Dạy học chủ đề đạo hàm và tích phân góp phần rèn luyện kỹ năng mô hình hóa toán học cho hs khá giỏi lớp 12 thpt

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Nhiệm vụ của môn Toán được ghi rõ trong chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn [5]: “Mơn Tốn góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học biểu hiện

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐỖ MẠNH TUYỂN

DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ĐẠO HÀM

VÀ TÍCH PHÂN GÓP PHẦN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI

LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN - 2022

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐỖ MẠNH TUYỂN

DẠY HỌC CHỦ ĐỀ ĐẠO HÀM

VÀ TÍCH PHÂN GÓP PHẦN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI

LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số: 8 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Anh Tuấn

THÁI NGUYÊN - 2022

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn - Trường ĐHSP

Hà Nội

Các số liệu và kết quả nghiên cứu mới trong luận văn là trung thực, chưa từng được công bố trước đây và không trùng lặp với kết quả đã có của một công trình nào khác

Tôi cam đoan đã thực hiện kiểm tra mức độ tương đồng nội dung luận

văn qua phần mềm Turnitin một cách trung thực và đạt kết quả mức độ tương đồng 19% Bản luận văn kiểm tra qua phần mềm là bản cứng đã nộp để bảo vệ

trước Hội đồng

Nếu có gì sai sót tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Thái Nguyên, tháng 12 năm 2022

Tác giả luận văn

Đỗ Mạnh Tuyển

Dù đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên luận văn chắc chắn vẫn không tránh khỏi những thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp từ quý thầy cô và đồng nghiệp

Thái Nguyên, tháng 12 năm 2022

Tác giả luận văn

Đỗ Mạnh Tuyển

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

MỤC LỤC

Trang

CH NG 1 - C SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 8

1.1.2 Mối liên hệ giữa mô hình hóa, toán học hóa và áp dụng toán 9

1.2 Dạy học Toán theo hướng phát triển NL cho HS 15 1.2.1 Định hướng DH môn Toán theo hướng phát triển N HS 15 1.2.2 Vị trí và mối quan hệ của N mô hình hóa toán học trong N toán học 17

1.3 Tình hình DH “Đạo hàm và tích phân” và việc rèn luyện KN MHHTH cho HS

1.3.1 Nội dung dạy học “Đạo hàm và tích phân” ở môn Toán THPT 18 1.3.1.1 Chủ đề “Đạo hàm và tích phân” trong chương trình SGK Toán THPT 18 1.3.1.2 Phân tích, nhận xét nội dung từ cơ hội vận dụng MHHTH 20

1.4 Kết luận chương 1 34

CH NG 2 - RÈN UYỆN KỸ NĂNG MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HS KHÁ

GIỎI ỚP 12 THPT TRONG DẠY HỌC ĐẠO H M V T CH PHÂN 35

2.2 Biện pháp dạy học đạo hàm và tích phân rèn luyện KN MHHTH cho HS khá

2.2.1 Biện pháp 1 - Tổ chức cho HS các HĐ MHHTH trong ứng dụng đạo hàm và tích

2.2.2 Biện pháp 2 - Tổ chức cho HS các HĐ MHHTH trong ứng dụng đạo hàm và tích phân giải quyết một số vấn đề thực tiễn cuộc sống 40 2.2.3 Biện pháp 3 - Xây dựng và sử dụng một số bài tập về ứng dụng đạo hàm và tích phân tạo điều kiện tập luyện cho HS sử dụng PP MHHTH để GQVĐ 49 2.2.4 Biện pháp 4 - Khai thác tổ chức HS phát hiện và sửa chữa sai lầm trong quá trình giải bài toán bằng công cụ đạo hàm và tích phân 63

DANH MỤC CÁC BẢNG, SƠ ĐỒ, BIỂU ĐỒ

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Nhiệm vụ của môn Toán được ghi rõ trong chương trình giáo dục phổ thông

môn Toán ([5]): “Môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học (biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán) bao gồm các thành phần cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán”

Trong [5], năng lực toán học được coi là một năng lực đặc thù - cụ thể hóa

NL tính toán trong chương trình giáo dục phổ thông tổng thể [4] đối với môn Toán

ở trường phổ thông

Trong đó, NL mô hình hóa toán học lại là một thành phần không thể thiếu khi HS muốn vận dụng môn Toán vào một số tình huống thực tiễn (môn học khác, đời sống) N toán học cùng với thành phần N mô hình hóa toán học đã được xác định yêu cầu, tiêu chí và biểu hiện cụ thể đối với môn Toán THPT

trong ([5], [20])

Mặt khác, học sinh học Toán cần “phát triển khả năng giải quyết vấn đề có tính tích hợp liên môn giữa môn Toán và các môn học khác” ([5])

Do đó, để tiếp cận thực hiện chương trình giáo dục toán học mới, GV Toán

cần nắm vững nhiệm vụ và yêu cầu phát triển NL của môn Toán - đặt trong chương trình giáo dục tổng thể, với định hướng DH Toán gắn với mục đích để tăng cường khả năng vận dụng vào thực tiễn cuộc sống cho người học, cụ thể là:

Trong chương trình giáo dục tổng thể 2018 [4], cùng với các môn học khác, môn Toán cần “hình thành và phát triển cho học sinh những năng lực cốt lõi”, trong đó có năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo Đồng thời, N tính toán (mà theo [5], biểu hiện ở môn Toán chính là N toán học) được xem là một N đặc thù

hàng đầu (đối với môn Toán) trong 7 N đặc thù cần được “hình thành, phát triển chủ yếu thông qua một số môn học và hoạt động giáo dục”

Như vậy, N toán học làm cơ sở để HS vận dụng môn Toán vào thực tiễn; trong nhiều tình huống nội môn, tích hợp, liên môn, HS muốn giải quyết được những VĐ có tính thực tiễn đặt ra, các em cần huy động và sử dụng những KN

thực hiện PP mô hình hóa toán học ([17])

Xét riêng trong môn Toán, nhiệm vụ và yêu cầu DH Toán trong chương trình môn Toán 2018 ([5]): N mô hình hóa toán học cũng là một năng lực quan trọng trong năm thành tố cốt lõi của N toán học cần hình thành, phát triển qua môn Toán, đặc biệt là ở những tình huống vận dụng toán học vào GQVĐ có nội dung thực tiễn Mặt khác, N mô hình hóa toán học chỉ có thể bộc lộ, hình thành

và phát huy thông qua những KN mô hình hóa toán học cụ thể, giúp các em thực hiện được và hiệu quả những HĐ mô hình hóa toán học khi GQVĐ

Có thể thấy N mô hình hóa toán học có mối quan hệ và gắn bó chặt chẽ với những NL thành phần khác trong N toán học, đặc biệt là với N GQVĐ; góp

phần phát triển những năng lực chung trong giáo dục phổ thông (NL tự chủ và tự học; NL giao tiếp và hợp tác; NL giải quyết vấn đề và sáng tạo [4])

Chủ đề nội dung “Đạo hàm và tích phân” trong môn Toán THPT có vị trí vai trò đặc biệt quan trọng: Đây là một công cụ rất mạnh mẽ, có tác dụng giải quyết

nhiều bài toán trong nội bộ môn Toán (khảo sát hàm số, giải các phương trình, ); đồng thời được ứng dụng nhiều trong các môn học khác (Vật lý, Hóa học, Sinh học, Kỹ thuật, ), tạo nhiều điều kiện, cơ hội tốt để rèn luyện KN và phát triển NL

mô hình hóa toán học cho HS

Với đối tượng HS khá giỏi lớp 12 THPT, các em có vốn kiến thức, KN và kinh nghiệm khá phong phú, cùng với N tư duy toán học tốt nên GV có thể đưa

vào những bài toán tổng hợp có nội dung vận dụng toán học vào thực tiễn; tổ chức

HS tiến hành quá trình GQVĐ thực tiễn theo PP mô hình hóa toán học

Với những căn cứ và lý do trên, tác giả luận văn chọn vấn đề “Dạy học chủ

đề đạo hàm và tích phân góp phần rèn luyện kỹ năng mô hình hóa toán học cho HS khá giỏi lớp 12 THPT” làm đề tài nghiên cứu của mình ở luận văn này

2 TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

a) Những kết quả nghiên cứu về DH đạo hàm và tích phân

Trong luận án của mình, tác giả Nguyễn Ngọc Anh (2000, [2]) đã tiếp cận

DH chủ đề này từ yêu cầu cải tiến PPDH nhằm nâng cao chất lượng dạy và học

giải các bài tập cực trị có nội dung liên môn và thực tế ở lớp 12 THPT

Cũng với luận án tiến sỹ, tác giả Phan Anh (2012, [3]) đặt ra và GQVĐ phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS THPT trong DH Đại số

và Giải tích Ở đây, tác giả trực tiếp nghiên cứu về kỹ năng toán học hóa đối với

HS khi giải bài toán bằng công cụ Đại số và Giải tích ở THPT Nhìn từ góc độ “PP

mô hình hóa toán học”, chúng tôi thấy toán học hóa tình huống thực tiễn là một

thành phần quan trọng trong N mô hình hóa toán học

Ở tầm luận văn Thạc sỹ, có thể kể đến một số công trình nghiên cứu về DH chủ đề “Đạo hàm và tích phân” - chú ý là DH giải toán bằng công cụ này ở lớp 12 THPT với các kết quả như sau:

Lý Hồng Hạnh (2006, [7]) tập trung vào rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm Hoàng Hồng Hạnh (2011, [9]) thì nghiên cứu rèn luyện kĩ năng ứng dụng tích phân

Nguyễn Trung Kiên (2006, [11]) hướng đến đối tượng HS khá giỏi nhằm rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải toán cực trị hình học

Nguyễn Thị Mai iên (2008, [14]) tiếp cận VĐ dạy học tri thức phương pháp cho HS khi giải toán có ứng dụng đạo hàm

Đinh Hải Tâm, Nguyễn Văn Thà (2018, [18]) chỉ tập trung phân tích và sửa chữa những sai lầm thường gặp của HS khi giải bài tập ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Dương Thị Yến (2002, [26]), Cũng với mục đích rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm, tác giả tập trung vào DH hai loại bài toán: tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức

Điểm qua những công trình có liên quan, chúng tôi thấy: Chủ đề “Đạo hàm

và tích phân” là một nội dung DH thể hiện khá rõ tính công cụ của toán học trong ứng dụng thực tiễn; vì vậy có thể nói đây là nội dung có nhiều tiềm năng cơ hội để

thực hiện dạy học Toán gắn với ứng dụng thực tiễn của môn học; nói riêng là rèn luyện KN MHHTH cho HS khá giỏi lớp 12 THPT

b) Những kết quả nghiên cứu về DH mô hình hóa và DH Toán gắn với mục tiêu vận dụng toán học vào thực tiễn

Một số tác giả trong và ngoài nước đã nghiên cứu về MHHTH từ những góc

độ khác nhau:

Dong Thi Hong Ngoc, Nguyen Danh Nam (2019, [27]), đã nghiên cứu về

ảnh hưởng của bài giảng đến NL của SV trong quá trình MHHTH

Ang Keng Cheng (2001, [30]) GQVĐ “Dạy mô hình toán học ở các trường học Singapore”, theo đó tác giả xác định những mô hình toán học cần thiết và cách

thức dạy cho HS Singapore thực hiện MHHTH

Chan Chun Ming Eric (2010, [31]), nghiên cứu quá trình lập mô hình toán học của HS tiểu học để theo dõi sự phát triển khả năng MHHTH của các em

Greefrath, G., Vorhölter, K., Kaiser, G (2016, [32]), nghiên cứu riêng về

khả năng và hiệu quả của PP MHHTH trong DH ở các nước nói tiếng Đức

Haines, C., Crouch, R (2001, [33]) tìm hiểu về nhận biết các cấu trúc trong

mô hình toán học trong DH Toán

Kai Velten (2009, [35]) trình bày về sử dụng mô hình hóa và mô phỏng toán học với đối tượng các nhà khoa học và kỹ sư

Peter L Galbraith, Richard Lesh, Christopher R Haines, Andrew Hurford (2010, [36]), trực tiếp nghiên cứu về mô hình hóa và N mô hình hóa toán học của người học trong môn Toán

Ở Việt Nam, đã có nhiều tác giả nghiên cứu về MHHTH, cụ thể là:

Nguyễn Thị Tân An (2012, [1]) làm rõ vai trò, sự cần thiết của mô hình hóa trong dạy học toán

Tác giả Nguyễn Danh Nam (2015 - 2016) đã có nhiều công trình về MHHTH,

bao gồm đề xuất quy trình mô hình hóa trong dạy học toán ở trường phổ thông ([15]); Năng lực mô hình hóa toán học của HS phổ thông ([16]); Phương pháp mô hình hóa trong dạy học môn toán ở trường phổ thông ([17]) và vận dụng PP này

vào môn Toán ([18])

Trần Trung (2011, [23][22]) định hướng vận dụng mô hình hóa vào dạy học môn Toán ở trường phổ thông

Trần Vui (2009, [25]) tiếp cận nghiên cứu MHHTH từ phạm vi rộng hơn là

“Toán học hóa” với mục đích nâng cao hiểu biết định lượng cho HS trung học phổ thông

Như vậy, có thể thấy: Các kết quả nghiên cứu về MHHTH từ quan niệm, thành phần, biểu hiện và mức độ, NL MHHTH, quy trình và PP MHH, đã tương

đối đầy đủ, tạo điều kiện thuận lợi để triển khai vận dụng vào những nội dung cụ thể trong môn Toán dành cho những đối tượng người học khác nhau, nói riêng là với HS khá giỏi lớp 12 THPT

Nhìn chung, các công trình này tập trung làm rõ một số vấn đề về lý luận và thực tiễn có liên quan đến vận dụng MHHTH trong môn Toán Tuy nhiên, chưa có

công trình nào thực tế nghiên cứu về rèn luyện KN MHHTH đối với nội dung “Đạo hàm và tích phân” ở lớp 12 THPT

Theo hướng nghiên cứu “Gắn môn toán với ứng dụng thực tiễn” có một số công trình như sau:

Nguyễn Bá Kim (2014, [12]) đặt ra và giải quyết vấn đề định hướng và

cách thức giáo dục toán học tập trung phát triển năng lực HS Theo đó tập trung

vào N GQVĐ thông qua vận dụng môn Toán vào giải quyết những VĐ có tính thực tiễn

Nhóm tác giả Đỗ Đức Thái (2018, [20]) tiếp cận từ chương trình giáo dục

phổ thông môn Toán (ban hành năm 2018) đã có nghiên cứu về Dạy học phát triển năng lực môn Toán ở bậc THPT Trong đó có N toán học và thành phần

NL MHHTH

Nguyễn Anh Tuấn - ê Bá Phương (2014, [24]) tiếp cận VĐ DH Toán cơ

bản cho đối tượng SV đại học ở trường nghề với mục đích tăng cường liên hệ với thực tiễn nghề nghiệp thông qua giải pháp về nội dung và PPDH

uận án của Phan Anh (2012, [3]) không chỉ bàn đến DH Đại số và Giải tích

THPT mà còn tập trung vào phát triển năng lực toán học hóa - xem như vừa là mục đích về N MHHTH mà còn hướng đến mục tiêu chung “làm cho việc học Toán gắn với ứng dụng môn học này vào thực tiễn”

Từ đó có thể thấy: Trên thế giới và ở Việt Nam, xu thế chung trong đổi mới

toàn diện giáo dục toán học là tăng cường gắn môn toán với ứng dụng thực tiễn, trong đó có việc phát triển N , rèn luyện KN MHHTH cho người học

3 MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

3.1 Mục đích nghiên cứu

Xây dựng biện pháp dạy học chủ đề đạo hàm và tích phân theo hướng bồi

dưỡng N mô hình hóa toán học cho học sinh THPT

3.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận về vấn đề DH Toán với mục tiêu phát triển NL HS - trong đó có NL mô hình hóa toán học

Điều tra tình hình dạy và học chủ đề nội dung “Đạo hàm và tích phân” từ yêu cầu rèn luyện KN mô hình hóa toán học cho HS khá giỏi lớp 12 THPT

Xây dựng một số biện pháp dạy học nội dung “Đạo hàm và tích phân” nhằm

rèn luyện KN mô hình hóa toán học cho HS khá giỏi lớp 12 THPT

Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của biện pháp

đã xây dựng

4 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu cụ thể hóa thành phần, biểu hiện của những kỹ năng mô hình hóa toán học ở HS và xây dựng BP DH “Đạo hàm và tích phân” phù hợp thì sẽ rèn luyện

được KN mô hình hóa toán học cho HS khá giỏi lớp 12 THPT

5 ĐỐI TƢỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

5.1 Đối tượng nghiên cứu

Biện pháp DH “Đạo hàm và tích phân” theo hướng rèn luyện KN mô hình

hóa toán học cho HS khá giỏi lớp 12 THPT

5.2 Phạm vi và khách thể nghiên cứu

Quá trình dạy và học chủ đề “Đạo hàm và tích phân” theo định hướng rèn

luyện KN mô hình hóa toán học

6 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Để nghiên cứu đề tài, chúng tôi phối hợp sử dụng những phương pháp như sau:

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

Đọc các tài liệu, phân tích và tổng hợp những nội dung liên quan đến DH Toán theo hướng phát triển NL HS; DH “Đạo hàm và tích phân”; NL và KN mô

hình hóa toán học;

6.2 Phương pháp điều tra quan sát, khảo sát thực tiễn

Dự giờ, quan sát, phỏng vấn, điều tra bằng phiếu hỏi để thăm dò thực trạng

dạy học “Đạo hàm và tích phân” từ yêu cầu rèn luyện kỹ năng mô hình hóa toán

học cho HS lớp 12 trường THPT

6.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Tiến hành thực nghiệm dạy học theo giải pháp đã đề xuất đối với HS khá giỏi lớp 12 THPT, phân tích kết quả định lượng và định tính để kiểm tra tính khả

thi và hiệu quả của các biện pháp dạy học “Đạo hàm và tích phân” nhằm rèn luyện

KN mô hình hóa toán học cho HS

6.4 Phương pháp thống kê toán học

Dùng trong việc điều tra, khảo sát và xử lý, đánh giá số liệu trong quá trình nghiên cứu đề tài

7 CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Chương 1 - Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 - Rèn luyện kỹ năng mô hình hóa toán học cho HS khá giỏi lớp 12

THPT trong dạy học “Đạo hàm và tích phân”

Chương 3 - Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 - CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Năng lực mô hình hóa toán học

1.1.1 Mô hình hóa toán học

Theo [28], Nguyễn Danh Nam và Trần Trung đã xem MHH là “quá trình giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin”

Như vậy, quá trình MHH ở trường phổ thông biểu thị mối quan hệ giữa thực

tiễn cuộc sống với nội dung kiến thức học tập trong chương trình, SGK

Ở luận văn này, chúng tôi hiểu: Mô hình hóa trong dạy học toán là quá trình giúp HS chuyển từ các tình huống có tính thực tiễn sang mô hình toán học được biểu thị bằng ngôn ngữ ký hiệu toán học Như vậy, MHH đòi hỏi HS cần huy động,

sử dụng tổng hợp các kiến thức, kỹ năng, thao tác tư duy và ngôn ngữ toán học

Quá trình MHHTH

Tham khảo theo Nguyễn Thị Tân An ([1]), Nguyễn Danh Nam ([15]), có thể

mô tả quá trình MHHTH theo những kiểu sơ đồ sau:

+ Sơ đồ của Pollak

Sơ đồ 1.1 Quá trình mô hình hóa của Pollak (1979)

+ Sơ đồ của Blum và Leiß

Sơ đồ 1.2 Quá trình MHH của Blum và eiß (2006)

+ Sơ đồ của Stillman, Galbraith, Brown và Edwards

Sơ đồ 1.3 Quá trình MHH của Stillman, Galbraith, Brown và Edwards (2007)

+ Quy trình MHH của Swetz & Hartzler (1991, [37]):

Giai đoạn 1: Quan sát và phát hiện các yếu tố chính

Giai đoạn 2: Xác lập mối quan hệ giữa các yếu tố và thiết lập mô hình toán học Giai đoạn 3: Lựa chọn và sử dụng công cụ toán học để giải bài toán

Giai đoạn 4: Đối chiếu kết quả với câu hỏi thực tiễn và kết luận

Nhìn chung, các cách tiếp cận MHH đều tập trung vào quá trình chuyển đổi giữa tình huống hiện thực với mô hình toán học Quá trình MHH được quy trình hóa thành những bước giải quyết với những công việc cụ thể (tình huống thực 

mô hình sơ bộ  mô hình toán học  giải bài toán  kết quả toán học  trả lời câu hỏi thực tiễn)

Ở đề tài này, tác giả luận văn dựa trên quy trình 4 bước của Swetz & Hartzler để vận dụng vào việc xác định những HĐ và KN MHHTH cho HS khá

giỏi lớp 12 trong DH “Đạo hàm và tích phân”

1.1.2 Mối liên hệ giữa mô hình hóa, toán học hóa và áp dụng toán

Tham khảo Nguyễn Danh Nam ([15][16][17][18]), Trần Trung ([22]) và

Nguyễn Thị Tân An ([1]), tác giả luận văn nhận thấy giữa MHH, toán học hóa và

áp dụng toán có mối liên hệ với nhau

- Góc nhìn thứ nhất: Xem Toán học hóa xem như là một phần của MHH

Theo đó, trong quá trình MHH, thực tế và toán học xem như hai phạm trù riêng và MHH sẽ là việc biến đổi giữa hai lĩnh vực này và cả trong nội bộ từng phạm vi để giải quyết tình huống đặt ra Khi đó: giai đoạn biến đổi từ mô hình thực tế sang mô

hình toán học được gọi là toán học hóa và đây là một việc làm quan trọng khi áp dụng toán

- Góc nhìn thứ hai: Theo PISA: N toán học của HS ở cấp độ 3 “Khái quát hóa – Toán học hóa” được hiểu là các em nhận biết một nội dung toán học trong tình huống có vấn đề cần giải quyết; sử dụng kiến thức toán học để giải quyết vấn đề; thực hiện được các hoạt động phân tích, chứng minh toán học, khái quát hóa Do vậy, đây chính là toàn bộ quá trình áp dụng toán, trong đó có toán học hóa và MHHTH

Tuy nhiên, sự phân biệt giữa MHH, toán học hóa và áp dụng toán chỉ mang

ý nghĩa tương đối, đây chỉ là những cách tiếp cận của quá trình hình thành, phát

triển và vận dụng toán học: thực tiễn  toán học  thực tiễn

1.1.3 NL mô hình hóa toán học

1.1.3.1 Năng lực

Trong Tâm lý học và Giáo dục học, NL gắn liền với hành động về một lĩnh

vực cụ thể, theo đó, NL của một cá nhân thể hiện thông qua ba yếu tố chính:

i) Có hiểu biết cần thiết về lĩnh vực hoạt động đó;

ii) Biết cách tiến hành hành động đó nhằm đạt được kết quả phù hợp với mục đích;

iii) Hành động một cách có hiệu quả trong những tình huống, điều kiện tương tự khác

 Khả năng sử dụng các công cụ giao tiếp và công cụ tri thức một cách tự chủ;

 Khả năng hành động thành công trong các nhóm xã hội không đồng nhất

- Nhóm năng lực chuyên môn liên quan đến từng môn học riêng biệt:

Năng lực chuyên môn trong môn Toán bao gồm các năng lực sau đây:

 Giải quyết các vấn đề toán học;

 Lập luận toán học;

 Mô hình hóa toán học;

 Giao tiếp toán học;

 Tranh luận về các nội dung toán học;

 Vận dụng các cách trình bày toán học;

 Sử dụng các ký hiệu, công thức, các yêu tố thuật toán

Trong chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (ban hành năm 2018), để

tiếp cận giáo dục tập trung vào NL của người học, N được xem là: “thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể” [5]

Mặt khác, các tác giả xây dựng chương trình môn Toán 2018 đã lựa chọn,

“khu trú” NL chuyên môn Toán của OECD và cụ thể hóa biểu hiện NL tính toán ở

môn Toán thành NL toán học với 5 thành phần: “NL tư duy và lập luận toán học;

NL mô hình hoá toán học; NL giải quyết vấn đề toán học; NL giao tiếp toán học;

NL sử dụng công cụ, phương tiện học toán” [5], [20]

Khảo cứu các công trình nghiên cứu liên quan đến N và phát triển N HS,

có thể thấy:

- Những vấn đề về NL thuộc phạm trù Tâm lý học và là một lĩnh vực khá phức tạp

- Mỗi loại N gắn liền với một lĩnh vực hành động với mục tiêu cụ thể

- Vấn đề phát triển N HS liên quan đến nhiều yếu tố: động cơ HT, vốn hiểu biết và kinh nghiệm của HS, việc HS tích cực tiến hành các HĐ HT, điều kiện và môi trường hình thành và thể hiện NL,

1.1.3.2 Năng lực mô hình hóa toán học

Để thực hiện quá trình MHHTH, HS cần đến N MHHTH Trên thế giới và

ở Việt Nam đã có những công trình nghiên cứu về N MHHTH, có thể kể đến một

số kết quả nghiên cứu như sau:

Trong [36], các tác giả Peter L Galbraith, Richard Lesh, Christopher R Haines, Andrew Hurford (2010) đã làm rõ NL MHHTH bao gồm những kỹ năng

thực hiện các bước của quá trình MHHTH, về cơ bản gắn liền với 4 giai đoạn:

1 Nghiên cứu tình huống thực tiễn để phát hiện các yếu tố chính  2 Thiết lập

mô hình toán học  3 Lựa chọn và sử dụng công cụ toán học để giải bài toán 

4 Trả lời và kết luận

Ở Việt Nam, Trần Vui (2009, [25]) đã xác định quá trình toán học hóa được đặc trưng qua 5 khía cạnh:

“1 - Bắt đầu bằng một vấn đề có tình huống thực tiễn;

2 - Tổ chức vấn đề theo các khái niệm toán học;

3 - Không ngừng đơn giản để thoát khỏi thực tiễn thông qua quá trình đặt giả thiết về các yếu tố quan trọng của vấn đề, tổng quát hóa và hình thức hóa;

4 - Giải quyết bài toán

5 - Làm cho lời giải của bài toán có ý nghĩa đối với tình huống thực tiễn ” Trên cơ sở nghiên cứu và làm rõ quy trình MHHTH ([15]), Nguyễn Danh Nam ([16]) đã đưa ra quan niệm N MHHTH xem như là “khả năng thực hiện đầy

đủ các giai đoạn của quá trình mô hình hóa nhằm giải quyết vấn đề được đặt ra”

Đặc biệt là, trong chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (ban hành năm 2018), N MHHTH được mô tả cụ thể như sau: (ở đây tác giả luận văn tham khảo nội dung trong [5], có biểu đạt lại, lấy ví dụ minh họa để làm rõ hơn)

Hoạt động - kỹ năng Tiêu chí và biểu hiện

Xác định mô hình toán học cho tình

huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn:

Giải quyết những vấn đề toán học trong

mô hình được thiết lập

HS giải quyết được vấn đề toán học ở mô hình đã thiết lập

Thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ

cảnh thực tế và cải tiến mô hình (nếu

cách giải quyết không phù hợp)

HS lí giải được tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu được từ các tính toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay không); Nhận biết được cách đơn giản hoá, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hoá, ) để đưa ra những bài toán giải được

Về mặt toán học: Số lượng rào 80m của vườn trường chính là chu vi của

hình chữ nhật HS phát hiện vấn đề ở chỗ “Làm thế nào xác định được các cạnh của hình chữ nhật khi chu vi không đổi là 80”?

Xác định được mô hình toán học “quan hệ giữa độ dài cạnh, chu vi, diện tích của hình chữ nhật: Dựa vào kiến thức toán học, HS thấy: hình chữ nhật sẽ có 2

cạnh a (mét) và (40-a) Do vậy diện tích của hình chữ nhật là S = a(40-a) m 2

Từ đó các em phát biểu bài toán: Tìm a để S = a(40-a) đạt giá trị lớn nhất?

HĐ 2 - Giải quyết những vấn đề toán học

HS tìm hiểu bài toán “Tìm a để S = a(40-a) đạt giá trị lớn nhất” và lựa chọn công cụ toán học để giải:

HS có thể chọn PP khảo sát hàm số bậc hai S(a) = a(40-a) để tìm giá trị lớn nhất của S trong điều kiện 0< a <40 Nhờ công cụ đạo hàm, HS tìm được kết quả với a = 20 (thỏa mãn điều kiện) thì diện tích của vườn trường là lớn nhất (400m2

)

HĐ 3 - Thể hiện và đánh giá lời giải

Đối chiếu kết quả trên với câu hỏi đặt ra ở tình huống thực tiễn ban đầu, HS

dễ dàng chuyển đổi a = 20 để trả lời: “Với số lượng vật liệu làm hàng rào cố định

là 80m, thì vườn trường sẽ trồng được nhiều hoa nhất khi ta chọn vườn có dạng

hình vuông với cạnh 20m”

Trên cơ sở nghiên cứu các kết quả đã có, đối chiếu với thực tiễn và phạm vi

của đề tài, đồng thuận với quan niệm “NL MHHTH đi liền với các bước hoạt động thực hiện quá trình MHHTH”, ở luận văn này, chúng tôi hiểu:

- “Toán học hóa các tình huống thực tiễn” là việc sử dụng kiến thức và ngôn ngữ

toán học để xem xét, chuyển các vấn đề cần giải quyết trong thực tiễn (theo nghĩa mở) về dạng biểu diễn toán học và bài toán Như vậy, để toán học hóa, HS cần đến khả năng xây dựng mô hình toán học từ tình huống thực tiễn

Tuy nhiên, đối với HS phổ thông, với mục đích học Toán để vận dụng vào

một số tình huống thực tiễn, cần thiết xem xét đề cập đến việc: Sau khi đã MHH để

phát biểu được bài toán thuần túy, HS cũng cần giải bài toán và trả lời cho câu hỏi đặt ra ban đầu

Vì vậy, trong phạm vi DH Toán, các tác giả Nguyễn Danh Nam [16], Trần

Trung [28], đều thống nhất N MHHTH bao gồm cả 4 giai đoạn của quá trình MHHTH với quan niệm: N MHHTH là khả năng thực hiện được quá trình

MHHTH (với 4 giai đoạn và một số bước nhất định)

Khảo cứu các kết quả nghiên cứu của Henning và Keune (2004, [34]), Kaiser (2016, [32]), , đặc biệt là dựa trên quan niệm về N MHHTH ở hai công trình: Peter và các tác giả (2010, [36]); Nguyễn Danh Nam (2015, [16]); tác giả luận văn hiểu: NL MHHTH của người học là khả năng thực hiện toàn bộ quá trình

MHHTH - gắn với các bước tiến hành các giai đoạn MHHTH: 1 - Quan sát và phát hiện các yếu tố chính; 2 - Xác lập mối quan hệ giữa các yếu tố và thiết lập mô hình toán học; 3 - Lựa chọn và sử dụng công cụ toán học để giải bài toán; 4 - Đối chiếu kết quả với câu hỏi thực tiễn và kết luận

Ở luận văn này, để thuận tiện cho việc vận dụng vào thực tế dạy và học “Đạo hàm và tích phân” tác giả phân chia quá trình MHHTH thành 3 giai đoạn như sau:

1 Nghiên cứu tình huống thực tiễn để thiết lập mô hình toán học

2 Lựa chọn và sử dụng công cụ toán học để giải bài toán

3 Chuyển đổi kết quả để trả lời và kết luận

Việc này tạo điều kiện thuận lợi để xác định thành phần, biểu hiện của NL MHHTH ở HS giỏi lớp 12 khi vận dụng công cụ “Đạo hàm và tích phân” vào giải quyết một số vấn đề có tính thực tiễn Đồng thời cũng là căn cứ để xây dựng các biện pháp DH tác động vào các HĐ của HS ở 3 giai đoạn MHHTH nêu trên

1.1.4 Phương pháp mô hình hóa trong dạy học

Theo Nguyễn Danh Nam [17], DH bằng mô hình hóa hay phương pháp mô hình hóa trong dạy học là quá trình giúp HS xây dựng mô hình toán học để giải quyết các vấn đề trong thực tiễn Do vậy, quy trình dạy học bằng mô hình hóa

được tiến hành theo các bước sau đây: Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn  Xây dựng mô hình toán học  Trả lời cho bài toán thực tiễn  Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu định nghĩa hay định lý, công thức  Vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác mà tri thức đó cho phép xây dựng một mô hình toán học phù hợp (tham khảo [17])

Ở luận văn này tác giả sử dụng cách hiểu trên để thực hiện DH “đạo hàm và tích phân” theo hướng rèn luyện KN MHHTH cho HS giỏi THPT

Có thể thấy, DH bằng PP MHHTH là một kiểu DH có nhiều ưu điểm, thuận

lợi và phù hợp với mục tiêu rèn luyện KN MHHTH cho HS qua môn Toán; trực tiếp tác động đến những thành phần của NL này thông qua những HĐ MHHTH

của HS khi học Toán, thể hiện ở mối liên quan tương hỗ với nhau: Trong quá trình

DH bằng MHH, HS được tập luyện thực hiện các HĐ MHHTH, nên tất yếu hình thành, rèn luyện được những KN MHHTH, từ đó phát triển N MHHTH Mặt

khác, nhờ HS có KN MHHTH mà việc DH bằng MHH trở nên hiệu quả hơn 1.2 DẠY HỌC TOÁN THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC CHO HS 1.2.1 Định hướng DH môn Toán theo hướng phát triển NL HS

Trong chương trình giáo dục phổ thông tổng thể ([4]) và môn Toán ([5]), cũng như ở các tài liệu hướng dẫn thực hiện đổi mới PPDH Toán, môn Toán ở

trường phổ thông được tiến hành dạy và học theo hướng tăng cường tổ chức các HĐ: (tham khảo [5], [20])

- “Rèn luyện cho người học biết cách lựa chọn mục tiêu, lập được kế hoạch học tập, hình thành cách tự học, rút kinh nghiệm và điều chỉnh để có thể vận dụng vào các tình huống khác trong quá trình học các khái niệm, kiến thức và kĩ năng toán học cũng như khi thực hành, luyện tập hoặc tự lực giải toán, giải quyết các

vấn đề có ý nghĩa toán học” (NL tự chủ và tự học)

- “Nghe hiểu, đọc hiểu, ghi chép, diễn tả được các thông tin toán học cần thiết trong văn bản toán học; thông qua sử dụng hiệu quả ngôn ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ thông thường để trao đổi, trình bày được các nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác với người khác, đồng thời thể hiện sự tự tin,

tôn trọng người đối thoại khi mô tả, giải thích các nội dung, ý tưởng toán học” (NL giao tiếp toán học và NL ngôn ngữ)

- “Nhận biết được tình huống có vấn đề; chia sẻ sự am hiểu vấn đề với người khác; biết đề xuất, lựa chọn được cách thức, quy trình giải quyết vấn đề và biết trình bày giải pháp cho vấn đề; biết đánh giá giải pháp đã thực hiện và khái quát

hoá cho vấn đề tương tự” (NL GQVĐ toán học)

- “Tính toán, ước lượng, suy luận, giải toán” (NL tính toán; NL toán học)

Ở luận văn này, tác giả cụ thể hóa định hướng đã nêu thông qua cách tiếp cận DH:

Để dạy học Toán phát triển N HS, điều cần thiết phải dạy cho HS có đủ điều kiện thực hiện được những HĐ HT tương ứng và đạt hiệu quả tốt Như vậy,

GV cần phải:

- Làm rõ NL cần phát triển biểu hiện ở bài dạy như thế nào? HS cần phải tiến hành những HĐ nào tương ứng với NL đó?

- GV tìm cách để tổ chức HS tiến hành HĐ đó một cách hiệu quả, dựa trên:

1 - Quan điểm HĐ để hoạt động hóa nội dung chuyển thành những HĐ tương ứng với các NL cần có ở HS trong đó chú ý cụ thể hóa thông qua 4 thành tố

cơ sở của PPDH

2 - Vận dụng phối hợp các PPDH - đặc biệt là hai PPDH: phát hiện và GQVĐ và PPDH bằng MHH để tổ chức HS tiến hành các HĐ HT

1.2.2 Vị trí và mối quan hệ của NL mô hình hóa toán học trong NL toán học

Trong các tài liệu hướng dẫn của Bộ Giáo dục và Đào tạo [4], [5], [20], đề

cập đến NL tính toán là một N đặc thù trong chương trình giáo dục phổ thông Đối với môn Toán, “Biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán là năng lực toán học, được hình thành và phát triển chủ yếu ở môn Toán” [5]

N toán học ở môn Toán được cụ thể hóa với 5 thành phần: NL tư duy và lập luận toán học; NL mô hình hoá toán học; NL giải quyết vấn đề toán học; NL giao tiếp toán học; NL sử dụng công cụ, phương tiện học toán

Dựa trên nội dung mô tả về N MHHTH và nội dung của các NL tư duy và lập luận toán học; NL giải quyết vấn đề toán học; NL giao tiếp toán học; NL sử dụng công cụ, phương tiện học toán; được trình bày trong [5], tác giả luận văn

nhận thấy:

Việc phân chia 5 thành phần của N toán học chỉ có ý nghĩa tương đối, bởi

lẽ khi học Toán, HS cần sử dụng phối hợp cả 5 thành phần của N toán học:

HS tiến hành các HĐ tư duy và lập luận và sử dụng ngôn ngữ ký hiệu toán học để GQVĐ Mặt khác, cũng nhờ tư duy và lập luận và biểu đạt bằng ngôn ngữ toán học mà các em thực hiện được các HĐ giao tiếp toán học Ở những tình

huống học tập có liên quan đến thực tiễn, HS cần đến N MHHTH để GQVĐ; mặt

khác để MHHTH HS cũng cần đến tư duy và lập luận và giao tiếp toán học Trong toàn bộ quá trình học Toán, để hỗ trợ cho các HĐ MHHTH, GQVĐ và cả tư duy và lập luận, giao tiếp toán học, HS có thể khai thác sử dụng các phương tiện học Toán Có thể thấy “trung tâm” của N toán học là NL phát hiện và GQVĐ, các NL thành phần khác đều có liên quan với nhau và nhằm đến GQVĐ

1.3 TÌNH HÌNH DẠY HỌC “ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN” VÀ VIỆC RÈN LUYỆN KỸ NĂNG MHHTH CHO HS KHÁ GIỎI LỚP 12 THPT

1.3.1 Nội dung dạy học “Đạo hàm và tích phân” ở môn Toán THPT

1.3.1.1 Chủ đề “Đạo hàm và tích phân” trong chương trình SGK Toán THPT

a) Nội dung

Theo tiến độ triển khai SGK theo chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (ban hành năm 2018), ở thời điểm hiện tại, chủ đề “Đạo hàm và tích phân”

vẫn thực hiện theo SGK môn Toán các lớp 11, 12 theo chương trình trước 2018 Chủ đề nội dung “Đạo hàm và tích phân” được đưa vào, sắp xếp như sau:

- ớp 11: Khái niệm đạo hàm và các công thức tính đạo hàm được đưa vào

chương 5- chương cuối cùng của SGK Đại số và Giải tích 11 Đây là một công cụ

toán học có nhiều ứng dụng trong cả đại số, hình học và bản thân môn Giải tích Trước khi học khái niệm đạo hàm, học sinh đã được học các khái niệm cơ bản của

giải tích như giới hạn dãy số và giới hạn hàm số Việc đưa vào đạo hàm ở lớp 11

nhằm tạo điều kiện cho một số môn học khác (chẳng hạn như: Vật lý) Nội dung chính bao gồm:

+ Khái niệm đạo hàm, ý nghĩa của đạo hàm

+ Các quy tắc tính đạo hàm

+ Đạo hàm của các hàm số lượng giác

+ Khái niệm vi phân, ứng dụng vi phân vào tính gần đúng

+ Đạo hàm cấp cao

- ớp 12:

Chương 1: Khảo sát hàm số bằng đạo hàm

+ Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

+ Cực trị của hàm số

+ Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

+ Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

+ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

+ Một số bài toán thường gặp trong đồ thị: sự tương giao của hai đồ thị, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Nhận xét: Đây là ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề trong môn Toán Đặc biệt là nhờ công cụ này, việc khảo sát hàm số trở nên thuận lợi hơn rất nhiều, khi mà trước đây để xét sự biến thiên của hàm số người ta gặp rất nhiều khó khăn

Chương 3: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

+ Khái niệm nguyên hàm

Nhận xét:

Có thể thấy, công cụ “đạo hàm và tích phân” được lồng ghép vào nội dung

“Giải tích” ở các lớp 11, 12 THPT nhằm giới thiệu công cụ toán học mới và ứng

dụng vào một số vấn đề của môn Toán, môn học khác và thực tiễn cuộc sống

Đây là chủ đề nội dung tạo cơ hội và điều kiện rất thuận lợi cho việc thiết kế,

tổ chức tập luyện cho HS những HĐ mô hình hóa toán học

b) Mục đích DH đạo hàm và tích phân ở THPT

+ Về tri thức:

HS nắm được những khái niệm, tính chất cơ bản, cách ứng dụng “đạo hàm

và tích phân” vào một số vấn đề “khảo sát hàm số, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất,tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể ” trong môn Toán, môn học khác và

thực tiễn cuộc sống

ưu ý: Bên cạnh các tri thức sự vật (các khái niệm, tính chất định lý) trình

bày tường minh trong SGK thì còn có những tri thức phương pháp (quy tắc, quy trình, PP toán học) chỉ giới thiệu để sử dụng mà không trình bày chi tiết và đầy đủ trong SGK Chẳng hạn như: PP từng phần, PP đổi biến số, quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp,

- Khảo sát các hàm số quy định trong chương trình

- Vận dụng đạo hàm, tích phân vào một số dạng bài toán như: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, một số bài toán thường gặp về đồ thị (giao điểm của hai đồ thị, sự tiếp xúc của hai đường cong), tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể…

+ Về tư duy, năng lực và phẩm chất:

Tư duy hàm, tư duy thuật toán, tư duy lôgic, tư duy sáng tạo,

N toán học: trong đó có N GQVĐ thực tiễn và đặc biệt là NL mô hình

hóa toán học - khi HS được tiếp cận với những bài toán có nội dung thực tiễn có

thể giải được nhờ công cụ đạo hàm và tích phân

1.3.1.2 Phân tích, nhận xét nội dung từ cơ hội vận dụng MHHTH

Trong lịch sử khoa học toán học, phép tính tích phân và phép tính vi phân

là một thành tựu lớn của trí tuệ nhân loại Nó đã tạo lên một bước ngoặt lớn trong

sự phát triển của khoa học và trở thành một công cụ sắc bén, đầy sức mạnh được các nhà khoa học sử dụng rộng rãi trong khoa học cũng như trong ứng dụng thực tiễn Đạo hàm, tích phân là các khái niệm cơ bản trong giải tích toán học, đã được giới thiệu một phần trong chương trình phổ thông ở mức độ sơ cấp và đơn giản nhất có thể

Có thể thấy:

- Đạo hàm là công cụ toán học tổng quát, có hiệu quả để khảo sát hàm số, nghiên cứu các tính chất của hàm số như tính đồng biến, nghịch biến, tính lồi lõm, cực trị, các điểm tới hạn của hàm số, khảo sát hàm số, ứng dụng tính chất của đạo hàm để giải một số bài toán về phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức

Ngoài ra, đạo hàm còn có ứng dụng rất to lớn trong lĩnh vực khác như xét điều kiện tiếp xúc của hai đường, những bài toán về cơ học, bài toán chuyển động (vận tốc, gia tốc, thời gian và quãng đường), cường độ dòng điện tức thời chạy qua dây dẫn,

trong Vật lý, khảo sát sự biến thiên của những đại lượng yếu tố trong Hóa học (tốc độ phản ứng hóa học, ), trong Sinh học (tốc độ phát triển, ), đo lường tính toán diện

tích khi cần vẽ bản đồ diện tích trong Địa lý, Môi trường, Mặt khác, tích phân lại

là công cụ hữu hiệu để giải quyết những tình huống liên quan đến diện tích, thể tích, tính công của lực (bằng công cụ tích phân), của những đối tượng, vật thể, hiện

tượng thường gặp trong môn Toán, Vật lý và đời sống

- Việc đưa đạo hàm và tích phân vào trong chương trình môn Toán ở trường THPT có tác dụng rất to lớn, trở thành một công cụ hữu hiệu để học sinh giải quyết không chỉ các vấn đề trong toán học như khảo sát hàm số, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình, mà cả những vấn đề ở những môn học khác (Vật lý, Hóa học, Sinh học, Địa lý, ) và một số vấn đề trong cuộc

sống có liên quan đến định lượng các đại lượng trong quá trình biến đổi

Rõ ràng là: Thông qua các HĐ sử dụng đạo hàm và tích phân để GQVĐ có nội dung thực tiễn (ở môn học khác, đời sống), HS được tập luyện các HĐ MHHTH; nhờ vậy các em có cơ hội và điều kiện để rèn luyện KN MHHTH

Cơ hội vận dụng công cụ đạo hàm và tích phân vào GQVĐ và rèn luyện KN MHHTH cho HS THPT:

Đối với nội bộ môn Toán

- Đạo hàm là công cụ đặc biệt hữu hiệu để khảo sát hàm số: Nhờ vào mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm và sự biến thiên, người ta dễ dàng xét được tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số

- Tìm cực trị của hàm số bằng công cụ đạo hàm mà không cần phải tính toán suy luận bằng cách sử dụng bất đẳng thức (rất khó khăn vất vả) Nói riêng là giải quyết những bài toán cực trị hình học, xác suất thống kê

- Xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp nào đó của biến số

- Xét tính lồi, lõm, tìm điểm uốn của đồ thị hàm số

- Sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, thể tích của vật thể không gian

Đối với môn học khác

Nhiều các bài toán vật lí, người ta có nhu cầu khảo sát sự biến thiên của các đại lượng trong một khoảng thời gian, sự phụ thuộc của các đại lượng vật lí,… Vì thế, ở những bài toán này, các quy luật, định luật vật lý đều được phản ánh thông qua mối tương quan hàm số Khi đó, đạo hàm và tích phân là một công cụ toán học rất hiệu quả để khảo sát sự thay đổi của các đại lượng vật lý

Chẳng hạn như:

- Bài toán vật lý xác định vận tốc tức thời, gia tốc tại thời điểm t của một

chuyển động có vận tốc thay đổi:

Xét chuyển động của một chất điểm giả sử quãng đường đi được là một hàm số s= s(t) Khi đó vận tốc tức thời tại thời điểm t0 : v(t0)= s’(t) Gia tốc tại thời điểm t0: a=s’’(t0)

- Bài toán tính quãng đường vật đi được từ thời điểm t0 tới thời điểm t1 với

+ Nhiệt lượng tỏa ra ở một dây dẫn trong một khoảng thời gian nào đó

+ Bài toán tìm công của dòng điện thực hiện trên một đoạn mạch

Có thể thấy những tình huống vật lý trên cũng chính là nhu cầu thực tiễn dẫn đến phát sinh đạo hàm - tích phân trong lịch sử toán học, vật lý

Trong Hóa học: Tính toán tốc độ của phản ứng hóa học: Chẳng hạn: Tốc độ

(T) của một phản ứng hóa học được đặc trưng bởi công thức T =

dt

d , trong đó  là hàm tiến độ phản ứng, được biểu diễn bởi hàm số T(t) theo biến số t - thời gian diễn ra phản ứng

Trong Sinh học: Hàm số biểu thị tốc độ sinh sản của các cá thể trong quần thể,

có hình dạng rất phức tạp Trước khi phép tính tích phân ra đời, với mô hình hoặc vật thể như vậy người ta lại phải nghĩ ra một cách để tính Sự ra đời của tích phân cho ta một phương pháp tổng quát để tính

Hoặc khi thiết kế tàu biển, theo định luật Ac si met thì con tàu muốn nổi trên

mặt nước thì ít nhất khối lượng của nó phải đảm bảo điều kiện không lớn hơn khối lượng của nước mà nó chiếm chỗ Vấn đề là: để tính được thể tích của phần nước

này và thể tích của tàu, người ta cần đến công cụ toán học - liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và tích phân

1.3.2 Đặc điểm HS khá giỏi lớp 12 THPT

ớp 12 là lớp cuối ở bậc trung học, HS đã có điều kiện để tích lũy được

vốn kiến thức kinh nghiệm, cùng với khả năng tư duy tương đối phát triển; nên

đây là điều kiện thuận lợi cho việc rèn luyện KN MHHTH, đặc biệt là đối với

các em HS giỏi

Dựa trên cơ sở lý luận trong Tâm lý học về năng khiếu, về đặc điểm của HS

giỏi, có thể thấy: HS giỏi là những HS có năng khiếu trong nhận thức, học tập đạt hiệu quả cao; thể hiện ở sự đam mê, nỗ lực học tập, có khả năng HĐ trí tuệ ở tần suất và trình độ cao, có khả năng GQVĐ một cách sáng tạo, từ đó các em đạt kết quả tốt trong học tập

Xét riêng đối với môn Toán, HS khá giỏi có những biểu hiện sau:

- Yêu thích học Toán, say mê học hỏi, tìm hiểu những vấn đề liên quan đến toán học

- Có khả năng nhận thức và vận dụng kiến thức toán học nhanh và hiệu quả

- Linh hoạt trong quá trình tư duy, tìm tòi GQVĐ, nhất là những VĐ có tính thực tiễn

Đây chính là đặc trưng khiến cho HS khá giỏi có tiềm năng phát triển rất tốt

để phát hiện và GQVĐ toán học cũng như VĐ thực tiễn Các em dễ dàng chuyển

từ HĐ trí tuệ này sang HĐ trí tuệ khác, không bị gò ép bởi những suy nghĩ rập khuôn có sẵn Có khả năng nhìn nhận vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, kết hợp với sự liên tưởng tốt tìm ra cách GQVĐ một cách sáng tạo Biết nhìn nhận những khía cạnh khác biệt của vấn đề, lựa chọn phương tiện thích hợp, cách thức tốt nhất để GQVĐ, lập luận chặt chẽ hợp lôgic,

Nhờ có vốn kiến thức rộng (không chỉ ở môn Toán), khả năng tư duy tốt và nhất là niềm đam mê học hỏi mà HS khá giỏi có khả năng vận dụng một cách tổng hợp được vốn tri thức, kinh nghiệm của bản thân để nhanh chóng nhận ra VĐ (dù được ẩn giấu ở những hình thức, tình huống khác nhau), phát hiện được cách thức GQVĐ ngắn gọn và hay, tiết kiệm được thời gian học tập

- Biểu hiện ở cách ghi nhớ kiến thức toán học cô đọng, nhanh, chính xác và bền vững Điều đó giúp cho HS khá giỏi nhớ được nhiều kiến thức, không tốn nhiều sức lực trí tuệ khi giải quyết những vấn đề trong và ngoài môn Toán

- Tuy nhiên, GV cũng cần chú ý đến việc HS quá nhạy bén trong tư duy nên các

em thường chủ quan, quá tự tin và hành động một cách nhanh chóng, đôi khi vội

vàng hấp tấp, vấp phải những sai lầm khi học Toán, nói riêng là trong GQVĐ thực tiễn

1.3.3 Kỹ năng mô hình hóa toán học trong DH “Đạo hàm và tích phân”

Đối chiếu với mục tiêu, nội dung DH “Đạo hàm và tích phân” ở lớp 12 THPT,

trên cơ sở cách hiểu N MHHTH (đã trình bày ở mục 1.1.3.2) tác giả luận văn lựa

chọn, xác định và cụ thể hóa những HĐ, KN MHHTH và biểu hiện ở HS khi vận dụng “Đạo hàm và tích phân” vào GQVĐ thực tiễn như sau:

Nhóm KN 1 - Bao gồm những KN thực hiện các HĐ ở bước nghiên cứu

tình huống thực tiễn để thiết lập mô hình toán học

 KN 1a Biểu đạt tình huống thực tiễn dưới dạng câu hỏi vấn đề

Từ tình huống thực tiễn đã cho ban đầu, biểu đạt bằng ngôn ngữ thông thường, còn ở hình thức mô tả thực tế, HS biết diễn đạt rút gọn lại, chỉ quan tâm đến bản chất vấn đề: Cho những gì? Cần trả lời câu hỏi nào?

 KN 1b Dùng kiến thức, ngôn ngữ ký hiệu toán học để phát biểu bài toán

HS chỉ quan tâm đến bản chất toán học ở vấn đề; sau khi đã đơn giản những chi tiết phụ, không ảnh hưởng đến bản chất, dữ kiện toán học HS chuyển yêu cầu vấn đề thực tế về mô hình và câu hỏi toán học; dùng kiến thức, ngôn ngữ toán học

để phát biểu bài toán

Nhóm KN 2 - Bao gồm những KN thực hiện các HĐ ở bước lựa chọn và sử

dụng những công cụ toán học để giải bài toán

 KN 2a HS tiến hành tìm các mối quan hệ và thiết lập biểu thức toán học, hàm

số, phát hiện, nhận diện sự có mặt của đạo hàm và tích phân trong mô hình toán học đã thiết lập; HS sử dụng kiến thức, ngôn ngữ “đạo hàm và tích phân”

để rút gọn, đưa về một dạng bài toán cụ thể, quen thuộc ở nội dung “đạo hàm và tích phân”

 KN 2b ựa chọn đúng và thể hiện các kiến thức, tính chất, quy tắc cần vận

dụng để giải bài toán “đạo hàm và tích phân”; sử dụng ngôn ngữ ký hiệu toán học để biểu thị kết quả của bài toán

Nhóm KN 3 - Bao gồm những KN thực hiện các HĐ ở bước chuyển đổi kết

quả để trả lời và kết luận

 KN 3a Đối chiếu kết quả giải bài toán “Đạo hàm và tích phân” với vấn đề, câu

hỏi đặt ra ở tình huống ban đầu tìm ra ý nghĩa, mối liên hệ và sự tương đồng

 KN 3b Sử dụng ngôn ngữ để chuyển đổi kết quả toán học về trả lời kết luận vấn

đề thực tiễn ban đầu

Chú ý: Ở đây, đối chiếu với khung năng lực mô hình hóa toán học trong

chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (ban hành năm 2018) [5], và tiêu chí

đánh giá N MHHTH trong [20], tác giả luận văn lựa chọn mức độ phù hợp với

HS ở bậc THPT; trong đó chú trọng hơn đến những tiêu chí, biểu hiện ở mức độ

cao (dành cho đối tượng HS khá giỏi) bằng cách lựa chọn những bài toán tương đối khó, phức tạp đòi hỏi HS phải vận dụng nhiều kiến thức, kỹ năng thuộc nhiều môn học và thực tế để GQVĐ thực tiễn

Ví dụ 1.2:

Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một đường elip có trục lớn bằng 1m, trục bé bằng 0,8m, chiều dài (mặt trong của thùng) bằng 3m Thùng được đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình bên) Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m Tính lượng dầu có trong thùng (tính theo lít, kết quả làm tròn đến phần trăm)

Ở đây, các HĐ ứng với từng KN như sau:

KN 1a: Xác định được câu hỏi ở tình huống đã cho: Tìm cách tính được lượng dầu

có trong thùng (câu hỏi ở vấn đề thực tế)

KN 1b: Bài toán “Tính thể tích của khối phức tạp như mô tả”

Ở đây, HS cần phải MHHTH để chuyển sang phát biểu bài toán theo ngôn

Gọi M , Nlần lượt là giao điểm của dầu với elip

Gọi S1 là diện tích của Elip ta có 1 1 2.

2 5 5

Gọi S2 là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Elip và

B'

A A'

B

Hình 1.1

Nhờ đạo hàm và tích phân, ta tính được diện tích S2 và từ đó tìm ra thể tích

của phần trong thùng (thùng dầu có hình ống, có mặt cắt là hình phẳng giới hạn bởi Elip và đường thẳng MN; có chiều dài là 3 m)

KN 2b: Xác định các kiến thức, PP liên quan đến “elip, công thức tính vật thể có

hình dạng “gần giống hình trụ” tạo bởi một phần elip: hình phẳng giới hạn bởi Elip

và đường thẳng”; từ đó giải được bài toán:

Theo đề bài chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m nên ta có phương trình của đường thẳng MN là 1

1.3.4 Tình hình dạy học nội dung “Đạo hàm và tích phân” trong môn Toán

lớp 12 THPT với yêu cầu rèn luyện kỹ năng mô hình hóa toán học

1.3.4.1 Mục đích, nội dung, kế hoạch và phương pháp điều tra

a) Mục đích khảo sát:

Để xây dựng giải pháp DH “Đạo hàm và tích phân” nhằm rèn luyện KN

MHHTH cho HS khá giỏi lớp 12 THPT, tác giả luận văn tiến hành khảo sát tình hình dạy và học chủ đề này ở trường THPT, từ đó rút ra những nhận định cần thiết

làm cơ sở thực tiễn khi xây dựng giải pháp cho đề tài

b) Nội dung khảo sát:

Các câu hỏi đưa ra khảo sát đối với GV, cán bộ quản lý và HS đặt theo 4 mức độ:

Mức độ 1 - Thấp (ít)

Mức độ 2 - Trung bình (vừa phải)

Mức độ 3 - Tương đối cao (nhiều),

 Nội dung 2 -Những thuận lợi, khó khăn, tồn tại và nguyên nhân đối với GV

trong việc DH chủ đề “Đạo hàm và tích phân” ở lớp 12 THPT

Câu hỏi 3 - Thầy (Cô) gặp khó khăn như thế nào khi rèn luyện KN MHHTH cho HS khá giỏi lớp 12 THPT? (theo 4 mức độ)

 Nội dung 3 - Đánh giá những thuận lợi, khó khăn, hạn chế và nguyên nhân

đối với HS khi học “đạo hàm và tích phân”, đặc biệt là KN MHHTH của các

em trong việc vận dụng công cụ này vào giải quyết những tình huống có tính thực tiễn

Câu hỏi 4 - Những khó khăn của HS khi học học chủ đề này? (theo 4 mức độ) Câu hỏi 5 - Những tồn tại, hạn chế về KN MHHTH của HS khi học chủ đề này? (theo 4 mức độ)

 Nội dung 4 - HS nhận thức và tự đánh giá khó khăn, hạn chế và nguyên nhân

khi học “đạo hàm và tích phân” và KN MHHTH của bản thân và bạn học

Câu hỏi 6 - Khi học chủ đề “Đạo hàm và tích phân” - đặc biệt là trong việc vận dụng vào GQVĐ thực tiễn, các em gặp những khó khăn ở mức độ như thế nào?

- ớp 12A9 (35 HS) và 12A10 (35 HS) ở Trường THPT Minh Hà, TX Quảng Yên, Quảng Ninh

- 09 GV Toán của Trường THPT Minh Hà, TX Quảng Yên, Quảng Ninh

- 09 GV Toán của Trường THPT Bạch Đằng, TX Quảng Yên, Quảng Ninh

- 6 cán bộ quản lý của các trường THPT Minh Hà, THPT Đông Thành, THPT Bạch Đằng thuộc địa bàn TX Quảng Yên, Quảng Ninh

Các PP sử dụng khảo sát: Dự giờ, quan sát, phỏng vấn, nghiên cứu hồ sơ, phiếu hỏi, thống kê

1.3.4.2 Kết quả và nhận xét

a) Về phía giáo viên và cán bộ quản lý (tổng số mẫu là 24)

Bảng 1.1 Kết quả trả lời phiếu hỏi dành cho GV và cán bộ quản lý

Câu hỏi Câu hỏi 1 Câu hỏi 2 Câu hỏi 3 Câu hỏi 4 Câu hỏi 5

Mức độ 1 1/24 = 4% 0/24 = 0% 2/24 = 8% 0/24 = 0% 0/24 = 0%

Mức độ 2 3/24 = 13% 12/24 = 50% 6/24 = 25% 3/24 = 13% 8/24 = 33% Mức độ 3 18/24 = 75% 10/24 = 42% 12/24 = 50% 11/24 = 45% 10/24 = 42% Mức độ 4 2/24 = 8% 2/24 = 8% 4/24 = 17% 10/24 = 42% 6/24 = 25%

Nhận xét:

Căn cứ vào số liệu thống kê ở bảng 1.1, cùng với những kết quả thu được bằng PP quan sát, phỏng vấn, tác giả luận văn rút ra một số nhận xét:

- Đối với câu hỏi 1:

Đa số (83%) GV dành nhiều quan tâm, hiểu rõ sự cần thiết của việc rèn luyện KN MHHTH cho HS trong môn Toán Có 13% GV cũng đã nhận thức được điều đó (ở mức độ trung bình - mức 2) Như vậy, hầu hết GV (96%) đã nhận thức được tính cần thiết của VĐ

- Đối với câu hỏi 2:

Hiểu biết của GV về MHHTH tương đối tốt (có 50% đạt mức độ 3,4 và 50%

ở mức trung bình) Tuy nhiên, khi trao đổi phỏng vấn GV, đa số đều băn khoăn về việc xác định các KN MHHTH và HĐ tương ứng để tổ chức cho HS khi DH “đạo

hàm và tích phân” Điều đó phần nào giải thích cho kết quả 100% GV hiểu biết ở

mức độ trung bình trở lên, nhưng chỉ có 8% GV cho rằng mình đã hiểu biết đầy đủ

- ứng với mức độ 4 Như vậy, mặc dù có nhận thức tốt về sự cần thiết, nhưng GV gặp khó khăn về cách thức xác định, tổ chức HĐ MHHTH nhằm rèn luyện KN MHHTH cho HS

- Đối với câu hỏi 3:

Có 92% GV cho rằng khi rèn luyện KN MHHTH cho HS họ gặp phải những

khó khăn cần được tháo gỡ, trong khi đó chỉ có 32% GV nhận ở mức độ khó khăn không nhiều (mức 1, 2) Điều này phù hợp với kết quả khảo sát ở câu 2 Khi được

phỏng vấn, nhiều GV cho rằng không chỉ khó khăn về phía người dạy trong việc

xác định và tổ chức các HĐ MHHTH cho HS mà còn cả về phía HS (vốn kiến

thức, KN, động cơ HT, )

- Ở các câu hỏi 4, 5, khi đánh giá về KN MHHTH của HS, ý kiến của GV như sau:

Tất cả GV (100%) cho rằng HS còn có những khó khăn, hạn chế cả về việc học “Đạo hàm và tích phân” (trong đó có tới 87% đánh giá ở mức độ 3,4)

Về hiệu quả rèn luyện KN MHHTH: 67% đánh giá kết quả rèn luyện KN MHHTH ở HS còn nhiều hạn chế ở (mức 3,4)

Điều đó phù hợp với ý kiến trao đổi phỏng vấn GV và quan sát HĐ và KN MHHTH của HS khi DH “Đạo hàm và tích phân”

Riêng về những khó khăn, sai lầm của HS trong học và vận dụng “Đạo hàm

và tích phân” một cách trực tiếp hoặc gián tiếp (kể cả sau này khi học Toán ở bậc học giáo dục chuyên nghiệp), tác giả luận văn nhận thấy:

HS không nắm vững các kiến thức cơ bản về đạo hàm và tích phân ở THPT, dẫn đến việc nhận dạng và vận dụng các kiến thức này để giải những bài toán có nội dung thực tiễn Đồng thời, KN làm việc với hàm số, đạo hàm và tích phân còn yếu, HS mắc nhiều sai lầm trong hiểu và áp dụng các công thức, tính toán, biến đổi các biểu thức giải tích Mặt khác, các em cũng còn hạn chế về kiến thức, kỹ năng của những môn học khác; nhất là thiếu hiểu biết thực tế, dẫn đến hạn chế khả năng hiểu và giải quyết những tình huống thực tiễn khi học nghề, khi cần vận dụng

đạo hàm và tích phân trong thực tiễn

b) Về phía học sinh (tổng số mẫu là 70)

Bảng 1.2 Kết quả trả lời phiếu hỏi dành cho học sinh

- Về HĐ và quá trình MHHTH, có tới 70% HS hiểu biết ở mức độ thấp và trung bình; trong khi chỉ có 30% HS tương đối hiểu biết những vấn đề liên quan đến MHHTH trong HT “Đạo hàm và tích phân”

- Tự đánh giá về KN MHHTH, đa số HS (74%) nhận thấy bản thân còn hạn chế (trong đó có tới 54% tự đánh giá ở mức độ thấp) Tỷ lệ HS tự đánh giá ở mức

độ 3, 4 chỉ là 26%

Kết quả này phù hợp với những dấu hiệu, biểu hiện ở HS và nhận xét của

GV và cán bộ quản lý khi quan sát, phỏng vấn, dự giờ, quan sát, Như vậy, cần thiết nâng cao hiểu biết, trang bị cách thức và triển khai BP thực hiện rèn luyện kỹ năng MHHTH trong DH “Đạo hàm và tích phân” đối với GV và HS

c) Về học liệu, phương tiện và điều kiện khác

Thông qua phỏng vấn trao đổi với GV, cán bộ quản lý và HS khá giỏi lớp 12 một số trường THPT, chúng tôi thấy: Ý kiến tương đối thống nhất tập trung vào:

một phần nguyên nhân của việc rèn luyện KN MHHTH cho HS trong DH Toán - nói riêng là DH “Đạo hàm và tích phân” về nội dung lý thuyết trong SGK trình

bày không nhiều và khá đơn giản, trong khi dạng bài tập ứng dụng rất phong phú, đặc biệt là ở những bài toán có nội dung thực tiễn trong chương trình môn Toán THPT đòi hỏi HS vận dụng một cách tổng hợp và sáng tạo nhiều kiến thức, KN có liên quan mới giải quyết được Đồng thời, cũng do vốn kiến thức, kỹ năng của HS (kể cả học sinh giỏi) về môn học khác, thực tế cuộc sống còn yếu và thiếu, nên gặp những tình huống cần đến nhiều loại kiến thức, PP thì các em lúng túng, khó khăn, sai lầm