Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Dao động của dầm trên nền phi tuyến bậc ba chịu tải di động bằng phương pháp phần tử hữu hạn

- Một chương trình máy tinh lập trình viết bang ngôn ngữ MATLAB dé phântích ứng xử động của dầm dựa trên cơ sở lý thuyết và các phương pháp giải thuđược kết quả để tìm hiểu; kiểm chứng đ

DANH MUC BANG

ĐẶT VAN DE

Bài toán phân tích ứng xu động lực học của dầm trên nên đất chịu tải trọng di động là một trong những van dé thu hút được nhiều sự quan tâm nghiên cứu trên toàn thế giới từ trước đến nay Bài toán này giúp mô tả và khảo sát dự đoán ứng xử cho nhiều kết cau trong thực tế như công trình xây dựng, kết cau cầu, đường sắt cao tốc, mặt đường cất hạ cánh sân bay, ông dẫn chất lỏng theo phương ngang Để phân tích ứng xử, mô hình được sử dụng trong một số kết cầu trên là một chiều dài dầm trên nên dan hồi chịu tải trọng di động Tùy thuộc vào tính chất cơ học của đất nên cũng như sự tương tác trong thực tế giữa kết cấu và ứng xử cơ lý của đất nền mà sự lựa chọn mô hình đất nền cho phù hợp.

Mô hình nén đàn hồi tuyến tính Winkler là một trong những mô hình được đưa ra sớm nhất, mô hình này xem đất nền là một tập hợp đồng nhất của những vùng không gian gần nhau nhưng tôn tại độc lập tuyến tính với nhau, mỗi vùng là một lò xo đàn hỗi có quan hệ giữa nội lực và chuyển vị là tuyến tính được thể hiện qua độ cứng k Tuy còn khá đơn giản nhưng mô hình này đã tạo cơ sở tiền dé cho các bài toán nghiên cứu ứng xử của dầm trên nên ra đời Giới hạn của mô hình Winkler là không phản ánh được sự liên tục liên kết với nhau giữa các vùng đất nền lân cận nhau, nên chỉ áp dụng đối với môi trường đất rời Nhược điểm này được khắc phục bằng cách kế thêm vào mô hình thông số thứ hai thể hiện sự tương tác giữa các lò xo đại diện cho mỗi vùng đất nên.

Một số mô hình nên đàn hồi tuyến tính hai thông số nối bật như mô hình nềnFilonenko-Borodich, mô hình nền Hetenyi, mô hình nền Pasternak Tuy nhiên mô hình nên đàn hồi tuyến tinh hai thông số vẫn chưa đủ phức tạp dé phản ánh ứng xử của nên trong thực tế Hiện nay, cũng có khá nhiều mô hình nền khác với nhiều thông số hơn được dé xuất dé thu được kết quả bài toán chính xác hơn, gần với thực tế hơn Xuất phát từ thực tiễn khoa học chưa bao giờ hoàn thiện cùng với sự phát trình làm việc với dầm.

Các mô hình nền này tỏa ra ưu thế khi kết quả phân tích động lực học thu được nghiệm gần đúng hơn so với thực tế Điều này đã được T.Dahlberg (2002) [10] khăng định qua nghiên cứu biến dạng của đường ray với lần lượt mô hình nên tuyến tinh, mô hình nên phi tuyến và kết quả thí nghiệm trong thực tế Trong thời gian gần đây, các mô hình phi tuyến, mô hình nên phi tuyến ba thông số xét đến tính cản nhớt của đất nên và phi tuyến bậc ba theo độ võng đã được sử dụng rộng rãi trong các bài toán phân tích ứng xử dam trên nên chịu tải trọng động như các nghiên cứu của tác giả M.H.Kargarnovin, D.Younesian [6, 13, 14].

Gần đây nhất, năm 2013-2015, nhóm tác giả P.Castro Jorge, F.M.F Simoes, A Pinto da Costa và một số nghiên cứu của nhóm Ding (2013) khi nghiên cứu ứng xử của dầm Euler — Bernoulli chịu tai trọng động, đã sử dụng mô hình nên phi tuyến nhiều thông số để xét đến ứng xử phi tuyến và tính can nhớt của nên, tac động đồng thời của biến dạng cắt của dầm và nên [11], [29], [32] Có thé thay rang mô hình nền này đang được các nhà nghiên cứu trên thế giới quan tâm nhiều và cũng được dé xuất trong thời gian gần đây Đây cũng là mô hình nền được sử dụng trong luận văn này.

Như vậy dé tài nghiên cứu “Dao động của dam trên nên phi tuyến bậc ba chịu tải trọng di động bằng phương pháp phan tử hữu hạn” sử dụng mô hình nền đàn nhớt phi tuyến bậc ba với ba thông số độc lập là hệ số nên tuyến tính k,, hệ sé nén phi tuyén bac ba k,, hệ số cản nhớt 4 Day là mô hình phan ánh được mức độ phức tạp trong quá trình ứng xử thực tế của đất nền tương tác với dầm khi biến dạng như mô hình đầm Euler - Bernoulli, khi chịu tải trọng di động Mô hình này được xem là xu hướng tiên tiễn và được sử dụng ở các nghiên cứu cùng lĩnh vực hiện nay Đây cũng là lý do chọn dé tài. chịu tải trong di động bằng phương pháp phan tử hữu han, các nội dung cụ thể như

Xây dựng mô hình bài toán gồm có dầm Euler - Bernoulli một nhịp, trên nên phi tuyến bậc ba với một số thông số nền độc lập, tải trọng là lực tập trung di động trên dầm.

Tìm hiểu phương pháp phan tử hữu hạn áp dung trong bài toán này: Chia dầm thành nhiều phan tử, đánh số nút, số phan tu, chon ham dang thich hop, trên cơ sở phương trình nang lượng thiết lập ma trận độ cứng phần tử K“, ma trận khối lượng MỨ, ma trận cản C”và vectơ phan tur tai P*, dùng ma trận chỉ số ghép nối các ma trận phan tử trên mô hình tương thích và thiết lập các ma trận chỉ số, áp đặt điều kiện biên để được các ma trận độ cứng tổng thể >M : ằC K: dựa trờn sự cõn băng động, thiết lập phương trình chủ đạo, phương trình nay có xét ứng xử phi tuyến của nên nên là phương trình phi tuyến; Tìm hiểu phương pháp số Newmark tích phân từng bước trên toàn miễn thời gian để giải phương trình chuyển động chủ đạo.

Một chương trình máy tính lập trình viết bằng ngôn ngữ MATLAB để phân tích ứng xử động của dam dựa trên cơ sở lý thuyết và các phương pháp giải thu được kết quả để tìm hiểu; kiểm chứng độ chính xác của chương trình máy tính thông qua việc so sánh kết quả với các nghiên cứu khác trong cùng một bài toán nhưng phương pháp giải khác nhau.

Khảo sát sự ảnh hưởng của các thông sô nghiên cứu đên kêt quả ứng xử động của dầm và đánh giá kết quả. tìm hiểu cơ sở lý thuyết và thực hiện tính toán số trên máy tính dé đánh giá kết quả.

Chi tiết hơn phương pháp này được trình bày như sau:

- Tim hiểu mô hình kết cấu dựa trên các mô hình đã có từ các tài liệu tham khảo là các tạp chí khoa học trong và ngoài nước đồng thời phát triển thêm thông số nghiên cứu Sự khác biệt là khảo sát dam Euler- Becnoulli của dam và mô hình chi tiết hơn của tải trọng di động.

- Dua vào co sở lý thuyết động lực học, thiết lập phương trình vi phân chuyển động của cả hệ bao gồm kết cau bên trên và nên Tìm hiểu phương pháp phần tử hữu hạn rời rạc hóa miền khảo sát, chọn hàm dạng Hermit bậc 3 Phương trình chuyển động sau khi thiết lập được giải băng phương pháp tích phân số và Newmark trên toàn miễn thời gian dựa trên chương trình máy tính được viết băng ngôn ngữ MATLAB.

- Kiém tra độ chính xác của chương trình máy tính đã viết bằng cách so sánh một số kết quả với các nghiên cứu khác; Khảo sát sự ảnh hưởng của các thông số nghiên cứu đến kết quả của bài toán và nêu nhận xét kết quả.

CÂU TRÚC LUẬN VĂN

Luận văn được trình bay trong năm chương như sau: Dat vấn dé, mục tiêu nghiên cứu, phương pháp thực hiện và cầu trúc luận văn được trình bày trong chương mở dau Chương 2 mô tả về tổng quan tình hình nghiên cứu liên quan đến dé tài đã được công bố trong và ngoài nước thông qua danh mục tài liệu tham khảo, đồng thời qua đó thé hiện sự đóng góp của dé tài so với các tài liệu tham khảo này.

Tiếp theo, phan co sở lý thuyết của luận văn gồm: Lý thuyết mô hình dam Euler -Bernoulli, mô hình nên, tải trọng Từ đó thiết lập hệ phương trình vi phân phi tuyến chủ đạo; Lý thuyết phương pháp phần tử hữu hạn, tích phân trên toàn miễn thời gian, phương pháp số Newmark làm cơ sở để giải hệ phương trình tìm ứng xử động lực học của dầm; Sơ đồ thuật toán của chương trình MATLAB được trình bay chi tiết trong chương 3 của luận văn Chương 4 mô tả kết quả số của đề tài gồm có đánh chuyển vị đứng của dầm và sự hội tụ của bài toán Kết luận và hướng phát triển của dé tài cũng được thé hiện trong chương cuối cùng Ngoài ra còn có: Danh mục tài liệu tham khảo; Mã nguồn chương trình MATLAB cũng được in ở phan phụ lục của

GIOI THIEU

Chương này trình bay tong quan các dé tài nghiên cứu có liên quan đến nội dung Luận văn, đã được công bố trong và ngoài nước Tình hình nghiên cứu ngoài nước phát triển mạnh mẽ với các dé tài đa dạng, phong phú được trình bày theo phân loại dựa trên mô hình ứng xử đất nên Tình hình nghiên cứu trong nước còn hạn chế chưa có nhiều đề tài liên quan Sự đóng góp của Luận văn cũng được trình bày ở chương này, qua đó cho thấy được tính mới và sự cần thiết của đề tài.

TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU NGOÀI NƯỚC

E.Winkler đưa ra mô hình nền tuyến tính năm 1867, mô hình này được xem là còn khá đơn giản chưa phản ánh hết được sự làm việc cơ lý của đất nền nhưng chứa đựng nhiều giá trị lý thuyết và thực tiễn Sự ra đời mô hình Winkler được xem tạo tiền dé cho việc nghiên cứu về ứng xử của dam trên các loại đất nền khác nhau phát triển mạnh và chuyên sâu hon Ở mục này, các dé tài nghiên cứu liên quan noi bật đã công bố được chia làm ba nhóm dựa theo cách mô tả sự làm việc của nền đất trong quá trình tương tác với dam Cu thé như sau:

Dâm trên nên đàn hôi tuyên tính, dâm trên nên đàn hồi phi tuyên, dâm trên nên đàn nhớt phi tuyến.

2.2.1 Nhóm nghiên cứu ứng xử của dầm trên nén đàn hồi tuyến tính

Mô hình nên dan hồi tuyến tính Winkler xem đất nền là một tập hợp đồng nhất của những vùng không gian gan nhau nhưng tôn tại độc lập tuyến tính với nhau, mỗi vùng là một lò xo đàn hồi có độ cứng & Mỗi quan hệ giữa chuyển vi w(x, y) và áp lực p tại một điểm bat kỳ được tinh qua độ cứng k như sau: pŒ,y) = kw(x, Y) (2.1) q z

Hình 2.1 Mô hình kết cau trên nền đàn hồi tuyến tinh Winkler

Nhận thây, một sô nghiên cứu được xem là nôi bật vê ứng xử của dâm trên nên dan hôi tuyén tính như sau:

Năm 1996, S.Y.Lee, J.C.Lin, K.C.Hsu [25] nghiên cứu sự bất ồn định của dam Euler-Bernoulli có tiết diện không đều, trên nền đàn hồi chịu lực tiếp tuyến cục bộ.

Nghiên cứu kết luận, đối với trường hợp dâm hai đầu ngàm, hệ số tiếp tuyến không ảnh hưởng đến tải trọng giới han Đối với dam có một đầu ngàm, vùng bat 6n định của dam tăng khi modul đàn hồi của đất nên tăng và hệ số tiếp tuyến tăng.

Năm 1996, D.Thambiratnam, Y.Zhuge [15] dựa trên phương pháp phan tử hữu hạn để phân tích bài toán động lực học của dầm trên nền đàn hồi với các điều kiện biên khác nhau, chịu tải trọng tập trung di động Xem xét sự ảnh hưởng của các thông số như độ cứng nên, tốc độ tải trọng, chiều dài dầm Kết quả đã chỉ ra rằng đối với dầm đặt trên nền đàn hồi thì dầm với chiều dài lớn hơn 10m có thé là đại diện cho dầm vô hạn để phân tích dao động.

Năm 2009, E.Ozkaya, M.Sarig, H.Boyaci [17] băng phương pháp tỉ lệ nhân MSM là một trong những kỹ thuật nhiễu loạn, xem xét dao động phi tuyến của dầm Euler-Bernoulli cong ít có hai đầu tựa đơn, chịu khối lượng tập trung Ở đây xét đường cong có dạng parabol hoặc dạng hình sin.

Năm 2011, S.E.Mottaghian, M.Mofid, P.Alanjari [20] đưa ra lời giải chính xác cho dao động tự do của dâm có các điêu kiện biên khác nhau trên nên đàn hôi. mô tả thông qua duy nhất thông số độ cứng nền k, nên khó xác định được giá trị phù hợp của thông số Trong đó mô tả mỗi vùng đất nên là một lò xo độc lập tuyến tính gây mat tính liên kết nhau của đất nền Như trên hình 2.2, cho thay sự mat liên tục về độ võng trong môi trường đất nên khi so sánh biến dạng bé mặt đất nên của mô hình Winker so với thực tế Nhận thay, với mô hình nền Winkler các điểm trong vùng chịu tải có độ võng như nhau, khác với giá trị độ võng thay đổi liên tục của các điểm trong thực tế.

Hình 2.2 Ứng xử nền Winler (a) Theo lý thuyết (b) Trong thực tế

Bang việc thêm vào thông số thứ hai thé hiện tính tương tác giữa các lò xo, mô hình nền đàn hỏi hai thông số đã thé hiện được sự liên tục của đất nền Cụ thé một số mô hình nên hai thông số tiêu biểu như:

Mô hình nền Filonenko-Borodich: Mô hình nay sử dụng một tam mỏng chịu tác dung của lực kéo T là hăng số để kết nối các lò xo với nhau, tạo tính liên tục như hình 2.3 Mối quan hệ giữa chuyển vị W và áp lực p tại một điểm bất kỳ được thé hiện qua công thức sau: p(x.y) = kw(x,y)—TV”w(+x, y) (2.2)

Hình 2.3 Mô hình nên Filonenko-Borodich

Mô hình nên Pasternak: Mô hình này sử dụng một tam hay dam chịu biến dạng cat để kết nối các điểm cuối lò xo thể hiện sự tương tác cat giữa các lò xo như hình 2.4 Mối quan hệ giữa chuyển vị w và áp lực p tại một điểm bat kỳ được thé hiện qua công thức sau: p(x,y)= kw(x,y)—Œ,Vw(x, y) (2.3)

Shear Layer with Shear modulus G

Hình 2.4 Mô hình nền Pasternak 2 thông số

Mô hình nền Hetenyi: Mô hình này sử dụng một dam hay tam chịu biến dạng uốn để kết nối các lò xo thể hiện sự tương tác giữa các lò xo như hình 2.5 Mối quan hệ giữa chuyển vị w va áp lực p tại một điểm bất ky được thể hiện qua công thức sau: px y) = kw(x,y)— DV°w(x, y) (2.4)

Beam or Plate with flexural rigidity D

Như vậy, so với mô hình nền Winkler, các mô hình nên hai thông số khắc phục được tính không liên tục giữa các vùng đất nền qua đó cải thiện kết quả gần với thực tế hơn Tuy nhiên thông số thứ hai khó xác định chính xác nên có ít nghiên cứu sử dụng các mô hình này.

2.2.2 Nhóm nghiên cứu ứng xứ cua dâm trên nền đàn hoi phi tuyên

Trong thực tế, nền đất có tính chất tăng bền nên cơ lý của đất nền có ứng xử phi tuyến trong quá trình tương tác làm việc với kết cấu dầm Theo các nhà khoa học nghiên cứu trước đây việc giả sử đất nền có ứng xử tuyến tính nhằm đơn giản hóa mô hình tính toán, giảm bớt sự phức tạp về mặt toán học khi mà các công cụ toán học hỗ trợ tính toán chưa cao, đã đem lại hiệu quả nhưng ngược lại kết quả bài toán ứng xử có sai số rất lớn so với thực tế của đất nền Điều này đã được nhà khoa học T.Dahlberg (2002) [10] đề cập thông qua sự khác biệt khá lớn khi so sánh kết quả bài toán trên toàn miễn thời gian giữa hai mô hình nên tuyến tính và nên phi tuyến trong nghiên cứu xem xét mô hình biến dạng của đường ray Cùng với việc thông qua thí nghiệm ông đã xác nhận kết quả mô hình nên phi tuyến phản ánh gần đúng ứng xử của đất nên trong thực tế hơn so với mô hình nên tuyến tính Năm 2004, T.X.Wu, D.J.Thompson [27] bằng phương pháp phan tử hữu han, hai tác giả chỉ ra mô hình nên tuyến tính không phù hợp cho bài toán tương tác giữa bánh xe — đường ray.

Qua các nghiên cứu trên có thê kêt luận răng mô hình nên đàn hoi phi tuyên m6 ta ứng xử cua dat nên gân đúng với thực tê Day là kêt qua dang tin cậy làm cơ sở cho nhiêu nghiên cứu ứng xử của dâm trên nên đàn hôi phi tuyên ra đời Cụ thê một sô nghiên cứu được xem nôi bật như sau:

Năm 1986, V.Birman [7] bài toán phân tích dao động tự do phi tuyến của dầm có hai đầu khớp dựa trên lý thuyết về nên đàn hồi Winkler phi tuyến bậc ba Kết quả phân tích trái ngược với các kết luận trước là sự cần thiết phải kế đến ảnh hưởng của lực dọc trong dầm.

Năm 1996, N.R.Naidu, G.V.Rao [9] bài toán phân tích dao động tự do và ứng xử 6n định của dam có tiết diện thay đổi trên nền đàn hồi phi tuyến chịu tải trọng di động bằng phương pháp phần tử hữu hạn Kết quả số chỉ ra sự ảnh hưởng của điều kiện biên của dầm với các thông số nền khác nhau đến chuyển vị thắng đứng của đâm.

TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU TRONG NƯỚC

Hiện nay trong nước, không có nghiên cứu nao dé cập đền van đê “Dao động của dam trên nên phi tuyến bậc ba chịu tải trọng di động bằng phương pháp phan tw hữu hạn ” Chỉ có một vài đề tài luận văn thạc sỹ sau đây dua ra các nội dung liên quan:

Nguyễn Phương Lan (2010) [35] — Mô hình hỗn hợp cho dầm Timoshenko trên nên đàn hồi — Luận văn Thạc sỹ ngành xây dựng dân dụng và công nghiệp Đại học Bach Khoa Tp.HCM.

Nguyễn Thế Trường Phong (2012) [36] — Phân tích dao động dầm phân lớp chức năng trên nền Winler chịu tải trọng di động điều hòa — Luận văn Thạc sy ngành xây dựng dan dụng và công nghiệp Dai hoc Bách Khoa Tp.HCM.

Tran Văn Sách (2010) [37] — Phân tích ồn định của tam mỏng có chiều dày thay đổi trên nền đàn hồi — Luận văn Thạc sỹ ngành xây dựng dân dụng và công nghiệp Đại học Bách Khoa Tp.HCM.

Lê Văn Thịnh (2015) [38] — Phân tích dao động cua dầm Euler — Bernoulli trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3 bằng phương pháp Galerkin — Luận văn Thạc sỹ ngành xây dựng dân dụng và công nghiệp Đại học Bách Khoa Tp.HCM.

SỰ ĐÓNG GOP CUA DE TÀI

Đề tài tập trung Bài toán phân tích ứng xử động lực học của dầm Euler —Bernoulli trên nền đàn nhớt phi tuyén bậc ba chịu tải trong di động Day là một trong những van dé được quan tâm từ trước đến nay của các nhà khoa học trên thế giới ở lĩnh vực nghiên cứu bài toán dao động của dầm chịu tải di động Đề tài sử dụng mô hình nên với ba thông số xét đến tuyến tính và phi tuyến bậc ba theo độ võng, tính cản nhớt, sự tương tác giữa các lò xo thé hiện liên tục của đất nên Đây là mô hình phản ánh được mức độ phức tạp trong quá trình ứng xử thực tế của đất nền khi tương tác với dầm chịu tải trọng di động, mô hình này được xem là xu hướng tiên tiến và được sử dụng ở các nghiên cứu cùng lĩnh vực hiện nay Như vậy vấn đề nghiên cứu “Dao động của dam trên nên phi tuyến bậc ba chịu tải trọng di động bằng phương pháp phan tử hữu hạn” giúp cho việc mô tả và khảo sát ứng xử của nhiều kết cầu trong thực tế như kết cấu cầu, mặt đường tàu cao tốc, đường sắt, mặt đường cất hạ cánh sân bay, ống dẫn chất lỏng trở nên chính xác hơn Tuy nhiên,hiện nay trong nước vẫn chưa có nghiên cứu nao dé cập đến van dé này Do đó đề tài luận văn cũng nhăm mục đích đóng góp như một nguồn tài liệu tham khảo đáng tin cậy cho những nghiên cứu sau này Qua đó, thé hiện tính mới của luận văn giải bang phương pháp phan tử hữu hạn chia chiều dài dầm thành nhiều phan tử 7, cho kết qua hội tụ nhanh với thời gian vài chục phút ít tốn kém tài nguyên của máy tính hơn so với cách giải của phương pháp Galerkin để cho một kết quả hội tụ phải tốn nhiều tài nguyên của máy tính và mat thời gian ít nhất là 14h, sự can thiết của dé tài luận văn.

KET LUẬN

Tổng quan về các đề tài nghiên cứu bài toán động lực học trên nền đàn nhớt trên nên phi tuyến bậc 3 liên quan đã được trình bày phân loại theo mô hình đất nền từ đơn giản đến phức tap Mô hình nên dan hỏi tuyến tính đơn giản đã giảm bớt sự phức tạp trong tính toán đem lại kết quả khi các công cụ hỗ trợ tính toán còn kém phát triển, tạo tiền dé cho sự ra đời các nghiên cứu bài toán phân tích ứng xử động của dầm Tuy nhiên, chính sự đơn giản trong cách xây dựng mô hình nên đã tạo ra kết quả ứng Xử có sai số lớn so với thực tế Với sự phát triển mạnh của khoa hoc kỹ thuật nhất là công nghệ máy tính, các mô hình nên phi tuyến với nhiều thông số độc lập giúp mô tả gần đúng hơn ứng xử thực tế phức tạp của nên trong quá trình làm việc với dầm đã phần nào khắc phục được kết quả sai số lớn này Luận văn sử dụng mô hình nền dan nhớt phi tuyến bậc ba với ba thông số độc lập của nền, phương trình vi phân chu đạo của hệ cũng được thiết lập, cơ sở lý thuyết bài toán băng phương pháp phan tử hữu hạn chia kết cấu dầm ra nhiều phân tử, thiết lập ma trận độ cứng của hệ kết cau, xây dựng phương trình vi phân chuyển động và được giải bang thuật toán phương pháp số Newmark tích phân trên toàn miễn thời gian Do đó đây là một mô hình tiên tiến và phương pháp giải phù hợp với bài toán mà mô hình ly thuyết dầm khi biến dạng có xét ảnh hưởng của các thông số nên phi tuyến dam

CO SO LY THUYET

Chương này trình bày cơ sở lý thuyết của luận văn Hệ phương trình chuyển động chủ đạo của hệ gom có dầm, nên và tải trọng di động được thiết lập Dam một nhịp được mô hình theo lý thuyết Euler-Bernoulli với tiết diện không đối trên suốt chiều dài dầm, không kế đến khối lượng của đất nên Mô hình nền đàn nhớt phi tuyến bậc ba với các thông số nên tuyến tính và phi tuyến bậc ba theo chuyến vị, cản nhớt Chiu tải trong di động có vận tốc là hang số Phương trình chuyển động của hệ được thiết lập dựa trên nguyên lý cân bằng động và cơ sở của phương pháp phân tử hữu hạn Phương trình chuyển động sau khi thiết lập được giải băng phương pháp tích phân số và Newmark trên toàn miền thời gian dựa trên chương trình máy tính được viết bằng ngôn ngữ MATLAB để phân tích ứng xử động lực học của dầm trên nên phi tuyến cũng được trình bảy trong chương này.

Hình 3.1 Mô hình dầm Eleur-Bernoulli trên nền đàn nhớt phi tuyến phi tuyến bậc ba chịu tải trọng di động

Mô hình của hệ kết cầu gom có dầm một nhịp với các điều kiện biên hai đầu dầm khác nhau trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3 chịu tải trọng di động như trên hình vẽ 3.1 Các đặc trưng chi tiết của hệ được mô tả như sau:

Luận văn sử dụng mô hình dam Euler-Bernoulli với giả thiết rang một mặt cắt ngang bất kì vuông góc với trục dầm vẫn vuông góc với trục dầm sau khi biến dạng để giảm bớt sự phức tạp trong quá trình thiết lập phương trình vi phân chủ đạo cũng như quá trình giải quyết bài toán Sự ảnh hưởng của tính phi tuyến đất nên lên ứng xử động lực hoc của dầm nên mô hình nên 3 thông số gồm yw đàn nhét, tuyến tính k,, &k; phi tuyến bậc 3 theo chuyền vi được lựa chọn dé làm mô hình sử dụng trong luận văn.

3.2.1 Lý thuyết dầm Euler-Bernoulli

Phan này lý thuyết dầm Euler-Bernoulli sẽ được trình bay làm cơ sở cho việc thiết lập phương trình vi phân chủ đạo cho bài toán dầm Euler-Bernoulli trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3 chịu tải di động Nội dung cơ bản của lý thuyết dầm Euler- Bernoulli là giả thiết một mặt cắt ngang bất kì vuông góc với trục dầm vẫn vuông sóc VỚI trục dầm sau khi bién dạng Xét đoạn dầm Euler-Bernouli sau khi chịu lực tác dụng có biến dạng như hình vẽ 3.2.

Goi w(x) la chuyén vi theo phuong thang đứng cua trục trung hòa Vi mat phăng AB vẫn vuông góc với CD sau khi biến dạng nên biến dạng theo phương ngang uy được tính theo biểu thức sau : dw(x) dx

Gọi €,, là biến dang theo trục X và Oy, , Oy, ỉz„ lần lượt là cỏc ứng suất theo uy =-ZN(X) =—Z (3.1) truc X, Y va Z thi bién dang theo trục X được xác định bởi biểu thức :

Vi Oy =0,, =0 nên bién dang theo truc x dugc tinh boi biểu thức sau : bn = toy — (Oy +0) = 2 (3.3) xx FLO xx MOy TO7z, E

Giá trị mô men M tại mặt cắt ngang là

M =~ |ứ„Z4A = E owe) [Z?dA= EI ow) (3.5) 2 2 dx dx

Mặt khác mối quan hệ giữa mô men M, lực cat Q(x) va lực q„(x) tac dụng trên một đơn vị chiêu dài dâm như sau at = Ox) và = a0) (3.6)

Kết hợp với (3.5) với (3.6) được d*w(x) _

Trường hop là bài toán động thì về trái của (3.7) có thêm lực quán tính như sau pp), pA dw)Tả TT — đự (x) (3.8)

3.2.2 Mô hình nên dan nhót phi tuyến bậc 3

Mô hình nền được mô tả trong luận văn như mô hình nền phi tuyến với độ cứng là hàm tuyến tính, phi tuyến bậc ba theo chuyển vị và kế đến tính cản nhớt, được cho bởi biêu thức như sau ÔM(x.f)

P=kw(x,)+k,w`(x,)+u ơ (3.9) trong đó: P lực sinh ra bởi đất nền trên một đơn vị chiều dai dam, & và &, lần lượt là các thông số nên tuyến tính và phi tuyến, lan hệ số cản nhớt của nên, / là đại lượng thời gian, xla tọa độ dọc theo trục dầm, w{z,f) là hàm chuyển vị theo phương đứng.

Tải di động trong mô hình kết cau của bài toán ƒ(x,f) được mô tả như sau: f (x,t) = Fð(x— gữ)) (3.10)

Trong đó: 6 là ham Dirac-Delta, x là tọa độ không gian dọc theo trục dầm

(m); hàm g(t) là đại lượng đại diện cho tính động học của lực di động như sau : g(t)=vt (3.11)Với v là vận tốc lực di động (m/s) còn ứ là đại lượng thời gian (s); #_ là giá tri hang số biên độ của lực di động đơn vi (N).

Tải trọng di động là hai lực tập trung có cùng vận tốc và không đổi theo thời gian:

Trong đó: d(x—vt) là hàm Dirac-Delta, v(m/ s) là vận tốc lực di động,

F.,F,F; là giá trị hằng số biên độ của lực di động đơn vị (N). z7 1?

Mô hình kết cầu dầm Euler-Bernoulli nằm trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc 3 chịu tải trọng di động Dam với tiết diện mặt cắt ngang là hang số A, mô men quán tính J, chiều dài L, khối lượng riêng p và mô dun đàn hồi E Nên ở đây là nền dan nhớt phi tuyến bậc 3 theo độ võng cho bởi phương trình (3.9), g,(x) là ngoại lực tác dụng trên một đơn vị chiều dài dầm theo phương đứng được phương trình sau q„(*)= Fð(x—vf) {k(x +k,w (x,t)+ ped) (3.13)

Trong đó d(x—vt) là ham Dirac delta dùng dé mô tả lực tập trung di động, lúc này biểu thức (3.8) và (3.13) trở thành.

BI— + ĐA =Fð(x—Vf) {fmt} (x.)+“ Š ì (3.14)

Chuyên về của (3.14) thu được phương trình như sau

Với ý nghĩa các đại lượng như sau: p là khói lượng riêng của dầm (kg/m),A là tiết diện mặt cắt ngang dầm (m?), E7 là độ cứng kháng uốn của dam (Nm?), k,là thông số nền tuyến tính (N/m'), w(x, t) là chuyển vị theo phương đứng của dam(m), & là thông số nền phi tuyến tính ( N/m*), ¿¿ là hệ số cản ( Ns/m*), x là tọa độ không gian doc theo trục dầm (m), 6(x—vt) là ham Dirac delta dùng để mô ta lực tập trung di động, F, là biên độ của tải trọng (N), v là vận tốc tải trong (m/s)

Với dam liên kết khớp hai đầu thì điều kiện biên ở đây là. w(0,)—=w(1)=0: 20.) =F =0 (3.16) 2 2

Ngoài ra ban dau hệ đứng yên với vận tốc và chuyên vị băng không. w{x,f) =0 tại t=0 va a, Oe) = 0 tai t=0 (3.17)

Phương trình vi phân chuyển động của dầm trên nền đàn nhớt phi tuyến bậc3 theo (3.15); đây là phương trình đạo hàm riêng với ân số là chuyển vị của dầm với các điều kiện biên và điều kiện ban đầu như (3.16) và (3.17).

3.4 PHƯƠNG PHAP PHAN TỬ HỮU HAN 3.4.1 Khái niệm về phương pháp phân tứ hữu hạn

Phương pháp phan tử hữu hạn là một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả dé tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V của nó Tuy nhiên phan tử hữu hạn không tìm dạng xấp xỉ của hàm can tìm trên toàn miền V mà chi trong từng miền con Ve (phân tử) thuộc miễn xác định V Do đó phương pháp nay rất thích hợp với hàng loạt bài toán vật lý và kỹ thuật trong đó hàm cần tìm được xác định trên những miễn phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ có đặc tính hình học, vật lý khác nhau, chịu những điều kiện biên khác nhau Phương pháp ra đời từ trực quan phân tích kết câu, rồi được phát triển cách chặt chẽ và tổng quan như phương pháp biến phân hay phương pháp dư có trọng số nhưng được xấp xi trên mỗi phan tử.

Trong phương pháp phần tử hữu hạn miền V được chia thành một số hữu hạn các miền con, còn gọi là phan tử Các phần tử này được nối kết với nhau các điểm định trước trên biên phan tử, gọi là nút Trong phạm vi mỗi phan tử đại lượng can tìm được lấy xấp xỉ trong một hàm đơn giản được gọi là các hàm xấp xi (approximation Function) Và các hàm xấp xi này được biểu diễn qua các giá trị của hàm (và có khi cả các giá trị đạo hàm của nó) tại các điểm nút trên phân tử Các giá trị này được gọi là các bậc tự do của phan tử va được xem là ân số cần tìm của bài toán.

3.4.2 Rời rạc hóa miền khảo sát

Trong bước này miền V được chia thành các miền con hay thành các phan tử đánh số nút: 1, 2, 3, n, đánh số phan tử: 1, 2, 3, n và đánh số các bậc tự do của kết cau, thiết lập ma trận chỉ SỐ.

3.4.3 Chon hàm dang thích hợp

KET QUÁ S

Chương này bao gồm hai phần: Phần đầu trình bày kết quả chuyển vị của dầm được xuất ra từ lập trình MATLAB qua đó xem xét sự hội tụ sỐ phan tử n thay đổi và khảo sát sự ảnh hưởng từng thông số đến tốc độ hội tu của bai toán Phan thứ hai tiến hành khảo sát tác động của từng thông số đến chuyền vị của dầm Để đảm bảo độ tin cậy các kêt quả sô của luận văn được so sánh với kêt quả của bài báo quốc tế [12] được công bố gần đây.

4.2 KHAO SÁT SỰ HOI TU CUA § PHAN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHAN TỬ HỮU HAN

Bài toán kiêm chứng so sánh kêt quả, các đại lượng vật lý và hình học của dầm Euler- Bernoulli, nên, tải trong được lay tương tự như dầm thanh ray đường sắt cao tốc C60 bảng số | [12], liệt kê trong bảng 4.1 sau đây.

Bang 4.1 Các thông số đường ray, thông số nên, dam, tải trọng

Danh mục đại lượng Gia tri ‘thé nguyên,

Modul dan hôi FE (GPa) 201 -

Khối lượng riêng p(kg/m?) 7850 - x Diện tích mặt cắt ngang dầm A (m') 7.69x 10°

Dâm Mô men quán tính dầm 7 (mŸ) 3.055x107 Đại lượng đặt trưng cho dầm k, 3.501x103

Chiều dài L(m) 18 | Hệ số nền tuyến tính &,( N/m’) 3.510’ 7.0221 Nén Hệ số nên phi tuyến k, (N/m*) 4x10'4 2.600x 10'°

Hệ số cản / (Ns/m’) 1732.5x 10° 99.879 Tái trọng | Độ lớn Ƒ.(N) 65x 10° 4025x107 di động | Vận tốc V(m/s) 10 0.001933

4.2.1 Bài toán 1 a Chọn bước thời gian lực di động dt =0.036

Với các thông số cho như trong bảng 4.1, bằng phương pháp số Newmark xác định chuyển vị giữa dầm khi lực di động từ đầu đến cuối dầm Thông qua kết quả số đó, khảo sát sự hội tụ của số phan tử n thay doi Kết qua số của luận van được thé hiện trên dé thị Hình 4.1, được so sánh với kết quả bài báo trên đồ thị

Biêu do chuyên vị giữa dâm khi lực di động dt=0.036 0.0004 Ì ! ! I

Toa độ lực di đông (m)

Hỡnh 4.1 Chuyờn vị giữa dầm khi lực di động với số phan tử ứ thay đổi theo bước thời gian đ==0.036 [Luan van] we + WU

Hình 4.2 Chuyén vị giữa dầm khi lực di động số n thay đối [12]

Biêu do mo men giữa dam khi lực di dong , thời gian dt=0.036

Toa do lực di dong (m)

Hình 4.3 Mô men giữa dầm khi lực di động với số phan tử n thay đổi theo bước thời gian dt = 0.036[Luan văn].

Hỡnh 4.4 Mụ men giữa dam khi lực di động số ứ thay đổi theo [12]

Bang 4.2 Sự hội tụ của chuyền vị lớn nhất khi số phan tử n thay đối theo bước thời gian dt =0.036

Bảng 4.3 Sự hội tụ của mô men lớn nhất khi số phan tử n thay doi theo bước thời gian dt =0.036

SO VỚI 191.28% | 16.81% 9 46% 5.56% 2.64% b Chon bước thời gian lực di động dt =0.024

Với các thông số cho như trong bảng 4.1, bằng phương pháp số Newmark xác định chuyển vị giữa dầm khi lực di động từ đầu đến cuối dầm Thông qua kết quả sô đó, khảo sát sự hội tụ của sô phan tử n thay đôi.

Biểu đồ chuyển vị khi lực di động, thời gian dt =0.024

Toa độ lực di động (m)

Hình 4.5 Chuyến vị giữa dầm khi lực di động với số phan tử n thay đổi theo bước thời gian dt =0.02⁄4 [Luan van]

Biểu đồ mô men khi lực di động, thời gian dt=0.024

Toa độ lực di động (m)

Hình 4.6 Mô men giữa dầm khi lực di động số phan tử n thay đổi theo bước thời gian dt =0.024 [Luan van]

Bang 4.4 Sự hội tụ của chuyền vị lớn nhất khi số phan tử n thay đối theo bước thời gian dt =0.024

Bảng 4.5 Sự hội tụ của mụ men lớn nhất khi số phan tử ứ thay đổi theo bước thời gian dt =0.024

Qua các biểu đồ trên thể hiện chuyên vị giữa dầm khi lực di động bước thời gian dt =0.036 theo luận văn và theo [12] tương đối giống nhau, cho thay độ tin cậy của kết quả bài toán theo luận văn Theo hai đồ thị trên, biểu dé chuyển vi giữa dầm có tính chất đối xứng qua trục đứng tại điểm có tọa độ lực đi qua L=9.36m.

Giá trị chuyển vị lớn nhất tại giữa dầm tăng khi số phan tử n thay đổi tăng.

Có sự khác biệt khi so sánh các đồ thị chuyển VỊ giữa dầm ứng với từng giá tri SỐ phan tử n thay đổi trong chiều dài dầm Sự sai khác này có tỷ lệ phần trăm tương đối lớn khi chia số phan tử n, giá trị =4 và n, điều này có thé thấy rõ trênHình 4.1 khi so sánh đường đồ thị chuyển vị giữa dầm ứng với trường hợp n phân tử được thé hiện bằng màu xanh đã bắt đầu hội tụ với các đường đồ thị ứng với số phan tử n0, n@, n` các trường hợp còn lại Khi tăng dan giá trị phan tử n thay đối thì các đường đô thị chuyển vị giữa dầm có xu hướng tiệm cận lại gần nhau hơn Nhận thấy, với trường hợp n=4 và n vẫn có thé thay sự riêng biệt giữa hai đường đỗ thị này, tuy nhiên với bốn đường đồ thị n , n0, n@, n` được thé hiện tương ứng lần lượt bởi màu xanh, màu xanh đậm, màu cam, màu tím gần như trùng nhau Kết hợp với Bảng 4.2 so sánh giá trị chuyến vị lớn nhất của dầm với từng trường hop, cho thấy độ sai lệch giảm dân khi n phần tử thay đổi tăng và giá trị độ sai lệch giữa hai trường hợp n0 và 0= 40 bang 0,160% là nhỏ, trường hợp n@ và n` bằng 0,05% là quá nhỏ Từ đó kết luận răng với giá tri phan tử n thay đổi khi bước thời gian dt =0.036 va = 20 bài toán ứng xử động của dầm đã đạt đến sự hội tụ.

Lực di động bước thời gian dt =0.024 theo Luận văn và theo [12] tương đối giống nhau Cho thay độ tin cậy của kết quả bài toán theo Luận văn Theo hai đồ thị trên, biểu dé chuyển vị giữa dầm có tính chất đối xứng qua trục đứng tại điểm có tọa độ lực đi qua L=9.36m.

Gia tri chuyén vị lớn nhất tại giữa dầm tăng khi SỐ phan tu n thay đôi tăng.

Có sự khác biệt khi so sánh các đồ thị chuyển VỊ giữa dầm ứng với từng giá tri SỐ phan tử ứ thay đổi trong chiều dài dầm Sự sai khỏc này cú tỷ lệ phần trăm tương đối lớn khi chia số phan tử n, giá trị n=4va n, điều này có thể thay rõ trênHình 4.5 khi so sánh đường đồ thị chuyển vị giữa dam ứng với trường hợp n phan tử duoc thé hiện bang màu xanh đã bat đầu hội tụ với các đường đồ thị ứng với số phan tử n , n$, n& các trường hợp còn lại Khi tăng dan giá trị phan tử n thay đổi thì các đường đồ thị chuyển vị giữa dam có xu hướng tiệm cận lại gần nhau hơn Nhận thấy, với trường hợp số phan tử =4 và n, n ,n$, n& vẫn có thé thay sự riêng biệt giữa hai đường đô thị này Tuy nhiên với bỗn đường đồ thị được thể hiện tương ứng lần lượt bởi màu đỏ đậm, màu xanh,mau cam, mau tím gan như trùng nhau Kết hợp với Bảng 4.4 so sánh giá trị chuyển vị lớn nhất của dầm với từng trường hop, cho thay độ sai lệch giảm dan khi số phan tử mở thay đổi tăng và giá trị độ sai lệch giữa hai trường hợp có số phần tử n=4 và n băng 25.598%, n và n băng 1,904% là nhỏ, n và n bang 0.701% là nhỏ, trường hợp n và n băng 0.957% là nhỏ, n va

Từ đó kết luận rang khi giảm bước thời gian dt =0.024 cho kết quả sự hội tụ sớm hơn so với với bước thời gian dt =0.036 và n

Khảo sỏt ảnh hưởng của từng thụng số đến sự hội tụ khi số phần tử ứ thay đổi của bài toán bang cách thay đối giá trị của một thông số cần khảo sát trong Bang 4.1 và giữ nguyên giá trị các thông số còn lại. a Thông số chiều dài dam L Bảng 4.6 Giá trị lớn nhất chuyển vị giữa dam khi chiều dài dầm L thay đổi

Kết quả số theo Luận văn và theo [12] thể hiện trên đồ thị Hình 4.7 và Hình 4.8

Bảng 4.7 Tỉ số chuyển vị giữa dầm khi chiều dài dam L thay doi

Khảo sát sự hội tụ khi chiều dài dầm L thay đổi

Hình 4.7 Khảo sát sự hội tu khi tỉ số chiều dài dam L thay đối theo [Luận van]

Hình 4.8 Khao sát sự hội tụ khi tỉ số chiều dai dam L thay đổi theo [12] b Thông số modu đàn hồi của dầm E

Giá trị lớn nhất chuyển vị giữa dầm với modul đàn hồi của dam E thay doi theo Bảng 4.8 - Phụ lục Kết quả số theo luận văn và theo [12] thể hiện trên đồ thị

Hình 4.9 Khao sát sự hội tụ khi modul đàn hồi dam E thay đổi theo [Luận văn]

Hình 4.10 Khao sát sự hội tu khi modul đàn hồi dam thay đối theo [12]

Nhận xét: Đồ thị thé hiện ở Hình 4.7 đến Hình 4.10 lần lượt biểu diễn sự hội tụ số phan tử 7 thay đối theo luận văn và theo [12] khi chịu tác động của các thông số như: chiều dài dim L, modul đàn hồi của dầm # Với số phan tử n thay đổi được biểu diễn trên trục hoành và chuyển VỊ giữa dầm khi lực di động tại vi tri giữa dầm được biểu diễn trên trục tung Nhìn chung, đồ thị theo Luận văn có hình dạng tương đối giống với đồ thi theo [12] Do đó kết luận rút ra từ Luận văn về ảnh hưởng của các thông số này đến sự hội tụ của bài toán tương tự như tài liệu tham khảo [12].

Quan sát đỗ thị Hình 4.7 và Hình 4.8, nhận thấy đường đồ thị ứng với chiều dài dim Lm có xu hướng năm ngang sớm nhất sau đó đến đồ thị ứng với chiều dài dim Lm cuối cùng là đỗ thị ứng với chiều dài dam L0m Do đó có thể nói tốc độ hội tụ nghiệm chuyển vị của bài toán tăng khi giảm chiều dài dam 7, hay với dầm có chiều dài càng lớn thi cần số phan tử thay đối càng lớn dé bài toán đạt được sự hội tụ Ngoài ra còn thay rang giá trị chuyển vị dầm tăng khi số phan tử n thay đối tăng và khi số phan tử n thay đổi đủ nhỏ thì giá trị chuyển vị dầm giảm khi tăng chiều dài L Mặt khỏc, khi số phan tử ứ thay đối đủ lớn dộ bài toỏn hội tụ thì giá trị chuyển vị dam ít thay đổi dù có sự biến đối lớn các giá trị L, nói cách khác chuyển vị của dầm không chịu ảnh hưởng bởi chiều dài dầm Điều này phản ánh tương tự phan nào kết luận của D.Thambiratnam, Y.Zhuge trong [15] là khi phân tích ứng xử của dam trên nên dan hồi có thé dùng dam với chiều dài lớn hơn

10m để thay thế cho dầm vô hạn.

Thông qua các đồ thị Hình 4.9 đến Hình 4.10, rút ra các kết luận răng tốc độ hội tụ nghiệm chuyển vị của bài toán tăng khi tăng lần lượt các thông số: Modul đàn hôi È của dâm Gia trị chuyên vi dam tăng khi tang sô phan tử n. c Thông sô hệ so can /¿ của nên

Gia tri lớn nhat chuyên vi giữa dâm khi hệ sô can /¿ của nên thay đôi theo

Bảng 4.10 - Phụ lục Kết quả số theo luận văn và theo [12] thé hiện trên đỗ thị Hình

Khảo sát sự hội tụ khi hệ số Nuy thay đổi

“ ——Nuy=4*1.7325E6 Ns/m2 ôxo —=B* >›0.0001 —+—Nuy=6*1.7325E6Ns/m2

Hình 4.11 Khảo sát sự hội tụ khi hệ số cản yw của nên thay đối [theo Luận văn]

Hình 4.12 Khao sát sự hội tụ khi hệ số can ¿¿ của nén thay đổi theo [12] d Thông số hệ số nền tuyến tính k,

Giá trị chuyển vị giữa dầm khi hệ số nên tuyến tính k, thay đổi theo Bang 4.12 - Phụ lục Kết qua số theo luận văn và theo [12] thé hiện trên đô thi Hình 4.13 và Hình 4.14.

Khảo sát sự hội tu khi k1 thay đổi

Hình 4.13 Khảo sát sự hội tụ khi hệ số nên tuyến tính k, thay đổi theo [Luận van]

Hình 4.14 Khao sát sự hội tụ khi hệ số nền tuyến tính k, thay đổi theo [12] e Thông số hệ số nền phi tuyến k,

Giá trị chuyển vị giữa dầm khi hệ số nên phi tuyến k, thay đổi theo Bang 4.14 - Phụ lục Kết quả số Luận văn và theo [12] thể hiện trên đồ thị Hình 4.15 và

Khảo sát sự hội tu khi k3 thay đổi

Hình 4.15 Khao sát sự hội tụ khi hệ số nền phi tuyến k, thay đổi theo [Luận văn] vưZ *10 2

Hình 4.16 Khảo sát sự hội tụ khi hệ số nên phi tuyến k, thay đổi [12]

KÉT LUẬN

Bài toán phân tích ứng xử động của dam Euler-Becnoulli trên nên phi tuyến bậc ba băng phương pháp phan tử hữu hạn đã được thực hiện trong Luận văn này, một sô nhận xét được trình bày như sau:

- Đã xây dựng bài toán: Mô hình của hệ gom có dầm, tải trọng di động và nên có ứng xử phi tuyến bậc ba của chuyền vị; Thiết lập được phương trình chuyển động chủ đạo của hệ, phương trình nay là phương trình vi phân phi tuyến với an số là chuyển vị của dầm; Phương pháp phần tử hữu hạn với phân tử dầm 2 nút được dùng đê rời rạc hóa kêt câu dâm.

- Tìm hiểu phương pháp dé giải phương trình chuyển động: Phương pháp phần tử hữu hạn dùng để rời rạc hóa chia chiều dài dầm thành nhiều phân tử, hàm dạng đa thức Hermit bậc 3 dùng để xấp xỉ chuyển vị trong các phan tử thanh dam;

Phương trình vi phân chuyển động của cả hệ đã được suy ra từ nguyên lý năng lượng Hamilton với phương trình Lagrange; Phương pháp tích phân số trên toàn miền theo bước thời gian Newmark được áp dụng dé giải hệ phương trình nay và từ đó nghiệm của bài toán được tìm; Thuật toán để giải quyết bài toán trong Luận văn cũng đã được xây dựng.

- Một chương trình máy tính được viết bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB để phân tích ứng xử động lực học của dầm trên nên phi tuyến: Kết quả của chương trình này có so sánh với một số kết quả của các nghiên cứu khác công bố rất gần đây băng phương pháp giải khác khi đầu vào bài toán giống nhau cho thấy sự phù hợp của chương trình đã viết và có thé dùng dé phân tích kết quả của Luận văn Qua thông tin tham khảo và kết quả của luận văn, có thé thay răng Phương pháp phan tử hữu hạn này tốn ít tài nguyên của máy tính cho kết quả hội tụ nhanh hơn so với phương pháp tọa độ suy rộng với hàm chuyên vi bậc cao của các nghiên cứu khác.

- Kết quả số chỉ ra rằng: Chuyển vị đứng của dầm phụ thuộc nhiều vào các thông số như mô dun đàn hồi của dầm E, hệ số nên tuyến tính k,; hệ số nên phi tuyến k, và hệ số cản nhớt nên uw Chúng đều có ảnh hưởng đến chuyển vi đứng của dầm Giá trị chuyển vị lớn nhất của dầm phụ thuộc vào độ lớn vận tốc tải di động, số lượng đặt tải di động và mô hình dầm Đặc biệt lời giải của bài toán phi tuyến còn cho nhiều kết quả số thú vị như chuyên vị rất nhạy với thông số nên phi tuyến k, khi thay một lực di động bang hai lực di động có độ lớn băng một nửa lực trên thì chuyển vị của hệ lại không giảm.

- Kết quả số cũng cho thay chiều dài dim L ảnh hưởng đến tốc độ hội tụ bài toán nhưng gân như không ảnh hưởng đến chuyển vị dầm Tuy vậy sự hội tụ nghiệm của phương pháp phân tử hữu hạn do việc rời rạc dầm không bị ảnh hưởng bởi các thông số như mô dun đàn hdi dầm, hệ số nên

5.2 HƯỚNG PHÁT TRIEN DE TÀI

Các hướng phát triển tiếp theo của dé tài được đề xuất như sau:

- Vật lý: Khảo sát cùng bài toán với cùng mô hình dầm, nên như trong luận văn nhưng thay đôi mô hình tải trọng nhiều hệ bên trên dầm phức tạp hơn có kế đến khối lượng di động với vận tốc di động thay đối, hay tải trọng di động điều hòa.

- Phương pháp giải: Hoàn thiện phương pháp phần tử hữu hạn phi tuyến của nên và đánh giá sự hiệu quả rõ hơn.

% % % LUAN VAN TOT NGHIEP CAO HOC DHBK TP.HCM NGANH XAY DUNG %

% % De tai : Dao dong cua dam Euler - Bernoulli tren nen

% % phi tuyen bac ba chiu tai trong di dong giai bang phuong phap phan tu huu han

% % GVHD: GVC.TS Nguyen Trong Phuoc

% % HVTH: Truong Vinh Trung - MSHV:13210174 - Khoa:2013 Yo Yo - === === === == $$ == === == === === %

% % Muc dich lap trinh: tim chuyen vi bien thien theo thoi gian cle clear all close all format short

% Khai báo các thông so vào bai toán | theo bài báo ELSEVIER E=2.0l1ell; % Mo dun dan hoi (N/m2) ro = 7850; % Khoi luong rieng cua dam (kg/m3) A=7.69e-3; % Dien tích mat cat (m2)

% %% Thong so dau vao L chieu dai dam can khao sat L=input( Xin chieu dai dam can khao sat L="');

%% Khai báo các thông so vào bài toán 2 theo bài báo ELSEVIER

% ro = 2373; % Khoi luong rieng cua dam (kg/m3)

%% Thong so dau vao L chieu dai dam can khao sat

% L=input(Xin chieu dai dam can khao sat L=);

%% Thong so kiem tra voi mo hinh phi tuyen

%% Thong so nen bai toan O1 theo bai bao ELSEVIER KIL= 3.5e7; % N/m2 kINL= 4e14; % N/m4 ks= 0; % N.rad^2 cf= 1732.5e3; % N.s/m2;

%% Thong so nen bai toan 02 theo bài bao ELSEVIER

%% Thong so luc bai toan 01 theo bài bao ELSEVIER F0=-65e3; % Do lon (N) v0 ; % Van toc luc di dong tren dam (m/s)

%% Thong so luc bai toan 02 theo bài báo ELSEVIER

% v0= 20; % Van toc luc di dong tren dam (m/s)

% Khai bao so phan tu huu han n dam can khao sat n=input(Xin nhap so so hang phan tu dam can khao sat n=);

%% so phan tu dam n_div=n; le=L/n_div;

%% Get coordinate of nodes for i=l:n_div+l gcoord(i,2)=0; gcoord(i,1)=(-1)*le; end nodel=(1:n_div); node2=(2:n_div+1); for i=l:n_ div nodes(i,l) = nodel(1 1); nodes(i,2) = node2(1 1); end

%% Degree of freedom nel = length(nodes(:,1)); nnode = length(gcoord); nnel =2; ndof = 2; sdof = nnode#*ndof;

%% Get boundarys bcdof=[1 sdof-1 |;start=length(bcdof)+ 1 ;bcval=zeros(1 ,length(bcdof));

% bedof=[1:2 sdof-1:sdof];start=length(bcdof)+1 ;bcval=zeros(1 ,length(bcedof));

% bedof=[1:2];start=length(bcedof)+1;bcval=zeros(1 ,length(bcdof));

% bedof=[1:2 sdof-1];start=length(bcdof)+1; beval=zeros(1 ,length(bcdof));

%% Beam element matrix k_beam = E*I/le43*[ 12 6*le -12 6*le;

6*le 2*#le^2 -6*le 4#le^2|; m_beam =ro*A*le/420*[156 22*le 5314 -l3*le;

%% Foundation elemnet matrix k_Winkler=double(subs(int(Nw'*k1L*Nw,x,0,le),le)); k_shear=double(subs(int(Ns'*ks*Ns,x,0,le),le)); c_damping=double(subs(int(Nw'*cf*Nw,x,0,le),le));

%% Overall matrices K=zeros(sdof,sdof);

M=zeros(sdof sdof); for i_e=I:nel ie=nodes(1_e,1); je=nodes(i_e,2); sctrB=[2*ie-1:2*1e 2*je-1:2* je];

K(sctrB, sctrB)=K(sctrB, sctrB)+k_beam+k_Winkler+k_shear;

D(sctrB, sctrB)=D(sctrB, sctrB)+c_damping;

M(sctrB, sctrB)=M(sctrB, sctrB)+m_beam; end

% % %% Free vibration [Kss,Mss]=ganbactudo(K ,.M,bcdof) ; a=2*pi*ones(length(start:sdof) 1);

[mode,eigenvalue|=eig(Kss,Mss); omega=sort(diag(sqrt(eigenvalue)),'ascend'); omega=omega(start:sdof,1); chuky=a./omega; frequency=sort(omega/(2*pi));

%% Dimensionless parameters for 1=1:1 omega_none(i,! )=omega(i,1)*L‘2*sqrt(ro* A/(E*D)); end

%% Center node [u_static,U_max_static,U_static_center]|=dynamic_static(sdof,FO,K ,bcdof,bcval ,n_d

M_max_static=E*I*[6*le 2*le^2 -6*le 4*1e42 |/le43*u_static(n_div/2*2- 1:1:n_div/2*2+2,1); % N.m

%% Moving velocity and time step V_moving=v0; for i_v=1:length(V_moving) Vmoving=V_moving(1 ,i_v);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% n_tP; delta_t=T_cross/n_t; t=0:delta_t:T_cross;

%% Dynamic analysis of plate under moving load

%% Chuong trinh chính gam=1/2 ; beta=1/4; dt = delta_t;

%% u=zeros(sdof,length()); udot=zeros(sdof (length(t))); udot2=zeros(sdof ,(length(t)));

%% Tinh ma tran va vec to tai hieu dung Peff=F-K*uc(:,1)-K*uc¢ ,1)-(D+K*dt)*udot¢(: ,1)-D*(1-gam)*dt*udot2(: ,1)-K*(1/2- beta)*dt42*udot2(:,1);

Meff=M-+gam*D*dt+K*beta*dt’2; fori = 1:(length(t)-1)

%% Vong lap NEWMARK [u_dynamic |=giaiphuongtrinh(Meff ,Peff ,bcdof ,bcval); udot2(: i+ 1)=u_dynamic; udot(: + 1)=udot(: ,1)+(1-gam)*dt*udot2(: ,1)+gam*dt*udot2(: ,i+1); u(: J+ 1)=uG 1)+udot(: 1)*dt+(1/2-beta)#dt^2*udot2(: 1)+beta*dt^2*udot2(: ,i+1);

%% Phan tu chuyen dong x_m=V moving*(i)*delta_t;

1_e=fix(x_m/le)+1; if i_e>n_div i1_e=n_div; else 1_e=i_e; end x_1=(i_e-1)*le;

%% Tinh ma tran ham dang ung voi vi tri tai phan tu N_ww=subs(subs(Nw.l_e,jle),sI_coor);

%% Tinh gia tri vecto tai F=zeros(sdof,1);

%% Thiet lap ma tran do cung phan tu dam do su phi tuyen cua nen K_NL=zeros(sdof,sdof); for i_e=I:nel ie=nodes(1_e,1); je=nodes(i_e,2); sctrB=[2*ie-1:2*1e 2*je-1:2* je]; u_e=u(sctrB.+l); u_si=subs(Nwl_e.le)*u_e; k_si=(3*kINL*u_si‘2);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% kf_ nonlinear=double(mnt(subs(Nwl_e.le)'*k_ si#subs(Nwl_e,le),x.,0.,le));

K_NL(sctrB, sctrB)=K_NL(sctrB, sctrB)+kf_nonlinear; end K=K_L+K_NL;

Peff=F-K*u( i+ 1)-(D+K*dt)*udot¢(: i+1l)-D*(1-gam)*dt*udot2(:+l1)-K*#(1/2- beta)*dt42*udot2(: 1+l);

Meff=M-+gam*D*dt+K*beta*dt’2;

%% Moment dam M_dynamic_ center(I ,i+1)=E*I*[6*le 2*le^2 -6*le 4*1e42 |/le43*u(n_div/2*2-

%% Result U_center(i_v i+ 1)=u(n_div/2*2+1 +1); dem=1 end U_max(i_v,l)=max(max(abs(u(1:2:sdof,:))));

%% Momentmax M_max_dynamic(1,1)=max(abs(M_dynamic_center(1,:)));

DMFM(1,i_v)=M_max_dynamic(1 ,1)/M_max_static; end

%% Print result figure(1) hold on grid on for i=l:1_v plot(O: 1/n_t:1,-U_centerd,:),’b',,Line Width’ 2 4); end

% plot(O:1/n_t:1,M_dynamic_center(,:),'b','Line Width’ ,2 4);

Bài toán hai lực di động

% % % LUAN VAN TOT NGHIEP CAO HOC DHBK TP.HCM NGANH XAY DUNG %

% % De tai : Phan tich ung xu dam Euler - Bernoulli tren nen dan nhot

% % phi tuyen bac ba chu tai trong di dong %

% % GVHD: GVC.TS Nguyen Trong Phuoc

% % HVTH: Truong Vinh Trung - MSHV:13210174 - Khoa:2013 Yo [0 - == $2 === $22 === == == === == === == === %

% % Muc dich lap trinh: tim chuyen vi bien thien theo thoi gian cle clear all close all format short

%% Khai bao cac thong so dau vao %

E= 6.998e9; % Mo dun dan hoi (N/m2) ro = 2373; % Khoi luong rieng cua dam (kg/m3) h=0.3; % Kich thuoc tiet dien (m) b= 1.0; % Kich thuoc tiet dien (m)

% 1=3 055e-5; % Momen quantinh (m4) A = b*h; % Dien tich maat cat (m2) I = b*h43/12; % Momen quantinh (m4) L`; % Chieu dai dam (m)

% %% Thong so dau vao L chieu dai dam can khao sat

%% Thong so kiem tra voi mo hinh phi tuyen

%% Thong so nen kIL= 8e6; % N/m2 kINL6; % N/m4 ks=0; % N.rad^2 cf= 0.3eó; % N.s/m;

%% Thong so luc n_FO=2; % So luc di dong tren dam d_F0O=3; % Khoang cach giua cac luc di dong L_tong=L+(n_F0-1)*d_F0; % Yong chieu dai khao sat FO=-212.6e3; % Do lon (N) vO = 20; % Van toc luc di dong tren dam (m/s)

% % Khai bao cac so hang phan tu dam can khao sat n=input(Xin nhap so so hang phan tu dam can khao sat n=");

%% so phan tu dam n_div=n; le=L/n_div;

%% Get coordinate of nodes for i=l:n_div+l gcoord(i,2)=0; gcoord(i,1)=(-1)*le; end nodel=(1:n_div); node2=(2:n_div+1); for i=l:n_ div nodes(i,l) = nodel(1 1); nodes(i,2) = node2(1 1); end

%% Degree of freedom nel = length(nodes(:,1)); nnode = length(gcoord); nnel ndof = 2; sdof = nnode#*ndof;

%% Get boundarys bcdof=[1 sdof-1 ];start=length(bcdof)+1 ;bcval=zeros(1 ,length(bcdof));

%% Beam element matrix k_beam = E*I/le43*[ 12 6*le -12 6*le;

6*le 2*#le^2 -6*le 4#le^2|; m_beam =ro*A*le/420*[156 22*le 5314 -l3*le;

%% Foundation elemnet matrix k_Winkler=double(subs(int(Nw'*k1L*Nw,x,0,le),le)); k_shear=double(subs(int(Ns'*ks*Ns,x,0,le),le)); c_damping=double(subs(int(Nw'*cf*Nw,x ,0,le),le));

%% Overall matrices K=zeros(sdof,sdof);

M=zeros(sdof sdof); for i_e=I:nel ie=nodes(1_e,1); je=nodes(i_e,2); sctrB=[2*ie-1:2*1e 2*je-1:2* je];

K(sctrB, sctrB)=K(sctrB, sctrB)+k_beam+k_Winkler+k_shear;

D(sctrB, sctrB)=D(sctrB, sctrB)+c_damping;

M(sctrB, sctrB)=M(sctrB, sctrB)+m_beam; end

% % %% Free vibration [Kss,Mss]=ganbactudo(K ,.M,bcdof) ; a=2*pi*ones(length(start:sdof) ,1);

[mode,eigenvalue|=eig(Kss,Mss); omega=sort(diag(sqrt(eigenvalue)),'ascend');

%S omega=omega(start:sdof,1); chuky=a./omega; frequency=sort(omega/(2*pi));

%% Dimensionless parameters for i=1:1 omega_none(i,|)=omega(i,1)*L‘2*sqrt(ro*A/(E*1)); end

%% Center node [u_static,U_max_static,U_static_center]|=dynamic_static(sdof,FO,K ,bcdof,bcval ,n_d

M_max_static=E*I*[6*le 2*le^2 -6*le 4*1e42 |/le43*u_static(n_div/2*2- 1:1:n_div/2*2+2,1); % N.m

%% Moving velocity and time step V_moving=v0; for i_v=1:length(V_moving) Vmoving=V_moving(1 ,i_v);

%%%%%%%%%%%%o%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% n_tP; % So buoc thoi gian khao sat n_t=n_t+fix((n_FO-1)*d_FO/L*n_t); % So buoc thoi gian co nhieu luc di dong delta_t=T_cross/n_t; t=0:delta_t:T_cross;

%% Dynamic analysis of plate under moving load

%% Chuong trinh chính gam=1/2 ; beta=1/4; dt = delta_t;

%% u=zeros(sdof,length()); udot=zeros(sdof (length(t))); udot2=zeros(sdof ,(length(t)));

%% Tinh ma tran va vec to tai hieu dung Peff=F-K*u¢,1)-K*u¢- ,1)-(D+K*dt)*udot(: ,1)-D*(1-gam)*dt*udot2(: ,1)-K*(1/2- beta)*dt42*udot2(:,1);

Meff=M-+gam*D*dt+K*beta*dt’2; fori = 1:(length(t)-1)

%% Vong lap NEWMARK[u_dynamic |=giaiphuongtrinh(Meff ,Peff ,bcdof ,bcval); udot2(:,i+l)=u_ dynamic; udot(: + ẽ)=udot(: ,1)+(1-gam)*dt*udot2(: ,1)+gam*dt*udot2(: ,i+1); u(: J+ 1)=uG 1)+udot(: 1)*dt+(1/2-beta)#dt^2*udot2(: 1)+beta*dt^2*udot2(: ,i+1);

%% Phan tu chuyen dong F=zeros(sdof,1); for 1_FO=1:n_FO x_m=V moving*(i)*delta_t-(Gi_FO-1)*d_F0; if x_mn_div i1_e=n_div; si_coor=le; else 1_e=i_e; x_1=(i_e-1)*le;

Si_Coor=xX_M-X_1; end sctrB=[2*1_e-1 2*1_e 2*1 e+l 2*1_e+2];

%% Tinh ma tran ham dang ung voi vi tri tai phan tu N_ww=subs(subs(Nw.l_e,jle),sI_coor);

%% Tinh gia tri vecto tai F(sctrB ,1)=F(sctrB ,1)+N_ww'* FO; end

%% Thiet lap ma tran do cung phan tu dam do su phi tuyen cua nen K_NL=zeros(sdof,sdof); for i_e=I:nel ie=nodes(1_e,1); je=nodes(i_e,2); sctrB=[2*ie-1:2*1e 2*je-1:2* je]; u_e=u(sctrB.+l); u_si=subs(Nwl_e.le)*u_e; k_si=(3*kINL*u_si‘2);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% kf_ nonlinear=double(mnt(subs(Nwl_e.le)'*k_ si#subs(Nwl_e,le),x.,0.,le));

K_NL(sctrB, sctrB)=K_NL(sctrB, sctrB)+kf_nonlinear; end

Peff=F-K*u( i+ 1)-(D+K*dt)*udot¢(: i+1l)-D*(1-gam)*dt*udot2(:+l1)-K*#(1/2- beta)*dt42*udot2(: 1+l);

Meff=M-+gam*D*dt+K*beta*dt’2;

%% Moment dam M_dynamic_ center(I ,i+1)=E*I*[6*le 2*le^2 -6*le 4*1e42 |/le43*u(n_div/2*2-

%% Result U_center(i_v i+ 1)=u(n_div/2*2+1 +1); dem=1 end U_max(i_v,l)=max(max(abs(u(1:2:sdof,:))));

%% Momentmax M_max_dynamic(1,1)=max(abs(M_dynamic_center(1,:)));

DMFM(1,i_v)=M_max_dynamic(1,1)/M_max_static; end

%% Print result figure(1) hold on grid on for i=l:1_v plot(Q:delta_t:T_cross,-U_center(i,:),'b',’Line Width’ 2.4); end

% plot(O:1/n_t:1,M_dynamic_center(,:),'b','Line Width’ ,2 4);

Gan bac tu do function [kk,mm]|=ganbactudo(kk,mm,bcdof)

% Apply constraints to eigenvalue matrix equation

% |kk,mm|]aplycs(kk,mm,bcdof)

% kk- system stiffness matrix before applying constraints

% mm - system mass matrix before applying constraints

% bedof - a vector containging constrained d.o.f n=length(bedof); sdof=size(kk); for I=l:n cdof(); for j=1:sdof kk(c j)=0; kk(J.c)=0; mm(c j)=0; mm(j,c)=0; end kk(c,c)=1; mm(c,c)=1; end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [u]=giaiphuongtrinh(K ,F,bcdof ,bcval) bcwt=mean(diag(K));

K(bcdof ,bcdof)wt* speye(length(bcdof));

Bảng 4.1 Các thông số đường ray , thông số nên, dầm, tải trọng theo bảng số 1[12] Đường ray (UIC60)

Danh mục đại lượng Gia tri Gia mị không thứ nguyên

Diện tích mặt cắt ngang dầm A (m”) 7.69x 10°

M6 men quan tinh dầm 7 (m’‘) 3.055x107 Đại lượng đặt trưng cho dam kK, 3.501x 107

Hệ số nền tuyến tính k,(N/m”) 3.5x10 7.0221

Nền Hệ số nền phi tuyến k,(N/m*) 4x10!2 2.600x 10!”

Hệ số cản wu (Ns/m?) 1732.5x 10° 99.879 Độ lớn #ˆ (N) 65x10” 4.025x 107

Bảng 4.2 Sự hội tụ của chuyển vị lớn nhất khi số hạng phan tử ứ theo bước thời gian dt =0.036

Bang 4.3 Sự hội tu của mô men lớn nhất khi số phan tử hữu hạn n thay đổi theo bước thời gian dt =0.036

Bang 4.4 Sự hội tu của chuyên vị lớn nhất khi số hạng phan tử n theo bước thời gian dt =0.024

Bang 4.5 Sự hội tu của mụ men lớn nhất khi số phan tử hữu han ứ thay đổi theo bước thời gian dt =0.024

Bang 4.6 Giá trị lớn nhất chuyên vi giữa dầm khi chiều dai dam L thay đổi

Bang 4.7 Tỉ số chuyển vị giữa dầm khi chiêu dài dam L thay đổi

Bang 4.8 Giỏ trị lớn nhất chuyền vị giữa dầm khi số phan tử hữu han ứ va E thay doi

Bảng 4.9 Giỏ trị lớn nhất chuyờn vị giữa dầm khi số phan tử hữu hạn ứ và hệ số cản / của nên thay đôi

Bang 4.10 Giá trị lớn nhất chuyển vị giữa dầm khi hệ số can yw của nên thay doi

Chuyên vị 0| 1.73E+ | 1.73E+ | 1.73E+ | 1.73E+ | 1.73E+ | 1.73E+ giữa dam A(Ns1 mÈ}

Bang 4.11 Giá trị chuyển vị giữa dầm khi số phan tử hữu hạn n và hệ số k, thay đối

Bảng 4.12 Giá trị chuyển vị giữa dầm khi hệ số k, thay doi

Bảng 4.13 Giá trị chuyển vị giữa dầm khi số phan tử hữu hạn n và hệ số k, thay đôi

Bang 4.14 Giá trị chuyển vị giữa dầm khi hệ số k, thay doi

Chuyên vị | 6(Y/”)[ ¿lọ | ger | 4EI3 | 4E4 | 4EIS | 4E16

Bang 4.15 Giá trị chuyển vi giữa dầm khi vận tốc V thay doi

Bang 4.16 Giá trị chuyén vị giữa dầm khi độ lớn lực F, thay đối

Bang 4.17 Các thông số nền, dam, tải trọng theo bang số 02 [12]

Danh mục đại lượng Gia tri Gia Th không thứ nguyên

Dam | Chiều cao tiết diện h(m) 0.3 -

Hệ số nên tuyến tính k,(N/mˆ) 8x10 97.552

Nền Hệ số nên phi tuyến k, (N/m*) 8x 10° 2.497x 10°

Hệ số cản /z(Ns/m”) 03x10 39.263 Độ lớn #Ƒ (N) 212.6x10° 1.01107

Bảng 4.18 Giỏ trị chuyển vị giữa dầm khi số phan tử hữu hạn ứ và chiều cao dam h thay doi

Bang 4.19 Giá trị chuyển vị giữa dầm khi số phan tử hữu hạn n và bé rộng dầm b thay đối