Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích ảnh hưởng của bể nước đến khả năng kháng chấn của công trình

Dựa trên ngôn ngữ lập trình MATLAB, một chương trình máy tính được viết để phân tích phản ứng động của kết cấu có gắn bể nước mái khi chịu tải điều hòa và động đất, chương trình này được

GIỚI THIỆU

Đặt vấn đề

Động đất là sự chuyển động của nền đất, gió bão do sự thay đổi khí hậu và vì vậy chúng có ảnh hưởng đến công trình xây dựng trên nền đất, có thể ảnh hưởng khá lớn Các trận động đất lớn gây sụp đổ các công trình xây dựng do lực quán tính của chính khối lượng công trình gây ra; gió bão gây ra áp lực lớn lên bề mặt và có thể nguy hiểm cho công trình Trong những thập niên gần đây, với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật, ngành vật liệu xây dựng đã tạo ra những vật liệu có trọng lượng nhẹ hơn mà cường độ chịu lực cao hơn; nên kết cấu dùng vật liệu này có khuynh hướng tăng độ mảnh, tiết diện nhỏ đi Xét trên khía cạnh đặc trưng động lực học có thể thấy rằng tần số riêng của hệ có thể nhỏ hơn và trở nên nguy hiểm hơn khi chịu tác động của tải trọng động như gió và động đất Hơn nữa, gió và cả động đất đã và đang xuất hiện nhiều nơi trên thế giới, cũng không hạn chế vùng miền; và trong quá khứ cũng như gần đây chúng gây ra khá nhiều tổn thất nặng nề về người và công trình xây dựng; một số ví dụ như trong bảng 1.1 và các hình vẽ

Bảng 1.1 Thiệt hại về người và tài sản qua một số trận động đất Địa điểm Thời gian Cường độ

(Richter) Con người Tài sản

Hình 1.1 Động đất Northridge, năm 1994

Hình 1.2 Động đất Kobe, năm 1995

Hình 1.3 Động đất Sumatra, Indonesia, năm 2004

Hình 1.5 Công trình bị phá hoại do bão tại Keokuk, Mỹ, năm 2011

Tại Việt Nam đã từng ghi nhận hai trận động đất có cường độ mạnh Một là động đất Điện Biên (năm 1935) với cường độ 6.75 độ Richter xảy ra trên đới đứt gãy sông Mã Hai là động đất Tuần Giáo (năm 1983) với cường độ 6.8 độ Richter xảy ra trên đứt gãy Sơn La Từ năm 2005 trở lại đây, ngày càng xuất hiện nhiều trận động đất hơn, có năm nhiều hơn đến 10 trận Ví dụ, năm 2007 ở ngoài khơi Vũng Tàu – Phan Thiết xảy ra động đất 5.3 độ Richter, đầu năm 2011 cũng xảy một trận với cường độ 4.7 độ Richter Ngoài ra, Việt Nam nằm trong khu vực có tần suất xuất hiện bão nhiệt đới lớn nhất trên thế giới (hình 1.6), mỗi năm có hàng chục cơn bão và đã tác động lên nhiều công trình xây dựng và cũng đã gây nguy hại cho một số công trình

Hình 1.6 Tần suất xuất hiện của bão biển trên thế giới từ năm 1980 đến 2000

Qua một số nhận xét trên, có thể thấy rằng sự tác động của gió bão và động đất đối với các công trình xây dựng là quan trọng Với trình độ khoa học kỹ thuật hiện tại, khó có thể dự báo khi nào xảy ra động đất, cấp độ là bao nhiêu; hay khi nào xảy ra bão lớn, nhiều hay ít một cách chính xác; nên việc tìm giải pháp kết cấu để an toàn hơn khi chịu tác động của các nguyên nhân này rất cần thiết Sự cần thiết này không chỉ trong điều kiện ở trong nước mà cả ở nước ngoài Nên hướng nghiên cứu này có tính thời sự đối với các kỹ sư kết cấu và ngày càng thu hút sự quan tâm Để kết cấu có thể phù hợp hơn với các tác động trên, giải pháp truyền thống là tăng độ cứng và khả năng chịu lực của kết cấu bằng cách tăng kích thước tiết diện của các cấu kiện như cột, dầm, vách cứng Tuy nhiên, giải pháp này có nhược điểm là tăng trọng lượng bản thân kết cấu kéo theo tăng chi phí xây dựng mà hiệu quả đạt được là không cao Vì lý do đó, trong thời gian gần đây các nhà khoa học và kỹ sư đã nghiên cứu và ứng dụng các giải pháp giảm chấn cho kết cấu, nhằm hạn chế bớt những hư hỏng mà công trình phải gánh chịu do các tác động của tự nhiên, đặc biệt là do động đất gây ra Các giải pháp giảm chấn có thể chia thành ba nhóm chính:

Giải pháp dạng bị động, giải pháp dạng chủ động và giải pháp dạng bán chủ động

Hai giải pháp sau đòi hỏi phải phối hợp nhiều ngành khoa học liên quan xây dựng,

6 tự động, điện,… nên hiện nay đang được quan tâm nhưng còn rất nhiều khó khăn và kết quả cũng còn nhiều hạn chế Sự thành công của giải pháp đầu tiên, giảm chấn bị động đã đóng góp nhiều trong ngành cả về cơ sở lý thuyết và một số ứng dụng cụ thể

Trong các giải pháp giảm chấn dạng bị động, giải pháp dùng chất lỏng rất có hiệu quả bởi các lý do như khả năng hấp thụ cũng như tiêu tán năng lượng dao động cao ngay cả với các kích động nhỏ; có thể kết hợp TLD làm bể nước sinh hoạt; tốn rất ít chi phí xây dựng và bảo trì hơn các thiết bị khác, giá thành thấp nên khá phù hợp trong điều kiện nước ta Trên thế giới việc áp dụng giảm chấn dạng chất lỏng để giảm dao động cho các công trình xây dựng đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học và cũng đã được ứng dụng; hơn nữa các nghiên cứu về hướng này gần đây cũng được công bố tương đối nhiều trên các tạp chí khoa học Ở Việt Nam, năm 2006, lần đầu tiên hệ giảm chấn chất lỏng được áp dụng để giảm dao động do gió cho tháp cầu dây văng Bãi Cháy Tuy nhiên việc nghiên cứu về hệ giảm chấn có nhiều ưu điểm này còn hạn chế Các công trình nghiên cứu ở Việt Nam về hệ giảm chấn dạng chất lỏng trong thời gian gần đây có thể kể đến như sau:

- Nghiên cứu giải pháp điều khiển bị động kết cấu với hệ cản điều chỉnh cột chất lỏng (TLCD), luận văn thạc sĩ, Ngô Ngọc Cường, 2003

- Nghiên cứu giải pháp giảm dao động xoắn của công trình bằng hệ cản điều chỉnh cột chất lỏng TLCD, luận văn thạc sĩ, Lê Ngọc Bảo, 2007

- Phân tích khả năng kháng chấn của công trình sử dụng các bể chứa trong đó có xét đến sự tương tác giữa chất lỏng và thành bể, luận văn thạc sĩ, Bùi Phạm Đức Tường, 2010 - Nghiên cứu ứng dụng hệ giảm chấn chất lỏng trong kiểm soát dao động cho cầu dây văng tại Việt Nam, luận án tiến sĩ, Nguyễn Đức Thị Thu Định, 2015

Trong các nghiên cứu trên, nghiên cứu của Ngô Ngọc Cường và Lê Ngọc Bảo nghiên cứu về hệ giảm chấn ở dạng điều chỉnh cột chất lỏng (TLCD) Nghiên cứu của Bùi Phạm Đức Tường tập trung phân tích dao động của sóng chất lỏng bên trong bể chứa khi nhấn mạnh đến sự tương tác giữa chất lỏng và thành bể hơn là

7 đánh giá tính hiệu quả của hệ giảm chấn điều chỉnh chất lỏng Nghiên cứu của tác giả Nguyễn Đức Thị Thu Định tập trung giải quyết bài toán hệ một bậc tự do có gắn TLD chịu tải trọng điều hòa Từ nhận định trên, luận văn này chọn đề tài Phân tích ảnh hưởng của bể nước đến khả năng kháng chấn của công trình nhằm chú trọng giải quyết bài toán kết cấu nhiều bậc tự do có gắn TLD chịu tải điều hòa và động đất.

Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu nghiên cứu của luận văn là phân tích sự ảnh hưởng của bể nước, đóng vai trò như hệ giảm chấn đến khả năng kháng chấn của kết cấu công trình; khảo sát sự ảnh hưởng của TLD đến hiệu quả giảm chấn khi thay đổi các thông số liên quan Để đạt được mục tiêu trên, các công việc cụ thể được đề ra như sau: tìm hiểu mô hình của bể nước mái trong kết cấu, xác định các thông số động lực học của bể nước theo mô hình phi tuyến; xây dựng mô hình kết cấu khung phẳng có gắn bể nước chịu tải trọng động với bậc tự do là chuyển vị ngang các sàn tầng, thiết lập phương trình chủ đạo và lựa chọn phương pháp giải; phân tích hiệu quả giảm dao động của TLD khi kết cấu chịu tải điều hòa và động đất dựa trên chương trình tính toán được xây dựng bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB.

Phương pháp thực hiện

Mục tiêu của luận văn này là theo hướng lý thuyết, nên phương pháp thực hiện là lý thuyết và phân tích số liệu từ lập trình Trước hết tìm hiểu cơ sở lý thuyết, các mô hình tính toán của bể nước, lựa chọn mô hình cho bể nước Ứng dụng mô hình NSD (Nonlinear Stiffness Damping) – mô hình hệ giảm chấn khối lượng tương đương với thông số độ cứng và tính cản phi tuyến để phân tích TLD Phương trình chủ đạo của kết cấu gắn TLD được thiết lập dựa trên sự cân bằng động, vì mô hình là phi tuyến nên phương trình này là phương trình vi phân phi tuyến và giải bằng phương pháp từng bước Newmark, gia tốc nền được lựa chọn là những trận động đất có phổ tần số tương đối gần với tần số riêng của kết cấu Thông qua các kết quả số thu được, bàn luận về tính hiệu quả của TLD

Cấu trúc luận văn

Nội dung luận văn gồm 5 chương, được trình bày sơ lược như sau:

Chương 1: Đặt vấn đề, nêu lý do chọn đề tài Giới thiệu sơ lược về hệ giảm chấn TLD Qua đó trình bày mục tiêu nghiên cứu, phương pháp thực hiện

Chương 2: Tổng quan về hệ giảm chấn TLD Trình bày một số công trình ứng dụng TLD để giảm chấn Đồng thời tìm hiểu tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước liên quan đến hệ giảm chấn trên

Chương 3: Trình bày cơ sở lý thuyết về hệ giảm chấn TLD Từ đó, lựa chọn mô hình tính toán, phương pháp số để phân tích đáp ứng của hệ khi không gắn TLD và khi có gắn TLD

Chương 4: Trình bày các ví dụ số để kiểm chứng code chương trình chính và phân tích hiệu quả của giải pháp giảm chấn bằng bể nước mái Bên cạnh đó, khảo sát sự ảnh hưởng của các thông số tỷ số khối lượng của TLD, tỷ số giữa tần số TLD và tần số dao động tự nhiên của kết cấu, chiều sâu mực nước trong bể đến hiệu quả giảm chấn

Chương 5: Nêu ra một số kết luận quan trọng rút ra được từ luận văn Đánh giá sự ảnh hưởng của thông số tỷ số khối lượng, tỷ số tần số, chiều sâu mực nước đến ứng xử của hệ khi chịu tải trọng điều hòa và động đất Từ đó, đưa ra hướng phát triển đề tài trong tương lai

TỔNG QUAN

Giới thiệu

Chương này trình bày sơ lược về hệ giảm chấn chất lỏng, lịch sử phát triển và ứng dụng hệ giảm chấn này trong thực tiễn Đồng thời tìm hiểu tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước liên quan đến hệ giảm chấn chất lỏng.

Hệ giảm chấn chất lỏng

Hệ giảm chấn chất lỏng là thiết bị giảm chấn kiểu bị động được lắp đặt vào kết cấu để giảm dao động cho kết cấu dưới tác dụng của tải trọng động như gió bão, động đất…Trong thực tế, hệ giảm chấn chất lỏng đã được sử dụng từ những năm 1950 nhằm khống chế dao động của các tàu bè Đến cuối những năm 1970, hệ giảm chấn này bắt đầu được sử dụng trong xây dựng nhằm giảm dao động cho kết cấu dưới tác dụng của tải trọng động Từ đó, rất nhiều nhà nghiên cứu quan tâm đến vấn đề này Bauer (1984) đề xuất sử dụng các bể chứa chữ nhật chứa hai loại chất lỏng không trộn lẫn nhau để giảm ứng xử dao động cho kết cấu Kareem và Sun (1987), Toshiyuki và Tanaka, Modi và Welt (1987) là những nhà nghiên cứu đầu tiên ứng dụng hệ giảm chấn chất lỏng trong kết cấu xây dựng

2.2.1 Phân loại hệ giảm chấn chất lỏng

Hệ giảm chấn điều chỉnh chất lỏng được chia thành hai dạng chính: hệ giảm chấn điều chỉnh chuyển động sóng chất lỏng bề mặt [37] (Tuned Sloshing Damper – TSD) và hệ giảm chấn điều chỉnh cột chất lỏng (Tuned Liquid Column Damper – TLCD)

2.2.1.1 Hệ giảm chấn điều chỉnh cột chất lỏng

Hệ giảm chấn điều chỉnh cột chất lỏng sử dụng chuyển động của chất lỏng bên trong thùng chứa dạng hình ống gồm hai cột chất lỏng thông với nhau nhờ van điều chỉnh (hình 2.1) Thiết bị này có một số ưu điểm như: Hình dạng thùng chứa

10 có thể điều chỉnh linh hoạt để phù hợp cho kết cấu đã xây dựng, tính cản của TLCD có thể được kiểm soát nhờ điều chỉnh lỗ mở giữa hai cột chất lỏng, tần số của TLCD có thể thay đổi bằng cách điều chỉnh cột chất lỏng bên trong thùng chứa

Ngoài ra, có thể kết hợp hai thiết bị TLCD để giảm chuyển động theo hai phương khác nhau (Double Tuned Liquid Column Dampers – DTLCD)

Hình 2.1 Hệ giảm chấn điều chỉnh cột chất lỏng (TLCD)

2.2.1.2 Hệ giảm chấn điều chỉnh chuyển động sóng chất lỏng bề mặt

Hệ giảm chấn điều chỉnh chuyển động sóng chất lỏng bề mặt (TSD) (hình 2.2) tiêu tán năng lượng thông qua ma sát ở tầng biên của chất lỏng, sự chuyển động của sóng bề mặt và thông qua hiện tượng sóng vỡ (Sóng vỡ là hiện tượng chất lỏng dao động không ổn định hay sóng không tồn tại ở trạng thái cũ, vận tốc của chất điểm lớn hơn vận tốc truyền sóng, các chất điểm vượt khỏi mặt dao động của sóng

Trong trường hợp này các mô hình tuyến tính đơn giản không thể mô tả ứng xử của chất lỏng [37])

Thiết bị TSD có thể phân thành hai loại tùy theo cao độ mực chất lỏng: (1) một loại dùng sóng nước nông, (2) loại còn lại dùng sóng nước sâu Khi tỷ số h/L nằm trong khoảng 1/ 25 1/ 20 h L/ 1/ 2được xem là sóng nước nông, với h là chiều cao mực nước, L là chiều dài sóng theo phương chuyển động (Sun và cộng sự 1992) Những nghiên cứu gần đây (Banerji và cộng sự 2000, Seto 1996) cho thấy rằng khi tỷ số h/L nhỏ hơn 0.15 thì sự tiêu tán năng lượng sẽ lớn hơn Tuy nhiên, mực nước quá nông không thích hợp để kết hợp TSD làm bể nước sinh hoạt vì như thế sẽ lãng phí diện tích vốn hạn hẹp ở các tòa nhà cao tầng Dưới tác động với biên

11 độ lớn, thiết bị TSD sử dụng sóng nước nông tiêu tán phần lớn năng lượng bởi ứng xử phi tuyến của chất lỏng thông qua hiện tượng sóng vỡ (Sun và cộng sự 1992) Ưu điểm của thiết bị giảm chấn dạng chất lỏng dạng bị động có thể kể đến như sau:

- Tốn ít chi phí lắp đặt và bảo trì

- Dễ dàng điều chỉnh bằng cách thay đổi chiều cao mực nước hoặc kích thước bể chứa

- Có khả năng hoạt động theo nhiều phương khác nhau

- Hiệu quả dù biên độ kích động nhỏ (Sun và cộng sự 1992)

- Có thể kết hợp làm bể nước sinh hoạt

Hình 2.2 Hệ giảm chấn điều chỉnh sóng chất lỏng [37]

Trọng tâm của luận văn là nghiên cứu về hệ giảm chấn dạng điều chỉnh sóng chất lỏng

2.2.2 Ứng dụng hệ giảm chấn chất lỏng trong thực tế

Tại Nhật Bản, một vài công trình sử dụng TLD đã được xây dựng từ rất sớm, ví dụ điển hình là tòa nhà Gold Tower ở Chiba sử dụng MCC Aqua Damper (hình 2.3) đó là bể chứa nước dạng khối với các lưới sợi thép được bố trí dọc theo dòng chảy chất lỏng bên trong bể Lực kháng chấn được hiệu chỉnh bằng cách sử dụng một số lượng các bể chứa chất lỏng Cụ thể ở tòa nhà Golden Tower người ta dùng 16 bể chứa dạng này ở tầng mái công trình (cao độ 158m) với tổng khối lượng chất lỏng lên đến 10 tấn và bằng 1/100 khối lượng của toàn bộ công trình Sau khi các

12 thiết bị kháng chấn trên được gắn vào công trình thì người ta đo được phản ứng của kết cấu trước tác động của tải trọng động đã giảm đi khoảng 50-60% so với khi không sử dụng thiết bị kháng chấn TLD

Hình 2.3 Thiết bị MCC Aqua Damper ở tòa nhà Gold Tower

Trong công trình khách sạn Shin Yokohama Prince ở Nhật Bản, TLD được lắp đặt gồm 9 bể chứa chất lỏng có đường kính 2m chiều cao 22cm, chiều cao tổng cộng là 2m đã giúp cho công trình giảm được 50-70% dao động khi vận tốc gió là 20m/s và còn giúp giảm hơn nữa nếu tốc độ gió cao hơn Gia tốc công trình khi không sử dụng TLD là 0.01( m/s 2 ) còn khi có TLD là 0.006(m/s 2 ) Thiết bị TLD dạng này còn được ứng dựng trong các công trình ở sân bay quốc tế Nagasaki, sân bay quốc tế Tokyo, và tòa nhà Yokohama (Tamura và cộng sự, 1995)

Hình 2.4 Hệ giảm chấn TLD ở Shin Yokohama Tower (Tamura et al, 1995)

Hệ giảm chấn TLD ứng dụng cho công trình tháp Yokohama Marine gồm 39 bể chứa dạng hình trụ tròn Tần số chuyển động của chất lỏng trong bể được điều chỉnh gần như sát với tần số dao động tự nhiên thấp nhất của tháp Tổng khối lượng chất lỏng trong các bể là 1.53x10 3 kg, xấp xỉ 1% khối lượng của kết cấu Kết quả đo đạt cho thấy khi tốc độ gió là 20 m/s, giá trị bình phương tối thiểu của biên độ gia tốc giảm đi 1/3 so với khi không lắp đặt TLD

Hình 2.5 Tháp Yokohama Marine và khách sạn Yokohama Prince sử dụng TLD

Ngoài ra, TLD còn được ứng dụng tại một số công trình trên thế giới như: tòa nhà One Ricon Hill, San Francisco; tòa nhà One Wall Center ở Vancouver, British Columbia

Tại Việt Nam, hệ giảm chấn chất lỏng lần đầu tiên được ứng dụng tại cầu Bãi Cháy, Quảng Ninh Hệ giảm chấn được lắp đặt gồm 344 thùng chứa chất lỏng có chiều dài 1400mm và chiều rộng thay đổi 300mm, 400mm và 500mm được phân bổ cho hai tháp cầu [38]

2.2.3 Tổng quan tài liệu về hệ giảm chấn chất lỏng Đầu những năm 1980, hệ giảm chấn chất lỏng được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm Bauer (1984)[11] là một trong số người đầu tiên ứng dụng TLD để giảm

14 chấn cho công trình xây dựng với đề xuất sử dụng các bể chứa hình chữ nhật chứa hai loại chất lỏng không lẫn lộn nhau để giảm ứng xử dao động cho kết cấu

Kết luận chương

Chương này đã giới thiệu tổng quan về hệ giảm chấn điều chỉnh chất lỏng, ứng dụng thực tiễn và tình hình nghiên cứu liên quan Qua các nghiên cứu về TLD được trình bày ở trên, có thể rút ra một số nhận xét như sau: các nghiên cứu tuy đã rất phong phú từ phân tích hình dạng bể chứa, chất lỏng sử dụng trong thiết bị, phương pháp giải các phương trình động lực học của chất lỏng,…Tuy nhiên các nghiên cứu còn rời rạc và rất ít nghiên cứu xét một cách toàn diện ứng xử của kết cấu nhiều bậc tự do khi có gắn TLD Tuy tác giả Bùi Phạm Đức Tường có xét đến sự tương tác giữa kết cấu và TLD nhưng chưa đánh giá được trong trường hợp nào việc sử dụng thiết bị này là có hiệu quả, hơn nữa hiện tượng sóng vỡ được khẳng định là làm tiêu tán năng lượng không nhỏ nhưng do phức tạp nên không được xét đến; nghiên cứu sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn và quá trình tính toán phụ thuộc nhiều vào phần mềm ANSYS Nghiên cứu của tác giả Nguyễn Đức Thị Thu Định thực hiện trên hệ một bậc tự do chịu tải điều hòa Trên cơ sở đó, luận văn chọn đề tài “Phân tích ảnh hưởng của bể nước đến khả năng kháng chấn của công trình” nhằm chú trọng giải quyết bài toán ứng dụng TLD để giảm chấn cho kết cấu nhiều bậc tự do chịu tải điều hòa và động đất

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Giới thiệu

Chương này trình bày cơ sở lý thuyết được sử dụng để phân tích hiệu quả giảm chấn của TLD, nội dung lý thuyết trình bày nguyên lý hoạt động của giảm chấn chất lỏng, chuyển động của chất lỏng trong bể chứa, xây dựng mô hình tính toán cho kết cấu có gắn TLD, đồng thời trình bày phương pháp giải, thuật toán dùng để phân tích hiệu quả giảm chấn của TLD khi kết cấu chịu tải điều hòa và động đất.

Nguyên lý hoạt động của giảm chấn chất lỏng

Hoạt động của giảm chấn chất lỏng dựa trên hoạt động của chất lỏng bên trong bể chứa Khi chịu tác dụng của kích thích bên ngoài, TLD chuyển động kéo theo chất lỏng bên trong bể chứa chuyển động ở dạng sóng Các sóng hình thành bên trong bể chứa có thể là sóng nông, sóng sâu, sóng dài và đôi khi hình thành cả sóng vỡ Các loại chuyển động khác nhau sẽ tạo hiệu quả giảm dao động của TLD cho kết cấu là khác nhau Hiệu quả này được đánh giá thông qua lực xuất hiện trong hệ khi các chất điểm của chất lỏng chuyển động hợp lại theo nguyên lý cộng tác dụng [38] Các lực hình thành nên do chuyển động sóng trong bể chứa gây ra các áp lực lên thành bể và áp lực này đóng vai trò là lực quán tính làm cho hệ trở về trạng thái cân bằng Ngoài ra ở TLD còn tiêu hao một phần năng lượng thông qua ma sát ở lớp biên, dao động của sóng bề mặt và sóng vỡ.

Chuyển động của chất lỏng trong bể chứa

Việc tính toán tác động của chất lỏng trong bể chứa dựa trên cơ sở lý thuyết sóng gồm các lý thuyết tuyến tính đối với các chuyển động của sóng được thể hiện nhằm hiểu rõ các đặc trưng cơ sở của chuyển động như tần số dao động tự nhiên, áp lực phân bố lên thành bể

3.3.1 Sóng nước nông tuyến tính

Xét dòng sóng 2D như trên hình 3.1 (mặt phẳng xoz), chiều sâu chất lỏng là h, và z = 0 tại bề mặt chất lỏng khi mực nước tĩnh, η mô tả chuyển động mặt thoáng của chất lỏng, là một hàm của vị trí x và biến đổi theo thời gian t L và H thể hiện chiều dài và chiều cao sóng Biên độ của sóng được giả định là rất nhỏ đến nỗi mà các chuyển động của sóng có thể được xem là tuyến tính[15]

Hình 3.1 Định nghĩa các tham số trong chuyển động sóng

Chuyển động của chất lỏng được giả thiết là không nhớt, không xoay và không nén được Do vậy, hàm thế Φ tồn tại và thỏa phương trình Laplace:

  (3.1) Φ là hàm theo vị trí (x, z) và thời gian (t) Phương trình này được giải theo các điều kiện biên

Giả thiết hàm Φ được viết dưới dạng sau (Sun 1992):

Trong đó: ω = 2πf = 2π/T, là tần số góc của chuyển động sóng, f và T lần lượt là tần số tự nhiên và chu kỳ tự nhiên của chuyển động sóng

Thay công thức (3.2) vào (3.1), số hạng đầu tiên là hàm chỉ chứa x, số hạng thứ hai là hàm chỉ chứa z, do vậy có thể viết lại là:

Nghiệm X và Z được giả thiết là:

Các hệ số A, B, C, D sẽ được xác định theo các điều kiện biên Điều kiện biên dưới là: w 0 z

Thay các công thức (3.4) và (3.5) vào (3.3), ta được:

Tại mặt thoáng z = η (x,t) có hai điều kiện biên, một là điều kiện biên động học:

Và hai là điều kiện biên động lực học: w ( )

Trong đó p0 là áp lực lên mặt tự do Phương trình Bernoulli biểu diễn cho hàm thế Φ có dạng:

         (3.9) Trong đó ρ là trọng lượng riêng và g là gia tốc trọng trường Khi biên độ sóng nhỏ, các số hạng phi tuyến có thể bỏ qua Vì thế ta có:

Mặt khác, bỏ qua số hạng thứ hai từ công thức (3.8), ta có:

Lược bỏ η từ các công thức (3.10) vào (3.11) , các điều kiện biên trên bề mặt tự do được viết lại như sau:

Thay các công thức (3.2), (3.4), (3.6) vào phương trình trên ta được:

Thay các công thức (3.2), (3.4a), (3.6) vào công thức (3.10) và so sánh với công thức (3.14), các hệ số trong công thức (3.4) được xác định là

Do vậy, hàm thế Φ được biểu diễn như sau: cosh( ( ))

Từ các công thức (3.9) và (3.16), áp lực phân bố được biểu diễn: cosh( ( ))

3.3.2 Tần số dao động tự nhiên của sóng nông

Hình 3.2 Sóng trong bể chữ nhật chịu chuyển vị ngang [15]

Xét bể chữ nhật có thành tuyệt đối cứng như hình 3.2, bể có chiều dài 2a, chiều cao mực nước ban đầu bằng h, chịu chuyển vị ngang x s Hệ tọa độ như hình trên hình vẽ Điều kiện biên tại thành bể:

Bởi vì thành bể nằm theo phương đứng, dao động sóng chất lỏng trong bể có thể xem như hàm chồng chất của sóng hiện thời cùng với sóng nghịch của nó (sóng có pha dao động ngược pha và ngược hướng) Phương trình (3.14) khi đó trở thành:

Trong trường hợp bể chứa chịu chuyển động theo phương ngang, chỉ có hàm dạng sóng không đối xứng bị kích thích, khi đó (3.19) được viết lại là: cos( )sin( )

Tương ứng có hàm thế vận tốc theo thời gian: cosh(k(z ))

( , , ) sin( ) cos( t) cosh(kh) gH h x z t kx 

   (3.21) Để thỏa mãn điều kiện biên ở thành bể thì đạo hàm theo x của (3.21) phải bằng không: cos(kx)0 (x a) (3.22)

Với k là số bước sóng, và có thể biểu diễn theo chiều dài sóng L: k 2

Cần lưu ý rằng chiều dài sóng của mode dao động cơ bản bằng hai lần chiều dài của bể, L=4a

Thế (3.23) vào (3.13) thu được công thức tính tần số riêng cho bài toán bể chứa chất lỏng có thành tuyệt đối cứng:

Trong đó n là số các mode khác nhau của dao động sóng chất lỏng

Khi n=1 tần số dao động cơ bản đầu tiên theo (3.25) là:

Công thức (3.26) được dùng để tính tần số dao động của chất lỏng trong suốt luận văn này

Công thức (3.26) chỉ ra rằng tần số tự nhiên của sóng chất lỏng phụ thuộc vào kích thước bể mà cụ thể là chiều dài bể 2a, và tỷ số chiều sâu mực nước ε = h/a

Trong các nghiên cứu thường khảo sát các thông số của TLD trong dải a