Tính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễ

Tính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễ

AUXILIARY RESULTS

Stability of discrete-time 1-D singular systems

Consider the following discrete-time singular system

Ex(k+ 1) =Ax(k), k ∈N 0 , y(k) =Cx(k), (1.1) where x(k) ∈ R n is the state, y(k) ∈ R q is the output The matrix E ∈ R n × n is singular with rank(E) = r ≤ n, and A, C are known real matrices with appropriate dimensions.

System (1.1) is characterized by the matrix pair (E, A) We define its generalized spectral radius as ρ(E, A) = max λ ∈ n z det(zE − A)=0 o|λ|. For notational simplicity, when E = In, we also write ρ(I, A) = ρ(A), which is the usual spectral radius We introduce the following definition.

Definition 1.1.1([11, 79]).The matrix pair (E, A) is said to be

(i) regular if det(sE−A) is not identically zero.

(ii) causal if deg(det(sE −A)) = rank(E).

(iv) admissible if it is regular, causal and stable.

Remark 1.1.1 It is noted that (see [79] for more details) the regularity of the pair(E, A) guarantees the existence and uniqueness of a solution to (1.1) for compatible initial conditions.

Theorem 1.1.1(Slow-fast decomposition [11]).The pair (E, A) is regular if and only if there exist nonsingular matrices M and N such that

MEN = diag(I,J), MAN = diag(A, I), (1.2) where J is a nilpotent matrix.

Theorem 1.1.2([79]) Assume that the matrix pair (E, A) is regular and let the de- composition (1.2) hold Then, the pair (E, A) is admissible if and only if J = 0 and ρ(A)0 Thus, system (1.7) is asymptotically stable.

Next, let us consider the case when the state is subject to external signals This leads to a more practical concept of finite-time boundedness (FTB) More specifically, let us consider the following discrete-time linear system x(k+ 1) =Ax(k) +Gw(k), k ∈N 0 , w(k+ 1) =F w(k) (1.10) where x(k) ∈ R n and w(k) ∈ R r are the state and disturbance input vectors, re- spectively, A ∈ R n × n , G ∈ R n × r and F ∈ R r × r are give matrices of appropriate dimensions.

Definition 1.2.2(Finite-time boundedness [3]).For given positive scalars ǫ, δx, δw with 0 < δx < ǫ and δw ≥ 0, a positive integer N and a positive definite matrix

R ∈S + n, system (1.10) is said to be finite-time bounded with respect to (δx, δw, ǫ, R, N) if it holds that

In Definition 1.2.2, it is possible that the scalarδx can be zero (no free response) or the scalar δw can be 0 (no forced response) In the latter case, Definition 1.2.2 is reduced to the one given in Definition 1.2.1.

Theorem 1.2.2([3]).System (1.10)is finite-time bounded with respect to(δx, δw, ǫ, R, N) if there exist matrices P ∈S + n , Q ∈S r and a scalar γ ≥1 such that

We now consider the following control system x(k+ 1) =Ax(k) +Bu(k) +Gw(k), k ∈N 0 , w(k+ 1) =F w(k), (1.13) where x(k) ∈R n and u(k) ∈R m are the state and control input vectors, respectively, w(k)∈R r is the disturbance input vector, and A∈R n × n , B ∈R n × m , G ∈R n × r , and

F ∈ R r × r are given constant matrices of appropriate dimensions For system (1.13), an SFC will be designed as u(k) =Kx(k), (1.14) where K ∈R m × n is the controller gain From (1.14), the closed-loop system of (1.13) can be described as x(k+ 1) = (A+BK)x(k) +Gw(k), w(k+ 1) =F w(k), (1.15)

Theorem 1.2.3(State-feedback FTB control [3]) System (1.15)is finite-time bounded with respect to (δx, δw, ǫ, R, N) if there exist matrices X ∈ S + n, Y ∈ S + r , a matrix

  < 0, (1.16) δ x 2 λmin X + λ max(Y)δ 2 w < ǫ 2 γ N λmax X , (1.17) where X =R − 1/2 XR − 1/2 The controller gain is given by K =LX − 1

The following corollary allows us to find a controller gainK such that the closed- loop system x(k+ 1) = (A+BK)x(k) (1.18) is FTS with respect to (δx, δw, ǫ, R, N).

Corollary 1.2.1(FTS via state feedback [3]) System (1.18) is finite-time stable with respect to (δx, ǫ, R, N) if there exist a matrix X ∈ S + n , any matrix L ∈ R m × n and a scalar γ ≥1 such that the following conditions hold

0, P2, P3, S1, S2 and a matrix Φ ∈ R (n − r) × (n − r) such that the following LMI condition is satisfied 

Then, system (1.21) is regular, causal and stable Moreover, the reachable set of the system under zero initial condition is bounded within the intersection of ellipsoids

N − 1 with0< ǫ 0 such that

The RS of system (4.1) under zero initial condition is defined as

R x = x(i, j)∈R n x(i, j) satisfies (4.1) with φh = 0, φv= 0 for anyw(i, j) satisfies (4.4) We will derive conditions for the existence of an ellipsoid

E(P, r) = n x∈R n x ⊤ P x≤r, P ⊤ =P > 0, r≥0o that bounds the RS of system (4.1) under zero initial condition.

Remark 4.1.1 The concepts of regularity and causality are defined in the same way as in Defintion 3.2.1 and Defintion 3.2.2 of Chapter 3 Therefore, we do not repeat them in this section.

Definition 4.1.1 System (4.1) is said to be globally asymptotically stable (GAS) if plim→ 0

X i+j=p kx(i, j)k 2 = 0 holds for any initial condition (4.3) Moreover, The 2-DSS (4.1) is said to be admissible if it is regular, causal and GAS.

4.1.2 Technical lemmas for 2-DSSs reachable set estimation

System (4.1) can be rewritten in the form

Since rank(Eh) = rh ≤ nh and rank(Ev) = rv ≤ nv, there exist nonsingular matrices M h , N h and M v , N v such that

We now decompose the system matrices as

We define the following coordinate transformation ξ h (i, j) = (N h ) − 1 x h (i, j) " ξ h 1 (i, j) ξ h 2 (i, j)

2(i, j) ∈ R n v − r v By left-multiplying Eq (4.5a) with M h and Eq (4.5b) with M v , we then obtain

Based on the decompositions (4.6) and (4.7), systems (4.8a) and (4.8b) can recast into the following slow-fast subsystems ξ 1 h (i+ 1, j) =A hh 11 ξ 1 h (i, j) +A hh 12 ξ 2 h (i, j) +A hv 11 ξ 1 v (i, j) +A hv 12 ξ 2 v (i, j)

+A hh d11 ξ 1 h (i−d h (i), j) +A hh d12 ξ 2 h (i−d h (i), j) +A hv d11 ξ 1 v (i, j−dv(j)) +A hv d12 ξ 2 v (i, j−dv(j)) +D11w(i, j) (4.9a)

0 =A hh 21 ξ 1 h (i, j) +A hh 22 ξ 2 h (i, j) +A hv 21 ξ 1 v (i, j) +A hv 22 ξ 2 v (i, j) +A hh d21 ξ 1 h (i−dh(i), j) +A hh d22 ξ 2 h (i−dh(i), j)

+A hv d21 ξ 1 v (i, j−dv(j)) +A hv d22 ξ 2 v (i, j−dv(j)) +D12w(i, j) (4.9b) ξ v 1 (i, j+ 1) =A vv 11 ξ 1 v (i, j) +A vv 12 ξ 2 v (i, j) +A vh 11 ξ 1 h (i, j) +A vh 12 ξ 2 h (i, j)

+A vv d11 ξ 1 v (i, j−dv(j)) +A vv d12 ξ 2 v (i, j−dv(j)) +A vh d11 ξ 1 h (i−d h (i), j) +A vh d12 ξ 2 h (i−d h (i), j) +D21w(i, j) (4.9c)

0 =A vv 21 ξ 1 v (i, j) +A vv 22 ξ 2 v (i, j) +A vh 21 ξ 1 h (i, j) +A vh 22 ξ 2 h (i, j) +A vv d21 ξ 1 v (i, j−dv(j)) +A vv d22 ξ 2 v (i, j−dv(j))

+A vh d21 ξ 1 h (i−d h (i), j) +A vh d22 ξ 2 h (i−d h (i), j) +D22w(i, j) (4.9d) Lemma 4.1.1([29]) System (4.1) is regular and causal if matrix the block matrix

Lemma 4.1.2([32]) If there exist a nonnegative functionalV(x(i, j)) =V h (x h (i, j))+

V(x(i+ 1, j+ 1))−αV(x(i, j))−βw ⊤ (i, j)w(i, j)≤0,∀(i, j)∈N 2 , (4.10) where V(x(i+ 1, j + 1)) = V h (x h (i+ 1, j)) +V v (x v (i, j + 1)) Then, the following inequality holds

Remark 4.1.2 We will choose such a functionalV(x(i, j)) in Lemma 4.1.2 as an LKF candidate for 2-DSSs in the form of (4.1) Then from (4.11) we can deduce that

V(x(i, j)) ≤ 1 βρ − 2 α Based on this estimate, we will show that the ellipsoid E(P, 1 βρ − 2 α ) can bound the RS of system (4.1).

Lemma 4.1.3 Given scalars 0 < Υ < 1 and Ω > 0 Let J(k) be a nonnegative function that satisfies

J(k)≤Υ sup k − d ≤ s ≤ k − 1J(s) + Ω (4.12) Then, it holds that

Proof We first prove that, for any ǫ >0,

Thus, (4.14) holds for k = 0 If (4.14) does not hold for allk ≥0, then there exists an integer k ∗ >0 such that

1−Υ+ǫ (4.16) for 0≤k < k ∗ In addition, fork ∈[−d,0], we have

Therefore, from (4.16), (4.17), we readily obtain

Since 0