Trong phạm vi nghiên cứu, khóa luận này sẽ tập trung phân tích mức độ hiệu quả của phương pháp ước lượng MTHPS co gọn phi tuyến tính trên các khía cạnh của DMĐT như khả năng sinh lời Ave
GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU
Lý do chọn đề tài
Tối ưu hóa danh mục đầu tư (DMĐT) là một khía cạnh trọng yếu trong lĩnh vực tài chính định lượng Kể từ khi Markowitz giới thiệu lý thuyết DMĐT vào năm
1952, phương pháp này đã trở thành tiêu chuẩn trong việc lựa chọn cổ phiếu và đã được sử dụng rộng rãi trong nhiều nghiên cứu học thuật Một thành phần quan trọng trong việc định lượng danh mục là ma trận hiệp phương sai (MTHPS) của lợi nhuận, điều này quyết định trọng số tối ưu của danh mục
Hiện nay, sự đa dạng của các tài sản trên thị trường tài chính đã mở rộng đáng kể, các cổ phiếu trên thị trường chứng khoán đã tăng lên đến hàng nghìn cổ phiếu Điều này đặt ra những vấn đề phức tạp trong quá trình tối ưu hóa DMĐT do các phương pháp ước lượng MTHPS truyền thống không đạt được hiệu quả như kỳ vọng (Jagannathan & Ma, 2003) Chan và cộng sự (1999) cũng chỉ ra rằng, sự gia tăng về kích thước dữ liệu gây ra nhiều thách thức và làm cho việc ước lượng MTHPS trở nên không ổn định và không hiệu quả trong quá trình tối ưu hóa danh mục Để khắc phục những hạn chế này, việc áp dụng các phương pháp hiện đại trong ước lượng MTHPS trở nên hết sức cần thiết Các phương pháp này bao gồm kỹ thuật co gọn ma trận hiệp phương sai của Ledoit & Wolf (2003a, 2003b, 2004, 2017) cũng như các ước lượng từ các mô hình nhân tố (Factor Model) và mô hình đồ thị (Graphical Model) được phát triển bởi Fan và cộng sự (2011), Rohde
& Tsybakov (2011) và Cai & Zhou (2012) Các nghiên cứu của Fisher & Sun (2011) và Touloumis (2015) cũng đã đề xuất các phương pháp ước lượng co gọn mới, mở rộng khả năng áp dụng của chúng bằng cách giảm bớt những giả định về tính chuẩn tắc và xem xét các mục tiêu khác nhau trong mô hình Những phương pháp này nhấn mạnh đến hiệu quả của việc ước lượng MTHPS khi kích thước của dữ liệu có xu hướng tăng mạnh
Tuy nhiên, các nghiên cứu nói trên đều dựa trên giả định rằng MTHPS không thay đổi theo thời gian, một điều không phản ánh đúng thực tế thay đổi liên tục của nền kinh tế và thị trường tài chính Mô hình mới của Ledoit & Wolf (2022) đã áp dụng phương pháp co gọn phi tuyến tính (Non-linear shrinkage), đã cho thấy mang lại kết quả cải thiện hơn trong bối cảnh biến động của thị trường Nguyên tắc của phương pháp co gọn phi tuyến dựa trên lý thuyết ma trận ngẫu nhiên (Random Matrix Theory – RMT) bằng cách phân rã quang phổ (Spectral Decomposition) trên MTHPS mẫu do Ledoit & Wolf (2019) đề xuất Phương pháp này hứa hẹn mang lại cách tiếp cận chính xác hơn trong việc ước lượng MTHPS trong một khuôn khổ dữ liệu lớn và biến động
Theo khảo lược từ tác giả, hiện nay vẫn tồn tại khoảng trống về tính hiệu quả của phương pháp ước lượng MTHPS co gọn phi tuyến tính trong việc lựa chọn DMĐT tối ưu trên các thị trường tài chính Trong phạm vi nghiên cứu, khóa luận này sẽ tập trung phân tích mức độ hiệu quả của phương pháp ước lượng MTHPS co gọn phi tuyến tính trên các khía cạnh của DMĐT như khả năng sinh lời (Average Annual Return), mức độ rủi ro (Average Annual Volatility), tỷ lệ thay đổi trạng thái của danh mục (Portfolio Turnover), tỷ lệ chiến thắng (Winning Rate) hay tỷ lệ lợi nhuận vượt trội so với thị trường (Jensen’s Alpha); đồng thời so sánh mức độ hiệu quả của phương pháp này với các phương pháp ước lượng co gọn tuyến tính truyền thống trong bối cảnh dữ liệu đa chiều.
Mục tiêu nghiên cứu
Khóa luận có mục tiêu tổng quát là nghiên cứu về tính hiệu quả của phương pháp co gọn phi tuyến tính trong việc ước lượng ma trận hiệp phương sai mẫu nhằm tối ưu hóa danh mục đầu tư trong bối cảnh dữ liệu đa chiều trên thị trường chứng khoán Việt Nam Để đạt được mục tiêu tổng quát trên, khóa luận có các mục tiêu cụ thể như sau:
Thứ nhất, áp dụng phương pháp ước lượng co gọn phi tuyến tính để ước lượng ma trận hiệp phương sai mẫu nhằm tối ưu hóa danh mục đầu tư trong bối cảnh dữ liệu đa chiều trên thị trường chứng khoán Việt Nam
Thứ hai, xác định các tiêu chí đo lường phù hợp để đánh giá hiệu suất của các phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai.
Câu hỏi nghiên cứu
Khóa luận sẽ cố gắng đạt được các mục tiêu của nghiên cứu này bằng cách trả lời các câu hỏi sau:
Câu hỏi 1: Phương pháp ước lượng co gọn phi tuyến tính cho thấy hiệu suất như thế nào trong khoảng thời gian kiểm định khi được sử dụng để lựa chọn các danh mục có phương sai nhỏ nhất trong bối cảnh dữ liệu đa chiều?
Câu hỏi 2: Các tiêu chí nào phù hợp để đo lường hiệu suất của các phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai trong việc lựa chọn danh mụ đầu tư tối ưu?
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu này tập trung vào ước lượng ma trận hiệp phương sai co gọn phi tuyến tính trong bối cảnh dữ liệu chiều trên thị trường chứng khoán
Về không gian: Nghiên cứu thực hiện dựa trên chuỗi giá hàng tuần của các cổ phiếu được niêm yết trên Sở Giao dịch Chứng khoán Thành phố Hồ Chí Minh (HOSE) có thời gian ít nhất hai năm kể từ khi chào bán công khai lần đầu (IPO)
Về thời gian: Nghiên cứu thực hiện trong khoảng thời từ ngày 01/01/2018 đến 31/12/2023.
Đóng góp của nghiên cứu
Sau khi trả lời các câu hỏi nghiên cứu trên, khóa luận dự kiến sẽ đóng góp ba điểm sau:
Thứ nhất, khóa luận sẽ cung cấp thêm bằng chứng về tính hiệu quả của các phương pháp ước lượng MTHPS hiện tại, từ đó góp phần vào sự phát triển các kỹ thuật ước lượng MTHPS khác nhau Điều này sẽ cung cấp những tri thức/hiểu biết (insights) quý giá cho các nhà ứng dụng tài chính để tối ưu hóa phương sai nhỏ nhất trong các mô hình định lượng của họ Cụ thể, tác giả sử dụng phương pháp ước lượng co gọn phi tuyến tính (Non-linear shrinkage) nổi tiếng của Ledoit
& Wolf để ước lượng MTHPS của các cổ phiếu trên thị trường chứng khoán Việt Nam Trong ứng dụng của tác giả, tác giả tích hợp chi phí giao dịch 0.3% để phản ánh điều kiện thị trường chứng khoán Việt Nam Kết quả thu được cho thấy có sự cải thiện đáng kể so với các phương pháp phổ biến khác, đặc biệt tác giả nhấn mạnh vào tính hiệu quả của phương pháp trong bối cảnh thị trường chứng khoán Việt Nam
Thứ hai, khóa luận sẽ chứng minh tính hiệu quả của phương pháp ước lượng co gọn phi tuyến (Non-linear shrinkage) trong việc lựa chọn các danh mục tối ưu hóa phương sai nhỏ nhất Các tiêu chí đo lường hiệu suất của DMĐT bao gồm: khả năng sinh lời (Average Annual Return), mức độ rủi ro (Average Annual Volatility), tỷ lệ Sharpe (Sharpe Ratio), tỷ lệ thay đổi trạng thái của danh mục (Portfolio Turnover), mức giảm tối đa (Maximum Drawdown), tỷ lệ chiến thắng (Winning Rate) và hệ số vượt trội Alpha (Jensen’s Alpha) được sử dụng để đánh giá hiệu suất của các danh mục được chọn so với các phương pháp khác, tương tự như cách tiếp cận trong nghiên cứu của Ledoit & Wolf
Cuối cùng, khóa luận cố gắng đóng góp bằng cách kiểm định phương pháp ước lượng co gọn phi tuyến tính (Non-linear shrinkage) trên thị trường chứng khoán Việt Nam, một thị trường cận biên Trong khi phương pháp này đã được nghiên cứu và áp dụng rộng rãi trên các thị trường tài chính phát triển như Mỹ và châu Âu, hiện tại vẫn còn thiếu các nghiên cứu về tính ứng dụng của phương pháp ước lượng này trên các thị trường cận biên, đặc biệt là tại Việt Nam.
Kết cấu nghiên cứu
Nghiên cứu này được chia thành 5 chương như sau:
Chương 1: Giới thiệu đề tài nghiên cứu
Chương này giới thiệu chung về đề tài nghiên cứu, lý do chọn đề tài, lược khảo các nghiên cứu liên quan đến đề tài, mục tiêu nghiên cứu, câu hỏi nghiên cứu, đối tượng, phạm vi nghiên cứu và kết cấu nghiên cứu
Chương 2: Cơ sở lý luận
Chương này cung cấp một đánh giá toàn diện về các nghiên cứu liên quan đến tối ưu hóa danh mục đầu tư trước khi thiết lập khung lý thuyết và phương pháp cụ thể
Chương 3: Phương pháp nghiên cứu
Chương này đi sâu vào các nền tảng lý thuyết và nêu rõ phương pháp ước lượng được sử dụng
Chương 4: Kết quả nghiên cứu
Chương này sẽ phân tích hiệu suất của các phương pháp ước lượng và tổng kết toàn bộ kết quả nghiên cứu trong khoảng thời gian kiểm định
Chương 5: Kết luận và khuyến nghị
Chương này sẽ đưa ra kết luận về tính hiệu quả của các phương pháp ước lượng, đồng thời đưa ra các khuyến nghị, hạn chế và hướng nghiên cứu trong tương lai.
CƠ SỞ LÝ LUẬN
Khung lý thuyết danh mục đầu tư hiện đại
Khái niệm đa dạng hóa đầu tư đã tồn tại qua nhiều thế kỷ, trước khi lý thuyết tài chính hiện đại ra đời Tuy nhiên, mãi đến năm 1952, bài báo “Portfolio Selection” của Markowit lần đầu tiên được công bố trên tạp chí tài chính uy tín (Journal of Finance) đã thu hút được sự chú ý của nhiều nhà nghiên cứu trong lĩnh vực thống kê, kinh tế và đặc biệt trong lĩnh vực đầu tư tài chính Công trình nghiên cứu này đã góp phần quan trọng giúp Markowit nhận được Giải Nobel Kinh tế học vào năm 1990 Mô hình của ông có thể được coi là bước đầu tiên trong quản lý DMĐT, bao gồm việc xác định tập hợp các DMĐT hiệu quả hoặc Đường biên hiệu quả (Efficient Frontier) của các tài sản rủi ro (Bodie, Kane và Marcus, 2013)
Thực tế, nền tảng này đã được đưa ra từ năm 1900 khi nhà toán học Louis Bachelier người Pháp bắt đầu nghiên cứu các thị trường tài chính Dựa trên nghiên cứu của mình, Bachelier cho rằng giá cả có khả năng tăng hoặc giảm như nhau và sự biến động của chúng có thể đo lường được Khái niệm về đường cong hình chuông (bell curve) ra đời với phân phối các biến động giá được giả định là hình chuông, các biến động giá rất lớn sẽ cực kỳ hiếm xảy ra Markowit là người đầu tiên áp dụng ý tưởng của Bachelier (Mandelbrot & Hudson, 2010)
Ban đầu, lý thuyết DMĐT hiện đại (Modern Portfolio Theory) thu hút tương đối ít sự chú ý Tuy nhiên, theo thời gian, cộng đồng tài chính đã đón nhận nguyên lý của nó Các mô hình tài chính dựa trên các nguyên lý tương tự đã liên tục được tinh chỉnh để tích hợp tất cả các hiểu biết mới đạt được từ công trình tiên phong đó Năm 1958, nhà kinh tế James Tobin, dựa trên công trình của Markowitz, đã giới thiệu các khái niệm “Đường biên hiệu quả (Efficient Frontier)” và “Đường thị trường vốn (Capital Market Line)” trong bài báo “Liquidity Preference as Behavior Towards Risk” trên Tạp chí Nghiên cứu Kinh tế (Review of Economic Studies) (Tobin, 1958) Sharpe (1964) đã phát triển mô hình định giá tài sản vốn
(Capital Asset Pricing Model – CAPM), cung cấp một bước tiến quan trọng trong lý thuyết cân bằng trên thị trường vốn Mô hình cho phép các nhà đầu tư định giá tốt hơn các chứng khoán dựa trên rủi ro hệ thống Bên cạnh đó, Sharpe (1964) cũng đã mở rộng đáng kể các khái niệm về đường biên hiệu quả và đường thị trường vốn trong quá trình xây dựng mô hình CAPM Mossin (1966) cũng đã phát triển độc lập phát triển mô hình CAPM, cụ thể hóa các hàm số hiệu dụng bậc hai (Quadratic Utility Functions) Mặc dù được ứng dụng một cách rộng rãi, các nguyên lý cơ bản của lý thuyết DMĐT hiện đại vẫn bị tranh luận trong những năm gần đây
Cốt lõi của lý thuyết DMĐT hiện đại là một khung đầu tư để lựa chọn và xây dựng DMĐT dựa trên việc tối đa hóa lợi nhuận kỳ vọng của một DMĐT trong khi đồng thời giảm thiểu rủi ro đầu tư (Fabozzi và cộng sự, 2002)
Khung lý thuyết DMĐT hiện đại nhằm đạt được lợi nhuận cao nhất có thể cho một mức độ rủi ro nhất định thông qua việc phân bổ trọng số tối ưu cho các tài sản khác nhau (Omisore và cộng sự, 2012) Biến số rủi ro của mô hình DMĐT hiện đại có thể được đo lường bằng nhiều công thức toán học khác nhau và được giảm thiểu thông qua khái niệm đa dạng hóa Điều này bao gồm việc chọn một tập hợp các tài sản đầu tư hợp lý có trọng số sao cho tổng thể có các yếu tố rủi ro thấp hơn so với việc đầu tư vào bất kỳ tài sản hoặc loại tài sản riêng lẻ nào Thực tế, đa dạng hóa là nguyên lý cốt lõi của lý thuyết DMĐT hiện đại và dựa trực tiếp trên kinh nghiệm thông thường về việc không đặt tất cả trứng vào một giỏ (Fabozzi và cộng sự, 2002) (Elton, Gruber, Goetzmann, 2007) (Mangram, 2013) (Sun, 2022)
Markowit đã chứng minh rằng trong những điều kiện nhất định, việc lựa chọn DMĐT của nhà đầu tư có thể được giảm xuống thành việc cân bằng hai yếu tố chính: (i) Lợi nhuận kỳ vọng của DMĐT và (ii) Rủi ro hoặc phương sai của DMĐT (Sciences, 1990) Do tiềm năng giảm thiểu rủi ro của đa dạng hóa, rủi ro đầu tư danh mục được đo bằng phương sai của nó, phụ thuộc vào cả phương sai lợi nhuận của từng tài sản cũng như hiệp phương sai (covariance) của các cặp tài sản (McClure, 2010) Nói cách khác, Markowitz (1952) lập luận rằng việc lựa chọn DMĐT nên dựa trên các đặc điểm tổng thể về rủi ro (risk) – lợi nhuận (return), thay vì chỉ đơn giản là tạo ra một DMĐT bao gồm các chứng khoán riêng lẻ có đặc điểm rủi ro (risk) – lợi nhuận (return) hấp dẫn
Lý thuyết DMĐT hiện đại đã có tác động đáng kể đến lĩnh vực tài chính, cung cấp một khung lý thuyết cho việc ra quyết định đầu tư và quản lý rủi ro Nó cũng đã dẫn đến sự phát triển của các công cụ và chiến lược tài chính khác nhau, chẳng hạn như quỹ chỉ số (Index Funds), quỹ giao dịch trao đổi (ETFs), và DMĐT theo chiến lược cân bằng rủi ro
2.1.1 Định nghĩa lợi nhuận kỳ vọng và rủi ro
Lợi nhuận được đo lường bằng lợi nhuận của một khoản đầu tư, nó đóng vai trò là chỉ số hiệu suất quan trọng cho bất kỳ hoạt động đầu tư nào Lợi nhuận của một khoản đầu có thể được phân loại thành hai loại riêng biệt: (i) Lợi nhuận thực (Realized return) và (ii) Lợi nhuận kỳ vọng (Expected return) Lợi nhuận thực phản ánh lợi nhuận thực nhận được khi hoàn thành dự án, trong khi lợi nhuận kỳ vọng đại diện cho lợi nhuận dự kiến mà nhà đầu tư dự báo cho các giai đoạn đầu tư trong tương lai Bằng cách phân tích lợi nhuận trong quá khứ, nhà đầu tư có thể có cái nhìn sâu sắc về các dòng tiền tiềm năng Các dòng tiền này có thể bao gồm nhiều nguồn khác nhau, bao gồm cổ tức, lãi suất, tiền thưởng hiệu suất và lãi vốn (Weston và Copeland, 1998) Trong bối cảnh đầu tư chứng khoán, tổng lợi nhuận bao gồm cả cổ tức nhận được và bất kỳ lãi hay lỗ vốn nào khi bán chứng khoán (Bodie, Kane và Marcus, 2013)
Rủi ro tài chính có thể được định nghĩa là sự sai lệch so với lợi nhuận kỳ vọng trong quá khứ trong một khoảng thời gian cụ thể (McClure, 2010) Tuy nhiên, theo lý thuyết lựa chọn DMĐT của Markowitz đề xuất “Khía cạnh quan trọng của rủi ro liên quan đến một tài sản không phải là rủi ro của tài sản đơn lẻ đó mà là sự đóng góp của mỗi tài sản vào rủi ro của toàn bộ DMĐT” (Sciences, 1990) Rủi ro của một chứng khoán có thể được phân tích theo hai cách: (i) Dựa trên cơ sở độc lập (xem xét tài sản một cách riêng lẻ) và (ii) Dựa trên cơ sở DMĐT (tài sản đại diện cho một trong nhiều tài sản) Trong bối cảnh của một DMĐT, tổng rủi ro của một chứng khoán có thể được chia thành hai thành phần cơ bản: (i) Rủi ro hệ thống (còn được gọi là rủi ro thị trường hoặc rủi ro không thể đa dạng hóa) và (ii) Rủi ro phi hệ thống (còn được gọi là rủi ro có thể đa dạng hóa) Lý thuyết DMĐT hiện đại giả định rằng hai loại rủi ro này là phổ biến đối với tất cả các DMĐT
Rủi ro hệ thống là một dạng rủi ro ở cấp độ vĩ mô, rủi ro ảnh hưởng đến số lượng lớn các tài sản ở một mức độ nào đó (Ross, Westerfield và Jaffe, 2002) Rủi ro hệ thống là những rủi ro do các yếu tố nằm ngoài tầm kiểm soát của công ty, chẳng hạn như sự kiện chính trị, suy thoái kinh tế, biến động lãi suất, tỷ giá hối đoái, ; Những sự kiện này ảnh hưởng đến toàn bộ thị trường, thường không thể dự đoán và khó tránh khỏi Rủi ro hệ thống có ảnh hưởng rộng rãi đến toàn bộ thị trường Nhà đầu tư không thể loại bỏ rủi ro này bằng cách đa dạng hóa DMĐT trong cùng một thị trường
Ngược lại, rủi ro phi hệ thống là một dạng rủi ro ở cấp độ vi mô, các yếu tố rủi ro ảnh hưởng cụ thể đến một tài sản riêng lẻ hoặc một nhóm tài sản hẹp (Ross, Westerfield và Jaffe, 2002) Nó liên quan đến các rủi ro cụ thể không liên quan đến các rủi ro khác và chỉ ảnh hưởng đến một số chứng khoán hoặc tài sản nhất định Rủi ro phi hệ thống có thể được giảm thiểu đáng kể bằng cách đa dạng hóa các chứng khoán trong một DMĐT (McClure, 2010) Trên thực tế, lợi nhuận của các tài sản khác nhau ít nhất phải có một mức độ tương quan nào đó, rủi ro phi hệ thống không bao giờ có thể được loại bỏ hoàn toàn bất kể có bao nhiêu tài sản được thêm vào trong DMĐT
2.1.2 Các giả định của lý thuyết danh mục đầu tư hiện đại
Lý thuyết DMĐT hiện đại dựa trên một tập hợp các giả định cơ bản làm nền tảng cho các kết luận về rủi ro và lợi nhuận trong DMĐT Lý thuyết DMĐT hiện đại đưa ra mối quan hệ tích cực giữa lợi nhuận và rủi ro, điều này ngụ ý rằng nhà đầu tư muốn có lợi nhuận kỳ vọng cao hơn phải chấp nhận mức độ rủi ro lớn hơn trong DMĐT của họ (Markowitz, 1952) Sự đa dạng hóa qua nhiều loại tài sản khác nhau được coi là một phương tiện để giảm rủi ro tổng thể của DMĐT mà không làm giảm lợi nhuận kỳ vọng, nó nhấn mạnh tầm quan trọng của việc không đặt tất cả trứng vào cùng một giỏ (Fabozzi và cộng sự, 2002) (Elton, Gruber, Goetzmann, 2007) (Mangram, 2013) (Sun, 2022) Thêm vào đó, lý thuyết DMĐT hiện đại giả định rằng các nhà đầu tư là những người hành động theo lý trí, nhằm tối đa hóa lợi nhuận trong phạm vi chịu đựng rủi ro của họ bằng cách đưa ra các quyết định thông minh dựa trên thông tin có sẵn (Sharpe, 1964) Nó hoạt động dưới giả định thị trường được cho là hiệu quả dạng trung bình (Semi– Strong Form Efficiency), điều này ngụ ý rằng tất cả thông tin công khai có sẵn đã được phản ánh trong giá tài sản, do đó khiến cho việc các nhà đầu tư liên tục vượt qua thị trường trở nên khó khăn (Fama, 1970) Hơn nữa, lý thuyết MDĐT hiện đại giả định rằng các nhà đầu tư có kỳ vọng tương tự về lợi nhuận tài sản trong tương lai dựa trên cùng một tập thông tin, cho thấy một quan điểm đồng thuận về các rủi ro và phần thưởng tiềm năng Chi phí giao dịch, thuế và các hạn chế đầu tư tối thiểu được trừu tượng hóa như các yếu tố không đáng kể, trong khi các nhà đầu tư cá nhân được coi là không đủ quan trọng để ảnh hưởng đáng kể đến giá thị trường (Bodie, Kane và Marcus, 2013) Sự tồn tại của một tài sản không rủi ro mà nhà đầu tư có thể vay hoặc cho vay với lãi suất không rủi ro cố định được giả định, làm đơn giản hóa các mô hình tối ưu hóa DMĐT Hiểu được những giả định then chốt này cung cấp cái nhìn sâu sắc về nền tảng lý thuyết của DMĐT hiện đại và những hạn chế của nó trong các ứng dụng thực tế (Kengatharan, 2016)
2.1.3 Quy trình đầu tư theo lý thuyết danh mục đầu tư hiện đại
Nền tảng lý thuyết của DMĐT hiện đại khá đơn giản, tuy nhiên việc thực hiện thực tế của nó có thể khá phức tạp MPT cho rằng dựa trên các ước lượng về lợi nhuận kỳ vọng, độ lệch chuẩn và hệ số tương quan của một tập hợp các khoản đầu tư, cùng với các ràng buộc về lựa chọn đầu tư (ví dụ như mức độ rủi ro tối đa và các hạn chế về tỷ lệ thay đổi danh mục), việc tối ưu hóa có thể được thực hiện để tạo ra đường biên hiệu quả của lợi nhuận (return) – rủi ro (risk) hoặc đường biên hiệu quả của trung bình (mean) – phương sai (variance) Đường biên này được coi là hiệu quả vì mỗi điểm trên đường biên đại diện cho một DMĐT cung cấp lợi nhuận kỳ vọng cao nhất cho mức độ rủi ro tương ứng hoặc rủi ro thấp nhất cho mức độ lợi nhuận kỳ vọng tương ứng
Hình 2.1 Quy trình lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu 2.1.4 Các chỉ trích về lý thuyết danh mục đầu tư hiện đại
Mặc dù có vai trò nền tảng trong lý thuyết đầu tư, lý thuyết DMĐT hiện đại đã đối mặt với sự phê bình đáng kể liên quan đến các giả định cơ bản và tính ứng dụng thực tiễn trong các thị trường thực Các nhà phê bình cho rằng các giả định cốt lõi của lý thuyết DMĐT hiện đại là không thực tế
Ước lượng tham số
Cốt lõi của lý thuyết DMĐT hiện đại là tối ưu hóa trung bình (mean) – phương sai (variance), đối mặt với một thách thức đáng kể về sai số ước lượng Trong khi Markowitz (1952) cũng đã nhấn mạnh nền tảng lý thuyết của lý thuyết DMĐT hiện đại để áp dụng thực tế đòi hỏi ước lượng trung bình (mean) và hiệp phương sai (covariance) của tài sản Tuy nhiên, việc sử dụng các ước lượng này có dẫn đến nhiều sai số như đã được nhấn mạnh bởi Michaud (1989) và Chopra
& Ziemba (2013) Phê bình này bắt nguồn từ việc tối ưu hóa không nhận biết được tính chất thống kê tự nhiên của dữ liệu đầu vào
Các ước lượng mẫu truyền thống dựa trên lợi nhuận lịch sử được sử dụng để ước lượng lợi nhuận kỳ vọng và hiệp phương sai của tài sản Phương pháp này giả định rằng dữ liệu lịch sử phản ánh xu hướng tương lai, nhưng vẫn tồn tại những hạn chế DeMiguel & Nogales (2009) đã phát hiện ra các danh mục được tối ưu hóa bằng cách sử dụng các ước lượng mẫu không nhất thiết luôn vượt qua các danh mục có trọng số bằng nhau
Chopra & Ziemba (1993) lập luận rằng sai số từ ước lượng lợi nhuận kỳ vọng có tác động lớn đối với hiệu suất ngoài mẫu (out–of–sample) so với sai số từ ước lượng hiệp phương sai Chopra & Ziemba cho rằng điều này là do các nhà quản lý DMĐT quá tập trung vào lợi nhuận kỳ vọng được ước lượng từ lợi nhuận trong quá khứ trong việc phân bổ vốn Tuy nhiên, Michaud và cộng sự (2012) đã phản đối những kết luận này, họ cho rằng cần có những đánh giá rộng hơn về sai số từ ước lượng so với các hạn chế từ các nghiên cứu trong mẫu (in–the–sample)
Họ gợi ý rằng sai số từ ước lượng MTHPS có thể chiếm phần lớn trong quá trình tối ưu hóa danh mục, đặc biệt với sự gia tăng nhanh chóng của số lượng tài sản tài chính
Các nhà nghiên cứu cũng như các nhà quản lý DMĐT đã thực hiện rất nhiều nghiên cứu để khắc phục những hạn chế của mô hình lý thuyết DMĐT hiện đại
Có hai hướng chính để khắc phục được các hạn chế của mô hình MPT: (i) Xây dựng các phương pháp để ước tính lợi nhuận kỳ vọng của các tài sản trong DMĐT; và (ii) Sử dụng các cách tiếp cận mới trong việc ước tính MTHPS của các tài sản trong danh mục Đây đều là hai cách tiếp cận quan trọng để điều chỉnh biến số đầu vào của mô hình lý thuyết DMĐT hiện đại trong việc lựa chọn DMĐT tối ưu
2.2.1 Tham số lợi nhuận kỳ vọng
2.2.1.1 Nghiên cứu nước ngoài về ước lượng lợi nhuận kỳ vọng
Mô hình định giá tài sản vốn (CAPM) được Sharpe (1964) giới thiệu đã đặt nền móng quan trọng cho lý thuyết DMĐT hiện đại Mô hình một nhân tố này giải thích mối quan hệ giữa rủi ro hệ thống (hệ số beta) và lợi nhuận kỳ vọng của một tài sản Tuy nhiên, Fama & French (1993) đã khám phá rằng, hệ số beta trong mô hình CAPM không giải thích được lợi nhuận kỳ vọng của chứng khoán Mỹ trong giai đoạn 1963 – 1990 Vì vậy, nghiên cứu tiếp theo của họ đã đưa thêm hai biến số khác vào mô hình nghiên cứu, kết quả là mô hình ba nhân tố của Fama và French đã được giới thiệu vào năm 1993 Mô hình ba nhân tố Fama – French cho rằng lợi nhuận kỳ vọng của một DMĐT hoặc một cổ phiếu riêng lẻ phụ thuộc vào ba yếu tố: (i) yếu tố thị trường, (ii) yếu tố quy mô công ty và (iii) yếu tố giá trị sổ sách trên giá trị thị trường của công ty Hiệu quả của mô hình đã được đánh giá thông qua kết quả nghiên cứu thực nghiệm cả trong các thị trường phát triển, mới nổi và cận biên Fama & French (2015) tiếp tục phát triển và đưa ra mô hình năm nhân tố để dự báo suất sinh lời của một DMĐT với hai nhân tố mới đó là (iv) yếu tố lợi nhuận và (v) yếu tố khuynh hướng đầu tư
Bên cạnh đó, nhiều nghiên cứu khác cũng đã thực hiện ước lượng tham số lợi nhuận kỳ vọng của DMĐT bằng các phương pháp như trung bình loại bỏ (Winsorized mean) và trung bình cắt (Truncated/trimmed mean), được giới thiệu bởi Martin, Clark và Green (2010) Thay vì sử dụng trung bình của mẫu m̅ 1
T ∑ r T 1 t để ước lượng lợi nhuận kỳ vọng, nghiên cứu này áp dụng phương pháp trung bình cắt hoặc trung bình loại bỏ Giá trị trung bình cắt được tính toán sau khi loại bỏ các giá trị khác biệt nhất, trong khi giá trị trung bình loại bỏ được tính toán bằng cách thay thế những giá trị này bằng các giá trị tương đồng hơn Cả hai phương pháp ước lượng lợi nhuận kỳ vọng này đều cho kết quả tốt hơn so với phương pháp ước lượng thông thường Tuy nhiên, nếu lợi nhuận của các tài sản trong danh mục không mang tính dừng, thì lợi nhuận kỳ vọng ước lượng sẽ bị thiên lệch và không đảm bảo độ chính xác Để giải quyết vấn đề này, Jorion (1986) đã đề xuất phương pháp Bayes-Stein để ước lượng lợi nhuận kỳ vọng của DMĐT Phương pháp này cố gắng đưa trung bình mẫu của từng tài sản trong danh mục về trung bình tổng quát m̅ = 1
N ∑ m N 1 i , nhằm ước lượng lợi nhuận kỳ vọng của danh mục một cách ổn định và hợp lý hơn
Các mô hình tối ưu hóa danh mục đầu tư dựa trên ước lượng tham số lợi nhuận kỳ vọng đã là chủ đề nghiên cứu của nhiều nhà khoa học trong quá khứ Tuy nhiên, nghiên cứu của Merton (1980) cho thấy rằng việc ước tính lợi nhuận kỳ vọng của các tài sản trong DMĐT không hề đơn giản Hầu hết các mô hình định giá tài sản giả định rằng lợi nhuận kỳ vọng của tài sản có mối quan hệ chặt chẽ với lợi nhuận kỳ vọng của thị trường và mối quan hệ này không thay đổi theo thời gian Mặc dù giả định này giúp việc ước tính lợi nhuận kỳ vọng của tài sản trở nên dễ dàng hơn, nhưng vẫn cần một chuỗi dữ liệu thời gian rất dài để đạt được độ chính xác cao Hơn nữa, chúng ta đều biết rằng giả định lợi nhuận kỳ vọng không thay đổi theo thời gian là không hợp lý Merton đã chứng minh rằng nếu giả định này được nới lỏng, việc ước tính lợi nhuận kỳ vọng sẽ còn khó khăn hơn Jorion (1986) cũng chỉ ra rằng việc lựa chọn DMĐT dựa trên ước lượng tham số lợi nhuận kỳ vọng mang lại nhiều rủi ro hơn, do danh mục được lựa chọn thường không ổn định, điều này đã mở đường cho hướng nghiên cứu thứ hai, đó là lựa chọn danh mục đầu tư dựa trên ước lượng tham số ma trận hiệp phương sai của các tài sản trong danh mục đầu tư
2.2.1.2 Nghiên cứu trong nước về ước lượng lợi nhuận kỳ vọng
Singh & Gautam (2014) đã áp dụng mô hình định giá tài sản vốn (CAPM) để đánh giá rủi ro và ước lượng lợi nhuận kỳ vọng cho các công ty xây dựng trên thị trường chứng khoán Việt Nam Tương tự, Hoàng (2011) cũng đã sử dụng mô hình CAPM cho các công ty bất động sản tại thị trường chứng khoán Việt Nam
Lộc & Trang (2014) đã so sánh hiệu suất giữa mô hình CAPM với mô hình ba nhân tố của Fama và French khi sử dụng toàn bộ dữ liệu từ thị trường chứng khoán Việt Nam Khám phá này cho thấy mối quan tâm ngày càng tăng khi kết hợp yếu tố quy mô công ty và giá trị sổ sách để ước lượng lợi nhuận kỳ vọng tại thị trường chứng khoán Việt Nam
Nguyen (2010) đã sử dụng mô hình lý thuyết định giá kinh doanh chênh lệch (Arbitrage Pricing Theory – APT) để phân tích hành vi giá cổ phiếu ở thị trường Việt Nam và Thái Lan Nghiên cứu này chứng minh việc áp dụng các mô hình thay thế để hiểu rõ hơn về động lực của thị trường tại các nước đang phát triển
2.2.2 Tham số ma trận hiệp phương sai
2.2.2.1 Nghiên cứu nước ngoài về ước lượng ma trận hiệp phương sai Đây là hướng nghiên cứu quan trọng được các nhà nghiên cứu đặc biệt quan tâm trong giai đoạn gần đây, do tiềm năng của phương pháp này trong việc cải thiện tính ổn định và giảm thiểu rủi ro trong việc lựa chọn DMĐT so với phương pháp lựa chọn DMĐT dựa trên ước lượng lợi nhuận kỳ vọng
Phương pháp truyền thống để ước lượng MTHPS trong tối ưu hóa danh mục là sử dụng MTHPS mẫu (Sample Covariance Matrix – SCM) Tuy nhiên, Michaud (1989) đã chứng minh phương pháp ước lượng này mang lại nhiều bất cập và hạn chế Hạn chế lớn nhất của cách ước lượng MTHPS mẫu là tính không ổn định trong việc đưa ra trọng số của các tài sản trong DMĐT, chỉ cần một sự thay đổi nhỏ trong dữ liệu có thể ảnh hưởng lớn đến trọng số của các tài sản trong danh mục, dẫn đến sự khó khăn trong việc áp dụng lý thuyết DMĐT hiện đại trong thực tế Michaud đã mô tả hiện tượng này là “Markowitz enigma” Hơn nữa, cùng với với sự phát triển của thị trường tài chính, số lượng tài sản tài chính ngày càng tăng lên một cách nhanh chóng, gấp nhiều lần so với số lượng mẫu nghiên cứu, phương pháp ước lượng MTHPS truyền thống này gặp nhiều khó khăn và không thể giải quyết được (DeMiguel & Nogales, 2009)
Lựa chọn danh mục
Việc lựa chọn DMĐT xoay quanh việc cơ cấu DMĐT cân bằng giữa lợi nhuận và rủi ro Mô hình trung bình – phương sai (MVM) truyền thống là nền tảng cho quá trình lựa chọn danh mục MVM sử dụng trung bình và MTHPS được ước tính dựa trên lợi nhuận của tài sản để xác định tỷ trọng danh mục tối ưu Điều này cho phép các nhà đầu tư có thể xây dựng DMĐT trên biên hiệu quả, nơi họ có thể đạt được mức lợi nhuận kỳ vọng cao nhất với mức rủi ro tương ứng, hoặc giảm thiểu rủi ro với mức lợi nhuận mong muốn
Tuy nhiên, hạn chế của MVM nằm ở sai số ước tính liên quan đến trung bình và phương sai Nghiên cứu cho thấy rằng sai số trong việc ước tính lợi nhuận trung bình có xu hướng lớn hơn đáng kể so với ước tính dựa trên phương sai (Chopra
& Ziemba, 1993) Điều này đã dẫn đến sự ra đời của mô hình với danh mục có phương sai nhỏ nhất (Global Minimum Variance Portfolio – GMVP) được xem như một cách tiếp cận thay thế Do đó, việc lựa chọn DMĐT được chia thành hai hướng chính: (i) Lựa chọn DMĐT theo mô hình MVM truyền thống; (ii) Lựa chọn DMĐT theo mô hình GMVP mới
2.3.1 Mô hình Trung bình (Mean) – Phương sai (Variance) (MVM)
Lợi nhuận từ tài sản tài chính thường được xem xét như một biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối Gaussian trong mô hình trung bình (mean) – phương sai (variance) (MVM) cổ điển đã được Markowitz (1952) tiên phong Trong lý thuyết này, phân phối chuẩn (Normal/Gaussian distribution) giả định rằng lợi nhuận của tài sản phụ thuộc hoàn toàn vào giá trị trung bình và phương sai của chúng Markowitz tiếp tục phát triển mô hình MVM trong công trình kinh điển về lựa chọn DMĐT được công bố trong cuốn sách của ông Hai thập kỷ sau đó, Merton (1972) đã mở rộng mô hình này để cho phép bán khống trong việc lựa chọn DMĐT Suốt nhiều năm qua, những mô hình này đã được sử dụng rộng rãi trong nhiều nghiên cứu
Mô hình MVM gốc của Markowitz về bản chất là tĩnh, vì nó hạn chế các nhà đầu tư trong việc ra quyết định từ đầu kỳ đầu tư và chờ đợi cho đến khi kỳ đầu tư kết thúc Hạn chế này đã thúc đẩy sự phát triển tiếp theo trong khung trung bình – phương sai Samuelson & Merton (1969) đề xuất một mô hình tiêu thụ (Consumption) – đầu tư (Investment) đa kỳ rời rạc để tăng cường lợi nhuận kỳ vọng cuối cùng của nhà đầu tư vào cuối kỳ đầu tư Merton (1969, 1972) đã đóng góp nghiên cứu cơ bản về các mô hình thời gian liên tục (Continuous–Time Model), tập trung vào việc tối đa hóa lợi nhuận kỳ vọng qua các giai đoạn lập kế hoạch cụ thể Để phản ánh tốt hơn động lực thị trường một cách thực tế, Xue và cộng sự (2006) đã giới thiệu một mô hình trung bình – phương sai cho lựa chọn DMĐT kết hợp các chi phí giao dịch lõm (Concave Transaction Costs) Gần đây hơn, Liagkouras
& Metaxiotis (2018) đã giới thiệu một thuật tối ưu hóa danh mục mới là Fuzzy Multi-Period Portfolio Optimization (FMPPO) trong bối cảnh tích hợp chi phí giao dịch Những nỗ lực để tăng cường ứng dụng thực tiễn của mô hình hình trung bình – phương sai vẫn tiếp tục Fernández & Gómez (2007) đã tích hợp các ràng buộc về độ lớn và hạn chế để đảm bảo đầu tư vào các tập hợp tài sản cụ thể và hạn chế đầu tư vào các tài sản riêng lẻ Tương tự, Soleimani và cộng sự (2009) đã tích hợp các ràng buộc về độ lớn vào mô hình trung bình – phương sai, giới thiệu kích thước giao dịch tối thiểu và xem xét vốn hóa thị trường (hoặc ngành)
2.3.2 Danh mục đầu tư có phương sai nhỏ nhất (Global Minimum
DMĐT có phương sai nhỏ nhất (GMVP) đã trở thành một lựa chọn hấp dẫn hơn so với mô hình trung bình – phương sai (mean – variance) truyền thống trong việc tối ưu hóa danh mục đầu tư Trong khi mô hình trung bình – phương sai dựa trên ước lượng cả lợi nhuận kỳ vọng và hiệp phương sai, GMVP chỉ tập trung vào việc giảm thiểu phương sai của danh mục dựa trên MTHPS
Trong hoạt động đầu tư, nhà đầu tư luôn tìm cách tối đa hóa lợi nhuận và giảm thiểu rủi ro, và việc tối ưu hóa tỷ lệ trung bình – phương sai có thể xem là mục tiêu hợp lý Tuy nhiên, nghiên cứu chỉ ra rằng sai số ước lượng từ lợi nhuận kỳ vọng lớn hơn nhiều lần so với sai số ước lượng từ phương sai và hiệp phương sai Do đó, các nhà nghiên cứu nhận thấy GMVP hoạt động hiệu quả hơn nhiều so với mô hình tối đa hóa lợi nhuận được điều chỉnh theo rủi ro Hơn nữa, do sai số trong quá trình ước lượng, trọng số trong danh mục sử dụng cả yếu tố lợi nhuận và ma trận hiệp phương sai thường không ổn định bằng trọng số trong danh mục GMVP (Chopra & Ziemba, 1993) Nói cách khác, những thay đổi nhỏ trong yếu tố đầu vào có thể dẫn đến những thay đổi lớn về tỷ trọng danh mục đầu tư nếu việc tối ưu hóa danh mục phụ thuộc vào cả giá trị trung bình và MTHPS của lợi nhuận tài sản
GMVP cải thiện sự ổn định của danh mục, như được nhấn mạnh bởi Jagannathan
& Ma (2003) Các trọng số của tài sản trong danh mục GMVP ổn định hơn do sai số ước lượng thấp hơn trong việc ước tính hiệp phương sai Các nghiên cứu thực nghiệm của Chan và cộng sự (1999), Kempf & Memmel (2006) cho thấy rằng các danh mục GMVP có thể có hiệu suất ngoài mẫu vượt trội hơn so với các danh mục trung bình – phương sai trong các ứng dụng thực tế Điều này chỉ ra rằng GMVP có thể nắm bắt tốt hơn mối quan hệ giữa lợi nhuận và rủi ro trên thị trường, từ đó nâng cao hiệu quả của danh mục và mang lại kết quả đầu tư tốt hơn
Nghiên cứu gần đây của Bodnar và cộng sự (2018) đã khám phá ứng dụng của GMVP trong bối cảnh dữ liệu đa chiều Kết quả của họ chứng minh tính mạnh mẽ của phương pháp này, ngay cả khi giả định về phân phối chuẩn lợi nhuận của tài sản không được đáp ứng Điều này mở ra cơ hội cho việc áp dụng GMVP trong nhiều kịch bản đầu tư khác nhau
Bằng cách liên tục hoàn thiện các kỹ thuật ước lượng ma trận hiệp phương sai, các nhà nghiên cứu có thể tăng cường tính hiệu quả của GMVP và các mô hình tối ưu hóa danh mục khác dựa trên ma trận hiệp phương sai Điều này sẽ mang lại lợi ích cho các nhà đầu tư bằng cách cung cấp các chiến lược quản lý DMĐT mạnh mẽ và hiệu quả hơn.
Khung lý thuyết ma trận hiệp phương sai co gọn tuyến tính theo mô hình một nhân tố (Shrinkage towards the Single Index Model – SSIM)
Mô hình một nhân tố (Single Index Model – SIM) của Sharpe (1964) cung cấp một phương pháp thay thế cho việc ước lượng MTHPS Phương trình cho mô hình này: ∑ 𝑆𝐼𝑀 = 𝛽𝛽 𝑇 𝜎 𝑚 2 + ∑ 𝜀 So với SCM, SIM có một số ưu điểm Thứ nhất, SIM đòi hỏi ít tham số hơn đáng kể (2N+1) cho việc ước lượng so với SCM với N(N+1)/2, làm cho SIM mang lại hiệu suất cao hơn, đặc biệt đối với các danh mục có số lượng tài sản lớn (N ≥ 4) Thứ hai, SIM thuận tiện cho việc cập nhật, vì việc tích hợp các tài sản mới vào danh mục chỉ đòi hỏi cập nhật các ước lượng beta và phương sai, trong khi SCM đòi hỏi tính lại toàn bộ MTHPS Thứ ba, SIM yêu cầu kích thước mẫu thấp hơn với T>2 để ước lượng các tham số tài sản riêng lẻ so với yêu cầu của SCM là T > N Yêu cầu kích thước mẫu thấp này giúp cải thiện khả năng thực hiện của SIM trong các tình huống có giới hạn dữ liệu Tóm lại, mô hình một nhân tố (SIM) của Sharpe cung cấp một phương pháp thay thế hấp dẫn cho các phương pháp ước lượng MTHPS truyền thống, mang lại những ưu điểm như giảm ước lượng tham số, dễ cập nhật và yêu cầu kích thước mẫu thấp hơn, từ đó tăng tính ứng dụng của nó trong quản lý danh mục, đặc biệt là đối với các danh mục có kích thước lớn và biến động Nghiên cứu Senneret và cộng sự (2016) đã cho thấy, mặc dù việc ước lượng MTHPS theo mô hình một nhân tố cho các kết quả vượt trội hơn so với phương pháp ước lượng MTHPS mẫu trong việc lựa chọn danh mục, tuy nhiên cả hai phương pháp ước lượng này đều nhạy cảm với sai số đến từ việc sử dụng vector lợi nhuận trung bình của mẫu
𝑚 𝑇 để ước lượng MTHPS Để ước tính ma trận hiệp phương sai một cách mạnh mẽ hơn, Ledoit & Wolf (2003) đã phát triển phương pháp co gọn (shrinkage) Nó là sự kết hợp tuyến tính giữa ma trận hiệp phương sai mẫu và ma trận mục tiêu thông qua trọng số được gọi là hệ số co gọn (Shrinkage intensity – σ) Sự kết hợp này được thể hiện thông qua công thức tổng quát: ∑ 𝑆ℎ𝑟𝑖𝑛𝑘𝑎𝑔𝑒 = (1 − 𝜎)𝑆 𝑆𝐶𝑀 + σ ∑ 𝑡𝑎𝑟𝑔𝑒𝑡 (0 ≤ σ ≤ 1) Điểm nổi bật của phương pháp này là có khả năng phát huy được ưu điểm của từng phương pháp ước lượng riêng lẻ nhằm tạo ra ma trận hiệp phương sai mới mang các đặc điểm phù hợp hơn trong việc lựa chọn DMĐT Chẳng hạn như ưu điểm lớn nhất của phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai mẫu (𝑆 𝑆𝐶𝑀 ) là khả năng dễ tính toán và mức độ chính xác so với ma trận hiệp phương sai kỳ vọng, tuy nhiên hạn chế lớn nhất của nó là sẽ có sai số lớn xảy ra khi số lượng cổ phiếu trong DMĐT vượt quá số lượng mẫu quan sát Trong khi đó, phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai từ ma trận mục tiêu ( ∑ 𝑡𝑎𝑟𝑔𝑒𝑡 ) có cấu trúc ổn định cao và giải quyết được hạn chế này, tuy nhiên nó thường bị thiên lệch và không đảm bảo độ chính xác Phương pháp ước lượng co gọn giúp làm giảm các sai số phát sinh trong quá trình ước lượng nhưng vẫn đảm bảo tính chất dự báo chính xác của ma trận hiệp phương sai được ước lượng.
Khung lý thuyết ma trận hiệp phương sai co gọn tuyến tính trên ma trận đơn vị (Shrinkage towards Identity Matrix – STIM)
Ước lượng ma trận hiệp phương sai co gọn tuyến tính dựa trên ma trận đơn vị (Identity Matrix) là sự kết hợp tuyến tính giữa MTHPS mẫu (SCM) với ma trận đơn vị Ma trận đơn vị đóng vai trò là ma trận mục tiêu, với tất cả các phần tử trên đường chéo bằng một và các phần tử còn lại bằng 0 Ma trận đơn vị không có phương sai nhưng có nhiều sai lệch so với ma trận hiệp phương sai chuẩn Mặt khác, MTHPS mẫu có nhiều phương sai nhưng không có độ lệch (bias) Bằng cách kết hợp hai ma trận này, có thể tạo ra MTHPS tốt hơn so với ma trận ước tính của từng ma trận riêng lẻ
Có sự khác biệt đáng kể giữa co gọn đối với ma trận đơn vị và co gọn đối với các ma trận mục tiêu khác Việc co gọn các ma trận mục tiêu khác đòi hỏi phải xem xét cẩn thận các ma trận mục tiêu dựa trên các đặc điểm đã biết của ma trận hiệp phương sai thực cho ứng dụng trong thế giới thực Ví dụ, Ledoit và Wolf đã tận dụng cấu trúc mô hình nhân tố (Factor Model) của lợi nhuận chứng khoán để tính toán MTHPS co gọn dựa theo mô hình một nhân tố (SSIM) và mối tương quan trung bình dương của lợi nhuận chứng khoán để ước tính MTHPS con gọn theo mô hình tương quan không đổi (Shrinkage toward Constant Correlation Model – SCCM) Mặc khác, phương pháp ước tính MTHPS co gọn dựa trên ma trận đơn vị (STIM) tìm cách giải quyết, liệu nhà đầu tư có thể kiếm lời dựa trên việc lựa chọn DMĐT được tối ưu khi không có kiến thức chuyên môn tài chính mà dựa hoàn toàn vào kiến thức toán học hay không (Ledoit & Wolf, 2004).
Khung lý thuyết ma trận hiệp phương sai co gọn phi tuyến tính (Non-
Ledoit & Wolf (2012) lần đầu cho thấy tính hiệu quả của phương pháp ước lượng MTHPS co gọn phi tuyến tính trong trường hợp kích thước của dữ liệu lớn và không nhất thiết ma trận mục tiêu co gọn phải mang các thông tin liên quan đến thị trường tài chính Điều này đã mở ra hướng nghiên cứu rất tiềm năng trong việc ước lượng MTHPS, đó là các nhà nghiên cứu chỉ cần tập trung vào các ước tính toán học thuần túy vẫn có thể ước lượng được MTHPS phù hợp cho quá trình tối ưu DMĐT Theo khảo lược của tác giả, hiện nay có hai cách thức ước tính MTHPS theo phương pháp co gọn phi tuyến tính Một là, ước lượng MTHPS dựa trên hàm QuEST – Quadratic Spectral ESTimator Hàm QuEST được sử dụng để điều chỉnh các giá trị riêng của MTHPS mẫu Nói một cách đơn giản, trong bối cảnh của MTHPS, các giá trị riêng có thể bị ước lượng không chính xác do nhiễu hoặc số lượng mẫu không đủ lớn so với số lượng biến Hàm QuEST được thiết kế để giải quyết vấn đề này bằng cách điều chỉnh các giá trị riêng của MTHPS mẫu một cách phi tuyến tính (Ledoit & Wolf, 2015) Hai là, ước lượng MTHPS dựa trên phương pháp NERCOME (Nonparametric Eigenvalue – Regularized Covariance Matrix Estimator) Trong khi hàm QuEST sử dụng một hàm phi tuyến tính để điều chỉnh các giá trị riêng của MTHPS mẫu thì phương pháp NERCOME chia dữ liệu thành hai phần và sử dụng một phần để ước lượng MTHPS, phần còn lại để điều chỉnh các giá trị riêng một cách không tham số Phương pháp này tập trung vào việc tìm điểm cân bằng tối ưu giữa số lượng mẫu trong mỗi phần để đạt được ước lượng tốt nhất (Abadir và cộng sự, 2014) (Lam và cộng sự, 2017)
Ledoit & Wolf (2020) đã phát triển phương pháp ước lượng MTHPS co gọn phi tuyến tính lên một cấp độ mới, khi giới thiệu một phương pháp kết hợp được các đặc tính tốt nhất của ba phương pháp đó là tốc độ của phương pháp co gọn tuyến tính, độ chính xác của hàm QuEST và sự minh bạch của NERCOME bằng cách xác định và khai thác mối liên hệ mật thiết giữa co gọn phi tuyến tính và ước lượng phi tham số của phép biến đổi Hilbert đối với mật độ phổ mẫu Kết quả ước lượng cho thấy phương pháp này nhanh hơn 1.000 lần với độ chính xác tương đương, và có thể chứa các MTHPS có kích thước lên đến 10.000
Một số nghiên cứu khác cũng có cùng kết quả nghiên cứu về tính hiệu quả của phương pháp ước lượng MTHPS co gọn phi tuyến tính như Hediger và cộng sự (2023) khi sử dụng công cụ ước tính Tyler cho ma trận phân tán với co gọn phi tuyến, cung cấp một cái nhìn đơn giản đã chứng minh hiệu suất thuận lợi với các kịch bản mô phỏng vượt trội hơn so với dữ liệu thực Zhang và cộng sự (2022) giải quyết các ước lượng MTHPS có kích cỡ mẫu lớn, lấy cảm hứng từ co gọn phi tuyến tính bằng cách chiến lược hóa Stein bậc hai cho công cụ Kết quả chỉ ra rằng các công cụ ước tính đề xuất giảm thiểu đáng kể tổn thất Frobenius so với công cụ Stein hiện tại
Tuy nhiên, cũng có những nghiên cứu gần đây vẫn nghi ngờ về tính hiệu quả của phương pháp ước lượng MTHPS co gọn phi tuyến tính như Bongiorno & Challet (2023) cho rằng, mặc dù phương pháp co gọn phi tuyến tính là một ước lượng phổ biến dựa trên cách các giá trị riêng Oracle có thể được tính toán chỉ bằng dữ liệu từ cửa sổ hiệu chỉnh, nhưng trái với niềm tin phổ biến này, phương pháp này không phải là tối ưu cho tối ưu hóa DMĐT vì nó không tối thiểu hóa đúng hàm chi phí khi cấu trúc phụ thuộc của tài sản không ổn định Phát hiện của hai nhà nghiên cứu này đặt lại câu hỏi về tính hiệu quả của phương pháp co gọn phi tuyến tính trong ước lượng MTHPS cho tối ưu hóa DMĐT trong điều kiện thực tế.
Các tiêu chí đánh giá mức độ hiệu quả của các phương pháp ước lượng 37 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Trong bài nghiên cứu này, tác giả sử dụng 07 tiêu chí đánh giá nhằm đo lường mức độ hiệu quả của 03 phương pháp ước lượng, các tiêu chí đánh giá này được tham khảo trong nghiên cứu của Nguyen và cộng sự (2019) 07 tiêu chí này sẽ giúp nhà đầu tư đánh giá được các khía cạnh quan trọng trong việc lựa chọn một DMĐT tối ưu như khía cạnh lợi nhuận, rủi ro của danh mục, sự ảnh hưởng của chi phí giao dịch, tỷ lệ chiến thắng hay khả năng tạo ra lợi nhuận vượt trội của danh mục Thông tin mô tả về 07 tiêu chí đánh giá này sẽ được trình bày cụ thể trong bảng sau:
Bảng 2.1 Mô tả về các tiêu chí đánh giá DMĐT STT Tiêu chí đánh giá
Công thức tính toán Ý nghĩa
01 Lợi nhuận của danh mục
Phần giá trị tăng thêm
Tiêu chí phản ánh mức lời/lỗ của DMĐT trong khoảng thời gian [t, T]
02 Rủi ro của danh mục Độ lệch chuẩn của DMĐT
𝜎 𝑝 = √Var(𝑅 𝑝 ) Độ lệch chuẩn được dùng để đánh giá mức độ phân tán của dữ liệu Khi độ lệch chuẩn càng lớn, dữ liệu biểu hiện sự biến động mạnh mẽ hơn, dẫn đến rủi ro cao Ngược lại, một giá trị độ lệch chuẩn thấp cho thấy dữ liệu có ít biến động hơn, từ đó rủi ro được coi là thấp hơn
03 Tỷ lệ Sharpe Lợi nhuận của DMĐT − Lãi suất phi rủi ro Độ lệch chuẩn của DMĐT
Tỷ lệ Sharpe càng cao, DMĐT càng hiệu quả vì nó cho thấy nhà đầu tư nhận được nhiều lợi nhuận hơn cho mỗi đơn vị rủi ro mà họ phải chấp nhận
Trong đó 𝑉 𝑖,𝑡 thể hiện giá trị của DMĐT tại thời điểm t được tối ưu theo chiến thuật i Đây là một chỉ số quan trọng trong việc đánh giá rủi ro của một khoản đầu tư, vì nó cho thấy khoản lỗ lớn nhất mà nhà đầu tư có thể phải chịu trong trường hợp thị trường diễn biến không thuận lợi Mức lỗ tối đa cung cấp cái nhìn thực tế về sự biến động và rủi ro tiềm ẩn mà một nhà đầu tư có thể phải đối mặt
05 Tỷ lệ thay đổi trạng thái danh mục
Dựa trên nghiên cứu của DeMiguel &
Nogales (2009), tiêu chí này được xác định như sau:
𝑛∑ 𝑛 𝛽=1 ∑ 𝑛 𝑖=1 (|𝑤 𝛽,𝑖.𝑡+1 - 𝑤 𝛽,𝑖.𝑡 |) Với (“n: số lần thay đổi trạng thái của danh mục; 𝑤 𝛽,𝑖,𝑡+1 : trọng số của cổ phiếu i được tối ưu theo phương pháp ước lượng β tại thời điểm t+1”)
Tiêu chí này đo lường mức độ thường xuyên các tài sản trong một DMĐT được mua và bán lại Tỷ lệ cao cho thấy DMĐT thường xuyên được thay thế hoặc điều chỉnh để phù hợp với chiến lược hoặc để phản ứng với thị trường, tuy nhiên điều này có thể đối mặt với chi phí giao dịch tăng cao và tác động đến lợi nhuận của chiến lược giao dịch
Tỷ lệ chiến thắng được đo lường bằng số lượng các giao dịch mang lại lợi nhuận so với tổng số giao dịch được thực hiện Đây là một chỉ số quan trọng trong việc đánh giá hiệu quả của chiến lược đầu tư và thường được sử dụng để phân tích hiệu suất của các DMĐT Một tỷ lệ chiến thắng cao không nhất thiết chỉ ra một DMĐT hiệu quả nếu các giao dịch thua lỗ vượt quá lợi nhuận từ các giao dịch thành công về mặt giá trị tài chính Do đó, tỷ lệ chiến thắng nên được đánh giá cùng với các chỉ số rủi ro và lợi nhuận khác để có cái nhìn toàn diện về hiệu suất đầu tư
07 Hệ số vượt trội Alpha
Hệ số vượt trội Alpha được xác định như sau: α = 𝑅 𝑝 – [𝑅 𝑓 + β(𝑅 𝑚 - 𝑅 𝑓 )]
𝑅 𝑝 là tỷ suất trung bình của danh mục
𝑅 𝑓 là tỷ suất lợi nhuận phi rủi ro β là beta hệ số tương quan giữa danh mục đầu tư và thị trường
𝑅 𝑚 là lợi nhuận trung bình của thị trường
Một giá trị Alpha dương cho thấy rằng DMĐT đã có hiệu suất tốt hơn so với kỳ vọng dựa trên mức độ rủi ro của nó, trong khi giá trị Alpha âm chỉ ra rằng DMĐT đã không đạt hiệu suất như mong đợi
Nguồn: Tổng hợp của tác giả
Trong chương 2, khóa luận đã trình bày về một số nội dung như sau: Một là, hệ thống lại khung lý thuyết DMĐT hiện đại của Markowitz như: định nghĩa lợi nhuận kỳ vọng và rủi ro; các giả định của lý thuyết DMĐT hiện đại; quy trình đầu theo lý thuyết DMĐT hiện đại; và các chỉ trích về lý thuyết DMĐT hiện đại
Hai là, trình bày về cách tiếp cận dựa trên lợi nhuận kỳ vọng và MTHPS để điều chỉnh biến số đầu vào của mô hình lý thuyết DMĐT hiện đại trong việc lựa chọn
DMĐT tối ưu Ba là, trình bày về cách tiếp cận lý thuyết DMĐT hiện đại dựa theo mô hình trung bình (mean) – phương sai (variance) và mô hình danh mục đầu tư có phương sai nhỏ nhất (Global Minimum Variance Portfolio – GMVP)
Bốn là, trình bày về khung lý thuyết của MTHPS co gọn theo mô hình chỉ số đơn
(SSIM), MTHPS co gọn theo ma trận đơn vị (STIM) và MTHPS co gọn phi tuyến tính (Non-linear shrinkage) Cuối cùng là, trình bày về các tiêu chí đánh giá mức độ hiệu quả của các phương pháp ước lượng
Chương tiếp theo khóa luận sẽ trình bày về hàm tối ưu hóa danh mục và các phương pháp ước lượng MTHPS
CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Chương này sẽ tập trung vào các khái niệm cốt lỗi và các phương pháp được thực thi trong quá trình lựa chọn danh mục tối ưu với phương sai nhỏ nhất.
Các bước chuẩn bị
Lợi nhuận của một cổ phiếu là mức tăng/giảm của cổ phiếu đó trong một khoảng thời gian nhất định Lợi nhuận của một cổ phiếu được ký hiệu là R trong đó Ri là lợi nhuận của cổ phiếu cụ thể i Giá cổ phiếu tại một thời điểm t nhất định được gọi là Pt Sau đó, lợi nhuận của một cổ phiếu trên một kỳ không có cổ tức trong khoảng thời gian [t, T] (T > t) sẽ được xác định như:
𝑆 𝑡 (3.1) Đối với một chứng khoán trả cổ tức trong kỳ [t, T], lợi nhuận được tính toán như:
Phần giá trị tăng thêm
Tại thời điểm t, không có thông tin về hậu quả của 𝑆 𝑡 (giá cổ phiếu tại t) và 𝐷𝑖𝑣 𝑡,𝑇 (tổng cổ tức trong [t, T]), do đó lợi nhuận của một cổ phiếu theo thời gian được coi là một biến ngẫu nhiên Giá trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên này được ký hiệu là: à 𝑖 = 𝐸[𝑅 𝑖 ]
Khi phân bổ tài sản vào danh mục đầu tư, danh mục có thể bao gồm nhiều chứng khoán, trong đó tỷ trọng của từng chứng khoán 𝑤 𝑖 của cổ phiếu i được tính toán tương ứng:
𝑤 𝑖 =Giá trị đầu tư vào chứng khoán i
Tổng giá trị của danh mục (3.3)
Như vậy tập hợp các tài sản trong danh mục với quy mô n tài sản sẽ được xác định như sau:
Lợi nhuận dự kiến của danh mục 𝐸[𝑅 𝑝 ] được tính toán bằng công thức:
Trong đú: 𝑤 𝑇 = [𝑤 1 … 𝑤 𝑛 ] và à = [à 1 , … , 𝑤 𝑛 𝑇 ] là cỏc ký hiệu vector, cụ thể
Khái niệm về phương sai đóng vai trò nền tảng trong việc đánh giá tối ưu hóa phương sai nhỏ nhất Phương sai là thước đo được sử dụng nhiều nhất để tính toán rủi ro và biến động lợi nhuận của tài sản Giá trị phương sai là trung bình của bình phương khoảng cách của mỗi điểm dữ liệu tới điểm trung bình Do đó, nó là giá trị trung bình của bình phương độ lệch Đối với một danh mục tài sản gồm n tài sản, phương sai của toàn bộ tài sản có thể được xác định như sau:
Từ phương trình (3.6), phương sai của toàn bộ danh mục được rút gọn như sau:
Hàm tối ưu hóa danh mục (Global Minimum Variance Portfolio – GMVP)
Hàm mục tiêu của DMĐT có phương sai đạt giá trị nhỏ nhất (GMVP – Global Minimum Variance Portfolio) thực hiện tối thiểu hóa rủi ro của DMĐT bằng cách tối thiểu hóa phương sai tổng hợp từ các cổ phiếu trong danh mục Để đạt được điều này, hàm mục tiêu sử dụng công thức tính phương sai của DMĐT được biểu diễn như sau (Bodnar và cộng sự, 2018):
Trong đó: 𝑤 là vector trọng số của các cổ phiếu trong danh mục, với điều kiện rằng tổng các trọng số bằng 1 (∑ 𝑖 𝑤 𝑖 = 1); ∑ là MTHPS giữa các cổ phiếu trong danh mục, phản ánh mức độ biến động tương quan giữa các cổ phiếu và được ước lượng từ 03 phương pháp được đề cập trong khóa luận là Non-linear shrinkage, STIM và SSIM
Hàm mục tiêu này không chỉ đơn thuần tối thiểu hóa phương sai dựa trên MTHPS được ước lượng từ 03 phương pháp trên mà còn phải xem xét đến các ràng buộc về trọng số, trong khóa luận này có hai ràng buộc quan trọng liên quan đến trọng số trong danh mục đó là: (i) Nghiên cứu không xem xét đến tình trạng bán khống cổ phiếu vì vậy trọng số của các cổ phiếu sẽ có giá trị dương (w i ≥ 0) và (ii) Tổng các trọng số của cổ phiếu trong danh mục phải bằng 1 để đảm bảo tổng số tiền trong danh mục đều được sử dụng toàn bộ trong đầu tư Bộ trọng số tối ưu (w ∗ ) sẽ được tìm thấy một cách dễ dàng thông qua các thuật toán tối ưu hóa như phương pháp Lagrange hoặc các kỹ thuật tối ưu hóa dựa trên Gradient để mức độ rủi ro trong phương trình (3.8) là thấp nhất.
Ước lượng ma trận hiệp phương sai
3.3.1 Ma trận hiệp phương sai mẫu (Sample Covariance Matrix – SCM)
Giả sử 𝑟 𝑖,𝑡 là lợi nhuận trong quá khứ của tài sản i trong khoảng thời gian t, 𝑟̅ 𝑖 là lợi nhuận trung bình trong quá khứ trong khoảng thời gian [1,T] 𝑟̅ 𝑖 của tài sản i sẽ được xác định như sau:
Hiệp phương sai mẫu giữa hai tài sản i, j bất kỳ sẽ được xác định bằng công thức sau:
Dựa trên công thức trên, MTHPS mẫu với N tài sản trong DMĐT sẽ được ước lượng như sau: Σ̂ = [ 𝐻𝐶
3.3.2 Mô hình một nhân tố (Single Index Model – SIM) Để ước tính lợi nhuận tài sản và ma trận hiệp phương sai, mô hình thống kê được phát triển bởi Sharpe (1964) Mô hình một nhân tố (SIM) hay mô hình chỉ số đơn, vì mô hình này giả định rằng lợi nhuận của mọi tài sản trên thị trường đều bị ảnh hưởng bởi phần còn lại của thị trường Thông qua mô hình SIM, lợi nhuận của một tài sản được xác định như sau:
Trong đó: 𝑟̂ 𝑖,𝑡 – lợi nhuận ước lượng của tài sản i trong thời gian t, 𝑟̂ 𝑚 – lợi nhuận ước lượng của thị trường, 𝜀 𝑖,𝑡 – sai số của mô hình, α và β – các hệ số được xác định thông qua phương pháp hồi quy OLS Mô hình này giả định rằng, 𝜀 𝑖,𝑡 độc lập (Cov[𝜀 𝑖 ,𝜀 𝑗 ] = 0) và không có sự tương quan với lợi nhuận của thị trường 𝑟̂ 𝑚 (Cov[𝑟̂ 𝑚 ,𝜀 𝑖 ] = 0) Sai số 𝜀 𝑖 tuân theo phân phối chuẩn Var[𝜀 𝑖 ] =𝜎 𝜀 2 𝑖 và E[𝜀 𝑖 ] = 0
Dựa trên kết quả ước lượng lợi nhuận của tài sản i, phương sai của tài sản i được xác định như sau:
𝑉𝑎𝑟[𝑟̂ 𝑖 ] = 𝛽 𝑖 2 𝜎̂ 𝑖 2 + 𝜎 𝜖 2 𝑖 (3.13) Hiệp phương sai của tài sản i, j:
Ma trận hiệp phương sai của mô hình SIM được xác định:
Trong đó, 𝜎̂ 𝑚 = 𝑉𝑎𝑟[𝑟̂ 𝑚 ] được ước tính là phương sai thị trường, β là vector hệ số β, chúng ta có được từ hồi quy của mô hình SIM với độ dài của N tài sản, Σ̂ 𝜖 là ma trận sai số hồi quy có dạng ma trận đường chéo N x N Bởi vì phương sai thể hiện rủi ro Do đó, độ biến động nên được coi là lớn hơn 0 ( 𝜎̂ 𝑚 > 0)
Trong khóa luận này, tác giả áp dụng mô hình một nhân tố (SIM) với chỉ số là lợi nhuận thị trường Chỉ số lợi nhuận công nghiệp được sử dụng bởi Cohen & Pogue (1967) Ma trận hiệp phương sai với mô hình N tài sản có thể được tạo ra cực kỳ tốt Tuy nhiên, nghiên cứu thực nghiệm của George Derpanopoulos (2018) chỉ ra rằng “việc tăng thêm độ phức tạp cho mô hình SIM dường như gây ra nhiều nhiễu hơn là đem lại nhiều thông tin, nhất là rất khó có thể quy hiệp phương sai giữa các cổ phiếu cho các yếu tố khác ngoài thị trường”
3.3.3 Ước lượng ma trận hiệp phương sai co gọn tuyến tính theo mô hình một nhân tố (Shrinkage towards the Single Index Model – SSIM) Để ước tính ma trận hiệp phương sai một cách mạnh mẽ hơn, Ledoit & Wolf (2003) đã phát triển phương pháp co gọn (shrinkage) Nó là sự kết hợp tuyến tính giữa ma trận hiệp phương sai mẫu và ma trận mục tiêu thông qua trọng số được gọi là hệ số co gọn (shrinkage intensity – σ) Sự kết hợp này được thể hiện thông qua công thức tổng quát: ∑ 𝑆ℎ𝑟𝑖𝑛𝑘𝑎𝑔𝑒 = (1 − 𝜎)𝑆 𝑆𝐶𝑀 + σ ∑ 𝑡𝑎𝑟𝑔𝑒𝑡 (0 ≤ σ ≤ 1) Điểm nổi bật của phương pháp này là có khả năng phát huy được ưu điểm của từng phương pháp ước lượng riêng lẻ nhằm tạo ra ma trận hiệp phương sai mới mang các đặc điểm phù hợp hơn trong việc lựa chọn DMĐT Chẳng hạn như ưu điểm lớn nhất của phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai mẫu (𝑆 𝑆𝐶𝑀 ) là khả năng dễ tính toán và mức độ chính xác so với ma trận hiệp phương sai kỳ vọng, tuy nhiên hạn chế lớn nhất của nó là sẽ có sai số lớn xảy ra khi số lượng cổ phiếu trong DMĐT vượt quá số lượng mẫu quan sát Trong khi đó, phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai từ ma trận mục tiêu ( ∑ 𝑡𝑎𝑟𝑔𝑒𝑡 ) có cấu trúc ổn định cao và giải quyết được hạn chế này, tuy nhiên nó thường bị thiên lệch và không đảm bảo độ chính xác Phương pháp ước lượng co gọn giúp làm giảm các sai số phát sinh trong quá trình ước lượng nhưng vẫn đảm bảo tính chất dự báo chính xác của ma trận hiệp phương sai được ước lượng
Trong nghiên cứu của mình, Ledoit & Wolf (2003) đã rất thành công trong việc xác định hệ số co gọn tối ưu dựa trên hàm Quadratic Loss (L(α)) được xây dựng trên quy tắc Frobenuis:
Trong đó, F là ma trận hiệp phương sai mục tiêu, S là ma trận hiệp phương sai mẫu và ∑ là ma trận hiệp phương sai chuẩn (true covariance matrix) Hệ số co gọn tối ưu sẽ là giá trị mà tại đó, L(α) đạt giá trị nhỏ nhất
Từ phương trình (3.16), mô hình rủi ro được tính toán như sau:
Do đó, 𝑅(𝛿) là rủi ro của phương trình (3.16) Mục tiêu là giảm thiểu rủi ro Đạo hàm bậc một và bậc hai phải được tính bằng đại số tuyến tính của 𝑅(𝛿) Được xác định như sau:
Do đó, 𝑅′′(𝛿) luôn lớn hơn 0 do đạo hàm bậc hai Vì thế, việc giảm thiểu rủi ro
𝑅(𝛿) được giải quyết bởi 𝑅′(𝛿) = 0 Khi đó ta có hệ số co gọn tối ưu (ẟ ∗ ) được tính toán như sau: ẟ ∗ = ∑ 𝑁 𝑖=1 ∑ 𝑁 𝑗=1 𝑉𝑎𝑟(𝑠 𝑖𝑗 ) − 𝐶𝑜𝑣(𝑓 𝑖𝑗 , 𝑠 𝑖𝑗 )
∑ 𝑁 𝑖=1 ∑ 𝑁 𝑗=1 𝑉𝑎𝑟(𝑓 𝑖𝑗 − 𝑠 𝑖𝑗 )+ (ѳ 𝑖𝑗 − ẟ 𝑖𝑗 )2 (3.20) Chúng ta cũng có thể thấy rằng:
Theo Ledoit & Wolf (2003) đã chỉ ra rằng:
Tổng phương sai tiệm cận: ԉ = ∑ ∑ 𝐴𝑠𝑦𝑉𝑎𝑟[√𝑇𝑠 𝑖𝑗 ]
Tổng hiệp phương sai tiệm cận:
Vì vậy, từ phương trình (3.20) có suy ra như sau:
3.3.4 Ước lượng ma trận hiệp phương sai co gọn tuyến tính trên ma trận đơn vị (Shrinkage towards Identity Matrix – STIM) Ước lượng ma trận hiệp phương sai co gọn tuyến tính dựa trên ma trận đơn vị (Identity Matrix) là sự kết hợp tuyến tính giữa MTHPS mẫu (SCM) với ma trận đơn vị Ma trận đơn vị đóng vai trò là ma trận mục tiêu, với tất cả các phần tử trên đường chéo bằng một và các phần tử còn lại bằng 0 Ma trận đơn vị không có phương sai nhưng có nhiều sai lệch so với ma trận hiệp phương sai chuẩn Mặt khác, MTHPS mẫu có nhiều phương sai nhưng không có độ lệch (bias) Bằng cách kết hợp hai ma trận này, có thể tạo ra MTHPS tốt hơn so với ma trận ước tính của từng ma trận riêng lẻ
Hình 3.1 Phép chiếu của MTHPS co gọn tuyến tính trên ma trận đơn vị
Giả sử ∑ là MTHPS chuẩn, S biểu thị MTHPS mẫu, I là ma trận đơn vị MTHPS co gọn tuyến tính dựa trên ma trận đơn vị (∑ ∗ ) sẽ được đo lường như sau:
𝛿 2 𝑆 (3.26) Trong đó: μ là MTHPS trung bình, được xác định là tích vô hướng của MTHPS chuẩn ∑ và ma trận đơn vị I Được ước lượng như sau:
𝜎 2 là phương sai, được tính toán bằng khoảng cách Euclide bình phương giữa MTHPS chuẩn ∑ và tích của MTHPS trung bình và ma trận đơn vị μI Được ước tính như sau:
𝛽 2 là khoảng cách bình phương kỳ vọng giữa MTHPS mẫu S và MTHPS chuẩn
∑ Được ước tính như sau:
𝛿 2 là khoảng cách bình phương kỳ vọng giữa MTHPS mẫu S và tích của MTHPS trung bình và ma trận đơn vị μI Được ước tính như sau:
𝛼 2 và 𝛽 2 là các tham số được sử dụng để kiểm soát mức độ co gọn, được áp dụng cho MTHPS mẫu S
3.3.5 Ước lượng ma trận hiệp phương sai co gọn phi tuyến tính (Non-linear Shrinkage)
Theo Ledoit & Wolf (2020), việc ước lượng MTHPS theo phương pháp co gọn phi tuyến tính cần đảm bảo cân bằng giữa ba yếu tố: tốc độ tính toán, mức độ chính xác và tính minh bạch Cụ thể, MTHPS theo phương pháp Non-linear shrinkage được xác định theo các bước như sau:
Bước 1: Ma trận hiệp phương sai mẫu (S)
Mục đích của bước này là tạo một biểu diễn cơ bản của dữ liệu qua MTHPS mẫu
Ma trận này phản ánh mối quan hệ tương quan giữa các cổ phiếu trong danh mục
𝒏𝑿 𝑻 𝑿 trong đó X là ma trận dữ liệu với n quan sát và p cổ phiếu
Bước 2 : Phân tích giá trị riêng (Eigendecomposition)
Phân tích eigendecomposition giúp phân tách MTHPS thành các thành phần riêng biệt, cho phép chúng ta xem xét các hướng biến động chính trong dữ liệu
Công thức: S = UΛU T với U là ma trận các vector riêng và Λ là ma trận đường chéo chứa các giá trị riêng 𝝀 𝒊 , (i = 1,….,p)
Bước 3 : Tính toán băng thông h
Mục đích xác định băng thông h cho việc ước lượng mật độ, quan trọng trong việc làm mịn các ước lượng
Lựa chọn này dựa trên lý thuyết ước lượng mật độ trong không gian nhiều chiều
Bước 4 : Ước lượng mật độ Kernel và biến đổi Hilbert Ước lượng mật độ và biến đổi Hilbert cung cấp thông tin về phân bố và cấu trúc của các giá trị riêng, giúp điều chỉnh các giá trị riêng trong MTHPS ước lượng Ước lượng mật độ Kernel:
Bước 5 : Tái cấu trúc ma trận hiệp phương sai
Mục đích của bước này là sử dụng các giá trị riêng đã được điều chỉnh thông qua ước lượng mật độ và biến đổi Hilbert để xây dựng lại MTHPS, nhằm giảm thiểu sai số ước lượng và cải thiện các đặc tính của MTHPS
Trong đó, 𝐝𝐢𝐚𝐠(𝐝)̃ là ma trận đường chéo chứa các giá trị 𝐝̃ 𝒊 đã được điều chỉnh từ ước lượng mật độ là biến đổi Hilbert
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Dữ liệu
Dữ liệu được sử dụng trong nghiên cứu này bao gồm chuỗi giá hàng tuần được xác định cho tất cả các cổ phiếu liên quan Lợi nhuận được đo lường dựa trên giá điều chỉnh, bao gồm cổ tức và thay đổi vốn từ việc chia tách cổ phiếu Tác giả chia bộ dữ liệu mẫu quan sát D(t) thành hai phần, W và V W là giai đoạn khởi tạo được sử dụng để ước tính MTHPS (được gọi là in–the–sample), trong khi V là giai đoạn thử nghiệm để đánh giá tính hiệu quả của các phương pháp ước tính (được gọi là out–of–sample)
Trong nghiên cứu này, có tổng cộng 313 số quan sát D(t), với mỗi quan sát tương ứng với một đơn vị thời gian tính bằng tuần từ ngày 01 tháng 01 năm 2018 đến ngày 31 tháng 12 năm 2023 Giai đoạn khởi tạo W kéo dài 152 tuần, tương đương với khoảng thời gian hai năm từ ngày 01 tháng 01 năm 2018 đến ngày 01 tháng
01 năm 2020, trong khi bộ dữ liệu còn lại từ ngày 01 tháng 01 năm 2020 đến ngày 31 tháng 12 năm 2023 là giai đoạn đánh giá V, kéo dài 208 tuần Nghiên cứu tập trung vào các công ty niêm yết trên Sở Giao dịch Chứng khoán Thành phố Hồ Chí Minh (HOSE) có thời gian ít nhất hai năm kể từ khi chào bán công khai lần đầu (IPO) Trên thị trường này, số lượng cổ phiếu niêm yết có thể thay đổi mỗi năm do sự xuất hiện của các công ty mới và việc hủy niêm yết của một số công ty khác Trong khoảng thời gian từ 2018 đến 2023, tổng số mã cổ phiếu tại HOSE luôn giao động từ 369 đến 407 mã Bên cạnh đó, chuỗi dữ liệu liên quan đến chỉ số VN-Index cũng được thu thập trong cùng thời gian nghiên cứu, VN-Index đại diện cho sự hoạt động của thị trường chung
Bảng 4.1 Số lượng mã cổ phiếu biến động từ năm 2018 – 2023 trên sàn
HOSE Thông tin mô tả 2018 2019 2020 2021 2022 2023
Nguồn: Tổng hợp của tác giả
Phương pháp kiểm định các phương pháp ước lượng ma trận hiệp phương sai
Để đánh giá hiệu quả của phương pháp ước lượng MTHPS co gọn phi tuyến tính và các phương pháp ước lượng khác trong việc lựa chọn DMĐT tối ưu, tác giả đã xây dựng và áp dụng một quy trình kiểm định (backtesting process) trong bài khóa luận này bằng cách sử dụng ngôn ngữ lập trình Python Quy trình kiểm định này cho phép tác giả đánh giá tính khả thi và tiềm năng ứng dụng của các phương pháp ước lượng trong tương lai, dựa trên chuỗi dữ liệu giá cổ phiếu trong quá khứ của DMĐT Quy trình kiểm định này được thực hiện theo các bước như sau:
Bước 1: Tác giả chia bộ dữ liệu mẫu quan sát D(t) thành hai phần W và V Trong đó, W được sử dụng làm giai đoạn khởi tạo để ước tính ma trận hiệp phương sai (giai đoạn này thường được gọi là in–the–sample), còn V được dùng để kiểm định tính hiệu quả của các phương pháp ước lượng trong việc lựa chọn danh mục đầu tư (giai đoạn này được gọi là out–of–sample) Trong nghiên cứu này, tổng số điểm dữ liệu quan sát D(t) là 313, mỗi điểm dữ liệu tương ứng với đơn vị thời gian là tuần Giai đoạn khởi tạo W kéo dài 152 tuần, tương đương hai năm, và giai đoạn kiểm định V kéo dài 208 tuần
Bước 2: Sử dụng dữ liệu trong giai đoạn khởi tạo W để ước tính MTHPS và dùng ma trận này làm biến đầu vào trong mô hình tối ưu để lựa chọn DMĐT tối ưu (Mô hình tối ưu này được trình bày chi tiết trong phần 3.2) Sau đó, tiến hành đánh giá kết quả lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu này trên điểm dữ liệu 𝑡 𝑤+1 Các tiêu chí được sử dụng để đánh giá DMĐT tối ưu có thể bao gồm: lợi nhuận của danh mục, rủi ro của danh mục, mức lỗ tối đa của danh mục, hoặc lợi nhuận vượt trội của danh mục so với lợi nhuận của thị trường
Bước 3: Thay thế điểm dữ liệu 𝑡 1 bằng điểm dữ liệu 𝑡 𝑤+1 trong phần dữ liệu khởi tạo W để tạo thành 𝑊 1 , sau đó tiếp tục quá trình lựa chọn DMĐT tối ưu và đánh giá kết quả lựa chọn này như trong bước hai trên điểm dữ liệu 𝑡 𝑤+2 Quá trình này được thực hiện liên tục và lặp lại trong suốt giai đoạn kiểm định V và kết thúc tại thời điểm 𝑡 𝑣+𝑤
Bước 4: Tính toán và xuất kết quả kiểm định trong suốt giai đoạn kiểm định V
Các tiêu chí được sử dụng để đánh giá quá trình lựa chọn DMĐT trong giai đoạn kiểm định V bao gồm: lợi nhuận trung bình, mức biến động trung bình, tỷ trọng thay đổi danh mục, mức lỗ tối đa, và lợi nhuận vượt trội của danh mục so với lợi nhuận của thị trường
Một điểm cần lưu ý là chi phí giao dịch cũng được tính đến trong suốt quá trình kiểm định này Mỗi lần trạng thái DMĐT thay đổi theo kết quả tối ưu đều phải chịu chi phí giao dịch Trong khóa luận này, chi phí giao dịch được tính bằng 0.3% tổng giá trị giao dịch mua và bán cổ phiếu trong DMĐT, đây là mức chi phí giao dịch mà các công ty chứng khoán hiện nay đang áp dụng với các nhà đầu tư
Tiến trình kiểm định trên được mô tả thông qua sơ đồ dưới đây:
Hình 4.1 Mô tả tiến trình kiểm định danh mục đầu tư tối ưu
Chi phí giao dịch
Tác động của chi phí giao dịch lên lợi nhuận của DMĐT là rất đáng kể, đặc biệt đối với các danh mục được tái cơ cấu thường xuyên Bằng cách tích hợp chi phí giao dịch vào quá trình tối ưu hóa, nhà đầu tư có thể kiểm soát số lượng giao dịch và các hoạt động tái cơ cấu danh mục, giúp giảm thiểu sự không chắc chắn trong đầu tư và thu hút người mua Các nghiên cứu trước đây, chẳng hạn như của
Ledoit & Wolf (2003), không xem xét chi phí giao dịch, điều này có thể ảnh hưởng lớn đến kết quả của danh mục đầu tư Các nghiên cứu gần đây hơn, như của DeMiguel và cộng sự (2009) và Han (2018), đã chú trọng nhiều hơn đến chi phí giao dịch trong các phương pháp tối ưu hóa DMĐT Các nghiên cứu này sử dụng các chỉ số vòng quay để đánh giá mức độ điều chỉnh DMĐT qua các giai đoạn khác nhau và tác động của chi phí giao dịch lên các chiến lược tối ưu hóa khác nhau Chi phí giao dịch cũng được xem xét trong quá trình kiểm định Mỗi khi DMĐT được điều chỉnh dựa trên kết quả tối ưu, chi phí giao dịch sẽ phát
𝑊 𝑣−1 Điểm kiểm định 𝑡 𝑤+2 Điểm kiểm định 𝑡𝑤+𝑣 sinh Trong khóa luận này, chi phí giao dịch được tác giả sử dụng là 0.3% tổng giá trị mỗi lần mua hoặc bán trong DMĐT, phản ánh tỷ lệ thực tế được áp dụng tại hầu hết các công ty chứng khoán trên thị trường chứng khoán Việt Nam.
Hiệu suất của danh mục trong khoảng thời gian kiểm định
Bảng 4.2 Kết quả các phương pháp ước lượng MTHPS trong giai đoạn kiểm định 01/01/2020 đến 31/12/2023
Tiêu chí đánh giá hiệu quả danh mục đầu tư
Lợi nhuận của danh mục (năm)
Rủi ro của danh mục (năm)
Tỷ lệ thay đổi trạng thái danh mục (hàng tuần)
Hệ số vượt trội Alpha
Nguồn: Tính toán của tác giả
Bảng 4.3 Mô phỏng kết quả các tiêu chí đánh giá trong khoảng thời gian kiểm định 01/01/2020 đến 31/12/2023 Phương pháp ước lượng
VN-INDEX STIM SSIM Non-linear
Lợi nhuận của danh mục
Rủi ro của danh mục
Tỷ lệ thay đổi trạng thái danh mục
Nguồn: Tổng hợp từ quá trình phân tích của tác giả
Kết quả nghiên cứu cho thấy, việc lựa chọn DMĐT dựa trên phương pháp ước lượng co gọn phi tuyến tính (Non-linear shrinkage) cho kết quả tốt hơn nhiều so với phương pháp ước lượng co gọn tuyến tính (STIM, SSIM) và kết quả của thị trường chung (VN-INDEX) trên hầu hết các khía cạnh của DMĐT như yếu tố lợi nhuận, rủi ro danh mục, tỷ lệ Sharpe, tỷ lệ chiến thắng hay hệ số vượt trội Alpha trong giai đoạn kiểm định từ 01/01/2020 đến 31/12/2023
Cụ thể, kết quả Bảng 4.2 cho chúng ta thấy rằng lợi nhuận trung bình hàng năm của danh mục theo phương pháp Non-linear shrinkage đạt giá trị cao nhất trong giai đoạn kiểm định, tương ứng với 11,92%/năm cao hơn so với 11,32%/năm theo phương pháp co gọn tuyến tính STIM và 7,11%/năm theo phương pháp SSIM, đồng thời vượt trội rất nhiều (gấp 3 lần) so với chỉ số VN-Index
Kết quả kiểm định cũng cho thấy (Bảng 4.3), mức độ rủi ro của DMĐT theo phương pháp Non-linear shrinkage cũng thấp nhất với mức biến động hàng năm chỉ khoảng 7,7%/năm so với 11,56%/năm của phương pháp STIM và 7,93%/năm của phương pháp SSIM Đặc biệt, mức độ rủi ro này thấp hơn rất nhiều so với mức biến động của chỉ số VN-Index (nhỏ hơn 2,8 lần) trong suốt giai đoạn kiểm định Chính sự vượt trội ở hai tiêu chí lợi nhuận và rủi ro trung bình của DMĐT theo phương pháp Non-linear shrinkage đã dẫn đến tỷ lệ Sharpe của phương pháp Non-linear shrinkage (1,5 lần) cao hơn nhiều so với chỉ số Sharpe của hai phương pháp còn lại (1,39 lần và 0,65 lần) và chỉ số VN-Index (0,051 lần) Tỷ lệ Sharpe cho thấy rằng, nhà đầu tư theo phương pháp Non-linear shrinkage sẽ được bù đắp một mức lợi nhuận vượt trội (đã trừ đi mức lãi suất phi rủi ro) lên đến 1,5%, nếu họ chấp nhận mức độ rủi ro của danh mục tăng thêm 1%, đây được xem là mức bù đắp cao nếu so sánh với các DMĐT được lựa chọn theo hai phương pháp co gọn tuyến tính còn lại
Sự vượt trội về mặt lợi nhuận của phương pháp Non-linear shrinkage còn được thể hiện qua hệ số vượt trội Alpha trong giai đoạn kiểm định Hệ số Alpha của phương pháp Non-linear shrinkage có giá trị vượt trội so với lợi nhuận lý thuyết được tính theo mô hình CAPM lên đến 6,93%, trong khi lợi nhuận vượt trội của phương pháp co gọn tuyến tính STIM và SSIM lần lược là 6,3% và 2,41%
Xét về mức độ rủi ro của DMĐT trong điều kiện thị trường có diễn biến xấu nhất, thì phương pháp co gọn phi tuyến tính Non-linear shrinkage vẫn mang lại kết quả an toàn hơn nhiều so với phương pháp ước lượng co gọn tuyến tính SSIM Cụ thể mức độ lỗ tối đa của danh mục theo phương pháp Non-linear shrinkage là -17,14% thấp hơn nhiều so với phương pháp STIM là - 34,93%, tuy nhiên phương pháp co gọn tuyến tính STIM lại cho kết quả an toàn nhất với mức độ lỗ tối đa chỉ là -15,26% Đánh giá về tỷ lệ thay đổi trạng thái DMĐT, chúng ta có thể thấy rằng DMĐT với phương pháp Non-linear shrinkage có sự ổn định hơn rất nhiều so với phương pháp STIM Cụ thể, tỷ lệ thay đổi danh mục ước tính của phương pháp Non- linear shrinkage trung bình chỉ khoảng 9,25% trên một lần điều chỉnh danh mục, trong khi đó sự thay đổi này tương đối cao so với phương pháp co gọn STIM là 11,5%/tuần Tỷ lệ thay đổi trạng thái DMĐT của phương pháp Non-linear shrinkage thấp, điều này có nghĩa là DMĐT theo phương pháp này sẽ ít có sự điều chỉnh và điều này giúp tiết kiệm chi phí giao dịch và tạo ra nhiều lợi nhuận hơn cho DMĐT theo phương pháp này
Cuối cùng, với tiêu chí tỷ lệ chiến thắng, phương pháp Non-linear shrinkage với 57,1% cũng cho thấy sự vượt trội so với hai phương pháp co gọn tuyến tính STIM, SSIM với tỷ lệ chiến thắng khoảng 56,4% Khi kết hợp tiêu chí này với các tiêu chí liên quan đến lợi nhuận và rủi ro của DMĐT, chúng ta có thể kết luận rằng phương pháp ước lượng Non-linear shrinkage mang đến nhiều khả năng chiến thắng hơn cho nhà đầu tư so với hai phương pháp còn lại
Kết quả nghiên cứu một lần nữa ủng hộ các nghiên cứu của Ledoit & Wolf (2020, 2022) khi chứng minh rằng, phương pháp Non-linear Shrinkage giúp cải thiện đáng kể độ chính xác trong ước lượng MTHPS, qua đó hỗ trợ tối ưu hóa hiệu quả danh mục đầu tư Bằng cách điều chỉnh phi tuyến các giá trị riêng của ma trận hiệp phương sai, phương pháp này giúp giảm thiểu ảnh hưởng của nhiễu và cải thiện khả năng quản lý rủi ro trong điều kiện dữ liệu phức tạp và đa chiều Đặc biệt, nó là công cụ quý giá trong việc ngăn ngừa tình trạng quá khớp (overfitting), mở ra cơ hội cho việc đưa ra các quyết định đầu tư chính xác và hiệu quả hơn
Trong chương 4, tác giả đã trình bày về kết quả nghiên cứu thực nghiệm
Cụ thể, cách kiểm định tính hiệu quả của các DMĐT dựa trên các cách ước lượng MTHPS khác nhau như: co gọn tuyến tính theo mô hình một nhân tố, co gọn tuyến tính theo mô hình chỉ số đơn và co gọn phi tuyến tính dựa trên bộ tiêu chí được lựa chọn trong khoảng thời gian ngoài mẫu (out–of–sample) từ 01/01/2020 – 31/12/2023
Trong chương tiếp theo, khóa luận sẽ trình bày về các kết luận, khuyến khị cho các nhà đầu tư khi sử dụng phương pháp co gọn phi tuyến tính, những hạn chế của nghiên cứu và đề xuất hướng nghiên cứu trong tương lai.