tìm hiểu về ứng dụng của tích phân xác định trong việc tìm thể tích vật thể tròn xoay quanh trục ox oy bằng cách dùng phân hoạch trên trục ox

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOABÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1 Đề tài:Tìm hiểu về ứng dụng của tích phân xác định trong việc tìm thể tích vật thể tròn xoay quanhtrục Ox, Oy bằng c

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1

Đề tài:

Tìm hiểu về ứng dụng của tích phân xác định trong việc tìm thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox, Oy bằng cách dùng phân hoạch trên

trục Ox

GVHD: Ths.Lê Nguyễn Hạnh Vy

GVHD: Ths.Lê Nguyễn Hạnh Vy Bảng phân công công việc

Nội dung câu hỏi

Câu 3: Đưa ra ít nhất 4 ví dụ cho:

ˆ Dạng bài toán cho hàm cụ thể, xác định trong miền giới hạn bởi y =

f (x) ≥ 0, y = 0, a ≤ x ≤ b và miền giới hạn bởi y = f (x), y = g(x), a ≤

x ≤ b

ˆ Dạng bài toán không có hàm cụ thể, nhưng cho bảng số liệu tương ứngvới miền giới hạn bởi y = f (x) ≥ 0, y = 0, a ≤ x ≤ b và miền giới hạnbởi y = f (x), y = g(x), a ≤ x ≤ b

Nhận xét của GV hướng dẫn

Câu 1 Công thức tính thể tích bằng cách sử dụng tổng Riemann 7

Câu 2 Dựng hình vật thể quay quanh trục Ox bằng phần mềmGeoGebra 15

Câu 3 Các bài toán ví dụ cho ứng dụng của tích phân xác địnhtrong việc tìm thể tích vật thể tròn xoay 19

Danh sách hình vẽ

Hình 1.1 Miền được giới hạn bởi y = f (x), y = 0, x = a, x = b 9

Hình 1.2 Xoay tròn miền giới hạn trên quanh trục Ox 9

Hình 1.3 Vật thể được giới hạn bởiy = f (x) ((C1)),y = g (x) ((C2)),

Hình 2.1 Nhập dữ liệu đầu vào trong phần mềm GeoGebra 16

Hình 2.2 3D Graphics trong phần mềm Geogebra 16

Hình 2.3 Vật thể tròn quay quanh trục Ox 17

Hình 2.4 Toàn bộ màn hình trong phần mềm GeoGebra 18

Lời nói đầu

Giải tích 1 là môn học đại cương có tầm quan trọng đối với sinh viên

ĐH Bách Khoa TPHCM nói riêng và sinh viên các ngành khối khoa học kỹthuật – công nghệ nói chung Do đó, việc dành cho môn học này một khốilượng thời gian nhất định và thực hành là điều tất yếu để giúp cho sinh viên

có được cơ sở vững chắc về các môn KHTN và làm tiền đề để học tốt cácmôn khác trong chương trình đào tạo

Chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Trường Đại học Bách Khoa

- ĐHQG TPHCM đã và đang ứng dụng môn Giải Tích 1 vào chương trìnhgiảng dạy Đặc biệt, chúng em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến giảng viênThs.Lê Nguyễn Hạnh Vy đã dạy dỗ, truyền đạt cho chúng em kiến thức quýbáu trong những ngày qua Trong suốt thời gian tham gia lớp học Giải Tích

1 của cô, chúng em tự cảm thấy tư duy mình được tiến bộ lên từng ngày, ýthức học tập cũng dần trưởng thành hơn Đây chắc chắn là những tri thứcquý báu, là hành trang cần thiết cho chúng em sau này

Tuy chúng em đã dành thời gian dày công nghiên cứu nhưng chắc chắnvẫn còn sai sót trong bài báo cáo Chúng em mong nhận được sự góp ý từThầy để chúng em hoàn thiện hơn trong những lần sau Chúng em xin chânthành cảm ơn !

Sau đây là nội dung tìm hiểu bài tập lớn của nhóm!

A Tìm hiểu chung

Ứng dụng của tích phân xác định trong việc tìm thể tích vật thể trònxoay quanh trục Ox hoặc Oy là một chủ đề quan trọng trong toán học Lýthuyết ứng dụng này dựa trên một số khái niệm cơ bản như sau:

ˆ Vật thể tròn xoay là một vật thể sinh ra khi quay một hình phẳngquanh một trục cố định Ví dụ, khi quay một hình chữ nhật quanhmột cạnh của nó, ta được một khối trụ; khi quay một hình tam giácđều quanh đường cao của nó, ta được một khối nón

ˆ Thể tích vật thể tròn xoay là khoảng không gian mà vật thể đó chiếm.Thể tích của một vật thể tròn xoay có thể được tính bằng cách cắtvật thể thành nhiều miếng nhỏ, tính thể tích của từng miếng, rồi cộnglại Đây là chính là phương pháp tính xấp xỉ bằng tổng Riemann, và

độ chính xác phụ thuộc vào số lượng và kích thước của các miếng cắtRiemann

ˆ Tích phân xác định là một phép tính toán học cho phép tính tổng vôhạn các đại lượng nhỏ liên tục Tích phân xác định có thể được sử dụng

để tính diện tích, thể tích, trung bình, độ dài, khối lượng, và nhiều ứngdụng khác Tích phân xác định có thể được hiểu như là giới hạn củatổng Riemann, khi số lượng và kích thước của các miếng cắt tiến tới

vô cùng nhỏ

Vậy ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể tròn xoay là việc sử dụngtích phân xác định để tính thể tích của một vật thể tròn xoay một cáchchính xác

B Trả lời câu hỏi

Câu 1 Xác định công thức tính thể tích bằng cách

sử dụng tổng Riemann

1.1 Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay quanh trục

Ox bằng cách dùng phân hoạch trên trục Ox:

Để xác định công thức tính thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox

bằng cách sử dụng tổng Riemann, ta làm như sau:

Bước 1: Chọn hàm số f (x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] Giả sử

miền được giới hạn bởi y = f (x), y = 0, x = a, x = b, miền giới hạnnày quay quanh trục Ox tạo thành vật thể tròn xoay

Bước 2: Phân hoạch đoạn [a; b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau, mỗi đoạn có

+ Tổng trung tâm: Chọn một điểm đại diệnx∗ = xi +x i+1

2 trên mỗiđoạn

Bước 3: Vẽ một hình tròn có bán kính bằng f (x∗)và tâm nằm trên trục Ox

tại x∗ Hình tròn này là thiết diện của vật thể tròn xoay tại x∗.Bước 4: Tính diện tích S i của hình tròn này bằng công thức S i = π.f (x∗)2.Bước 5: Thể tích Vi (xấp xỉ) của phần vật thể nằm giữa hai mặt phẳng

x = xi và x = xi+1 bằng thể tích của hình trụ có diện tích đáy là Si

và chiều cao là ∆x = x i+1 − x i:

Vi= Si.∆x = π.f (x∗)2.∆x = π.f (x∗)2 (xi+1− xi)

Bước 6: Tổng các thể tích Vi lại để được thể tích xấp xỉ của vật thể tròn

xoay quanh trục Ox theo tổng Riemann:

Bước 7: Khi n → ∞, thể tích xấp xỉ của vật thể tròn xoay quanh trục Ox

theo tổng Riemann trên sẽ tiến tới thể tích chính xác của vật thểtròn xoay:

Hình 1.1 Miền được giới hạn bởi y = f (x), y = 0, x = a, x = b

Hình 1.2 Xoay tròn miền giới hạn trên quanh trục Ox

Tương tự như thế, giả sử miền được giới hạn bởi y = f (x),y = g (x),

x = a, x = b,f (x) > g (x) trên đoạn [a, b], miền giới hạn này quay quanh trục

Ox tạo thành vật thể tròn xoay Khi đó ta có:

ˆ Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi y = f (x), y = 0, x = a, x = b là:

Tương tự, giả sử miền được giới hạn bởi y = f (x), y = g (x), x = a,

x = b, f (x) < g (x) trên đoạn [a, b], miền giới hạn này quay quanh trục Ox

tạo thành vật thể tròn xoay Khi đó ta có thể tích vật thể tròn xoay giớihạn bởi y = f (x), y = g (x), x = a, x = b là:

Hình 1.3 Vật thể được giới hạn bởi y = f (x) ((C1)), y = g (x) ((C2)), x = a,

x = b

1.2 Công thức tính thể tích vật thể tròn xoay quanh trục

Oy bằng cách dùng phân hoạch trên trục Ox:

Để xác định công thức tính thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Oy

bằng cách sử dụng tổng Riemann, ta làm như sau:

Bước 1: Chọn hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b] (a > 0, b > 0) Giả sử

miền được giới hạn bởi y = f (x), y = 0, x = a, x = b, miền giới hạnnày quay quanh trục Oy tạo thành vật thể tròn xoay

Bước 2: Phân hoạch đoạn [a; b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau, mỗi đoạn có

+ Tổng phải: Chọn một điểm đại diện x∗= xi+1 trên mỗi đoạn+ Tổng trung tâm: Chọn một điểm đại diệnx∗ = xi +x i+1

2 trên mỗiđoạn

Bước 3: Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), y = 0 và hai

đường thẳng x = xi, x = xi+1 Quay hình phẳng đó quanh trục Oy,

ta thu được một hình trụ rỗng có trục đối xứng là Oy

Khi đó hình trụ rỗng có bán kính x∗, chiều cao f (x)∗, độ dày ∆x.Bước 4: Thể tích V i (xấp xỉ) của hình trụ rỗng là tích số giữa chu vi đường

tròn có bán kính x∗, chiều cao f (x)∗ và độ dày ∆x:

V i = (2πx∗) f (x∗) ∆x

Hình 1.4 Hình trụ rỗng

Bước 5: Tổng các thể tích Vi lại để được thể tích xấp xỉ của vật thể tròn

xoay quanh trục Oy theo tổng Riemann:

Bước 6: Khi n → ∞, thể tích xấp xỉ của vật thể tròn xoay quanh trục Oy

theo tổng Riemann trên sẽ tiến tới thể tích chính xác của vật thểtròn xoay:

Hình 1.5 Thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Oy theo tổng Riemann

Chứng minh tương tự, giả sử miền được giới hạn bởi y = f (x),

y = g (x), x = a, x = b, f (y) > g (y) trên đoạn [a, b], miền giới hạn này quayquanh trục Oy tạo thành vật thể tròn xoay Khi đó ta có:

ˆ Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi y = f (x), y = 0, x = a, x = b là:

Dof (y) > g (y) trên đoạn [a, b], nên ta có thể tích vật thể tròn xoaygiới hạn bởi y = f (x), y = g (x), x = a, x = b là:

Tương tự, giả sử miền được giới hạn bởi y = f (x), y = g (x), x = a,

x = b, f (y) < g (y) trên đoạn [a, b], miền giới hạn này quay quanh trục Oy

tạo thành vật thể tròn xoay Khi đó ta có thể tích vật thể tròn xoay giớihạn bởi y = f (x), y = g (x), x = a, x = b là:

Câu 2 Dựng hình vật thể quay quanh trục Ox bằng phần mềm GeoGebra

2.1 Giới thiệu về GeoGebra:

GeoGebra là một phần mềm hình học động hỗ trợ giảng dạy trong trườnghọc Tác giả Markus Hohenwarter khởi động dự án từ năm 2001 tại trườngđại học Salzburg và hiện đang tiếp tục phát triển tại trường đại học FloridaAtlantic

2.2 Định hướng:

Yêu cầu đề bài: Dựng hình vật thể quay quanh trục Ox

Để dựng được vật thể quay quanh trục Ox bằng phần mềm GeoGebra,

ta cần thông tin đầu vào gồm hàm số f (x), giá trị góc quay Bên cạnh đó tacần tạo một hàm lệnh dùng để tạo ra một mặt phẳng xoay

Như vậy, ta nhập một hàm số f (x) tùy ý, tạo ra biến α là biến góc quay,

sử dụng hàm lệnh SurFace, hàm này dùng để tạo ra một mặt phẳng xoay,bằng cách xoay đồ thị của hàm số f (x) từ góc 0◦ đến góc 360◦ nhờ biến gócquay α

Bước 2: Ta tạo ra biến góc quay α, sử dụng thẻ Slider tạo biến góc quay α,

giá trị bé nhất là 0◦, giá trị lớn nhất là 360◦, bước nhảy là 1◦

Bước 3: Ta sử dụng hàm SurFace để vật thể xoay quanh trục Ox, nhập

’SurFace(f,α,xAxis)’ Trong đó ’xAxis’ là lệnh để đồ thị hàm số

f (x) quay quanh trục Ox

Hình 2.1 Nhập dữ liệu đầu vào trong phần mềm GeoGebra

Bước 4: Mở không gian ’3D Graphics’ và chạy kết quả

Hình 2.2 3D Graphics trong phần mềm Geogebra

2.4 Kết quả:

Khi ta cho biến góc α thay đổi từ 0◦ đến 360◦, đồ thị hàm số f (x) =

x3− x2− 2x sẽ quay quanh trục Ox vào tạo ra vật thể tròn xoay

Hình 2.3 Vật thể tròn quay quanh trục Ox

2.5 Kết luận:

Phần mềm GeoGebra đã giúp chúng ta vẽ được đồ thị của một hàm sốbất kì cùng với việc tạo ra vật thể tròn xoay quanh trục Ox

Hình 2.4 Toàn bộ màn hình trong phần mềm GeoGebra

Như vậy, ta có được nhận xét về phần mềm GeoGebra Đây là một phầnmềm miễn phí được sử dụng rộng rãi bởi học sinh, sinh viên, giáo viên Một

số ưu điểm và nhược điểm của phần mềm GeoGebra như sau:

ˆ Ưu điểm:

+ Có nguồn tài nguyên phong phú

Hỗ trợ học sinh, sinh viên, giảng viên hiệu quả trong việc học tập

Câu 3: Các bài toán ví dụ cho ứng dụng của tích phân xác định trong việc tìm thể tích vật thể tròn xoay

3.1 Dạng bài toán cho hàm cụ thể:

VD 1: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) xác định bởicác đường y = 13x3− x2 , y = 0 , x = 0 và x = 3 quanh trục Ox

Khối tròn xoay quanh trục Ox

VD 2: Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi hai đường y = 2 x2− 1
,

y = 1 − x2 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành do (D) quay quanh trục

Ox

Bài giảiPhương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = 2 x2− 1

Bài giảiPhương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = x + 3 và

x + 3.Chia thành hai khoảng [−3; −2] và [−2; 0] Ta có: √x + 3 ≥ x + 3, ∀x ∈ [−3; −2] và √x + 3 ≤ x + 3, ∀x ∈ [−2; 0] do đó thể tích khối tròn xoay quanhtrục Ox cần tìm là:

Vật thể quay quanh trục Ox

Xoay quanh trục Oy:

Thể tích khối tròn xoay quanh trục Oy cần tìm là:

3.2 Dạng bài toán không cho hàm cụ thể:

VD 1: Cho hàm số y = f (x) liên tục và f (x) > 0 trên [0; 36] Cho bảng sốliệu sau:

V = π 92+ 102+ 82+ 72+ 102+ 122+ 132+ 112+ 02
.4 = 3312π

VD 2: Một bình hoa có bản vẽ kích thước mặt cắt ngang được biểu diễnnhư hình vẽ sau Ước tính thể tích của bình hoa

Bài giảiThể tích của bình hoa là:

VD 3: Một bồn nước được thiết kế với chiều cao 8dm, ngang 8dm, dài 2m,

bề mặt cong đều nhau với mặt cắt ngang là hình parabol Hỏi bồn chứađược tối đa bao nhiêu lít nước?

Bài giảiXét mặt cắt là một hình parabol,

Bài giảiĐặt hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ sau:

Vì đường sinh là nửa elip được cắt bởi trục lớn bằng 8 dm, độ dài trục

bé bằng 6 dm, do đó ta có phương trình elip (E) là:

C TỔNG KẾT

Qua đề tài: Tìm hiểu về ứng dụng của tích phân xác định trong việc tìmthể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox, Oy bằng cách dùng phân hoạch trêntrục Ox, ta rút ra được tích phân xác định là một công cụ toán học mạnh mẽ

để tính được các đại lượng liên quan đến diện tích, thể tích, độ dài, Ứngdụng tích phân xác định trong việc tìm thể tích vật thể tròn xoay quanhtrục Ox, Oy bằng cách dùng phân hoạch trên trục Ox đã giúp ta năm vữngđược các kiến thức sau:

ˆ Cách xác định miền quay và hàm số biểu diễn đường biên của miềnquay

ˆ Cách vẽ hình minh họa để hình dung được vật thể tròn xoay và thiếtdiện của nó

ˆ Cách chứng minh công thức tính thể tích vật thể tròn xoay quanh trục

dễ dàng hơn trong việc định dạng văn bản báo cáo, tập trung hơn vào phầncấu trúc của bài báo cáo LateX đã giúp chúng em tạo ra một bài báo cáo

với nhiều công thức toán học một cách dễ dàng LaTeX đã cho chúng emmột trải nghiệm mới và là một trình soạn thảo hữu ích cho những lần viếtbáo cáo tiếp theo.

Bên cạnh đó, trong quá trình thực hiện đề tài trên, chúng em vẫn còn cónhững khuyết điểm nhất định Trong đó là việc hoạt động nhóm, chúng emvẫn còn có những tranh cãi trong việc thống nhất nội dung, chậm trễ trongviệc soạn nội dung

Với những bài tập của cô giao, nhóm chúng em đã cố gắng hoàn thành

và cho ra kết quả tốt nhất có thể Qua đề tài này, nhóm chúng em đã đạtđược mục đích chính của bài tập đó là hiểu hơn về ứng dụng của tích phânxác định trong việc tìm thể tích vật thể tròn xoay, từ đó nâng cao hiểu biết

và niềm yêu thích với môn học Giải Tích, trau dồi vồn kiến thức và đặc biệt

là khả năng làm việc nhóm

Tài liệu tham khảo

[1] Giáo trình Giải Tích 1, Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG TPHCM[2] TỰ HỌC LATEX CƠ BẢN, NHANH VÀ ĐƠN GIẢN - nguoicon-traiphonui

[3] BẢNG CODE LATEX NGẮN GỌN