Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích động lực học kết cấu tấm dày trên nền nhiều lớp chịu tải trọng động sử dụng phương pháp MPMM (Multi-Layer Plate Moving Method)

TOM TAT LUẬN VAN THẠC SĨLuận van này tập trung phân tích ứng xử động của tam Mindlin trên nền nhiều lớpsử dụng phương pháp nhiều lớp tam chuyển động MPMM Multi-Layer PlateMoving Method..

DO DUY MINH

PHAN TICH DONG LUC HOC KET CAU TAM DAYTREN NEN NHIEU LOP CHIU TAI TRONG DONG

SU DUNG PHUONG PHAP MPMM

(MULTI-LAYER PLATE MOVING METHOD)

Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng công trình dân dụng va công nghiệpMã số ngành: 60 58 02 08

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỎ CHÍ MINH, tháng 6 năm 2016

ĐẠI HỌC QUOC GIA TP HO CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS TS Lương Văn Hải

Cán bộ chấm nhận xét 1: TS Nguyễn Văn Hiếu

Cán bộ cham nhận xét 2: PGS TS Nguyễn Xuân Hùng

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Truong Đại hoc Bách Khoa, ĐHQG Tp HCMngày 22 tháng 07 năm 2016.

Thành phần Hội đồng đánh giá Luận văn thạc sĩ gồm:1 PGS TS Đỗ Kiến Quốc Chú tịch hội đồng2 TS Nguyễn Trọng Phước Thư ký

3 TS Nguyễn Văn Hiếu Thành viên Phản biện 14 PGS TS Nguyễn Xuân Hùng Thành viên Phản biện 25 PGS TS Nguyễn Trung Kiên Thành viên

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyênngành sau khi Luận văn đã được sửa chữa (nếu có)

CHỦ TỊCH HỘI ĐÔNG TRƯỞNG KHOA

KY THUẬT XÂY DUNG

NHIỆM VỤ LUẬN VAN THAC SĨ

Họ và tên học viên: DO DUY MINH MSHV: 7140158Ngày, tháng, năm sinh: 12/09/1987 Nơi sinh: Thanh HóaChuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng CT DD & CN Mã số: 60580208

I TÊN DE TÀI: Phân tích động lực học kết cau tam dày trên nền nhiều lớpchịu tải trọng động sử dụng phương pháp MPMM (Multi-Layer PlateMoving Method)

H NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

1 Thiết lập các ma trận khối lượng, ma trận độ cứng và ma trận cản cho các phần

tử kết câu tam sử dụng phương pháp nhiều lớp tấm chuyển động MPMM.2 Phát triển thuật toán, lập trình tính toán bằng chương trình Matlab dé giải hệ

phương trình động tong thé của bai toán.3 Kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính bằng cách so sánh kết quả của chương

trình với kết quả các phương pháp khác.4 Tiến hành thực hiện các vi dụ số nhằm khảo sát ảnh hưởng của các nhân tố quan

trọng đến ứng xử động của kết cau tâm, từ đó rút ra các kết luận và kiến nghị.Ill NGAY GIAO NHIEM VU : 11/01/2016

Iv NGAY HOÀN THÀNH NHIỆM VU: 17/06/2016V HO VA TÊN CÁN BO HUONG DAN: PGS TS Lương Văn Hải

Tp HCM, ngày 17 thang 06 năm 2016

CÁN BỘ HƯỚNG DÂN CHỦ TỊCH HỘI ĐÔNG NGÀNH

PGS TS Lương Văn Hải

TRUONG KHOA KY THUẬT XÂY DỰNG

Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp nămtrong hệ thống bài luận cuối khóa nhằm trang bị cho Học viên cao học khả năng tựnghiên cứu, biết cách giải quyết những vấn dé cụ thé đặt ra trong thực té xâydựng Đó là trách nhiệm và niềm tự hào của mỗi học viên cao học.

Đề hoàn thành Luận văn nảy, ngoài sự cố găng và nỗ lực của bản thân, tôi đãnhận được sự giúp đỡ nhiều từ tập thể và các cá nhân Tôi xin chi nhận và tỏ lòngbiết ơn đến tập thể và các cá nhân đã dành cho tôi sự giúp đỡ quý báu đó

Đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS TS Lương Văn Hải.Thây đã đưa ra gợi ý đầu tiên để hình thành nên ý tưởng của đề tài và Thầy góp ýcho tôi rất nhiều về cách nhận định đúng dan trong những vẫn dé nghiên cứu cũngnhư cách tiếp cận nghiên cứu hiệu quả

Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thây Cô Khoa Kỹ Thuật Xây dựng, trường Đạihọc Bách Khoa Tp HCM đã truyền dạy những kiến thức quý giá cho tôi, đó cũng lànhững kiến thức không thể thiếu trên con đường nghiên cứu khoa học và sự nghiệpcủa tôi sau này.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến NCS Trần Minh Thi, NCS Cao Tan Ngoc Thanđã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình thực hiện Luận văn nay

Luận văn thạc sĩ đã hoàn thành trong thời gian quy định với sự nỗ lực của bản

thân, tuy nhiên không thé không có những thiếu sót Kính mong quý Thay Cô chidẫn thêm để tôi bố sung những kiến thức và hoàn thiện bản thân minh hơn

Xin trân trọng cảm ơn.

Tp HCM, ngày 17 thang 06 năm 2016

Đỗ Duy Minh

TOM TAT LUẬN VAN THẠC SĨ

Luận van này tập trung phân tích ứng xử động của tam Mindlin trên nền nhiều lớpsử dụng phương pháp nhiều lớp tam chuyển động MPMM (Multi-Layer PlateMoving Method) Phương pháp mới nay được dé xuất dựa trên phương pháp phantử chuyển động MEM (Moving Element Method) Phát triển của Luận văn là môphỏng chính xác hơn cau tạo nền bao gồm nhiều lớp và có xét đến sự tương tác giữacác lớp này với nhau Theo phương pháp này, tấm sẽ được chia nhỏ thành những“phần tử nhiều lớp chuyên động” Những phan tử này không phải chuyển động thậtso với tam đứng yên mà là chuyển động giả tưởng cùng với lực di chuyền trên kếtcầu tam Do đó, phương pháp nay sẽ tránh được việc cập nhật vécto tải trọng tươngứng với mô hình tam Tất cả các phương trình chuyển động cũng như các ma trậnkết cầu của phần tử tim trên nền nhiều lớp sẽ được xây dựng trên một hệ trục tọa độ

chuyển động cùng vận tốc với vận tốc của lực di chuyền, điều này hoan toàn ngược

lại với phương pháp phần tử hữu hạn FEM (Finite Element Method) Cách thiết lậpcác ma trận khối lượng, ma trận độ cứng, ma trận cản và ma trận tong thé cho baitoán động lực hoc của tam Mindlin trên nền nhiều lớp được trình bay Các kết quaphân tích số được so sánh với kết quả của các phương pháp khác nham thé hiện độtin cậy của phương pháp dé xuất Đồng thời kết quả khảo sát nhằm tìm hiểu ảnhhưởng của những yếu tố quan trọng đến ứng xử của tam Mindlin trên nền nhiều lớp,ví dụ như sự thay đôi tỉ số độ cứng, ti số độ cản giữa nên và lớp liên kết giữa haitắm; cũng như tỉ số chiều day, tỉ số module đàn hồi giữa hai tam; ứng xử của kếtcầu khi thay đôi vận tốc, độ lớn tải trọng tác động, vi tri đặt tai trong, điều kiệnbiên, Các kết quả nghiên cứu trong Luận văn hy vọng có thể là một trong nhữngtài liệu tham tham khảo hữu ích trong việc nghiên cứu tam Mindlin trên nền nhiềulớp chịu tai di động.

LOI CAM DOAN

Tôi xin cam đoan đây là công việc do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của

thay PGS TS Lương Văn Hải.Các kết quả trong Luận văn là đúng sự thật và chưa được công bố ở các nghiêncứu khác.

Tôi xin chịu trách nhiệm về công việc thực hiện của mình.

Tp HCM, ngày 17 tháng 06 năm 2016

Đỗ Duy Minh

MOT SO KY HIEU VIET TAT oo eecccccsessessessessesseeseseesecueeueeesseeseesesneeueensseeneaeenee xivCHƯƠNG 1 TONG QUAN CS S111 11111111111 kg ng rreg |Won 0 u a a a |1.2 Tình hình nghiên cứu và tính cấp thiết của dé tài - 5-5 sc+s+ssscs2 31.2.1 Các công trình nghiên cứu ngoài nước - «<< «<< << << +2 31.2.2 Cac công trình nghiên cứu trong nước - <<<<s<<<<<<<+2 61.3 Mục tiêu và hướng nghiÊn CỨU 52+ + c1 S233 11 1135311151111 11155x2 71.4 Cau trúc luận văn :-c: tt the 7CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYÊT 562cc 2c 2rtzrtsrtrrtrrtererrererrrrree 92.1 Mô hình nền đường nhiều lop ce ccescescessscssescscescevscescscsessevseessscesees 92.1.1 Hệ số độ cứng đàn hồi K, ¿-2©55+2c+c ecezxcrrrererered 102.1.2 Hệ SỐ cản C, ccc tt t HS H111 111101111111 11 011111011 112.2 Phương pháp phan tử nhiều lớp tam chuyển động MPMM 13

2.2.1 Lý thuyết tam có kế đến biến dạng trượt của Reissner-Mindlin 13

2.2.2 Biến dạng của tấm và mỗi quan hệ giữa biến dạng — chuyền vị 14

2.2.3 Biến dạng của tấm và mỗi quan hệ giữa ứng suất — biến dạng 152.2.4 Phương trình năng lượng của tẤm - set sevseekrersed 172.2.5 Phần tử đăng tham $6 - cv về ng ng errkg 182.2.6 Phép tích phân số - Phép cầu phương GausSs - s5 css¿ 21

2.3 Qui tải trọng của xe thành tải tập trung tại bốn bánh xe - 322.4 Phương pháp NewmarĂK - + + + + << + 3001110180111 1111111111111 1111111 1x4 342.5 Thuật toán sử dụng trong Luận văn - c5 << S S311 xxx xss 362.5.1 Thông số đầu vVảoO - 6 kh về 1S S9 về ng ngư 362.5.2 Giải bai toán theo dạng chuyỂn vị -c-s- - s set sevseekrersed 372.5.3 Giải bài toán theo dạng gia tỐC - -c-c tk Enxkekrreei 382.5.4 Độ ồn định và hội tu theo phương pháp Newmark s-5-¿ 382.6 Lưu đồ tính toán -c:cc cv th th treo 39CHƯƠNG 3 KET QUA PHAN TÍCH SỐ -G- SE S2 SE SESEskrkesereed 403.1 Kiểm chứng chương trình Matlab - + St St SềESE ke cerserkcee 42

3.1.1 Bài toán la: Phân tích ứng xử của tam Mindlin trên nền nhiều

lớp khi chịu tác dụng của tải trọng tĩnh khi xem tắm xi măng đávà nền là cứng VO CÙng - - c1 cv ng ngu 423.1.2 Bài toán 1b: Phân tích ứng xử của tam Mindlin trên nền nhiều

lớp khi chịu tác dụng của tải trọng di động khi xem tam ximăng đá và nền là cứng vô cùng ¿- + xxx cvseekreesed 463.2 Phân tích động lực học tam Mindlin trên nên nhiều lớp chịu tác dụng

của tải trọng di động - - cc c c2 111111010130 11111111110 111 111v vớ 483.2.1 Bài toán 2: Khao sat sự hội tụ của bal toán -. -<- 483.2.2 Bài toán 3: Khảo sát ứng xử động của tam Mindlin trên nên

nhiều lớp chịu tác dụng tải trọng di động khi tỉ số độ cứng giữanền và lớp liên kết giữa hai tam thay đồi - 5 - sec sessesed 503.2.3 Bài toán 4: Khảo sát ứng xử động của tam Mindlin trên nền

nhiều lớp chịu tác dụng tải trọng di động khi tỉ số độ cản giữanền và lớp liên kết giữa hai tam thay đồi - 5 - sec sessesed 553.2.4 Bài toán 5: Khảo sát ứng xử động của tam Mindlin trên nên

nhiều lớp chịu tác dụng tải trọng di động khi tỉ số module đànhồi của hai tắm thay GOi - 6 x1 vn g ng revrrei 59

3.2.5 Bài toán 6: Khao sát ứng xử động của tam Mindlin trên nên

nhiều lớp chịu tác dụng tải trọng di động khi tỉ số chiều dày củahai tam thay đổỔi - c1 TT TT HH ng nưệu 643.2.6 Bài toán 7: Khảo sát ứng xử động của tam Mindlin trên nên

nhiều lớp chịu tác dụng tải trọng di động khi vận tốc lực diđộng V thay đổI G1 5 1c TT TT HT ng ru 703.2.7 Bài toán 8: Khao sát ứng xử động của tam Mindlin trên nên

nhiều lớp chịu tác dụng tải trọng di động khi giá tri lực di độngP thay đỔI ch T TT TT HT TH TT HT TH HT TH rkt 723.2.8 Bài toán 9: Khảo sát ứng xử động của tam Mindlin trên nên

nhiều lớp khi tải trọng xe được qui về một tải tập trung tại trọngtâm xe và bốn tải tập trung tại bốn bánh xe 22s +x+s£ss2 73CHƯƠNG 4 KẾT LUẬN VÀ KIÊN NGHỊ - 2 52s +E+E+E+EceEsEeererees 794.1 Kt luận SE: Sẻ SE SỰ 5151 11111111111 111111011 1110111110111 794.2 Kiến nghị - 1n 11T TT HH TH TH TT HT TH HH Hưng 80TÀI LIEU THAM KHẢO 5 5c SzS E2 3 51515111111111 1111111111111 1.11 kre 81KET QUA CONG BO ĐẠT DUOC TỪ LUẬN VAN c ccc sec secsesez 86PHU LUC _ c-CC<Sc ST TS 1 1111111111112 kg 87

Hinh 1.1.Hinh 1.2.Hinh 1.3.Hinh 1.4.Hinh 2.1.Hinh 2.2.Hinh 2.3.Hinh 2.4.

Hinh 2.5.

Hinh 2.6.Hinh 2.7.Hinh 2.8.Hình 2.9.Hình 2.10.Hình 2.11.Hình 3.1.

Hình 3.2.Hình 3.3.Hình 3.4.Hình 3.5.

Hình 3.6.

DANH MỤC CÁC HINH VE

Ứng dụng của tâm Mindlin trong Runwayy sec se ccseseesỨng dụng của tâm Mindlin trong Highwayy 5c 6c secMặt cắt nền đường băng nhiều lớp - + - SE SvcEsvckcserees

Mô hình tải trọng cố định và phan tử tam chuyển động (MPMM)

Mat cắt chỉ tiết nền đường băng nhiều lớp c s55 sex:Mô hình tam Mindlin trên nền nhiều lớp - ¿<5 sec £s£zxe:Nền với nhiều lớp đất khác nhau ¿+ + 2E £+E+E+£sEseresedMô hình động học của kết cau tấm theo lý thuyết Reissner-6000

Quy ước chiều dương của chuyển vị w va hai chuyển vị xoay8 ,, của tâm Mindlin -c:-ccccetterrkerrrrrrrrrrrirrrrreePhan tử tứ giác Q, trong hệ tọa độ địa phương «5-5Phần tử tứ giác QO, trong hệ toa độ tự nhiÊn - - << <s«««««+Phan tử tứ giác 9 nút, 2 lớp trong phương pháp MPMM

Mặt cắt dọc phân bồ tải trọng của xe xuống bốn bánh xe

Mặt cat ngang phân bồ tải trọng của xe xuống bốn bánh xe

Lưu đồ tính toán - - - + E13 SE SEE 132811 511111111 5111111111 1 xe.Mô hình kiểm chứng tam Mindlin trên nên nhiều lớp chịu tảitrọng tĩnh khi xem tắm xi măng đá và nền là cứng vô cùng

Sự hội tụ chuyển vị lớn nhất w tại tâm tắm bê tông

Chuyển vị w_ tại tam tắm bê tông doc theo trục # -

Chuyển vị w, tại tâm tắm bê tông dọc theo trục ÿ -

Mô hình kiểm chứng tam Mindlin trên nên nhiều lớp chịu tảitrọng động khi xem tâm xi măng đá và nên là cứng vô cùng Sự hội tụ của chuyển vị tại tâm tam BT theo các bước thời gian

Sự hội tu cua chuyén vi tại tâm tam BT theo các bước thời gian

Chuyển vi lớn nhất w, tại tam tam bé tong va w, tai tam tam ximăng đá khi tỉ số độ cứng &, /k, thay đổi -cccce¿So sánh chuyển vị tại tâm tam BT khi tỉ số độ cứng k,/k, thay

Chuyển vi lớn nhất w, tại tâm tam bê tông và w „ tại tâm tam ximăng đá khi ti số độ cứng k,/k, thay đối So sánh chuyển vị tại tâm tam BT khi tỉ số độ cứng k,/k, thay

Chuyén vị lớn nhất w, tại tâm tắm bê tông và w, tại tâm tấm ximăng đá khi tỉ số độ cản c, /c, thay đổi c ceeSo sánh chuyển vị tại tâm tam BT khi tỉ số độ cứng c,/c, thay

Chuyên vi lớn nhat w, tại tam tâm bê tông và w, tại tam tâm ximang da khi tỉ sô độ cản c, /c„ thay đôi .c-c«cceệChuyên vi lớn nhat w, tại tam tâm bê tông và w, tại tam tâm ximăng đá khi tỉ số module đàn hồi £, / E, của hai tâm thay đổi

So sánh chuyển vị tại tâm tam BT khi tỉ số module E „/È„ thay

Chuyển vi lớn nhất w, tại tâm tam bê tông và w „ tại tâm tam ximăng đá khi tỉ số module đàn hôi £, /# của hai tam thay đổi So sánh chuyển vị tại tâm tắm BT khi tỉ số module E/E F thay

Chuyén vi lớn nhất w, tại tâm tam bê tông và w „ tại tâm tam ximăng đá khi ti số chiều day h, /h, của hai tâm thay đôi So sánh chuyển vị tại tâm tâm BT khi tỉ số chiều day A, /h, thay

So sánh chuyển vị tại tâm tam XMD khi tỉ số chiều dày h, /h,thay đỔi -cnThnnHnnHnT TH TT HT TH TT TT TT ng ng guChuyển vi lớn nhất w, tại tâm tam bê tông và w „ tại tâm tam ximăng đá khi ti số chiều day / của hai tâm thay đôi So sánh chuyển vị tại tâm tâm BT khi tỉ số chiều dày /,/h, thay

So sánh chuyển vị tại tâm tam XMD khi tỉ số chiều dày h,/h,thay đỔi -cnThnnHnnHnT TH TT HT TH TT TT TT ng ng guSo sánh chuyền vị tại tâm tam BT khi vận tốc lực di động V thay

So sánh chuyển vị tại tâm tam XMD khi vận tốc lực di động Vthay đổi

DANH MUC CAC BANG BIEU

Thông số nền đường băng nhiều lớp 6s + £sE+e£s£+xeerxe 10Tọa độ và trọng số trong phép cầu phương Gauss 5-5 55+ 22Thông số của tải tTỌng - s11 HT ng ng ret 36Thông số của tâm bê tông -c c+ SE EEEE SE cv vn ret 36Thông số liên kết giữa hai tắm Gv SE SE SE veesvrxcee 36Thông số của tâm xi măng da ¿- - < +x v3 SE sec se rvckg 37Thông số nền Gat ¿- + t2 kv E311 1E 1S 5111 11 H1 ng ng 37Thông số của tải tTỌng - s11 HT ng ng ret 40Thông số của tâm bê tông -c c+ SE EEEE SE cv vn ret 40Thông số liên kết giữa hai tắm Gv SE SE SE veesvrxcee 41Thông số của tâm xi măng da ¿- - < +x v3 SE sec se rvckg 41Thông số nền Gat ¿- + t2 kv E311 1E 1S 5111 11 H1 ng ng 41

Sự hội tụ chuyển vị lớn nhất w, (* 10° m) tai tam tắm bê tông 44

Sai sô (%) chuyên vị lớn nhat w_ tại tam tâm bê tông của cácphương pháp với lưới chia 60x60 so với nghiệm hội tụ 45

Sự hội tụ chuyển vị lớn nhất w, (x10 'm) tại tâm tắm bê tông 48

Sự hội tụ chuyển vị lớn nhất w, (* 10° m) tai tam tắm bê tông 50

Sự hội tụ chuyển vị lớn nhất w „ (@% 107 m) tại tâm tắm xi mang da 50

So sánh (%) chênh lệch chuyén vi lớn nhất w, tại tam tam bé tongvà w, tại tâm tam xi măng đá khi ti số độ cứng &, /k, thay đối 5]

So sánh (%) chênh lệch chuyển vị lớn nhất w tại tâm tắm bê tôngvà w, tại tâm tam xi măng đá khi tỉ số độ cứng k, /k, thay đối 53So sánh (%) chênh lệch chuyển vị lớn nhất w, tại tam tam bé tongva w, tai tam tam xi măng đá khi tỉ số độ can c,/c, thay dOi 56

k, /k, giữa nền và lớp liên kết thay đỗi ccccccccceeHệ số độ cứng k_ cua lớp liên kết trong bài toán phân tích tỉ số độcứng & /& giữa nên và lớp liên kết thay đối

MOT SO KY HIEU VIET TAT

Chữ viết tatMPMM Phương pháp phan tử nhiều lớp tam chuyển động (Multi-Layer

Plate Moving Method)FEM Phương pháp phan tử hữu han (Finite Element Method)MEM Phương pháp phan tử chuyển động (Moving Element Method)FIM Phương pháp biến đổi Fourier (Fourier Transform Method)SIM Structural Impedance Method

DQM Differential Quadrature MethodDSC Discrete Singular ConvolutionHDQ Harmonic Differential QuadratureEEM Eigenfunction Expansion MethodBEM Phan tử biên (Boundary Element Method)

Qo Phan tử tứ giác 9 nút (Quadrilateral Nine-Node Element)DOF Bac tu do (Degree of Freedom)

BT Bê tông

XMĐ Xi măng da

Ma tran va vec tou Véctơ chuyền vị tại một điểm bất ky của tam

u, Véctơ chuyển vị tại một điểm bat kỳ của tam bê tông

u, Véctơ chuyền vị tại một điểm bất ky của tam xi măng đá

PH % &

&S

Ma trận độ cứng phan tử nhiều lớp tam chuyển độngMa trận khối lượng phần tử tắm bê tông

Ma trận cản phan tử tam bê tôngMa trận độ cứng phan tử tam bê tôngMa trận khối lượng phan tử tam xi măng đáMa trận cản phan tử tam xi măng đá

Ma trận độ cứng phan tử tam xi măng đáMa trận khối lượng hiệu dụng

Ma trận tải trọng hiệu dụngMa trận độ cứng hiệu dụng

Chiều dài tam theo phương xChiêu dài tam theo phương yChiều dài tam bê tông theo phương xChiều dai tam bê tông theo phương yChiều dài tâm xi măng đá theo phương xChiều dai tam bê tông theo phương yModule đàn hồi của tam

Module đàn hồi của tắm bê tôngModule đàn hồi của tam xi măng đáModule chống cat đàn hồi của tamModule chống cắt đàn hồi của tam bê tôngModule chồng cat đàn hôi của tam xi măng đá

Hệ số Poisson của tâmHệ số Poisson của tam bê tôngHệ số Poisson của tam xi măng đáTrọng lượng riêng của tam

Trọng lượng riêng của tam bê tôngTrọng lượng riêng của tam xi măng đáChiều dày tam

Chiều dày tam bê tôngChiều day tam xi măng đáHệ sô độ cứng liên kêt giữa tâm bê tông và tâm xi măng đáHệ sô độ cản liên kêt giữa tâm bê tông va tâm xi măng daHệ số độ cứng nên đất

Hệ số độ cản nền đấtGóc xoay của tam quay quanh trục yGóc xoay của tam quay quanh trục xHệ sô hiệu chỉnh căt

Chuyến vị của tam theo phương x, y và ZChuyến vị của tắm bê tông theo phương x, y và ZChuyến vị của tam xi măng đá theo phương x, y va ZVận tốc của tải trọng di động

Tải trọng tập trung

CHUONG 1.

TONG QUAN

1.1 Gidi thiệuMô hình bai toán tâm chịu tác động của tải trọng di động được ứng dụng nhiều vàotrong thực tiễn như lĩnh vực dân dụng cầu đường, hàng khong., điển hình nhưmáy bay chuyến động trên đường băng (Hình 1.1) [1], xe chạy trên mặt đường caotốc (Hình 1.2) [2], Kết cau tam đã là đối tượng nghiên cứu trong lĩnh vực xâydựng từ rất lâu, đã có rất nhiều nghiên cứu khảo sát về ứng xử động của tâm khichịu tải di chuyền

(http://nataliewarnert.com/ux-runway/)Đối với việc thiết kế đường ôtô hay đường băng máy bay thì việc xác định ứngxử động của kết cau khi chịu tải trọng di động mang ý nghĩa hết sức quan trọng Tảitrọng di động có thể là lực tập trung hay là lực phân bố trên một đơn vị diện tíchhữu hạn nào đó, vận tốc di chuyển có thé là hằng số hoặc biến thiên theo thời gian.Áo đường thường được mô hình là dầm hay tam dan hồi đặt trên nền đất Nền đấtthường được mô hình như các lò xo Winker, nền đồng nhất hay nền nhiều lớp

Hình 1.2 Ung dụng của tam Mindlin trong Highway(https://en.wikipedia.org/wiki/Ontario_ Highway_ 115)Trong kết câu đường băng, nên đường thường được cau tao nhiều lớp bao gôm:Lớp bê tông, lớp nhựa đường, lớp xi măng đá, đặt trên nên đất được thé hiện như

trong Hình 1.3 theo Wu và công s sự 619 Ni

cà Tên G „Lớp bê lông `

Lớp ak nhựa a dường,

TL | | |

Hình 1.3 Mặt cắt nên đường băng nhiêu lớpTrong Luận văn này, phương pháp nhiều lớp tam chuyên động MPMM (Multi-Layer Plate Moving Method) được dé xuất dựa trên phương pháp phân tử chuyênđộng MEM (Moving Element Method) dé giải quyết bài toán tắm trên nên nhiêu lớpchịu tải trọng di động Theo phương pháp này, tam sẽ được chia nhỏ thành những“phân tử nhiều lớp chuyển động” Những phan tử này không phải chuyên động thậtso với tam đứng yên ma là chuyển động giả tưởng cùng với luc di chuyền trên kếtcầu tâm Do đó, phương pháp này sẽ tránh được việc cập nhật véctơ tải trọng tươngứng với mô hình tâm Tât cả các phương trình chuyên động của tâm, các ma trận kêt

câu được thiết lập trong hệ tọa độ tương đối chuyên động cùng vận tốc với vận tốccủa lực di chuyên Trong đó, giả thuyết lớp bê tông và lớp xi măng đá như là hai tắmdày (tam Mindlin), còn liên kết giữa hai tâm bằng lớp nhựa đường được mô hìnhhóa thành hệ số độ cứng đàn hồi và hệ số độ cản tương tác giữa hai tâm Các hệ sốđộ cứng đàn hồi và hệ số độ cản được tính toán dựa trên mô hình của Richart vàLysmer, có xét đến hệ số điều chỉnh theo mô hình Whitman theo Shambhu (2009)

[25] được thê hiện như trong Hình 1.4

Tải trọng có định

ự `` > ¬ vy

Phan tu di dong R ° ° - † Lớp bê tông

1.2.1 Các công trình nghiền cứu ngoài nước

Bài toán phân tích ứng xử của kết cầu chịu tác dụng của tải trọng di động đã đượcnghiên cứu từ rất lâu Mathews (1958) [4], (1959) [5] đã giải quyết bài toán dầm cóchiêu dai vô hạn trên nên đàn hỏi chịu tải trọng di chuyên tùy ý bang phương phápbiển đổi FTM (Fourier Transform Method) Phương pháp FTM thực chất là mộtphương pháp miễn tan số, có thê cho lời giải chính xác nhưng gặp bế tắc khi bàitoán phức tạp, nhiều bậc tự do, khi tải trọng tác động có xét đến sự thay đôi của giatốc Michael và Edward (1989) [8] đã giải quyết bài toán tâm Kirchoff với điều kiệnbiên bất kỳ sử dụng phương pháp SIM (Structural Impedance Method) Liew và

cộng sự (1996) [12] đã giải quyết bài toán tam Mindlin trên nền Winkler băngphương pháp DOM (Differential Quadrature Method) với điều kiện biên tựa don, tựdo và ngam Gbadeyan va Oni (1995) [11] đã thực hiện phân tích ứng xử động củadầm và tâm chữ nhật chịu tác động của tải trọng chuyển động dựa trên phương phápStruble’s hiệu chỉnh Tiếp đó, Gbadeyan và Dada (2006) [19] thực hiện phân tíchứng xử động của tâm chữ nhật Mindlin chịu vật thể chuyển động có khối lượngphân bố đều Kim và Rosset (1998) [13] đã nghiên cứu đến trạng thái ứng xử củamột tâm vô hạn trên nên đàn hỏi chịu tải trọng chuyển động điều hòa không đồi.Kim (2004) [17] đã phân tích mat 6n định va dao động của tam Kirchoff trên nềnđàn nhớt Winkler dưới tác dụng của tải trọng động băng phương pháp biến đổiFourier Transform Huang và Thambiratnam (2001) [14] đã sử dụng phương phápdải hữu han để phân tích ứng xử của tam trên nên đàn hỏi Sun (2003) [15] đã xâydựng lời giải giải tích cho tấm Kirchhoff trên nền dan nhớt chịu tải điều hòa bangchuỗi Fourier Sau đó, Sun (2005) [18] đã phân tích tam Kirchoff trên nền đàn nhớtchịu tải trọng điều hòa sử dụng ham Green Civalek va Acar (2007) [20] đã áp dụngphương pháp DSC (Discrete Singular Convolution) để giải quyết bai toán tamMindlin chịu uốn trên nền dan hồi hai thông số Tiếp đến, Civalek (2007) [21] đãphân tích phi tuyến tam Kirchoff trên nên Winkler-Pasternak bang phương pháp kếthợp DSC-HDQ (Harmonic Differential Quadrature) Javad va cộng sự (2013) [27]đã sử dung phương pháp EEM (Eigenfunction Expansion Method) dé giải quyết bàitoán 6n định va ứng xử động của tam Mindlin dưới tác động của tải trọng di động.

Phương pháp phan tử hữu hạn truyền thông FEM (Finite Element Method) đãđược sử dụng dé giải quyết nhiều bài toán phức tạp Jong-Shyong và cộng sự (1987)[7] đã thực hiện phân tích ứng xử động của tam chịu tải trọng động bang phươngpháp phan tử hữu han FEM Băng việc rời rac hóa kết cau, sử dung phan tử dangtham số tứ giác kết hợp với tích phân Newmark để giải quyết bài toán động Mứcđộ ảnh hưởng của độ lệch tâm, vận tốc và gia tốc ban đầu và chiều dài của tam làcác yếu t6 then chốt trong nghiên cứu trên Musharraf và cộng sự (1991) [9] đãphân tích phản ứng xử động tam Mindlin trên nền đàn nhớt dưới tác động của tảitrọng di chuyển Pan và Atluri (1995) [10] đã giải bài toán ứng xử động trong

đường băng băng cách sử dụng phương pháp kết hợp giữa phần tử hữu hạn và phầntử biên FEM/BEM (Boundary Element Method) Xing va Liu (2009) [23] đã trìnhbày phương pháp giải quyết bài toán dao động của tam chữ nhật Mindlin Lời giảicủa bài toán rất hữu ích cho việc thiết kế các thông số ban đầu cũng như phân tíchnó trong thực tiễn Li và cộng sự (2013) [26] đã phân tích ứng xử động của tam chữnhật nền đàn nhớt dưới tác dụng của vat di chuyển với vận tốc thay đổi Phuongpháp phan tử hữu hạn FEM đưa ra lời giải bang cách rời rac hóa phan tử tam thànhcác phần tử hữu hạn Các thành phần chuyển vị, nội lực được tính toán dựa trên cácham dang và chuyển vị của các nút của phan tử Phương pháp phan tử hữu han FEMgặp khó khăn khi tải trọng tiến đến gần biên của miền hữu hạn phan tử và di chuyểnvượt ra ngoài biên, ngoài ra phương pháp nay yêu cau phải luôn cập nhật vị trívéctơ tải trọng Do đó việc giải quyết bài toán sẽ tốn nhiều thời gian và chỉ phí.

Đề giảm bớt những khó khăn khi giải quyết bài toán chịu tải di động, Koh vàcộng sự (2003) [16] đã sử dụng phương pháp phan tử chuyển động MEM trong việckhảo sát ứng xử động của tau cao tốc Sau đó, Koh và cộng su (2007) [22] đã khảosát đến ứng xử động của nền bán không gian đàn hồi sử dụng phương pháp MEM.Xu và cộng sự (2009) [24] sử dụng phương pháp MEM để phân tích dao động ngẫunhiên của tam Kirchhoff trên nền Kelvin chịu tải trong di động sử dụng phan tử 2-Dchuyển động Lei và Wang (2013) [30] đã đề xuất một cách tiếp cận mới tên là phầntử khung chuyển động cho đường ray, dựa trên phan tử xe và phan tử nền dé đánhgiá ứng xử động của tau và hệ thông nền ba lớp Ang và cộng sự (2013) [28] đã sửdụng MEM để khảo sát đến ứng xử của tàu cao tốc trong khoảng thời gian tăng tốcvà giảm tốc và khảo sát hiện tượng nảy bánh xe của tàu cao tốc [31] Thi và cộng sự(2013) [29] đã phân tích động lực học của tau cao tốc trên nền hai thông số Tiếpđó, Thi và cộng sự (2014) [32] tiếp tục sử dụng MEM để phân tích ứng xử động củatàu cao tốc chuyển động với vận tốc không đều Gan đây, Thi va cộng sự (2016)

[34] đã phân tích ứng xử động của tàu cao tốc khi phanh đột ngột.Trong kết cầu đường băng, nền đường được cấu tạo nhiều lớp bao gồm: Lớp bêtông, lớp nhựa đường, lớp xi măng đá, tiếp đến là nền đất Wu và cộng sự (2014)[33] đã khảo sát ứng xử động của tam Kirchoff trên nên nhiều lớp dưới tác động của

tải trọng di chuyên Tuy nhiên, hiện nay chưa có bât cứ nghiên cứu nào về kêt câutâm trên nên nhiêu lớp mà có xét đên tương tác giữa các lớp với nhau.

1.2.2 Các công trình nghiên cứu trong nướcMột số Luận văn cao học ngành xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp tạitrường Đại hoc Bách Khoa thành phố Hỗ Chí Minh cũng đã giải quyết một số baitoán tải trọng chuyển động đối với dầm va tam

Cường (2011) [35] đã phân tích dao động của tấm Mindlin trên nên dan nhớt xétđến khối lượng của vật chuyển động sử dụng phương pháp phan tử hữu hạn FEM.Duy (2013) [36] phân tích ứng xử động tàu cao tốc có xét đến độ cong thanh ray vàtương tác đất nền Anh (2013) [37] đã phân tích động lực học tàu cao tốc có xét đếnđộ nảy bánh xe và tương tác với đất nền Hai và cộng sự (2013) [38] đã phân tíchứng xử tau cao tốc có xét đến độ cong thanh ray và tương tác với đất nên sử dụngMEM Nhựt (2014) [39] đã phân tích ứng xử động của tàu cao tốc băng mô hình 3-D sử dụng phương pháp phan tử chuyển động Thu (2014) [40] đã phân tích độnglực hoc tàu cao tốc sử dụng phương pháp phan tử nhiều lớp dầm chuyền động cóxét đến tương tác đất nền Nhi (2014) [41] đã phân tích động lực học tấm Mindlintrên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động sử dụng phương pháp phân tử 2-D chuyểnđộng An (2014) [42] đã phân tích bài toán tương tác tắm Mindlin trên nền đàn nhớtđược gia cường Top-base chịu tải trọng di động Xuyên (2015) [43] đã phân tíchđộng lực học tắm trên nên Top-base chịu tại trọng di động sử dụng phần tử tamchuyển động

Từ đó cho thay rang đã có rất nhiều nghiên cứu về ứng xử động của kết cau tamkhi chịu tải di chuyển Đa phân trước đây chủ yếu dùng các phương pháp giải tíchvà phương pháp phan tử hữu hạn FEM để giải quyết bài toán Dé khắc phục nhữngnhược điểm của các phương pháp truyền thống, phương pháp phan tử chuyên độngMEM được dé xuất va ứng dụng Dựa trên phương pháp phan tử chuyển động,phương pháp nhiều lớp tắm chuyển động MPMM được trình bảy như là một cáchtiếp cận mới và sử dụng để giải quyết bài toán tam Mindlin trên nền nhiều lớp.Phương pháp nay sẽ mô hình chính xác hon ket cau nên bao gôm nhiêu lớp và có

xét đên sự tương tác giữa các lớp với nhau Từ đó rút ra các kêt luận quan trọng vàdé xuất các giải pháp áp dụng trong mô hình tắm trên nền nhiều lớp trong thực tế.1.3 Mục tiêu và hướng nghiền cứu

Mục tiêu của Luận văn nhằm phân tích động lực học tam Mindlin trên nền nhiềulớp chịu tải trọng di động và có xét đến sự tương tác giữa các lớp với nhau Các vandé nghiên cứu cụ thé trong phạm vi Luận văn bao gồm:

e© Thiết lập các ma trận khối lượng, ma trận độ cứng và ma trận cản của phân

tử kết cau tam sử dụng phương pháp nhiều lớp tam chuyển động MPMM.e Phát triển thuật toán, sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab dé giải hệ phương

trình động của bài toán.e Kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính bằng cách so sánh kết quả của

Luận văn với kết quả các phương pháp khác.e Tiến hành thực hiện các ví dụ số nhằm khảo sát ảnh hưởng của các nhân tố

quan trọng đến ứng xử động của kết cấu tâm, từ đó rút ra kết luận và kiếnnghị.

1.4 Cau trúc luận vănNội dung trong Luận văn được trình bày như sau:

Chương 1: Giới thiệu tong quan về tâm chịu tai trọng động, tình hình nghiên cứucủa các tác giả trong và ngoài nước, cũng như mục tiêu và hướng nghiên cứu của đềtài.

Chương 2: Trình bảy các công thức để phân tích động lực tam dày trên nềnnhiều lớp chịu tải trọng di động sử dụng phương pháp phan tử nhiều lớp tam chuyểnđộng MPMM.

Chương 3: Trình bày các kết quả phân tích số được tính toán băng ngôn ngữ lậptrình Matlab.

Chương 4: Đưa ra một số kết luận quan trọng đạt được trong Luận văn và kiếnnghị hướng phát triển của dé tài trong tương lai

Tài liệu tham khảo: trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiêncứu của đề tài.

Phu luc: két qua cong bố dat được từ Luận van bao gôm 1 bài bao khoa học dađược chấp nhận đăng trên Tạp Chí Xây Dựng số 09/2016 và gửi bài hội nghị “Cácgiải pháp xây dựng công trình khu vực đồng bằng sông Cửu Long” diễn ra vàotháng 09/2016; một số đoạn mã lập trình Matlab chính để tính toán các ví dụ sốtrong Chương 3.

CHUONG 2.

CO SO LY THUYET

Chương nay thé hiện cu thé mô hình câu tao nên bao gôm nhiều lớp và có xét đếntương tác giữa các lớp với nhau Bên cạnh đó, việc thiết lập công thức để phân tíchđộng lực học kết câu tâm Mindlin trên nên nhiêu lớp chịu tải trọng di động sử dụngphương pháp nhiều lớp tâm chuyển động MPMM (Multi-Layer Plate MovingMethod) được trình bày Phương pháp mới này được giới thiệu dựa trên phươngpháp phan tử chuyển động MEM (Moving Element Method) Mô hình toán học sửdụng lý thuyết tam dày Mindlin dé giải quyết ứng xử động được mô tả cụ thé va cácphương trình tổng quát được trình bày chi tiết Phương pháp tích phân Newmarkphương pháp gia tốc trung bình để giải quyết bài toán động lực học theo miễn thờigian được sử dụng trong Luận van.

2.1 Mô hình nên đường nhiêu lớpTrong Luận văn sẽ mô hình chính xác hơn câu tạo nên bao gôm nhiều lớp và có xétđến sự tương tác giữa các lớp với nhau Cu thé trong kết câu đường băng, nênđường được câu tạo nhiêu lớp bao gôm: Lớp bê tông, lớp nhựa đường, lớp xi măngđá đặt trên nên dat theo Wu và cộng sự (2014) [33] được thé hiện như trong Hình2.1 và Bảng 2.].

Cog! : - ¬ : ' =

Py `4 A 4 : ¬ ¬ ¬0.22 „ Lớpbêtông “++ - -,22M » ue LOp be tong ^:: : ee: ¬ : ga .

4 “ l " ¬ `x os A ^ AA, 'A ¬ g8 q

Với giả thuyết xem lớp bê tông và lớp xi măng đá như là hai tam dày (tamMindlin), còn liên kết giữa hai tam băng lớp nhựa đường được mô hình hóa thànhhệ số độ cứng đàn hồi k, và hệ số độ cản c, tương tác giữa hai tắm, được đặt trênnền đất có hệ số độ cứng nền k, và hệ số độ can nền Cy được thê hiện như trongHình 2.2 Các hệ số độ cứng đàn hồi và hệ số độ cản được tính toán dựa trên môhình của Richart và Lysmer (1970), có xét đến hệ số điều chỉnh theo mô hìnhWhitman (1972) theo Shambhu (2009) [25].

Bảng 2.1 Thông số nền đường băng nhiều lớp

Trọng lượng

, A Module Chiéu day Hệ số wn

Lớp câu tạo đàn hôi riêng

E (Nim) h (m) Poisson v

p (kg/m)Lớp bê tông 3.1x10"° 0.22 0.15 2400Lớp nhựa đường 1.2x107 0.03 0.25 2400Lớp xi măng đá 1.5x10° 0.18 0.25 2300Lớp dat th nhất 2.5x10” 0.20 0.35 2300Lớp đất thứ hai 5.0x107 2.00 0.40 1800

Richart và Lysmer (1970) [25] đã đưa ra mô hình trong đó xem phan móng đặttrên nền như khối hình hộp chữ nhật đặt trên các lò xò được mô tả bằng các modulekháng cắt G,.

Đối với móng chữ nhật va móng vuông được quy ước về móng tròn dé tinh toán.Bán kính quy đổi lấy dựa vào đặc trưng hình học tương đương theo phương I

với vr, la ban kính quy đối móng chữ nhật thành móng tròn theo phương đứng va

2.1.2 Hệ số can C,Richart và Lysmer (1970) [25], gọi m là tong khối lượng của móng và kết cau bêntrên, C;é ; B, lần lượt là hệ số cản, tỉ số cản và tỉ số khối lượng theo phươngđứng, hệ số cản của móng tròn và móng quy đổi về móng tròn đặt trên mặt đất đượctính bởi:

C.=2⁄, Km: a aT JB = 0.250 - v)mg (2.5)

P.MMô hình Whitman (1972) [25] đã đưa ra công thức hiệu chỉnh khi kể đến ảnhhưởng cua độ chôn sâu e đên hệ sô cản.

AHy; E si, Vs1, Ps1

Ỷ

A

H Es2, Vs2, Ps2

ỶAH: s3, Vs3, s3

Ey;E,,; E,,: module dan hồi tương ứng từng lớp dat khác nhau.

Đại: Pers Ø,:: trọng lượng riêng tương ứng các lớp đất khác nhau.Dj; 02; D,- : hệ số Poisson tương ứng từng lớp đất khác nhau.E,: module dan hồi trung bình qua các lớp dat.

p,: trọng lượng riêng trung bình qua các lớp đất

D, : hệ số Poisson trung bình qua các lớp đất.2.2 Phương pháp phan tử nhiều lớp tắm chuyển động MPMMPhương pháp nhiều lớp tam chuyển động MPMM (Multi-Layer Plate MovingMethod) được dé xuất dựa trên phương pháp phan tử chuyển động MEM Cácphương trình chuyên động của tâm, các ma trận kết câu được thiết lập trong hệ toađộ tương đôi chuyên động cùng vận tôc với vận tôc của lực di chuyên.

2.2.1 Ly thuyết tam có kế đến biến dạng trượt của Reissner-MindlinTam là một kết cau được giới hạn bởi hai mặt phăng song song và cách nhau mộtkhoảng là Z (gọi là chiều dày tam) Mặt trung bình là mặt phăng cách đều hai mặtphăng tam

Tam day (Reissner-Mindlin) là tam mà trạng thái ứng suất ba trục được triểnkhai và được định nghĩa bởi bộ phương trình vi phân đầy đủ của lý thuyết đàn hồi

ba chiều Tâm dày là tâm có tỉ lệ giữa chiều dày và kích thước cạnh ngăn = > :

Các giả thiết của lý thuyết tấm day Reissner-Mindlin [3] như sau:= Các đoạn thắng vuông góc với mặt trung bình của tam trước biến dạng sẽvan là thăng nhưng không nhất thiết là vuông góc với mặt phang trung hòa khi biếndang.

"ĐỘ võng cua tam là nhỏ, mặt trung bình không bị kéo nén và là mặt trunghòa của tắm khi biến dạng

= Bỏ qua ứng suất pháp Ơ,.Theo mô hình Mindlin, các đoạn thăng vuông góc mặt trung bình vẫn là thăngtrong quá trình biến dạng nhưng không còn là vuông góc với mặt trung bình nữa vàcác góc vuông này bị thay đôi một lượng đúng băng biến dạng trượt trung bình gây

ra bởi lực cắt Như vậy góc xoay tong cộng của mặt cắt gồm hai phan, phan thứnhất do độ võng của tam khi các pháp tuyến van còn vuông góc với mặt trung bình,phân thứ hai là do biến dạng trượt trung bình gây ra được thể hiện như trong Hình2.4.

Hình 2.5 Quy ước chiều dương của chuyền vị w va hai chuyển vị xoay 8: B,

của tâm MindlinVéctơ chuyển vị tại một điểm bất kỳ trong tam Mindlin được cho bởi:

u=|w B Ø,| (2.10)trong đó các thành phan chuyền vị trong mặt phang: uv, v và w được biểu diễn như

Biên dạng uôn của tâm:

T T

ty, =|£, & Yo] =2| Ber Bry Ö,„+,„| = 2% (2.12)

trong đó véctơ thành phan độ cong:

_ B _

| By, + yx |VỚI

— 01Oy a

>y=Lu (2.23)

Quan hệ giữa ứng suât và biên dạng: Ung suât của tâm lân lượt là ứng suât uôn

và ứng suat cat, có môi liên hệ với biên dạng uôn và biên dang cat theo định luậtHooke như sau:

Ứng suât uôn của tâm:

00 —

L 2 |

trong đó £ là module dan hôi của vật liệu tâm, v là hệ sô Poisson.

Ứng suất cat của tam:

1 0

s,=[t, T„ | “Tal a 6x" ft (2.26)

£ Ss 5 ` 1A A Lsa 2 4 ` x Aetrong đó K” = ° là hệ sô hiệu chỉnh cat, G là module đàn hồi trượt.

2.2.4 Phương trình năng lượng của tamNăng lượng biến dang dan hồi của tam Mindlin được cho bởi công thức sau:

¬ leer

U=s]% od +o hy o dV (2.27)

Thay công thức (2.12), (2.21), (2.24) và (2.26) vào (2.27), thế năng biến dạngcủa tâm Mindlin được việt lai:

_ l7 ler

U, =>] 2" Dex ydvdy +5 | D ydxdy

Q

2.28

=_Íx ‘DK ddy ++ [-y"D ydxdy "2¿ b b``b 2¿ Ss

trong đó D,, D, lần lượt là ma trận vật liệu ứng với biên dang uôn va biên dang catcủa tâm, và được xác định bởi:

lv 0Er Ehk |1 0D,=———aly 1 0 |, D,= (2.29)

12(1-v") 5 2(I+y)|0 1

0 0 ——

L 2 |

2.2.5 Phần tử dang tham sốTrong phương pháp phan tử hữu hạn khi miền khảo sát là đường cong hoặc có biênlà các đường cong, mặt cong thì nếu chi sử dụng phan tử một chiều thăng, các phầntử hai chiều dạng tam giác, tứ giác hay các phần tử ba chiều dạng khối bốn mặt,khối sáu mặt thì không đủ đảm bảo độ chính xác của kết quả Điều này đã dẫn đếnviệc xây dựng và phát triển các phần tử có dạng hình học bất kỳ hơn với các biên làmặt cong hay đường cong.

Phan tử đắng tham số (Isoparametric Element) là phần tử mà số các tham sốdùng để nội suy dạng hình học của nó đúng bằng tham số để nội suy các hàmchuyền vị Và khi đó các hàm nội suy dùng dé xp xỉ trường chuyền vị cũng là hamnội suy dùng để xấp xỉ trường tọa độ Phần tử đăng tham số không chỉ cân thiết chobài toán có biên cong mà còn ngày càng được ứng dụng rộng rãi Khái niệm vềphan tử đăng tham số dựa trên cơ sở phép biến đối một phan tử được gọi là phan tửchủ (Master Element) trong hệ tọa độ tự nhiên Oến thành phan tử thực tương ứngcó dạng tùy ý trong hệ tọa độ vuông góc Oxy Trong Luận văn này, tác giả sử dụngphân tử bậc hai 9 nút (Quadrilateral Nine-Node Element - @,) để mô hình hóa bàitoán khảo sát.

Rời rac hóa miền bài toán Q thành N, phan tử tứ giác 9 nút Q, sao choNe

Q= ỦO với O,00, =D, ¡z j.

9 9

w=) Nw, 8, = M8, ?

i=l

B, = DNB, (2.31)trong đó w,, ổ„ B; lần lượt là giá trị của các ham 1w, 8 ổ, tại nút 7 Hay cũng lacác bậc tự do tại nut 7.

9 hàm nội suy Lagrange bậc hai cho phan tử 9 nút Q, được xác định bởi:

Ma tran Jacobi của phép biến đổi tọa độ được cho trong dang sau:

ôš ổ ô§ 0& ô„|9 9|_|ô£ 2£ 7 OF |x », 0.33)

& a) |ÊM aN, aN,

lôn ôn| | On ôn — ôn Lx, »,

Quan hệ giữa các đạo hàm của các ham dạng N, trong tọa độ tự nhiên On vàtrong tọa độ tong thé Oxy được cho bởi:

trong đó:

Kế

| ON

Tan,Ox Ox || Sễ

L1 non

| |7 nềdn = SG TÁC n,) (2.39)

hi ial ja

trong đó (é, n ‘) là toa độ điểm năm trong phan tử, w,, w, là các trọng số tương

ứng, ø là số điểm Gauss sử dụng trong phép cầu phương.Phép cầu phương Gauss với điểm Gauss sẽ cho kết quả chính xác nếu hàmƒ(é 7) là một đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng (2z— 1) Trong phép câu phươngGauss, vị trí các điểm Gauss được xác định sao cho với một số điểm ø đã cho thì đạtđược độ chính xác lớn nhất Các điểm Gauss được đặt đối xứng với tâm của khoảngtích phan Các trọng sô là như nhau với các diém Gauss đôi xứng nhau.