TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài luận văn: “Phân tích động lực dầm tựa đơn chịu vật chuyển động” Luận văn phân tích ứng xử động của dầm tựa đơn chịu vật mang khối lượng chuyển động..
TỔNG QUAN
Sự cần thiết của việc nghiên cứu
Bài toán vật chuyển động trên dầm trong kết cấu động có ý nghĩa quan trọng đối với ngành xây dựng, đặc biệt là xây dựng cầu Các kết cấu xây dựng thường chịu tải trọng thay đổi theo thời gian và không gian Phân tích động lực dầm chịu tải trọng di động là mô hình tương tác giữa xe và cầu, với xe được mô phỏng như vật tròn chuyển động và dầm được mô phỏng là dầm tựa đơn Tải trọng động của xe đóng vai trò quyết định trong lựa chọn giải pháp kết cấu Do đó, nghiên cứu dao động dầm chịu vật chuyển động thu hút sự quan tâm của các chuyên gia và nhà khoa học.
Với sự tiến bộ trong phát triển giao thông, hệ thống giao thông ngày càng hiện đại, các loại phương tiện đa dạng, tải trọng và tốc độ tăng nhanh Do đó, việc nghiên cứu dao động trên những dầm chịu tải động là nhiệm vụ thiết thực mang tính khoa học.
Mục tiêu và nhiệm vụ của luận văn
Phân tích phản ứng động của dầm tựa đơn chịu tác dụng của vật di động trên cơ sở lý thuyết dầm Euler-Bernoulli Sử dụng phương pháp phần tử chuyển động MFE (Moving Finite Element ) để mô hình vật chuyển động và phương pháp phần tử hữu hạn FEM (Finite Element Method) để mô hình phần tử dầm Ma trận khối lượng, độ cứng, cản tổng thể của hệ tại từng thời điểm có kể đến ma trận khối lượng, độ cứng, cản của vật chuyển động
Qua phân tích động lực học dầm tựa đơn, luận văn trình bày một số nội dung chính sau:
-2- - Xác định phương trình vi phân chuyển động của hệ
- Phương pháp PTHH và phương pháp phần tử chuyển động được dùng để mô hình hóa bài toán và nó được kết hợp với phương pháp tích phân trực tiếp Newmark để giải phương trình vi phân Tiến hành xây dựng thuật toán trên ngôn ngữ lập trình Matlab
- Kiểm tra độ tin cậy của chương trình bằng cách so sánh kết quả của chương trình với các kết quả của các tác giả khác
- Đưa ra một số bài toán nhằm khảo sát ảnh hưởng của một số đại lượng đến dao động của dầm
- Đưa ra nhận xét, kết luận và hướng phát triển của đề tài.
Cấu trúc luận văn
Nội dung luận văn được trình bày gồm 5 chương chính, ngoài ra có phần phụ lục và tài liệu tham khảo như sau:
Chương 1: Trình bày tổng quan về nghiên cứu dao động của dầm chịu tải trọng di động, trình bày mục tiêu nghiên cứu và nhiệm vụ của luận văn
Chương 2: Trình bày phương pháp số được sử dụng để giải quyết bài toán dao động, phương pháp Newmark được trình bày và phân tích cụ thể
Chương 3: Trình bày cơ sở lý thuyết, đưa ra phương trình vi phân cân bằng của dầm tựa đơn chịu vật mang khối lượng chuyển động Vật chuyển động có gia tốc được mô phỏng như một phần tử chuyển động Lý thuyết dầm Euler- Benoulli làm cơ sở cho ứng xử của dầm, phần tử dầm được rời rạc thành các phần tử thông qua phương pháp phần tử hửu hạn, ma trận khối lượng, độ cứng, cản tổng thể có xét đến các ma trận khối lượng, độ cứng, cản của vật chuyển động
Chương 4: Kết quả số khi xét một số bài toán được trình bày Các ví dụ số được trình bày trên 3 bài toán cơ bản: dầm có tiết diện không đổi chịu 1 vật chuyển động, dầm có tiết diện không đổi chịu 2 vật chuyển động, dầm có tiết diện ngang thay đổi chịu 1 vật chuyển động
Chương 5: Trình bày kết luận và hướng phát triển
Phụ lục: Trình bày code Matlab để giải một số bài toán ở chương 4
Các kết quả đã nghiên cứu
Trong những năm gần đây, lĩnh vực phân tích động dầm tựa đơn subjected to moving loads đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu both local and abroad Các đề tài nghiên cứu này đã được thực hiện trên cả lý thuyết và thực nghiệm.
1.4.1 Tình hình nghiên cứu trên thế giới
Ismail Esen [5] đã nghiên cứu ứng xử động của động của dầm mang vật chuyển động có gia tốc Vật chuyển động có gia tốc được mô hình như phần tử chuyển động để xét ảnh ảnh hưởng của lực quán tính, ngoài ra trong thành phần lực tác dụng lên dầm có xét đến ảnh hưởng của lực hướng tâm, lực coriolis Trong nghiên cứu này, ảnh hưởng của gia tốc vật chuyển động đến lực dọc được khảo sát
Huajiang Ouyang [6] nghiên cứu kết cấu chịu tải trọng di động, trong nghiên cứu này tác giả trình bày phương trình vi phân cân bằng của lý thuyết dầm và tấm
Mesut Simsek [13] nghiên cứu dao động của dầm phân lớp chức năng functionally grade (FG) tựa đơn chịu vật mang khối lượng chuyển động dùng lý thuyết dầm Euler-Bernoulli và Timoshenko Phương trình cân bằng chuyển động được suy ra từ phương trình Lagrange
Lu Sun [16] nghiên cứu dao động của dầm trên nền đàn nhớt (viscoelastic ) chịu tải trọng di động Trong nghiên cứu ngày lời giải kín (A closed-form solution ) của dao động dầm được đưa ra Hàm Green của dầm thu được từ biến đổi Fourier
Phương trình tuyến tính đạo hàm riêng được sử dụng để tính độ võng của dầm
P.Sniady [17] nghiên cứu dao động của dầm chịu tải trọng di động với vận tốc ngẫu nhiên (stochastic) không theo quy luật
Fahim Javid [20] nghiên cứu khử dao động của dầm chịu tải trọng di động sử dụng tối ưu hệ thống giảm chấn TDM (Tuned – Mass – Damper) Nghiên cứu thực hiện trên hai loại dầm có hình học khác nhau: dầm cong và dầm thẳng
Zhuchao Ye, Huaihai Chen [24] nghiên cứu dầm tựa đơn chịu vật khối lượng chuyển động (mass moving) Tác giả đã khảo sát ảnh hưởng của vận tốc và khối lượng của vật chuyển động đến ứng xử của dầm
-4- Arash Yavari [26] dùng phương pháp số gọi là phương pháp rời rạc phần tử
Kỹ thuật phần tử rời rạc (DET) là một phương pháp được sử dụng để phân tích phản ứng động của dầm Timoshenko có khối lượng cục bộ chuyển động Trong phương pháp DET, các phần tử uốn liên tục của dầm được thay thế bằng các hệ thống thanh cứng và khớp dẻo.
A Nikkhoo [27] nghiên cứu dao động dầm Euler- Bernoulli chịu vật khối lượng di động Hàm dirac-delta được sử dụng để thể hiện vị trí của vật chuyển động dọc suốt chiều dài dầm và cũng để thể hiện của lực quán tính Thuật toán điều khiển tối ưu tuyến tính cổ điển (a linear classical optimal control algorithm) với thời gian thay đổi được sử dụng để điều khiển dao động của dầm Hiệu quả của thuật toán điều khiển trong việc khử dao động của hệ thống chịu ảnh hưởng của vật chuyển động với điều khiển các mode khác nhau và cơ cấu điều chỉnh được khảo sát
Jia-Jang Wu [51] nghiên cứu dao động của dầm nghiêng chịu tải trọng di động
Trong nghiên cứu này, tác giải sử dụng phương pháp phần tử chuyển động để xét ảnh hưởng của lực quán tính, lực hướng tâm, lực coriolis với dao động của dầm
Ngoài ra tác giả còn xét lực ma sát giữa vật tròn chuyển động và dầm
Raid Karoumi [52] nghiên cứu dao động của cầu treo và cầu dây văng chịu tải trọng di dộng Trong nghiên cứu này tác giả đã tiến hành khảo sát ảnh hưởng hệ số cản cầu, tương tác giữa xe và cầu, giao động của dây cáp, mặt cầu ghồ ghề, tốc độ xe chạy, và hệ thống giảm chấn TMD Từ những số liệu tính toán của mình tác giải ảnh hưởng rất lớn của mặt cầu ghồ ghề lên dao động của cầu
1.4.2 Tình hình nghiên cứu trong nước
Luận văn cao học ngành xây dựng tại ĐHBK TP HCM của Đỗ Nguyễn Văn Vương đã giải quyết bài toán kết cấu chịu tải trọng chuyển động liên quan đến dao động cầu dây văng chịu tải trọng di động Nghiên cứu này tập trung vào ảnh hưởng của độ cứng dây cáp đến dao động của cầu.
Nguyễn Đăng Phong [48] phân tích dầm giản đơn chịu tải trọng điều hòa di động có xét đến khối lượng vật di động Trong nghiên cứu này lý thuyết biến dạng trượt bậc cao được sử dụng để phân tích dầm
-5- Nguyễn Tấn Cường [49] phân tích dao động của tấm trên nền đàn nhớt xét đến khối lượng vật chuyển động Tác giả đã thiết lập ma trận khối lượng tấm tại từng thời điểm có kể đến khối lượng vật chuyển động, ngoài ra trong nghiên cứu này đã xét đến mô hình moving sprung mass nhằm khảo sát sự ảnh hưởng dao động tấm đến dao động của xe
Trong bài nghiên cứu của Nguyễn Anh Duy (50), tác giả đã phân tích dầm Timoshenko dưới tác dụng của tải trọng di động Điểm nổi bật của nghiên cứu này là việc sử dụng hệ thống cản khối lượng (TMDs) nhằm mục đích giảm thiểu dao động của dầm Bằng phương pháp này, tác giả đã đạt được kết quả khả quan trong việc hạn chế rung động và bảo vệ cấu trúc dầm trước những va chạm ngoài dự kiến.
PHƯƠNG PHÁP SỐ
Giới thiệu
Tính toán dao động kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn dẫn đến hệ phương trình vi phân: mucuku f i (2.1) trong đó: u là véc tơ chuyển vị nút; k là ma trận độ cứng; mlà ma trận khối lượng quy đổi; c là ma trận cản quy đổi; f i là véc tơ tải trọng nút quy đổi Hệ phương trình (2.1) trong trường này là hệ phương trình vi phân phi tuyến
Giải hệ phương trình phi tuyến (2.1) theo phương pháp giải tích gặp khó khăn
Với khả năng ngày càng mạnh của máy tính điện tử, người ta đã chuyển sang hướng tính tích phân trực tiếp hệ phương trình vi phân Các phương pháp gần đúng tính tích phân trực tiếp loại bài toán này hiện đang được sử dụng nhiều có thể kể đến: phương pháp sai phân trung tâm, phương pháp Houbolt, phương pháp Newmark, phương pháp Wilson Mỗi phương pháp trong số này đều có các mặt mạnh yếu riêng, tuy nhiên trong luận văn này phương pháp tích phân trực tiếp được sử dụng là phương pháp Newmark, đây là phương pháp rất thích hợp cho phân tích phi tuyến bài toán.
Phương pháp Newmark
Phương pháp tích phân Newmark dựa trên cơ sở giải thiết rằng giai tốc tuyến tính giữa hai khoảng thời gian không đổi Năm 1959, Newmak giới thiệu phương pháp tích phân từng bước để giải bài toán động lực học kết cấu chụi tải động đất và nổ Trong suốt 52 năm qua, phương pháp Newmark đã được ứng dụng để phân tích động của rất nhiều kết cấu công trình thực tế Hơn nữa, nó đã được sữa đổi và phát triển bởi các nhà nghiên cứu khác Để minh họa rõ cách sử dụng của phương pháp
-7- tích phân số Newmark, chúng ta xem xét giải phương trình cân bằng động học (2.1)
Sử dụng trực tiếp chuổi Taylor ta nhận được hai phương trình cân bằng [23]: ̇ ̈ ⃛ +… (2.2.1) ̇ ̇ ̈ ⃛ … (2.2.2) Phương trình (2.2.1), (2.2.2) được Newmark cắt bỏ bớt và được viết lại dưới dạng : ̇ ̈ ⃛ (2.2.3) ̇ ̇ ̈ ⃛ (2.2.4) Nếu giả thiết rằng gia tốc tuyến tính trong bước thời gian, ta có được phương trình:
(2.2.5) Thay phương trình (2.2.5) vào phương trình (2.2.3), (2.3.4) ta được phương trình Newmark ở dạng cơ bản: ̇ ̈ ̈ (2.2.6) ̇ ̇ ̈ ̈ (2.2.7) trong đó: hệ số biểu diễn sự thay đổi tuyến tính của mức độ ảnh hưởng gia tốc ban đầu và gia tốc cuối đến sự thay đổi vận tốc Hệ số biểu diễn mức độ ảnh hưởng của các gia tốc đầu và gia tốc cuối đến chuyển vị
Hình 2.1 Chuyển động theo sự thay đổi tuyến tính của gia tốc [4] t t+ v(t)
-8- Tại thời điểm t i ta có ̇ ̇ ̈ ̈ , và theo phương pháp Newmark ta có thể xác định các đại lượng ̇ ̇ ̈ ̈ , tại thời điểm t i+1 như sau:
Thế (2.2.6), (2.2.10) vào (2.2.8) và (2.2.7), (2.2.10) và (2.2.9) ta được phương trình: ̇ ̇ ̈ ̈ ̈ ̇ ̈ ̈ (2.2.12) ̇ ( ) ̈ ̈ ̈ ̇ ̈ ̈ (2.2.13) Chia 2 vế phương trình (2.2.13) cho ta được:
Thay (2.2.14) và (2.2.15) vào phương trình số giai cân bằng: ̈ ̇ (2.2.16) Ta được phương trình rút gọn: ̅ ̅ (2.2.17) trong đó:
-9- Giải phương trình (2.2.17) để tìm số gia chuyển vị với các thông số k, m, c đặc trưng tính chất của hệ và ̇ ̈ tại bước thời gian đầu ̅ ̅ (2.2.20) Khi đã biết ta có thể tính ̇ ̈ từ phương trình (2.2.14) và (2.2.15)
Sau đó thay các giá trị đó vào (2.2.8), (2.2.9), (2.12.0) để tính các giá trị ̇ ̇ ̈ ̈ Tính các bước tiếp theo sử dụng kết quả vừa tìm được trong bước trước đó làm điều kiện ban đầu Các bước tính trên sẽ dừng lại khi số bước tính đạt số thời gian yêu cầu của bài toán cụ thể.
Các hệ số tích phân của phương pháp Newmark
Thông qua quá trình thiết lập các phương trình (2.2.14) và (2.2.15), người ta nhận thấy rằng hệ số sẽ điều khiển mức độ cản nhân tạo trong quá trình phân tích từng bước Với việc lấy giá trị =1/2 quá trình cản nhân tạo sẽ được loại bỏ, vì vậy Newmark đề nghị lấy =1/2 cho các hệ nhiều bậc tự do chuẩn mực
Giữ giá trị =1/2, lấy =1/4, quá trình Newmark (2.2.14) và (2.2.15) được rút gọn trở thành biểu thức xác định giai tốc và vận tốc cuối Vì vậy phương pháp
Newmark =1/4 còn gọi là phương pháp giai tốc trung bình không đổi
Trong trường hợp giữ giá trị =1/2, lấy =1/6 thì xấp xỉ với giai tốc tuyến tính
Hình 2.2 Biểu đồ ổn định của phương pháp tính phân Newmark [22]
Vấn đề chính xác của phương pháp Newmark
Độ chính xác của phương pháp tích phân Newmark phụ thuộc vào độ lớn bước thời gian t Có ba yếu tố phải xét khi chọn t [4]
1 Mức độ biến đổi của tải trọng f(t)
2 Độ phức tạp về tính chất phi tuyến của độ cứng và hệ số cản
3 Chu kỳ dao động T của hệ, với quy luật f(t) tương đối khá đơn giản thì t phụ thuộc vào T, thường t T/10 có thể cho kết quả đáng tin cậy.
Các bước tính toán theo phương pháp Newmark
Bước 1: Tính các giá trị ban đầu
1 Dof = Tổng số bậc tự do của hệ
2 Tính toán chuyển vị, vận tốc, gia tốc ban đầu
3 Chọn bước thời gian và các hệ số Newmark
4 Tính toán các hằng số tính phân
Bước 2: Tính toán cho mỗi bước thời gian t=t+t
1 Tính các ma trận K, M, C tại thời điểm t=t+t
3 Đưa ma trận t t K về ma trận tam giác trên: t t T
-11- 5 Tính chuyển vị tại tại thời điểm t=t+t
L D L T t t u t t F 6 Tính gia tốc và vận tốc tại thời điểm t=t+t
Ví dụ số áp dụng phương pháp Newmark
Để kiểm chứng độ tin cậy của phương pháp Newmark khi áp dụng cho bài toán động, ví dụ số sau đây được khảo sát: cho hệ hai bậc tự do (2.3) có m 1 = m 2 = 50 kg; c 1 = c 2 = 1000 Ns/m; k 1 = k 2 = 30000 N/m, số liệu bài toán tham khảo [22]
Hình 2.3 Hệ 2 bậc tự do Áp dụng định luật 2 Newton ta có phương trình:
2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 0 m x c x k x c x k x f (2.6.2)Sử dụng biến đổi Laplace
(m s c sk X s) ( ) f s( ) ( c sk X s) ( ) (2.6.4) Xắp xếp (2.6.3) và (2.6.4) ta được:
Bài toán dao động của hệ hai bậc tự do được lập trình bằng ngôn ngữ Matlab cho kết quả sau đây:
Hình 2.4 Phản ứng xung lực của vật m 1
Nhận xét: Từ Đồ thị hình 2.4 thấy rằng sử dụng phương pháp Newmark có kết quả trùng với biến đổi Laplace, như vậy áp dụng phương pháp Newmark với bài toán động cho kết quả đáng tin cậy
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Giới thiệu
Mô hình và lý thuyết tính toán dao động của dầm tựa đơn chịu vật khối lượng chuyển động được trình bày trong chương này Phương trình vi phân dao động của dầm được thiết lập trên cơ sở lý thuyết dầm Euler, phương pháp phần tử hữu hạn
(FEM) kết hợp với phương pháp phần tử chuyển động (MFE) được sử dụng để tìm độ võng, chuyển vị của dầm.
Cơ sở lý thuyết và thiết lập công thức
Để tính dao động cầu do xe chạy qua, từ thế kỷ trước, nhiều mô hình tính toán đã được đưa ra Các mô hình này dần được cải tiến từ đơn giản đến phức tạp để mô phỏng hiện tượng thực tế chính xác hơn Luận văn sử dụng mô hình tương tác xe-cầu, gồm vật tròn khối lượng m p chuyển động từ đầu trái đến đầu phải dầm với vận tốc v m (t) và gia tốc không đổi a m Các tham số đặc trưng vật lý của dầm tựa đơn Euler-Bernoulli là E, I, m d , L và ρ.
I, L, , A, trong đó E mô đun Young, I là mômem quán tính của mặt cắt ngang dầm, L chiều dài của dầm, là trọng lượng trên một đơn vị chiều dài của dầm, A là diện tích mặt cắt ngang của dầm
Hình 3.1 Dầm tựa đơn có vật di động với vận tốc v m (t)
-14- Bài toán được xét theo giả thiết là ứng xử của dầm được mô tả theo phương trình vi phân Euler- Bernolli dựa trên giả thiết biến dạng nhỏ, định luật Hooks
Trong luận văn xét có xét đến 2 loại dầm khác nhau: a) Dầm có tiết diện mặt cắt ngang hằng số và khối lượng không đổi trên một đơn vị chiều dài b) Dầm có tiết diện mặt cắt ngang thay đổi và khối lượng thay đổi trên một đơn vị chiều dài
Phương trình dao động của dầm chịu vật chuyển động được mô tả như sau [5]:
Điều kiện biên và điều kiện ban đầu của dầm tựa đơn:
3.3 THIẾT LẬP MA TRẬN KHỐI LƢỢNG, CẢN, ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ CHUYỂN ĐỘNG
Dầm được rời rạc từng phần tử và phần tử dầm thứ s mang vật đang chuyển động với vận tốc v m(t) tại thời điểm t Mỗi nút của phần tử s có 3 lực nút và 3 chuyển vị Vị trí của vật chuyển động trong tọa độ tổng thể x p (t), vị trí địa phương của vật chuyển động là x m (t) Dầm có n phần tử và (n+1) nút
Hình 3.2 Rời rạc phần tử của dầm có mang vật chuyển động và cân bằng lực nút, chuyển vị của phần tử dầm thứ s
-15- Khi dầm dao động, lực quán tính gây ra bởi vật chuyển động[5]:
(3.3.2) trong đó: f x t z ( , ) là lực quán tính do vật chuyển động tại x, thời điểm t;
Để tính toán ảnh hưởng quán tính của vật chuyển động, gia tốc $\frac{d^2w(x_t,p)}{dt^2}$ được tính toán từ phương trình vi phân bậc hai tổng thể của hàm $w(z,x_t)$ theo biến $t$ và $x_p$ [5] Trong đó, $\delta(x - x_p)$ là hàm Dirac-delta và $g$ là gia tốc trọng trường; $x_0, v_0$ là vị trí ban đầu và vận tốc ban đầu của vật chuyển động tại $t=0$; $a_m$ là gia tốc của vật chuyển động.
2 2 2 2 w ( , ) w ( , ) w ( , ) w ( , ) w ( , ) p 2 p p p d x t x t x t dx x t dx x t d x dt t x t dt x dt x dt
(3.3.4) Phương trình (3.3.4) có thể viết được viết dưới dạng khác:
2 w ( , ) w ( , ) 2 w ( , ) w ( , ) w ( , ) p m m m d x t x t v a t x t v a t x t a x t dt (3.3.5) ở đây kí hiệu ( ’ ) là đạo hàm theo x, ( ) là đạo hàm theo t, wz(x,t) là độ võng theo phương đứng (z) của dầm tại điểm x và thời điểm t
( , ) w 2 w w w z p m m m p f x t m v a t v a t a xx (3.3.6) trong đó: m w p z là lực quán tính ; m p v 0 a t m 2 wza m w là lực hướng tâm; m p 2 v 0a t m w là lực Coriolis; m p g là lực trọng trường
-16- Như ta thấy trong phương trình (3.3.6) các thành phần quán tính gồm lực quán tính, lực hướng tâm, lực Coriolis, trọng lực của vật chuyển động gây ảnh hưởng đến độ võng của dầm
Khi dầm dao động, thành phần lực nằm ngang (x) giữa vật và dầm:
Phương trình (3.3.7) được viết dưới dạng thu gọn:
Cân bằng lực nút của phần tử dầm thứ s dưới tác động của vật mang khối lượng chuyển động [5]: w ( 1, 4) s i i p x f N m i (3.3.9)
N i (i=1÷6) là hàm hình dạng của phần tử dầm [19]:
(3.3.12) trong đó l là chiều dài của phần tử thứ s, x m (t) là khoảng cách vật chuyển động với điểm nút bên trái của phẩn tử s tại thời điểm t hình (3.2)
Mối quan hệ giữa hàm hình dạng và chuyển vị của phần tử thứ s tại vị trí x và thời điểm t [19]
1 1 4 4 w ( , ) x x t N u s N u s (3.3.13) z 2 2 3 3 5 5 6 6 w ( , )x t N u s N u s N u s N u s (3.3.14) ở đây u i (i=1÷6) là chuyển vị nút của phần tử dầm mà vật chuyển động đang đứng
Thế (3.3.11), (3.3.12) vào phương trình vào (3.3.8), (3.3.6) ta được biểu thức viết dưới dạng ma trận [5]:
(3.3.15f) với k i j , v t N N( ) 2 i j a N N m i j triển khai ra ta được:
-19- với v t( ) v 0 a t m , [m], [c], [k] là các ma trận khối lượng, cản, độ cứng của phần tử chuyển động Vị trí x p (t) của vật chuyển động m p thay đổi theo thời gian vì thế các ma trận khối lượng, cản, độ cứng thay đổi theo thời gian Bên cạnh đó, ma trận cản và ma trận độ cứng có chứa biến vận tốc v(t)
3.4 THIẾT LẬP MA TRẬN KHỐI LƢỢNG, ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ DẦM
3.4.1 Phần tử dầm chụi uốn và lực dọc Để thiết lập ma trận khối lượng, độ cứng của phần tử dầm ta dựa trên các giả thiết sau:
Phần tử có chiều dài là l với 2 nút, mỗi nút tại mỗi đầu mút
Phần tử nối với các phần tử khác chỉ tại các nút
Tải chỉ tác dụng lên các phần tử tại các nút
Lý thuyết dầm Euler-Bernoulli (Thin Beam) được sử dụng để thành lập ma trận phần tử hữu hạn Lý thuyết dầm mỏng của Euler-Bernoulli giả thiết rằng mặt cắt dầm duy trì phẳng trong quá trình biến dạng uốn và không có biến dạng trượt của mặt phẳng, nghĩa là đường trung hòa trực giao với mặt cắt trước và sau khi biến dạng Lý thuyết này khác biệt so với thuyết dầm dày (Thick Beam) của Timoshenko khi giả thiết rằng có sự trượt của mặt phẳng, do đó mặt cắt dầm không duy trì sự trực giao giữa trục trung hòa và mặt cắt ngang
3.4.2 Thiết lập ma trận độ cứng bằng phương pháp phần tử hữu hạn
Với giả thiết biến dạng dọc trục và biến dạng uốn là độc lập với nhau, nên trong quá trình thành lập ma trân độ cứng cũng như ma trận khối lượng phần tử ta tổ hợp phần tử dầm chụi uốn và phần tử thanh biến dạng dọc trục [4]
Xét phần tử dầm chịu uốn có hai bậc tự do gồm chuyển vị thẳng và góc xoay
Hình 3.3 Phần tử dầm và các chuyển vị nút
Hàm hình dạng N i ( ) chỉ gây chuyển vị u i =1 gây ra, còn các chuyển vị nút khác đều bằng 0 và nó phải thỏa mãn điều kiện biên Hàm hình dạng N i ( ) tương tự như
Từ các hàm nội suy xác định được chuyển vị nút của dầm Hệ số cứng của dầm là phản lực nút do chuyển vị nút gây ra Cụ thể khi xét ví dụ tại hình 3.4, chuyển vị nút được xác định theo công thức (3.4.2).
Hình 3.4 Hệ số độ cứng của phần tử dầm
-21- Áp dụng nguyên lý công khả dĩ, ta có:
(3.4.3) Mômen do nội lực u 3 =1 gây ra là:
(3.4.4) Công khả dĩ của nội lực:
∫ (3.4.5) Cho W I =W E ta suy ra được:
Tương tự, ta xét phần tử thanh chịu nén (phần tử thanh dàn 2 dầu là khớp)
Hình 3.5 Phần tử thanh chịu nén
Chọn hàm hình dạng tuyến tính:
(3.4.8) Từ 2 hàm nội suy này ta xác định được chuyển vị của thanh:
1 1 4 4 w x N u s N u s (3.4.9) Cách làm tương tự, ta có được công thức tổng quát hóa của phần tử thanh:
Từ 2 phương trình (3.4.7) và (3.4.10) tính được ma trận độ cứng K của một phần tử dầm chịu uốn và nén Ta xét hai trường hợp phần tử dầm đưới đây:
-22- a) Xét trường hợp phần tử dầm có mặt tiết diện mặt cắt ngang không đổi A, độ cứng E, mômen quán tính I, và chiều dài l
EI EI EI EI k k k k k k l l l l k k k k k k EI EI EI EI k k k k k k l l l l
b) Xét trường hợp phần tử dầm có mặt tiết diện mặt cắt ngang thay đổi A(x), độ cứng E, mômen quán tính I(x), bề rộng b, và chiều dài l [22]
Hình 3.6 Hình dạng của phần tử dầm
Thay (3.4.12) vào (3.4.7) và (3.4.10) ta được các phần tử của ma trận K
3.4.3 Thiết lập ma trận khối lượng bằng phương pháp phần tử hữu hạn
Cách tiến hành thiết lập ma trận khối lượng tương tự như cách thiết lập ma trận độ cứng Dùng hàm nội suy N i () như trong ma trận độ cứng [4]:
Giả sử dầm chịu tác dụng của gia tốc góc bằng gia tốc đơn vị tại nút, sau đó cho dầm chịu một chuyển vị khả dĩ Từ cân bằng công khả dĩ của lực nút và lực quán tính ta thức được công thức tổng quát:
∫ (3.4.14) Từ phương trình (3.4.13) tính được ma trận độ cứng M của một phần tử dầm chịu uốn và nén Ta xét hai trường hợp phần tử dầm đưới đây: a) Xét trường hợp phần tử dầm có mặt tiết diện mặt cắt ngang thay đổi A, trọng lượng riêng , chiều dài l
b) Xét trường hợp phần tử dầm có mặt tiết diện mặt cắt ngang thay đổi A(x), bề rộng b, và chiều dài l hình 3.6
3.5 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CÂN BẰNG CỦA TOÀN HỆ
Theo phương pháp phần tử hữu hạn, phương trình cân bằng chuyển động của dầm Euler-Bernoulli nhiều bậc tự do, có cản được viết dưới dạng ma trận sau:
; C t ( ) ; K t ( ) tương ứng với ma trận khối lượng, cản, độ cứng tổng thể tức thời của hệ, z t ( ) ; z t ( ) ; z t ( ) tương ứng với véctơ gia tốc, vận tốc, chuyển vị,
Thiết lập ma trận khối lượng, độ cứng của phần tử dầm
tử chuyển động Vị trí x p (t) của vật chuyển động m p thay đổi theo thời gian vì thế các ma trận khối lượng, cản, độ cứng thay đổi theo thời gian Bên cạnh đó, ma trận cản và ma trận độ cứng có chứa biến vận tốc v(t)
3.4 THIẾT LẬP MA TRẬN KHỐI LƢỢNG, ĐỘ CỨNG CỦA PHẦN TỬ DẦM
3.4.1 Phần tử dầm chụi uốn và lực dọc Để thiết lập ma trận khối lượng, độ cứng của phần tử dầm ta dựa trên các giả thiết sau:
Phần tử có chiều dài là l với 2 nút, mỗi nút tại mỗi đầu mút
Phần tử nối với các phần tử khác chỉ tại các nút
Tải chỉ tác dụng lên các phần tử tại các nút
Lý thuyết dầm Euler-Bernoulli (Thin Beam) được sử dụng để thành lập ma trận phần tử hữu hạn Lý thuyết dầm mỏng của Euler-Bernoulli giả thiết rằng mặt cắt dầm duy trì phẳng trong quá trình biến dạng uốn và không có biến dạng trượt của mặt phẳng, nghĩa là đường trung hòa trực giao với mặt cắt trước và sau khi biến dạng Lý thuyết này khác biệt so với thuyết dầm dày (Thick Beam) của Timoshenko khi giả thiết rằng có sự trượt của mặt phẳng, do đó mặt cắt dầm không duy trì sự trực giao giữa trục trung hòa và mặt cắt ngang
3.4.2 Thiết lập ma trận độ cứng bằng phương pháp phần tử hữu hạn
Giả thiết quan trọng là biến dạng dọc trục và biến dạng uốn không phụ thuộc lẫn nhau Do đó, trong quá trình thành lập ma trận độ cứng và ma trận khối lượng phần tử, có thể kết hợp phần tử dầm chịu uốn và phần tử thanh biến dạng dọc trục.
Xét phần tử dầm chịu uốn có hai bậc tự do gồm chuyển vị thẳng và góc xoay
Hình 3.3 Phần tử dầm và các chuyển vị nút
Hàm hình dạng N i ( ) chỉ gây chuyển vị u i =1 gây ra, còn các chuyển vị nút khác đều bằng 0 và nó phải thỏa mãn điều kiện biên Hàm hình dạng N i ( ) tương tự như
Từ bốn hàm nội suy (3.4.1) ta xác định chuyển vị của dầm các chuyển vị nút: z 2 2 3 3 5 5 6 6 w N u s N u s N u s N u s (3.4.2) Hệ số cứng của dầm là phản lực nút do chuyển vị nút gây ra Ta xét trường hợp cụ thể như hình 3.4
Hình 3.4 Hệ số độ cứng của phần tử dầm
-21- Áp dụng nguyên lý công khả dĩ, ta có:
(3.4.3) Mômen do nội lực u 3 =1 gây ra là:
(3.4.4) Công khả dĩ của nội lực:
∫ (3.4.5) Cho W I =W E ta suy ra được:
Tương tự, ta xét phần tử thanh chịu nén (phần tử thanh dàn 2 dầu là khớp)
Hình 3.5 Phần tử thanh chịu nén
Chọn hàm hình dạng tuyến tính:
(3.4.8) Từ 2 hàm nội suy này ta xác định được chuyển vị của thanh:
1 1 4 4 w x N u s N u s (3.4.9) Cách làm tương tự, ta có được công thức tổng quát hóa của phần tử thanh:
Từ 2 phương trình (3.4.7) và (3.4.10) tính được ma trận độ cứng K của một phần tử dầm chịu uốn và nén Ta xét hai trường hợp phần tử dầm đưới đây:
-22- a) Xét trường hợp phần tử dầm có mặt tiết diện mặt cắt ngang không đổi A, độ cứng E, mômen quán tính I, và chiều dài l
EI EI EI EI k k k k k k l l l l k k k k k k EI EI EI EI k k k k k k l l l l
b) Xét trường hợp phần tử dầm có mặt tiết diện mặt cắt ngang thay đổi A(x), độ cứng E, mômen quán tính I(x), bề rộng b, và chiều dài l [22]
Hình 3.6 Hình dạng của phần tử dầm
Thay (3.4.12) vào (3.4.7) và (3.4.10) ta được các phần tử của ma trận K
3.4.3 Thiết lập ma trận khối lượng bằng phương pháp phần tử hữu hạn
Cách tiến hành thiết lập ma trận khối lượng tương tự như cách thiết lập ma trận độ cứng Dùng hàm nội suy N i () như trong ma trận độ cứng [4]:
Giả sử dầm chịu tác dụng của gia tốc góc bằng gia tốc đơn vị tại nút, sau đó cho dầm chịu một chuyển vị khả dĩ Từ cân bằng công khả dĩ của lực nút và lực quán tính ta thức được công thức tổng quát:
∫ (3.4.14) Từ phương trình (3.4.13) tính được ma trận độ cứng M của một phần tử dầm chịu uốn và nén Ta xét hai trường hợp phần tử dầm đưới đây: a) Xét trường hợp phần tử dầm có mặt tiết diện mặt cắt ngang thay đổi A, trọng lượng riêng , chiều dài l
b) Xét trường hợp phần tử dầm có mặt tiết diện mặt cắt ngang thay đổi A(x), bề rộng b, và chiều dài l hình 3.6
Phương trình chuyển động cân bằng của toàn hệ
Theo phương pháp phần tử hữu hạn, phương trình cân bằng chuyển động của dầm Euler-Bernoulli nhiều bậc tự do, có cản được viết dưới dạng ma trận sau:
; C t ( ) ; K t ( ) tương ứng với ma trận khối lượng, cản, độ cứng tổng thể tức thời của hệ, z t ( ) ; z t ( ) ; z t ( ) tương ứng với véctơ gia tốc, vận tốc, chuyển vị,
Để tính toán ảnh hưởng của lực quán tính và lực hướng tâm do vật chuyển động gây ra, cần thiết lập ma trận khối lượng tổng thể tức thời M(t) và ma trận độ cứng tổng thể tức thời K(t) của hệ Các ma trận này đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích động lực học của hệ thống.
Ngoại trừ ma trận phần tử của phần tử thứ s:
si j si j si j; si j si j si j ( , 1 6) 3.5.4 s s s s s s
M M m K K k i j với n là tổng số bậc tự do của hệ, M và K là ma trận khối lượng và độ cứng tổng thể được tổ hợp từ các ma trận phần tử dầm (3.4.11) và (3.4.15), m và k là ma trận khối lượng và độ cứng của phần tử chuyển động (3.3.15e) và (3.3.15f)
Giái trị tức thời x m (t) và s được xác định như sau [5]:
Thiết lập ma trận cản
Ma trận cản tổng thể của dầm được tính toán từ lý thuyết Rayleigh [51]:
Hệ số thay đổi theo thời gian và phụ thuộc vào sự thay đổi của tần số tự nhiên của dầm tại mỗi bước thời gian Để xét ảnh hưởng của lực Coriolis do vật chuyển động gây ra thì ma trận cản tổng thể tức thời của hệ được thiết lập như sau:
C C i j n ngoại trừ ma trận phần tử của phần tử thứ s:
3.7 VECTO LỰC TỔNG THỂ CỦA DẦM MANG VẬT CHUYỂN ĐỘNG
Véc tơ lực tổng thể tức thời của kết cấu cũng phụ thuộc vào thời gian, các phần tử của véc tơ lực tổng thể bằng 0 ngoại trừ lực nút của phần tử dầm thứ s đang mang vật chuyển động
; (3.7.2) trong đó là hàm hình dạng tương tự như (3.3.11)
3.8 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG
Phương trình (3.5.5) chúng ta giải bằng cách sử dụng phương pháp số Newmark (Chương 2) Tần số tự nhiên không cản và dao động mode của dầm ta tính được khi
-26- giải phương trình thuần nhất (3.5.5) Trong trường hợp này, phương trình (3.5.5) được rút gọn: ̈ (3.8.1)
Lời giải (3.8.1) [5] Đạo hàm bậc hai z ta được: ̈ Thay z và ̈ vào (3.8.1) ta được:
(3.8.2) Đây là phương trình thuần nhất, chỉ tồn tại nghiệm khi : , i=(1-n) (3.8.3)
Từ (3.8.3) ta xác định được n giá trị tần số ,… Tần số tự nhiên là tần số tự nhiên thứ i, thay vào (3.8.2) ta tính được vectơ { } tương ứng
Vectơ tương ứng với tấn số tự nhiên thứ i được gọi là mode tự nhiên thứ i hay mode hình dạng i Để tính toán ma trận khối lượng, độ cứng tổng thể của toàn hệ thống tại mỗi bước thời gian , có thể theo các bước tính sau:
1 Xác định ma trận khối lượng, độ cứng của mỗi phần tử (3.4.11), (3.4.15)
2 Tại thời điểm t xác định phần tử s mà vật chuyển động đang đứng, sử dụng công thức (3.5.5)
3 Xác định giá trị vị trí của vật chuyển động phụ thuộc vào thời gian trên phần tử s ( 3.5.5)
4 Sử dụng giá trị mới tính được ở bước 3 thay vào (3.3.11) để tính toán hàm hình dạng
5 Tính toán ma trận khối lượng, độ cứng, cản của phần tử chuyển động với các công thứ (3.3.5e), (3.3.5f) và (3.3.5g)
6 Tính toán ma trận khối lượng, độ cứng tổng thể tức thời của toàn hệ bằng cách kết nối ma trận khối lượng, độ cứng của từng phần tử dầm và ma trận khối lượng và độ cứng của phần tử vật chuyển động, sau đó ta áp điều kiện biên vào Giải phương trình trị riêng tìm các tần số tự nhiên của toàn hệ tại thời điểm t
7 Tại thời điểm quay lại bước 2
3.9 SƠ ĐỒ KHỐI GIẢI THUẬT BÀI TOÁN
Nhập các dữ liệu đầu vào của bài toán:
+ Các thông số của dầm, vật liệu
+Các thông số về tải trọng, khối lượng
Tính toán ma trận khối lượng, độ cứng của mỗi phần tử dầm
Tính toán ma trận khối lượng, độ cứng, cản của phần tử chuyển động tại thời điểm t
Tính toán ma trận khối lượng, độ cứng tổng thể tức thời tại thời điểm t
Tính toán véc tơ tải trọng tổng thể tại thời điểm t
Giải phương trình chuyển động tìm chuyển vị
Tính giai tốc và vận tốc
3.10 NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH MATLAB
Matlab là một môi trường tính toán số và lập trình, được thiết kế bởi công ty MathWorks Matlab cho phép tính toán số ma trận, vẽ đồ thị hàm số hay biểu đồ thông tin, thực hiện thuật toán, tạo các giao diện người dùng và liên kết với những chương trình máy tính viết trên nhiều ngôn ngữ lập trình khác Matlab được dùng rộng rãi trong giáo dục, phổ biến nhất là các bài toán số trị trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật
Matlab là viết tắt từ “Matrix Laboratory”, được Cleve Morler phát minh vào cuối thập niên 1970, và sau đó ông trở thành chủ nhiệm khoa máy tính tại đại học
Sau hơn 40 năm phát triển và cải tiến liên tục, Matlab trở thành một công cụ lập trình rất mạnh Trong luận văn này, tác giả sử dụng sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab phiên bản R2010a để phụ vụ cho phương pháp tích phân số
3.10 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TẦN SỐ BẰNG THUẬT TOÁN TRỊ RIÊNG
Bài toán tìm tấn số dao động riêng của một kết cấu thực chất là bài toán tìm trị riêng (eigenvalues) của phương trình tấn số
Hiện nay có nhiều hướng giải quyết bài toán bằng phương pháp số, trong đó có 3 hướng chính như sau:
Hướng sử dụng phương pháp vectơ để tìm trị riêng và vectơ riêng thấp nhất của hệ
Hướng sử dụng các phép biến đổi, điển hình là phương pháp Jacobi tổng quát, Givens, Houswholder-QR, Lanczos Các phương pháp này cho phép tìm tất cả trị riêng và vectơ riêng tương ứng
Hướng sử dụng phép lặp đa thức, điển hình là phép lặp không gian con
Phương pháp này tìm vài giá trị riêng và các vectơ riêng tương ứng
Việc lựa chọn phương pháp và thuật toán giải tương ứng phụ thuộc nhiều vào yêu cầu tính toán và số lượng trị riêng và vectơ riêng tương ứng cần tìm.
Giải phương trình chuyển động
Phương trình (3.5.5) được giải bằng phương pháp số Newmark (Chương 2) Khi tần số tự nhiên không cản và dao động mode của dầm được tính được, chúng ta có thể tiến hành phân tích phản ứng động của dầm theo các phương pháp số.
-26- giải phương trình thuần nhất (3.5.5) Trong trường hợp này, phương trình (3.5.5) được rút gọn: ̈ (3.8.1)
Lời giải (3.8.1) [5] Đạo hàm bậc hai z ta được: ̈ Thay z và ̈ vào (3.8.1) ta được:
(3.8.2) Đây là phương trình thuần nhất, chỉ tồn tại nghiệm khi : , i=(1-n) (3.8.3)
Từ (3.8.3) ta xác định được n giá trị tần số ,… Tần số tự nhiên là tần số tự nhiên thứ i, thay vào (3.8.2) ta tính được vectơ { } tương ứng
Vectơ tương ứng với tấn số tự nhiên thứ i được gọi là mode tự nhiên thứ i hoặc mode hình dạng i Để tính ma trận khối lượng, độ cứng tổng thể của toàn hệ thống tại mỗi bước thời gian, có thể theo các bước tính sau:
1 Xác định ma trận khối lượng, độ cứng của mỗi phần tử (3.4.11), (3.4.15)
2 Tại thời điểm t xác định phần tử s mà vật chuyển động đang đứng, sử dụng công thức (3.5.5)
3 Xác định giá trị vị trí của vật chuyển động phụ thuộc vào thời gian trên phần tử s ( 3.5.5)
4 Sử dụng giá trị mới tính được ở bước 3 thay vào (3.3.11) để tính toán hàm hình dạng
5 Tính toán ma trận khối lượng, độ cứng, cản của phần tử chuyển động với các công thứ (3.3.5e), (3.3.5f) và (3.3.5g)
6 Tính toán ma trận khối lượng, độ cứng tổng thể tức thời của toàn hệ bằng cách kết nối ma trận khối lượng, độ cứng của từng phần tử dầm và ma trận khối lượng và độ cứng của phần tử vật chuyển động, sau đó ta áp điều kiện biên vào Giải phương trình trị riêng tìm các tần số tự nhiên của toàn hệ tại thời điểm t
7 Tại thời điểm quay lại bước 2
Sơ đồ khối giải thuật bài toán
Nhập các dữ liệu đầu vào của bài toán:
+ Các thông số của dầm, vật liệu
+Các thông số về tải trọng, khối lượng
Tính toán ma trận khối lượng, độ cứng của mỗi phần tử dầm
Tính toán ma trận khối lượng, độ cứng, cản của phần tử chuyển động tại thời điểm t
Tính toán ma trận khối lượng, độ cứng tổng thể tức thời tại thời điểm t
Tính toán véc tơ tải trọng tổng thể tại thời điểm t
Giải phương trình chuyển động tìm chuyển vị
Tính giai tốc và vận tốc
Ngôn ngữ lập trình Matlab
Matlab là một môi trường tính toán số và lập trình, được thiết kế bởi công ty MathWorks Matlab cho phép tính toán số ma trận, vẽ đồ thị hàm số hay biểu đồ thông tin, thực hiện thuật toán, tạo các giao diện người dùng và liên kết với những chương trình máy tính viết trên nhiều ngôn ngữ lập trình khác Matlab được dùng rộng rãi trong giáo dục, phổ biến nhất là các bài toán số trị trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật
Matlab là viết tắt từ “Matrix Laboratory”, được Cleve Morler phát minh vào cuối thập niên 1970, và sau đó ông trở thành chủ nhiệm khoa máy tính tại đại học
Sau hơn 40 năm phát triển và cải tiến liên tục, Matlab trở thành một công cụ lập trình rất mạnh Trong luận văn này, tác giả sử dụng sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab phiên bản R2010a để phụ vụ cho phương pháp tích phân số.
Giải phương trình tần số bằng thuật toán trị riêng
Bài toán tìm tấn số dao động riêng của một kết cấu thực chất là bài toán tìm trị riêng (eigenvalues) của phương trình tấn số
Hiện nay có nhiều hướng giải quyết bài toán bằng phương pháp số, trong đó có 3 hướng chính như sau:
Hướng sử dụng phương pháp vectơ để tìm trị riêng và vectơ riêng thấp nhất của hệ
Hướng sử dụng các phép biến đổi, điển hình là phương pháp Jacobi tổng quát, Givens, Houswholder-QR, Lanczos Các phương pháp này cho phép tìm tất cả trị riêng và vectơ riêng tương ứng
Hướng sử dụng phép lặp đa thức, điển hình là phép lặp không gian con
Phương pháp này tìm vài giá trị riêng và các vectơ riêng tương ứng
Việc lựa chọn phương pháp và thuật toán giải tương ứng phụ thuộc nhiều vào yêu cầu tính toán và số lượng trị riêng và vectơ riêng tương ứng cần tìm.
VÍ DỤ SỐ
Giới thiệu
Trong chương này, các ví dụ minh họa về dao động dầm giản đơn do tác động của vật chuyển động trên dầm được trình bày Từ cơ sở phân tích lý thuyết được nêu ra ở Chương 3, phần tử hữu hạn được kết hợp với phần tử chuyển động để mô hình hóa đồng thời vật chuyển động và dầm Các trường hợp phi tuyến tính của khối lượng, độ cứng và ma trận cản cũng được xem xét.
Mô hình hóa bài toán trên cơ sở ngôn ngữ lập trình Matlab và phương pháp tích phân Newmark để phân tích bài toán Ứng xử động của dầm có xét đến ảnh hưởng của tỉ số cản, chiều dài, độ cứng của dầm, lực quán tính, lực hướng tâm, lực Coriolis, điều kiện biên, ảnh hưởng của gia tốc, vận tốc vủa vật chuyển động được phân tích thông qua một số bài toán Bên cạnh đó có một vài bài toán số liên quan đến dầm có mặt cắt ngang thay đổi và dầm chịu hai vật đồng thời chuyển động cũng được phân tích.
Các bài toán kiểm chứng
Mục đích trình bày ở mục 4.2 này nhằm kiểm tra mức độ tin cậy của thuật toán giải bài toán động dầm tựa đơn được viết trên ngôn ngữ Matlab
Bài toán 1: Dầm tựa đơn chịu tải trọng di động với vận tốc không đổi, số liệu tham khảo [52]
Hình 4.1 Dầm tựa đơn chịu tải trọng di động
Dầm tựa tựa đơn chịu tải trọng F = 347000 N, chuyển động với vận tốc không đổi V = 68.1 m/s, dầm dài L = 34 m, có độ cứng EI = 9.92 x 10 10 Nm 2 , khối lượng
-30- dầm trên một đơn vị chiều dài = 11400 kg/m Theo phương pháp PTHH dầm được chia 70 đoạn, chọn bước thời gian t =0.005 s
Kết quả của Raid Karoumi [52]
Hình 4.2 Kết quả chuyển vị tại giữa nhịp của Raid Karoumi Kết quả từ lập trình Matlab (phụ lục A)
Hình 4.3 Kết quả chuyển vị tại giữa nhịp được tính toán từ Matlab
-31- Chuyển vị tĩnh lớn nhất tại giữa nhịp:
Chuyện vị động tại giữa nhịp: U d
Nhận xét kết bài bài toán:
- Kết quả từ lập trình Matlab có hệ số động (DAF 1 ) lớn nhất tại x/L = 0.4 và giá trị của nó DAF = 1.256
- Kết quả của Karoumi có giá trị hệ số động lớn nhất DAF 2 = 1.258 tại x/L
Chênh lệch từ 2 kết quả tính toán: (DAF 2 - DAF 1 )/ DAF 1 = 0.16 % Như vậy đối với bài toán dầm tựa đơn chịu tải trọng chuyển động với vận tốc không đổi có kết quả từ lập trình Matlab và kết quả từ [52] là sai số rất nhỏ, qua đó cho thấy mô hình tính toán lập trình bằng ngôn ngữ Matlab là hợp lý
Bài toán 2: Dầm hai đầu khớp cố định chịu vật mang khối lƣợng chuyển động với vận tốc không đổi, số liệu bài toán tham khảo [51]
Hình 4.4 Dầm hai dầu khớp chịu vật mang khối lượng chuyển động từ trái sang phải
Dầm có kích thước hình học và tính chất vật liệu như sau: L= 4.352 m, b 0.018113 m, h = 0.072322 m, E = 2020.797216 N/m 2 , =15267.1756 kg/m 3 , I 5.71x 10 7 , tỷ số cản 1 = 2 = 0.005, gia tốc trọng trường g = 9.81 m/s 2 , vật tròn chuyển động có khối lượng m p = 21.8 kg, chuyển động với vận tốc không đổi V
'.49 m/s, dầm được chia làm 14 phần tử và chọn bước thời gian t =0.001 s
Kết quả của Jia-Jang Wu [51]
Hình 4.5 Kết quả độ võng của dầm theo Jia-Jang Wu Kết quả từ lập trình Matlab (phụ lục B)
Hình 4.6 Kết quả độ võng của dầm từ lập trình Matlab
Nhận xét kết bài bài toán:
- Kết quả từ lập trình Matlab có độ võng lớn nhất W 1 = -0.0051 khi vật chuyển động đến vị trí x/L = 0.653
- Kết quả của Jia-Jang Wu có độ võng lớn nhất W 2 = -0.00517 khi vật chuyển động đến vị trí x/L = 0.650
Chênh lệch từ 2 kết quả tính toán: (W 2 – W 1 )/ W 1 = 1.37 %
Kết quả bài toán dầm hai đầu khớp cố định chịu vật mang khối lượng chuyển động với vận tốc không đổi được tính toán bằng Matlab và tham khảo từ [51] có sai số nhỏ (chênh lệch 1,37%) Điều này chứng minh mô hình tính toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab là hợp lý.
Bài toán 3: Dầm tựa đơn chịu vật mang khối lƣợng chuyển động với vận tốc thay đổi, số liệu bài toán tham khảo [22]
Hình 4.7 Dầm tựa đơn chịu vật chuyển động với vận tốc thay đổi
Dầm tựa đơn có các kích thước hình học và tính chất vật liệu như sau: chiều dài dầm L 0 m, môđun đàn hồi E = 2.15 x 10 11 Pa, mômen quán tính I = 0.8 m 4 , diện tích mặt cắt ngang A = 2.4 m 2 , trọng lượng riêng = 6375 kg/m 3 , khối lượng trên một đơn vị chiều dài = 153 x 10 2 kg/m, khối lượng của dầm M b =AL =
153x10 4 kg, dầm có tỉ số cản 1 = 2 =0.005
Vật chuyển động có khối lượng m p a.2 x 10 3 kg và chuyển động với vận tốc ban đầu v 0 = 20 m/s, giai tốc của vật thay đổi lần lượt là a=0, 3, 6, 9 m/s 2 Sử dụng phương pháp Newmark để phân tích chuyển vị động tại giữa dầm, chọn giá trị bước thời gian t =0.02s m p v (t)a m m x z
Kết quả của Junping Pu, Peng Liu [22]
Hình 4.8 Chuyển vị tại giữa nhịp với ảnh hưởng của gia tốc dương (Junping Pu) Kết quả của lập trình
Hình 4.9 Chuyển vị tại giữa nhịp với ảnh hưởng của gia tốc dương (lập trình)
Kết quả của Junping Pu, Peng Liu [22]
Hình 4.10 Chuyển vị tại giữa dầm với ảnh hưởng của gia tốc âm (Junping Pu) Kết quả của lập trình
Hình 4.11 Chuyển vị tại giữa dầm với ảnh hưởng của gia tốc âm (lập trình)
- So sánh đối chiếu hình ảnh giữa các đồ thị hình 4.8 và 4.9; 4.10 và 4.11 chúng ta thấy rằng kết quả từ lập trình và kết quả của Junping Pu, Peng Liu
[22] là giống nhau Như vậy lập trình Matlab bài toán dầm tựa đơn chịu vật mang khối lượng chuyển động với vận tốc thay đổi là đáng tin cậy
Bảng 1 Chuyển vị lớn nhất tại giữa nhịp ứng với các gia tốc dương
- Từ số liệu bảng 1 cho chúng ta thấy rằng với cùng một điều kiện vận tốc ban đầu giống nhau (v 0 = 20 m/s), vật chuyển động với gia tốc càng lớn thì chuyền vị càng lớn
Bảng 2 Chuyển vị lớn nhất tại giữa nhịp ứng với các gia tốc âm
- Từ số liệu Bảng 2 cho thấy rằng vật chuyển động có gia tốc âm càng nhỏ thì xu hướng chuyển vị tại giữa nhịp càng nhỏ
Các bài toán khảo sát
Trên cơ sở những bài toán kiểm chứng, ở mục 4.3 khảo sát thêm một số bài toán khác nhằm phân tích rõ hơn ảnh hưởng của vật chuyển động lên dao động của dầm tựa đơn Số liệu kích thước dầm và vật chuyển động cho các bài toán 4, 5, 6, 7, 8, 9 học viên tham khảo [22]
Bảng 3 Tính chất vật liệu của dầm
Vật chuyển động có khối lượng là m p = 61.2 x 10 3 kg, dầm được chia làm 50 phần tử, phương pháp Newmark được dùng để phân tích bài toán dao động của dầm, chọn hai hệ số tích phân Newmark =1/2, = 1/4 Khi chọn bước thời gian
t học viên khảo sát bài toán độ hội tụ
Sử dụng phương pháp Newmark tích phân cho bài toán với các giá trị bước thời gian t khác nhau, xem xét hệ số động chuyển vị (DAF) tại giữa nhịp
Biểu đồ thể hiện độ hội tụ theo thời gian, cho thấy hệ số động lực học (DAF) gần như không đổi khi Δt nằm trong khoảng 0,02 ÷ 0,005 Do đó, để đảm bảo độ hội tụ, nên chọn Δt = 0,02 cho các bài toán về sau.
Bài toán 4: Khảo sát ảnh hưởng của tỉ số cản đối với hệ số động của chuyển vị và mô men tại giữa nhịp (vật chuyển động với v 0 = 20m/s, a =3 m/s 2 )
Hình 4.13 Hệ số động của chuyển vị tại giữa nhịp khi thay đổi tỉ số cản
Hình 4.14 Hệ số động của mômen tại giữa nhịp khi thay đổi tỉ số cản
-39- Chuyển vị tĩnh lớn nhất tại giữa nhịp:
Chuyện vị động tại giữa nhịp: U d (t)
Hệ số động của chuyển vị: AF d ( )
Mômen tĩnh lớn nhất tại giữa nhịp:
Mômen động tại giữa nhịp: M d (t)
Hệ số động của mômen: AFm d ( )
Bảng 4 Hệ số động của chuyển vị khi thay đổi tỉ số cản Nhận xét bài toán:
Dựa vào Bảng 4, có thể thấy khi tỉ số cản càng nhỏ thì hệ số động chuyển vị tại giữa nhịp càng lớn Ngược lại, khi tỉ số cản càng lớn thì hệ số động chuyển vị càng nhỏ Quan hệ giữa tỉ số cản và hệ số động chuyển vị vì thế là tỉ lệ nghịch Tương tự, mối liên hệ giữa tỉ số cản và hệ số động mômen cũng là tỉ lệ nghịch.
- Từ đồ thị hình 4.13 và các bảng số liệu bảng 4 ta thấy rằng trong khoảng thời gian vật chuyển động trên dầm (0 s 3.9 s ), tỉ số cản ảnh hưởng rất ít đến chuyển vị của dầm, trường hợp tỉ số cản lớn nhất =0.05 (t = 1.7 s; DAF
Chênh lệch: (DAF 0 - DAF 0.05 )/ DAF 0.05 = 2.6%
-40- - Khi vật chuyển động ra khỏi dầm, lúc này dầm dao động tự do, tỉ số cản ảnh hưởng rất lớn đến dao động của dầm Tại thời điểm t =9.12 s, tỉ số cản lớn nhất =0.05 (DAF = 0.212) và không cản =0 (DAF =0.552)
Chênh lệch: (DAF 0 - DAF 0.05 )/ DAF 0.05 = 61.59%
- Trong thực tế các kết cấu có tỉ số cản < 3%, đặc biệt hai loại vật liệu thường dùng trong xây dựng cầu là thép (tỉ số cản = 0.02) và bê tông (tỉ số cản
=0.03), ta lần lượt xét tỉ số cản của hai loại vật liệu trên:
TH1 + = 0; chuyển vị lớn nhất tại giữa dầm = 0.0813 (m)
+ =0.02; chuyển vị lớn nhất tại giữa dầm = 0.080 (m) Độ chênh lệch = (0.0813-0.08)/0.0813x100 =1.59%
+ =0; Mômen lớn nhất tại giữa dầm =1.461x10 7 (Nm)
+ =0.02; Mômen vị lớn nhất tại giữa dầm =1.440 x10 7 (Nm) Độ chênh lệch = (1.461-1.44)/1.461x100=1.43%
TH2 + =0; chuyển vị lớn nhất tại giữa dầm =0.0813 (m)
+ =0.03; chuyển vị lớn nhất tại giữa dầm =0.0796 (m) Độ chênh lệch =(0.0813-0.0796)/0.0813x100=2.09%
+ =0; Mômen lớn nhất tại giữa dầm =1.461x10 7 (Nm)
+ =0.03; Mômen vị lớn nhất tại giữa dầm =1.431 x10 7 (Nm) Độ chênh lệch = (1.461-1.431)/1.461x100=2.05%
- Ta thấy độ chênh lệch của chuyển vị và mômen tại giữa nhịp là rất nhỏ khi xét và không xét tỉ số cản, vậy trong các bài toán tính kết cấu của dầm khi không yêu cầu độ chính xác cao, ta có thể bỏ qua tỉ số cản mà không làm sai lệch kết quả nhiều
Bài toán 5: Khảo sát ảnh hưởng độ cứng dầm đối với hệ số động chuyển vị và mô men tại giữa nhịp (vật chuyển động với v 0 = 30 m/s , a = 3 m/s 2 )
Hình 4.15 Hệ số động của chuyển vị tại giữa nhịp khi thay đổi độ cứng
Hình 4.16 Hệ số động của mômen tại giữa nhịp khi thay đổi độ cứng
Bảng 5 Hệ số động tại giữa nhịp khi thay đổi độ cứng Nhận xét bài toán:
- Từ số liệu bảng 4 ta thấy rằng khi độ cứng của dầm tăng lên (do mômen quán tính tăng) thì hệ số động của chuyển vị và mômen nhỏ lại, điều này thấy rõ là dầm càng cứng thì chuyển vị càng bé
- Cùng một kích thước dầm nhưng khi thay đổi độ cứng thì vị trí lớn nhất của hệ số động chuyển vị (DAF ) khác nhau
- Trong mọi trường hợp khi thay đổi mômen quán tính (I) thì hệ số động chuyển vị (DAF) luôn lớn hơn hệ số động mômen (DAFm)
- Khi I tăng lên 75% ( từ 0.8 đến 1.4) thì hệ số động chuyển vị (DAF) giảm đi 12.38 %
- Khi độ cứng của dầm tăng đến một giá trị nhất định thì hệ số động mômen
DAFm
