Tích phân xác Định và một số mở rộng Ứng dụng của tích phân xác Định trong các bài toán phổ thông

Tích phân xác Định và một số mở rộng Ứng dụng của tích phân xác Định trong các bài toán phổ thông Tích phân xác Định và một số mở rộng Ứng dụng của tích phân xác Định trong các bài toán phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

********************

NGÔ THỊ MAI

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

XÁC ĐỊNH TRONG CÁC BÀI TOÁN PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2024

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

********************

NGÔ THỊ MAI

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

XÁC ĐỊNH TRONG CÁC BÀI TOÁN PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460101.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS NGUYỄN THỊ HOÀI

Hà Nội - 2024

LỜI CẢM ƠN

Luận văn với đề tài “Tích phân xác định và một số mở rộng ứng dụng của tích phân xác định trong các bài toán phổ thông” được thực hiện dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Thị Hoài Em xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Thị Hoài, người đã luôn tận tình chỉ bảo, giúp đỡ và tạo điều kiện về nhiều mặt để em có thể hoàn thành luận văn của mình

Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô phản biện đã dành thời gian đọc và đóng góp ý kiến quý báu cho em Em cũng xin được cảm ơn khoa Sau đại học và các thầy cô trong khoa Toán – Cơ – Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà nội đã tạo điều kiện tốt nhất cho em trong quá trình em học tập và bảo vệ luận văn của mình

Mặc dù đã rất cố gắng tìm tòi những vấn đề liên quan đến việc tính tích phân và ứng dụng của nó, nhưng kiến thức là vô tận nên luận văn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Rất mong nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy cô để luận văn có giá trị khoa học cao hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Tác giả luận văn

Ngô Thị Mai

1.2.4 Tích phân của hàm số lượng giác……….….11

1.2.5 Tích phân một số biểu thức chứa căn bậc hai……… … 13

1.3 Bài tập luyện tập ……… …16

CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ……….………… ………21

2.1 Khái niệm tích phân xác định ……… 21

2.1.1 Bài toán tính diện tích hình thang cong ……… ……….………21

2.1.2 Định nghĩa tích phân xác định……….…… …23

2.1.3 Tính chất của tích phân xác định……….…… …24

2.1.4 Các định lí cơ bản của tích phân xác định……… … 25

2.1.5 Các phương pháp tính tích phân……… ………… …28

2.2 Ứng dụng hình học của tích phân xác định ……… 33

2.2.1 Bài toán tính diện tích miền phẳng……… ……….33

2.2.2 Bài toán tính độ dài dây cung……… …….36

2.2.3.Bài toán tính thể tích vật thể, thể tích vật tròn xoay………….… 37

2.2.4 Bài toán tính diện tích bề mặt tròn xoay……… ….…41

2.3 Bài tập luyện tập ………43

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH…47 3.1 Ứng dụng của tích phân trong các bài toán kinh tế……….…… 47

3.1.1 Xác định đại lượng kinh tế khi biết hàm cận biên của nó… ……47

3.1.2 Thặng dư tiêu dùng, thặng dư sản xuất……….……….50

3.1.3.Bài toán xác định quỹ vốn khi biết hàm đầu tư ……… … 53

3.2.Một số ứng dụng khác của tích phân trong khoa học ……… … 55

3.2.1 Tính quãng đường đi khi biết vận tốc là hàm số theo thời gian 55

3.2.2 Tìm đại lượng Q t( ) thay đổi với tốc độ Q t'( ) đã biết…… … 56

3.3 Một số ứng dụng của tích phân để giải bài toán nâng cao phổ thông 58

3.3.1 Sử dụng tích phân tính giới hạn……….…58

3.3.2 Bài toán tính giới hạn có chứa tích phân……….… …59

3.4 Bài tập luyện tập ……… …….62

KẾT LUẬN ……… 69

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 2.1 Chia hình thang cong aABb thành n

hình thang cong

Đại số và giải tích 12

31

Hình 2.6 Diện tích hình phằng giới hạn bởi

y= f x x=a x=b Ox với y= f x( ) là hàm số lẻ

Hình 2.11 Chia cung ABthành các cung PQ có

38

Hình 2.13 Khối tròn xoay sinh bởi việc quay hình phẳng giới hạn bởi y = f x x( ), =a x, =b y, = 0quanh Ox

Đại số và giải tích 12

39

Hình 2.14 Khối tròn xoay sinh bởi việc quay hình phẳng giới hạn bởi y=sin ,x y=0, x=0, x =quanh Ox

DANH MỤC VIẾT TẮT

Kí hiệu viết tắt Tiếng Anh Tiếng Việt

MR Marginal Revenue Doanh thu cận biên CS Consumer’s Surplus Thặng dư tiêu dùng PS Producer’s Surplus Thặng dư sản xuất

MỞ ĐẦU 1 Lí do chọn đề tài

Rất nhiều bài toán về hình học như các bài toán về tính diện tích những miền cong phẳng, tính thể tích vật thể, tính chiều dài đường cong,… và một số bài toán trong khoa học, trong kinh tế, bài toán liên môn hoặc tính giới hạn có thể giải quyết bằng tích phân Tích phân là phép tính cơ bản và chủ chốt trong giải tích nói riêng và trong toán học nói chung

Trong chương trình THPT hiện nay các ứng dụng thực tiễn của Toán học đã và đang được quan tâm nhưng vẫn chưa được chú trọng đúng mức Trong thực tế tích phân là nội dung quan trọng đã và đang được giảng dạy trong trường THPT và học sinh cũng hay gặp khó khăn khi tìm hiểu và giải quyết các bài toán liên quan đến tích phân và các ứng dụng của tích phân

Với mong muốn hệ thống lại kiến thức về nguyên hàm, tích phân bất định, tích phân xác định và các ứng dụng của tích phân trong các bài toán hình học và một số bài toán khác trong kinh tế, trong các môn học khác, tôi đã lựa chọn đề tài “Tích phân xác định và một số mở rộng ứng dụng của tích phân xác định trong các bài toán phổ thông” cho luận văn của mình Để phù hợp với học sinh THPT nên trong luận văn này tôi lựa chọn kiến thức về tích phân phục vụ giảng dạy trong trường THPT và một số kiến thức mở rộng về ứng dụng của tích phân trong thực tiễn được giảng dạy trong các trường Cao đẳng, Đại học Luận văn được thực hiện dựa trên việc tìm hiểu tài liệu chính là các cuốn sách [2], [5], [3], [1]

2 Cấu trúc của luận văn

Nội dung chính của luận văn gồm 3 chương

Chương 1 Nguyên hàm và tích phân bất định

Chương này trình bày các khái niệm nguyên hàm, khái niệm và các tính chất của tích phân bất định, bảng tích phân bất định của các hàm số thường gặp Trong chương 1 cũng giới thiệu một số kĩ thuật tính tích phân bất định như sử dụng bảng tích phân bất định, phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần, giới thiệu cách vận dụng các kĩ thuật tính khác nhau để tích tích phân một số hàm số phân thức hữu tỉ, hàm số lượng giác và hàm số chứa căn bậc hai

Chương 2 Tích phân xác định và ứng dụng hình học của tích phân xác định

Ở chương này nêu khái niệm tích phân xác định qua bài toán tính diện tích hình thang cong, nêu các tính chất của tích phân xác định và giới thiệu các phương pháp tính tích phân xác định Trong chương 2 cũng thể hiện những ứng dụng hình học của tích phân trong việc tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường, tính độ dài dây cung, tính thể tích của vật thể, vật tròn xoay, tính diện tích bề mặt của vật thể tròn xoay

Chương 3 Một số ứng dụng khác của tích phân xác định

Chương này đề cập đến những ứng dụng khác của tích phân trong các bài toán kinh tế để giải quyết các bài toán như xác định các đại lượng kinh tế khi biết hàm cận biên của nó, tính thặng dư tiêu dùng, thặng dư sản xuất, xác định quỹ vốn khi biết hàm đầu tư, … trong các bài toán thực tế Trong chương 3 cũng trình bày một số ứng dụng của tích phân trong khoa học như tìm hàm biểu thị quãng đường chuyển động của vật thể khi biết vận tốc chuyển động là hàm số theo thời gian, tìm đại lượng khi biết tốc độ thay đổi của nó Trình bày một số phương pháp giải các bài toán nâng cao trong chương trình toán học phổ thông như sử dụng tích phân để tính giới hạn của dãy số, tính tổng, tính giới hạn của các biểu thức chứa tích phân

CHƯƠNG 1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

Một hàm số f x( ) khả vi trong ( , )a b thì có đạo hàm và sẽ tính được đạo hàm f x'( ) của nó Ngược lại nếu cho trước một hàm số f x( )xác định trong ( , )a b thì có hay không một hàm số F x( ) khả vi trong ( , )a b sao cho

'( ) ( )

F x = f x ? Nếu có f x( ) thì tìm F x( ) như thế nào? Trong chương này sẽ

trả lời về vấn đề đó 1.1 Tích phân bất định 1.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1 Cho hàm số f x( ) xác định trong khoảng mở ( , )a b Hàm số ( )

F x xác định trong khoảng mở ( , )a b được gọi là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên ( , )a b nếu F x( ) khả vi trong ( , )a b và F x'( )= f x( )

Định lí 1.1 Nếu F x( ) khả vi trên ( , )a b và F x( ) là một nguyên hàm của f x( )

với mọi x( , ).a b Khi đó: (1) Với mọi hằng số ,C F x( )+C cũng là một nguyên hàm của f x( )với mọi

( , )

x a b (2) Ngược lại, mọi nguyên hàm của f x( ) với mọi x( , )a b đều có dạng

( )

Lời giải (1) Với mọi hằng số Cta có

( ( )F x +C)'=F x'( )= f x( ) do đó F x( )+C cũng là một nguyên hàm của f x( )

(2) Giả sử G x( )cũng là một nguyên hàm của f x( )với mọi x( , )a b Khi đó G x'( )= f x( ) và F x'( )= f x( ) Do đó G x'( )−F x'( )= f x( )− f x( )=0.Tức là (G x( )−F x( ) ') =0 G x( )−F x( )=C G x( )=F x( )+C.

Định nghĩa 1.2 Tập hợp tất cả các nguyên hàm của f x( ) được gọi là tích phân bất định của hàm số f x( )và được ký hiệu là  f x dx( ) Do vậy:

4x dx=x +C



1.1 2 Bảng tích phân bất định của một số hàm số thường gặp

Dựa theo kết quả đạo hàm của một số hàm số thông dụng, có thể suy ra bảng tích phân cơ bản

+



13 dx ln xC x,( 0)



sin xdx= − x+C xk

2

1

1 xdx= x+C+

Ví dụ 1.2 Tìm (4sin x−3cosx+5)dx = −4cosx−3sinx+5x C+

kỹ thuật tính tích phân bất định 1.2.1 Sử dụng bảng tích phân cơ bản

Áp dụng để tìm tích phân của các biểu thức hoặc tổng các biểu thức mà tích phân các biểu thức ấy có thể nhận được từ bảng tích phân

12

1.2.2 Sử dụng phương pháp đổi biến số

Trong nhiều trường hợp, khi tính tích phân  f x dx( ) , nếu để biến x thì không thấy tích phân cần tính có dạng tích phân cơ bản nào, khi đó tìm cách đổi sang biến mới để tích phân theo biến mới có dạng tích phân cơ bản, từ đó sẽ tìm được tích phân

Lời giải Áp dụng đạo hàm hàm hợp

Lưu ý Khi sử dụng phương pháp đổi biến số nếu:

- Hàm số dưới dấu tích phân chứa biểu thức lũy thừa thì thường chọn t là biểu

thức chứa lũy thừa

- Hàm số dưới dấu tích phân chứa chứa căn thì thường chọn t là biểu thức chứa

Dạng 2 Đặt x=( ),t trong đó ( )t là một hàm khả vi liên tục và có hàm ngược trong một khoảng nào đó Khi đó dx='( ) t dt Do vậy

Muốn khử căn bậc hai, ta cần biến đổi để biểu thức trong căn về dạng bình phương

1.2.3 Phương pháp tích phân từng phần

Nhiều trường hợp khác, khi không thấy tích phân cần tính phù hợp với dạng tích phân cơ bản nào và cũng không thực hiện được phép đổi biến số phù hợp, thường sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần

Mệnh đề 1.2 Cho hai hàm số u=u x( ), v=v x( )là hai hàm số khả vi và có đạo hàm và đạo hàm u'=u x'( ), v'=v x'( ) là hai hàm số liên tục Khi đó

udv =uv− vdu

Lời giải Dựa theo đạo hàm của tích hai hàm số, ta có

( ( ) ( )) 'u x v x =u x v x'( ) ( )+u x v x( ) '( ).Lấy tích phân hai vế biểu thức trên ta được

( ( ) ( )) ' '( ) ( ) ( ) '( )

( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( )

u x v xdxu x v x dxu x v x dxu x v xu x v x dxu x v x dx

vdu cũng không khó tìm hơn biểu thức  f x dx( ) ban đầu

Tích phân từng phần thường sử dụng cho các tích phân có dạng sau

= =

= =

( )sinx

P ex dx

  =vu' sinP e( xx)

=

udv =uv− vdu

Lưu ý Khi chọn hàm số làm v x'( ), ta cần chọn hàm số mà có thể xác định được

nguyên hàm của nó Ví dụ 1.6 Tính (5x−3)sinx dx Lời giải

duxdxux

vedve dx

1.2.4 Tích phân của hàm số lượng giác

a) Tích phân có chứa tích các hàm số lượng giác đơn giản Sử dụng các phép biến đổi để đưa về tích phân đơn giản Ví dụ 1.10 Tính I =sin 3 cos 2xx dx

42 1 1 1sin cos 1 cos 2 cos 4 cos 6

Tương tự ta có khái niệm hàm R(sin ,x cosx)là chẵn, lẻ đối với cos x

Tính tích phân R(sin , osx c x)dx bằng phương pháp đổi biến số

Dạng tích phânR(sin , osx c x)dx Đổi biến số (sin ,cos )

Rxx là hàm số lẻ đối với cos x t =sinx(sin ,cos )

Rxx là hàm số lẻ đối với sin x t =cosx

Lưu ý Trong trường hợp tổng quát, đặt tan

2

xt = Khi đó

Khi tính các tích phân này ta thường sử dụng phương pháp đổi biến số theo hàm số lượng giác để khử dấu các căn thức

Nhận xét Với cách thức tương tự, ta thu được bảng mở rộng một số tích phân

bất định sau

1 1 dx arcsin xC,( axa a, 0

aax

 

 −

Lời giải Biến đổi

vedve dx

Bài 1.3.4 Tính tích phân 53

I = xx dx Lời giải

cos 2 sin 2xx= −(1 sin 2 ) sin 2 cos 2 xxx

22

++

Bài 1.3.5 Tính tích phân 2 2

sin 2cos

dxI

=

+

Lời giải Biến đổi

xdxI

t = x + t = + x  t dt = xdxxdx = tdt và

2

.6

t

Khi đó

22

22

.16

x

++

Nhân hai vế với (x −1) thu được

B xA

−= +

Lời giải

Quan sát thấy mẫu số là một biểu thức bậc hai không có nghiệm thực, cần thực hiện các phép biến đổi để có thể áp dụng các tích phân cơ bản

Do vậy

()22

22

Quá trình tìm nguyên hàm của mỗi hàm số được gọi là tích phân bất định Tìm một biểu thức cho nguyên hàm là công việc khó hơn so với việc tìm đạo hàm và không phải luôn luôn thực hiện được Tuy nhiên, bất kỳ hàm số liên tục trên đoạn hay khoảng từ giá trị a đến b, thì đều tồn tại nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn hay khoảng từ a đến b

Nguyên hàm và tích phân bất định được liên hệ với tích phân xác định thông qua định lí cơ bản của giải tích, cung cấp một phương tiện tiện lợi để tính toán tích phân xác định

Chương 1 đã trình bày một cách đầy đủ về nguyên hàm, tích phân bất định, và một số kĩ thuật tính tích phân bất định làm cơ sở để tính tích phân xác định được trình bày ở chương 2

CHƯƠNG 2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG HÌNH HỌC

CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Tích phân xác định còn thường được gọi là tích phân, là một khái niệm được sử dụng rất phổ biến trong toán học Tích phân có vai trò quan trọng và là phép tính cơ bản và chủ chốt trong lĩnh vực giải tích Có thể hiểu đơn giản tích phân như là diện tích hoặc diện tích tổng quát hóa Giả sử cần tính diện tích một hình phẳng được giới hạn bởi các đoạn thẳng, ta chỉ việc chia hình đó thành các hình nhỏ đơn giản hơn như hình tam giác, hình vuông, hình thang, hình chữ nhật, … Nếu cần tính diện tích một hình phức tạp hơn được giới hạn bởi cả đoạn thẳng lẫn đường cong, ta cũng chia nó thành các hình nhỏ hơn, nhưng sẽ xuất hiện các hình thang cong Tích phân giúp ta tính được diện tích của các hình thang cong đó Trong chương này cung cấp các công cụ để giải quyết các bài toán trên

2.1 Khái niệm tích phân xác định

2.1.1 Bài toán tính diện tích hình thang cong

Bài toán Cho hàm số y= f x( ), xác định liên tục trên đoạn [a, b], ngoài ra giả

sử y = f x( ) không âm trên [a, b] Hình phẳng aABb giới hạn bởi đồ thị của

hàm số y = f x( ), trục hoành và hai đường thẳng x=a x, =b được gọi là hình thang cong Tính diện tích của hình thang cong aABb

Lời giải

Chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia

a= x   xx−   xx =b

Các điểm chia (x ii =0, )n được chọn tùy ý miễn là tuân theo thứ tự tăng dần và điểm đầu x0trùng với điểm a, điểm cuối cùng x trùng với nb Từ các điểm

chia x ii( =0, )n dựng các đường thẳng x=xi, như vậy ta đã chia hình thang

cong aABb thành n hình thang cong nhỏ x A B xi−1 ii i, với chiều rộng là

Gọi S là diện tích hình thang cong aABb , ta có thể coi

=  ta chuyển qua giới hạn khi  →0, ta tính được diện tích hình thang cong là

01

Hàm số y= f x( ) xác định và bị chặn trong đoạn [a, b] Chia [a, b] thành

những đoạn nhỏ bởi các điểm chia

n → 

21

30

Cho f x g x( ), ( ) khả tích trên [a, b], C là một hằng số bất kỳ Các tính

chất sau được thỏa mãn

2.1.4 Các định lý cơ bản của tích phân xác định

Định lí 2.1 Nếu f x( ) là hàm số liên tục trên [a, b] thì hàm số G x( ) xác định

bởi

( ) x ( )

a

G x = f t dtsẽ liên tục x[a, b] và có đạo hàm tại x với

Lời giải Lấy x x, + h ( , ).a b Khi đó

nên tồn tại các số ,u v[x, x+h] sao cho ( )f x đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

+

→

Nhận xét Mặc dù hàm số được xác định bởi công thức ( ) x ( )

a

G x = f t dt trông kì lạ nhưng chúng xuất hiện khá nhiều trong các lĩnh vực như vật lý, hóa học, thống kê, Ví dụ như hàm Fresnel 2



Lời giải Đặt ( ) x ( ) ,

a

g x = f t dt theo định lí 1 ta có g x'( )= f x( ), nghĩa là g x( ) cũng là một nguyên hàm của f x( ) Do vậy

( ) ( ) ,

F x =g x +Cx[a, b] (3)

Dạng 1 Dựa vào tính chất hình học của tích phân Đôi khi việc tính trực tiếp diện tích miền phẳng nhanh hơn việc tính tích phân Ví dụ 2.4 Tính 2 2

0 4−x dx

Lời giải Tích phân 2 2

Vẽ hình biểu diễn của hình phẳng H giới hạn bởi 22

x + y = y= x= x= (xem hình 2.3)

Nhận thấy rằng giá trị diện tích của H bằng 1

4 diện tích của đường tròn 22

1| |x dx

−



Lời giải Tích phân 1

Vẽ hình biểu diễn của hình phẳng H giới hạn bởi y = x y, =0, x= −1, x=1(xem hình 2.4)

Nhận thấy rằng giá trị diện tích của H bằng tổng diện tích hai tam giác vuông cân có độ dài cạnh gác vuông bằng 1, có diện tích mỗi tam giác bằng 1

2 Vậy

11

Dạng 2 Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối

Đối với tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối, cần xét dấu biểu thức dưới dấu tích phân và tách khoảng lấy tích phân để đưa về tổng các tích phân có biểu thức dưới dấu tích phân đơn dấu, sau đó bỏ dấu giá trị tuyệt đối và tính giá trị của

Dạng 3 Hàm dưới dấu tích phân có dạng chẵn, lẻ

Sử dụng tính chẵn, lẻ của hàm số trên miền lấy tích phân đối xứng

- Tích phân chứa hàm số dưới dấu tích phân là hàm số chẵn (xem hình 2.5)