TÊN DE TÀI: MÔ PHONG TÍNH CHAT QUANG HỌC CUA HẠT NANOPLASMONIC TUẦN HOÀN TRONG CAU TRÚC SIEU MẠNG NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:— Nghiên cứu lý thuyết về hiện tượng cộng hưởng plasmon tập trung b
PHƯƠNG PHÁP MO PHONG BANG GIẢI THUẬT
RIGOROUS COUPLED WAVE ANALYSIS - RCWA
2.1 Giới thiệu ngắn gon vài phương pháp mô phóng
Những nghiên cứu sâu sac hơn về sự tương tác giữa sóng điện từ và vật liệu, đặc biệt là những lĩnh vực mới như Plasmonic là nguồn động lực để sinh ra một số lượng lớn các phương pháp gồm cả giải tích lẫn số học nhằm giải phương trình Maxwell Các kết quả thu nhận được từ các phương pháp đó là rất hữu ích cho: dự đoán kết quả thực nghiệm và thiết kế các mẫu vật liệu quang học Mỗi phương pháp có ưu, nhược điểm và phạm vi ứng dụng riêng do đó cần xem xét, chọn lọc để cho phù hợp với bài toán cụ thể Đây gọi là sự cân đối bài toán (trade-off), có nghĩa là phương pháp ta chọn sẽ mô tả chặt chẽ và làm nỗi bật vẫn đề chính mà ta hướng đến dé cần khảo sát nhưng lại mô tả sơ bộ ở mặt khác Việc hiểu các đặc điểm riêng của từng phương pháp sẽ giúp chọn lựa phương pháp nào là thích hợp để khai thác được những tính chất đặc trưng của bài toán cần khảo sát Do đó, trước khi đi sâu vao việc triển khai các phương trình toán hoc để hiểu rõ hơn về RCWA mô tả cho cấu trúc nhiễu xạ tuần hoàn, luận văn sẽ nêu ngăn gon vài phương pháp có liên quan.
Sự khác nhau cơ bản giữa các phương pháp số trong việc giải phương trình Maxwell là phương pháp đó được giải trong miễn thời gian hay miễn tần số Phương pháp trong miễn thời gian tức là ta đi giải phương trình trong miễn thời gian với bước nhảy là thời gian, định lượng những con số là giá trị thực phụ thuộc theo thời gian của các thành phân trường điện và trường từ Ưu điểm của phương pháp này là mô tả được những tính chất tức thời của trường điện từ Đối với phương pháp trong miễn tan số, là ta đi giải phương trình Maxwell trong miền tần số với biến là đại lượng @, định lượng những con số là các thành phần phức E và H bao gồm biên độ và pha Phương pháp miễn tan số vì thé mà tính toán được những tính chất dao động điều hòa theo thời gian của hệ mà khó có thể mô tả được bằng cách mô phỏng tính chất tức thời băng phương pháp thời gian.
Một vài phương pháp không giải phương trình Maxwell bằng các phương trình vi phân mà với hình thức tích phân Vi dụ như Method of moments (hoặc với tên gọi khác là Boundary element method) và Discrete Dipole Approximation Các phương pháp này đặc biệt hữu ich dé giải quyét các bai toán tan xạ.
Sự khác nhau quan trọng khác giữa phương pháp miễn thời gian và phương pháp miền tần số là sự mô tả rời rac không gian: (1) phương pháp sai phân hữu hạn —Finite difference (FD) thì sử dụng kỹ thuật chia lưới để rời rạc hóa, khi đó mỗi điểm trên lưới là hình chữ nhật dé rời rac miền cân tính toán trong không gian Phương pháp này hiệu qua và chính xác với cấu trúc cần chia lưới có hình dạng ít cong hoặc tròn (2) phương pháp phan tử hữu hạn -Finite element (FE) dựa trên phép tính bién phân và rời rac bang cách chia lưới hình khối (hoặc hình tam giác mô tả cau trúc 2D) Y tưởng về chia lưới cầu trúc dạng này cho phép ta rời rac hóa một cau trúc có hình dang bat kỳ với đặc điểm như không thắng góc hoặc có bề mặt cong với độ chính xác cao trong giải thuật để giải bài toán trường điện từ Một van dé mà phương pháp rời rac miền không gian này gặp phải là giới hạn kích thước của miễn rời rạc cho các ứng dụng liên quan đến sự tan xạ và phát xạ vì nó tạo ra các phan xạ ảo từ bờ biên Tuy nhiên, với kỹ thuật Perfect matched layers (PML) —kỹ thuật tạo một lớp vật liệu hấp thu giả ở biên giữa các miền rời rạc — đã khăc phục được mặt hạn chê này.
Một phương pháp rất phố biến và ứng dụng nhiều trong bài toán trường điện từ là phương pháp Finite Difference Time Domain (FDTD) Đặc điểm nỗi bật của phương pháp này năm ở tính hiệu quả, đơn giản trong việc giải bài toán trường điện từ cho nhiều ứng dụng khác nhau.Tính hiệu quả của FDTD năm ở ý tưởng rời rạc miễn thời gian và cau trúc mang Yee Mỗi bước thời gian được tính toán với yêu cau là cập nhật các biên lưới từ các giá tri lân cận mà không can giải bài toán có các hệ phương trình
21 với kích thước quá lớn Thực hiện giải thuật FDTD có hai hướng tiếp cận hiện nay được phát triển và sử dụng rất nhiều: một là sử dụng các gói phần mém thương mại có sẵn, hai là tự xây dựng bằng ngôn ngữ lập trình.
RCWA là phương pháp bán giải tích dé mô tả sự tương tác giữa sóng điện từ với cau trúc nhiều xạ tuân hoàn RCWA dan trở nên trở nên phô biên với những ứng dụng mới cho bài toán nhiều xạ vì tính chính xác và cau trúc khảo sát làm rõ vê mặt vật lý hơn khi có sự kêt hợp lý thuyét toán hoc vê chuôi Fourier [26, 52, 53, 56, 58] Ly
RCWA có đặc điểm là 6n định và mang tính nghiêm ngặt (rigorous) vì không xấp xi phương trình Maxell Nó là phương pháp bán giải tích vì hàm sóng được giải băng (1) cách tiếp cận giải tích, khi đó cho phép ta mô hình hóa cấu trúc với kích thước bất kỳ theo chiều dọc: (2) cách tiếp cận số ở việc ta giới hạn số bậc định hướng không gian.
RCWA có cấu trúc được thé hiện như Hình 2.1 va bài toán được giải trong không gian Fourier Khi đó các thành phan trường gồm tong của các bậc định hướng không gian (Spatial Harmonic -SH) SH là các thành phan sóng phang định hướng theo các góc khác nhau và có bước sóng khác nhau Các thành phần trường sau đó được thay vào các hệ phương trình Maxwell Bài toán đi đến giải hàm sóng thông qua việc tìm nghiệm cho phương trình vi phần cơ bản Đó chính là trị riêng-vector riêng Các vector riêng mô tả cho các bậc định hướng không gian tôn tại trong mỗi lớp Các trị riêng mô tả cho tính chất nội tại của cau trúc như độ mat mát, độ tăng cường, tính kết hợp giữa các mode Đáp số của bài toán được giải khi xét đến điều kiện biên với các thành phần tiếp tuyến tại các bề mặt tiếp xúc và dùng ma trận tán xạ để tìm các thành phần phản xạ, hấp thu, truyền qua.
RCWA đặc biệt thích hợp để giải bài toán có độ phức tạp ít nhất về mặt cấu trúc khối do các phép tính là tính toán về sự hiện diện của các mode riêng (eigen-mode) trong mỗi lớp khác nhau Tính toán cho cau trúc có hình dạng ngẫu nhiên bang cách chia nó thành các phan rất nhỏ gọi là segment, khi đó mô hình của cau trúc cần khảo sát là tập hợp của các segment đó, kỹ thuật này gọi là kỹ thuật xấp xi bậc thang (“staircase” approximation) Từ đó, bài toán là các phép tính toán lớn đến cực lớn do tập hợp của các mode riêng cần được tính toán trong môi segment này.
Với câu trúc là kim loại yêu câu càng nhiêu sô hạng Fourier (thông qua việc chọn SH) càng tot trong việc mô tả chính xác cau trúc cũng như các thành phân trường, từ đó phương pháp trở nên khó khăn do số lượng tính toán các mode riêng quá lớn.
2.2.1 Triển khai giải thuật RCWA.
Phần này sẽ trình bày các phương trình toán học cần thiết để tiếp cận và thực hiện giải bài toán RCWA có ứng dụng ma trận tán xạ Cấu trúc mà bài toán khảo sát gồm 3 vùng được ký hiệu như trên Hình 2.1 bao gồm vùng I là vùng sóng phăng chiếu đến và cũng là vùng có sóng phản xa, vùng giữa là mỗi lớp xếp chồng lên nhau theo chiêu dọc với độ dày đ, ứng với lớp thứ ¡ và ở đây là các hạt vàng được sắp xếp trật tự tuần hoàn 2 chiều, vùng III là vùng biểu thị cho sóng truyền qua Các biểu thức sau đây mô tả cho tính toán các thành phan trường của câu trúc ở vùng sô II.
Hình 2.1 Cau trúc khảo sát của RCWA gồm 3 lớp: I là lớp phản xạ sau khi sóng điện từ chiêu đên, H là lớp mạng hai chiêu các hat nano vàng tuân hoàn, III là lớp truyền qua sau khi sóng điện từ chiêu đên.
Xuất phát từ hệ phương trình Maxwell ở dạng phương trình vi phân:
Miễn thời gian Miễn tân số
(`) Định luật Gauss VeD- 0 VeD- ) Định luật Gauss cho từ trường VeB=0 VeB=0
Dinh luat Faraday VxE= = VxE=-jứ@b t Định luật Ampere Vxi =7 42 VxH=J+ joD t
Khai trién cac dai lượng vector:
*+ +— =0 Ox Oy & Định luật Gauss cho từ trường:
(6,.E, +€,E, +é,,E,)a, +(86 Xz”z yz" Zz ze x 2°“ Z E +6, FE, +6,,E, a, + (€,F, +6 E +€,,E,)a,
B _=H ,b,+MHy,by+MH.E, Định luật Faraday
+ dE, OF, @B, dy a ot ôE, OE, eB,
Dinh luat Ampere vxi-7+?2 ot
25 aH OH,) (oH, ôH,\ (OH, 6H,
— â,+ = â + — a. oy Oz Oz Ox ) ` Ox oy
OH, OH,\, (dH, OH.\, (0H, OH, \, aD, \ oD, \, aD \,
=— a+ —-— la, + —— ja, =| J, +— la, +| J, + a, +| J, +— la, Oy — ỉ Oz =X Ox oy Ot nh Ot
OH H oDx ồ Zo J 4 y Oz Ox * Ot 0H, 6H, aD. Đơn giản cách biéu diễn phương trình Maxwell:
Giả sử trường hợp mật độ điện tớch và nguồn dũng bang 0: ỉ,=0,7=0
VeB=0 VxH =ôBjôi Dit) =|z0)]* EO VeD=0 Vx E =-6B/ét 80) =|¿Œ)]* AO
Phương trình Maxwell ở dạng miễn tan số:
VeB-=0 VxH = jứD D=|elE VeD=0 VxE=-joB B=|u|H
Thay các thông số liên quan vào phương trình Maxwell:
Ve[z]zZ)=o0 VxH = jolelE Vel(elé)=0 Vx E=-joluli
Gia sử vat liệu có tính đăng hướng khi đó: £e 0 0 uo 0 l=|9 2 Olne [z]=|o o|=ứ
Khi đó phương trình Maxwell có thé được viết dưới dạng:
Ve(uH]=0 VxH= j@£,£,E ve(z,E)=0 Vx E=-jop,u,H
E,vaH, duoc đơn giản hóa vì là hang số (không thay đối định hướng trong không gian).
OF, a == JOE EE OH Oy Oz
Dat A =—J [Z“5z7 và k¿ =ỉ4jy#¿ Ta được: đọ
Phương trình Maxwell ban đầu Phương trình Maxwell hiệu chuẩn
VX E =~ jOpo HH VxE=k,uwH
2.2.3 Hệ phương trình Maxwell sứ dung cho RCWA
Giả sử môi trường là đồng nhất, đăng hướng, ta bắt đầu hệ phương trình Maxwell có dạng như sau:
Fe) Liu fl On, CỐ, np Of'r x O“r*^x oy OZ Oy Oz
OE OE ~ r7 r7 x_ 2: _ py OH, OH, _
= *=kou,H, OH, OH, 1 og xX — "*tQ€r*“z
2.2.4 Biểu diễn các thành phân trường va ham điện môi bằng tập hop các số hạng
Gia sử câu trúc là tuần hoàn, các thành phân trường được khai trién thành chuỗi Fourier hai chiêu, khi đó các sô hạng trong chuỗi là các SH Khai trién chuôi Fourier của các thành phân điện trường và từ trường cũng là các hàm tuân hoàn có dạng như sau:
Ej6.y.2= Y YS (mạn;z)ce Thtthnh 0 B (xuy2)= ¥ YY (mụn;z)cc định
Các thành phần điện môi và điện thâm là biểu thức tuần hoàn 2 chiều có thể được khai triên thành chuỗi Fourier có dạng như sau:
Ann = E.(x,y)e ` ` dxdy | a, = E,(x, ye dxdywe I Je RA J J
Các thành phan của vector sóng:
2.2.5 Khai triển hệ phương trình Maxwell trong không gian Fourier.
Thực hiện việc lẫy đạo hàm riêng và thay vào một trong sáu hệ phương trình Maxwell ở (2.1):
Oy ỉ ở ơ đ& — j[k, (m)x+k, (n)y] Oo; aX — j[k, (m)x+k, (n)y] ơ > dS (mn; z)-e —& >ằ dS, (m,n; z)-e
M=—® n=—o ằ >— Jk, (n)S, (m,n; Zz) odlecomatk, 9] z OS, (m,n; Zz)
Rut gon ta duoc phuong trinh sau: dS, 2 2
Tương tự với 5 phương trình còn lại của hệ phương trình Maxwell, ta được 6 phương trình bán giải tích sau: Ỹ HH dU , (m,n; z2) _ 2
SH, OH _„ „.£ | jk MU, (mạn:z)+ jk (MU m.ns2) = ky Vig „„ SAGE)
OE, OE, + dS (m,n3Z) dz Ox = KoA, 7 , mp sf }+ jk,(m)S,0m.n:z) = ky > Pp gn-rU y (45758) q=—e7=—œ
Bx By Noble: | — jk, (m)S, (inns) + jK,(n)§,(mạnz) = Ko Dy abn gn (4,732) k— x~ k ~ ~, dU = nz) Qe ~ Đặt k =o ko =— ,| —jk,(nU,(m.n;Z)— = Ging „,5.(g.r:Z)
0 0 oo p=—00 q=-œr= dU ,(m,n;Z) dz " tent x da An-gn-rSy(Qo032)
— jk,(m)U ,(m.m:š) + jk, (NU (m.n:š) = Yay gn S G2) va thay vao 6 phuong trinh bán giải tích trên, ta được:
2.2.6 Mô tả số học các phương trình Maxwell
Dé giải trên máy tính, tập hợp các phương trình vô hạn trên cần được giới han
(truncate) thành tập hợp phương trình hữu han, quá trình này được gọi là truncation.
Các bước sau ta đi thu gọn 6 phương trình bán giải tích ở (2.2) trên, bắt đầu với:
Từ 6 phương trình bán giải tích, ta rút gọn về dạng ma trận như sau:
~ Jk (nyu (m,n; Zz) — = DG n-gnrSx (G52) Ss
La dU (m.n;z < —— = “ 2) ik, (m)U (m,n;2) = ` 24“ đụ ¿„—rSy(4-Ƒ;Z) —=} „u.:/Ku, E, |S, d ~
— jk, (n)S (m,n; Z)— => Dn -au AGT: 2) — jKyu, _w =l£,S. dS (m,n;Z —— = d ~
Ta rút ra thông số s,, , từ phương trình thứ 3 và 6 của (2.3)
Sau đó thay vào các phương trình còn lại của (2.3) ta được bốn phương trình sau:
~ JKyu, - cu, = [eb ~K, |, đ,s,=K,s,)=7 uy = [els
> | ~ to ~ ay +/Ku, =Í, S, da +K, |u,| &,s, —K,s,) =|, |s, dz
— jK,s, _ =|, lu, —K,]e,|| (K,u, “Kye =ll,|U, mm
4 4 iKs, = ⁄„|u 4 +K é,|| (Ku -Ku)=lz,lu dz y dz x xll“r xy yx r y
Sắp xếp lai, ta được:
=Kyjj| đ,s,=K,s,)=- cu, =|els | Fou = Ble K,s,+dz/|=K.z,| K,)s, d ~ -lœ = d ~ -1 ~ -1
=u.+K.||['đ,s,—ẹ,s.)=|ejs, | Su, = fa "ẹ, -feDs, -K | "ẹs,
“Ky |e ku, -Ku.)-—s, = [a fu | aes =K, le] Kyu, +((4,|-K le, Kou, d ~ 12 ~v a
Ta được dạng rut gọn cua 4 phương trình ở (2 4) là: d ~ —l ~x ~ -1 ~
> — = d ~ Tớ ~ ts để | S u my =(K/|+z,| K,-—l£;)5,—=KE,|z2,|| K.s, ¥ ¥ d ~ —l ~~ ~~ -_| ~
“—s =(, |z,['K K,le.['K dz | Wy S dz =(K,|£, y —||4,Pu —K, fe, xu,
Tiếp đến ta lay vi phân cấp 2 của một trong hai phương trình của (2.5) và thay thé: Đặt Qˆ= P.Q ta có dạng phương trình sau: de" 1% % (2.6) tht} Đó chính là phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính hệ số hang, phương trình này có nghiệm dạng: ne | es" (0) tes" (0) (2.7)
Thật khó dé tính toán hàm mũ của ma trận Ô nên ta sẽ tính biểu thức của ma trận f(A).
Như ta đã biết, số x được gọi là trị riêng của A nếu tôn tai vector x khác không, sao cho