Tóm tắt: Tính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễ

Tính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễTính ổn định của một số lớp hệ sai phân hai pha suy biến có trễ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

——————–o0o———————

LÊ HUY VŨ

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP

HỆ SAI PHÂN HAI PHA SUY BIẾN CÓ TRỄ

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số: 9.46.01.03

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI-2024

Luận án được hoàn thành tại:

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Văn Hiện

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Phản biện 1: GS.TS Cung Thế Anh

Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội

Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn

Trường Đại học Giáo dục, ĐHQG Hà Nội

Phản biện 3: PGS TS Dương Anh Tuấn

Đại học Bách khoa Hà Nội

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại Trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội, 136 Xuân Thủy, Cầu Giấy, Hà Nội

Vào hồi giờ ngày tháng năm 2024

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

- Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

MỞ ĐẦU

A Tổng quan vấn đề nghiên cứu và lí do chọn đề tài

Hệ phương trình vi phân/sai phân suy biến được sử dụng rộng rãi để mô tả nhiều mô hìnhthực tiễn như hệ thống mạch, kỹ thuật hàng không vũ trụ và các quá trình hóa học và vật lý.Các hệ suy biến này được gọi bằng nhiều thuật ngữ khác nhau như hệ mô tả (descriptor), hệ

ẩn hay hệ phương trình vi phân/sai phân đại số (algebraic differential/difference systems).Đối với các lớp hệ như vậy, các biến trạng thái xuất hiện trong cả phương trình vi/sai phân

và các ràng buộc đại số Điều này dẫn đến một số đặc điểm khác với các hệ thông thườngnhư dáng điệu xung trạng thái hoặc tính phi nhân quả giữa đầu vào/đầu ra và trạng thái.Những tính chất đặc trưng này làm cho việc nghiên cứu các hệ suy biến trở nên phức tạp vàkhó khăn hơn nhiều so với các hệ vi phân thường Mặt khác, một đặt tính mang tính phổbiến trong các hệ thống kỹ thuật là thường xuất hiện độ trễ thời gian, độ trễ này làm ảnhhưởng lớn đến hiệu suất hệ thống Vì vậy, việc nghiên cứu tính chất định tính của các hệ cótrễ đóng vai trò quan trọng trong các mô hình ứng dụng Chủ đề này nhận được sự quantâm nghiên cứu của nhiều tác giả trong và ngoài nước trong hơn hai thập kỉ qua Đặc biệt,các nhà nghiên cứu quan tâm nhiều đến vấn đề phân tích tính ổn định, thiết kế điều khiển

ổn định hóa các hệ suy biến có trễ và đã đạt được nhiều kết quả quan trọng

Hệ hai pha hay còn được gọi là hệ hai chiều (two-dimensional systems), viết tắt là hệ 2-D,được sử dụng để mô tả động lực của nhiều mô hình thực tiễn mà ở đó việc lan truyền thôngtin xảy ra theo hai hướng độc lập Gần đây, do ứng dụng rộng rãi của chúng trong phântích mạch, xử lý hình ảnh, truyền dữ liệu địa chất hay lọc kỹ thuật số đa chiều, lý thuyết

hệ 2-D đã thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả trong giới toán học và kỹ sư Nhiều bàitoán trong lý thuyết định tính hệ 2-D đã được nghiên cứu và phát triển như tính ổn địnhcủa hệ 2-D tuyến tính suy biến, tính ổn định và ổn định hóa bằng điều khiển phản hồi trạngthái đã được nghiên cứu cho lớp hệ 2-D suy biến trong mô hình Roesser không có trễ, bàitoán điều khiển H∞ cũng đã được nghiên cứu cho lớp hệ 2-D suy biến với trễ hằng số Chú

ý rằng, các mô hình thực tiễn trong kỹ thuật có thể xuất hiện các độ trễ khác nhau do cácđiều kiện truyền tải, vận hành và hạ tầng khác nhau Do đặc tính của các độ trễ này khônggiống nhau nên các ảnh hưởng và độ lớn của chúng khác nhau và ta không thể gộp tất cảcác độ trễ thành một loại Vì vậy, việc nghiên cứu các mô hình suy biến 2-D với các độ trễkhác nhau là vấn đề cần thiết và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn điều khiển kỹ thuật

Lý thuyết ổn định Lyapunov là chủ đề quan trọng trong lý thuyết định tính hệ phươngtrình vi/sai phân Khái niệm này đã được nghiên cứu và phát triển rất sâu trong nhiều thập

kỷ qua Tuy nhiên, trong nhiều ứng dụng thực tế, các trạng thái của hệ không vượt quá mộtgiới hạn nhất định trong một khoảng thời gian xác định khi các trạng thái ban đầu nằmtrong một giới hạn cố định nào đó Điều này dẫn đến khái niệm ổn định trên khoảng thờigian hữu hạn (nói gọn là ổn định thời gian hữu hạn và viết tắt là FTS) Khái niệm ổn định

theo Lyapunov và ổn định thời gian hữu hạn là hai khái niệm độc lập theo nghĩa một hệ

có thể ổn định với bất kì thời gian hữu hạn nhưng không ổn định tiệm cận theo Lyapunov

và ngược lại một hệ ổn định tiệm cận theo Lyapunov nhưng không ổn định hữu hạn Trongtrường hợp hệ có nhiễu ngoại cảnh, khái niệm bị chặn thời gian hữu hạn (FTB) là một mởrộng tự nhiên Khác với hệ 1-D (một thang thời gian), trong hệ 2-D, việc lan truyền thôngtin xảy ra theo hai hướng độc lập Do đó, các khái niệm FTS và FTB không áp dụng trựctiếp được cho các hệ 2-D Thay vào đo, các khái niệm về ổn định trong miền hữu hạn hayvùng hữu hạn (finite-region stability), viết tắt là FRS, và bị chặn trong miền hữu hạn (FRB)được sử dụng như là những mở rộng tự nhiên của khái niệm FTS và FTB Đến nay chủ đềnghiên cứu về tính ổn định/bị chặn trong miền hữu hạn cho các hệ 2-D suy biến vẫn ít đượcquan tâm phát triển

Ngoài ra, vào cuối những năm 1970, lý thuyết về hệ tiêu hao lần đầu tiên được Willemsđặt vấn đề nghiên cứu có hệ thống về lý thuyết tiêu hao và được ứng dụng trong nhiều lĩnhvực như lý thuyết hệ thống, thiết kế mạch, tổng hợp mạng và lý thuyết điều khiển Tínhtiêu hao cung cấp một phương pháp hữu ích cho việc phân tích tính ổn định và thiết kế điềukhiển các hệ động lực Về khía cạnh năng lượng, sự tiêu hao được mô tả bằng tốc độ cungcấp năng lượng từ bên ngoài hệ thống và hàm lưu trữ năng lượng bên trong hệ thống Ýnghĩa vật lý của sự tiêu hao là năng lượng tiêu hao bên trong hệ thống nhỏ hơn năng lượngđược cung cấp từ nguồn bên ngoài của hệ Tính tiêu hao là hiệu suất tổng quát hơn có thểđược giảm xuống thành hiệu suất H∞, và hiệu suất thụ động bằng cách chọn các hệ số tiêuhao khác nhau Vì vậy, trong nhiều năm qua, lý thuyết hệ tiêu hao và ứng dụng đã đượcnghiên cứu rộng rãi và nhiều kết quả nghiên cứu quan trọng đã được công bố Bài toán phântích tính tiêu hao và điều khiển đối với các hệ 1-D đã và đang được nhiều tác giả nghiên cứutrong những năm gần đây Tuy nhiên, lý thuyết tiêu hao chưa được phát triển một cách có

hệ thống cho các mô hình hệ 2-D

Mặt khác, trong lý thuyết hệ động lực và điều khiển, các bài toán liên quan đến đánh giátrạng thái của hệ đóng một vai trò quan trọng Một trong những phương pháp phổ biến làước lượng/bao tập đạt được (RSE) của các hệ động lực dưới tác động của lớp nhiễu ngoạicảnh nào đó Cụ thể hơn, ta xác định một tập compact trong không gian trạng thái chứa tất

cả các trạng thái của hệ xuất phát từ điểm gốc dưới ảnh hưởng của nhiễu đầu vào bị chặn.Thông thường mục tiêu của việc đánh giá tập đạt được là tìm một tập compact nhỏ nhất cóthể, thường ở dạng ellipsoid E = x ∈Rn|x⊤P x ≤ r với P = P⊤ > 0 là ma trận đối xứngxác định dương và r ≥ 0 là bán kính để giới hạn tập đạt được (RS) của hệ Trong thực tế

kỹ thuật, hệ thống được coi là an toàn nếu tập đạt được của nó không chứa các trạng tháivới những đặc tính nhất định (trạng thái không an toàn) Vì vậy, RSE là một chủ đề nghiêncứu quan trọng và đã nhận được sự quan tâm rất lớn của các nhà nghiên cứu trong vài thập

kỷ qua Nhiều kết quả liên quan đến chủ đề này cho hệ 1-D đã được công bố trong nhữngnăm gần đây Đối với hệ 2-D có trễ, các kết quả nghiên cứu về RSE còn rất khiêm tốn Đặcbiệt, cho đến nay, chưa có kết quả nghiên cứu nào đề cập đến chủ đề đánh giá tập đạt đượccủa hệ 2-D suy biến có trễ

Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định, tính tiêu hao, đánh giá tập đạtđược và ứng dụng trong điều khiển một số lớp hệ 2-D suy biến trong mô hình Roesser cótrễ Cụ thể, luận án tập trung vào các chủ đề sau

• Tính ổn định của hệ suy biến 2-D có trễ ở dạng tổng quát theo các hướng

• Tính ổn định/bị chặn miền hữu hạn và phân tích tính tiêu hao của hệ 2-D Roesser suybiến có trễ biến thiên

• Đánh giá tập đạt được và thiết kế điều khiển phản hồi ổn định hóa tập đạt được cholớp hệ 2-D suy biến có trễ

B Đối tượng và nội dung nghiên cứu

B1 Tính ổn định của hệ hai pha suy biến có trễ hỗn hợp theo hướng biến thiênXét lớp hệ 2-D suy biến với trễ hỗn hợp trong mô hình Roesser (2-D SRM)

Pτ v (j) l=1 xv(i, j − l)

#

, (1)

ở đó các ma trận Eh ∈Rnh ×n h và Ev ∈Rnv ×n v suy biến và rank(Eh) = rh ≤ nh, rank(Ev) =

rv ≤ nv với r = rh + rv < nh + nv ≜ n Các hàm dh(i), τh(i) và dv(j), τv(j) là các trễ biếnthiên theo hướng ngang và dọc thỏa mãn điều kiện

dhm ≤ dh(i) ≤ dhM, dvm ≤ dv(j) ≤ dvM, τhm ≤ τh(i) ≤ τhM, τvm ≤ τv(j) ≤ τvM (2)Trong Chương 2, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định của hệ (1) Bằng cách phát triểnphương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii hai thang và sử dụng các phương trình chứa matrận tự do kiểu không, chúng tôi tìm các điều kiện dưới dạng các bất đẳng thức ma trậntuyến tính phụ thuộc độ trễ để hệ (1) là chính quy, nhân quả và ổn định

B2 Tính ổn định và tiêu hao trong miền hữu hạn của hệ 2-D suy biến với trễ biến thiên

ở đó Eh, Ev là các ma trận suy biến Các hằng số dh và dv là các độ trễ theo hướng ngang

và dọc Cho trước các số nguyên dương D1 ∈N+ và D2 ∈N+, ta định nghĩa miền chữ nhật

D1×D2 =(i, j) ∈N20|0 ≤ i ≤ D1, 0 ≤ j ≤ D2

Mục tiêu của phần này là phát triển khái niệm ổn định miền hữu hạn suy biến (SFRS)cho hệ (3), và thiết lập các điều kiện để hệ (3) chính quy, có tính nhân quả và ổn định SFRS.Nội dung này được trình bày trong phần đầu của Chương 3

Bên cạnh đó, ta xét lớp hệ 2-D suy biến với trễ hỗn hợp biến thiên sau đây

Pτ v (j) l=1 xv(i, j − l)

Pτ v (j) l=1 xv(i, j − l)

#

+ Dww(i, j),

(4b)với xh(i, j), xv(i, j) là các vectơ trang thái theo các hướng ngang và dọc; w(i, j) và z(i, j)

tương ứng là nhiễu đầu vào và đầu ra đo được của hệ Các ma trận Eh, Ev suy biến và cáchàm trễ thỏa mãn điều kiện

dhm ≤ dh(i) ≤ dhM, dvm ≤ dv(j) ≤ dvM, τhm ≤ τh(i) ≤ τhM, τvm ≤ τv(j) ≤ τvM (5)Mục tiêu của phần này là giới thiệu khái niệm bị chặn miền hữu hạn suy biến (SFRB) cho

hệ (4) và đưa ra các điều kiện để hệ chính quy, nhân quả và SFRB Đồng thời, chúng tôi

sẽ thiết lập các điều kiện để đảm bảo hệ (4) là (Q, S, R)-tiêu hao Nội dung này được trìnhbày ở mục thứ hai trong Chương 3 của luận án

B3 Đánh giá tập đạt được và thiết kế điều khiển cho hệ 2-D suy biến trong mô hình Roesser với trễ biến thiên

Trong Chương 4, chúng tôi nghiên cứu bài toán đánh giá tập đạt được (RSE) cho lớp hệ2-D suy biến chứa nhiễu với các trễ biến thiên

Tập đạt được của hệ (9) với điều kiện ban đầu bằng không được xác định bởi

"

xh(i, j)

xv(i, j)

#thỏa mãn (9)

3 Kết quả đạt được của luận án

Luận án đạt được các kết quả chính sau đây

1 Thiết lập được các điều kiện dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính đảm bảo tính chínhquy, tính nhân quả và tính ổn định của hệ 2-D suy biến với trễ hỗn hợp biến thiên

2 Đưa ra khái niệm ổn định suy biến trong miền hữu hạn đưa các điều kiện đảm bảo tính

ổn định trong miền hữu hạn Một kết quả mở rộng cho bài toán phân tích tính chất

(Q, R, S )-µ-tiêu hao của hệ 2-D suy biến với trễ biến thiên cũng được đưa ra

3 Thiết lập được điều kiện cho sự tồn tại của ellipsoid bao tập đạt được của hệ 2-D suybiến với các trễ biến thiên và nhiễu bị chặn Ứng dụng vào bài toán điều khiển, luận ánđưa ra cách thiết kế điều khiển phản hồi trạng thái đảm bảo tập đạt được của hệ đóngkhông vượt ngưỡng một ellipsoid cho trước

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊTrong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả bổ trợ về lý thuyết ổn định và điềukhiển cho lớp hệ rời rạc 1-D và một số bổ đề cơ bản để làm cơ sở cho việc trình bày nội dungcác chương sau của luận án

1.1 Tính ổn định của hệ suy biến 1-D rời rạc

1.2 Ổn định thời gian hữu hạn của hệ 1-D rời rạc 1.3 Tập đạt được của hệ 1-D rời rạc

1.3.1 Đánh giá tập đạt được

1.3.2 Đánh giá tập đạt được của hệ suy biến rời rạc 1.4 Các bổ đề bổ trợ

Chương 2

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ 2-D SUY BIẾN VỚI TRỄ TỔNG QUÁT THEO

HƯỚNG BIẾN THIÊN

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định của lớp hệ suy biến 2-D trong môhình Roesser với các trễ hỗn hợp biến thiên Bằng cách xây dựng một hàm Lyapunov cảitiến và sử dụng kỹ thuật phương trình ma trận tự do, các điều kiện phụ thuộc trễ được đưa

ra dưới dạng các bất đẳng thức ma trận tuyến tính đảm bảo tính chính quy, nhân quả và ổnđịnh tiệm cận toàn cục Nội dung chính của chương này dựa trên bài báo [P1] trong danhmục công trình công bố

2.1 Phát biểu bài toán

Xét lớp hệ 2-D suy biến có trễ hỗn hợp biến thiên trong mô hình Roesser sau đây

Pτ v (j) l=1 xv(i, j − l)

#

, (2.1)

ở đó xh(i, j) ∈ Rnh và xv(i, j) ∈ Rnv tương ứng là các vectơ trạng thái , A, Ad, Aτ ∈ Rn×n

(n = nh+ nv) là các ma trận thực cho trước Các ma trận Eh ∈Rnh ×n h và Ev ∈Rnv ×n v suybiến với rank(Eh) = rh ≤ nh, rank(Ev) = rv ≤ nv và r = rh+ rv < nh+ nv ≜n dh(i), τh(i)

và dv(j), τv(j) là các trễ biến thiên thỏa mãn điều kiện bị chặn sau

dhm ≤ dh(i) ≤ dhM, dvm ≤ dv(j) ≤ dvM; τhm ≤ τh(i) ≤ τhM, τvm ≤ τv(j) ≤ τvM, (2.2)với dhM, dvm, dvM, dhm, τhm, τhM, τvm và τvM là các số nguyên không âm Đặt σh =max(dhM, τhM) và σv = max(dvM, τvM) Điều kiện ban đầu của hệ (2.1) được cho bởi

xh(k, j) = ϕ(k, j), k ∈Z[−σh, 0], j ∈Z+, xv(i, l) = ψ(i, l), l ∈ Z[−σv, 0], i ∈Z+, (2.3)với ϕ(k, ) ∈ l2(Z+), ∀k ∈ Z[−σh, 0]và ψ(., l) ∈ l2(Z+), ∀l ∈Z[−σv, 0]

2.2 Tính ổn định

Định nghĩa 2.2.1 Cặp ma trận (E, A) với E = diag(Eh, Ev) được gọi là chính quy nếu

det[EI(z, w) − A] không đồng nhất bằng không, ở đây I(z, w) = diag(zInh, wInv) vàIn là matrận đơn vịn-chiều Cặp ma trận(E, A)được gọi là nhân quả nếudeg(det(sE−A)) =rank(E)

Hệ 2-D (2.1) được gọi là chấp nhận được (acceptable) nếu cặp ma trận (E, A) là chính quy

và nhân quả

Định nghĩa 2.2.2 Hệ 2-D chính quy, nhân quả (2.1) được gọi là ổn định tiệm cận toàn cục(GAS) nếu với bất kỳ điều kiện đầu tương thích dạng (2.3), nghiệm tương ứng của (2.1)

Hệ (2.1) là chấp nhận được nếu nó chính quy, nhân quả và ổn định tiệm cận toàn cục.

Từ tính chính quy và nhân quả của cặp ma trận (E, A), ta có thể phân rã hệ (2.1) thànhcác hệ con biến thiên nhanh (hệ đại số) và chậm (hệ động lực), đồng thời đảm bảo sự tồntại và duy nhất nghiệm toàn cục của hệ (2.1) Ngoài ra, do rank(E) = r ≤ n, tồn tại hai matrận khả nghịch M, N sao cho

Bổ đề 2.2.1 Với các phân rã (2.4) và (2.5), hệ (2.1) là chấp nhận được nếu ma trận A22

không suy biến

Kết quả chính trong chương này được trình bày trong định lý sau

Định lí 2.2.1 Cho trước các số nguyên không âm dhm, dhM, dvm, dvM, τhm, τhM, τvm và

τvM Hệ (2.1) là chấp nhận được nếu tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương P =diag(Ph, Pv), Z = diag(Zh, Zv), Qk = diag(Qhk, Qvk) (k = 1, 2), Rl = diag(Rhl, Rvl) và các matrận tùy ý Sl ∈Rn×(n−r) (l = 1, 2, 3) thỏa mãn bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau

diag(Qhk, Qvk) (k = 1, 2), Rl = diag(Rlh, Rlv) (l = 1, 2, 3) và các ma trận tùy ý Sk ∈ Rn×(n−r)

(k = 1, 2) thỏa mãn điều kiện

và một số biến ma trận khác được xác định như trong (2.6)

Nhận xét 2.2.1 Một lớp hệ con đặc biệt của hệ (2.1) là hệ không có trễ (tức làAd = Aτ = 0).Bằng một số bước tương tự trong chứng minh Định lý 2.2.1, ta có thể thấy rằng hệ khôngtrễ (2.1) là chấp nhận được nếu tồn tại ma trận đối xứng xác định dương P = diag(Ph, Pv)

và một ma trận S ∈Rn×(n−r) thỏa mãn điều kiện sau

Chương 3

TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ TÍNH TIÊU HAO TRONG MIỀN HỮU HẠN CỦA HỆ 2-D

SUY BIẾN VỚI TRỄ BIẾN THIÊN

Chương này của luận án trình bày kết quả nghiên cứu về tính ổn định và tiêu hao trongmiền hữu hạn của lớp hệ 2-D suy biến mô tả bởi mô hình Roesser Đầu tiên, chúng tôi xét lớp

hệ 2-D suy biến với trễ hằng, dựa trên phương pháp phiếm hàm năng lượng kiểu Lyapunov,chúng tôi xây dựng một hàm 2-D có trọng và sử dụng các phương trình ma trận tự do đểđưa ra các điều kiện ổn định miền hữu hạn phụ thuộc độ trễ Tiếp theo, đối với hệ 2-D suybiến có trễ hỗn hợp biến thiên, các định nghĩa về tính bị chặn và tiêu hao trong miền hữuhạn được đưa ra Bằng cách sử dụng hàm LKF toàn phương, các điều kiện đủ được pháttriển để đảm bảo tính chính quy, nhân quả và bị chặn miền hữu hạn của hệ Dựa trên điềukiện thu được, luận án đưa ra điều kiện đánh giá tính (Q, S , R)-tiêu hao cho lớp hệ 2-Dsuy biến với trễ hỗn hợp biến thiên

3.1 Ổn định miền hữu hạn cho lớp hệ suy biến 2-D với trễ theo hướngXét lớp hệ suy biến 2-D sau

D1 ×D2 = (i, j) ∈N20|0 ≤ i ≤ D1, 0 ≤ j ≤ D2 Hơn nữa, với ma trận đối xứng xác địnhdương W cho trước, chúng tôi định nghĩa các chuẩn có trọng của ϕ và ψ như sau

kỳ dãy điều kiện đầu ϕ, ψ thỏa mãn

ta luôn có

x⊤(i, j)E⊤ΓEx(i, j) < c

với mọi (i, j) ∈D1×D2

Do rank(Eh) = rh ≤ nh và rank(Ev) = rv ≤ nv, tồn tại các ma trận khả nghịch Mh, Mv,

Trên cơ sở phân rã ở trên, ta có bổ đề sau đây (3.1)

Bổ đề 3.1.1 Hệ (3.1) là chính quy và nhân quả nếu ma trận A22=

"

Ahh22 Ahv22

Avh22 Avv22

#không suybiến

Định lí 3.1.1 Giả sử hệ (3.1) là chính quy và nhân quả Khi đó, cho các số dương c, ch,