rèn luyện kĩ năng mô hình hóa toán học cho học sinh lớp 9 trường trung học cơ sở qua dạy học chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình hệ phương trình

Trần Xuân Quang đã trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt, giúp đỡ tác giả với những chỉ dẫn khoa học quý báu trong suốt quá trình triển khai, nghiên cứu và hoàn thành đề tài “Rèn luyện kỹ năng mô

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ĐỖ ANH THƯ

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 9 TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH,

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2023

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

Chuyên ngành: LL&PP dạy học bộ môn Toán học

Mã số: 8140209.01

Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Xuân Quang

HÀ NỘI - 2023

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn này là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi, được thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Trần Xuân Quang Các kết quả nghiên

cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Hà Nội, tháng 8 năm 2023

Tác giả luận văn

Đỗ Anh Thư

LỜI CẢM ƠN

Luận văn tốt nghiệp cao học được hoàn thành tại Trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội Có được bản luận văn tốt nghiệp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nôi, phòng đào tạo sau đại học, Khoa sư Phạm, đặc biệt là TS Trần Xuân Quang đã trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt, giúp đỡ tác giả với những chỉ dẫn khoa học quý báu trong suốt quá trình triển khai, nghiên cứu và hoàn thành đề tài “Rèn luyện kỹ năng mô hình hóa toán học cho HS lớp 9 trường Trung học cơ sở qua dạy học chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình”

Qua đây tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành các quý thầy cô trong khoa Sư phạm Trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội nói chung và các thầy cô trong bộ môn Phương pháp nói riêng đã truyền thụ kiến thức các bộ môn học cũng như giúp đỡ, đóng góp ý kiến, tạo điều kiện hỗ trợ tốt nhất cho tác giả trong suốt quá trình học tập nghiên cứu và cho đến khi thực hiện đề tài luận văn

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi còn mắc những thiếu sót cần góp ý, sửa chữa Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp, nhận xét quý báu của các thầy, cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 6 năm 2023

Tác giả luận văn

Đỗ Anh Thư

1 Lí do chọn đề tài 36

2 Tổng quan nghiên cứu 36

3 Mục đích nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu 36

4 Phạm vi nghiên cứu 36

5 Khách thể, đối tượng nghiên cứu 36

6 Câu hỏi nghiên cứu 36

7 Giả thuyết khoa học 36

8 Phương pháp nghiên cứu 36

9 Cấu trúc luận văn 36

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI 36

1.1 Kỹ năng 36

1.2 Các khái niệm mô hình hóa, mô hình hóa toán học 36

1.4 Kỹ năng mô hình hóa toán học 36

1.5 Cơ sở thực tiễn 36

1.6 Kết luận chương 1 36

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HS TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH- ĐẠI SỐ 9 TRƯỜNG THCS 36

2.1 Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng mô hình hóa toán học cho HS trong dạy học chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình- đại

DANH MỤC BẢNG

Bảng 1.1: Mức độ cần thiết của việc rèn luyện kỹ năng MHH cho HS 36

Bảng 1.2: Các mức độ thường xuyên rèn luyện kỹ năng MHH cho HS 36

Bảng 2.1 Bảng tổng hợp thời gian - vận tốc - quãng đường của xe máy 38

Bảng 3.1 Bảng phân bố tần số bài kiểm tra 45 phút của hai lớp 65

Bảng 3.2 Bảng thống kê mô tả kết quả kiểm tra 66

Bảng 3.3 Bảng đánh giá sự phân tán của các điểm đạt được xung quanh điểm trung bình của hai lớp (bài kiểm số 1, số 2) 67

DANH MỤC BIỂU ĐỒ

Biểu đồ 1.1: Biểu đồ thống kê ý kiến của giáo viên về mức độ thường xuyên

quan tâm đến việc dạy học theo hướng tăng cường tính ứng dụng toán học trong thực tiễn 36 Biểu đồ 1.2: Biểu đồ thống kê ý kiến của giáo viên về mức độ thường xuyên

tự tìm hiểu về những ứng dụng thực tế của toán học trong cuộc sống 36 Biểu đồ 1.3: Biểu đồ thống kê ý kiến của giáo viên về tầm quan trọng của việc

đưa MHH toán học nhằm phát triển năng lực cho HS 36 Biểu đồ 1.4: Biểu đồ thống kê ý kiến của giáo viên về mức độ thường xuyên

đưa MHH toán học nhằm phát triển năng lực cho HS 36 Biểu đồ 3.1 Biểu đồ so sánh tần số của hai lớp 65

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Việt Nam luôn đặt giáo dục và đào tạo ở vị trí hàng đầu trong chiến lược phát triển quốc gia, coi đó là nền tảng quan trọng và động lực chính thúc đẩy tiến trình công nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước Trong giai đoạn phát triển mới hiện tại, có nhiều cơ hội mới nảy sinh, song song với đó là những thách thức lớn đối với lĩnh vực giáo dục

Tình hình mới này mang lại cơ hội lý thú cho hệ thống giáo dục tiếp cận với các xu hướng và kiến thức mới, áp dụng các mô hình giáo dục tiên tiến, và tận dụng các nguồn lực bên ngoài Điều này tạo điều kiện thuận lợi để cải tiến nội dung học tập, phương pháp giảng dạy, và cách tổ chức quá trình học tập, nhằm đáp ứng nhu cầu của xã hội và từng HS cụ thể

Thế giới hiện đại ngày càng phát triển với tốc độ nhanh chóng và liên tục thay đổi, đặc biệt là với sự bùng nổ của khoa học và công nghệ thông tin Điều này đặt ra yêu cầu cao cho mỗi cá nhân, đòi hỏi họ phải không ngừng tự học, tích luỹ kiến thức, và nắm bắt thông tin nhanh chóng và sâu rộng để phát triển bản thân và không bị tụt hậu so với thời đại Điều này càng cần thiết khi xem xét vai trò của HS trong quá trình học tập

Do đó, để đáp ứng các thách thức của thế giới hiện đại, HS cần phải phát triển kỹ năng mô hình hóa toán học trong quá trình học tập

Hầu hết HS hiện nay vẫn hạn chế trong việc sử dụng kỹ năng mô hình hóa toán học, đặc biệt là khi phải giải các bài toán có lời văn Mặc dù những dạng toán này đã được họ làm quen từ bậc tiểu học và bậc THCS, ví dụ như trong lớp 6 và 7 với phần học số học, lớp 8 với việc giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc nhất một ẩn

Việc này có thể xuất phát từ việc HS không biết bắt đầu từ đâu và không có căn cứ cụ thể để áp dụng mô hình hóa vào việc giải bài toán Mặc

dù cách giải được trình bày trong sách giáo trình, nhưng việc áp dụng nó vào thực tế thường gặp khó khăn

Để giúp HS vượt qua những khó khăn này, có thể cần tăng cường thực hành và cung cấp thêm ví dụ cụ thể để làm quen với việc mô hình hóa toán học trong các bài toán có lời văn Cũng có thể sử dụng các phương pháp dạy học sáng tạo và tạo ra các tình huống thực tế để giúp HS thấy ứng dụng của toán học trong cuộc sống hàng ngày

Xuất phát từ những thách thức và hạn chế mà HS thường gặp phải khi phải giải các bài toán có lời văn, đặc biệt là trong lớp 9 khi cần sử dụng kỹ năng mô hình hóa toán học, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: "Rèn luyện kỹ năng mô hình hóa toán học cho HS qua dạy học chủ đề giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình - đại số lớp 9."

Đề tài này không chỉ giúp đưa ra các giải pháp cụ thể để cải thiện khả năng giải bài toán của HS, mà còn hướng tới việc giúp họ phát triển kỹ năng mô hình hóa toán học, một kỹ năng quan trọng trong cuộc sống hàng ngày và trong sự nghiệp sau này Nghiên cứu này có thể giúp giáo viên hiểu rõ hơn về khó khăn mà HS thường gặp phải và phát triển các phương pháp dạy học hiệu quả để cải thiện kỹ năng này

Tóm lại, đề tài nghiên cứu này có ý nghĩa quan trọng trong việc cải thiện khả năng giải toán và phát triển kỹ năng mô hình hóa toán học của HS, đồng thời cũng có thể đóng góp vào việc nâng cao chất lượng giáo dục toán học ở cấp học lớp 9

2 Tổng quan nghiên cứu

Nhiều nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước đã nghiên cứu vấn đề về mối quan hệ giữa toán học - thực tiến và vấn đề về rèn luyện kỹ năng mô hình hóa ở trung học cơ sở Tất cả các nghiên cứu đều cho thấy ý nghĩa to lớn của toán học đối với thực tiễn và vị trí quan trọng của việc rèn

luyện kỹ năng MHHTH cho HS trong nhà trường hiện nay

3 Mục đích nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Mục đích nghiên cứu:

Nghiên cứu cơ sở lý luận, cơ sở thực tiễn dạy học rèn luyện kỹ năng mô hình hóa toán học Nghiên cứu này sẽ giúp cung cấp các biện pháp sư phạm cụ thể để giáo viên rèn luyện kỹ năng mô hình hóa toán học cho HS lớp 9, đồng thời đóng góp vào việc nâng cao chất lượng giáo dục toán học ở cấp học này

3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận, cơ sở thực tiễn về kỹ năng toán học, kỹ năng mô hình hóa toán học và rèn luyện kỹ năng mô hình hoá toán học cho HS trong dạy học toán

- Xác định các biểu hiện của kỹ năng mô hình hóa toán học trong dạy học chủ đề giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

- Xây dựng tiêu chí đánh giá sự phát triển kỹ năng mô hình hóa toán học - Thiết kế một số giáo án dạy học thích hợp nhằm rèn luyện kỹ năng mô hình hóa toán học chủ đề giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình chương trình đại số 9

- Kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài bằng thực nghiệm sư phạm

4 Phạm vi nghiên cứu

Dạy học giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình chương trình đại số 9 trường THCS

5 Khách thể, đối tượng nghiên cứu

4.1 Khách thể nghiên cứu: Dạy học giải toán bằng cách lập phương

trình, hệ phương trình của HS khối 9 trường THCS

4.2 Đối tượng nghiên cứu: Kỹ năng mô hình hóa toán học đối với HS

lớp 9 THCS

6 Câu hỏi nghiên cứu

Đề tài cần trả lời những câu hỏi nghiên cứu sau đây: (1) Tại sao cần rèn luyện kỹ năng MHH trong dạy học nội dung giải

bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình đại số lớp 9 trường trung học cơ sở

(2) Việc rèn luyện kỹ năng MHH trong dạy học nội dung giải bài

toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình đại số lớp 9 trường THCS như thế nào

(3) Hiệu quả của việc thực hiện rèn luyện kỹ năng đã tạo động lực và

hứng thú học tập cho HS như thế nào

(4) Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng MHH trong dạy học nội

dung giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình đại số lớp 9 trường trung học cơ sở

7 Giả thuyết khoa học

Nghiên cứu và đề xuất các biện pháp sư phạm trong việc dạy học giải toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình đại số ở lớp 9 sẽ có tác động tích cực đối với việc phát triển tư duy toán học của HS, và từ đó, cải thiện chất lượng dạy học nội dung chủ đề cụ thể cũng như chất lượng dạy học môn Toán nói chung

8 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu tâm lý, giáo dục học về năng lực mô hình hóa toán học của người học

Phương pháp điều tra, khảo sát, quan sát, phỏng vấn có cấu trúc: tiến hành dự giờ, trao đổi, tham khảo ý kiến một số đồng nghiệp dạy giỏi toán, có kinh nghiệm, tìm hiểu thực tiễn giảng dạy chủ đề giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình và phương trình - đại số lớp 9

Giảng một số giáo án soạn theo hướng của đề tài nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần lời cảm ơn, mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn Chương 2: Một số biện pháp rèn luyện kỹ năng mô hình hóa toán học cho HS thông qua dạy học chủ đề giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình - đại số lớp 9 trường THCS

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI 1.1 Kỹ năng

1.1.1 Khái niệm kỹ năng

Thực tiễn cuộc sống đặt ra một loạt các thách thức và vấn đề đa dạng cho con người Để đối mặt và giải quyết những thách thức này, con người cần phải có sự kết hợp giữa vốn hiểu biết và kỹ năng thực hành

Vận dụng kiến thức và kinh nghiệm: Kiến thức được học trong các lĩnh vực lí luận và thực hành đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết vấn đề thực tế Con người phải biết cách áp dụng kiến thức và kinh nghiệm đã có để tìm ra các giải pháp hiệu quả

Tư duy linh hoạt: Thực tiễn cuộc sống thường đưa ra các tình huống phức tạp và thay đổi liên tục Vì vậy, tư duy linh hoạt là khả năng thích nghi và điều chỉnh khi cần thiết để tạo ra giải pháp mới cho các vấn đề

Kỹ năng giải quyết vấn đề: Kỹ năng này đòi hỏi khả năng phân tích vấn đề, xác định các tùy chọn có sẵn, đánh giá chúng, và lựa chọn giải pháp tốt nhất

Tích luỹ kinh nghiệm: Kinh nghiệm là một nguồn quý báu của kiến thức thực tiễn Học từ kinh nghiệm trước đây giúp con người tránh được các sai lầm đã xảy ra và tận dụng được các phương pháp hoặc giải pháp đã thành công

Khả năng học hỏi liên tục: Thế giới hiện đại luôn thay đổi và phát triển nhanh chóng Việc duy trì và cập nhật kiến thức và kỹ năng là quan trọng để tiếp tục đối mặt với các thách thức mới

Tinh thần sáng tạo: Khả năng tư duy sáng tạo giúp con người tạo ra những giải pháp mới và đột phá cho các vấn đề khó khăn

Trách nhiệm cá nhân: Con người phải tự chịu trách nhiệm trong việc phát triển và áp dụng kiến thức và kỹ năng của mình để giải quyết vấn đề và đối mặt với thực tiễn cuộc sống

Vì vậy, việc học hỏi, phát triển kỹ năng, và áp dụng chúng trong cuộc sống hàng ngày là quá trình không ngừng của con người để đối mặt và vượt qua các thách thức và vấn đề trong thực tiễn cuộc sống

Theo giáo trình tâm lý học đại cương thì: Kỹ năng là việc sử dụng tri thức và khả năng phân tích để giải quyết các vấn đề cụ thể trong thực tế Nó thể hiện rõ sự kết hợp giữa kiến thức và khả năng ứng dụng kiến thức để đạt được mục tiêu và giải quyết các nhiệm vụ [4, tr149]

Theo chúng tôi kỹ năng là khả năng áp dụng kiến thức và kinh nghiệm vào một tình huống mới hoặc nhiệm vụ mới để đạt được mục tiêu hoặc giải quyết vấn đề

1.1.2 Đặc điểm của kỹ năng

- Kiến thức là nền tảng quan trọng cho mọi kỹ năng, và cấu trúc của một kỹ năng bao gồm hiểu mục đích, cách thức thực hiện, và điều kiện áp dụng Sự kết hợp giữa kiến thức và thực hành giúp người học phát triển và sử dụng kỹ năng một cách hiệu quả

- Kiến thức cung cấp nền tảng và hiểu biết cần thiết để phát triển kỹ năng Khi bạn hiểu rõ về một đối tượng hoặc một lĩnh vực cụ thể, bạn có khả năng áp dụng kiến thức đó để thực hiện các kỹ năng liên quan

Tuy nhiên, thực tế trong giáo dục đã cho thấy rằng học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi cố gắng áp dụng những kiến thức và khái niệm đã học vào việc giải quyết các vấn đề cụ thể Thách thức chính đến từ việc học sinh không thể nhận biết những dấu hiệu bản chất của vấn đề, từ đó không thể phát hiện ra các mối liên hệ bản chất giữa tri thức đã học và vấn đề cụ thể đang đối diện Trong trường hợp này, tri thức trở thành một khối kiến thức đơn thuần, không được sử dụng làm công cụ trong quá trình nhận thức, và do đó, kiến thức trở nên khô cứng, không kết nối với thực tế và không trở thành cơ sở cho phát triển kỹ năng

1.1.3 Sự hình thành kỹ năng

Quá trình hình thành kỹ năng thường bắt đầu từ việc xây dựng kiến thức cơ bản và sau đó tiến xa hơn thông qua tư duy và thực hành Kỹ năng thường bắt đầu với việc học và hiểu kiến thức cơ bản liên quan đến một lĩnh vực cụ thể hoặc một nhiệm vụ nhất định Sau khi có kiến thức cơ bản, người học cần thực hành và luyện tập các thao tác và kỹ năng liên quan Quá trình này có thể đòi hỏi sự lặp lại và tập trung để trở nên thành thạo Người học phải biết làm thế nào để phân chia vấn đề thành các thành phần nhỏ hơn để hiểu rõ hơn về bản chất của nó Khi tư duy, người học thường phải trừu tượng hóa các khía cạnh của vấn đề để tạo ra mô hình hoặc khung làm việc Khái quát hóa giúp họ áp dụng kỹ năng vào nhiều tình huống khác nhau uối cùng, kỹ năng thường dựa trên việc hình thành mô hình về một khía cạnh cụ thể của vấn đề Mô hình này có thể là một phương pháp, quy trình, hoặc cách tiếp cận cụ thể để giải quyết vấn đề

Có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, bao gồm học thông qua ví dụ, tương tác xã hội, tạo ra các tình huống thực tế, và cung cấp phản hồi và hướng dẫn từ giáo viên hoặc người hướng dẫn Quan trọng nhất là khuyến khích sự thử nghiệm và sáng tạo từ phía HS và tạo điều kiện cho họ để phát triển kỹ năng trong môi trường học tập thích hợp

Khi hình thành kỹ năng cho sinh cần tiến hành: - HS cần được khuyến khích và hướng dẫn để tìm hiểu các yếu tố đã cho trong bài toán, nhận biết yếu tố cần tìm và hiểu mối quan hệ giữa chúng Điều này giúp họ xác định bài toán và tập trung vào việc giải quyết mục tiêu chính

- HS cần được hỗ trợ để xây dựng một mô hình khái quát, tức là một cách tiếp cận tổng quan và thường áp dụng cho các bài toán cùng loại Mô hình này giúp họ hiểu cách giải quyết các tình huống tương tự một cách có hệ thống và logic

- HS cần hiểu rằng việc giải quyết các bài toán mô hình khái quát liên

quan đến kiến thức tương ứng Điều này đòi hỏi họ xác định được mối quan hệ giữa các bài toán và kiến thức, giúp họ áp dụng kiến thức đã học vào việc giải quyết các vấn đề thực tế

Nội dung của bài toán có thể đôi khi trừu tượng hoá hoặc bị che phủ bởi những yếu tố phụ có thể làm mất sự tập trung và gây rối trong quá trình tư duy và hình thành kỹ năng Điều này có thể xảy ra khi bài toán được sắp xếp một cách phức tạp hoặc chứa nhiều thông tin không cần thiết

1.2 Các khái niệm mô hình hóa, mô hình hóa toán học

1.2.1 Mô hình và mô hình hóa

Mô hình thường được hiểu như một biểu đồ, sơ đồ, hoặc hình ảnh trừu tượng của một đối tượng hoặc hiện tượng thực tế Mô hình được sử dụng để đại diện và minh họa các đặc điểm quan trọng của đối tượng đó mà không cần sử dụng đối tượng thực tế Thông qua mô hình, ta có thể nghiên cứu và hiểu sâu hơn về đối tượng mà không phải tiếp xúc trực tiếp với nó Mô hình giúp trực quan hóa và mô tả cấu trúc, tính chất, và hoạt động của đối tượng hoặc hiện tượng một cách dễ dàng hơn

Mô hình theo Swetz và Hartzler là một biểu đồ, một hình ảnh, hoặc một minh họa được tạo ra để thể hiện cấu trúc và hoạt động của một sự vật, hiện tượng, hệ thống, hoặc khái niệm cụ thể Thông qua mô hình, người ta có thể dễ dàng trình bày và trực quan hóa thông tin về đối tượng đó.Về mặt trực giác, người ta thường nghĩ mô hình theo ý nghĩa vật lý [25]

Theo tác giả Nguyễn Danh Nam [8] thông qua mô hình, người học có thể trực quan hóa và khám phá các thuộc tính và tính chất của đối tượng mà không cần tiếp xúc trực tiếp với nó Mô hình giúp tạo ra một biểu đồ hoặc hình ảnh trừu tượng để làm cho việc hiểu và nghiên cứu về đối tượng trở nên dễ dàng và trực quan hơn

Trong quá trình nghiên cứu hoặc học tập, mô hình là cách để chúng ta biểu đạt và hiểu các đối tượng cụ thể bằng cách lí tưởng hóa chúng Điều này

giúp làm cho thông tin trở nên trừu tượng và dễ dàng quản lý, phân tích, và hiểu hơn Mô hình có thể đại diện cho các khía cạnh quan trọng của đối tượng mà chúng ta muốn nghiên cứu hoặc thảo luận, và nó giúp chúng ta thu gọn và tổ chức thông tin một cách hiệu quả

Mô hình hóa không chỉ giúp HS hiểu khái niệm và giải quyết vấn đề một cách hiệu quả, mà còn tạo điều kiện cho họ phát triển tư duy khoa học và tìm hiểu cách ứng dụng kiến thức toán học vào thế giới thực Mô hình hóa cung cấp một môi trường thúc đẩy sự sáng tạo, khám phá, và tìm hiểu trong quá trình học tập và nghiên cứu [10]

Tóm lại, mô hình thường được sử dụng để mô tả và minh họa các đối tượng thực tế, nhưng nó không thể thay thế hoàn toàn cho vật mẫu Mô hình hóa là quá trình sử dụng các mô hình để giải quyết các vấn đề xuất phát từ tình huống thực tế, giúp tạo ra một cách tiếp cận trừu tượng và hữu ích để nghiên cứu, hiểu, và giải quyết các vấn đề phức tạp

1.2.2 Mô hình hóa toán học

Mô hình hóa toán học (Mathematical Modeling in Mathematics Education - MME) là một lĩnh vực quan trọng trong giáo dục toán học Nó xuất hiện và phát triển mạnh mẽ từ hội nghị của Freudental vào năm 1968 NME tập trung vào việc sử dụng mô hình toán học để giải quyết các vấn đề thực tế và khám phá các mối quan hệ toán học trong bối cảnh thực tế Đây là một cách tiếp cận tương đối mới trong giáo dục toán học, và nó đã thay đổi cách mà toán học được giảng dạy và học trong hệ thống giáo dục Mỗi tác giả có thể đưa ra định nghĩa và mô tả riêng về mô hình hóa toán học dựa trên quan điểm và mục tiêu của họ trong lĩnh vực giáo dục toán học

Mô hình hóa toán học giúp chúng ta hiểu và phân tích các tình huống phức tạp bằng cách tạo ra các biểu đồ, phương trình, và mô hình số học để mô tả các quá trình và mối quan hệ Điều này có thể áp dụng trong nhiều lĩnh vực như kỹ thuật, kinh tế, sinh học, hóa học, vật lý, xã hội học, và nhiều lĩnh vực

khác

Mô hình hóa cũng giúp chúng ta dự đoán và tối ưu hóa các kịch bản trong tương lai, đánh giá tác động của các quyết định, và nghiên cứu các hiện tượng phức tạp Nó là một công cụ mạnh mẽ trong quá trình nghiên cứu và giảng dạy, và cho phép chúng ta áp dụng toán học vào thế giới thực một cách hiệu quả

Khái niệm mô hình hóa toán học của tác giả Lê Thị Hoài Châu theo [4] rất rõ ràng và phản ánh bản chất của quá trình này trong giáo dục toán học Theo đó, MHHTH bao gồm các bước quan trọng như: Thiết lập mô hình toán học cho một vấn đề thực tế ngoài lĩnh vực toán học; giải quyết vấn đề bằng cách sử dụng mô hình toán học đã thiết lập; thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tế; cải tiến mô hình nếu cách giải quyết ban đầu không thỏa mãn

Quan niệm về MHHTH của tác giả Nguyễn Danh Nam và Trần Trung là một góc nhìn quan trọng trong giáo dục toán học Theo quan niệm này, MHH không chỉ là việc áp dụng kiến thức toán học vào thực tiễn, mà còn là một quá trình tìm hiểu và khám phá các tình huống thực tế thông qua việc sử dụng công cụ và ngôn ngữ toán học, đặc biệt là với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin [10]

Cách tiếp cận này khuyến khích HS tìm hiểu và nắm bắt bản chất toán học trong các tình huống hàng ngày Sự kết hợp giữa toán học và công nghệ thông tin cũng giúp HS tiếp cận các công cụ và tài liệu học tập một cách hiệu quả hơn

Việc sử dụng ngôn ngữ toán học như kí hiệu, sơ đồ, đồ thị, công thức, và phương trình giúp HS biểu diễn và mô tả các tình huống thực tế một cách trừu tượng và rõ ràng Điều này giúp HS thấy được giá trị của toán học trong việc giải quyết các vấn đề thực tế và phát triển kỹ năng tư duy logic

MHH không chỉ là công cụ hữu ích trong việc giảng dạy và học toán

học mà còn giúp HS phát triển khả năng áp dụng kiến thức toán học vào cuộc sống hàng ngày và trong các lĩnh vực khác nhau

Theo luận văn này, tác giả sử dụng định nghĩa MHH toán học của Edwards và Hamson (2001) MHH toán học là một quy trình biến đổi vấn đề thực tế thành một vấn đề toán học thông qua việc tạo ra và giải quyết các mô hình toán học Sau đó, quá trình này đánh giá và thể hiện lời giải trong bối cảnh thực tế và có thể điều chỉnh mô hình nếu cách giải quyết ban đầu không thỏa đáng

Để nêu lại một cách cụ thể hơn thì MHH toán học bao gồm toàn bộ quá trình toàn diện bao gồm các bước quan trọng từ việc chuyển đổi vấn đề thực tế thành vấn đề toán, sử dụng mô hình toán học để giải quyết, và sau đó thẩm định và điều chỉnh mô hình dựa trên kết quả thực tế MHH toán học thể hiện sự linh hoạt và tích cực trong việc áp dụng toán học vào cuộc sống và giải quyết các vấn đề thực tế

HS cần có kiến thức toán học đa dạng để có khả năng chuyển đổi giữa thực tế và toán học, thiết lập mô hình, và giải quyết vấn đề Ngoài ra, họ cần có khả năng liên kết kiến thức toán học với các tình huống thực tế cụ thể và đánh giá kết quả một cách logic MHH toán học không chỉ là việc áp dụng toán học mà còn là quá trình tạo ra sự kết nối giữa toán học và thực tế, đồng thời phát triển nhiều kỹ năng quan trọng cho HS

Trong DH toán, mô hình hóa thường được sử dụng theo hai mục đích sau:

- Mô hình hóa để học toán: Mô hình hóa là một phương tiện hỗ trợ việc

học các khái niệm và quá trình học toán của HS, chẳng hạn như tạo động cơ giúp hình thành và hiểu một khái niệm hoặc minh họa các nội dung toán học trừu tượng, phức tạp

- Học toán để mô hình hóa: Mô hình hóa là một mục đích của việc học

toán, nhằm trang bị cho HS các NL để có thể sử dụng toán trong nhiều ngữ

cảnh và tình huống bên ngoài lớp học

Trong luận văn này, tôi tiếp cận MHHTH với mục đích: coi đây là một hoạt động của HS cần thiết để hỗ trợ quá trình học chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình cho HS lớp 9 trường THCS

1.2.3 Quy trình mô hình hóa 1.2.3.1 Sơ đồ theo Swetz và Hartzler (1991)

Theo Nguyễn Danh Nam trong [16] , có 4 giai đoạn cần thực hiện trong quá trình chung MHHTH (tham khảo Swetz và Hartzler, 1991) :

1) Quan sát hiện tượng thực tiễn: Bước đầu tiên là quan sát và hiểu rõ vấn đề hoặc hiện tượng trong thực tiễn Điều này liên quan đến việc thu thập thông tin, dữ liệu, và hiểu sâu về tình huống hoặc vấn đề cụ thể mà bạn đang nghiên cứu

2) Lập giả thuyết và phác thảo tình huống: Dựa trên quan sát và hiểu biết, phát triển giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố ảnh hưởng đến vấn đề Cũng có thể tạo ra một phác thảo hoặc mô tả về tình huống hoặc hệ thống mà bạn đang nghiên cứu

3) Áp dụng phương pháp và công cụ toán học: Sau khi có mô hình toán học, bạn sẽ áp dụng các phương pháp và công cụ toán học để giải quyết vấn đề hoặc phân tích mô hình Điều này có thể bao gồm việc sử dụng tính toán số học, mô phỏng, hoặc các kỹ thuật phân tích thống kê

4) Thông báo kết quả và đối chiếu với thực tiễn: Sau khi hoàn thành phân tích, bạn sẽ thông báo kết quả của nghiên cứu Điều này có thể bao gồm việc viết báo cáo, trình bày trước công chúng hoặc các chuyên gia, và đưa ra các biểu đồ hoặc đồ họa để minh họa kết quả Cuối cùng, bạn sẽ đối chiếu mô hình và kết quả với thực tiễn để xác định tính đúng đắn và áp dụng của nghiên cứu

Sơ đồ 1.1 Quan hệ giữa 4 giai đoạn của MHH toán học

1.2.3.2 Sơ đồ theo Blum (2005)

Sơ đồ 1.2 Quy trình của Blum

1 Hiểu tình huống thực tế và xây dựng mô hình cho nó 2 Đơn giản hóa tình huống và thêm các biến thích hợp vào mô hình 3 Chuyển từ mô hình thực tế sang mô hình toán học

4 Giải quyết vấn đề trong môi trường toán học để thu được kết quả toán

5 Chuyển đổi kết quả toán thành kết quả thực tế trong ngữ cảnh ban đầu

6 Đánh giá và xem xét tính phù hợp của kết quả, có cần thực hiện lại quy trình hay không

7 Trình bày cách giải quyết vấn đề thực tiễn ban đầu

1.2.3.3 Sơ đồ theo PISA (2006)

1 Bắt đầu từ một vấn đề thực tế là một cách hiệu quả để áp dụng toán học vào cuộc sống hàng ngày và rèn luyện kỹ năng MHH

2 Nhận ra và áp dụng các kiến thức toán phù hợp với vấn đề, tổ chức lại vấn đề bằng các khái niệm toán học

3 Loại bỏ các yếu tố thực tế không cần thiết để chuyển vấn đề thực tế thành một bài toán trung thực cho tình huống ban đầu

4 Đưa ra lời giải toán học cho bài toán đã thiết lập 5 Đối chiếu lời giải của một bài toán với tình huống thực tế và xác định những hạn chế của lời giải là một phần quan trọng của quá trình rèn luyện kỹ năng toán học và MHH

Biểu đồ 1.3 Quy trình MHH theo PISA

MHH toán học giúp chuyển đổi các vấn đề thực tiễn sang dạng vấn đề toán học, từ đó giải quyết chúng bằng cách sử dụng kiến thức toán học Sau khi có kết quả từ MHH, chúng ta có thể sử dụng chúng để giải thích và cải thiện các vấn đề trong thực tiễn (theo Juergen Maasz, 2008)

Tham khảo tài liệu [16], chúng tôi thống nhất với quy trình 7 bước thực hiện MHHTH trong DH môn toán do tác giả Nguyễn Danh Nam (2016) đề xuất:

B1.Tìm hiểu và phân tích vấn đề: Xác định, phân tích, và đơn giản hóa vấn đề thực tế Xác định các giả thuyết, tham số, và biến số liên quan

B2 Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết: Xây dựng các mô hình toán học bằng cách kết nối và xác định mối quan hệ giữa các giả thuyết

B3 Xây dựng bài toán toán học: Sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả vấn đề và xây dựng bài toán toán học tương ứng

B4 Giải bài toán toán học: Sử dụng các công cụ toán học thích hợp để giải quyết bài toán toán học đã xây dựng

B5 Hiểu lời giải và ý nghĩa mô hình: Hiểu lời giải của bài toán, đồng thời hiểu ý nghĩa của mô hình toán học trong ngữ cảnh thực tế

B6 Kiểm nghiệm và cải tiến mô hình: Kiểm tra tính hợp lý và tối ưu của mô hình đã xây dựng, đồng thời cân nhắc việc cải tiến mô hình

B7 Thông báo, dự đoán và cải tiến mô hình: Thông báo kết quả, giải thích mô hình và lời giải Dự đoán và cân nhắc cải tiến mô hình để tối ưu hoá phù hợp với thực tiễn

Ở đề tài này, chúng tôi vận dụng vào phạm vi và đối tượng GV và HS

THCS, và giới hạn trong nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình, trên cơ sở tham khảo [7], chúng tôi cụ thể hóa các hoạt động

thực hiện MHHTH theo sáu bước như sau:

Hình 1.2 Cơ chế điều chỉnh quá trình MHH

Bước 1: Để tiến hành bước này, GV hướng dẫn HS thực hiện các hoạt động: - Chọn một tình huống thực tiễn có liên quan đến yêu cầu tìm, tính toán một vài đại lượng nào đó (chính là dẫn đến nhu cầu ẩn số của PT, HPT);

- Tìm hiểu các mối liên hệ giữa những dữ kiện đã cho và phải tìm (ứng với loại PT, HPT);

- Xác định sự phù hợp về mức độ khó khăn đối với HS THCS khi dùng công cụ PT, HPT (được học - ở đây chỉ hạn chế trong phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn);

Bước 2: - Mô tả chi tiết tình huống để xác định câu hỏi đặt ra là gì? - Nhận ra yếu tố cố định, các đại lượng không đổi và đại lượng biến đổi trong tình huống để biểu diễn các mối quan hệ giữa chúng

- Thu thập dữ liệu thực tế để cung cấp thêm thông tin cho tình huống, những dữ liệu này sẽ gợi ý loại mô hình toán phù hợp với tình huống

- Chuyển từ tình huống ban đầu về dạng tình huống thực tiễn có dữ kiện và yêu cầu và cấu trúc rõ ràng bằng cách biểu đạt lại làm cho tình huống

trở nên rõ ràng hơn, gần gũi với cấu trúc của một bài toán (cái đã cho - điều phải tìm)

- GV gợi ý mối liên kết giữa tình huống thực tế và toán học; dự kiến những kiến thức, kỹ năng toán học và giúp HS tái hiện, chuẩn bị sử dụng để thiết lập mô hình toán học và giải bài toán

Bước 3: Để tiến hành bước này, GV hướng dẫn HS thực hiện các hoạt động: - Rút gọn, đơn giản hóa tình huống bằng cách lược bỏ những chi tiết không bản chất, cụ thể hóa câu hỏi, vấn đề đặt ra

- Từ mô hình đã rút gọn - có cấu trúc giả thiết - kết luận, HS nhận dạng loại bài toán toán học tương thích

- Biểu đạt theo cấu trúc và hình thức của loại bài toán đó bằng cách dùng tư duy và ngôn ngữ, ký hiệu toán học để phát biểu bài toán đã xác định

Bước 4: Để tiến hành bước này, GV hướng dẫn HS thực hiện các hoạt động: - Ở bước này, GV hướng dẫn HS sử dụng kiến thức và kỹ năng toán học tương ứng để giải bài toán theo PP quen thuộc

Bước 5: Để thấy rõ ý nghĩa của mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế, GV hướng dẫn HS thực hiện các hoạt động:

- Tìm hiểu lời giải theo cả hai mặt: mặt cú pháp (theo quy tắc, PP hình thức lôgic), mặt ngữ nghĩa (nghĩa của từng kiến thức, bước biến đổi tính toán và lập luận trong quá trình giải bài toán)

- Đối chiếu với câu hỏi và cách thức giải quyết đời thường để thấy rõ ý nghĩa của mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế

Bước 6: Để tiến hành bước này, GV hướng dẫn HS thực hiện các hoạt động: - Đối chiếu mô hình vừa xây dựng với những tình huống thực tế và áp

dụng thử để thấy được ưu, nhược điểm, tìm cách chỉnh sửa và rút ra kết luận cần thiết

Ví dụ 1.1:

Bước 1: Hai bạn An và Bình đi từ Sơn Tây đến Hà Nội trên quãng đường 50km An đi bằng xe đạp điện với vận tốc trung bình 20 km/h từ lúc 7g sáng, sau đó vào lúc 8g sáng Bình đi bằng xe xe máy với vận tốc trung bình 40 km/h

Vậy có thể đặt ra những câu hỏi: Sau bao nhiêu lâu hai bạn gặp nhau trên đường? Địa điểm gặp nhau cách Sơn Tây bao nhiêu km?

Bước 2:

GV hướng dẫn HS đơn giản hóa bằng cách lược bỏ: Tên người cụ thể chỉ để lại A và B; Sơn Tây, Hà Nội chỉ để lại khoảng cách 50km; Phương tiện xe đạp điện và xe máy chỉ để lại 2 vận tốc 20 và 40; Thời gian chỉ còn lại 2 thời điểm 7g00 và 8g00 Tức là chỉ mới quan tâm đến mô hình và bài toán “chuyển động cùng chiều với vận tốc khác nhau”

Rút gọn được: 2x = x+1

Bước 4:

Sử dụng PP toán học (ở đây là giải phương trình bậc nhất): 2x = x+1

Vẽ đồ thị của hai hàm số y = 2x và y = x+1 trên cùng một hệ tọa độ

1.3 Một số tiếp cận mô hình hóa trong dạy học toán

Việc áp dụng phương pháp MHH toán học có thể mang nhiều hướng tiếp cận khác nhau, tùy thuộc vào mục tiêu và ngữ cảnh giảng dạy Theo [11] đã trình bày và tổng hợp quan điểm như sau:

- Quan điểm của Pollak và hướng tiếp cận của Burkhardt, Kaiser & Schwarz đều tập trung vào việc áp dụng kiến thức toán học vào việc giải quyết các vấn đề thực tiễn và tạo ra sự kết nối giữa toán học và cuộc sống hàng ngày của HS Điều này đánh dấu sự thay đổi quan trọng trong giáo dục toán học, từ việc chỉ tập trung vào việc học kiến thức toán học trừu tượng đến việc biến kiến thức toán học thành công cụ hữu ích cho cuộc sống và sự phát

Hình 1.1

triển cá nhân của HS

- Quan điểm "Education" tập trung vào việc tích hợp MHH (Mô hình hoá toán học) vào quá trình dạy học toán Điều này đòi hỏi các giáo viên không chỉ truyền đạt kiến thức toán học mà còn phải thúc đẩy sự hiểu biết sâu rộng và khả năng ứng dụng của HS thông qua việc xây dựng và giải quyết các mô hình toán học Quan điểm này cũng nhấn mạnh ý nghĩa của việc học toán và phát triển năng lực MHH trong cuộc sống hàng ngày của HS

- Quan điểm "Cognition" tập trung vào quá trình nhận thức của HS trong việc sử dụng và áp dụng MHH (Mô hình Hoá Toán Học) Nó quan tâm đến cách mà HS xây dựng, hiểu và ứng dụng các mô hình toán học trong giải quyết vấn đề Quan điểm này chú trọng vào nghiên cứu về tư duy, nhận thức và quá trình học tập toán học của HS

Thông qua quan điểm "Cognition," tìm hiểu rõ hơn về các rào cản, khó khăn mà HS gặp phải khi tiếp cận và sử dụng MHH Bằng cách phân tích các quy trình MHH khác nhau dưới nhiều tình huống, chúng ta có thể xác định được các vấn đề về nhận thức và quy trình tư duy mà HS gặp phải khi học toán thông qua MHH

Hướng tiếp cận theo quan điểm "Education" trong luận văn này tập trung vào việc tích hợp MHH vào quá trình dạy học toán, quy trình MHH bao gồm các bước quan trọng là toán học hóa, giải bài toán, thông hiểu và đối chiếu Bằng cách tích hợp MHH và áp dụng quy trình này trong giảng dạy toán, tác giả mong muốn thúc đẩy quá trình học tập của học sinh một cách tích cực

Cách tiếp cận này tập trung vào việc giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn Điều này có ý nghĩa quan trọng vì khi học sinh nhận thấy rằng toán học không chỉ là một loạt các bài tập trừu tượng mà nó có liên quan trực tiếp đến cuộc sống hàng ngày, họ sẽ có động lực học tập toán học một cách tích cực hơn

Tích hợp MHH và quy trình MHH vào giảng dạy toán có thể giúp học sinh phát triển kỹ năng toán học và cách tiếp cận bài toán một cách hiệu quả Điều này có thể giúp họ tự tin hơn trong việc giải quyết các vấn đề toán học và thúc đẩy sự tương tác tích cực giữa toán học và thực tiễn trong cuộc sống hàng ngày

1.4 Kỹ năng mô hình hóa toán học Theo [24] gồm 12 kỹ năng mô hình hóa toán học như sau:

a) Thu thập số liệu: Mô hình toán học không chỉ phụ thuộc vào các công

thức mà còn phụ thuộc vào tính đúng đắn của số liệu Việc sử dụng dữ liệu trong mô hình toán học trên thực tế rất rộng rãi, tóm tắt như sau:

- Trước tiên xem xét yếu tố nào là quan trọng và chỉ ra mối quan hệ có thể có giữa chúng

- Sau đó sửa giá trị của các tham số và hằng số có thể xảy ra trong mô hình

- Cuối cùng kiểm tra tính đúng đắn của mô hình bằng cách so sánh các dự đoán của nó với dữ liệu thực

b) Thiết lập mô hình toán học:

- Hiểu vấn đề thực tiễn: HS cần phải thấu hiểu vấn đề thực tiễn một cách sâu sắc trước khi họ có thể tạo ra một mô hình toán học Điều này bao gồm việc xác định các yếu tố quan trọng của tình huống thực tế và hiểu rõ tình huống từ nhiều góc độ

- Xác định giả thuyết: Để đơn giản hóa vấn đề, HS cần xác định các giả thuyết hoặc giả định cơ bản liên quan đến vấn đề Các giả thuyết này giúp họ tạo ra một mô hình tương đối đơn giản và dễ quản lý

- Mô tả và thể hiện toán học: Sau khi hiểu vấn đề, HS cần biểu diễn nó bằng ngôn ngữ toán học Điều này có thể bao gồm việc xác định các biến số, xây dựng các phương trình hoặc mô hình toán học, và sử dụng các công cụ toán học để mô tả tình huống

- Xác định khái niệm và mối quan hệ: HS cần xác định các khái niệm và biến số quan trọng trong mô hình, cũng như xác định mối quan hệ giữa chúng Điều này thường được thể hiện thông qua các biểu thức toán học, đồ thị, biểu đồ, và các mô hình khác

- Khái quát hóa tình huống thực tiễn: Một phần quan trọng của việc thiết lập mô hình là khả năng tổng hợp và khái quát hóa tình huống thực tiễn thành một mô hình toán học có tính tổng quan Điều này giúp HS áp dụng mô hình cho các tình huống tương tự trong tương lai

c) Phát triển mô hình: Đầu tiên, chúng ta cần thể hiện các biến bằng các

ký hiệu toán học phù hợp, sau đó xác định các giả định về các tương quan giữa các biến và cuối cùng biến đổi những giả định đó thành các phương trình hoặc bất đẳng thức toán học tương ứng

d) Thể hiện lời giải toán học vào ngữ cảnh thực tiễn và làm quen với việc kiểm chứng tính đúng đắn của lời giải

Quan sát tình huống thực tiễn: HS cần có khả năng quan sát môi trường và tình huống thực tế một cách chính xác Giúp HS nhận biết các yếu tố quan trọng và thu thập thông tin cần thiết để giải quyết vấn đề

Khả năng tưởng tượng và chuyển đổi các ý tưởng từ thực tiễn thành các yếu tố toán học là quan trọng HS cần có sự sáng tạo để xác định cách biểu diễn tình huống bằng ngôn ngữ toán học, bao gồm việc xác định biến số, phương trình, và các mối quan hệ toán học

Ước lượng và dự đoán: HS cần có khả năng ước tính và dự đoán các kết quả có thể xảy ra trong tình huống thực tiễn dựa trên mô hình toán học của họ Điều này giúp họ kiểm tra tính khả thi của lời giải toán học và đưa ra dự đoán về tình huống thực tế

Thể hiện lời giải vào ngữ cảnh thực tiễn: Sau khi có lời giải toán học, HS cần biết cách thể hiện nó trong ngữ cảnh thực tiễn Điều này có thể bao gồm việc trình bày lời giải bằng ngôn ngữ thông thường, sử dụng biểu đồ, đồ thị,

hoặc các phương tiện khác để giúp người khác hiểu và sử dụng lời giải Kiểm chứng tính đúng đắn: HS cần kiểm tra tính đúng đắn của lời giải toán học bằng cách áp dụng nó vào tình huống thực tế và so sánh kết quả thu được với dự đoán ban đầu Điều này giúp họ xác minh tính chính xác của mô hình toán học và lời giải của mình

e) Lập mô hình rời rạc: Một trong những điểm chính của mô hình hóa là

dự đoán sự phát triển trong tương lai của một hệ thông kinh tế, hoặc một quyết định chính sách Bất kì mô hình nào như vậy đều dựa trên giả định rằng giá trị hiện tại của X phụ thuộc vào một hoặc nhiều biến thay đổi theo thời gian

f) Lập mô hình liên tục: Trong phạm vi giá trị có thể sử dụng của một

biến, chúng ta có thể thấy rằng biến đó bị giới hạn bởi các giá trị cụ thể ( ví dụ số nguyên), trong trường hợp đó biến đó được gọi là biến rời rạc Khi một biến được phép nhận bất kỳ một giá trị nào trong một khoảng, chúng ta gọi biến đó là liên tục

g) Lập mô hình định kì: Với các hàm tuần hoàn, biến phụ thuộc vào thời

gian t biểu diễn theo trục hoành

h) Lập mô hình với tỉ lệ thay đổi: Một trong những điểm chính của mô

hình hóa là cố gắng dự đoán điều gì sẽ xảy ra theo thời gian Đôi khi có khoảng thời gian mà cuối khoảng thời gian đó có xảy ra một điều gì đó, ta cần sử dụng đến mô hình với tỉ lệ thay đổi

k) Lập mô hình hóa với phương trình vi phân là một phần quan trọng

trong quá trình MHH toán học khi bạn muốn mô tả và giải quyết một vấn đề thực tế bằng cách sử dụng phương trình vi phân

l) Lập mô hình tích hợp là quá trình tạo ra một mô hình toán học kết hợp

nhiều yếu tố, biến số, hoặc phương trình để mô phỏng hoặc giải quyết một vấn đề phức tạp hoặc đa dạng

m) Lập mô hình với số ngẫu nhiên có thể được thực hiện bằng cách sử

dụng các biến số hoặc tham số có giá trị ngẫu nhiên để mô phỏng các tình huống hoặc vấn đề có sự biến đổi tự nhiên.

n) Kỹ năng sử dụng mô hình và giải quyết được các vấn đề toán học trong mô hình đã được thiết lập

- Học sinh cần biết cách sử dụng mô hình toán học để giải quyết các vấn đề toán học cụ thể Điều này bao gồm việc áp dụng các phương pháp và kỹ thuật toán học để tìm lời giải cho mô hình

- Học sinh cần biết cách diễn giải và giải thích kết quả của mô hình toán học Họ cần hiểu rõ cách mối quan hệ giữa lời giải toán học và tình huống thực tiễn được biểu diễn trong mô hình

- Khả năng biến đổi mô hình toán học theo ý cá nhân: Đôi khi, học sinh có thể cần điều chỉnh hoặc biến đổi mô hình toán học ban đầu để phù hợp với tình huống cụ thể hoặc để giải quyết vấn đề một cách tốt hơn Khả năng này yêu cầu sự sáng tạo và linh hoạt trong việc làm việc với mô hình

- Học sinh cần biết cách sử dụng mô hình toán học để dự đoán các tình huống thực tiễn và đưa ra các dự đoán dựa trên mô hình Điều này giúp họ hiểu rõ tác động của các yếu tố khác nhau và khả năng dự đoán kết quả trong tình huống thực tế

Từ những mô tả trên, để rèn luyện kỹ năng mô hình hóa cho HS trong dạy học chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình lớp 9 trường THCS tác giả viết đề tài chọn phân tích các kỹ năng sau để phù hợp với chương trình học và tâm sinh lý của HS lớp 9:

Kỹ năng 1: Kỹ năng thiết lập mô hình toán học Kỹ năng 2: Kỹ năng sử dụng mô hình và giải quyết được các vấn đề toán học trong mô hình đã được thiết lập

Kỹ năng 3: Thể hiện lời giải toán học vào ngữ cảnh thực tiễn và làm quen với việc kiểm chứng tính đúng đắn của lời giải

1.5 Cơ sở thực tiễn

1.5.1 Giới thiệu chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ở THCS

a) Phân phối chương trình

Toán 8: Chương III - Phương trình bậc nhất một ẩn (16 tiết) Toán 9: Chương III - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (9 tiết) trong đó Chương IV - Hàm số y = ax2 (a 0) Phương trình bậc hai một ẩn (14 tiết) trong đó:

Vì vậy, nội dung chương trình như vậy ba kỹ năng mà tác giả lựa chọn rèn luyện là phù hợp, nhiều cơ hội để rèn luyện kỹ năng mô hình hóa nội dung này, mặc dù thời gian trực tiếp trên lớp không nhiều, như GV có thể vận dụng các hình thức khác để tăng cường hoạt động MHHTH cho HS thông qua các tiết tự chọn, giờ ngoại khóa, tiết ôn tập, phụ đạo, đồng thời cũng có thể lồng ghép với nhiệm vụ và hoạt động tự học của các em

b) Kiến thức lý thuyết và dạng bài tập

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

Bước 1: Chọn ẩn số, đơn vị và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số phụ thuộc vào bài toán cụ thể

Bước 2: Lập phương trình với ẩn đã chọn - Xác định các đại lượng chưa biết trong bài toán và biểu diễn chúng bằng các biểu thức chứa ẩn số

- Biểu diễn các đại lượng đã biết (các điều kiện đã cho trước trong bài toán) bằng các biểu thức chứa giá trị đã biết hoặc các biểu thức chứa ẩn số Điều này có thể bao gồm giá trị ban đầu, giới hạn, hoặc các mối quan hệ đã biết giữa các đại lượng

- Lập phương trình Đảm bảo rằng các phần tử trong phương trình được lập trình đúng cách và phản ánh mối quan hệ giữa các đại lượng theo yêu cầu của bài toán

Thường thì mỗi phương trình trong hệ thống phương trình sẽ biểu thị một mối quan hệ giữa các đại lượng Số lượng phương trình thường phụ thuộc vào số lượng ẩn số và đặc tính của bài toán

Bước 3: Giải PT bậc nhất, HPT bậc nhất, PT bậc hai đã lập Bước 4: Chọn nghiệm thích hợp và trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không thoả mãn, trả lời bài toán ban đầu

Bước 5: (tuỳ theo điều kiện: nội dung bài toán, đối tượng HS): Khái quát hóa bài toán (mức độ thấp là đề xuất bài toán tương tự)

c) Đặc điểm nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình

- Bài toán có liên hệ hoặc gắn với thực tế - Phạm vi của các bài toán rộng, đòi hỏi người học phải hiểu biết nhiều kiến thức trong các môn học khác như: Vật lí, Hoá học, Sinh học…

- Sử dụng đến nhiều kiến thức toán học như: giải phương trình, tính %, tính tần suất, tính nồng độ

d) Chú ý DH

- Đặc điểm của các dạng phương trình và cách giải đã tạo nên vị trí rất quan trọng trong nội dung chương trình môn toán trong nhà trường phổ thông, giúp HS nhận thức dược về kiến thức, kỹ năng giải, định hướng về suy luận, phát triển tư duy sáng tạo, khả năng phân tích tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa

- Các bài toán trong chủ đề này chủ yếu là toán bậc nhất và toán bậc hai, nghĩa là các bài toán thực tiễn (giả định) dẫn đến phương trình bậc nhất, bậc hai Tuy nhiên, để kiểm tra được kỹ năng giải phương trình tích (kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử) cũng có thể cho thêm một số rất hạn chế

những bài toán đòi hỏi giải phương trình bậc hai không quá phức tạp

1.5.2 Thực trạng rèn luyện kỹ năng mô hình hóa cho HS nội dung “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” ở THCS

1.5.2.1 Nhận thức của giáo viên về tầm quan trọng và sự cần thiết của việc rèn luyện kỹ năng mô hình hóa cho HS trong dạy học chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình lớp 9 trường THCS

Thống kê mức độ cần thiết của việc rèn luyện kỹ năng mô hình hóa cho HS khi dạy chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình lớp 9 trường THCS

Bảng 1.1: Mức độ cần thiết của việc rèn luyện kỹ năng MHH cho HS

- Kết quả các mức độ thường xuyên rèn luyện kỹ năng MHH cho HS khi dạy chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình lớp 9 trường THCS được tôi phân tích và thể hiện qua Bảng 1.2

Bảng 1.2: Các mức độ thường xuyên rèn luyện kỹ năng MHH cho HS

bằng cách lập phương trình, hệ phương trình lớp 9 trường THCS chưa thường xuyên Một số GV cho rằng, không cần tổ chức các hoạt động này mà HS vẫn hoàn thành bài học, nắm được kiến thức trọng tâm mà không bị mất thời gian Điều này, HS sẽ gây khó khăn trong việc rèn luyện kỹ năng MHH để phát triển năng lực MHH toán học ở trường THCS

Thông qua phiếu điều tra dành cho giáo viên, tôi đã tiến hành trao đổi, điều tra 35 giáo viên dạy toán trường THCS Đoàn Thị Điểm quận Nam Từ Liêm, Hà Nội về việc khai thác ứng dụng các bài toán có nội dung thực tế vào dạy học bộ môn Toán

Biểu đồ 1.1: Biểu đồ thống kê ý kiến của giáo viên về mức độ thường xuyên quan tâm đến việc dạy học theo hướng tăng cường tính ứng dụng toán học

thường xuyênthỉnh thoảngchưa bao giờ

tự tìm hiểu về những ứng dụng thực tế của toán học trong cuộc sống

Biểu đồ 1.3: Biểu đồ thống kê ý kiến của giáo viên về tầm quan trọng của

việc rèn luyện kỹ năng MHH toán học cho HS

Biểu đồ 1.4: Biểu đồ thống kê ý kiến của giáo viên về mức độ thường xuyên

rèn luyện kỹ năng MHH toán học cho HS

Dựa vào hai biểu đồ trên tôi thấy hầu hết các giáo viên đều đã chú ý đến việc rèn luyện kỹ năng MHH toán học cho HS

1.5.2.2 Thực trạng việc bồi dưỡng rèn luyện kỹ năng mô hình hóa toán học cho HS của đội ngũ giáo viên Toán trường THCS

Trong chương trình trung học phổ thông mới ở Việt Nam rất đề cao tính ứng dụng của toán học trong thực tiễn Tác giả chỉ tìm thấy có sự mô hình hóa trong việc ứng dụng các kiến thức toán học vào một số vấn đề nảy sinh từ thực tiễn Trong sách giáo khoa toán trung học phổ thông mới thì đã

cải thiện được vấn đề này, bài học nào hầu như cũng có các bài toán thực tế liên quan

Qua các phiếu khảo sát ý kiến của các giáo viên tham gia trong quá trình dạy học thực nghiệm, nghiên cứu và đối chứng Vấn đề bồi dưỡng rèn luyện kỹ năng mô hình hóa toán học cho HS THCS vẫn chưa đạt được kết quả mong muốn Đặt câu hỏi: Theo thầy (cô), HS có cần thiết rèn luyện kỹ năng mô hình hóa toán học? Tôi nhận được 9/21 giáo viên nói không cần thiết; 5/21 nói rằng nó là ít cần thiết; 3/21 giáo viên cho là cần thiết; và với 4/21 giáo viên khẳng định việc rèn luyện kỹ năng mô hình hóa toán học cho HS THCS là rất cần thiết

Với câu hỏi: Theo thầy (cô), kỹ năng mô hình hóa toán học có hỗ trợ cho việc tự rèn luyện và phát triển các kỹ năng, năng lực của bản thân và nâng cao kết quả học tập Toán của HS? Tôi nhận được 6/35 giáo viên nói không hỗ trợ; 8/35 nói rằng, nó có hỗ trợ nhưng mức độ ít; 5/35 giáo viên nói rằng, năng lực mô hình hóa toán học có hỗ trợ cho việc tự rèn luyện và phát triển năng lực bản thân và nâng cao kết quả học tập Toán của HS; và với 10/35 giáo viên khẳng định việc rèn luyện kỹ năng mô hình hóa toán học cho HS là cần thiết, nó hỗ trợ rất nhiều cho chính bản thân mỗi HS về các kỹ năng giải quyết vấn đề thực tiễn, giúp vận dụng kinh nghiệm bản thân và kiến thức toán học cho thực hiện nhiệm vụ

Với câu hỏi: Theo thầy (cô) việc rèn luyện kỹ năng mô hình hóa toán học của HS thông qua rèn luyện và phát triển kỹ năng mô hình hóa trong chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình có thiết thực không? Phía các giáo viên đã có những tâm sự, chia sẻ khác nhau Có 8/35 giáo viên cho rằng, nó không thiết thực; 9/35 nói rằng, nó ít thiết thực; Tuy nhiên, vẫn có 10/35 giáo viên nói rằng, việc đẩy mạnh rèn luyện kỹ năng mô hình hóa toán học của HS thông qua bồi dưỡng và phát triển kỹ năng mô hình hóa trong chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình lớp 9 trường