Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích ảnh hưởng của tải trọng di động điều hòa và nhiệt độ đến ứng xử của tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên sử dụng phương pháp phần tử chuyển động

Giới thiệu chung

Trong hoàn cảnh ngành xây dựng cần phải phát triển để đáp ứng nhu cầu của xã hội về nhiều mặt, trong đó có mặt giao thông đường bộ, để có thể xây dựng các công trình giao thông đường bộ một cách hiệu quả hơn, tiết kiệm hơn cũng như an toàn hơn, các tính toán đòi hỏi độ tin cậy cao hơn, do đó việc nghiên cứu các mô hình tính chính xác hơn là một nhu cầu cấp thiết Hiện nay có rất nhiều nghiên cứu về bài toán kết cấu tấm khác nhau, loại tấm được nghiên cứu và thành phần tải tác dụng lên chúng cũng rất đa dạng

Hình 1.1 Mô hình tải trọng di động và phần tử tấm cố định (FEM)

Các nghiên cứu trước đây thường mô hình hóa nền đường dưới dạng tấm đồng nhất trên nền đất đàn hồi, sử dụng phương pháp FEM truyền thống Tuy nhiên, cấu trúc thực tế của nền đường bao gồm nhiều lớp tương tác với nhau Để mô phỏng chính xác sự tương tác này và các lực giữa các lớp, mô hình FEM phải tính đến yếu tố này Ngoài ra, với tải trọng di chuyển trên tấm, FEM gặp khó khăn khi tải trọng đến vùng biên do tính hữu hạn của mô hình.

Hình 2.1 Mặt cắt nền đường nhiều lớp khác nhau Phương pháp phần tử chuyển động (MEM) được cho là sẽ giúp giải quyết vấn đề của phương pháp FEM bằng cách mô hình kết cấu có chiều dài đủ lớn, sẽ được nghiên cứu và trình bày trong luận văn.

Tình hình nghiên cứu và tính cấp thiết của đề tài

1.2.1 Các công trình nghiên cứu ngoài nước

Bài toán phân tích ứng xử của tấm cũng được nghiên cứu từ rất lâu XiangSheng [1] đã phân tích ứng xử động của kết cấu tấm mỏng các mặt tựa đơn trên nền đàn hồi dưới tác dụng của tải trọng di chuyển với vận tốc không đổi Sun [2] đã xây dựng lời giải giải tích cho tấm Kirchhoff trên nền đàn nhớt chịu tải điều hòa bằng chuỗi Fourier Kim [3] đã phân tích mất ổn định và dao động của tấm mỏng trên nền đàn nhớt Winkler dưới tác dụng của tải trọng động bằng phương pháp biến đổi Double Fourier Transform Nghiên cứu phân tích ảnh hưởng của các thông số như vận tốc tải di chuyển, tần số, hệ số cản, hình dạng cũng như chuyển vị lớn nhất và xét đến ảnh hưởng của nén bề mặt tác động đến ổn định và dao động của kết cấu Tiếp theo đó, Kim và Rosset [4] đã nghiên cứu đến trạng thái ứng xử của một tấm vô hạn trên nền đàn hồi chịu tải trọng chuyển động điều hòa không đổi Xiang và cộng sự [5] đã thực hiện phân tích dao động của tấm dày Mindlin biên tựa đơn trên nền có độ cứng biến thiên Nghiên cứu còn được ứng dụng trên nền Winkler khi giả thuyết ảnh hưởng biến dạng của lớp cắt bằng không Liew và cộng sự [6] đã giải quyết bài toán tấm Mindlin trên nền Winkler bằng phương pháp DQM (Differential Quadrature Method) với điều kiện biên tựa đơn, tự do và ngàm Sau đó, Al-Hosani và cộng sự [7] đã phân tích tấm dày với hình dáng bất kỳ trên nền Winkler sử dụng bằng phương pháp biến đổi tích phân Fourier and Hankel Tiếp đó, Huang và Thambiratnam [8] đã sử dụng phương pháp dải hữu hạn để phân tích ứng xử của kết cấu tấm trên nền đàn hồi Xing và Liu [9] đã trình bày phương pháp giải quyết bài toán dao động của tấm chữ nhật Mindlin Lời giải của bài toán rất hữu ích cho việc thiết kế các thông số ban đầu cũng như phân tích nó trong thực tiễn Li và cộng sự [10] đã phân tích ứng xử động của tấm chữ nhật nền đàn nhớt dưới tác dụng vận tốc vật di chuyển thay đổi Trong các bài báo này các tác giả tập trung vào các yếu tố khác biệt trong trường hợp áp dụng tấm dày, dùng lý thuyết tấm dày Mindlin có kể đến biến dạng trượt, thực hiện so sánh với lý thuyết tấm mỏng Kirchhoff Để khắc phục những khó khăn khi giải quyết bài toán chịu tải di động, Koh và cộng sự [11] đã đề xuất sử dụng phương pháp phần tử chuyển động MEM trong việc khảo sát ứng xử động của tàu cao tốc Nghiên cứu này đã cho thấy rằng MEM là phương pháp thích hợp nhất để phân tích bài toán động lực học khi vận tốc biến đổi cũng như thay đổi các điểm tương tác so với phương pháp truyền thống FEM Sau đó, Koh và cộng sự [12] đã khảo sát đến ứng xử động của nền bán không gian đàn hồi sử dụng phương pháp MEM Tiếp đến, Ang và cộng sự [13] đã sử dụng MEM để khảo sát đến dao động của đường trong khoảng thời gian tăng tốc và giảm tốc và hiện tượng nảy bánh xe của tàu cao tốc [14] Sau đó, Thi và cộng sự [15] đã phân tích động lực học của tàu cao tốc trên nền hai thông số Lei và Wang [16] đã đề xuất một cách tiếp cận mới tên là phần tử khung chuyển động cho đường ray, dựa trên phần tử xe và phần tử nền để đánh giá ứng xử động của tàu và hệ thống nền ba lớp Gần đây, Xu và cộng sự [17] sử dụng phương pháp MEM để phân tích dao động ngẫu nhiên của tấm Kirchhoff trên nền Kelvin chịu tải trọng di động sử dụng phần tử 2D chuyển động Ở Việt Nam, trong những năm gần đây, việc ứng dụng phương pháp MEM vào phân tích ứng xử của tấm ngày càng nhiều và đạt được nhiều kết quả đáng tin cậy Nguyễn [18] đã phân tích dao động của tấm trên nền đàn nhớt có xét đến khối lượng của vật chuyển động sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn FEM Nghiên cứu này đã lựa chọn được mô hình tính toán cụ thể để mô phỏng cho bài toán thực tế và biến dạng trượt của tấm đã được xét đến theo lý thuyết tấm Mindlin Nguyễn và cộng sự [19] đã phân tích động lực học của tấm chữ nhật trên nền đàn nhớt biến thiên chịu khối lượng di động sử dụng phương pháp FEM Cao và cộng sự [20] đã phân tích ứng xử của tấm dày Mindlin trên nền Pastenak chịu tác dụng của tải trọng di chuyển Cao và cộng sự [21] đã phân tích ứng xử động tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tải trọng điều hòa di động sử dụng phương pháp phần tử chuyển động Cao và cộng sự [22] đã xây dựng phương pháp tấm chiều lớp chuyển động cho bài toán phân tích ứng xử của tấm trên nền nhiều lớp chịu tải trọng di chuyển Cao và cộng sự [22] đã phát triển phương pháp MEM từ mô hình 1D tàu cao tốc cho mô hình 3D tàu cao tốc Lương và cộng sự [23] đã phân tích ứng xử tĩnh và động của tấm Mindlin trên nền đàn nhớt sử dụng phương pháp MEM Cao và cộng sự [24] đã sử dụng phương pháp MEM để phân tích động học tấm composite trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di chuyển Và gần đây nhất, Lương và cộng sự [25] đã phân tích ứng xử động của tấm biến đổi chức năng FGM trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng điều hòa di chuyển

Một số luận văn Cao học Ngành Xây dựng Công trình Dân dụng và Công nghiệp tại trường Đại học Bách Khoa Thành phố Hồ Chí Minh cũng đã giải quyết một số bài toán tải trọng chuyển động đối với dầm và tấm Đỗ Duy Minh [26] đã phân tích động lực học kết cấu tấm dày trên nền nhiều lớp chịu tải trọng động sử dụng phương pháp MPMM (Multi-Layer Plate Moving Methode) Nhi [27] đã phân tích động lực học tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động sử dụng phương pháp phần tử 2-D chuyển động Kiều [28] đã phân tích ứng xử động kết cấu dầm trên nền hai thông số chịu tải trọng động có xét đến ảnh hưởng của lực dọc Quí

[29] đã phân tích động lực học tấm chịu tải trọng chuyển động với vận tốc không đều sử dụng phương pháp MEM cải tiến Phú [30] đã phân tích ứng xử kết cấu tấm nổi chịu tải trọng di động biến thiên tuần hoàn theo thời gian sử dụng phương pháp BEM-MEM

1.2.3 Tính cấp thiết của đề tài

Với tính ứng dụng rộng rãi của mô hình tấm, đã có rất nhiều nghiên cứu về ứng xử động của kết cấu tấm Có nhiều đề tài đã phân tích và nghiên cứu tấm sử dụng phương pháp phần tử chuyển động (MEM), với đa dạng về các kết cấu tấm khác nhau, cũng như thành phần tải trọng tác dụng lên kết cấu Tuy nhiên, nghiên cứu về tấm nhiều lớp chịu tải trọng di động điều hòa và nhiệt độ chưa được thực hiện Vì vậy, luận văn sẽ thực hiện đề tài phân tích tấm nhiều lớp chịu tải trọng di động điều hòa và nhiệt độ trên nền có độ cứng biến thiên.

Mục tiêu và hướng nghiên cứu

Mục tiêu của luận văn nhằm phân tích tấm nhiều lớp chịu tải trọng di động điều hòa và nhiệt độ trên nền có độ cứng biến thiên bằng phương pháp phần tử chuyển động MEM Để hoàn thành được mục tiêu đề ra phía trên cần thực hiện các bước sau:

• Thiết lập mô hình tấm nhiều lớp, thành lập ma trận khối lượng, ma trận độ cứng và ma trận cản

• Phát triển thuật toán, sử dụng ngôn ngữ Matlab để lập trình, xây dựng phương trình tính toán, giải phương trình tổng thể và phân tích kết quả

• Phân tích và đối chiếu các kết quả thu được với các kết quả của các bài báo của các tác giả trước đây để xác định được độ tin cậy và tính tối ưu

• Thay đổi các thông số của bài toán để khảo sát ảnh hưởng của các đại lượng đến ứng xử động của bài toán, từ đó đưa ra kết luận

Cấu trúc luận văn

Nội dung trong luận văn được trình bày như sau: trong và ngoài nước, cũng như mục tiêu và hướng nghiên cứu của đề tài

Chương 2: Trình bày các công thức phần tử hữu hạn để phân tích tấm nhiều lớp chịu tải trọng di động sử dụng phương pháp MEM

Chương 3: Đưa ra một số ví dụ bài toán số

Chương 4: Kết luận và kiến nghị

Tài liệu tham khảo: Trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên cứu của đề tài

Phụ lục: Một số đoạn mã lập trình Matlab chính để tính toán các ví dụ số trong chương 3

Mô tả bài toán

Trong luận văn này, ứng xử động học của tấm nhiều lớp gồm hai lớp có kích thước giống nhau chiều dài L, chiều rộng B, tấm bên trên có chiều dày h t và tấm bên dưới có chiều dày h b được đặt trên nền đất hệ số độ cứng nền biến thiên k wf (x), hệ số kháng cắt k sf (x) và hệ số độ cản nền biến thiên c f (x), chịu tác dụng của tải trọng P di chuyển dọc theo phương x qua tâm tấm, tác động của nhiệt độ lên tấm được thể hiện thông qua hàm

T(z) Hệ trục tọa độ O x y z t t t t ,O x y z b b b b của tấm bên trên và tấm bên dưới được chọn sao cho mặt phẳng tọa độ O x y z t t t t ,O x y z b b b b trùng với mặt trung hòa của từng tấm và mô hình từng tấm có miền hình học    t , b R 2 với trục z z t , b vuông góc với mặt phẳng tấm Gọi

0 t , 0 t , 0 t u v w và u 0 b ,v 0 b ,w 0 b lần lượt là các chuyển vị theo phương x, y, z của một điểm ở mặt trung hòa của tấm bên trên và tấm bên dưới Ký hiệu   xt , yt và   xb , yb lần lượt là các góc xoay của phương pháp tuyến mặt trung hòa quanh trục O y O x t t , t t và O y O x b b , b b

Hình 2.1 Mô hình tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên chịu ảnh hưởng của tải di động và nhiệt độ trọng điều hòa là tải trọng mà sự biến thiên theo thời gian của nó sẽ lặp lại sau một khoảng thời gian T, và sự lặp lại này là giống nhau

Hình 2.2 mô tả sự thay đổi của độ lớn lực P theo hàm sin Độ lớn của tải trọng phụ thuộc vào phương trình:

Hình 2.2 Tải trọng điều hòa

Tấm nền bên dưới tấm nhiều lớp được xét trong luận văn sẽ là nền có độ cứng biến thiên Mô hình nền gồm các lò xo đàn hồi có độ cứng k f và cản nhớt đặc trưng bởi hệ số c f phân bố trên bề mặt diện tích tấm:

Sự thay đổi đặc tính độ cứng nền dọc theo phương chiều dài của tấm theo quy luật như sau [31]:

𝑥 – tọa độ tổng thể tâm phần tử tấm;

𝑘 𝑤0 – hằng số của độ cứng nền;

∝ – là hệ số tương quan với 0 ≤∝≤ 1;

𝑛 – là giá trị hàm mũ 𝑛 > 0

Tương tự, sự thay đổi đặc tính độ kháng cắt và hệ số cản nền dọc theo phương chiều dài của tấm theo quy luật như sau:

Lý thuyết tấm

Theo bản chất của trạng thái ứng suất thì tấm có thể được phân làm ba loại sau:

Tấm dày là kết cấu có ứng suất ba trục được mô tả chi tiết và được xác định bởi hệ phương trình vi phân đầy đủ của lý thuyết đàn hồi ba chiều.

Tấm dày có tỉ lệ giữa chiều dày với kích thước cạnh ngắn ℎ

- Tấm mỏng (Tấm Kirchhoff): là tấm có ứng suất màng rất nhỏ so với ứng suất uốn khi biến dạng do tải trọng ngang Loại này gồm các tấm có tỉ lệ giữa chiều dày và kích thước cạnh ngắn 1

- Tấm có chuyển vị lớn (hay lý thuyết màng): được đặc trưng bằng việc các ứng suất uốn được đi liền bởi các ứng suất kéo hay nén tương đối lớn trong mặt phẳng trung bình Các ứng suất màng này ảnh hưởng đáng kể đến mô men uốn Tấm thuộc loại này khi

Lý thuyết tấm mỏng cổ điển của Kirchhoff là lý thuyết tấm đơn giản nhất được sử dụng rộng rãi để phân tích tấm Tính đơn giản được thể hiện bằng các giả thiết được cho như sau: với mặt trung bình (mặt phẳng chia đôi chiều cao tấm) khi biến dạng và độ dài của chúng là không đổi Hệ quả của giả thiết này là ta đã bỏ qua các thành phần biến dạng cắt ngang (𝛾 𝑦𝑧 = 𝛾 𝑥𝑧 = 0)

- Khi tấm chịu uốn mặt trung bình không chịu kéo, nén hay trượt

- Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng tấm

Tuy nhiên, khi tỉ số ℎ

𝐵 (với B là kích thước nhỏ nhất của mặt trung bình tấm) không đủ nhỏ thì sự bỏ qua các biến dạng này sẽ dẫn đến kết quả không chính xác

Hình 2.3 Mô hình động học của kết cấu tấm theo lý thuyết Kirchhoff

E Reissner [32] công bố lý thuyết tấm chính xác hơn bằng cách kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt trong tấm đàn hồi chịu uốn Lý thuyết Reissner không yêu cầu hệ số hiệu chỉnh cắt bởi vì được thành lập bằng cách giả định sự phân bố ứng suất tiếp theo quy luật parabol qua chiều dày tấm Sau đó R.D Mindlin [33] đã đưa ra lý thuyết có kể đến ảnh hưởng của quán tính xoay và biến dạng trượt trong dao động của tấm đàn hồi đẳng hướng và hoàn toàn tương thích với lý thuyết của Reissner Lý thuyết Mindlin cho phép các pháp tuyến chịu các góc xoay bằng hằng số xoay quanh mặt phẳng trung bình trong y,v x,u β x u(x,y,z) w(x,y) w ,x w ,x γ xz =0

Trong quá trình biến dạng, mặt trung bình z,w β x luôn phẳng Tuy nhiên, giả thiết pháp tuyến bị nới lỏng vi phạm yêu cầu tĩnh học khi ứng suất tiếp tuyến khác 0 tại biên tự do của tấm Để khắc phục, hệ số hiệu chỉnh cắt được đưa ra Lý thuyết tấm Reissner-Mindlin tính đến biến dạng trượt ngang, mở rộng phạm vi ứng dụng lý thuyết tấm cho cả tấm dày và trung bình.

- Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian của tấm trước biến dạng sẽ vẫn là thẳng nhưng không nhất thiết là vẫn vuông góc với mặt trung bình khi biến dạng

- Độ võng của tấm là nhỏ, mặt trung bình không bị kéo và nén

- Bỏ qua ứng suất pháp  z

Theo mô hình Reissner-Mindlin, các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình vẫn thẳng trong quá trình biến dạng nhưng không còn vuông góc với mặt trung gian nữa, và góc vuông này bị thay đổi đúng bằng biến dạng trượt trung bình gây ra bởi lực cắt Độ xoay tổng cộng của mặt cắt do đó có hai phần, một phần do độ võng của tấm khi các pháp tuyến vẫn vuông góc với mặt trung bình, phần còn lại do biến dạng trượt trung bình gây ra.

2.2.2 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa biến dạng – chuyển vị

Tấm nhiều lớp gồm các tấm Mindlin xếp chồng lên nhau, đặt trên nền đất có độ cứng biến thiên kích thước L x B x h, với các đặc tính vật liệu như mô đun đàn hồi E, trọng lượng riêng , hệ số Poisson  như hình 2.4 Đặc tính đàn hồi và đàn nhớt của nền được mô tả bằng các lò xo và các cản nhớt trên bề mặt tấm, được biểu thị bằng các hệ số k f và c f.

Hình 2.4 Mô hình động học của kết cấu tấm theo lý thuyết Reissner-Mindlin

Với giả thiết tấm Mindlin chịu biến dạng uốn bởi các lực vuông góc với mặt phẳng tấm, hệ trục tọa độ Oxyzđược chọn sao cho mặt phẳng tọa độ Oxy trùng với mặt trung bình   R 2 và trục z vuông góc với mặt phẳng tấm Tấm dựa trên các giả thiết Mindlin, với w là độ võng tấm,   x , y lần lượt là các góc xoay của pháp tuyến của mặt trung hòa quanh trục Oy và Ox của hệ tọa độ địa phương với qui ước chiều dương cho ở Hình 2.5,

 là mặt trung hòa của tấm Các thành phần u, vvà w tương ứng là chuyển vị theo phương x,y và z; w 0 là chuyển vị tại mặt trung hòa (giả thiết biến dạng màng:

Hình 2.5 Quy ước chiều dương của chuyển vị w và hai chuyển vị xoay β x , β y của tấm

Véctơ chuyển vị tại một điểm bất kỳ trong tấm Mindlin được tạo bởi:

Và, các thành phần chuyển vị trong mặt phẳng: u,v và w được biểu diễn như sau:

Nếu gọi  xz và  yz lần lượt là thành phần biến dạng cắt của tấm thì các góc xoay của mặt trung hòa tấm quanh trục y và trục x lần lượt được xác định như sau:

2.2.3 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa ứng suất – biến dạng

Biến dạng của tấm bao gồm biến dạng uốn và biến dạng cắt Các thành phần biến dạng này được cho bởi các công thức sau:

Biến dạng uốn của tấm:

T T b =   x y xy  = z x x  y y  x y + y x  = z b ε κ (2.8) trong đó véctơ thành phần độ cong:

L β (2.10) hay công thức (2.8) được viết cách khác:

Biến dạng cắt của tấm:

Biểu thức của biến dạng cắt được viết lại:

 =γ L u s (2.19) Ứng suất của tấm lần lượt là ứng suất uốn và ứng suất cắt, có mối liên hệ với biến dạng uốn và biến dạng cắt theo định luật Hooke như sau: Ứng suất uốn của tấm:

D (2.21) trong đó E là module đàn hồi của vật liệu tấm,  là hệ số poison Ứng suất cắt của tấm:

 s = là hệ số hiệu chỉnh cắt, G là module đàn hồi trượt

2.2.4 Phương trình năng lượng của tấm

Năng lượng biến dạng đàn hồi của tấm Mindlin được cho bởi công thức sau:

Thay công thức (2.4), (2.13), (2.16) vào (2.19), thế năng biến dạng của tấm Mindlin trên nền đàn nhớt được viết lại:

(2.24) trong đó D b , D s lần lượt là ma trận vật liệu ứng với biến dạng uốn và biến dạng cắt của tấm, và được xác định bởi:

2.2.5 Ảnh hưởng của nhiệt độ đến ứng xử tấm Mindlin trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động

Biến đổi nhiệt độ có thể dẫn đến biến dạng và ứng suất rất lớn cho tấm Nếu nhiệt độ của tấm được tăng lên hoặc giảm xuống đồng đều, tấm sẽ giãn nở hoặc co lại, tương ứng Ngoài ra, các vùng nhiệt độ không đều có thể tạo ra sự chênh lệch nhiệt độ giữa mặt trên và dưới của tấm, làm cho tấm bị cong và xuất hiện các góc xoay Khi tấm chịu nhiệt độ

Bài toán tấm nhiều lớp chịu tải trọng di chuyển

Trường chuyển vị tại một điểm bất kì trong mặt phẳng trung hòa của tấm bên trên và tấm bên dưới được cho bỡi:

Các thành phần chuyển vị tại một điểm bất kì trong tấm phía trên , ,u v w t t t và tấm phía dưới , ,u v w b b b theo phương x y z, , được biểu diễn thông qua trường chuyển vị tại điểm tương ứng trên trục của tấm phía trên và tấm phía dưới như sau:

Phương trình chuyển động của tấm được thiết lập dựa trên nguyên lý công ảo: nếu một vật thể ở trạng thái cân bằng thì tổng công nội ảo bằng tổng công ngoại ảo đối với bất kỳ chuyển vị khả dĩ

Công nội ảo của tấm trên: mt mbt mt

It mt t t bmt bt t t st t

D mt - ma trận vật liệu liên quan đến độ căng của màng

D mbt - ma trận vật liệu kết hợp giữa biến dạng màng và biến dạng uốn:

D bt - ma trận vật liệu liên quan đến biến dạng uốn

D st - ma trận vật liệu liên quan đến biến dạng cắt

 s = - hệ số hiệu chỉnh lực cắt

Q Q Q Q Q Q - hằng số vật liệu được xác định theo công thức:

E t - modun đàn hồi tấm bên trên

 t - hệ số Poisson tấm bên trên

Tổng công ngoại ảo của tấm bên trên trên lớp liên kết sử dụng mô hình Pasternak: wc sc c k k c

Et Et Et Et Et Et

 - công ngoại ảo do tải chuyển động:

= u b  (2.56) b t – vector tải tác dụng lên tấm, được xác định theo công thức:

P - lực chuyển động dọc theo trục x qua tâm của tấm

S - sự di chuyển của tải tại thời điểm t

 - công ngoại ảo do lực quán tính t m T

= − u m u  (2.58) u t - vector trường chuyển vị u t - vector gia tốc của trường chuyển vị m t - ma trận khối lượng tấm bên trên được xác định theo công thức:

 t - khối lượng riêng vật liệu của tấm bên trên k wc

 - công ngoại ảo do lực đàn hồi của nền:

 - công ngoại ảo do lực kháng cắt của nền:

 - công ngoại ảo do lực cản của nền:

Cân bằng công nội ảo và công ngoại ảo của tấm bên trên, phương trình chuyển động của tấm bên trên được thiết lập:

Tương tự, phương trình chuyển động của tấm bên dưới được thiết lập theo công thức sau đây:

D mb - ma trận vật liệu liên quan đến độ căng của màng

D mbb - ma trận vật liệu kết hợp giữa biến dạng màng và biến dạng uốn:

D bb - ma trận vật liệu liên quan đến biến dạng uốn

D sb - ma trận vật liệu liên quan đến biến dạng cắt

 s = - hệ số hiệu chỉnh lực cắt

Q Q Q Q Q Q - hằng số vật liệu được xác định theo công thức:

E b - modun đàn hồi tấm bên trên

 b - hệ số Poisson tấm bên trên m b - ma trận khối lượng tấm bên dưới được xác định theo công thức:

Phương pháp MEM cho bài toán tấm chịu tải trọng di động

2.4.1 Khái niệm phần tử đẳng tham số

Trong phương pháp phần tử hữu hạn khi miền khảo sát là đường cong hoặc có biên là các đường cong hay mặt cong, nếu ta chỉ sử dụng phần tử một chiều thẳng, các phần tử hai chiều dạng tam giác, tứ giác hay các phần tử ba chiều dạng khối, mặt thì không đủ đảm bảo độ chính xác của kết quả Điều này dẫn đến việc cần phải xây dựng và phát triển các phần tử có dạng hình học bất kỳ với các biên là các đường cong hay mặt cong Các phần tử này được gọi là các phần tử có biên cong hay là phần tử đẳng tham số (Izoparametric Element)

Khái niệm phần tử đẳng tham số dựa trên cơ sở hàm dạng dùng để nội suy chuyển vị trùng với hàm dạng để nội suy hình học

Quá trình phát triển phần tử hữu hạn cho tấm được các nhà khoa học trên thế giới triển khai rộng rãi Trong luận văn này, phần tử tấm tứ giác 9 nút (Q9) được sử dụng để mô hình hóa bài toán khảo sát Phần tử Q9 thuộc loại đẳng tham số (Isoparametric Element), cho phép mô hình hóa hình học phức tạp một cách chính xác Việc sử dụng phần tử Q9 giúp mô phỏng chính xác hơn hành vi của tấm dưới tác dụng của tải trọng, đáp ứng các yêu cầu kỹ thuật trong thiết kế và phân tích công trình.

2.4.2 Hệ tọa độ địa phương phần tử đẳng tham số Q 9

Rời rạc hóa miền bài toán  thành N e phần tử tứ giác chín nút Q 9 sao cho

Hình 2.10 Phần tử tứ giác Q9 trong hệ tọa độ địa phương

Vì liên quan đến các phép tính tích phân sau này, để cho việc chuẩn hóa các tọa độ tiện lợi hơn nên ta đặt sao cho cạnh 1-2 có  = − 1 , cạnh 3-4 có  = 1 , cạnh 1-4 có  = − 1 , cạnh 2-3 có  = 1

Vì liên quan đến các phép tính tích phân sau này, để cho việc chuẩn hóa các tọa độ tiện lợi hơn nên ta đặt sao cho cạnh 1-2 có  = − 1, cạnh 3-4 có  = 1, cạnh 1-4 có  = − 1 , cạnh 2-3 có  = 1

Hình 2.11 Phần tử tứ giác Q9 trong hệ tọa độ tự nhiên

= (2.71) với( x y i , i ) là tọa độ của nút thứ i ( i =  1 9 ) trong hệ tọa độ tổng thể ( x y , )

Ba đại lượng chuyển vị độc lập của phần tử được nội suy theo các chuyển vị nút tương ứng như sau:

= (2.72) trong đó w i ,  xi , yi là giá trị của các hàm w,  x , y tại nút i hay cũng là các bậc tự do tại nút i Các hàm dạng để nội suy của phần tử Q 9 được xác định bởi:

Véctơ chuyển vị nút phần tử gồm 27 thành phần được xác định như sau:

Ma trận Jacobi của phép biến đổi tọa độ được định nghĩa như sau:

Quan hệ giữa các đạo hàm của các hàm dạng N i trong tọa độ tự nhiên O  và trong tọa độ tổng thể Oxy được cho bởi:

J (2.79) Định thức của ma trận Jacobi được dùng trong công thức tích phân chuyển đổi như sau:

2.4.3 Phép tích phân số - Phép cầu phương Gauss

Mặc dù một số tích phân có thể giải được bằng phép tích phân cổ điển, song phương pháp này khó áp dụng với các hàm phức tạp, đặc biệt khi miền tích phân  biến thiên theo đường cong Do vậy, trong thực tế, công thức (2.45) thường được tính bằng phương pháp số, cụ thể là sử dụng phép cầu phương Gauss trên toàn miền phần tử Các công thức cầu phương trong mặt phẳng đều có dạng như trên.

  (2.81) trong đó (   i , j )là tọa độ điểm nằm trong phần tử, w w i , j là các trọng số tương ứng, n là số điểm Gauss sử dụng trong phép cầu phương

Phép cầu phương Gauss với n điểm Gauss sẽ cho kết quả chính xác nếu hàm

( , ) f   là một đa thức có bậc nhỏ hơn hay bằng ( 2 n − 1 )

Bảng 2.1 Tọa độ và trọng số trong phép cầu phương Gauss n (   i , j ) w w i , j

2.4.4 Hệ tọa độ chuyển động và các mối quan hệ giữa hệ tọa độ chuyển động và hệ tọa độ cố định trong phương pháp MEM Ý tưởng của phương pháp MEM là sử dụng một hệ tọa độ chuyển động ( ) r s , có gốc tọa độ được gán tải trọng và chuyển động cùng vận tốc với tải trọng Mối quan hệ giữa hệ tọa độ chuyển động ( ) r s , và hệ tọa độ cố định ( x y , ) như sau: r x S s y

= (2.82) trong đó: S là quãng đường di chuyển của tải trọng tại thời điểm t

Khi tải trọng chuyển động với vận tốc ban đầu V 0 và gia tốc a thì mối quan hệ giữa hai hệ tọa độ được viết như sau:

Mối quan hệ vi phân của r theo t được xác định bởi:

 (2.84) trong đó: v =V 0 +at là vận tốc của tải trọng tại thời điểm t

Mối quan hệ của trường chuyển vị giữa hệ tọa độ chuyển động ( ) r s , và hệ tọa độ cố định ( x y , ) là:

Sử dụng phép biến đổi tọa độ, mối quan hệ vi phân giữa hai hệ tọa độ lần lượt được viết như sau: x = r

Phương trình vi phân chuyển động của tấm trên (2.63) được viết trong hệ tọa độ chuyển động ( ) r s , như sau:

(2.99) trong đó: b ( ) r s , là vector tải trọng được biến đổi sang hệ tọa độ ( ) r s , được xác định bởi công thức:

Phương trình vi phân chuyển động của tấm dưới (2.64) được viết trong hệ tọa độ chuyển động ( ) r s , như sau:

T T b sc t b b c drds r s r s v v r r t drds w k w w drds r s r s a r t w r s w k w w drds w c t

Bài toán tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên chịu tải trọng di động

Phần tử tấm nhiều lớp chuyển động (MMPM) là một phương pháp phân tích ứng xử tĩnh và động của các tấm nhiều lớp trên nền đàn nhớt Pasternak, với khả năng mô phỏng các tải trọng động theo dạng tải trọng di chuyển (Hình 2.12) MMPM được phát triển dựa trên phương pháp phần tử chuyển động (MEM), cho phép phân tích các vấn đề liên quan đến các trạng thái ứng suất, biến dạng và chuyển động của các hệ thống kết cấu phức tạp.

Hình 2.12 Phần tử tứ giác 9 nút, 2 lớp gồm 90 bậc tự do Hình 2.12 thể hiện phần tử tứ giác 9 nút, 2 lớp sử dụng để mô hình bài toán Mỗi nút của phần tử có 5 bậc tự do nên mỗi phần tử tấm nhiều lớp gồm 18 nút và có tổng cộng 90 bậc tự do Vector chuyển vị nút của phần tử tấm nhiều lớp được viết như sau:

Trường chuyển vị và các chuyển vị theo phương đứng của tấm bên trên và tấm bên dưới lần lượt được cho bởi:

N b - Ma trận hàm dạng tấm bên dưới:

N wt - vector hàm dạng của tấm bên trên:

N wb - vector hàm dạng của tấm bên dưới:

Các thành phần biến dạng màng, biến dạng uốn và biến dạng cắt của tấm bên trên và tấm bên dưới lần lượt được trình bày ở dạng ma trận như sau:

; ; e e e mb = mb b = bb t = sb ε B d κ B d γ B d (2.112) trong đó:

B mt - ma trận gradient biến dạng màng của tấm bên trên:

B bt - ma trận gradient biến dạng uốn của tấm bên trên:

B st - ma trận gradient biến dạng cắt của tấm bên trên:

B mb - ma trận gradient biến dạng màng của tấm bên dưới:

B bb - ma trận gradient biến dạng uốn của tấm bên dưới:

B sb - ma trận gradient biến dạng cắt của tấm bên dưới:

Phương trình vi phân chuyển động của phần tử tấm bên trên và tấm bên dưới trong hệ tọa độ chuyển động ( ) r s , ở công thức (2.99) và (2.101) được viết gọn lại dưới dạng quen thuộc là:

M t - ma trận khối lượng của phần tử tấm bên trên chuyển động:

C t - ma trận cản của phần tử tấm bên trên chuyển động:

2 , det det det e e t t e t e T T t t t t r c wt wt

K t - ma trận độ cứng của phần tử tấm bên trên chuyển động:

, , det det det det det e t e e t t e e t t mt mbt mt

T T T e t mt bt st bmt bt bt st st

T T wc wt wt wc wt wb d d a d d V d d k d d k d d

T T sc wt wt rr wt wt ss

T T sc wt wb rr wt wb ss

P t - vector tải trọng của phần tử tấm bên trên chuyển động:

M b - ma trận khối lượng của phần tử tấm bên dưới chuyển động:

C b - ma trận cản của phần tử tấm bên dưới chuyển động:

2 , det det det det e e t t e e t t e T T b b b b r f wb wb

K t - ma trận độ cứng của phần tử tấm bên dưới chuyển động:

, det det det det det e b e e b b e e b b mb mbb mb

T T T e b mb bb sb bmb bb bb sb sb

T T wf wb wb f wb wb r d d a d d V d d k d d c V d d

T T sf wb wb rr wb wb ss

T T wc wb wb wc wb wt

T T sc wb wb rr wb wb ss

T T sc wb wt rr wb wt ss k d d k d d k d d k d d k d d

P b - vector tải trọng của phần tử tấm bên dưới chuyển động:

( ) ,r - đạo hàm bậc nhất theo r

( ) ,rr - đạo hàm bậc hai theo r

( ) ,ss - đạo hàm bậc hai theo s

Ma trận khối lượng, ma trận cản, ma trận độ cứng và véc tơ tải trọng nút của phần tử tấm nhiều lớp chuyển động được thiết lập bằng cách ghép nối phần tử tấm bên trên và tấm bên dưới:

Như vậy cuối cùng phương trình tổng quát chuyển động của phần tử tấm nhiều lớp được viết như sau:

+ + Md Cd Kd P (2.136) trong đó: d là véctơ chuyển vị tổng thể;

M, C và K là các ma trận khối lượng tổng thể, cản tổng thể và độ cứng tổng thể;

P là véctơ tải tổng thể biến thiên chịu tải trọng di chuyển

Giả định trường nhiệt độ là không đổi trong mặt phẳng và chỉ thay đổi theo chiều dày tấm Mô đun đàn hồi E và hệ số giãn nở nhiệt  được giả thiết là hàm phụ thuộc vào nhiệt độ, còn khối lượng riêng  và hệ số poisson  không phụ thuộc vào nhiệt độ

1 2 t t tt tb tb t b b bt bb bb b

1 2 t t tt tb tb t b b bt bb bb b z T T z T h z T T z T h

Khi làm việc trong môi trường nhiệt độ, các hằng số vật liệu cũng là các hàm số phụ thuộc vào nhiệt độ tuyệt đối T (Theo nhiệt độ Kelvin, 0 C 0 ứng với 273 K 0 ) Theo Yang J và Shen H S [35], mô đun đàn hồi E và hệ số giãn nở nhiệt  của tấm trên và tấm dưới được biểu diễn dưới dạng phụ thuộc vào nhiệt độ như sau:

E E − E E E      − - các hằng số phụ thuộc vào vật liệu

T - nhiệt độ khảo sát tính bằng Kelvin ( 0 K )

Nhiệt độ tại vị trí liên kết giữa hai tấm được xác định bằng công thức:

( tt bb ) t ( tt bb ) b tb bt tt bb t b t t b b t b t b

T tt , T bb - nhiệt độ mặt trên và mặt dưới tấm nhiều lớp t , b

  - hệ số dẫn nhiệt của tấm trên và tấm dưới t , b h h - chiều dày tấm trên và tấm dưới

Khi xét tới ảnh hưởng của nhiệt độ, trường biến dạng được xác định bằng nguyên lý cộng tác dụng như sau: ch T m z 

Các thành phần ứng suất xác định từ mối quan hệ ứng suất – biến dạng:

Phương trình chuyển động của phần tử tấm trên và phần tử tấm dưới được mô tả dưới dạng hệ tọa độ chuyển động trên một nền tảng có độ cứng thay đổi phụ thuộc vào nhiệt độ tác động.

M t - ma trận khối lượng của phần tử tấm bên trên chuyển động:

C t - ma trận cản của phần tử tấm bên trên chuyển động:

2 , det det det e e t t e t e T T t t t t r c wt wt

K t - ma trận độ cứng của phần tử tấm bên trên chuyển động:

, , det det det det det e t e e t t e e t t mt mbt mt

T T T e t mt bt st bmt bt bt st st

T T wc wt wt wc wt wb d d a d d V d d k d d k d d

T T sc wt wt rr wt wt ss

T T sc wt wb rr wt wb ss

P t - vector tải trọng của phần tử tấm bên trên chuyển động:

M b - ma trận khối lượng của phần tử tấm bên dưới chuyển động:

C b - ma trận cản của phần tử tấm bên dưới chuyển động:

2 , det det det det e e t t e e t t e T T b b b b r f wb wb

P b - vector tải trọng của phần tử tấm bên dưới chuyển động:

Phương pháp Newmark được sử dụng trong luận văn này để giải bài toán chuyển động phương pháp này dựa trên giả định rằng gia tốc thay đổi tuyến tính giữa hai bước thời gian, từ các giá trị đã biết tại thời điểm n có thể suy ra các giá trị tại thời điểm n + 1 Biểu thức tính vận tốc d n + 1 và chuyển vị d n + 1 được viết như sau:

1 n + = n + t n +2− n + n +  t d d d d d (2.159) Đối với phương pháp Newmark gia tốc trung bình thì hệ số 1

 = 4, gia tốc trong bước thời gian đang xét là không đổi Công thức (2.158) và (2.159) có thể viết đổi như sau:

Phương trình chuyển động tại thời điểm t n + 1 :

Md Cd Kd P (2.162) và biến đổi,kết quả thu được hệ phương trình đại số tuyến tính với ẩn số là chuyển vị tại thời điểm t n + 1 có dạng là:

K eff - ma trận độ cứng hiệu dụng được xác định theo công thức:

P eff - vector tải trong hiệu dụng trong từng bước thời gian được xác định theo công thức:

Giải phương trình (2.163) tìm được chuyển vị d n+ 1 tại thời điểm t n + 1 Thay giá trị chuyển vị d n+ 1 vừa tìm được vào phương trình (2.160) và (2.161) thu được gia tốc d n+ 1 và vận tốc d n+ 1 tại thời điểm t n + 1 Như vậy, từ các giá trị đã biết tại thời điểm n có thể suy ra các giá trị tại thời điểm n + 1

Hình 2.13 Lưu đồ tính toán

Phương pháp số Newmark

Phương pháp Newmark được sử dụng trong luận văn này để giải bài toán chuyển động phương pháp này dựa trên giả định rằng gia tốc thay đổi tuyến tính giữa hai bước thời gian, từ các giá trị đã biết tại thời điểm n có thể suy ra các giá trị tại thời điểm n + 1 Biểu thức tính vận tốc d n + 1 và chuyển vị d n + 1 được viết như sau:

1 n + = n + t n +2− n + n +  t d d d d d (2.159) Đối với phương pháp Newmark gia tốc trung bình thì hệ số 1

 = 4, gia tốc trong bước thời gian đang xét là không đổi Công thức (2.158) và (2.159) có thể viết đổi như sau:

Phương trình chuyển động tại thời điểm t n + 1 :

Md Cd Kd P (2.162) và biến đổi,kết quả thu được hệ phương trình đại số tuyến tính với ẩn số là chuyển vị tại thời điểm t n + 1 có dạng là:

K eff - ma trận độ cứng hiệu dụng được xác định theo công thức:

P eff - vector tải trong hiệu dụng trong từng bước thời gian được xác định theo công thức:

Giải phương trình (2.163) tìm chuyển vị dn+1 tại thời điểm tn+1 Thay dn+1 vừa tìm được vào phương trình (2.160) và (2.161) thu được gia tốc dn+1 và vận tốc dn+1 tại thời điểm tn+1 Như vậy, từ các giá trị đã biết tại thời điểm n có thể suy ra giá trị tại thời điểm n + 1.

Lưu đồ thuật toán

Hình 2.13 Lưu đồ tính toán

Các thông số đầu vào

Bảng 3.1 Thông số của tấm bên trên

Bảng 3.2 Thông số của tấm bên dưới

Bảng 3.3 Thông số liên kết giữa hai tấm

Hệ số kháng cắt (N/m3) Hệ số cản (N.s/m 3 )

Bảng 3.4 Thông số nền có độ cứng biến thiên

Hệ số độ cứng (N/m 3 ) Hệ số cắt (N/m)

Hệ số cản của nền (N.s/m 3 )

Bảng 3.5 Thông số các loại tải trọng Lực tập trung

- Bài toán 1: Phân tích ứng xử của tấm nhiều lớp chịu tác dụng của tải trọng tĩnh (Bài toán kiểm chứng)

- Bài toán 2: Bài toán 2: Phân tích ứng xử của tấm nhiều lớp chịu tác dụng của tải trọng di động (Bài toán kiểm chứng)

- Bài toán 3: Khảo sát ứng xử động của tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên chịu tác dụng của tải trọng điều hòa có xét ảnh hưởng của nhiệt độ khi nhiệt độ thay đổi

- Bài toán 4: Khảo sát ứng xử động của tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên chịu tác dụng của tải trọng điều hòa có xét ảnh hưởng của nhiệt độ khi tần số góc 𝜔̅ và nhiệt độ thay đổi đồng thời

- Bài toán 5: Khảo sát ứng xử động của tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên chịu tác dụng của tải trọng điều hòa có xét ảnh hưởng của nhiệt độ khi hệ số n của đất nền thay đổi

Bài toán 6: Khảo sát ứng xử động của tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên chịu tác dụng của tải trọng điều hòa, có xét ảnh hưởng của nhiệt độ khi hệ số $\alpha$ của đất nền thay đổi.

- Bài toán 7: Khảo sát ứng xử động của tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên chịu tác dụng của tải trọng điều hòa có xét ảnh hưởng của nhiệt độ khi độ cứng 𝑘 𝑤𝑓 của đất nền thay đổi

- Bài toán 8: Khảo sát ứng xử động của tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên chịu tác dụng của tải trọng điều hòa có xét ảnh hưởng của nhiệt độ khi hệ số cản 𝑐 𝑓 của đất nền thay đổi

- Bài toán 9: Khảo sát ứng xử động của tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên chịu tác dụng của tải trọng điều hòa có xét ảnh hưởng của nhiệt độ khi chiều dày của tấm thay đổi

- Bài toán 10: Khảo sát ứng xử động của tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên chịu tác dụng của tải trọng điều hòa có xét ảnh hưởng của nhiệt độ khi độ lớn của lực

3.3 Kiểm chứng chương trình Matlab

3.3.1 Bài toán 1: Phân tích ứng xử của tấm nhiều lớp chịu tác dụng của tải trọng tĩnh (Bài toán kiểm chứng)

Xét mô hình tấm nhiều lớp chịu tải trọng tập trung đứng yên với liên kết ngàm ở bốn cạnh

Bảng 3.6 Thông số của tấm bên trên

Bảng 3.7 Thông số của tấm bên dưới

Bảng 3.8 Thông số liên kết giữa hai tấm

Hệ số độ cứng (N/m 3 ) Hệ số cản (N.s/m 3 )

Hệ số độ cứng (N/m 3 ) Hệ số cản của nền (N.s/m 3 )

Bảng 3.10 Thông số các loại tải trọng Lực tập trung

Mục đích của bài toán là để kiểm chứng chương trình tính toán của luận văn so với chương trình tính toán đã công bố của Trí [36] Điểm khác biệt so với luận văn của Trí là luận văn có thay đổi thành phần tải trọng và đất nền Khi đặt các hệ số 𝜔̅ của tải trọng và các hệ số ∝ và n của đất nền bằng 0, các thông số của tải trọng và đất nền sẽ trở nên cố định tương tự bài của Trí [36] Khi đó nếu kết quả thu được giống nhau thì chương trình tính là đáng tin cậy

Hình 3.1 cho thấy, chuyển vị lớn nhất tại tâm tấm trên của luận văn khớp với kết quả nghiên cứu của Trí [36] Độ lệch chuyển vị giữa hai tấm khi chịu cùng một lực là rất nhỏ, gần bằng 0% Qua đó có thể kết luận rằng chương trình thuật toán của luận văn cho kết quả đáng tin cậy và có thể được sử dụng để khảo sát các bài toán mới đã đề cập ở trên

Hình 3.1 Chuyển vị lớn nhất khi chịu tác dụng của tải trọng

3.3.2 Bài toán 2: Phân tích ứng xử của tấm nhiều lớp chịu tác dụng của tải trọng di động (Bài toán kiểm chứng)

Xét mô hình tấm nhiều lớp chịu tải trọng tập trung di chuyển với vận tốc cố định, tấm liên kết ngàm 4 cạnh

Bảng 3.11 Thông số của tấm bên trên

Chuyển vị lớn nhất (mm)

Bảng 3.13 Thông số liên kết giữa hai tấm

Hệ số độ cứng (N/m 3 ) Hệ số cản (N.s/m 3 )

Hệ số độ cứng (N/m 3 ) Hệ số cản của nền (N.s/m 3 )

Bảng 3.15 Thông số các loại tải trọng Lực tập trung

Hình 3.2 Chuyển vị của tấm trên dọc theo phương x

Hình 3.3 Chuyển vị của tấm dưới dọc theo phương x -0.7

Chiều dài tấm theo phương x (m) Trí [34] Luận văn

Độ dài tấm theo phương x (m) của bài toán nghiên cứu này trùng khớp với luận văn nền [34] khi giá trị trễ bằng 0 Kết quả này cho thấy độ tin cậy cao của chương trình tính toán được xây dựng trong luận văn, đồng thời mở ra khả năng ứng dụng chương trình này để khảo sát thêm các bài toán tương tự.

3.3.3 Bài toán 3: Khảo sát ứng xử động của tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên chịu tác dụng của tải trọng điều hòa có xét ảnh hưởng của nhiệt độ khi nhiệt độ thay đổi

Xét mô hình tấm nhiều lớp với thông số được mô tả:

Bảng 3.16 Thông số của tấm bên trên

Bảng 3.17 Thông số của tấm bên dưới

Bảng 3.18 Thông số liên kết giữa hai tấm

Hệ số kháng cắt (N/m3) Hệ số cản (N.s/m 3 )

Bảng 3.19 Thông số nền có độ cứng biến thiên

Hệ số độ cứng (N/m 3 ) Hệ số cắt (N/m)

Hệ số cản của nền (N.s/m 3 )

Bảng 3.20 Thông số các loại tải trọng Lực tập trung

Hệ số của đất nền ∝ = 0.2, 𝑛 = 2, Lực 𝑃 0 = 1 × 10 6 (𝑁), vận tốc 𝑣 = 40(𝑚/𝑠), tần số 𝜔̅ = 20 (𝐻𝑧) Thực hiện khảo sát nhiệt độ ảnh hưởng của nhiệt độ tới độ võng lớn nhất của tấm với nhiệt độ ban đầu ở mặt trên và mặt dưới 𝑇 𝑡𝑡 = 𝑇 𝑏𝑏 = 300°𝐾 và các mức nhiệt độ chỉ tác dụng lên một mặt trên hoặc mặt dưới của tấm 𝑇 300°𝐾, 400°𝐾, 500°𝐾, 600°𝐾, 700°𝐾

Hình 3.4 Chuyển vị lớn nhất của tấm trên khi nhiệt độ tác dụng lên mặt trên thay đổi

Hình 3.5 Chuyển vị lớn nhất của tấm dưới khi nhiệt độ tác dụng lên mặt trên thay đổi

Nhiệt độ tấm trên ( o K) Tấm trên

Nhiệt độ tấm trên ( o K)Tấm dưới

Hình 3.6 Chuyển vị lớn nhất của tấm trên khi nhiệt độ tác dụng lên mặt dưới thay đổi

Hình 3.7 Chuyển vị lớn nhất của tấm dưới khi nhiệt độ tác dụng lên mặt dưới thay đổi

Nhiệt độ tấm dưới ( o K) Tấm trên

Nhiệt độ tấm dưới ( o K)Tấm dưới

Hình 3.8 Chuyển vị của tấm trên khi nhiệt độ tấm trên thay đổi

Hình 3.9 Chuyển vị của tấm dưới khi nhiệt độ tấm trên thay đổi -0.6

Hình 3.10 Chuyển vị của tấm trên khi nhiệt độ tấm dưới thay đổi

Hình 3.11 Chuyển vị của tấm dưới khi nhiệt độ tấm dưới thay đổi

Nhiệt độ không ảnh hưởng đáng kể đến độ chuyển vị của tấm kim loại Thay đổi nhiệt độ làm tăng độ chuyển vị ở mép tấm và giảm ở giữa tấm Vị trí độ chuyển vị lớn nhất chuyển dịch về gần tâm tấm khi nhiệt độ thay đổi.

Biến dạng của tấm trên và dưới luôn mang dạng hình sin do lực tác động lên tấm là lực dao động điều hòa Hướng của lực không phải lúc nào cũng từ trên xuống dưới mà có những pha lực sẽ kéo tấm lên, lý giải cho các chuyển vị dương của tấm.

Kiểm chứng chương trình Matlab

3.3.1 Bài toán 1: Phân tích ứng xử của tấm nhiều lớp chịu tác dụng của tải trọng tĩnh (Bài toán kiểm chứng)

Xét mô hình tấm nhiều lớp chịu tải trọng tập trung đứng yên với liên kết ngàm ở bốn cạnh

Bảng 3.6 Thông số của tấm bên trên

Bảng 3.7 Thông số của tấm bên dưới

Bảng 3.8 Thông số liên kết giữa hai tấm

Hệ số độ cứng (N/m 3 ) Hệ số cản (N.s/m 3 )

Hệ số độ cứng (N/m 3 ) Hệ số cản của nền (N.s/m 3 )

Bảng 3.10 Thông số các loại tải trọng Lực tập trung

Mục đích của bài toán là để kiểm chứng chương trình tính toán của luận văn so với chương trình tính toán đã công bố của Trí [36] Điểm khác biệt so với luận văn của Trí là luận văn có thay đổi thành phần tải trọng và đất nền Khi đặt các hệ số 𝜔̅ của tải trọng và các hệ số ∝ và n của đất nền bằng 0, các thông số của tải trọng và đất nền sẽ trở nên cố định tương tự bài của Trí [36] Khi đó nếu kết quả thu được giống nhau thì chương trình tính là đáng tin cậy

Hình 3.1 cho thấy, chuyển vị lớn nhất tại tâm tấm trên của luận văn khớp với kết quả nghiên cứu của Trí [36] Độ lệch chuyển vị giữa hai tấm khi chịu cùng một lực là rất nhỏ, gần bằng 0% Qua đó có thể kết luận rằng chương trình thuật toán của luận văn cho kết quả đáng tin cậy và có thể được sử dụng để khảo sát các bài toán mới đã đề cập ở trên

Hình 3.1 Chuyển vị lớn nhất khi chịu tác dụng của tải trọng

3.3.2 Bài toán 2: Phân tích ứng xử của tấm nhiều lớp chịu tác dụng của tải trọng di động (Bài toán kiểm chứng)

Xét mô hình tấm nhiều lớp chịu tải trọng tập trung di chuyển với vận tốc cố định, tấm liên kết ngàm 4 cạnh

Bảng 3.11 Thông số của tấm bên trên

Chuyển vị lớn nhất (mm)

Bảng 3.13 Thông số liên kết giữa hai tấm

Hệ số độ cứng (N/m 3 ) Hệ số cản (N.s/m 3 )

Hệ số độ cứng (N/m 3 ) Hệ số cản của nền (N.s/m 3 )

Bảng 3.15 Thông số các loại tải trọng Lực tập trung

Hình 3.2 Chuyển vị của tấm trên dọc theo phương x

Hình 3.3 Chuyển vị của tấm dưới dọc theo phương x -0.7

Chiều dài tấm theo phương x (m) Trí [34] Luận văn

Chiều dài tấm theo phương x (m)Trí [34] Luận văn nền về 0 thì sự chênh lệch giữa nghiên cứu của Trí [36] và luận văn là rất nhỏ Như vậy, chương trình tính của luận văn là đáng tin cậy và có thể sử dụng để khảo sát các bài toán khác

3.3.3 Bài toán 3: Khảo sát ứng xử động của tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên chịu tác dụng của tải trọng điều hòa có xét ảnh hưởng của nhiệt độ khi nhiệt độ thay đổi

Xét mô hình tấm nhiều lớp với thông số được mô tả:

Bảng 3.16 Thông số của tấm bên trên

Bảng 3.17 Thông số của tấm bên dưới

Bảng 3.18 Thông số liên kết giữa hai tấm

Hệ số kháng cắt (N/m3) Hệ số cản (N.s/m 3 )

Bảng 3.19 Thông số nền có độ cứng biến thiên

Hệ số độ cứng (N/m 3 ) Hệ số cắt (N/m)

Hệ số cản của nền (N.s/m 3 )

Bảng 3.20 Thông số các loại tải trọng Lực tập trung

Hệ số của đất nền ∝ = 0.2, 𝑛 = 2, Lực 𝑃 0 = 1 × 10 6 (𝑁), vận tốc 𝑣 = 40(𝑚/𝑠), tần số 𝜔̅ = 20 (𝐻𝑧) Thực hiện khảo sát nhiệt độ ảnh hưởng của nhiệt độ tới độ võng lớn nhất của tấm với nhiệt độ ban đầu ở mặt trên và mặt dưới 𝑇 𝑡𝑡 = 𝑇 𝑏𝑏 = 300°𝐾 và các mức nhiệt độ chỉ tác dụng lên một mặt trên hoặc mặt dưới của tấm 𝑇 300°𝐾, 400°𝐾, 500°𝐾, 600°𝐾, 700°𝐾

Hình 3.4 Chuyển vị lớn nhất của tấm trên khi nhiệt độ tác dụng lên mặt trên thay đổi

Hình 3.5 Chuyển vị lớn nhất của tấm dưới khi nhiệt độ tác dụng lên mặt trên thay đổi

Nhiệt độ tấm trên ( o K) Tấm trên

Nhiệt độ tấm trên ( o K)Tấm dưới

Hình 3.6 Chuyển vị lớn nhất của tấm trên khi nhiệt độ tác dụng lên mặt dưới thay đổi

Hình 3.7 Chuyển vị lớn nhất của tấm dưới khi nhiệt độ tác dụng lên mặt dưới thay đổi

Nhiệt độ tấm dưới ( o K) Tấm trên

Nhiệt độ tấm dưới ( o K)Tấm dưới

Hình 3.8 Chuyển vị của tấm trên khi nhiệt độ tấm trên thay đổi

Hình 3.9 Chuyển vị của tấm dưới khi nhiệt độ tấm trên thay đổi -0.6

Hình 3.10 Chuyển vị của tấm trên khi nhiệt độ tấm dưới thay đổi

Hình 3.11 Chuyển vị của tấm dưới khi nhiệt độ tấm dưới thay đổi

Nhiệt độ không đáng kể ảnh hưởng đến chuyển vị tấm Khi nhiệt độ gia tăng, chuyển vị tăng ở mép tấm, giảm ở giữa tấm Vị trí chuyển vị lớn nhất (tức tâm của vùng chuyển vị) chuyển động về gần tâm tấm hơn so với vị trí ban đầu.

Chuyển vị của tấm trên và dưới luôn là biểu đồ dạng hình sin, điều này có thể được giải thích vì lực tác dụng lên tấm là lực dao động điều hòa, phương của lực không luôn luôn là tác dụng từ trên xuống dưới mà sẽ có nhưng pha lực sẽ tác dụng kéo tấm đi lên, điều này giải thích cho các chuyển vị đi lên của tấm

Chuyển vị của phần bên trái tấm lớn hơn bên phải, đồng thời chuyển vị tại tâm tấm cũng có xu hướng lệch về phía trái của tấm, điều này có thể giải thích bởi tấm được đặt trên nền có độ cứng biến thiên Dựa theo công thức được thiết lập trong luận văn này, độ cứng của tấm sẽ giảm dần từ trái sang phải theo phương x của tấm, do đó càng về phía bên phải độ cứng sẽ càng giảm, dẫn tới chuyển vị của phần bên phải tấm sẽ bé hơn bên trái tấm

3.3.4 Bài toán 4: Khảo sát ứng xử động của tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên chịu tác dụng của tải trọng điều hòa có xét ảnh hưởng của nhiệt độ khi tần số góc omega và nhiệt độ thay đổi đồng thời

Thông số đầu vào của tấm, tải trọng và đất nền được lấy theo Bảng 3.16 đến Bảng 3.20 Thực hiện khảo sát sự ảnh hưởng của nhiệt độ và tần số góc tới độ võng lớn nhất của tấm với nhiệt độ ban đầu ở mặt trên và mặt dưới 𝑇 𝑡𝑡 = 𝑇 𝑏𝑏 = 300°𝐾 và các mức nhiệt độ chỉ tác dụng lên một mặt trên hoặc mặt dưới của tấm T 300°𝐾, 400°𝐾, 500°𝐾, 600°𝐾, 700°𝐾 đồng thời tần số góc của tấm được thay đổi trong khoảng 𝜔̅ = 20, 40, 60, 80, 100𝐻𝑧

Hình 3.12 Chuyển vị lớn nhất của tấm trên khi thay đổi nhiệt độ tấm trên ứng với các tần số góc 𝜔̅ thay đổi

Hình 3.13 Chuyển vị lớn nhất của tấm dưới khi thay đổi nhiệt độ tấm trên ứng với các tần số góc 𝜔̅ thay đổi -9

Hình 3.14 Chuyển vị lớn nhất của tấm trên khi thay đổi nhiệt độ tấm dưới ứng với các tần số góc 𝜔̅ thay đổi

Hình 3.15 Chuyển vị lớn nhất của tấm dưới khi thay đổi nhiệt độ tấm dưới ứng với các tần số góc 𝜔̅ thay đổi -9

Hình 3.16 Chuyển vị của tấm trên khi tần số góc 𝜔̅ thay đổi

Hình 3.17 Chuyển vị của tấm dưới khi tần số góc 𝜔̅ thay đổi -10

Tần số góc 𝜔̅ (𝐻𝑧) vị ứng với từng tần số góc 𝜔̅ khác nhau là không đáng kể Kết hợp với các kết quả từ Bài toán 3, có thể kết luận rằng nhiệt độ thay đổi không làm ảnh hưởng quá lớn đến sự thay đổi chuyển vị của tấm nhiều lớp Chuyển vị của tấm phía dưới giảm dần có thể giải thích qua các kết quả ở Bài toán 3, khi nhiệt độ tấm dưới tăng chuyển vị có xu hướng tăng dần về bên trái tấm, dẫn tới chuyển vị lớn nhất tại tâm tấm giảm

Kết quả từ Hình 3.18 và Hình 3.19 cho thấy khi tần số góc 𝜔̅ của lực tăng lên thì chuyển vị của tấm cũng tăng lên Sự thay đổi độ lớn của chuyển vị này là tuyến tính, hình dạng của đường biểu diễn trên biểu đồ cũng không có sự khác biệt quá lớn Điều này có thể giải thích bởi khi tần số góc 𝜔̅ của lực tác dụng tăng thì cường độ lực tác dụng lên tấm cũng sẽ tăng, dẫn đến chuyển vị của tấm sẽ tăng, điều này hoàn toàn phù hợp với tính chất của tấm khi chịu tác dụng của lực

3.3.5 Bài toán 5: Khảo sát ứng xử động của tấm nhiều lớp trên nền có độ cứng biến thiên chịu tác dụng của tải trọng điều hòa có xét ảnh hưởng của nhiệt độ khi hệ số n của đất nền thay đổi

Thông số đầu vào của tấm, tải trọng và đất nền được lấy theo Bảng 3.16 đến Bảng 3.20 Thực hiện khảo sát sự ảnh hưởng của hệ số n của đất nền tới độ võng lớn nhất của tấm với nhiệt độ ban đầu ở mặt trên và mặt dưới 𝑇 𝑡𝑡 = 𝑇 𝑏𝑏 = 300°𝐾 và hệ số n của đất nền được thay đổi trong khoảng 𝑛 = 1,2,3,4,5

Hình 3.18 Chuyển vị của tấm trên khi hệ số n của đất nền thay đổi

Hình 3.19 Chuyển vị của tấm dưới khi hệ số n của đất nền thay đổi

Hệ số n thay đổi, không có quá nhiều sự thay đổi trong chuyển vị của tấm Khi hệ số n của đất nền tăng lên, chuyển vị của tấm tăng lên không quá nhiều, tuy nhiên vị trí của chuyển vị có xu hướng dịch về phía bên trái của tấm Nguyên nhân của sự thay đổi này có thể giải thích vì khi n thay đổi thì tốc độ thay đổi độ cứng cũng sẽ thay đổi, dẫn tới các vị trí bị chuyển vị cũng sẽ dịch chuyển so với vị trí ban đầu, nhưng sự thay đổi vị trí này là rất nhỏ

Kiến nghị

Chương 2: Trình bày các công thức phần tử hữu hạn để phân tích tấm nhiều lớp chịu tải trọng di động sử dụng phương pháp MEM

Chương 3: Đưa ra một số ví dụ bài toán số

Chương 4: Kết luận và kiến nghị.