Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Dao động tự do của tấm vật liệu chức năng dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đơn giản

Thiết lập phương trình dao động tấm vật liệu chức năng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đơn giản dùng phương pháp không lưới nội suy moving Kriging.. Luận văn này phân tích dao động

TỔNG QUAN

Tấm vật liệu chức năng (Functionally Graded Plates)

2.2.1 Lịch sử hình thành Vật liệu Composite hiện đang được ứng dụng rất rộng rãi trong các ngành công nghiệp tiên tiến trên thế giới như: hàng không, vũ trụ; đóng tàu; ô tô, cơ khí, xây dựng, đồ gia dụng do có nhiều ưu điểm nổi trội so với kim loại: nhẹ, độ bền, mô đun đàn hồi cao, khả năng cách nhiệt, cách âm tốt Vật liệu Composite là loại vật liệu được tổ hợp từ 2 pha vật liệu khác nhau, có tính chất rất khác nhau Vật liệu composite lớp là loại được sử dụng phổ biến, những lớp vật liệu đàn hồi đồng nhất gắn kết với nhau nhằm nâng cao đặc tính cơ học Tuy nhiên, sự thay đổi đột ngột đặc tính vật liệu tại mặt tiếp giáp giữa các lớp dễ phát sinh ứng suất tiếp xúc lớn tại mặt này gây tách lớp Một loại vật liệu mới đã được các nhà khoa học Nhật Bản phát minh năm 1984 có tên vật liệu chức năng - Functionally Graded Materials (FGM)[1] Vật liệu chức năng có đầy đủ các ưu điểm của vật liệu composite, ngoài ra nó còn khắc phục hạn chế thay đổi đột ngột đặc tính vật liệu tại mặt tiếp giáp giữa các lớp trong vật liệu composite Chẳng hạn các so sánh ở Bảng 2.1 giữa tấm FGM và tấm composite thuần túy sẽ làm rõ những đặc tính nổi bậc của vật liệu chức năng

Bảng 2.1 So sánh đặc tính cơ học của tấm FGM và tấm composite

- Tấm FGM ứng xử theo lý thuyết tấm dày, được chia thành rất nhiều lát mỏng, và giả thuyết là liên kết lý tưởng giữa các lát đó

- Mô đun đàn hồi thay đổi liên tục theo chiều dày tấm

- Biến dạng là liên tục giữa các lớp, không có hiện tượng trượt giữa các lớp

- Liên kết phức tạp tại vị trí tiếp xúc của 2 vật liệu khác nhau

- Được ghép bởi 2 loại vật liệu khác nhau nên mô đun đàn hồi cũng gồm có 2 loại riêng biệt

- Có hiện tượng trượt giữa các lớp, gây ứng suất tiếp tại mặt tiếp xúc lớn

2.2.2 Đặc tính và ứng dụng Vật liệu chức năng - FGM - là một loại composite mà các đặc tính vật liệu biến đổi liên tục từ mặt này sang mặt khác do đó làm giảm ứng suất tập trung thường gặp trong các loại composite lớp Sự thay đổi dần dần đặc tính của vật liệu sẽ làm giảm ứng suất nhiệt, ứng suất tập trung và ứng suất dư; vật liệu chức năng là một tổ hợp các thành phần vật liệu khác nhau gọi là các Maxel (thép, Mg2Si, gốm, Ni, Cr, Co, Al…) phân bố trong không gian khối vật liệu theo một trật tự nhất định

Hình 2.1.Vật liệu chức năng được chế tạo tại Đại học kỹ thuật Nanyang

Hình 2.2.Vật liệu chức năng (mô tả sự thay đổi mật độ theo chiều dày)

Bằng cách bố trí các thành phần hợp thành theo một hướng thống nhất, các thành phần này là các vật liệu ở thể không đồng nhất cực nhỏ và được làm từ các thành tố đẳng hướng như kim loại, gốm nên vật liệu chức năng dễ tạo ra các kết cấu tấm, vỏ được ứng dụng ở những nơi có sự thay đổi nhiệt độ lớn, đảm bảo ổn định hình dạng, chịu va chạm, mài mòn hay rung động

Hình 2.3 Tấm vật liệu chức năng Vật liệu chức năng thường được áp dụng nhiều trong những môi trường có điều kiện làm việc khắc nghiệt như lá chắn nhiệt của tàu vũ trụ, cấy ghép sinh học, các bộ phận trong động cơ, các thiết bị tiếp xúc với nguồn điện công suất lớn Ví dụ trong các lớp cách nhiệt truyền thống của thiết bị truyền nhiệt cao, một lớp vật liệu gốm sẽ được trán lên để bảo vệ lớp kim loại bên trong, tuy nhiên sự thay đổi đột ngột giữa mặt tiếp xúc kim loại và gốm gây ra hiện tượng tập trung lớn ứng suất ở khu vực này vì lý do sự co giãn vì nhiệt của 2 vật liệu này là khác nhau Các ảnh hưởng tiêu cực này hoàn toàn được giảm thiểu khi sử dụng vật liệu chức năng.

Lý thuyết tấm FGM

 Lý thuyết tấm cổ điển Dựa trên giả thuyết của Love-Kirchhoff như sau:

Khi tấm chịu uốn thì các mặt phẳng cắt ngang vuông góc với mặt trung bình của tấm thì luôn thẳng và phẳng

Khi chịu uốn mặt trung bình của tấm không có biến dạng kéo nén hay cắt, và khi đó mặt trung bình là mặt điều hòa

Tương tác giữa các mặt tấm song song với mặt trung bình được bỏ qua, nghĩa là biến dạng cắt ngang được bỏ qua

Hình 2.4 Mô hình tấm dựa trên lý thuyết Kirchhoff

 Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất FSDT Là sự cải tiến của lý thuyết tấm cổ điển của Love-kirchhoff, với sự khác biệt là mặt phẳng cắt ngang không còn vuông góc với đường trung bình của tấm nhưng vẫn còn phẳng, nghĩa là có kể đến ảnh hưởng của biến dạng cắt ngang

Hình 2.5 Mô hình tấm dựa trên lý thuyết Reissner-Mindlin

 Biến dạng cắt bậc cao HSDT Các giả thuyết tương tự lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, với khác biệt là mặt phẳng tiết diện vuông góc với mặt trung bình của tấm không còn phẳng sau khi chịu uốn

Trong lý thuyết biến dạng cắt này không sử dụng hệ số hiệu chỉnh cắt mà nó đã được thể hiện thông qua các hàm chuyển vị bậc cao

Hình 2.6 Mô hình tấm dựa trên lý thuyết HSDT Dựa vào Hình 2.6 nhận thấy mô hình tấm HSDT có tiết diện tấm sau khi chịu uốn không còn phẳng nữa rất phù hợp với thực tế chịu lực của tấm dày Hình 2.5 thể hiện mô hình tấm dựa trên lý thuyết Reissner-Mindlin có kể đến ảnh hưởng của các biến dạng cắt Các kết quả tính toán khi sử dụng 2 lý thuyết FSDT và HSDT thường tương đồng nhau, nhưng việc sử dụng lý thuyết HSDT phức tạp hơn nhiều so với lý thuyết FSDT, vì vậy sử dụng phổ biến trong tính toán phân tích tấm là lý thuyết FSDT Ngoài ra FSDT còn có khả năng nới lỏng tính liên tục C 1 và dễ dàng thỏa mãn yêu cầu liên tục bậc C 0 khi sử dụng phần tử Lagrangian bậc thấp Những ưu điểm được nêu ở trên, FSDT luôn được sử dụng rộng rãi phổ biến nhất Tuy nhiên FSDT nó cũng có nhược điểm khi sử dụng phương pháp số thì gặp hiện tượng shear locking khi phân tích tấm dày kể cả tấm mỏng Kỹ thuật giải quyết hiện tượng shear locking như các yếu tố dòng MITC [4], phương pháp ứng suất cân bằng [5], phương pháp miền phù hợp [6], phần tử hữu hạn trơn [7] với kỹ thuật chia nhỏ diện tích chịu ứng suất Những phương pháp trên thường xuyên được sử dụng để xử lý hiện tượng shear locking, tuy nhiên tốn nhiều thời gian và cách thực hiện rất phức tạp

Gần đây Thai và cộng sự (2013,2012) [17] đã cải tiến FSDT bằng cách phân tách chuyển vị đứng thành 2 thành phần chuyển vị đứng do uốn và chuyển vị đứng do cắt Một lý thuyết biến dạng cắt của tấm được xuất hiện với tên gọi “a simple first- order shear deformation theory” (S-FSDT) Lý thuyết này có vài ưu điểm như: ít ẩn số hơn (4 ẩn số so với 5 ẩn số của FSDT); hiện tượng shear locking dễ dàng được loại bỏ

Lý thuyết S-FSDT là một cải tiến mới của FSDT nên cũng nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trong nước cũng như ngoài nước

2.3.1 Tình hình nghiên cứu ngoài nước

Tấm FGM cũng là 1 dạng tấm, cho nên lý thuyết tấm FGM được dựa trên lý thuyết của tấm đồng nhất Đã có nhiều nghiên cứu nhằm dự báo ứng xử tĩnh, dao động và ổn định của tấm FGM dưới tác dụng tải trọng cơ nhiệt khác nhau Do đó, rất nhiều lý thuyết tấm FGM được phát triển dựa trên lý thuyết tấm đồng nhất được sử dụng trong nghiên cứu, tổng quan về tình hình nghiên cứu lý thuyết tấm FGM có thể tóm tắt như sau:

Một số nghiên cứu của Feldman và Aboudi (1997) [8], Javaheri và Eslami (2002) [9], Mahdavian (2009) [10] đã áp dụng lý thuyết tấm cổ điển nhằm phân tích ổn định tấm chức năng

Các nghiên cứu của Chen và cộng sự (2006) [32], Baferani và cộng sự (2011) [33] đã sử dụng lý thuyết tấm cổ điển cho phân tích dao động

Một số lý thuyết biến dạng bậc cao cũng đã sử dụng để phân tích tấm FGM như:

Reddy (2000) [25], Xiang và cộng sự (2011) [26], Jha và cộng sự (2013) [27]

Gần đây Thai và cộng sự (2013) [11] đã cải tiến lý thuyết biến dạng bậc 1 chỉ còn 4 biến có tên S-FSDT nhằm giảm bớt khối lượng tính toán trong phân tích tĩnh, dao động ổn định của tấm bằng giải tích

Tuy mới được phát triển nhưng S-FSDT đã được nhiều sự quan tâm và ứng dụng trong nhiều phương pháp khác nhau Chẳng hạn Mohamadi (2014) [41] đã áp dụng lý thuyết S-FSDT vào phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp đẳng hình học IGA, Yin và cộng sự (2014) [42] đã áp dụng vào phương pháp đẳng hình học NURBS

2.3.2 Tình hình nghiên cứu trong nước

Việc nghiên cứu kết cấu sử dụng vật liệu chức năng đã và đang là chủ đề thu hút một số nhà nghiên cứu tại Việt Nam, trong đó một số nghiên cứu điển hình như:

Nguyen và cộng sự (2011) [15] tập trung vào các phương pháp số cho phân tích tấm chức năng sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc 1 (FSDT) Loc và cộng sự (2013) [16] phân tích tĩnh, ổn định và dao động tự do tấm chức năng sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao Ngoài ra còn có các luận văn cao học ở trường Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh như sau:

Luận văn cao học của Nguyễn Hoàng Lâm (2012) phân tích dao động của tấm phân lớp chức năng dựa trên lý thuyết tấm Mindlin sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn

Luận văn cao học của Nguyễn Thành Tấn (2014) sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc 1 đơn giản để phân tích dao động ổn định của tấm sandwich chức năng sử dụng phương pháp giải tích.

Phương pháp rời rạc

Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method) gọi tắt là FEM đã được sử dụng rất rộng rãi trong kỹ thuật, vì có nhiều ưu điểm như dễ áp dụng, kết quả có độ tin cậy cao Vì thế, FEM nhận được sự quan tâm lớn của các nhà khoa học trên thế giới Từ đó nhiều phương pháp cải tiến từ FEM được ra đời như XEFM/ GEF (Extended/ Genreralized Finite Element Method), SFEM (Smoothed Finite Element Method) để ngày càng nâng tầm phương pháp FEM lên cao hơn Tuy nhiên trong một số lĩnh vực tính toán thì FEM cũng bộc lộ nhược điểm của nó Chẳng hạn khi giải các bài toán có biến dạng lớn, thì FEM hay gặp tình trạng dễ suy biến về mặt hình học dẫn đến kết quả thiếu độ chính xác; đối với bài toán tính nứt khi sử dụng FEM phải liên tục chia lại lưới gây tốn thời gian cho người thực hiện Nhiều phương mới đã được nghiên cứu để khắc phục những nhược điểm của FEM Các phương pháp này tuy còn nhiều hạn chế hơn FEM nhưng một vài lĩnh vực xử lý tốt hơn FEM Một trong những phương pháp như vậy là phương pháp không lưới ( meshfree hay meshless) đã được giới thiệu [2] trong vài năm gần đây Sự khác biệt trong việc xây dựng mô hình tính toán giữa phương pháp không lưới (Mfree) và phương pháp FEM được thể hiện rõ trong Hình 2.7

Tạo lưới trong FEM Tạo điểm nút trong Mfree

Hình 2.7 Mô hình bài toán trong FEM và Mfree Đặc điểm của phương pháp Mfree là chỉ yêu cầu xây dựng một hệ các điểm nút và miền ảnh hưởng của nó, từ đó thiết lập lời giải xấp xỉ mà không phụ thuộc vào sự kết nối hay ràng buộc giữa các nút, điều này trái ngược với FEM Hơn nữa việc thêm bớt các nút được thực hiện dễ dàng trên miền phân tích, vì vậy nó tiện lợi và linh hoạt trong sử dụng Khi một bài toán vừa giải xong, nếu thấy chưa hài lòng có thể cho thêm hoặc rút bớt một số nút mà không ảnh hưởng nhiều đến quá trình thực hiện Các phương pháp không lưới rất thích hợp cho bài toán có biến dạng lớn hoặc bài toán có biên di động Với các ưu điểm nêu trên thì phương pháp này ngày càng được sử dụng có hiệu quả trong tính toán các bài toán kỹ thuật So sánh hai phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) và phương pháp không lưới (Mfree) có thể tóm tắt như sơ đồ Hình 2.8:

Chuyển vị của điểm X phụ thuộc vào 4 điểm xung quanh

Chuyển vị của điểm X được nội suy từ những điểm trong miền hổ trợ

Hình 2.8 Sơ đồ so sánh thuật toán của 2 phương pháp FEM và Mfree Nhiều phương pháp không lưới khác nhau đã được giới thiệu và được nhiều tác giả phát triển theo nhiều hướng khác nhau như: The Smooth Particle Hydrodynamics (SPH) – 1977 [7], The Diffuse Element Method (DEM) – 1992, The Element Free Method (EFG) – 1994 [24], The Partition of Unity Finite Element Method (PUFEM) – 1996, Meshless Local Petrov – Galerkin method (MLPG) Tất cả các phương pháp này đều có chung một đặc điểm là cần xây dựng các điểm nút, các điểm nút được xác định trong miền xấp xỉ mà không cần tìm cả miền Sự khác nhau cơ bản giữa các phương pháp này là kỹ thuật nội suy (hay cách xấp xỉ) của từng phương pháp là khác nhau

Nói chung có nhiều cách nội suy ví dụ như: phương pháp nhân chất điểm (The Kernel

Tạo lưới cho mô hình tính toán Tạo các nút trong mô hình tính toán

Hàm dạng được thiết lập dựa trên phần tử được xác định trước

Hàm dạng được thiết lập dựa trên việc nội suy nút trong miền giá đỡ

Phương trình chủ đạo được thành lập cho phần tử

Phương trình chủ đạo được thành lập cho nút

Ma trận tổng thể được thiết lập

FEM MFree mothod), xấp xỉ bình phương cực tiểu động ( The Moving least square approximation), phương pháp phân chia đồng nhất (The Partition of Unity)

Phương pháp không lưới EFG sử dụng 2 loại phương pháp nội suy đó là phương pháp xấp xỉ bình phương cực tiểu động The moving least square approximation (MLS); và phương pháp kỹ thuật nội suy moving Kriging (MK) Sự kết hợp phương pháp FEG với kỹ thuật nội suy moving Kriging được tác giả giới thiệu trong thời gian gần đây [13] với tên là Meshfree Galerkin Kriging Method (MGK) Một trong những đặc điểm nổi bậc của phương pháp nội suy Moving Kriging (MK) là hàm dạng có tính chất Kronecker Delta, do đó điều kiện biên chính tự thỏa mãn Điều này rất thuận lợi khi áp điều kiện biên cho bài toán khi xây dựng lời giải cho bài toán trên máy tính So sánh 2 phương pháp nội suy MK và MLS để làm rõ tính chất Kronecker Delta Khi giá trị chuyển vị tại 1 điểm X bất kì được nội suy thì giá trị nội suy đó đúng bằng chuyển vị tại điểm đó Phương pháp nội suy MLS không thỏa mãn tính chất Kronecker Delta nên nội suy chuyển vị tại mỗi điểm không bằng chính chuyển vị tại điểm đó nghĩa là

  h i i u x u Điều này được thể hiện trong Hình 2.9

Hình 2.9 Chuyển vị trong phương pháp nội suy MLS Để giải quyết vấn đề không thỏa mãn tính chất Kronecker Delta trong phương pháp nội suy MLS phải sử dụng hàm trọng số khối lượng (weighted residual) Hàm trọng số được thêm vào để hiệu chỉnh làm cho việc nội suy chuyển vị tại 1 điểm bất kì bằng

O x u chính giá trị chuyển vị tại điểm đó Việc xác định các giá trị của hàm trọng số làm bài toán trở nên phức tạp, gây khó khăn cho người lập trình, tăng nguy cơ sai số Ngược lại với phương pháp nội suy MLS thì phương pháp nội suy MK thỏa mãn được tính chất Kronecker Delta nên không sử dụng hàm trọng số (weighted residual) làm giảm đáng kể độ phức tạp trong tính toán Với những tính chất được kể trên thì phương pháp nội suy MK hiện được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học

2.4.1 Tình hình nghiên cứu ngoài nước Gu (2003) [13] giới thiệu thành công phương pháp MGK cho bài toán truyền nhiệt ổn định

P Tongsuk và W Kanok-Nukulchai(2004) [17] đã áp dụng phương pháp MGK để giải bài toán 1 chiều (kéo-nén), bài toán dầm mỏng, dầm cao, và bài toán phẳng hai chiều

Bùi Quốc Tính và các cộng sự (2011) [42] đã sử dụng phương pháp MGK cho tấm mỏng Kirchhoff

2.4.2 Tình hình nghiên cứu trong nước Nguyễn Nhật Tân – luận văn cao học Trường đại học Bách Khoa TP.HCM với đề tài phân tích tấm mỏng bằng phương pháp không lưới MGK(2010)

Phan Ngọc Cường – luận văn cao học Trường đại học Bách Khoa TP.HCM với đề tài áp dụng phương pháp không lưới MGK phân tích động lực học cho tấm Reisser- Mindlin sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (FSDT)(2012)

Phạm Văn Mạnh - luận văn cao học Trường đại học Bách Khoa TP.HCM với đề tài phân tích ổn định của tấm Conposite có đặc tính thay đổi chịu nén phi tuyến bằng một phương pháp không lưới (2012) Trong luận văn này tác giả sử dụng lý thuyết tấm Reisser-Mindlin kết hợp với phương pháp không lưới MGK.

Kết luận chương

Chương này đã trình bày tổng quan về vật liệu chức năng, lý thuyết cắt và phương pháp rời rạc được sử dụng để tính toán trong phân tích tấm FGM Lược qua tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước đã có nhiều nghiên cứu về tấm FGM tuy nhiên việc sử dụng lý thuyết S-FSDT với khả năng ít ẩn số hơn, đơn giản hơn vẫn chưa được sử dụng nhiều Áp dụng phương pháp không lưới MGK kết hợp lý thuyết S-FSDT cũng là nội dung chính của bài luận văn này.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Giới thiệu chương

Trong chương này lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đơn giản áp dụng cho tấm FGM sẽ được trình bày Phương pháp không lưới MGK cũng được thể hiện nhằm áp dụng cho bài toán phân tích dao động tự do của tấm FGM Bằng cách áp dụng nguyên lý Hamilton phân tích bài toán tấm FGM theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đơn giản kết hợp phương pháp không lưới MGK, để thiết lập phương trình dao động tự do của tấm FGM được trình bày cụ thể trong chương này

Chương này bao gồm 5 mục, mục 2 giới thiệu bài toán cần giải quyết là tấm vật liệu chức năng, mục 3 tính toán dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đơn giản kết hợp với phương pháp không lưới để tìm ra lời giải bài toán dưới dạng các ma trận

Qua đó nghiệm của bài toán sẽ tìm được bằng cách lập trình

3.2 Tính chất cơ học của tấm FGM

Luận văn này phân tích dao động tự do của tấm FGM bằng cách sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đơn giản kết hợp với phương pháp không lưới MGK

Tấm FGM được xét để phân tích có các đặc tính cơ học như sau:

Mặt dưới và trên của tấm hoàn toàn là kim loại và gốm Mặt phẳng xy nằm ở giữa tấm Chiều dương của trục z hướng lên trên Trong luận văn này, tỷ số Possion’s  được xem là hằng số Ngược lại, môđun đàn hồi E , mật độ khối lượng  được xem là thay đổi liên tục theo chiều dày tấm FGM với luật hỗn hợp Voigt hay theo lược đồ Mori-Tanaka Theo đó, môđun đàn hồiE z , mật độ khối lượng      z được xác định như sau:

E : modun đàn hồi của vật liệu kim loại m

E : modun đàn hồi của vật liệu gốm c

 m : khối lượng riêng của kim loại

 c : khối lượng riêng của gốm

  : hàm mật độ thể tích (volume fraction)

Hình 3.1.Sự thay đổi của V theo tỷ số z h c Hình 3.1 biểu diễn sự thay đổi của hàm mật độ thể tích V đối với tỷ số chiều c dày tấm FGM khi trị số n thay đổi Đối với giá trị n rất lớn n100 thì V c 0 - có thể xem như vật liệu của tấm chỉ bao gồm là kim loại Đối với giá trị n rất bé n0.01 thì V c 1 - có thể xem như vật liệu của tấm chỉ bao gồm là gốm Sự thay đổi của việc kết hợp giữa hai vật liệu kim loại và gốm là tuyến tính khi n1.

Lý thuyết tấm FGM

Lý thuyết Reissner-Mindlin còn có tên gọi là lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, trong luận văn này sẽ trình bày 1 lý thuyết S-FSDT từ sự cải tiến của lý thuyết Reissner-Mindlin

Trường chuyển vị được cho bởi lý thuyết Reissner-Mindlin như sau:

Trong đó u(x, y),v(x, y),w(x, y)là những ẩn số chuyển vị của mặt giữa của tấm theo các phương x, y,z tương ứng;  x ( , ),x y  y ( , )x y là các góc xoay của pháp tuyến của mặt phẳng giữa tấm theo trục ,x y Bằng cách đơn giản khi phân tích chuyển vị đứng thành 2 thành phần riêng biệt: b s w(x, y)= w (x, y)+ w (x, y) (3.4) với w : chuyển vị đứng do uốn b w : chuyển vị đứng do cắt s Ngoài ra theo lý thuyết Reissner-Mindlin x (x, y) w (x, y) b / x

Trường chuyển vị mới được viết lại bằng cách thế (3.4) và (3.5) vào (3.3):

Như vậy bằng cách phân tích chuyển vị đứng thành 2 phần chuyển vị đứng do uốn và chuyển vị đứng do cắt thì số ẩn số chuyển vị đã được giảm đi 1 ẩn Trường chuyển vị của lý thuyết biến dạng cắt bậc 1 đơn giản tại 1 điểm bất kì có 4 thành phần được viết lại như sau: h h h h b h s u v w w

Hàm dạng phương pháp không lưới nội suy MK

Chuyển vị tại 1 điểm bất kì x là u (x) h được xấp xỉ trong miền con  x sao cho x

  Hàm chuyển vị u (x) h sẽ được tính thông qua các giá trị chuyển vị của các điểm nút trong miền  x Vì vậy  x còn được gọi là miền giá đỡ của điểm x sẽ được trình bày cụ thể ở mục 3.4.3.Giả sử trong miền giá đỡ  x có n điểm nút x i  i  1, n , sẽ có n giá trị chuyển vị tương ứng với mỗi điểm nút u I  I  1, n  Khi đó chuyển vị tại một điểm bất kì  x x được viết như sau: h  T  T  u (x) p (x)A r (x)B u(x) (3.8)

Kết hợp phương trình (3.7) và (3.8), chuyển vị với mọi điểm trong miền giá đỡ được viết lại:

Không mất tính tổng quát khi viết lại công thức (3.9) và bỏ chỉ số h như sau:

(3.10) với chuyển vị tại mỗi điểm nút x i  i  1, n  là u I  u I v I w bI w sI  T ;  I 1, n   Trong (3.10)  I được định nghĩa bởi hàm dạng nội suy MK:

Trong công thức (3.8) các ma trận A,B được định nghĩa như sau:

Trong đó I là ma trận đơn vị, các p   x là đa thức với m hàm cơ sở:

Cụ thể, đối với ma trận P kích thước n m , các giá trị của hàm cơ sở đa thức (3.14) được cho bởi như sau:

Trong luận văn này sử dụng p T ( ) x là một hàm bậc hai như sau:

Véc tơ r(x) trong phương trình (3.8) được định nghĩa như sau:

Trong đó R x x i , j  là hàm tương quan giữa các cặp của n nút x và i x j nó được biểu hiện bằng các phương sai của các trường giá trị (x)u :R x x( , i j )covu( ), (x i u x j )và

R x x x x Có nhiều cách để xác định hàm R (x , x ) i j nhưng phương pháp hàm Gauss là phương pháp thường sử dụng vì tính đơn giản, hiệu quả

Với: r ij  x i x , và j  0là hệ số tương quan Ngoài ra, ma trận

R được biểu diễn dưới dạng tường minh như sau:

(3.19) Đối với bài toán tấm FGM, không chỉ đạo hàm bậc 1 được sử dụng mà còn đạo hàm bậc 2 của hàm dạng cũng được thiết lập dựa trên (3.11) như sau:

I ii j ii jI k ii kI j k p A r B

3.4.2 Tính chất toán học của hàm nội suy MK 3.4.2.1 Tính chất Kronecker - Delta

Một trong những điểm quan trọng nhất của hàm dạng MK, đó là sở hữu tính chất Kronecker’s delta Điều này sẽ loại bỏ những trở ngại đáng kể nhất của hầu hết các phương pháp không lưới khi áp đặt điều kiện biên để giải bài toán cơ học Để chứng minh cho điều này, chúng ta khảo sát lại hàm dạng MK xác định bởi biểu thức (3.11)

Hay biểu thức (3.22) có thể viết dưới dạng sau:

Khi A B R và P được định nghĩa ở những phương trình (3.12), (3.14), (3.15), (3.19), , , thay B ở phương trình (3.13) vào phương trình (3.23) ta được:

Biểu thức (3.24) dẫn đến tính chất Kronecker’s delta xác định bởi biểu thức (3.25)

Ngoài ra 1 tính chất khác của hàm nội suy MK là sở hữu tính nhất quán, nghĩa là có thể xây dựng lại bất cứ hàm có bậc thấp hơn Để đơn giản, thuộc tính này có thể tóm tắt như sau: Nếu u đạt được từ đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng I m nghĩa là

 u Pα (3.26) trong đó, P được xác định từ công thức (3.15) và là véc tơ chứa các hệ số bất kỳ, thì sự xấp xỉ đó là chính xác Sự xấp xỉ của trường chuyển vị như sau:

( ) ( ) ( ) h T u x p xu x (3.27) Đặc biệt, nếu sử dụng hàm ( )p x là hàm tuyến tính khi xây dựng hàm dạng MK thì tất cả hằng số, số hạng tuyến tính có thể xác định lại hoàn toàn:

3.4.3 Miền giá đỡ (support domain)

Miền khảo sát bài toán bao gồm các điểm nút ở phía trong và các điểm nút ở trên biên Các điểm nút để tính toán trong phương pháp không lưới được bố trí có quy tắc hoặc không quy tắc đều được Để đảm bảo kết quả bài toán chính xác nhất, thông thường đối với những vị trí có biến dạng lớn sẽ được bố trí dày điểm nút hơn như trong Hình 3.2

Hình 3.2 Bố trí các nút trong phương pháp không lưới Việc xây dựng miền giá đỡ để sử dụng trong việc nội suy chuyển vị là vô cùng cần thiết Hiện tại đã có nhiều nghiên cứu sử dụng nhiều dạng hình học của miền giá đỡ khác nhau nhưng trong đó miền giá đỡ có dạng hình chữ nhật và hình tròn được sử dụng phổ biến nhất Việc xác định kích thước của miền giá đỡ có ý nghĩa quan trọng ảnh hưởng đến bài toán Kích thước của miền giá đỡ là d và được xác định như sau: s s c d d (3.29)

Trong đó  là hệ số của miền giá đỡ, d là đại lượng đặc trưng cho khoảng cách giữa các nút Nếu các nút được phân bố c đều, d là khoảng cách giữa 2 nút, nếu các nút được phân bố không đều c d là “kích c thước trung bình” trong miền giá đỡ Ta có thể tính d bằng cách ước lượng như sau: c

  trong hệ tọa độ Đề các

      trong hệ tọa độ cực

, L B : chiều dài các cạnh theo phương ,x y ,

L , B n n : số nút trên các cạnh theo phương ,x y , , R

R n : bán kính miền bài toán, và số nút trên chu vi, n  : số nút trên cung tròn

Việc xác định hệ số  là phức tạp thường được xác định theo kinh nghiệm tính toán, với 2 4 thường sẽ cho lời giải tốt với bài toán phẳng Việc tính toán chuyển vị theo phương pháp nội suy cho nên miền giá đỡ phải có số lượng nút không quá ít để đảm bảo việc nội suy được chính xác Vì vậy  được chọn sao cho số lượng nút trong miền giá đỡ không được ít hơn 6 Ngược lại số lượng điểm nút quá lớn trong 1 miền giá đỡ đồng nghĩa với rất nhiều điểm trong miền ảnh hưởng của 1 điểm dẫn đến kích thước ma trận lớn gây cồng kềnh cho việc tính toán không cần thiết Ngoài ra số lượng điểm nút quá nhiều trong miền giá đỡ làm cho bài toán đang xét có số lượng miền giá đỡ quá ít gây ảnh hưởng lớn đến kết quả tính toán Tóm lại việc chọn hệ số  sao cho số lượng điểm nút trong một miền giá đỡ không quá nhiều và số lượng miền giá đỡ cho bài toán khảo sát không quá ít

3.4.4 Miền ảnh hưởng (influence domain)

Miền ảnh hưởng là miền mà 1 điểm nút nào đó có ảnh hưởng ở đó Chính vì vậy, miền ảnh hưởng gắn liền với nút đó, mỗi nút có 1 miền ảnh hưởng và có thể có kích thước khác nhau Miền ảnh hưởng là một miền mà 1 nút có ảnh hưởng ở đó Nó đi liền với nút, ngược lại với miền giá đỡ đi liền với một điểm không nhất thiết là một nút Kích thước của miền ảnh hưởng cũng giống như kích thước của miền giá đỡ

Hình 3.3 Miền ảnh hưởng cho 1 điểm bất kì

Phương trình dao động của tấm FGM

Phần này sẽ tìm lời giải phương trình dao động tự do của tấm FGM theo phương pháp không lưới MGK kết hợp với lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất đơn giản

Xét tấm vật liệu chức năng với chiều dài L , chiều rộng B , chiều dày h và có các đặc trưng vật liệu như module đàn hồi E , trọng lượng riêng z  z , hệ số Poison  được thể hiện như ở mục 3.2 Theo phương pháp không lưới MGK đã được trình bày ở mục 3.4 thì véctơ chuyển vị tại một điểm bất kỳ trong tấm FGM : h h h h h b s u v w w

Khai triển công thức (3.9) kết hợp với (3.30),ta được: n h

Theo các công thức (3.9)(3.10) và (3.11) :

3.5.2 Mối quan hệ ứng suất - biến dạng - chuyển vị Mối quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị được cho như sau:

Các giá trị đạo hàm được tính theo công thức (3.34), sau đó thế vào công thức (3.37) và viết lại dưới dạng ma trận:

B vớiε γ, là biến dạng uốn và biến dạng cắt

Mối quan hệ ứng suất - biến dạng theo định luật Hook:

D (3.43) với: k s : hệ số hiệu chỉnh cắt

E z : modun đàn hồi của tấm vật liệu chức năng

3.5.3 Phương trình năng lượng của tấm Theo nguyên lý Hamilton:

 L dt  (3.44) với L làm hàm Lagrange s f

T là động năng của hệ, Π là năng lượng biến dạng, s

W f là công của ngoại lực tác dụng vào hệ Động năng của hệ được định nghĩa như sau:

: thể tích vật thể, u: véctơ chuyển vị tại 1 điểm, m: ma trận khối lượng tại mỗi nút

Năng lượng biến dạng của vật thể đàn hồi được biểu diễn như sau:

   Π ε σ (3.47) ε là véc tơ biến dạng, σ là véc tơ ứng suất của 1 điểm

Công của ngoại lực được định nghĩa như sau: t

(3.48) t : véc tơ tải trọng tác dụng trên biên của vật thể; b: véc tơ tải trọng bất kì tác dụng lên vật thể

Hàm Lagrange viết lại như sau:

Phương trình (3.44) được viết lại:

  ε σ  u b  u t  mu u   (3.50) Đưa dấu biến phân vào tích phân:

Tính chất biến phân (biến phân của 1 tích) có được:

Hai số hạng trong vế phải ở phương trình (3.52) có giá trị chuyển trí là chính nó vì chúng là những đại lượng vô hướng Vì vậy số hạng thứ nhất trong vế phải của phương trình (3.52) được viết lại như sau:

     ε σ ε σ ε σ (3.53) Ứng suất được tính theo công thức (3.40) được thế vào phương trình (3.53), ngoài ra ma trận D là một ma trận hằng số, đối xứng nên, D T  D σ ,  Dε và D0 Viết lại phương trình (3.53):

Dựa vào (3.53) và (3.54), ta có:

Phương trình (3.52) được viết lại:

Xét số hạng cuối của (3.50)

Vì u u  T là đại lượng vô hướng nên

u u   u u  uu  (3.60) (3.59) Do đó (3.58) được viết lại:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần:

T T t t dt t dt dt t dt dt

Suy ra trường hợp tổng quát dạng yếu Galerkin có dạng như sau:

 ε σ  u b  u t m u u   (3.64) Đối với lý thuyết tấm dày thì năng lượng biến dạng gồm 2 thành phần riêng biệt là biến dạng uốn và biến dạng cắt theo (3.40) Do đó công thức (3.64) được viết lại:

Rút gọn biểu thức trên:

Với bài toán dao động tự do, dạng yếu được biểu diễn như sau:

Nghiệm tổng quát của phương trình trên có dạng: e iwt

Thay nghiệm tổng quát vào (3.72), ta được:

 K   2 M u   0 (3.74) trong đó ma trận độ cứng được tính:

B B D B (3.75) Để tính ma trận khối lượng, phân tích u thành 2 thành phầnu u như sau: 1 , 2

Khi đó ma trận khối lượng tại 1 nút được tính như sau:

Ma trận khối lượng tương thích M được tính:

Dạng yếu cho trường hợp phân tích tĩnh, tính chuyển vị do ngoại lực tác dụng, viết lại công thức (3.66) như sau:

Trong trường hợp lực phân bố đều tác dụng thẳng đứng vào tấm:

 ε Dε  γ D γ  (3.81) với : giá trị lực phân bố

Thế nghiệm tổng quát (3.73) vào biểu thức (3.81), ta được:

Ku F (3.82) với ma trận độ cứng K được tính ở (3.75), ma trận lực phân bố đều tác dụng thẳng đứng được tính như sau: f 1 d

Điều kiện biên

Tương tự như lý thuyết Reissner-Mindlin, thì điều kiện biên của lý thuyết dạng cắt bậc 1 đơn giản cũng như vậy Với trường hợp biên ngàm thì các chuyển vị đều bằng 0, còn trường hợp biên tựa đơn thì chuyển vị góc xoay khác 0, còn lại đều bằng 0

Trường hợp biên tựa đơn: b w b s w s 0 v w w y y

Hình 3.4 Điều kiện biên của tấm FGM có 4 cạnh biên là tựa đơn

Hình 3.5 Điều kiện biên của tấm FGM có 4 cạnh biên là ngàm

Phép tích phân số

  i , j là tọa độ điểm nằm trong phần tử, i , j w w là các trọng số Gauss tương ứng, n là số điểm Gauss được sử dụng,

  là ma trận Jacobi của phép biến đổi tọa độ

Phép cầu phương Gauss với n điểm Gauss sẽ cho kết quả chính xác nếu hàm f    ,  là một đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng  2 n 1 

Bảng 3.1 thể hiện vị trí và trọng số của các điểm Gauss tương ứng với mỗi số lượng điểm Gauss được sử dụng

Bảng 3.1 Tọa độ và trọng số trong phép phương cầu Gauss n   i , j  w w i , j 1 r 10.00000 00000 2.00000 00000

Mã nguồn, sơ đồ khối

Xác định các dữ liệu của bài toán gồm: các thông số kết cấu tấm FGM gồm có trọng lượng riêng   z , kích thước , ,L B h , module đàn hồi ( )E z , hệ số Poission  của tấm

Xác định lưới nút cho tấm FGM, khai báo số lượng điểm Gauss để tính toán tích phân

Tất cả các nút trong tấm được xác định miền hổ trợ và miền ảnh hưởng và tính toán các ma trận cho từng miền hổ trợ như K , ij M , ij F Ma trận tổng thể của tấm FGM sẽ ij được ghép nối từ tất cả các ma trận của miền hổ trợ Việc đưa điều kiện biên vào làm cho ma trận tổng thể được hiệu chỉnh thành các ma trận hiệu dụng K red , M red , F red Các giá trị tính toán sẽ thực hiện trên các ma trận hiệu dụng này

Hình 3.6 Lưu đồ thuật toán

Tạo lưới nền tích phân và các điểm Gauss

Xác định miền hổ trợ, miền ảnh hưởng của các nút

Tính các ma trận cho từng miền hổ trợ K , ij M , ij F ij

Ghép nối các ma trận thành ma trận tổng thể

Thiết lập các điều kiện biên của tấm Thiết lập ma trận độ cứng hiệu dụng

Tính tần số : det  K red   2 M red   0

Tính chuyển vị d : K red d F red

Kết thúc Nhập dữ liệu đầu vào thông số tấm FGM Bắt đầu

Kết luận chương

Cơ sở lý thuyết được trình bày 1 cách chi tiết trong chương này Dựa trên nguyên lý Hamilton tác giả đã thiết lập được các phương trình dao động và phương trình tính chuyển vị của tấm FGM Các ma trận trong phương trình như: K, M, F đã được tính toán 1 cách cụ thể và được trình bày dưới dạng ma trận để tiện cho việc lập trình.

VÍ DỤ SỐ

Giới thiệu

Chương này được trình bày kết quả số của luận văn, gồm 2 phần quan trọng được trình bày Phần 1 là kiểm tra độ chính xác của chương trình máy tính được viết bằng ngôn ngữ MATLAB so với các kết quả nghiên cứu đã công bố trước đây và kết quả của phần mền SAP2000 v.15 Phần 2 là những khảo sát số các hệ số ảnh hưởng đến tần số dao động của tấm FGM Các kết quả số được bàn luận, đánh giá để tìm hiểu sự ảnh hưởng của chúng.

Kiểm chứng kết quả phân tích tấm FGM

Kiểm chứng kết quả tần số dao động của tấm FGM có số liệu như Bảng 4.1, hệ nút 13 13 , hệ số trong phương pháp MGK   3 được cho trước, chiều dày tấm

0.1 h m Tần số dao động được kiểm chứng trong bài toán là tần số dao động không thứ nguyên được định nghĩa như sau:  *  2 2 l h  m E m

Bảng 4.1 Thông số tấm FGM có vật liệu là Al Al O 2 3

Bảng 4.2 Tần số dao động của tấm FGM có 4 cạnh biên là tựa đơn với các hệ số n khác nhau n Method Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 Mode 5

CPT-neu based IGA [39] 115.93 289.78 289.78 463.60 579.54 FSDT based IGA 115.89 289.61 289.61 463.12 579.26 S-FSDT based IGA 115.89 289.58 289.58 463.07 578.72 Exact [40] 115.87 289.77 289.58 463.48 578.72

0.5 CPT-neu based IGA [39] 98.16 245.37 245.37 392.55 490.72 FSDT based IGA 98.14 245.25 245.25 392.20 490.63 S-FSDT based IGA 98.13 245.22 245.22 392.14 490.10 Exact [40] 98.01 245.33 245.33 392.44 392.44 Luận văn ∗ 95.94 245.23 245.23 382.39 505.69

1 CPT-neu based IGA [39] 88.45 221.10 221.10 353.71 442.17 FSDT based IGA 88.43 221.00 221.00 353.42 442.15 S-FSDT based IGA 88.43 220.96 220.96 353.36 441.63 Exact [40] 88.31 221.06 221.06 353.63 353.63 Luận văn ∗ 86.78 222.53 222.53 350.29 459.83

Luận văn 12.91 33.21 33.21 52.80 68.78 mode 1 mode 2 mode 3 mode 4 mode 5 mode 6

Hình 4.1 Mode shape của sáu mode dao động đầu tiên của tấm FGM, 4 cạnh biên tựa đơn ứng với n1

Bảng 4.3 Tần số dao động của tấm FGM có 4 cạnh biên là ngàm với các hệ số n khác nhau n Method Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 Mode 5

0 CPT-neu based IGA [39] 211.34 431.01 431.01 635.45 772.75 FSDT based IGA 211.12 430.35 430.35 633.99 771.98 S-FSDT based IGA 211.15 430.36 430.36 634.16 770.90

0.5 CPT-neu based IGA [39] 178.95 364.95 364.95 538.06 654.32 FSDT based IGA 178.79 364.49 364.49 537.01 654.07 S-FSDT based IGA 178.80 364.46 364.46 537.08 652.92

Hình 4.2 Mode shape của sáu mode dao động đầu tiên của tấm FGM, 4 cạnh biên ngàm ứng với n1 Bảng 4.4 Tần số dao động của tấm FGM có 2 cạnh biên là tựa đơn và 2 cạnh biên là ngàm với các hệ số n khác nhau n Method Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 Mode 5

2 CPT-neu based IGA [39] 117.94 222.99 282.41 385.24 416.34 FSDT based IGA 117.87 222.83 282.12 384.69 416.21

S-FSDT based IGA 117.88 222.82 282.08 384.70 415.80 Exact [40] 117.81 222.81 222.81 385.07 385.07 Luận văn ∗ 121.31 221.05 292.37 378.85 424.33

Hình 4.3 Mode shape của sáu mode dao động đầu tiên của tấm FGM có 2 cạnh biên tựa đơn, 2 cạnh biên là ngàm ứng với n1 Bảng 4.5 Tần số dao động của tấm FGM có 2 cạnh biên là tựa đơn và 2 cạnh biên tự do với các hệ số n khác nhau n Method Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 Mode 5

Hình 4.4 Mode shape của sáu mode dao động đầu tiên của tấm FGM, 2 cạnh biên tựa đơn và 2 cạnh biên tự do ứng với n1So sánh kết quả tần số dao động không thứ nguyên của luận văn với giá trị của những phương pháp khác có sự chênh lệch không đáng kể Sai số của giá trị tần số dao động đầu tiên thường có giá trị sai số nhỏ (