tìm hiểu về ứng dụng của tích phân xác định trong việc tìm thể tích vật thể tròn xoay quanh trục ox oy bằng cách dùng phân hoạch trên trục ox

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOABÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1 Đề tài:Tìm hiểu về ứng dụng của tích phân xác định trong việc tìm thể tích vật thể tròn xoay quanhtrục Ox, Oy bằng c

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1 Đề tài:

Tìm hiểu về ứng dụng của tích phân xác định trong việc tìm thể tích vật thể tròn xoay quanh

trục Ox, Oy bằng cách dùng phân hoạch trên trục Ox

GVHD: Ths.Lê Nguyễn Hạnh Vy

GVHD: Ths.Lê Nguyễn Hạnh Vy Bảng phân công công việc

Nội dung câu hỏi ĐỀ 3

Tìm hiểu về ứng dụng của tích phân xác định trong việc tìm thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox, Oy bằng cách dùng phân hoạch trên trục

Ox Yêu cầu:

Câu 1: Nêu rõ cách xác định công thức tính thể tích bằng cách sử dụng tổng Riemann.

Câu 2: Dựng hình vật thể quanh trục Ox bằng phần mềm bất kì Câu 3: Đưa ra ít nhất 4 ví dụ cho:

ˆ Dạng bài toán cho hàm cụ thể, xác định trong miền giới hạn bởi y =f (x) ≥ 0, y = 0, a ≤ x ≤ b và miền giới hạn bởi y = f (x), y = g(x), a ≤x ≤ b.

ˆ Dạng bài toán không có hàm cụ thể, nhưng cho bảng số liệu tương ứng với miền giới hạn bởi y = f (x) ≥ 0, y = 0, a ≤ x ≤ b và miền giới hạn bởi y = f (x), y = g(x), a ≤ x ≤ b.

Nhận xét của GV hướng dẫn

Câu 1 Công thức tính thể tích bằng cách sử dụng tổng Riemann 7

Câu 2 Dựng hình vật thể quay quanh trục Ox bằng phần mềm GeoGebra 15

Câu 3 Các bài toán ví dụ cho ứng dụng của tích phân xác định trong việc tìm thể tích vật thể tròn xoay 19

Danh sách hình vẽ

Hình 1.1 Miền được giới hạn bởi y = f (x), y = 0, x = a, x = b 9

Hình 1.2 Xoay tròn miền giới hạn trên quanh trục Ox 9

Hình 1.3 Vật thể được giới hạn bởiy = f (x) ((C1)),y = g (x) ((C2)),

Hình 2.1 Nhập dữ liệu đầu vào trong phần mềm GeoGebra 16

Hình 2.2 3D Graphics trong phần mềm Geogebra 16

Hình 2.3 Vật thể tròn quay quanh trục Ox 17

Hình 2.4 Toàn bộ màn hình trong phần mềm GeoGebra 18

Lời nói đầu

Giải tích 1 là môn học đại cương có tầm quan trọng đối với sinh viên ĐH Bách Khoa TPHCM nói riêng và sinh viên các ngành khối khoa học kỹ thuật – công nghệ nói chung Do đó, việc dành cho môn học này một khối lượng thời gian nhất định và thực hành là điều tất yếu để giúp cho sinh viên có được cơ sở vững chắc về các môn KHTN và làm tiền đề để học tốt các môn khác trong chương trình đào tạo.

Chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG TPHCM đã và đang ứng dụng môn Giải Tích 1 vào chương trình giảng dạy Đặc biệt, chúng em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến giảng viên Ths.Lê Nguyễn Hạnh Vy đã dạy dỗ, truyền đạt cho chúng em kiến thức quý báu trong những ngày qua Trong suốt thời gian tham gia lớp học Giải Tích 1 của cô, chúng em tự cảm thấy tư duy mình được tiến bộ lên từng ngày, ý thức học tập cũng dần trưởng thành hơn Đây chắc chắn là những tri thức quý báu, là hành trang cần thiết cho chúng em sau này.

Tuy chúng em đã dành thời gian dày công nghiên cứu nhưng chắc chắn vẫn còn sai sót trong bài báo cáo Chúng em mong nhận được sự góp ý từ Thầy để chúng em hoàn thiện hơn trong những lần sau Chúng em xin chân thành cảm ơn !

Sau đây là nội dung tìm hiểu bài tập lớn của nhóm!

A Tìm hiểu chung

Ứng dụng của tích phân xác định trong việc tìm thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox hoặc Oy là một chủ đề quan trọng trong toán học Lý thuyết ứng dụng này dựa trên một số khái niệm cơ bản như sau:

ˆ Vật thể tròn xoay là một vật thể sinh ra khi quay một hình phẳng quanh một trục cố định Ví dụ, khi quay một hình chữ nhật quanh một cạnh của nó, ta được một khối trụ; khi quay một hình tam giác đều quanh đường cao của nó, ta được một khối nón.

ˆ Thể tích vật thể tròn xoay là khoảng không gian mà vật thể đó chiếm Thể tích của một vật thể tròn xoay có thể được tính bằng cách cắt vật thể thành nhiều miếng nhỏ, tính thể tích của từng miếng, rồi cộng lại Đây là chính là phương pháp tính xấp xỉ bằng tổng Riemann, và độ chính xác phụ thuộc vào số lượng và kích thước của các miếng cắt Riemann.

ˆ Tích phân xác định là một phép tính toán học cho phép tính tổng vô hạn các đại lượng nhỏ liên tục Tích phân xác định có thể được sử dụng để tính diện tích, thể tích, trung bình, độ dài, khối lượng, và nhiều ứng dụng khác Tích phân xác định có thể được hiểu như là giới hạn của tổng Riemann, khi số lượng và kích thước của các miếng cắt tiến tới vô cùng nhỏ.

Vậy ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể tròn xoay là việc sử dụng tích phân xác định để tính thể tích của một vật thể tròn xoay một cách chính xác.

B Trả lời câu hỏi

Câu 1 Xác định công thức tính thể tích bằng cách sử dụng tổng Riemann

1.1 Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox bằng cách dùng phân hoạch trên trục Ox:

Để xác định công thức tính thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox

bằng cách sử dụng tổng Riemann, ta làm như sau:

Bước 1: Chọn hàm số f (x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] Giả sử miền được giới hạn bởi y = f (x), y = 0, x = a, x = b, miền giới hạn này quay quanh trục Ox tạo thành vật thể tròn xoay.

Bước 2: Phân hoạch đoạn [a; b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau, mỗi đoạn có chiều dài:

∆x = b−an

Đặt xi là điểm đầu tiên của đoạn thứ i (i = 1, 2, 3, ) Do đó:

∆x = b−an = xi+1− xi

+ Tổng trái: Chọn một điểm đại diện x∗ = xi trên mỗi đoạn + Tổng phải: Chọn một điểm đại diện x∗= xi+1 trên mỗi đoạn

+ Tổng trung tâm: Chọn một điểm đại diệnx∗ = xi+xi+1

2 trên mỗi đoạn

Bước 3: Vẽ một hình tròn có bán kính bằng f (x∗)và tâm nằm trên trục Ox

tại x∗ Hình tròn này là thiết diện của vật thể tròn xoay tại x∗ Bước 4: Tính diện tích Si của hình tròn này bằng công thức Si= π.f (x∗)2 Bước 5: Thể tích Vi (xấp xỉ) của phần vật thể nằm giữa hai mặt phẳng

x = xi và x = xi+1 bằng thể tích của hình trụ có diện tích đáy là Si

và chiều cao là ∆x = xi+1− xi:

Vi= Si.∆x = π.f (x∗)2.∆x = π.f (x∗)2 (xi+1− xi)

Bước 6: Tổng các thể tích Vi lại để được thể tích xấp xỉ của vật thể tròn xoay quanh trục Ox theo tổng Riemann:

Bước 7: Khi n → ∞, thể tích xấp xỉ của vật thể tròn xoay quanh trục Ox

theo tổng Riemann trên sẽ tiến tới thể tích chính xác của vật thể

Hình 1.1 Miền được giới hạn bởi y = f (x), y = 0, x = a, x = b

Hình 1.2 Xoay tròn miền giới hạn trên quanh trục Ox

Tương tự như thế, giả sử miền được giới hạn bởi y = f (x),y = g (x),

x = a, x = b,f (x) > g (x) trên đoạn [a, b], miền giới hạn này quay quanh trục

Ox tạo thành vật thể tròn xoay Khi đó ta có:

ˆ Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi y = f (x), y = 0, x = a, x = b là:

Tương tự, giả sử miền được giới hạn bởi y = f (x), y = g (x), x = a,

x = b, f (x) < g (x) trên đoạn [a, b], miền giới hạn này quay quanh trục Ox

tạo thành vật thể tròn xoay Khi đó ta có thể tích vật thể tròn xoay giới

Hình 1.3 Vật thể được giới hạn bởi y = f (x) ((C1)), y = g (x) ((C2)), x = a,

x = b

1.2 Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Oy bằng cách dùng phân hoạch trên trục Ox:

Để xác định công thức tính thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Oy

bằng cách sử dụng tổng Riemann, ta làm như sau:

Bước 1: Chọn hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b] (a > 0, b > 0) Giả sử miền được giới hạn bởi y = f (x), y = 0, x = a, x = b, miền giới hạn này quay quanh trục Oy tạo thành vật thể tròn xoay.

Bước 2: Phân hoạch đoạn [a; b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau, mỗi đoạn có

+ Tổng phải: Chọn một điểm đại diện x∗= xi+1 trên mỗi đoạn + Tổng trung tâm: Chọn một điểm đại diệnx∗ = xi+xi+1

2 trên mỗi đoạn

Bước 3: Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), y = 0 và hai đường thẳng x = xi, x = xi+1 Quay hình phẳng đó quanh trục Oy, ta thu được một hình trụ rỗng có trục đối xứng là Oy.

Khi đó hình trụ rỗng có bán kính x∗, chiều cao f (x)∗, độ dày ∆x Bước 4: Thể tích Vi (xấp xỉ) của hình trụ rỗng là tích số giữa chu vi đường

tròn có bán kính x∗, chiều cao f (x)∗ và độ dày ∆x:

Vi= (2πx∗) f (x∗) ∆x

Hình 1.4 Hình trụ rỗng

Bước 5: Tổng các thể tích Vi lại để được thể tích xấp xỉ của vật thể tròn xoay quanh trục Oy theo tổng Riemann:

Bước 6: Khi n → ∞, thể tích xấp xỉ của vật thể tròn xoay quanh trục Oy

theo tổng Riemann trên sẽ tiến tới thể tích chính xác của vật thể

Hình 1.5 Thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Oy theo tổng Riemann

Chứng minh tương tự, giả sử miền được giới hạn bởi y = f (x),

y = g (x), x = a, x = b, f (y) > g (y) trên đoạn [a, b], miền giới hạn này quay quanh trục Oy tạo thành vật thể tròn xoay Khi đó ta có:

ˆ Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi y = f (x), y = 0, x = a, x = b là:

Dof (y) > g (y) trên đoạn [a, b], nên ta có thể tích vật thể tròn xoay

Tương tự, giả sử miền được giới hạn bởi y = f (x), y = g (x), x = a,

x = b, f (y) < g (y) trên đoạn [a, b], miền giới hạn này quay quanh trục Oy

tạo thành vật thể tròn xoay Khi đó ta có thể tích vật thể tròn xoay giới

Câu 2 Dựng hình vật thể quay quanh trục Ox bằng phần mềm GeoGebra

2.1 Giới thiệu về GeoGebra:

GeoGebra là một phần mềm hình học động hỗ trợ giảng dạy trong trường học Tác giả Markus Hohenwarter khởi động dự án từ năm 2001 tại trường đại học Salzburg và hiện đang tiếp tục phát triển tại trường đại học Florida Atlantic.

2.2 Định hướng:

Yêu cầu đề bài: Dựng hình vật thể quay quanh trục Ox

Để dựng được vật thể quay quanh trục Ox bằng phần mềm GeoGebra, ta cần thông tin đầu vào gồm hàm số f (x), giá trị góc quay Bên cạnh đó ta cần tạo một hàm lệnh dùng để tạo ra một mặt phẳng xoay.

Như vậy, ta nhập một hàm số f (x) tùy ý, tạo ra biến α là biến góc quay, sử dụng hàm lệnh SurFace, hàm này dùng để tạo ra một mặt phẳng xoay, bằng cách xoay đồ thị của hàm số f (x) từ góc 0◦ đến góc 360◦ nhờ biến góc

Bước 2: Ta tạo ra biến góc quay α, sử dụng thẻ Slider tạo biến góc quay α, giá trị bé nhất là 0◦, giá trị lớn nhất là 360◦, bước nhảy là 1◦

Bước 3: Ta sử dụng hàm SurFace để vật thể xoay quanh trục Ox, nhập ’SurFace(f,α,xAxis)’ Trong đó ’xAxis’ là lệnh để đồ thị hàm số

f (x) quay quanh trục Ox

Hình 2.1 Nhập dữ liệu đầu vào trong phần mềm GeoGebra

Bước 4: Mở không gian ’3D Graphics’ và chạy kết quả.

Hình 2.2 3D Graphics trong phần mềm Geogebra

2.4 Kết quả:

Khi ta cho biến góc α thay đổi từ 0◦ đến 360◦, đồ thị hàm số f (x) =x3− x2− 2x sẽ quay quanh trục Ox vào tạo ra vật thể tròn xoay.

Hình 2.3 Vật thể tròn quay quanh trục Ox

2.5 Kết luận:

Phần mềm GeoGebra đã giúp chúng ta vẽ được đồ thị của một hàm số bất kì cùng với việc tạo ra vật thể tròn xoay quanh trục Ox.

Hình 2.4 Toàn bộ màn hình trong phần mềm GeoGebra

Như vậy, ta có được nhận xét về phần mềm GeoGebra Đây là một phần mềm miễn phí được sử dụng rộng rãi bởi học sinh, sinh viên, giáo viên Một số ưu điểm và nhược điểm của phần mềm GeoGebra như sau:

ˆ Ưu điểm:

+ Có nguồn tài nguyên phong phú

Hỗ trợ học sinh, sinh viên, giảng viên hiệu quả trong việc học tập và giảng dạy

+ Có thể vẽ được nhiều loại đồ thị hình học, từ 2D đến 3D

ˆ Nhược điểm:

+ Khá khó khăn cho người mới bắt đầu sử dụng, bởi phần mềm mang nhiều liên kết chuyên ngành

Câu 3: Các bài toán ví dụ cho ứng dụng của tích phân xác định trong việc tìm thể tích vật thể tròn xoay

3.1 Dạng bài toán cho hàm cụ thể:

VD 1: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) xác định bởi

Khối tròn xoay quanh trục Ox

VD 2: Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi hai đường y = 2 x2− 1
,

y = 1 − x2 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do (D) quay quanh trục

Ox.

Chia thành hai khoảng [−3; −2] và [−2; 0] Ta có: √x + 3 ≥ x + 3, ∀x ∈[−3; −2] và √x + 3 ≤ x + 3, ∀x ∈ [−2; 0] do đó thể tích khối tròn xoay quanh

Vật thể quay quanh trục Ox

Xoay quanh trục Oy:

Thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy cần tìm là:

Bài giải

Do đáy cốc có bán kính là 1dm, nên hoành độ giao điểm của mặt phẳng đáy và trục Ox là nghiệm của phương trình sau:

x + 1 = 1⇔ x = 0

Do miệng cốc có bán kính là 2dm, nên hoành độ giao điểm của mặt phẳng miệng và trục Ox là nghiệm của phương trình sau:

3.2 Dạng bài toán không cho hàm cụ thể:

VD 1: Cho hàm số y = f (x) liên tục và f (x) > 0 trên [0; 36] Cho bảng số

VD 2: Một bình hoa có bản vẽ kích thước mặt cắt ngang được biểu diễn như hình vẽ sau Ước tính thể tích của bình hoa.

Bài giải Thể tích của bình hoa là:

VD 3: Một bồn nước được thiết kế với chiều cao 8dm, ngang 8dm, dài 2m, bề mặt cong đều nhau với mặt cắt ngang là hình parabol Hỏi bồn chứa được tối đa bao nhiêu lít nước?

Bài giải Đặt hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ sau:

Vì đường sinh là nửa elip được cắt bởi trục lớn bằng 8 dm, độ dài trục bé bằng 6 dm, do đó ta có phương trình elip (E) là:

C TỔNG KẾT

Qua đề tài: Tìm hiểu về ứng dụng của tích phân xác định trong việc tìm thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox, Oy bằng cách dùng phân hoạch trên trục Ox, ta rút ra được tích phân xác định là một công cụ toán học mạnh mẽ để tính được các đại lượng liên quan đến diện tích, thể tích, độ dài, Ứng dụng tích phân xác định trong việc tìm thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox, Oy bằng cách dùng phân hoạch trên trục Ox đã giúp ta năm vững được các kiến thức sau:

ˆ Cách xác định miền quay và hàm số biểu diễn đường biên của miền

Ngoài ra, qua quá trình làm đề tài trên, chúng em còn được tìm hiểu thêm các phần mềm để phục vụ học tập, trong đó có phần mềm GeoGebra Chúng em đã hiểu thêm về GeoGebra ở những bước đầu tiên Phần mềm GeoGebra giúp tiết kiệm thời gian trong công việc giải các bài toán, giúp chúng em hiểu sâu hơn vào bài toán, từ đó nâng cao chất lượng học tập Bên cạnh đó là trình soạn thảo LaTeX, trình soạn thảo này giúp chúng em dễ dàng hơn trong việc định dạng văn bản báo cáo, tập trung hơn vào phần cấu trúc của bài báo cáo LateX đã giúp chúng em tạo ra một bài báo cáo

với nhiều công thức toán học một cách dễ dàng LaTeX đã cho chúng em một trải nghiệm mới và là một trình soạn thảo hữu ích cho những lần viết báo cáo tiếp theo.

Bên cạnh đó, trong quá trình thực hiện đề tài trên, chúng em vẫn còn có những khuyết điểm nhất định Trong đó là việc hoạt động nhóm, chúng em vẫn còn có những tranh cãi trong việc thống nhất nội dung, chậm trễ trong việc soạn nội dung.

Với những bài tập của cô giao, nhóm chúng em đã cố gắng hoàn thành và cho ra kết quả tốt nhất có thể Qua đề tài này, nhóm chúng em đã đạt được mục đích chính của bài tập đó là hiểu hơn về ứng dụng của tích phân xác định trong việc tìm thể tích vật thể tròn xoay, từ đó nâng cao hiểu biết và niềm yêu thích với môn học Giải Tích, trau dồi vồn kiến thức và đặc biệt là khả năng làm việc nhóm.

Tài liệu tham khảo

[1] Giáo trình Giải Tích 1, Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG TPHCM [2] TỰ HỌC LATEX CƠ BẢN, NHANH VÀ ĐƠN GIẢN -

[3] BẢNG CODE LATEX NGẮN GỌN