [2] trong Danh mục công trình công bố.

ở đó αN, βN, γN là các hằng số dương, để mô tả sự sinh trưởng của quần thể loài

ve châu Úc Mô hình (t.ư.3) sau đó thường được gọi là mô hình Nicholson vàđược sử dụng rất phổ biến trong các lĩnh vực về động lực học dân số và sinhthái học quần thể.

Trong những năm gần đây, lý thuyết định tính về mô hình Nicholsonvà các biến thể của nó đã được nghiên cứu và phát triển một cách rộng rãi[3,4] Chẳng hạn, dáng điệm tiệm cận của nghiệm tuần hoàn dương của mộtsố mô hình Nicholson có trễ đã được nghiên cứu trong [22,25,26] và [17].Mô hình Nicholson với số hạng mô tả yếu tố đánh bắt hay thu hoạch cũngđã được nghiên cứu trong [10, 23, 27, 35] Gần đây, trong bài báo [6], các vấnđề về tính ổn định và tính hút đã được nghiên cứu cho một lớp hệNicholson n chiều với hệ số hằng số và trễ biến thiên.

Hầu hết các kết quả đã công bố đều được nghiên cứu cho mô hìnhNicholson với tốc độ suy giảm (t.ư.mortality rate) số lượng cá thể (t.ư.sau đây gọitắt là dân số) tuyến tính Như chỉ ra trong [3], một mô hình với tốc độ suygiảm phụ thuộc tuyến tính vào mật độ thường chỉ đúng đối với các quần thểcó mật độ thấp Theo các nhà hải dương học, nhiều mô hình trong thủy sảnnhư khu bảo tồn biển được mô tả bằng các phương trình vi phân trễ trongmô hình Nicholson với tốc độ suy giảm phụ thuộc phi tuyến vào mật độ [3]dạng

ở đó tỉ lệ tử vong D(N) có một trong các dạng D(N) = a − be−N (t.ư.type-I) hoặc

với tốc độ suy giảm dân số phụ thuộc phi tuyến vào trạng thái, D(t, N) =

vi-tích phân, trước hết chúng tôi chỉ ra tính bền vững và tính tiêu hao đềucủa mô hình Nicholson (t.ư.4) Trên cơ sở tính tiêu hao và bền vững đều, chúngtôi chứng minh sự tồn tại và tính hút toàn cục của nghiệm tuần hoàn dươngduy nhất của phương trình vi phân phi tuyến dạng (t.ư.4) Áp dụng kết quảtổng quát cho mô hình Nicholson với hệ số hằng số, chúng tôi thu được mộtsố kết quả về sự tồn tại, duy nhất và tính hút toàn cục của điểm cân bằngdương của mô hình tương ứng Nội dung chương này được viết dựa trênbài báo [3] trong Danh mục công trình công bố.

3 Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng kết hợp các công cụ trong giải tích cổ điển, phươngtrình vi phân thường, lý thuyết bất đẳng thức vi-tích phân và nguyên lí sosánh, lý thuyết ổn định Lyapunov và phương pháp sử dụng phiếm hàmnăng lượng kiểu Lyapunov Đặc biệt, trong luận án, chúng tôi phát triểnmột số kĩ thuật so sánh mới để thiết lập các điều kiện thông qua lý thuyếtM-ma trận đảm bảo tính ổn định, tính tiêu hao cũng như các điều kiện chosự tồn tại của nghiệm tuần hoàn dương đối với các lớp phương trình viphân được nghiên cứu trong luận án.

4 Kết quả đạt được của luận án

Luận án đã đạt được các kết quả sau đây:

1 Thiết lập được các điều kiện thông qua tính chất phổ của M-ma trậnđảm bảo tính ổn định hữu hạn và tính đồng bộ với tốc độ lũy thừa củamô hình mạng nơron Hopfiled với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ.

2 Chứng minh được tính tiêu hao toàn cục của lớp hệ phương trình viphân mô tả lớp mạng nơron dạng Hopfiled trong cả hai trường hợp khicác hệ số phản hồi thỏa mãn điều kiện chính quy và khi các hệ số phảnhồi suy biến.

3 Chứng minh sự tồn tại toàn cục, tính bền vững và tính tiêu hao đều củanghiệm dương đối với một mô hình Nicholson có trễ với hàm suy thoáiphi tuyến.

4 Đưa ra điều kiện và chứng minh sự tồn tại duy nhất của nghiệm tuầnhoàn dương hút toàn cục đối với mô hình Nicholson nói trên Một ápdụng với mô hình Nicholson hệ số hằng số và chứng minh sự tồn tạicủa điểm cân bằng dương hút toàn cục cũng được đưa ra.

Các kết quả trên đây của luận án được công bố trong 03 bài báo trên cáctạp chí quốc tế trong danh mục ISI và đã được báo cáo tại:

• Xemina Phương trình vi phân và tích phân, Bộ môn Giải tích, khoa Toán-

Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội.

• Hội nghị khoa học của nghiên cứu sinh, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học

Sư phạm Hà Nội.

• Xemina Phòng Tối ưu và Điều khiển, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.

5 Cấu trúc của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình công bố và tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương.

• Chương 1 trình bày một số kết quả liên quan về tính ổn định hữu hạn,tính tiêu hao của hệ phương trình vi phân có trễ và một số kết quả bổtrợ cho việc trình bày nội dung chính trong các chương sau của luận án.

• Chương 2 nghiên cứu tính ổn định hữu hạn của một lớp phương trình

vi phân phi tuyến mô tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên vàtrễ tỉ lệ không đồng nhất.

• Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu tính tiêu hao toàn cục củalớp phương trình vi phân trong mô hình mạng nơron Hopfiled với hệsố biến thiên và trễ tỉ lệ.

• Chương 4 nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm tuần

hoàn dương của một mô hình Nicholson có trễ với tốc độ suy thoái phituyến.

Chương 1

SƠ BỘ MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả bổ trợ về giải tíchma trận, phương trình vi phân và lý thuyết ổn định theo Lyapunov Đồngthời, chúng tôi cũng trình bày sơ bộ một số kết quả liên quan về tính ổnđịnh trong thời gian hữu hạn đối với lớp phương trình vi phân hàm tuyếntính làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận án trong cácchương sau.

(i)A là một M-ma trận không suy biến;

(ii)Reλj > 0 với mọi giá trị riêng λjcủa ma trận A;

(iii) Tồn tại một ma trận B ≤ 0 và hằng số s > ρ(B) sao cho A = sIn− B, ở đó

(iv) Tồn tại một vectơ ξ ∈ Rn, ξ ≻ 0, sao cho Aξ ≻ 0;(v) Tồn tại một vectơ η ∈ Rn, η ≻ 0, sao cho AT η ≻ 0.

Φ(t, 0

Mệnh đề 1.1.2 Giả sử A ∈ Rn×n là một M-ma trận không suy biến Khi đó, tồn tại một vectơ χ ∈ Rn, χ ≻ 0, sao cho ǁχǁ∞ = 1 và Aχ ≻ 0.

1.2 Hệ phương trình vi phân có trễ và tính ổn định Lyapunov

Với số thực r ≥ 0 cho trước, kí hiệu C = C([−r, 0], Rn) là không gian

Banach các hàm liên tục trên đoạn [−r, 0] với chuẩn ǁφǁC = sup−r≤s≤0 ǁφ(s)ǁ.Xét bài toán giá trị ban đầu cho phương trình vi phân hàm sau đây

(i) Tồn tại nghiệm x(t, φ) của (t.ư.1.1) trên khoảng [t0, tφ);

(ii) Trên mọi đoạn [t0, t1] ⊂ [t0, tφ), nghiệm x(t, φ) là duy nhất;(iii)[t0, tφ) là khoảng tồn tại cực đại của nghiệm x(t, φ);

(iv) Nghiệm x(t, φ) phụ thuộc liên tục vào φ, f.

Trong Định lí 1.2.1, nếu hàm f thỏa mãn thêm điều kiện kiểu tăng

trưởng tuyến tính

ở đó ặ), b(.) là các hàm liên tục, thì nghiệm x(t, φ) tồn tại toàn cục, tức là

tφ= ∞ Tổng quát hơn, nếu hàm f thỏa mãn điều kiện dạng Nagumo

thì nghiệm x(t, φ) tồn tại và xác định trên [t0, ∞).

Giả sử hàm f (t, φ) thỏa mãn các điều kiện sao cho với mỗi t0 ∈ [0, ∞)

và φ ∈ C, bài toán (t.ư.1.1) có nghiệm duy nhất xác định trên [t0, ∞) Để xét tínhổn định của một nghiệm x∗(t) nào đó của hệ (t.ư.1.1), sử dụng phép biến đổi z = x− x∗ta đưa đến hệ dạng (t.ư.1.1) với hàm vế phải là f˜(t, zt) = f (t, zt+ x∗

t ) − f(t, x∗

t ) Rõ ràng f˜(t, 0) = 0 Do đó, để đơn giản kí hiệu, chúng tôi giả sửrằng f (t, 0) = 0, tức là (t.ư.1.1) có nghiệm x = 0.

Định nghĩa 1.2.1 (t.ư.[13, 15]) Nghiệm x = 0 của (t.ư.1.1) được gọi là ổn định (t.ư.theo

nghĩa Lyapunov) nếu với mọi ǫ > 0, t0 ∈ R+, tồn tại δ(t0, ǫ) > 0 sao cho ǁφǁC

< δ(t0, ǫ) kéo theo ǁx(t, φ)ǁ < ǫ với mọi t ≥ t0 Nghiệm x = 0 của (t.ư.1.1) được gọi

là ổn định đều nếu số δ nói trên không phụ thuộc t0.

Định nghĩa 1.2.2 (t.ư.[13]) Nghiệm x = 0 của (t.ư.1.1) được gọi là ổn định tiệm cậnđều nếu x = 0 ổn định đều và tồn tại một số δa > 0 sao cho với mọi η > 0 tồn

tại T = T (δa, η) > 0 sao cho ǁφǁC < δakéo theo ǁx(t, φ)ǁ < η với mọi t ≥ t0 + T(δa, η) Hơn nữa, nếu số δa có thể chọn tùy ý thì nghiệm x = 0 được gọi là ổn

định tiệm cận toàn cục đều.

Định nghĩa 1.2.3 Nghiệm x = 0 được gọi là ổn định mũ toàn cục đều (t.ư.GES)

nếu tồn tại các hằng số dương αN, βN sao cho mọi nghiệm x(t, φ) của (t.ư.1.1) thỏa

mãn đánh giá mũ

Giả sử V : R+ × C → R là hàm liên tục và x(t, φ) là một nghiệm của (t.ư.1.1)

đi qua (t0, φ) Đạo hàm của V (t, φ) dọc theo nghiệm x(t, φ) được xác định

ở đó xt(.) là kí hiệu đoạn quỹ đạo {x(t + θ) : θ ∈ [−r, 0]}.

Định lí 1.2.2 (t.ư.Định lí Lyapunov-Krasovskii [13]) Giả sử f : R × C → Rnbiến mỗi tập R × Ω, ở đó Ω là tập bị chặn trong C, thành tập bị chặn trong

Rn và u, v, w : R+ → R+ là các hàm liên tục, không giảm, u(0) = 0, v(0) = 0

+

và u(s) > 0,

thì nghiệm x = 0 là ổn định tiệm cận toàn cục đều.

1.3 Tính ổn định trong thời gian hữu hạn

1.3.1 Khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn

Ra đời từ nửa sau của thế kỉ XX [20], khái niệm ổn định trong thời gianhữu hạn tìm thấy nhiều ứng dụng trong thực tiễn kĩ thuật, đặc biệt là trongcác mô hình điều khiển cơ học [2] Khác với tính ổn định theo Lyapunov,một khái niệm thiên về định tính, xác định dáng điệu của nghiệm tại vôhạn, ổn định hữu hạn là khái niệm có tính định lượng Cụ thể hơn, một hệ làổn định trong thời gian hữu hạn nếu cho trước một ngưỡng của điều kiệnđầu, mọi quỹ đạo nghiệm tương ứng của hệ không vượt quá một ngưỡngcho trước trên một đoạn thời gian xác định trước Để minh họa rõ hơn, taxét lớp hệ phương trình vi phân thường sau đây

ở đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái của hệ.

Định nghĩa 1.3.1 (t.ư.[2]) Cho trước một số dương T và các tập X0, Xt trong Rn

hệ (t.ư.1.7) được gọi là ổn định hữu hạn đối với (t0, T, X0, Xt) nếu với bất kì x0 ∈X0, quỹ đạo nghiệm tương ứng x(t; t0, x0) của (t.ư.1.7) thỏa mãn

x(t; t0, x0) ∈ Xt,∀t ∈ [t0, t0 + T ].

Trong Định nghĩa 1.3.1, để đảm bảo tính đặt chỉnh ta giả thiết X0 ⊂ Xt0.Chú ý rằng, nói chung, ta không cần hạn chế X0 ⊂ Xt với t > t0 Tuy nhiên,trong nhiều trường hợp, các tập X0 (t.ư.trạng thái đầu) và Xt(t.ư.tập quỹ đạo) đượccho dưới dạng các ellipsoid ER(ρ) = {x⊤Rx < ρ : x ∈ Rn}, ở đó R ∈ Sn là một

trận đối xứng xác định dương Định nghĩa 1.3.1 có thể phát biểu dưới dạngsau.

Định nghĩa 1.3.2 (t.ư.[2]) Cho trước một cận T > 0 (t.ư.xác định khoảng thời gian),

một ma trận R ∈ Sn và các số dương r1 < r2 Hệ (t.ư.1.7) được gọi là ổn định hữuhạn đối với (t0, T, r1, r2, R) nếu với bất kì x0 ∈ ER(r1), quỹ đạo nghiệm tương ứng

Về ý nghĩa hình học, khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn chỉ rarằng với các tập trong X0 và tập ngoài Xt cố định, mọi quỹ đạo nghiệm củahệ xuất phát từ X0 sẽ không vượt ra ngoài vùng Xt trên toàn khoảng thờigian [t0, t0 + T ] cho trước Hình 1.1 dưới đây minh họa cho khái niệm ổnđịnh trong thời gian

hữu hạn Cụ thể, với chuẩn ǁ.ǁ∞trên Rn, cho trước các hình cầu Br , Br trong

Rn với bán kính r1 < r2, bất kì quỹ đạo nghiệm của hệ xuất phát từ Br sẽ luônchứa trong Br trên toàn khoảng thời gian hữu hạn [0, T ] xác định trước từcác bài toán ứng dụng thực tiễn.

1.3.2 Mối liên hệ giữa tính ổn định trong thời gian hữu hạn với tính ổn định theo Lyapunov

Khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn (t.ư.viết tắt là FTS) và kháiniệm ổn định theo Lyapunov là hai khái niệm độc lập Cụ thể hơn, một hệ làFTS, thậm chí với bất kì thời gian T > 0, có thể không ổn định theoLyapunov [2, 16] Ngược lại, tính ổn định, ổn định tiệm cận theo Lyapunovkhông suy ra tính ổn định hữu hạn của hệ.

Ví dụ 1.3.1 (t.ư.[16]) Xét các phương trình vi phân có trễ sau

− −≥

t + 1

nhưng không ổn định tiệm cận Quỹ đạo nghiệm của (t.ư.1.8) và (t.ư.1.9) với điềukiện đầu φ(t) = 1, t ∈ [−1, 0], được minh họa trong Hình 1.2 và Hình 1.3.

1.3.3 Tính ổn định trong thời gian hữu hạn của lớp hệ tuyến tính với trễ hỗn hợp biến thiên

Trong mục này chúng tôi trình bày một kết quả về tính ổn định hữu hạncủa lớp hệ tuyến tính với trễ biến thiên dạng phân phối từ bài báo [16] Sửdụng các hàm dạng Lyapunov-Krasovskii, các điều kiện ổn định hữu hạnđược thiết lập thông qua bất đẳng thức ma trận tuyến tính.

ǁx ǁ∞ ≤ r1

ǁx(t)ǁ∞ < r2, t ∈ [0, T

]

Hình 1.2: Một quỹ đạo nghiệm của (t.ư.1.8)Hình 1.3: Một quỹ đạo nghiệm của (t.ư.1.9)

Xét lớp hệ tuyến tính có trễ biến thiên sau đây

ở đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, φ ∈ C([−h, 0], Rn) là hàm ban đầu, A, D, G ∈

Rn×n là các ma trận thực cho trước, τ (t), k(t) là các hàm trễ thỏa mãn điều kiện

với µ là hằng số xác định tốc độ biến thiên của trễ rời rạc τ (t), τ1, τ2, κ1, κ2

là các cận trên của trễ, h = max{τ2, κ2}.

Định nghĩa 1.3.3 Cho trước số các số dương T, r1, r2, với r1 < r2 Hệ (t.ư.1.10)được gọi là ổn định hữu hạn đối với (r1, r2, T ) nếu với mọi φ ∈ C([−h, 0],

Π = Π0 + Π1 + Π2 < 0, (t.ư.1.11a)

1.4 Tính tiêu hao của một số lớp phương trình vi phân có trễ

Rất nhiều bài toán trong vật lí và kĩ thuật được mô tả bởi các hệphương trình vi phân hàm có tính tiêu hao [32] Đặc tính tiêu hao của các hệvi phân đó được thể hiện qua sự tồn tại của một tập hấp thụ bị chặn mà mọiquỹ đạo trạng thái của hệ đi vào và ở nguyên trong đó sau thời gian hữuhạn Các nghiên cứu về tính tiêu hao của hệ cũng cho biết dáng điệu tiệmcận của nghiệm, một trong những vấn đề trọng tâm trong nghiên cứu địnhtính các hệ phương trình vi phân và ứng dụng Trong mục này, chúng tôitrình bày một số kết quả về tính tiêu hao của một số lớp phương trình viphân có trễ bổ trợ cho việc trình bày kết quả chính trong Chương 3 củaluận án.

Xét hệ phương trình vi phân có trễ sau đây

(t.ư.1.12)

Định nghĩa 1.4.1 (t.ư.[36]) Hệ (t.ư.1.12) được gọi là tiêu hao toàn cục nếu tồn tại một

tập bị chặn B ⊂ Rn sao cho với bất kì tập bị chặn B ⊂ Rn

, tồn tại t∗ = t∗(B) cótính chất với mọi hàm ban đầu φ(.) ∈ C([−τ, 0], Rn) mà φ(t) ∈ B với mọi t ∈

một tập hấp thụ của (t.ư.1.12).

1.4.1 Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halanay và một số cải biên

Để chứng minh sự tồn tại của tập hấp thụ đối với các hệ phươngtrình vi phân có trễ dạng (t.ư.1.12), một cách tiếp cận rất phổ biến là sửdụng bất đẳng thức Halanay và một số cải biên của nó [19, 36] Trướchết, theo Mệnh đề 3.1 trong [36], nếu hàm F (.) ở (t.ư.1.12) thỏa mãn điều

kiện (t.ư.1.13) thì γN(t) ≥ 0 và βNk(t) ≥ 0 với mọi t ∈ [0, ∞) Bây giờ, cho x(t) làmột nghiệm bất kì của (t.ư.1.12) Trong một số áp dụng, x(t) có thể mở rộngtrên (−∞, ∞) bằng cách thác triển hàm ban đầu x(t) = φ(−τ ) với t ∈ (−∞,−τ ] Đặt u(t) = ǁx(t)ǁ2 = (x(t), x(t)) Từ (t.ư.1.12)-(t.ư.1.13), ta có

k=1

m≤ γN(t)

Đánh giá (t.ư.1.14) là cơ sở đưa đến phương pháp sử dụng bất đẳng thứcHalanay cho việc nghiên cứu tính tiêu hao của (t.ư.1.12) [36] Để đơn giản hóacác kí hiệu, dưới đây chúng tôi xét trường hợp đơn trễ trong (t.ư.1.12) (t.ư.tức là m

Bổ đề 1.4.1 (t.ư.Bất đẳng thức Halanay [14,36]) Giả sử hàm u(t) ≥ 0, t ∈ (−∞,

∞), thỏa mãn

√Σ

ở đó θ ∈ BC((−∞, t0], R+) là hàm liên tục bị chặn Khi đó, nếu αN0 + βN0 < 0

thì tồn tại một hằng số λ > 0 sao cho

sao cho

ǁx(t)ǁ2 < γN∗ + ǫ, t > t

Do đó, hệ (t.ư.1.12) tiêu hao toàn cục với tập hấp thụ B = B 0, −γN∗/(αN0 + βN0)

σ ∗t∗ = t∗(ǁθǁ∞, ǫ) > t0 sao

cho

√Σ

ở đó q là một hằng số, 0 < q < 1, ϕ(t) là hàm xác định điều kiện đầu và hàm Nhận xét 1.4.2 Với điều kiện (t.ư.1.3), theo Định lí 1.4.1, hệ (t.ư.1.2) là tiêu hao toàncục nếu tồn tại các hằng số σ > 0, 0 < δ < 1 sao cho

Hơn nữa, với bất kì ǫ > 0 cho trước, B = B 0, γN∗/σ + ǫ là một tập hấp

thụ của (t.ư.1.2) (t.ư.xem [36], Định lí 3.3) Các kết quả trên đây chỉ áp dụngđược cho trường hợp hệ số tiêu hao αN(t) xác định âm đều (t.ư.αN(t) ≤ −σ <

tụ mũ (t.ư.gọi là hội tụ mũ suy rộng), các tác giả đã mở rộng bất đẳng thứcHalanay và thu được các điều kiện tiêu hao của hệ (t.ư.1.2) mà không cầnhạn chế về tính xác định âm của hệ số tiêu hao.

1.4.2 Tính tiêu hao của một lớp phương trình vi phân với trễ tỉ lệ: Cách tiếp cận bằng phương pháp đổi biến

Xét lớp phương trình vi phân với trễ tỉ lệ dạng sau đây [43]

với αN, βN, γN là các hằng số Để đơn giản trong việc trình bày, ta xét t0 = 1 Bằng

phép đổi biến y(t) = x(et), phương trình (t.ư.1.20) được chuyển về dạng phươngtrình vi phân với trễ hằng sau đây

t ≥ 0,

(

t) = ϕ(t), t ∈ [−τ, 0],

(t.ư.1.22)