Xác định biến ngẫu nhiên.. Tìm hàm phân phối xác suất của X.. b Với k tìm được, tìm i trọng lượng trung bình của vịt 6 tháng tuổi, ii hàm phân phối xác suất của X, iii tỷ lệ vịt chậm lớn
Trang 1Xác định biến ngẫu nhiên
Bài 1 Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng
[ ]
Ax khi x 0,1
f (x)
=
∉
[ ]
A si n x k hi x 0,
f (x)
=
1 2 1 2
A cos x k hi x 0,
f (x)
=
∉
1
≥
=
Hãy xác định A Tìm hàm phân phối xác suất của X Tính µX, σ2X, nếu có
Bài 2 Tuổi thọ của một loại bóng đèn nào đó là 1 biến ngẫu nhiên X (đơn vị năm) với
hàm mật độ như sau
2
k x (4 x) khi 0 x 4
f (x)
=
∉
a) Tìm k và vẽ đồ thị f(x)
b) Tìm xác suất để bóng đèn cháy trước khi nó được 1 năm tuổi
Bài 3 Trọng lượng của một con vịt 6 tháng tuổi là 1 biến ngẫu nhiên X (đơn vị tính là
Kg) có hàm mật độ
2
k (x 1) khi 1 x 3
f (x)
0 khi x [1, 3]
=
∉
a) Tìm k
b) Với k tìm được, tìm
(i) trọng lượng trung bình của vịt 6 tháng tuổi,
(ii) hàm phân phối xác suất của X,
(iii) tỷ lệ vịt chậm lớn, biết vịt 6 tháng tuổi chậm lớn là vịt có trọng lượng nhỏ hơn 2Kg
Bài 4 Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng
2 2
2 2
a cos x k hi x ,
f (x)
π π
π π
=
∉ −
a) Tìm a và xác định hàm phân phối xác suất F(x) của X
b) Tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng ,
4
π
π
Bài 5 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối
Trang 2
< −
π
>
2
2
với a, b là hằng số
a) Tìm a và b
b) Với a và b tìm được ở câu a), tính hàm mật độ f(x) của X; M od x[ ]; M e x[ ];
P X
4
π
>
Vectơ ngẫu nhiên
Bài 6 Số trẻ em sinh ra trong một tuần ở một làng A nào đó là một đại lượng ngẫu
nhiên có phân bố xác suất là
P 0,4 0,3 0,2 0,1
Số người chết trong một tuần ở làng A là một đại lượng ngẫu nhiên Y có phân
bố xác suất là
P 0,1 0,3 0,4 0,15 0,05 Giả sử rằng X và Y độc lập
a) Tìm phân phối xác suất đồng thời của X và Y
b) Tính P(X > Y)
Bài 7 Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của X, Y như sau :
Y
X
a) Lập bảng phân phối xác suất thành phần của X và Y
b) Lập bảng phân phối xác suất có điều kiện của X và Y
c) Tính covariance và hệ số tương quan của X và Y
Tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Bài 8 Các đại lượng ngẫu nhiên X và Y có bảng phân phối xác suất đồng thời như
sau
Y
X
Trang 3a) Chứng minh rằng X và Y độc lập
b) Lập bảng phân phối xác suất của Z = XY Từ đó tính E(Z) và kiểm tra rằng
E(Z)=E(X)E(Y)
Bài 9 Cho X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất đồng thời như sau
Y
X
Hãy tính E(X), E(Y), cov(X,Y) và ρ(X, Y)
Bài 10 Cho X,Y là hai đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất đồng thời như sau
Y
X
a) Tìm µX, µY, cov(X,Y) và ρ(X, Y)
b) X và Y có độc lập không ?
Bài 11 Có hai hộp, mỗi hộp đựng 6 bi Trong hộp một có : 1 bi mang số 1, 2 bi mang
số 2, 3 bi mang số 3 Trong hộp hai có : 2 bi mang số 1, 3 bi mang số 2, 1 bi mang số
3 Rút từ mỗi hộp 1 bi Gọi X là số ghi trên bi rút ra từ hộp một, Y là số ghi trên bi rút
ra từ hộp hai
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất đồng thời của V =(X, Y)
b) Bảng phân phối xác suất lề của X , Y
c) Kỳ vọng, phương sai của X , Y
d) Hiệp phương sai, hệ số tương quan
Bài 12 Tung ba lần độc lập một con xúc xắc Gọi X là số lần mặt chẵn xuất hiện và Y
là số lần mặt lẻ xuất hiện
a) Lập bảng phân phối xác suất của X và Y
b) Tính hệ số tương quan ρ(X, Y) Nhận xét?
Trang 4Đáp án
Bài 1
a) A = 2, µX = 2
3, σ =
2
X 0.055,
( )
>
2
b) A =0.5, µX = π
2,
π
2 2
( )
> π
1
1 cos x k hi 0 x
2
c) A = π, µ = −
π X
π −
σ = π
2
3
,
( )
( )
1
si n x khi 0 x
2
1
2
d) A =3, µX =3
2, σ =
2 X 3
4,
( )
=
3
1
Bài 2
a) = 3
k
64,
0.1
0.2
0.3
0.4
b) 0.0508
Bài 3
a) = 3
k
20
b) (i) µ =2.4kg
Trang 5(ii)
( )
>
3
20
(iii) 0.2
Bài 4
a) = 1
a
2,
( )
π
π
>
si n x 1
2
2
b) 0.1465
Bài 5
a) =1
a
2, =
1 b
2
b) M od x[ ]=0, M e x[ ]=0, π
> =
( )
∈ −
=
π π
1
f x
2 2
Vectơ ngẫu nhiên
Bài 6
a)
Y
0 0.04 0.12 0.16 0.06 0.02
1 0.03 0.09 0.12 0.045 0.015
2 0.02 0.06 0.08 0.03 0.01
3 0.01 0.03 0.04 0.015 0.005 b) 0.19
Bài 7
a)
PX 0.16 0.48 0.36
b)
Trang 6Y
1 0.17 0.15
2 0.5 0.45
3 0.33 0.4
X
4 0.625 0.625 0.56
5 0.375 0.375 0.44
c) cov(X, Y)=0.02, ρ(X, Y)= 0.059
Tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Bài 8
b)
( )=
E Z 2.89, E X( ) =1.7, E Y( )=1.7
Bài 9
µX = −1
8, µY =0, cov(X, Y)= −0.125, ρ(X, Y)= −0.1502
Bài 10
a) µX = −0.467, µY =0, cov(X, Y)= 0, ρ(X, Y)= 0 b) X và Y độc lập
Bài 11
a)
Y
1 2
36 336 136
2 4
36 636 236
3 6
36 936 336
b)
c) µX =2.33, µY =1.83, σ2X =0.555, σ2Y =0.472
d) cov(X, Y)=0.0139, ρ(X, Y)= 0.027
Bài 12
a)
Trang 7X 0 1 2 3
PX 0.125 0.375 0.375 0.125
PY 0.125 0.375 0.375 0.125 b) ρ(X, Y)= −1, X và Y phụ thuộc chặt, nghịch biến