Luận án tiến sĩ dao động và chẩn đoán vết nứt trong dầm bậc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Vũ Thị An Ninh DAO ĐỘNG VÀ CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG DẦM BẬC LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT Hà Nội - 2018 ii BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Vũ Thị An Ninh DAO ĐỘNG VÀ CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG DẦM BẬC Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 62 52 01 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Nguyễn Tiến Khiêm TS Trần Thanh Hải Hà Nội – 2018 iii LỜI CÁM ƠN Tôi xin chân thành cám ơn hai thầy hướng dẫn khoa học GS TSKH Nguyễn Tiến Khiêm TS Trần Thanh Hải, tận tình hướng dẫn khoa học, động viên giúp đỡ tơi hồn thành luận án Tơi xin bày tỏ biết ơn tới quan tâm Khoa Đào tạo sau đại học – Viện Cơ học – Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, ủng hộ Bộ môn Cơ lý thuyết - Trường Đại học Giao thông Vận tải giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho q trình làm luận án Cuối tơi xin chân thành cám ơn tới bạn bè, đồng nghiệp gia đình động viên, ủng hộ tơi thời gian làm luận án iv LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết đưa luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận án Vũ Thị An Ninh v MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN III LỜI CAM ĐOAN IV MỤC LỤC V DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ CÁI VIẾT TẮT VIII DANH MỤC CÁC BẢNG X DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ XI MỞ ĐẦU CHƢƠNG TỔNG QUAN VỀ CÁC MƠ HÌNH, PHƢƠNG PHÁP VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐÃ CÔNG BỐ 1.1 Mơ hình dầm đàn hồi có vết nứt 1.1.1 Về mơ hình dầm 1.1.2 Mơ hình vết nứt dầm đàn hồi đồng chất 1.1.3 Mơ hình vết nứt dầm FGM 1.2 Mơ hình dao động dầm chứa vết nứt 1.2.1 Phương trình dao động 1.2.2 Phương pháp ma trận truyền 15 1.2.3 Phương pháp Rayleigh lý thuyết dao động [17] 17 1.3 Bài toán chẩn đoán vết nứt dầm 20 1.4 Tổng quan dao động dầm bậc 22 1.4.1 Dao động dầm bậc khơng có vết nứt 22 1.4.2 Dao động dầm đa bậc có vết nứt 23 1.5 Một số nhận xét đặt vấn đề nghiên cứu 25 CHƢƠNG PHÁT TRIỂN PHƢƠNG PHÁP MA TRẬN TRUYỀN CHO DẦM ĐA BẬC CÓ VẾT NỨT 28 2.1 Dầm bậc Euler – Bernoulli có vết nứt 28 2.1.1 Lời giải tổng quát cho phần tử dầm Euler – Bernoulli đa vết nứt28 vi 2.1.2 Phương pháp ma trận truyền 30 2.1.3 Kết số 32 2.2 Dầm đa bậc Timoshenko có vết nứt 37 2.2.1 Lời giải tổng quát cho phần tử dầm Timoshenko có vết nứt 37 2.2.2 Phương pháp ma trận truyền 39 2.2.3 Kết số 40 2.3 Dao động dầm bậc FGM có vết nứt 41 2.3.1 Phương pháp ma trận truyền 42 2.3.2 Kết số 43 Kết luận chƣơng 49 CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP RAYLEIGH TRONG PHÂN TÍCH VÀ CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG DẦM ĐA BẬC 50 3.1 Công thức Rayleigh dao động dầm đa bậc có vết nứt 50 3.2 Tính tốn tần số riêng dầm đa bậc có vết nứt cơng thức Rayleigh 52 3.2.1 Cơng thức Rayleigh tính tốn tần số riêng dầm đa bậc có vết nứt 52 3.2.2 Kết số 57 3.3 Chẩn đoán vết nứt dầm đa bậc sử dụng cơng thức Rayleigh 61 3.3.1 Chẩn đốn số lượng hữu hạn vết nứt 61 3.3.2 Chẩn đoán số vết nứt chưa biết 63 3.3.3 Kết số 65 Kết luận chƣơng 70 CHƢƠNG THỰC NGHIỆM TRÊN DẦM ĐA BẬC CÓ VẾT NỨT 71 4.1 Phƣơng pháp thử nghiệm động 71 4.2 Bố trí thực nghiệm 71 4.2.1 Mơ hình thực nghiệm 72 4.2.2 Thiết bị đo đo đạc thực nghiệm 73 vii 4.3 Xử lý số liệu đo kết đo thực nghiệm 77 4.3.1 Xử lý số liệu đo 77 4.3.2 Kết đo thực nghiệm 78 Kết luận chƣơng 88 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 89 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 91 TÀI LIỆU THAM KHẢO 92 viii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ CÁI VIẾT TẮT A Diện tích mặt cắt ngang (m2) a Độ sâu vết nứt (m) b Chiều rộng mặt cắt ngang hình chữ nhật (m) BU Dầm có tiết diện khơng đổi B1S,B3S Dầm hai bậc có đoạn mỏng hai đoạn cịn lại B2S,B4S Dầm hai bậc có đoạn dày hai đoạn lại C Véc tơ số E Mơ đun đàn hồi (GPa) e Vị trí vết nứt (m) EI Độ cứng chống uốn (Nm2) f Tần số dao động riêng dầm (Hz) FEM Phương pháp phần tử hữu hạn – Finite Element Method FGM Vật liệu tính biến thiên – Functionally Graded Material G Mô đun trượt (GPa) H Ma trận truyền cho phần tử dầm h Chiều mặt cắt ngang hình chữ nhật (m) h0 Khoảng cách từ trục trung hòa đến trục dầm I, I0 Mơ men qn tính hình học mặt cắt ngang (m4) dầm có khơng có nứt K Độ cứng lị xo xoắn tương đương KI Hệ số tập trung ứng suất L Chiều dài phần tử dầm (m) M Mô men uốn (Nm) N Lực dọc trục (N) ix n Chỉ số phân bố vật liệu (số mũ quy luật hàm lũy thừa) Q Lực cắt (N) t Đại diện cho vật liệu (E, G,  ) dầm b Đại diện cho vật liệu (E, G,  ) dầm r= t / b Tỷ số vật liệu (E, G,  ) T Ma trận truyền cho toàn dầm TMM Phương pháp ma trận truyền - Transfer Matrix Method u0 ( x, t ) Chuyển vị dọc trục điểm thuộc mặt trung hòa V Véc tơ trạng thái W(x) Hàm riêng w(x,t) Độ võng dầm w ( x, t ) Chuyển vị ngang điểm thuộc mặt trung hòa  Độ lớn vết nứt  Góc xoay (rad) κ Hệ số điều chỉnh biến dạng trượt λ Trị riêng  Tham số hư hỏng υ Hệ số Poisson  Mật độ khối (kg/m3)  ( z) Mô tả phân bố biến dạng trượt uốn theo chiều cao ω Tần số dao động riêng dầm (rad/s) x DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng Điểm nút tần số năm dạng dao động dầm có tiết diện khơng đổi dầm bậc 33 Bảng 2 Tần số dầm FGM có đoạn bị nứt khác với điều kiện biên cố điển 44 Bảng So sánh tần số riêng tính với tần số riêng đo thực nghiệm cho dầm công xôn bậc (hai đoạn) 58 Bảng So sánh tần số riêng tính tỷ số Rayleigh với FEM [60] cho dầm cơng xơn bậc (có vết nứt đoạn thứ nhất) 59 Bảng 3 So sánh tần số riêng tính tỷ số Rayleigh với TMM FEM [50] cho dầm công xôn hai bậc (ba đoạn) 59 Bảng Kết chẩn đốn vết nứt dầm cơng xơn bậc với số lượng hữu hạn vết nứt 67 Bảng Kết chẩn đoán vết nứt dầm công xôn hai bậc phương pháp quét 68 Bảng Vị trí điểm đo dầm bậc ngàm hai đầu 74 Bảng Tần số cộng hưởng đo dầm bậc ngàm hai đầu nguyên vẹn 78 Bảng So sánh tần số riêng đo tính dầm ngàm hai đầu nguyên vẹn 78 Bảng 4 So sánh tần số riêng tính đo dầm cơng xơn ngun vẹn 79 Bảng Tần số riêng đo dầm bậc ngàm hai đầu có vết nứt vị trí 0.45m với độ sâu thay đổi từ 0%-40% 80 Bảng Tần số riêng đo dầm bậc ngàm hai đầu có hai vết nứt, e1=0.2m với độ sâu thay đổi từ 0%-40%; e2=0.45m với độ sâu 40% 82 Bảng Tần số riêng đo dầm bậc cơng có vết nứt vị trí 0.6m từ đầu ngàm với độ sâu thay đổi từ 0%-50% 84 Bảng Tần số riêng đo dầm bậc cơng xơn có hai vết nứt, e1=0.3m với với độ sâu thay đổi từ 0%-42%; e2=0.6m với độ sâu 50% 86 85 Hình 4.16 So sánh thay đổi tần số theo độ sâu vết nứt thực nghiệm l‎ý thuyết dầm bậc cơng xơn có vết nứt vị trí e = 0.6m 86 Bảng Tần số riêng đo dầm bậc công xơn có hai vết nứt, e1=0.3m với với độ sâu thay đổi từ 0%-42%; e2=0.6m với độ sâu 50% Tần số riêng (Hz) a1/h1 (%) 12.8 25 42 f1 f2 f3 f4 13.44 13.44 13.38 13.25 53.13 53.13 53.11 53.05 138.6 138.5 138.2 137.4 285.69 285.31 284.31 282.69 Dam cong xon Dam cong xon 53.16 13.44 13.42 53.14 Tan so dac  (Hz) 13.38 Tan so dac f2(Hz) Tan so dac f1 (Hz) Tan so dac  (Hz) 13.4 13.36 13.34 e1=0.3m; e2=0.6m;a2/h2=50% 13.32 13.3 13.28 53.12 53.1 53.08 e1=0.3m; e2=0.6m;a2/h2=50%; 53.06 13.26 13.24 10 15 20 25 30 35 40 53.04 45 10 15 Do sau vet nut a1/h1 (%) 35 40 45 30 35 40 45 285.5 Tan so dac  (Hz) Tan so dac f4(Hz) Tan so dac  (Hz) 30 286 138.4 Tan so dac f3(Hz) 25 Dam cong xon Dam cong xon 138.6 138.2 138 137.8 e1=0.3m; e2=0.6m;a2/h2=50%; 137.6 137.4 20 Do sau vet nut a1/h1 (%) 285 284.5 284 283.5 e1=0.3m; e2=0.6m;a2/h2=50%; 283 10 15 20 25 Do sau vet nut a1/h1(%) 30 35 40 45 282.5 10 15 20 25 Do sau vet nut a1/h1 (%) Hình 4.17 Bốn tần số riêng nhỏ đo dầm bậc cơng xơn có hai vết nứt theo độ sâu vết nứt thứ (e1=0.3m), e2=0.6m với độ sâu 50% 87 Hình 4.18 So sánh thay đổi tần số theo độ sâu vết nứt thực nghiệm l‎ý thuyết dầm bậc cơng xơn có hai vết nứt, e1=0.3m với với độ sâu thay đổi từ 0%-42%; e2=0.6m với độ sâu 50% 88 Nhìn chung, kết tần số đo đạc phù hợp với kết tính tốn mơ hình vết nứt Điều cho thấy phương pháp đo đạc bố trí thực nghiệm điều kiện biên dầm thí nghiệm hợp l‎ý Kết luận chƣơng Những kết đạt chương này:  Hai mẫu dầm bậc chế tạo để nghiên cứu thực nghiệm dầm bậc đàn hồi có vết nứt tương ứng với hai trường hợp dầm ngàm hai đầu dầm công xôn  Đã tiến hành đo đạc thực nghiệm hai mô hình hai trường hợp dầm khơng có vết nứt hệ thống đo dao động PULSE  Các kết đo đạc cho thấy: dầm bậc xuất vết nứt dẫn đến tần số riêng dầm bậc giảm, suy giảm tăng số lượng vết nứt độ sâu vết nứt tăng Khi vết nứt có độ sâu nhỏ 10%, tần số riêng dầm bậc gần không thay đổi Sự thay đổi tần số riêng tính tốn l‎ý thuyết theo mơ hình lị xo xoắn phù hợp với thực nghiệm độ sâu vết nứt nhỏ 40%, độ sâu vết nứt lớn 40% mơ hình vết nứt khơng cịn phù hợp với kết thực nghiệm 89 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận án là: Đã phát triển phương pháp ma trận truyền cổ điển để phân tích dao động riêng dầm đa bậc có nhiều vết nứt sử dụng ba mơ hình dầm: Dầm Euler – Bernoulli; dầm Timoshenko dầm FGM Sử dụng phương pháp này, phân tích ảnh hưởng thay đổi dạng bậc thang tiết diện ngang với vết nứt tính chất vật liệu đến tần riêng dầm [công bố số 3, 5, 6] Đã thiết lập công thức Rayleigh cho dầm Euler – Bernoulli đa bậc chứa nhiều vết nứt để tính tốn tần số riêng dầm dựa hàm dạng tương ứng Đây công thức hiển tần số phụ thuộc vào tham số vết nứt điều kiện biên đơn giản thuận tiện cho việc tính tốn tần số riêng dầm bậc có nhiều vết nứt Kết tính tốn số tần số riêng dầm bậc có nhiều vết nứt sử dụng công thức Rayleigh so sánh với kết tính phương pháp ma trận truyền (là phương pháp xác) cho thấy cơng thức Rayleigh hồn tồn sử dụng để tính toán tần số riêng độ sâu vết nứt phạm vi 40% chiều dầy dầm [công bố số 1, 2, 7] Đã xây dựng thử nghiệm thuật toán chẩn đoán đa vết nứt dầm bậc dựa công thức Rayleigh phương pháp quét vết nứt (đã xây dựng thầy hướng dẫn luận án này) Cụ thể kiểm nghiệm thuật toán mơ hình thực nghiệm nhận kết chẩn đốn với sai số chấp nhận [cơng bố số 1, 7] Đã tiến hành nghiên cứu thực nghiệm đo đạc tần số riêng dầm ba bậc có vết nứt với hai điều kiện biên bản: ngàm hai đầu dầm cơng-xơn Kết thí nghiệm nhận phù hợp với tính tốn lý thuyết làm số liệu đầu vào cho toán chẩn đoán vết nứt dầm bậc tần số riêng [cơng bố số 4] Những đóng góp luận án tóm lược sau: Phương pháp ma trận truyền lần mở rộng để phân tích dao động riêng dầm Timoshenko dầm FGM có nhiều vết nứt So với trường hợp phương pháp ma trận truyền mở rộng cho dầm bậc Euler – Bernoulli có nhiều vết nứt [50], ma trận truyền xây dựng luận án 90 đơn giản nhiều sử dụng hàm dạng phần tử dầm có tiết diện khơng đổi chứa nhiều vết nứt Do đó, cần tính ma trận truyền vị trí mà tiết diện ngang thay đổi mà khơng cần tính ma trận truyền vết nứt Chính vậy, thời gian tính tốn giảm đáng kể độ xác kết tính tốn đảm bảo; Đã thiết lập công thức Rayleigh cho dầm đa bậc chứa nhiều vết nứt, cho ta công cụ đơn giản để tính tốn tần số riêng dầm đa bậc khơng cần phải giải phương trình tần số phức tạp phương pháp ma trận truyền nêu Đây biểu thức hiển tần số riêng tham số vết nứt, thuận tiện để phát triển thuật toán chẩn đoán vết nứt dầm bậc; Thuật toán chẩn đoán đa vết nứt dầm đa bậc nêu đóng góp quan trọng lý sau đây: Thứ nhất, phương trình để chẩn đốn có dạng tắc cho phép ta áp dụng phương pháp điều chỉnh Tikhonov để giải vấn đề toán chẩn đoán như: thiếu hụt số liệu đo sai số mơ hình lẫn số liệu đo Thứ hai, việc chẩn đoán số lượng vết nứt chưa biết dầm bậc lần giải cách triệt để; Việc nghiên cứu thực nghiệm đo đạc tần số riêng dầm đa bậc có nhiều vết nứt cách đóng góp luận án Những kết thí nghiệm này, khơng để kiểm nghiệm lý thuyết nêu (Phương pháp ma trận truyền Cơng thức Rayleigh) mà cịn làm đầu vào cho toán chẩn đoán vết nứt phát triển luận án Như vậy, việc nghiên cứu thực nghiệm đóng góp trọn vẹn lời giải hai tốn phân tích dao động (bài toán thuận) chẩn đoán vết nứt (bài toán ngược) dầm đa bậc Vấn đề cần phải nghiên cứu Công thức Rayleigh cho dầm bậc Timoshenko dầm bậc FGM chưa giải luận án Đây vấn đề quan trọng khơng để đơn giản hóa việc tính tốn tần số riêng cịn cơng cụ hữu hiệu để phát triển phương pháp chẩn đoán vết nứt dầm bậc nói có nhiều vết nứt; 91 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ Nguyen Tien Khiem, Duong The Hung, Vu Thi An Ninh, Multiple crack identification in stepped beam by measurements of natural frequencies, Vietnam Journal of Mechanics, 2014, 36(2), 119-132 Nguyen Tien Khiem, Vu Thi An Ninh, An application of Rayleigh quotient for multiple crack identification in beam, Tuyển tập cơng trình Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc Kỷ niệm 35 năm Viện Cơ học 10/4/2014, Tập 1, 99-105 Nguyen Tien Khiem, Tran Thanh Hai, Vu Thi An Ninh, Free vibration of cracked multistep Timoshenko beam, Proceedings of the 2nd National Conference on Mechanical Engineering and Automation, Oct 7-8, 2016, Hanoi University of Science and Technology, 2016, 392-396 Nguyen Tien Khiem, Lê Khanh Toan, Ha Thanh Ngoc, Vu Thi An Ninh, Experimental study of cracked multistep beam, Proceedings of the 2nd National Conference on Mechanical Engineering and Automation, Oct 7-8, 2016, Hanoi University of Science and Technology, 2016, 397-400 Vu Thi An Ninh, Luu Quynh Huong, Tran Thanh Hai, Nguyen Tien Khiem, The transfer matrix method for modal analysis of cracked multistep beam, Journal of Science and Technology, 2017, 55(5), 598-611 N.T Khiem, T.V Lien, V.T.A Ninh (2017), Natural frequencies of stepped functionally graded beam with multiple cracks, Iranian Journal of Science and Technology – The Transactions in Mechanical Engineering (Accepted 3/2017) N.T Khiem, T H Tran, V.T.A Ninh (2017), A closed-form solution to the problem of crack identification for multistep cantilever beam based on Rayleight quotient, International Journal of Solids and Structures (Submitted July 2017) 92 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Ngọc Huyên,Phân tích phổ dao động dầm FGM, Luận án Tiến sĩ kỹ thuật, 2016, Hà Nội S Christides, and A D S Barr, One-dimensional theory of cracked Bernoulli-Euler beams, International Journal of the Mechanical Sciences, 1984, 26(11/12), 639-648 S Caddemi S, and I Caliò, Exact closed-form solution for the vibration mode of the Euler-Bernoulli beam with multiple open cracks, Journal of Sound and Vibration, 2009, 327(3-5), 473-489 T.G Chondros, A D Dimarogonas, and J.Yao, A continuous cracked beam vibration theory, Journal of Sound and Vibration, 1998, 215(1), 17-34 Z H Jin, and R C Batra, Some basic fracture mechanics concepts in functionally graded materials, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1996, 44(8), 1221-1235 V Birman, and L W Byrd, Modeling and Analysis of Functionally Graded Materials and Structures, Applied Mechanics Reviews, 2007, 60, 195-215 J Yang, and Y Chen, Free vibration and buckling analysis of functionally graded beams with edge cracks, Composite Structures, 2008, 83, 48-60 S Kitipornchai et al, Nonlinear vibration of edge cracked functionally graded Timoshenko beams, Journal of Sound and Vibration, 2009, 324, 962982 L Ke et al, Flexural vibration and elastic buckling of a cracked Timoshenko beam made of functionally graded materials, Mechanics of Advanced Materials and Structures, 2009, 16(6), 488-502 10 S Kitipornchai, L L Ke, J Yang, and Y Xiang, Nonlinear vibration of edge cracked functionally graded Timoshenko beams, Journal of Sound and Vibration, 2009, 324, 962-982 11 E I Shifrin, and R Ruotolo, Natural frequencies of a beam with an arbitrary number of cracks, Journal of Sound and Vibration, 1999, 222(3), 409-423 93 12 N Khiem, and T Lien, A simplified method for natural frequency analysis of a multiple cracked beam, Journal of Sound and Vibration, 2001, 245(4), 737–751 13 Nguyễn Tiến Khiêm, Nguyễn Đình Kiên, and Nguyễn Ngọc Huyên, Lý thuyết dao động dầm FGM miền tần số, Hội nghị Cơ học toàn quốc kỷ niệm 35 năm thành lập Viện học, 2014, 93-98 14 M A Eltaher, A E Alshorbagy, and F F Mahmoud, Determination of neutral axis position and its effect on natural frequencies of functionally graded macro/nanobeams, Composite Structures, 2013, 99, 193–201 15 T G Chondros, A D Dimarogonas, and J Yao, Longitudinal vibration of a continous cracked bar, Engineering Fracture Mechanics, 1998, 61, 593-606 16 Nguyễn Văn Khang,Dao động kỹ thuật, Nhà xuất khoa học kỹ thuật, 1998, Hà Nội 17 Nguyễn Tiến Khiêm, Lê Thị Hà, Nguyễn Ngọc Huyên, and Vũ Thị An Ninh, Cơ sở động lực học cơng trình (Tái lần thứ nhất), NXB ĐHQGHN, 2016, Hà Nội 18 Nguyen Tien Khiem, and Tran Thanh Hai, Rayleigh's quotients for multiple cracked beam and application, Vietnam Journal of Mechanics, 2011, 33(1), 1-12 19 N T Khiem, and L K Toan, A novel method for crack detection in beamlike structures by measurements of natural frequencies, Journal of Sound and Vibration, 2014, 333, 4084–4103 20 Trần Văn Liên, and Nguyễn Tiến Khiêm,Phương pháp độ cứng động lực phân tích chẩn đốn kết cấu, Nhà xuất xây dựng, 2017, Hà Nội 21 Nguyễn Tiến Khiêm,Nhập môn chẩn đốn kỹ thuật cơng trình, NXB Khoa học tự nhiên công nghệ, 2008, Hà Nội 22 Adams R.D, Cawley P, Pye C.J, and Stone B.J, A vibration technique for non-destructively assessing the integrity of structures, Journal of Mechanical Engineering Science, 1978, 20, 2, 93-101 23 Y Narkis, Identification of crack location in vibrating simply supported beams, Journal of Sound and Vibration, 1994, Vol 172, pp 549-558 94 24 R Y Liang, F K Choy, and J Hu, Detection of cracks in beam structures using measurements of natural frequencies, J Franklin Inst, 1991, 328(4), 505-518 25 P Cawley, and R D Adams, The location of defects in structures from measurements of natural frequencies Journal of Strain Analysis for Engineering Design, 1979, 14, 49-57 26 S Law, L Xun, and H S Ward, A vibration technique for stuctures stiffness identification, Proceeding international conference on vibration problems in engeenering Wuhan-Chungqing, 1990, 1, 683-698 27 Y S Lee, and M J Chung, A study on crack detection using eigenfrequency test data, Computers & Structures, 2000, 77, 327-342 28 S Chinchalkar, Detection of crack location in beams using natural frequencies, Journal of Sound and Vibration, 2001, 247, 417-429 29 Trần Thanh Hải,Chẩn đoán vết nứt dầm đàn hồi phương pháp đo dao động, Luận án tiến sĩ học, 2012, Hà Nội 30 P F Rizos, N Aspragathos, and A D Dimarogonas, Identification of crack location and magnitude in a cantilever beam from the vibration modes, Journal of Sound and Vibration, 1990, 138, 381-388 31 T Wolff, and M Richardson, Fault detection in structures from changes in their modal parameters, proceedings of 7th International Modal Analysis Conference, 1989, 87-94 32 W M West, IIIustration of the Use of Modal Assurance Criterion to Detect Structural Changes in an Orbiter Test Specimen, Proc of Air Force Conference on Aircraft Structural Integrity, 1984, 1-6 33 Tran Van Lien, Nguyen Tien Khiem, and Trinh Anh Hao, Crack identicfication in frame structures by using the stationary wavelet transform of mode shapes, Jokull Journal, 2014, 64(6), 251-262 34 Khoa Viet Nguyen, and Hai Thanh Tran, Multi-cracks detection of a beamlike structure based on the on-vehicle vibration signal and wavelet analysis, Journal of Sound and Vibration 2010, 329(21), 4455-4465 95 35 Khoa Viet Nguyen, Mode shapes analysis of a cracked beam and its application for crack detection, Journal of Sound and Vibration, 2014, 333(3), 848-872 36 A K Pandey, M Biswas, and M M Samman, Damage Detection from Changes in Curvature Mode Shapes, Journal of Sound and Vibration, 1991, 145(5), 321-332 37 C P Ratcliffe, Damage Detection Using a Modified Laplacian Operator on Mode Shape Data, Journal of Sound and Vibration, 1997, 204(3), 505-517 38 M Cao, M Radzienski, W Xu, and W Ostanchowicz, Identification of multiple damage in beams based on robust curvature mode shapes, Mechanical Systems and Signal Processing, 2014, 46, 468-480 39 D Dessi, and G Cameriengo, Damage identication techniques via modal curvature analysis: Overview and comparison, Mechanical Systems and Signal Processing, 2015, 52-53, 181-205 40 J Ciambella, and F Vestroni, The use of modal curavatures for damage localization in beam-type structures, Journal of Sound and Vibration 2015, 340, 126-137 41 S K Jang, and C W Bert, Free vibration of stepped beams: exact and numerical solutions, Journal of Sound and Vibration, 1989, 130, 342-346 42 S K Jang, and C W Bert, Free vibration of stepped beams: higher mode frequencies and effect of steps on frequency, Journal of Sound and Vibration, 1989, 132, 164-168 43 J W Jaworski, and E H Dowell, Free vibration of a cantilevered beam with multiple steps: Comparison of several theoretical methods with experiment, Journal of Sound and Vibration, 2008, 312, 713-725 44 J Cunha, and J J Junior, Vibration analysis of Euler-Bernoulli beams in multiple steps and different shapes of cross section, Journal of Vibration and Control, 2016, 22(1), 193-204 45 X W Wang, and Y L Wang, Free vibration analysis of multiple-stepped beams by the differential quadrature element method, Applied Mathematics and Computation, 2013, 219, 5802-5810 96 46 Q Mao, Free vibration analysis of multiple-stepped beams by using Adomian decomposition method, Mathematical and Computer Modelling, 2011, 54, 756–764 47 S Kukla, and I Zamojska, Frequency analysis of axially loaded stepped beams by Green’s function method, Journal of Sound and Vibration, 2007, 300, 1034–1041 48 B Yang, Exact transient vibration of stepped bars, shafts and strings carrying lumped masses, Journal of Sound and Vibration, 2010, 329, 11911207 49 H Sato, Free vibration of beams with abrupt changes of cross-section, Journal of Sound and Vibration, 1983, 89(1), 59-64 50 M Attar, A transfer matrix method for free vibration analysis and crack identification of stepped beams with multiple edge cracks and different boundary conditions, International Journal of Mechanical Sciences, 2012, 57, 19-33 51 A S Aydin, and G Aksu, A finite difference method for free vibration analysis of stepped Timoshenko beams and shafts, Mechanism and Machine Theory, 1986, 21, 1-12 52 F Ju, H P Lee, and K H Lee, On the free vibration of stepped beams, International Journal of Solids and Structures, 1994, 31(22), 3125-3137 53 Z R Lu, M Huang, J K Liu, W H Chen, and W Y Liao, Vibration analysis of multiple-stepped beams with the composite element model, Journal of Sound and Vibration, 2009, 322, 1070-1080 54 K Suddoung, J Charoensuk, and N Wattanasakulpong, Vibration response of stepped FGM beams with elastically end constraints using differential transformation method, Applied Acoustics, 2014, 77, 20-28 55 N Wattanasakulpong, and J Charaensuk, Vibration characteristics of stepped beams made of FGM using differential transformation method, Meccanica, 2015, 50, 1089-1101 56 S Kukla, Free vibrations and stability of stepped columns with cracks, Journal of Sound and Vibration, 2009, 319, 1301-1311 97 57 T Zheng, and T Ji, An approximate method for determining the static deflection and natural frequency of a cracked beam, Journal of Sound and Vibration, 2012, 331, 2654–2670 58 Q S Li, Vibratory characteristics of multi-step beams with an arbitrary number of cracks and concentrated masses, Applied Acoustics, 2001, 62, 691-706 59 T C Tsai , and Y Z Wang, Vibration analysis and diagnosis of a cracked shaft, Journal of Sound and Vibration, 1996, 192(3), 607-620 60 B P Nandwana, and S K Maiti, Detection of the location and size of a crack in stepped cantilever beams based on measurements of natural frequencies, Journal of Sound and Vibration, 1997, 203(3), 435-446 61 W Zhang, Z Wang, and H Ma, Crack identification in stepped cantilever beam combining wavelet analysis with transform matrix, Acta Mechanica Solida Sinica, 2009, 22(4), ISSN 0894-9166 62 A Maghsoodi, A Ghadami, and H R Mirdamadi, Multiple-crack damage detection in multi-step beams by a novel local flexibility-based damage index, Journal of Sound and Vibration, 2013, 332, 294-305 63 Dinh Kien Nguyen, Buntara S Gan, and Thi-Ha –Le, Dynamic response of non-uniform functionally graded subjected to a variable speed moving load, Journal of Computational Science of Technology, JSME, 2013, 7(1), 12-27 64 Lê Thị Hà, and Nguyễn Đình Kiên, Đáp ứng động lực học dầm FGM có thiết diện thay đổi chịu nhiều lực di động, Hội nghị học toàn quốc kỷ niệm 35 năm thành lập Viện Cơ học, Hà Nội, ngày 09 tháng 04 năm 2014, 2014, 157-162 65 Nguyễn Thị Vân Hương,Dao động uốn dầm ứng suất trước tác dụng vật thể di động, Luận án tiến sỹ học, 2016, Hà Nội 66 Nguyen Thi Van Huong, Nguyen Van Khang, and Nguyen Phong Dien, Dynamic response of a cracked and prestressed beam under the action of a moving body, Journal of Science and Technology (Technical Universities) 2015, 106, 58-62 98 67 Nguyen Thi Van Huong, and Nguyen Phong Dien, On the natural frequency and mode shape of a cracked and prestressed beam, Journal of Science and Technology (Technical Universities), 2014, 103, 47-52 68 Nguyên Tiên Khiem, and Phi Thi Hang, Analysis and identification of multiple cracked beam subjected to moving harmonic load, Joural of vibration and Control, 2017, FirstOnline Mar 2017 DOI: 10.1177/1077546317694496 69 Nguyen Tien Khiem, and Phi Thi Hang, Spectral analysis of multiple cracked beam subjected to moving load, Vietnam Journal of Mechanics, 2014, 35(4), 245-254 70 N.T Khiem, and P T Hang, Frequency response of a beam-like structure to harmonic forces, Vietnam Journal of Mechanics, 2016, 38(4), 223 – 238 71 Phí Thị Hằng,Phương pháp phổ tần số nghiên cứu dao động dầm đàn hồi có vết nứt chịu tải trọng di động, Luận án tiến sỹ kỹ thuật, 2015, Hà Nội 72 Nguyen Thai Chung, Hoang Hai, and Shin Sang Hee, Dynamic Analysis of High Building with Cracks in Colomn Subjected to Earthquake Loading, American Journal of Civil Engineering, 2016, 4(5), 233-240 73 N.T Khiem, and N N Huyen, A method for crack indentification in functionally graded Timeshenko beam, Journal of Nondestructive Testing and Evaluation, 2017, 32(3), 319-341 74 Nguyen Ngoc Huyen, and Nguyen Tien Khiem, Frequency analysis of cracked functionally graded cantilever beam, Journal of Science and Technology, VAST, 2017, 55(2), 229-243 75 N N Huyen, and N T Khiem, Modal analysis of functionally graded Timoshenko beam, Vietnam Journal of Mechanics, VAST, 2017, 39(1), 3150 76 Tran Van Lien, Ngo Trong Duc, and Nguyen Tien Khiem, Mode Shape Analysis of Multiple Cracked Functionally Graded Timoshenko Beams, Latin American Journal of Solids and Structures, 2017, 14, 1327-1344 99 77 Tran Van Lien, Ngo Trong Duc, and Nguyen Tien Khiem, Free Vibration Analysis of Multiple Cracked Functionally Graded Timoshenko Beams, Latin American Journal of Solids and Structures, 2017, 14, 1752-1766 78 H Su, and J R Banerjee, Development of dynamic stiffness method for free vibration of functionally graded Timoshenko beams, Computers and Structures, 2015, 147, 107-116 79 N T Khiem, and T H Tran, A procedure for multiple crack identification in beam-like structure from natural vibration mode, Journal of Vibration and Control 2014, 20 (9), 1417-1427 80 R Allemang, The modal assurance criterion twenty years of use and abuse, Sound and Vibration, 2003, 14-21 81 Nguyễn Tiến Khiêm,Nhập môn học thực nghiệm, NXB ĐHQGHN, 2015, Hà Nội