Luận án tiến sĩ dao động của dầm fgm cõ lỗ rỗng vi mô trong môi trường nhiệt độ chịu tải trọng di động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - BÙI VĂN TUYỂN DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM CÓ LỖ RỖNG VI MÔ TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG LUẬN ÁN TIẾN SỸ NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT Hà nội – 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - BÙI VĂN TUYỂN DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM CĨ LỖ RỖNG VI MƠ TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 9520101 LUẬN ÁN TIẾN SỸ NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Nguyễn Đình Kiên TS Trần Thanh Hải Hà nội – 2018 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu Các số liệu kết trình bày Luận án trung thực chưa công bố công trình khác Nghiên cứu sinh Bùi Văn Tuyển LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn khoa học Thầy PGS.TS Nguyễn Đình Kiên TS Trần Thanh Hải Tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến Thầy, người tận tâm giúp đỡ tơi q trình nghiên cứu Trong q trình thực luận án, tơi nhận nhiều giúp đỡ, tạo điều kiện tập thể lãnh đạo, nhà khoa học, cán bộ, chuyên viên Học viện khoa học công nghệ,Viện hàn lâm khoa học công nghệ Việt Nam; tập thể ban lãnh đạo Viện Cơ học; tập thể Ban giám hiệu, khoa khí, mơn Máy xây dựng, đồng nghiệp trường Đại học Thủy Lợi Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành giúp đỡ Tơi xin chân thành cảm ơn đến nghiên cứu viên phòng Cơ học vật rắn giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm cho tơi q trình thực Luận án Tôi xin bày tỏ biết ơn sâu sắc đến người thân gia đình chia sẻ, động viên, giúp đỡ để tơi hồn thành Luận án Tác giả Luận án NCS Bùi Văn Tuyển MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT I DANH MỤC CÁC BẢNG V DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ VI MỞ ĐẦU .1 CHƯƠNG TỔNG QUAN .6 1.1 Dầm FGM .6 1.2 Tình hình ngiên cứu giới 1.2.1 Ứng xử học dầm FGM 1.2.2 Dầm FGM với lỗ rỗng vi mô 13 1.2.3 Dầm FGM môi trường nhiệt độ 14 1.2.4 Dầm FGM chịu tải trọng di động 16 1.3 Tình hình nghiên cứu nước 17 1.4 Nhận xét định hướng nghiên cứu .19 CHƯƠNG DẦM FGM TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ 21 2.1 Dầm FGM chịu tải trọng di động 21 2.2 Lỗ rỗng vi mô dầm FGM 22 2.3 Trường nhiệt độ dầm FGM 23 2.4 Ảnh hưởng nhiệt độ tới tham số vật liệu 26 2.5 Các phương trình 29 2.5.1 Trường chuyển vị 29 2.5.2 Trường biến dạng, ứng suất 29 2.5.3 Năng lượng biến dạng đàn hồi .30 2.5.4 Năng lượng biến dạng ứng suất nhiệt ban đầu 30 2.5.5 Động 31 2.5.6 Thế lực 32 2.6 Ảnh hưởng nhiệt độ tới độ cứng dầm 32 2.7 Phương trình chuyển động 34 2.8 Dầm Euler-Bernoulli 37 Kết luận chương 38 CHƯƠNG MƠ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN VÀ THUẬT TOÁN SỐ 39 3.1 Véc tơ chuyển vị nút .39 3.2 Hàm nội suy thứ bậc .40 3.3 Trường chuyển vị với ràng buộc 42 3.4 Ma trận độ cứng phần tử .43 3.5 Ma trận độ cứng ứng suất nhiệt ban đầu 44 3.6 Ma trận khối lượng phần tử 45 3.7 Phần tử dựa hàm nội suy xác 46 3.8 Phần tử dầm Euler-Bernoulli 48 3.9 Phương trình chuyển động rời rạc 49 3.10 Thuật toán Newmark 50 3.10.1 Họ phương pháp Newmark 50 3.10.2 Phương pháp gia tốc trung bình 52 3.11 Véc-tơ lực nút .53 3.12 Qui trình tính tốn .53 Kết luận chương 55 CHƯƠNG KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN 57 4.1 Kiểm nghiệm mơ hình phần tử chương trình số 57 4.2 Tần số dao động 60 4.3 Đáp ứng động lực học 63 4.3.1 Ảnh hưởng nhiệt độ lỗ rỗng vi mô 63 4.3.2 Ảnh hưởng độ mảnh dầm 68 4.3.3 Ảnh hưởng trường nhiệt độ phân bố .71 4.3.4 Ảnh hưởng tần số lực kích động 72 4.3.5 Ảnh hưởng số lượng lực di động 74 Kết luận chương 77 KẾT LUẬN 78 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 82 TÀI LIỆU THAM KHẢO 84 PHỤ LỤC 96 I DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT Các ký hiệu thơng thường A Diện tích thiết diện ngang A11 Độ cứng dọc trục A12 Độ cứng tương hỗ kéo-uốn A22 Độ cứng chống uốn A33 Độ cứng chống trượt E Mô-đun đàn hồi hiệu dụng Ec Mô-đun đàn hồi gốm Em Mô-đun đàn hồi kim loại v Vận tốc lực di động G Mô-đun trượt hiệu dụng Gc Mô-đun trượt gốm Gm Mô-đun trượt kim loại h Chiều cao dầm I Mô-men quán tính bậc hai thiết diện ngang I11 Mơ-men khối lượng dọc trục I12 Mô-men khối lượng tương hỗ dọc trục-xoay I22 Mô-men khối lượng xoay (của thiết diện ngang) l Chiều dài phần tử L Chiều dài dầm n Chỉ số mũ (tham số vật liệu) nE Số lượng phần tử rời rạc dầm P Tính chất hữu hiệu FGM Pc Tính chất gốm Pm Tính chất kim loại  Động dầm e Động phần tử II u0 Chuyển vị dọc trục điểm nằm mặt U Năng lượng biến dạng đàn hồi dầm Ue Năng lượng biến dạng đàn hồi phần tử UT Năng lượng biến dạng ứng suất nhiệt ban đầu Vα Tỷ lệ thể tích lỗ rỗng Vc Tỷ lệ thể tích pha gốm Vm Tỷ lệ thể tích pha kim loại  Thế dầm e Thế phần tử w0 Chuyển vị ngang điểm nằm mặt wst Độ võng tĩnh dầm Véc-tơ ma trận d Véc-tơ chuyển vị nút phần tử D Véc-tơ chuyển vị nút tổng thể  D Véc-tơ vận tốc nút tổng thể  D Véc-tơ gia tốc nút tổng thể f Véc-tơ lực nút phần tử F Véc-tơ lực nút tổng thể Fef Véc-tơ lực nút hữu hiệu k Ma trận độ cứng phần tử K Ma trận độ cứng tổng thể Kef Ma trận độ cứng hữu hiệu m Ma trận khối lượng phần tử M Ma trận khối lượng tổng thể NT Lực dọc trục sinh ứng suất nhiệt III Ni (i=1 4) Các hàm dạng thứ bậc Nu Ma trận hàm nội suy cho chuyển vị dọc trục Nw Ma trận hàm nội suy cho chuyển vị ngang Nθ Ma trận hàm nội suy cho góc quay T Nhiệt độ mơ trường (K) Tc Nhiệt độ mặt giàu gốm (mặt dầm) Tm Nhiệt độ mặt giàu kim loại (mặt dầm) T0 Nhiệt độ tham chiếu (300K ~ 27oC) Chữ Hy Lạp t Bước thời gian (trong thuật toán Newmark) T (K) Lượng nhiệt tăng (Temperature rise) T* Tổng thời gian để lực hết chiều dài dầm T (K) Nhiệt độ T0 (K) Nhiệt độ tham chiếu (300K) xx Biến dạng dọc trục xz Biến dạng trượt  Tham số tần số  Tần số lực di động điều hòa 𝜔 Tần số dao động dầm thép  Hệ số điều chỉnh trượt ρ Khối lượng riêng hiệu dụng (kg/m3) ρc Khối lượng riêng gốm (kg/m3) ρm Khối lượng riêng lim loại (kg/m3) σxx Ứng suất pháp 87 36 M Aydogdu, and V Taskin, Free vibration analysis of functionally graded beams with simply supported edges, Materials and Design, 2007, 28, 16511656 37 M.A Benatta, I Mechab, A Tounsi, and E.A Adda Bedia, Static analysis of functionally graded short beams including warping and shear deformation effects, Computational Materials Science, 2008, 44, 765-773 38 X.F Li, A unified approach for analyzing static and dynamic behaviors of functionally graded Timoshenko and Euler-Bernoulli beams, Journal of Sound and Vibration, 2008, 318, 1210-1229 39 S.A Sina, H.M Navazi, and H Haddadpour, An analytical method for free vibration analysis of functionally graded beams, Materials and Design, 2009, 30, 741-747 40 Y Huang, and X.F Li, A new approach for free vibration of axially functionally graded beams with non-uniform cross-section, Journal of Sound and Vibration, 2010, 329, 2291-2303 41 Y Huang, and X.F Li, Buckling analysis of non-uniform and axially graded beams with varying flexural rigidity, Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 2011, 137, 73-81 42 G Giunta, D Crisafulli, S Belouettar, and E Carrera, Hierarchical theories for the free vibration analysis of functionally graded beams, Composite Structures, 2011, 94, 68-74 43 G Giunta, D Crisafulli, S Belouettar, and E Carrera, A thermomechanical analysis of functionally graded beams via hierarchical modelling, Composite Structures, 2013, 95, 676-690 44 D Wei, and Y Liu, Analytic and finite element solutions of the power-law EulerBernoulli beams, Finite Elements in Analysis and Design, 2012, 52, 3140 45 D Wei, Y Liu, and Z Xiang, An analytical method for free vibration analysis of functionally graded beams with edge cracks, Journal of Sound and Vibration, 2012, 331, 1686-1700 46 S.K Lai, J Harrington, Y Xiang, and K.W Chow, Accurate analytical perturbation approach for large amplitude vibration of functionally graded beams, International Journal of Non-Linear Mechanics, 2012, 47, 473–480 47 X.F Li, Y.A Kang, and J.-X Wu, Exacy frequency equations of free vibration of exponentially functionally graded beams, Applied Acoustics, 2013, 74, 413-420 88 48 M Birsan, T Sadowski, L Marsavina, and D Pietras E Linul, Mechanical behavior of sandwich composite beams made of foams and functionally graded materials, International Journal of Solids and Structures, 2013, 50, 519-530 49 Y Huang, L.-E Yang, and Q.-Z Luo, Free vibration of axially functionally graded Timoshenko beams with non-uniform crosssection, Composites Part B: Engineering, 2013, 45, 1493-1498 50 Y Liu, and D.W Shu, Free vibration analysis of exponential functionally graded beams with a single delamination, CompositesPart B: Engineering, 2014, 59, 166-172 51 E Babilio, Dynamics of Functionally Graded Beams on Viscoelastic Foundation, International Journal of Structural Stability and Dynamics, 2014, DOI: 10.1142/S0219455414400148 52 H Niknam, A Fallah, and M.M Aghdam, Nonlinear bending of functionally graded tapered beams subjected to thermal and mechanical loading, International Journal of Non-Linear Mechanics, 2014, 65, 141-147 53 S.V Levyakov, Elastica solution for thermal bending of a functionally graded beam, Acta Mechanica, 2013, 224, 1731–1740 54 S.V Levyakov, Thermal elastica of shear-deformable beam fabricated of functionally graded material, Acta Mechanica, 2015, 226, 723-733 55 Y.D Li, H.C Zhang, N Zhang, and Y Dai, Stress analysis of func-tionally gradient beam using effective principal axes, International Journal of Mechanics and Materials in Design, 2005, 2, 157-164 56 Y.A Kang, and X.F Li, Bending of functionally graded cantilever beam with power-law nonlinearity subjected to an end force, International Journal of Non-Linear Mechanics, 2009, 44, 696-703 57 Y.A Kang, and X.F Li, Large deflection of a non-linear cantilever functionally graded beam, Journal of Reinforced Plastics and Composites, 2010, 29, 1761-1774 58 S Taeprasartsit, A buckling analysis of perfect and imperfect functionally graded columns, Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part L: Journal of Materials: Design and Applications, 2012, 226, 16-33 59 S Agarwal, A Chakraborty, and S Gopalakrishnan, Large deformation analysis for anisotropic and inhomogeneous beams using exact linear static solutions, Composite Structures, 2006, 72, 91-104 89 60 S Kapuria, M Bhattacharyya, and A.N Kumar, Bending and free vibration response of layered functionally graded beams: a theoretical model and its experimental validation, Composite Structures, 2008, 82, 390-402 61 A Chakraborty, and S Gopalakrishman, A spectrally formulated finite element for wave propagation analysis in functionally graded beams, International Journal of Solids and Structures, 2003, 40, 2421-2448 62 R Kadoli, K Akhtar, and N Ganesan, Static analysis of funtionally graded beams using higher order shear deformation beam theory, Applied Mathematical Modelling, 2008, 32, 2509-2525 63 H Hein, and L Feklistova, Free vibration of non-uniform and axially funcyionally graded beams using Haar wavelets, Engineering Structures, 2011, 33, 3696-3701 64 A Shahba, R Attarnejad, M T Marvi, and S Hajilar, Free vibration and stability analysis of axially functionally graded tapered Euler-Bernoulli beams, Shock and Vibration, 2011, 18, 683-696 65 J.B Kosmatka, An improve two-node finite element for stability and natural frequencies of axial-loaded Timoshenko beams, Computers and Structures, 1995, 57, 141-149 66 S.C Mohanty, R.R Dash, and T Rout, Parametric instability of a functionally graded Timoshenko beam on Winkler elastic foundation, Nuclear Engineering and Design, 2011, 241, 2698-2715 67 S.C Mohanty, R.R Dash, and T Rout, Static and dynamic stability analysis of a functionally graded Timoshenko beam, International Journal of Structural Stability and Dynamics, 2012, 12, DOI: 10.1142/S0219455412500253 68 M Hemmatnezhada, R Ansarib, and G.H Rahimic, Largeamplitude free vibrations of functionally graded beams by means of a finite element formulation, Applied Mathematical Modelling, 2013, 37, 8495-8504 69 H Asadi, and M.M Aghdam, Large amplitude vibration and post-buckling analysis of variable cross-section composite beams on nonlinear elastic foundation, International Journal of Mechanical Sciences, 2014, 79, 47-55 70 B.S Gan, and Nguyen Dinh Kien, Large Deflection Analysis of Functionally Graded Beams Resting on a Two-Parameter Elastic Foundation, Journal of Asian Architecture and Building Engineering, 2014, 13, 649-656 71 B.S Gan, Trinh Thanh Huong, Nguyen Dinh Kien T Hara, and Tran Thi Thom, Effects of support conditions to the post-buckling behaviors of axially functionally graded material rods, Key Engineering Materials, 2017, 730, 502-509 90 72 B.S Gan, Trinh Thanh Huong, and Nguyen Dinh Kien, Post-buckling behaviour of axially FGM planar beams and frames, Procedia Engineering, 2017, 117, 147-158 73 M.A Eltaher, A.E Alshorbagy, and F.F Mahmoud, Determination of neutral axis position and its effect on natural frequencies of functionally graded macro/nanobeams, Composite Structures, 2013, 99, 193-201 74 M.A Eltaher, A.A Abdelrahman, A Al-Nabawy, M Khater, and A Mansour, Vibration of nonlinear graduation of nano-Timoshenko beam considering the neutral axis position, Applied Mathematics and Computation, 2014, 235, 512-529 75 G De Pietro, Y Hui, G Giunta, S Belouettar, E Carrera, and H Hu, Hierarchical onedimensional finite elements for the thermal stress analysis of three-dimensional functionally graded beams, Composite Structures, 2016, 153, 514-528 76 C Jin, and X Wang, Accurate free vibration analysis of Euler functionally graded beams by the weak form quadrature element method, Composite Structures, 2015, 125, 41-50 77 A Frikha, A Hajlaoui, and F Dammak M Wali, A new higher order C0 mixed beam element for FGM beams analysis, Composites Part B: Engineering, 2016, 106, 181-189 78 J Zhu, Z Lai, Z Yin, J Jeon, and S Lee, Fabrication of ZrO2-NiCr functionally graded material by powder metallurgy, Materials Chemistry and Physics, 2001, 68, 130-135 79 F Ebrahimi, and M Zia, Large amplitude nonlinear vibration analysis of functionally graded Timoshenko beams with porosities, Acta Astronautica, 2015, 116, 117-125 80 S Kitipornchai D Chen, J Yang, Nonlinear free vibration of shear deformable sandwich beam with a functionally graded porous core, ThinWalled Structures, 2016, 107, 39-48 81 D Chen, J Yang, and S Kitipornchai, Free and forced vibrations of shear deformable functionally graded porous beams, International Journal of Mechanical Sciences, 2016, 108-109, 14-22 82 N Shafiei, and M Kazemi, Nonlinear buckling of functionally graded nano/microscaled porous beams, Composite Structures, 2017, 178, 483-492 83 N Shafiei, S.S Mirjavadi, B MohaselAfsharic, and M Kazemi S Rabby, Vibration of two-dimensional imperfect functionally graded (2D-FG) porous nano-/micro-beams, Computer Methods in Applied Mechanics Engineering, 2017, 322, 615–632 91 84 A Chakraborty, S Gopalakrishman, and J.N Reddy, A new beam finite element for the analysis of functionally graded materials, International Journal of Mechanical Science, 2003, 45, 519-539 85 R.K Bhangale, and N Ganesan, Thermoelastic buckling and vibration behavior of a functionally graded sandwich beam with constrained viscoelastic core, Journal of Sound and Vibration, 2006, 295, 294-316 86 H.K Ching, and S.C Yen, Transient thermoelastic deformations of 2-D functionally graded beams under nonuniformly convective heat supply, Composite Structures, 2006, 73, 381-393 87 H.J Xiang, and J Yang, Free and forced vibration of a laminated FGM Timoshenko beam of variable thickness under heat conduction, Composites: Part B, 2009, 39, 292-303 88 S.C Pradhan, and T Murmu, Thermo-mechanical vibration of FGM sandwich beam under variable elastic foundations using differential quadrature method, Journal of Sound and Vibration, 2009, 321, 342-362 89 P Malekzadeh, Two-dimensional in-plane free vibrations of functionally graded circular arches with temperature-dependent properties, Composite Structures, 2009, 91, 38-47 90 P Malekzadeh, M.R Golbahar Haghighi, and M.M Atashi, Out-of-plane free vibration of functionally graded circular curved beams in thermal environment, Composite Structures, 2010, 92, 541-552 91 Y.W Kim, Temperature dependent vibration analysis of functionally graded rectangular plates, Journal of Sound and Vibration, 2005, 284, 531-549 92 S.E Esfahani, Y Kiani, and M.R Eslam, Non-linear thermal stability analysis of temperature dependent FGM beams supported on non-linear hardening elastic foundations, International Journal of Mechanical Sciences, 2013, 69, 10-20 93 Y Kiani, and M.R Eslami, Thermal buckling analysis of functionally graded material beams, International Journal of Mechanics and Materials in Design, 2010, 6, 229-238 94 G Shi, A new simple third-order shear deformation theory of plates, International Journal of Solids and Structures, 2007, 44, 4399-4417 95 L.S Ma, and D.W Lee, Exact solutions for nonlinear static responses of a shear deformable FGM beam under an in-plane thermal loading, European Journal of Mechanics A/Solids, 2012, 31, 13-20 92 96 U Eroglu, In-plane free vibrations of circular beams made of functionally graded material in thermal environment: Beam theory approach, Composite Structures, 2015, 122, 217-228 97 A Fallah, and M.M Aghdam, Nonlinear free vibration and postbuckling analysis of functionally graded beams on nonlinear elastic foundation, European Journal of Mechanics A/Solids, 2011, 30, 571-583 98 L.C Trinh, T.P Vo, H.-T Thai, and T.-K Nguyen, An analytical method for the vibration and buckling of functionally graded beams under mechanical and thermal loads, Composites Part B: Engineering, 2016, 100, 152-163 99 Y Kiani, M Sadighi, S Jedari Salami, and M.R Eslami, Low velocity impact response of thick FGM beams with general boundary conditions in thermal field, Composite Structures, 2013, 104, 293-303 100 S.E Ghiasian, Y Kiani, and M.R Eslami, Dynamic buckling of suddenly heated or compressed FGM beams resting on nonlinear elastic foundation, Composite Structures, 2013, 106, 225-234 101 M Komijani, S.E Esfahani, J.N Reddy, Y.P Liu, and M.R Eslami, Nonlinear thermal stability and vibration of pre/post-buckled temperatureand microstructure-dependent functionally graded beams resting on elastic foundation, Composite Structures, 2014, 112, 292-307 102 D.-G Zhang, Nonlinear bending a nalysis of FGM beams based on phys- ical neutral surface and high order shear deformation theory, Composite Structures, 2013, 100, 121-126 103 D.-G Zhang, Thermal post-buckling and nonlinear vibration analysis of FGM beams based on physical neutral surface and high order shear deformation theory, Meccanica, 2014, 49, 283–293 104 J Yang, Y Chena, Y Xiang, and X.L Jia, Free and forced vibration of cracked inhomogeneous beams under an axial force and a moving load, Journal of Sound and Vibration, 2008, 312, 166-181 105 S.M.R Khalili, A.A Jafari, and S.A Eftekhari, A mixed Ritz-DQ method for forced vibration of functionally graded beams carrying moving loads, Composite Structures, 2010, 92, 2497-2511 106 B.S Gan, and Nguyen Dinh Kien, Dynamic analysis of multispan functionally graded beams subjected to a variable speed moving load, Proceedings of the 9th International Conference on Structural Dynamics, EURODYN 2014, Porto, Portugal, June 2014, 2014, 3879-3886 107 B.S Gan, Nguyen Dinh Kien, and Le Thi Ha, Effect of intermediate elastic support on vibration of functionally graded Euler-Bernoulli beams excited by 93 a moving point load, Journal of Asian Architecture and Building Engineering, 2017, 16, 363-369 108 Vũ Hoài Nam, Phân tích phi tuyến động lực vỏ làm vật liệu có tính biến thiên, Luận án Tiến sĩ Cơ học kỹ thuật, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội 2014 109 Nguyễn Thi Phương, Nghiên cứu ổn định tĩnh vỏ composite tính biến thiên có gân gia cường lệch tâm, Luận án Tiến sĩ Kỹ thuật, Học Viện Kỹ thuật Quân sự, Hà Nội 2014 110 Lê Khả Hịa, Phân tích ổn định tinh vỏ vật liệu có tính biến thiên, Luận án Tiến sĩ Cơ học kỹ thuật, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội 2014 111 Trung-Kien Nguyen, Thuc P Vo, and Huu-Tai Thai, Static and free vibration of axially loaded functionally graded beams based on the first-order shear deformation theory, Composites: Part B, 2013, 55, 147-157 112 Huu-Tai Thai, and Thuc P Vo, Bending and free vibration of functionally graded beams using various higher-order shear deformation beam theories, International Journal of Mechanical Sciences, 2012, 62, 57-66 113 Thuc P Vo, Huu-Tai Thai, Trung-Kien Nguyen, A Maheri, and J Lee, Finite element model for vibration and buckling of functionally graded sandwich beams based on a refined shear deformation theory, Engineering Structures, 2014, 64, 12-22 114 Nguyễn Ngọc Huyên, Phân tích dao động chẩn đoán vết nứt dầm FGM, Luận án Tiến sĩ Cơ kỹ thuật Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt nam, 2017 115 Nguyen Ngoc Huyen, and Nguyen Tien Khiem, Modal analysis of functionally graded Timoshenko beam, Vietnam Journal of Mechanics, 2017, 39, 31-50 116 Nguyễn Tiến Khiêm, Nguyễn Đình Kiên, Nguyễn Ngọc Huyên (2014) Lý thuyết dao động dầm FGM miền tần số Hội nghị Cơ học toàn quốc kỷ niệm 35 năm thành lập Viện Cơ học, Hà Nội, ngày 09 tháng 04 năm 2014, pp.93-98 117 Nguyen Tien Khiem, and Nguyen Ngoc Huyen, A method for crack identification in functionally graded Timoshenko beam, Journal of Nondestructive Testing and Evaluation, 2016, 32, 319-341 118 Nguyen Dinh Kien, Large displacement response of tapered cantilevers beams made of axially functionally graded material, Composites: Part B, 2013, 55, 298-305 94 119 Nguyen Dinh Kien, Large displacement behaviour of tapered cantilever Euler-Bernoulli beams made of functionally graded material, Applied Mathematics and Computation, 2014, 237, 340-355 120 Nguyen Dinh Kien, and B.S Gan, Large deflection tapered functionally graded beams subjected to end forces, Applied Mathematical Modelling, 2014, 38, 3054-3066 121 Nguyen Dinh Kien, B.S Gan, and Trinh Thanh Huong, Geometrically nonlinear analysis of planar beam and frame structures made of functionally graded materials, Structural Engineering and Mechanics, 2014, 49, 727-743 122 Nguyen Dinh Kien, B.S Gan, Trinh Thanh Huong, and S Alexandrov, Postbuckling behavior of elastic-plastic functionally graded beams subjected to eccentric axial load, Journal of Multidisciplinary Engineering Science and Technology, 2015, 2, 1129-1135 123 Nguyen Dinh Kien, Tran Thi Thom, S Alexandrov, and Le Thi Ha, Elastoplastic analysis of functionally graded metal-ceramic beams under mechanical loading, Vietnam Journal of Mechanics, 2017, 39, 13-29 124 Trinh Thanh Huong, B.S Gan, and Nguyen Dinh Kien, Post-buckling responses of elastoplastic FGM beams on nonlinear elastic foundation, Structural Engineering and Mechanics, 2015, Vol 58, pp 515-532 125 Nguyễn Minh Phương, Tính toán dao động uốn dầm liên tục trực hướng hình chữ nhật chịu tác dụng nhiều vật thể di động, Luận án Tiến sĩ Kỹ thuật, 2008 126 Nguyễn Trọng Phước, and Huỳnh Văn Mãi, Ảnh hưởng vận tốc phương tiện di chuyển đến ứng xử động lực học dầm liên tục nhiều nhịp, Tạp chí xây dựng - Bộ xây dựng, 2014, 4, 117-122 127 Nguyen Dinh Kien, Tran Thanh Hai, Dynamic analysis of prestressed Bernoulli beams resting on two-parameter foundation under moving harmonic load, Vietnam Journal of Mechanics, 2006, 28, 176-188 128 Nguyen Dinh Kien, Dynamic response of prestressed Timoshenko beams resting on two-parameter foundation to moving harmonic load, Technische Mechanik, 2008, 28, 237-258 129 Nguyen Dinh Kien, B.S Gan, and Le Thi Ha, Dynamic response of nonuniform functionally graded beams subjected to a variable speed moving load, Journal of Computational Science and Technology, 2013, 7, 12-27 130 Y.S Touloukian, Thermophysical properties of high temperature solid materials, Macmillan, New York, 1967 95 131 M Géradin, and D Rixen, Mechanical vibrations Theory and application to structural dynamics, 2nd edition, John Wiley & Sons, Chichester, 1997 132 O.C Ozienkienwicz, R.L Taylor, The finite element method, 4th edition, Volum1: Basic formulation and Linear problems, Mc Graw-Hill Book company, Lon don, 1997 133 A Tessler, and S B Dong, On a hierarchy of conforming Timoshenko beam elements, Computers & Structures, 1981, 14, 3-4, 335-344 134 Nguyễn Đình Kiên, Phương pháp phần tử hữu hạn học kết cấu vật rắn biến dạng, nhà xuất khoa học công nghệ, 2009 135 M Olsson, On the fundamental moving load problem, Journal of Sound and Vibration, 1991, 152, 229-307 96 PHỤ LỤC Phụ lục liệt kê Matlab function tính độ cứng dầm FGM môi trường nhiệt độ ma trận độ cứng phần tử, ma trận khối lương ma trận độ cứng sinh ứng suất nhiệt function [A11,A12,A22,A33]=AijTi(nP,h,b,n,Tc,Tm,Kc,Km,E_1c,E0c,E1c,E2c,E3c,E_1m, E0m,E1m,E2m,E3m,mu); % Computing rigidities of Timoshenko beam Kcm=Kc-Km; A11=0;A12=0;A22=0;A33=0; dS=h/nP; Val=0; for i=0:nP z = -h/2+dS*i; V1c = (z/h+1/2); A = V1c-(Kcm*((V1c)^(n+1))/((n+1)*(Km-… (Kc+Km)*Val/2)))+((Kcm^2)*((V1c)^(2*n+1))/((2*n+1)*((Km-… (Kc+Km)*Val/2)^2)))-((Kcm^3)*((V1c)^(3*n+1))/ ((3*n+1)*((Km-Kc+Km)*Val/2)^3)))+((Kcm^4)*((V1c^(4*n+1))/… ((4*n+1)*((Km-(Kc+Km)*Val/2)^4)))-((Kcm^5)*(V1c^(5*n+1))/… ((5*n+1)*((Km-(Kc+Km)*Val/2)^5)))); B = 1-(Kcm/((Km-(Kc+Km)*Val/2)*(n+1)))+((Kcm^2)/(((Km-… (Kc+Km)*Val/2)^2)*(2*n+1)))-((Kcm^3)/(((Km-… (Kc+Km)*Val/2)^3)*(3*n+1)))+ (((Kcm^4)/(((Km-(Kc+Km)*Val/2)^4)*(4*n+1))))-… ((Kcm^5/(((Km-(Kc+Km)*Val/2)^5)*(5*n+1)))); T = Tm+(Tc-Tm)*A/B; Ec = E0c*(E_1c*T^(-1)+1+E1c*T+E2c*T^(2)+E3c*T^(3)); Em = E0m*(E_1m*T^(-1)+1+E1m*T+E2m*T^(2)+E3m*T^(3)); E = (Ec-Em)*((V1c)^n)+Em; if i==0|i==nP 97 weight=1; elseif mod(i,2)==0 weight=2; elseif mod(i,2)==1 weight=4; end G=E/(2*(1+mu)); A11 = A11 + b*dS/3*E*weight; A12 = A12 + b*dS/3*E*z*weight; A22 = A22 + b*dS/3*E*z^2*weight; A33 = A33 + b*dS/3*G*weight; end function [Ke]=KeTiCon(L,A11,A12,A22,A33); % computing element stiffness matrix for % shear constrain hierachcal Timoshenko beam element psi=5/6; t1 = 1/L; t2 = A11*t1; t3 = A12*t1; t4 = psi*A33; t5 = t4*t1; t6 = t4/2; t7 = 2.D0/3.D0*t4; t8 = A22*t1; t9 = t4*L; t10 = t9/4; t11 = t8+t10; t12 = t9/3; t13 = -t8+t10; Ke(1,1) = t2; Ke(1,2) = 0; Ke(1,3) = -t3; Ke(1,4) = 0; Ke(1,5) = -t2; Ke(1,6) = 0; Ke(1,7) = t3; Ke(2,1) = 0; Ke(2,2) = t5; Ke(2,3) = -t6; Ke(2,4) = -t7; Ke(2,5) = 0; 98 Ke(2,6) = -t5; Ke(2,7) = -t6; Ke(3,1) = -t3; Ke(3,2) = -t6; Ke(3,3) = t11; Ke(3,4) = t12; Ke(3,5) = t3; Ke(3,6) = t6; Ke(3,7) = t13; Ke(4,1) = 0; Ke(4,2) = -t7; Ke(4,3) = t12; Ke(4,4) = 16.D0/3.D0*t8+4.D0/9.D0*t9; Ke(4,5) = 0; Ke(4,6) = t7; Ke(4,7) = t12; Ke(5,1) = -t2; Ke(5,2) = 0; Ke(5,3) = t3; Ke(5,4) = 0; Ke(5,5) = t2; Ke(5,6) = 0; Ke(5,7) = -t3; Ke(6,1) = 0; Ke(6,2) = -t5; Ke(6,3) = t6; Ke(6,4) = t7; Ke(6,5) = 0; Ke(6,6) = t5; Ke(6,7) = t6; Ke(7,1) = t3; Ke(7,2) = -t6; Ke(7,3) = t13; Ke(7,4) = t12; Ke(7,5) = -t3; Ke(7,6) = t6; Ke(7,7) = t11; function [Me]=MeTiCon(L,I11,I12,I22); % computing element mass matrix for % shear constrain hierachcal Timoshenko beam element t1 = L*I11; t2 = t1/3; t3 = I12*L; t4 = t3/3; t5 = t1/6; t6 = t3/6; 99 t7 = L^2; t8 = I11*t7; t9 = t8/24; t10 = t8/90; t12 = I11*t7*L; t13 = t12/120; t14 = I22*L; t15 = t14/3; t16 = t13+t15; t18 = -t13+t14/6; Me(1,1) = t2; Me(1,2) = 0; Me(1,3) = -t4; Me(1,4) = -t4; Me(1,5) = t5; Me(1,6) = 0; Me(1,7) = -t6; Me(2,1) = 0; Me(2,2) = t2; Me(2,3) = -t9; Me(2,4) = t10; Me(2,5) = 0; Me(2,6) = t5; Me(2,7) = t9; Me(3,1) = -t4; Me(3,2) = -t9; Me(3,3) = t16; Me(3,4) = t15; Me(3,5) = -t6; Me(3,6) = -t9; Me(3,7) = t18; Me(4,1) = -t4; Me(4,2) = t10; Me(4,3) = t15; Me(4,4) = 2.D0/945.D0*t12+8.D0/15.D0*t14; Me(4,5) = -t4; Me(4,6) = -t10; Me(4,7) = t15; Me(5,1) = t5; Me(5,2) = 0; Me(5,3) = -t6; Me(5,4) = -t4; Me(5,5) = t2; Me(5,6) = 0; Me(5,7) = -t4; Me(6,1) = 0; Me(6,2) = t5; 100 Me(6,3) = -t9; Me(6,4) = -t10; Me(6,5) = 0; Me(6,6) = t2; Me(6,7) = t9; Me(7,1) = -t6; Me(7,2) = t9; Me(7,3) = t18; Me(7,4) = t15; Me(7,5) = -t4; Me(7,6) = t9; Me(7,7) = t16; function [kT]=kTTiCont(L,NT); % computing stiffness matrix due to temperature rise % of shear constrain hierachcal Timoshenko beam element t2 = NT/L; t3 = NT*L; t4 = t3/12; kT(1,1) = 0; kT(1,2) = 0; kT(1,3) = 0; kT(1,4) = 0; kT(1,5) = 0; kT(1,6) = 0; kT(1,7) = 0; kT(2,1) = 0; kT(2,2) = t2; kT(2,3) = 0; kT(2,4) = 0; kT(2,5) = 0; kT(2,6) = -t2; kT(2,7) = 0; kT(3,1) = 0; kT(3,2) = 0; kT(3,3) = t4; kT(3,4) = 0; kT(3,5) = 0; kT(3,6) = 0; kT(3,7) = -t4; kT(4,1) = 0; kT(4,2) = 0; kT(4,3) = 0; kT(4,4) = 4.D0/45.D0*t3; kT(4,5) = 0; 101 kT(4,6) = 0; kT(4,7) = 0; kT(5,1) = 0; kT(5,2) = 0; kT(5,3) = 0; kT(5,4) = 0; kT(5,5) = 0; kT(5,6) = 0; kT(5,7) = 0; kT(6,1) = 0; kT(6,2) = -t2; kT(6,3) = 0; kT(6,4) = 0; kT(6,5) = 0; kT(6,6) = t2; kT(6,7) = 0; kT(7,1) = 0; kT(7,2) = 0; kT(7,3) = -t4; kT(7,4) = 0; kT(7,5) = 0; kT(7,6) = 0; kT(7,7) = t4;