Lý thuyết lượng tử về Ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu Ứng hall trong các hệ bán dẫn thấp chiều

Lý thuyết lượng tử về ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng Hall trong các hệ bán dẫn thấp chiều Lý thuyết lượng tử về ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng Hall trong các hệ bán dẫn thấp chiều

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 GS TS Nguyễn Quang Báu 2 PGS TS Lê Thái Hưng

HÀ NỘI – 2023

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kết quả nghiên cứu được nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận án

Phạm Ngọc Thắng

LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến GS.TS Nguyễn Quang Báu, PGS TS Lê Thái Hưng, những người thầy đã hết lòng giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án

Đặc biệt là GS.TS Nguyễn Quang Báu người đã trực tiếp chỉ bảo, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận án Sự hiểu biết sâu sắc về khoa học, cách chỉ bảo tận tình của Thầy đã giúp tôi có được những kĩ năng tính toán quan trọng và những kinh nghiệm quý giá trong nghiên cứu khoa học

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong Bộ môn Vật lí lí thuyết, khoa Vật lí, những người đã đóng góp các ý kiến khoa học về kết quả của luận án

Em xin cảm ơn sự quan tâm của Phòng, Ban và khoa Vật lí, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, động viên của Ban giám hiệu, các thầy cô, các đồng nghiệp trong tổ bộ môn Vật lí Trường THPH Chu Văn An và Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội

Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn tất cả những người thân trong gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn luôn động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án này

Tác giả luận án

Phạm Ngọc Thắng

MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN

1.1 Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối 14

1.1.1 Phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối khi đặt trong điện trường và từ trường vuông góc với sự có mặt của sóng điện từ 16

1.1.2 Biểu thức giải tích cho hệ số Hall 26

1.2 Hàm sóng, phổ năng lượng của điện tử và sự giam cầm của phonon trong hệ thấp chiều 32

1.2.1 Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử 32

1.2.2 Sự giam cầm của phonon 38

Chương 2 ẢNH HƯỞNG CỦA PHONON GIAM CẨM LÊN HIỆU ỨNG HALL TRONG HỐ LƯỢNG TỬ 41

2.1 Biểu thức giải tích của từ trở Hall, tenxơ độ dẫn Hall và hệ số Hall 41

2.1.1 Ảnh hưởng sự giam cầm của phonon âm 42

2.1.2 Ảnh hưởng sự giam cầm của phonon quang 50

2.2 Kết quả tính số, vẽ đồ thị và thảo luận 54

2.3 Kết luận chương 2 59

Chương 3 ẢNH HƯỞNG CỦA PHONON GIAM CẨM LÊN HIỆU ỨNG HALL TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP 61

3.1 Biểu thức giải tích của từ trở Hall, tenxo độ dẫn Hall và hệ số Hall 62

3.2 Kết quả tính số, vẽ đồ thị và thảo luận 68

3.3 Kết luận chương 3 73

Chương 4 ẢNH HƯỞNG CỦA PHONON GIAM CẨM LÊN HIỆU ỨNG HALL TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH TRỤ VỚI HỐ THẾ CAO VÔ HẠN 74

4.1 Biểu thức giải tích của từ trở Hall, tenxo độ dẫn Hall và hệ số Hall 76

4.1.1.Ảnh hưởng sự giam cầm của phonon âm 76

4.1.2 Ảnh hưởng sự giam cầm của phonon quang 80

4.2 Kết quả tính số, vẽ đồ thị và thảo luận 84

BẢNG ĐỐI CHIẾU THUẬT NGỮ ANH - VIỆT

VÀ CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Semiconductor superlattice Siêu mạng bán dẫn SSL Compositional semiconductor

Square quantum well Hố lượng tử vuông góc SQW

Vacuum permittivity Độ cảm chân không Acoustic deformation potential Thế biến dạng âm Electron form factor Thừa số dạng electron Magnetoconductivity Độ dẫn từ

DANH MỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

Thời gian phục hội xung lượng của điện tử 𝜏 Khối lượng hiệu dụng/ khối lượng ở trạng thái tự do

Mật độ electron n0

DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1 Các tham số của hố lượng tử GaAs/AlGaAs 54 Bảng 3.1 Các tham số của siêu mạng pha tạp GaAs:Be/GaAs:Si 68 Bảng 4.1 Các tham số dùng trong tính số 84

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

Hình 1.1 Sơ đồ hiệu ứng Hall trong một thanh vật dẫn 14 Hình 1.2 Hiệu ứng Hall lượng tử trong hệ chuẩn hai chiều 15 Hình 2.1 Sự phụ thuộc của từ trở  vào từ trường B trong trường hợp xxphonon giam cầm (đường gạch đứt nét và đường chấm chấm) và phonon khối (đường liền nét) với 5

1E = 3 10 V m, L 15nm= 55

Hình 2.2 Sự phụ thuộc của từ trở  vào tỷ số xx   trong trường hợp / c

phonon giam cầm (đường gạch đứt nét và đường chấm chấm) và phonon khối (đường liền nét) với 5

1E =10 V m, L 15nm.= 56

Hình 2.3 Sự phụ thuộc của từ trở  vào độ rộng của hố lượng tử tại các giá xxtrị khác nhau của từ trường B trong trường hợp phonon giam với T=4K và

50

1E = 3 10 V m. 57

Hình 2.4 Sự phụ thuộc của hệ số Hall ngang vào từ trường trong trường hợp

phonon quang giam cầm (đường cong nét đứt) và phonon chưa giam cầm (đường cong nét liền) 57

Hình 2.5 Sự phụ thuộc của hệ số Hall ngang vào tần số của bức xạ laser trong

trường hợp phonon quang giam cầm (đường cong nét đứt) và phonon chưa giam cầm (đường cong nét liền) 58

Hình 3.1 Sự phụ thuộc của hệ số Hall R vào từ trường B trong siêu mạng Hpha tạp trường hợp phonon giam cầm (đường màu đỏ và màu xanh lục) và trường hợp phonon khối (đường màu xanh lá) trong đó: E1=105V/m, T=100K, d=20nm, nD=1023m-3 68

Hình 3.2 Sự phụ thuộc của từ trở vào tỉ số   trong trường hợp phonon / c

giam cầm (đường liền nét màu đỏ và đường nét đứt gạch) và phonon khối

(đường nét đứt chấm), với E1 =105V/m, T=2K, B=3T,

203D

d=20nm, n =3.85 10 m  − 69

Hình 3.3 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào tần số sóng điện từ trong siêu mạng

pha tạp trường hợp phonon giam cầm (đường màu đỏ) và phonon không giam cầm (đường màu xanh nét đứt) trong đó: E1=105V/m, T=100K, d=20nm, nD=1023m-3 70

Hình 3.4 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào cường độ trường laser Eo trong siêu mạng pha tạp trường hợp phonon giam cầm (đường màu xanh lục và xanh lá) và phonon khối (đường màu đỏ) trong đó : T=100K, d=20nm, nD=1023m-3 71

Hình 3.5 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào nhiệt độ T trong siêu mạng pha tạp

trường hợp phonon giam cầm(đường màu xanh lục và xanh lá) và phonon khối (đường màu đỏ) trong đó: E1=105V/m, d=20nm, nD=1023m-3 72

Hình 4.1 Ảnh hưởng của từ trường lên ten – xơ độ dẫn trong trường hợp tán

xạ điện tử - phonon âm giam cầm (m1= m2 = 0; 1) và phonon của bán dẫn khối trong dây lượng tử GaAs/GaAsAl 85

Hình 4.2 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào nhiệt độ 86 Hình 4.3 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào bán kính của dây lượng tử 87 Hình 4.4 Sự phụ thuộc của tenxo độ dẫn vào năng lương cyclotron với phonon

giam cầm (đường nét liền màu đen) và phonon chưa giam cầm (đường nét gạch gạch màu xanh) 88

Hình 4.5 Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào biên độ của sóng điện từ vớiphonon

giam cầm m1 = 2, m2 = 2 (đường nét gạch gạch màu xanh) và phonon chưa giam cầm m1 = 0, m2 = 0 (đường nét chấm chấm màu đỏ) 89

MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài

Với sự phát triển của khoa học kĩ thuật đã xuất hiện nhiều phương pháp tạo ra các hệ có cấu trúc nano khác nhau, chẳng hạn như phương pháp epitaxy dòng phân tử (MBE-molecular beam epitaxy) và kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ (MOCID-metal organic chemical Vapor Deposition) Ngày nay, đã tồn tại các hệ cấu trúc nano phẳng 2 chiều như màng mỏng, cấu trúc lớp, hố lượng tử, siêu mạng…, hệ cấu trúc nano 1 chiều như ống nano, dây lượng tử…, hệ không chiều như nhóm tinh thể, chấm lượng tử… Đây là những loại vật liệu quan trọng Trong các đối tượng mới nêu trên, chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo các tọa độ nào đó với một vùng rất hẹp vào cỡ bậc của bước sóng De Broglie (nghĩa là không qúa vài trăm A ) Khi đó một loạt các hiện tượng vật lí 0mới được gọi là hiệu ứng kích thước sẽ xuất hiện làm biến đổi hầu hết các tính chất vật lí của hệ và mở ra khả năng ứng dụng cho các linh kiện điện tử làm việc theo nguyên lý hoàn toàn mới Việc nghiên cứu các loại vật liệu mới này đã cho ra đời nhiều công nghệ hiện đại có tính chất cách mạng trong lĩnh vực khoa học kĩ thuật Các điốt huỳnh quang điện, pin mặt trời, các loại vi mạch,… là những ứng dụng quan trọng nhất của các thành tựu đạt được khi nghiên cứu các loại vật liệu mới này Chính bởi tính thời sự khoa học này mà việc nghiên cứu một số tính chất của bán dẫn nói chung và bán dẫn thấp chiều nói riêng (siêu mạng, hố lượng tử, dây lượng tử, chấm lượng tử) đã thu hút được sự quan tâm chú ý của nhiều nhà vật lí, cả lý thuyết và thực nghiệm [1-26]

Trong các hiệu ứng vật lí của bán dẫn nói chung và bán dẫn thấp chiều nói riêng, các hiệu ứng Hall rất được quan tâm nghiên cứu Trước đây các hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối đã được xem xét, được nghiên cứu, công bố kết quả trên các tạp chí khoa học quốc tế Đối với các hệ bán dẫn hai chiều như siêu mạng, hố lượng tử chỉ mới nghiên cứu các hiệu ứng Hall khi chưa xét đến ảnh

hưởng của phonon giam cầm [27-34] Hiệu ứng Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn khi xét đến ảnh hưởng của phonon giam cầm đã được xem xét trong [35] Tuy nhiên, hiệu ứng Hall trong dây lượng tử hình trụ khi có kể đến ảnh hưởng của phonon giam cầm thì chưa được nghiên cứu Như vậy, một số bài toán vật lí về hiệu ứng Hall trong các hệ thấp chiều khi xét đến sự giam cầm của phonon kể trên vẫn còn bỏ ngỏ Do đó, trong luận án này

chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu “Lý thuyết lượng tử về ảnh hưởng của

phonon giam cầm lên hiệu ứng Hall trong các hệ bán dẫn thấp chiều” 2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của luận án là nghiên cứu ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng Hall trong các hệ bán dẫn thấp chiều Cụ thể, xét các bài toán sau: ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng Hall trong siêu mạng pha tạp, trong hố lượng tử và trong dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn Kết quả nghiên cứu bao gồm: biểu thức giải tích cho tenxo độ dẫn, điện trở Hall và hệ số Hall trong các hệ bán dẫn thấp chiều dưới ảnh hưởng của phonon giam cầm; thực hiện tính toán số cho các mẫu bán dẫn thấp chiều cụ thể và so sánh với các kết quả trong trường hợp phonon không giam cầm để thấy được kết quả mới và những đóng góp mới của luận án

3 Nội dung nghiên cứu

Với mục tiêu nghiên cứu như trên thì nội dung nghiên cứu chính của luận án là: Trên cơ sở các biểu thức của hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng pha tạp, hố lượng tử và dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn, từ toán tử Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm – phonon giam cầm, chúng tôi thiết lập phương trình động lượng tử cho toán tử số điện tử trung bình trong siêu mạng pha tạp, hố lượng tử và dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn khi có mặt điện trường không đổi, từ trường không đổi và sóng điện từ (bức xạ laser) Giải phương trình động lượng tử, tìm biểu thức mật độ dòng

điện và tính biểu thức cho tenxo độ dẫn điện, từ trở, hệ số Hall Các kết quả giải tích được tính số và được so sánh với các kết quả trong hệ thấp chiều khi chưa kể đến phonon giam cầm

Các kết quả được nghiên cứu với các vật bán dẫn thấp chiều 2D, 1D cụ thể là với hố lượng tử, siêu mạng pha tạp và dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn với tương tác điện tử giam cầm - phonon giam cầm, bỏ qua tương tác của các hạt cùng loại và chỉ xét đến số hạng bậc hai của hệ số tương tác điện tử - phonon (bỏ qua các số hạng bậc cao hơn hai) Ngoài ra, luận án chỉ xét đến các quá trình phát xạ, hấp thụ một photon, bỏ qua các quá trình của hai photon trở lên

4 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án này, chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử Từ Hamiltonian của hệ điện tử - phonon được viết trong hình thức luận lượng tử hóa lần thứ hai (tức là được biểu diễn qua các toán tử sinh hủy hạt) chúng tôi dùng phương trình chuyển động Heisenberg để xây dựng phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử Từ đó chúng tôi tìm biểu thức mật độ dòng, tính tenxo độ dẫn, hệ số Hall trong siêu mạng pha tạp, hố lượng tử và dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn Ngoài ra, còn kết hợp với phần mềm Matlab để tính số và vẽ đồ thị các kết quả lý thuyết thu được

5 Phạm vi nghiên cứu

Trong luận án nghiên cứu ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng Hall trong siêu mạng pha tạp, trong hố lượng tử và trong dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn Luận án sử dụng giả thiết tương tác điện tử - phonon được coi là trội, bỏ qua tương tác của các hạt cùng loại và chỉ xét đến số hạng bậc hai của hệ số tương tác điện tử - phonon, bỏ qua các số hạng bậc cao hơn hai

6 Ý nghĩa khoa học của luận án

Kết quả luận án góp phần hoàn thiện lý thuyết lượng tử về hiệu Hall trong các hệ thấp chiều Đồng thời, các nghiên cứu này còn là cơ sở lý thuyết cho các kết quả thực nghiệm và là cơ sở trong việc hoàn thiện công nghệ chế tạo vật liệu cấu trúc nano ứng dụng trong các thiết bị điện tử siêu nhỏ, thông minh và đa năng hiện nay

7 Cấu trúc luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình khoa học liên quan đến luận án, tài liệu tham khảo và phụ lục, phần nội dung gồm 4 chương, 11 mục với 2 hình vẽ, 3 bảng biểu và 17 đồ thị được bố cục như sau:

Chương 1 Trình bày một số vấn đề tổng quan về sự giam cầm điện tử, giam

cầm phonon trong các hệ bán dẫn thấp chiều bao gồm siêu mạng pha tạp, hố lượng tử, dây lượng tử hình trụ với hố thế vô hạn Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong các hệ thấp chiều khi có mặt điện trường không đổi, từ trường không đổi và sóng điện từ cao tần (bức xạ laser) nhưng chưa kể đến phonon giam cầm

Chương 2 Sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử để nghiên cứu

hiệu ứng Hall trong hố lượng tử dưới ảnh hưởng của phonon âm giam cầm và phonon quang giam cầm Bằng phương pháp này chúng tôi thu được biểu thức giải tích của tenxo độ dẫn, hệ số Hall và từ trở Các kết quả trên được tính toán số và so sánh với trường hợp phonon không giam cầm

Chương 3 Nghiên cứu hiệu ứng Hall trong siêu mạng pha tạp dưới ảnh hưởng

của phonon âm giam cầm Trên cơ sở phương pháp phương trình động lượng tử tính toán và thu được biểu thức giải tích của tenxo độ dẫn, hệ số Hall và từ trở Tiến hành tính toán số và so sánh với trường hợp phonon không giam cầm

Chương 4 Sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử để nghiên cứu

hiệu ứng Hall trong dây lượng tử hình trụ dưới ảnh hưởng của phonon âm giam cầm và phonon quang giam cầm Từ đó thu được biểu thức giải tích của tenxo

độ dẫn, hệ số Hall và từ trở Các kết quả trên được tính toán số và so sánh với trường hợp phonon không giam cầm

Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 05 công trình khoa học, trong đó có 02 bài báo trên các tạp chí quốc tế thuộc danh mục ISI/Scopus

(01 bài đăng trong tạp chí quốc tế Materials Transactions, (Japan), 01 bài đăng trong tạp chí Journal of science: Key Engineering Materials (Korea)), 01 bài đăng trong tạp chí quốc tế World Academy of Science, Engineering and Technology International Journal of Physical and Mathematical Sciences ( Thái Lan), 2 bài báo đăng trong tạp chí VNU Journal of Science: Mathematics – Physics của Đại học Quốc gia Hà Nội

Chương 1 TỔNG QUAN LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG HALL TRONG BÁN DẪN KHỐI VÀ HÀM SÓNG, PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA ĐIỆN TỬ VÀ SỰ GIAM CẦM CỦA PHONON TRONG HỆ THẤP CHIỀU

Trong chương này tác giả trình bày tổng quan lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối, hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng bán dẫn pha tạp, hố lượng tử và dây lượng tử hình trụ khi đặt trong điện trường và từ trường vuông góc và sự giam cầm của phonon

1.1 Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối

Trong một thanh vật dẫn, ta đặt một dòng điện theo phương x, một từ trường theo phương z thì thấy xuất hiện một điện trường theo phương y, nếu mẫu là kín thì ta có một dòng điện theo phương y với mật độ dòng jy Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng Hall

Trong bán dẫn khối lý thuyết về hiệu ứng Hall cổ điển được xây dựng trên cơ sở phương trình động cổ điển Boltzman và lý thuyết về hiệu ứng Hall lượng tử được xây dựng trên cơ sở phương trình động lượng tử

2

1

x y z

Khi không có mặt sóng điện từ, trong các hệ điện tử chuẩn hai chiều, nếu đặt một từ trường mạnh vuông góc với mặt phẳng tự do của hệ và điều kiện nhiệt độ rất thấp, ta có thể quan sát thấy hiệu ứng Hall lượng tử, thể hiện sự lượng tử hóa của độ dẫn (điện trở) Hall Hiệu ứng Hall lượng tử số nguyên (integer quantum Hall effect) được khám phá bởi Klaus von Klitzing vào năm 1980 [65] Các kết quả đo đạc sự phụ thuộc của độ dẫn Hall vào từ trường cho thấy độ dẫn điện có giá trị là bội số nguyên của tỷ số e / : 2

2Hall

e

 =   = (1.1) Với khám phá này, ông được trao giải Nobel vào năm 1985

Hình 1.2 Hiệu ứng Hall lượng tử trong hệ chuẩn hai chiều

Không lâu sau khi hiệu ứng Hall lượng tử số nguyên được khám phá, hiệu ứng Hall lượng tử phân số (fractional quantum Hall effect) được nghiên cứu bởi Tsui và Stormer [90] Trong đó, độ dẫn Hall có giá trị

2Hall

e, 1 / 3, 2 / 5, 3 / 7, 2 / 3, 3 / 5, 1 / 5, 2 / 9, 3 / 13, 5 / 2, 12 / 5,

(1.2) Trước đó nhà vật lí Laughlin đã tiên đoán lý thuyết của hiệu ứng này Giải Nobel được trao cho Laughlin, Tsui và Stormer vào năm 1998 với phát hiện trên Hiệu ứng Hall lượng tử cho phép định nghĩa một chuẩn mới cho các đo

đạc về điện trở cũng như cung cấp thông tin về hằng số cấu trúc tinh thể với độ chính xác rất cao

Khi có mặt sóng điện từ lan truyền trong vật liệu thì các tính chất điện, từ thông thường của vật liệu bị thay đổi Nếu biên độ của sóng điện từ lớn có thể làm xuất hiện các hiệu ứng phi tuyến Đặc biệt, khi sóng điện từ là cao tần sao cho năng lượng photon vào cỡ năng lượng điện tử và phonon thì sóng điện từ sẽ làm thay đổi đáng kể xác suất dịch chuyển của điện tử giữa các trạng thái so với khi không có mặt sóng điện từ Đã có nhiều công trình nghiên cứu về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối khi có mặt sóng điện từ [3-10]

Hiệu ứng Hall trong các hệ thấp chiều có mặt sóng điện từ nhưng chưa kể đến phonon giam cầm đã được nghiên cứu trong thời gian gần đây [11-17] Tuy nhiên, hiệu ứng Hall trong các hệ thấp chiều kể đến sự có mặt của phonon giam cầm chưa được nghiên cứu đầy đủ, chưa có lý thuyết Vì vậy, với mục đích hoàn thiện nghiên cứu lý thuyết về hiệu ứng Hall trong hệ thấp chiều khi có mặt của phonon giam cầm sẽ được giải quyết trong luận án của chúng tôi

Để xây dựng lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall khi có sóng điện từ và kể đến sự giam cầm của cả điện tử và phonon thì chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử với hình thức luận tương tự như đã được xây dựng bằng phương pháp phương trình động lượng tử trong bán dẫn khối khi có mặt sóng điện từ Phương pháp đó được trình bày trong phần sau

1.1.1 Phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối khi đặt trong điện trường và từ trường vuông góc với sự có mặt của sóng điện từ

Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối khi đặt trong điện trường, từ trường vuông góc với sự có mặt của một sóng điện từ đặc trưng bởi điện trường biến thiên

E(t) = E sint,0,0 , (với E và 0  tương ứng là biên độ và tần số của sóng điện từ) Xuất phát từ Hamiltonian của hệ điện tử – phonon tương tác, chúng

tôi xây dựng phương trình động lượng tử cho số điện tử trung bình Từ phương trình này chúng tôi tìm được biểu thức cho mật độ dòng điện Từ đó suy ra được

các biểu thức cho tenxo độ dẫn, điện trở Hall, hệ số Hall

Hamiltonian của hệ điện tử – phonon trong bán dẫn khối trong biểu diễn lượng tử hóa lần hai khi đó có dạng [4]

2ppkkke

2ppp

b b+ là phần Hamiltonian của hệ phonon không tương tác

p,kC a++ a (b +b )+− là phần Hamintonian mô tả tương tác điện tử và phonon với Ck là hằng số tương tác điện tử - phonon

p kpk

(k)a++ a

 là phần Hamintonian tương tác giữa điện tử và trường ngoài (điện trường không đổi và từ trường không đổi)

(k) là thế vô hướng:

3

(k) (2 i) (eE k, h ) (k)

k

 =  +      , E1 là điện trường không đổi

pa+ và ap là toán tử sinh, huỷ điện tử với vectơ xung lượng p , bk+ và b là ktoán tử sinh, huỷ phonon với vectơ sóng k

h B

B= là véc tơ đơn vị dọc theo chiều từ trường; A(t) là thế vectơ và liên hệ với sóng điện từ (bức xạ laser):

𝐸⃗ (𝑡) = 𝐸⃗ 0sin𝛺𝑡 = −1

𝑐𝑑𝐴 (𝑡)

𝑑𝑡 (1.4) Giữa các toán tử sinh, hủy điện tử (hạt fermion) tồn tại các hệ thức giao hoán sau:

,

b ,b = b b - b b = δb b = b ,b 0,

+

pp

pp

ti a a

Tính số hạng thứ nhất: , + ( ) 2 +

'p

ka a , b b+ 0

(1.13) Lấy tổng theo p' với lưu ý: p,p' k+ =1 khi p= + hay p' p kp' k = −

p,p' 1 = khi p' p= Ta được:

pp kp kpp kppp kk

a a , C a a b b

t*

+

+−+

Lưu ý (1.18) là phương trình vi phân tuyến tính cấp một, không thuần nhất của

hàm Fp ,p ,q1 2 ( )t Để giải phương trình này trước tiên ta giải phương trình vi phân thuần nhất:

et

=−

(1.23) Ta có nghiệm

( )( ) ( )121 ( 12) ( )11p ,p ,q1 2

trong đó M là hằng số Dùng phương pháp biến thiên hằng số, ta giả thiết M phụ thuộc thời gian M(t)

F(t)=M(t)F(t), (1.25) Suy ra F t( ) M t( ) F t( )

 từ (1.20) vào số hạng thứ hai ở vế trái ta sẽ giản ước được số hạng thứ nhất ở vế phải, do đó:

pqpqqqppqqqq

qM(t)

(1.30)

Thay (1.30) vào (1.28) ta thu được biểu thức cho F(t):

12 1112

e2t

tie

m c−

( ) 11 ( 11) 1 ( 11)

1

t2

kn t

p p k k k k p k p k k k k k

tt

m c−

p p k k k k p k p k k k k k

tt

t11et

(1.36)

Thay (1.35) vào (1.34): pp t p

a a+ =n (t), k k k

tb b+ =N (t),

k

b b+ =N (t) 1+ (1.37) Trong gần đúng trung bình của tích 4 toán tử thành tích của hai trung bình từng cặp hai toán tử

+=−

+−

−−

Phương trình (1.38) là phương trình động lượng tử cho hàm phân bố không cân bằng của điện tử trong gần đúng bậc hai của hằng số tương tác điện tử - phonon

1.1.2 Biểu thức giải tích cho hệ số Hall

Sau đây ta sẽ giả thiết tương tác điện tử – phonon âm là trội Nếu tán xạ là đàn hồi thì ta có thể bỏ qua năng lượng của phonon trong đối số của các hàm delta Giải phương trình (1.38) đồng thời giả thiết phân bố phonon là đối xứng ta sẽ thu được phương trình:

Sau đây ta sẽ chỉ xét l = -1,0,1 trong (1.40), tức là ta chỉ giới hạn bài toán

ở các quá trình một photon, bỏ qua các quá trình nhiều hơn một photon Điều này làm cho các biểu thức tính toán ngắn gọn hơn Về mặt vật lí thì gần đúng này hoàn toàn chấp nhận được do xác suất của các quá trình một photon là lớn hơn nhiều so với các quá trình từ hai photon trở lên Nhân hai vế của (1.40) với

ep  −  / m và lấy tổng hai vế theo p ta được phương trình:

( )( ) c ( )( ) ( )R

m

( ) p ()

pp e

ne

pk

c2 2

(1.49)

Trong (1.45), ta thay hàm phân bố điện tử bởi:

− 

V

(2 )→

 , ij là delta Kronecker, (x) là hàm bậc thang Heaviside

Thay (1.50) vào (1.43) ta có:

p

pp

ep F (f ( ) p ( )f ( )) ( ),

e

f ( )e

ee

12 2c0i

2 2e ij j c ijk k j c i j j

enL (Q )

−

   +     =

trong đó ta đã sử dụng ký hiệu:

F0

c0i

= 



xxyx = −

yx

xxyx1

R

B= −

Kết quả sử dụng lý thuyết lượng tử để khảo sát hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối cho thấy sự phụ thuộc của tensor độ dẫn điện cũng như từ trở, hệ số Hall vào trường ngoài là phức tạp hơn nhiều so với lý thuyết cổ điển Để xây dựng lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong các hệ thấp chiều khi có sóng điện từ và kể đến sự giam cầm của cả điện tử và phonon thì chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử với hình thức luận tương tự như đã được xây dựng bằng phương pháp phương trình động lượng tử trong bán dẫn khối khi có mặt sóng điện từ

1.2 Hàm sóng, phổ năng lượng của điện tử và sự giam cầm của phonon

Trong phần này, chúng tôi viết ra hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng pha tạp, trong hố lượng tử và trong dây lượng tử hình trụ với hố thế cao vô hạn khi đặt trong điện trường và từ trường vuông góc với nhau Đồng thời đưa ra biểu thức về sự giam cầm của phonon

1.2.1 Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử 1.2.1.1 Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng pha tạp

Trong các hệ vật liệu thấp chiều, chuyển động của điện tử bị giới hạn theo một số chiều xác định và bị định xứ mạnh Các điện tử chuyển động tự do theo chiều còn lại Hàng loạt các hiện tượng vật lý mới sẽ xuất hiện khi các hạt tải bị giới hạn trong các vũng kích thước cỡ bước sóng DeBroglie Đó là các hiệu ứng kích thước[7]

Năng lượng của điện tử bị lượng tử hóa theo các chiều bị giới hạn với các mức năng lượng xác định EN (N = 1, 2, 3, 4…), N là lượng tử số Còn với các chiều tự do, các hạt tải chuyển động mà không bị ảnh hưởng bởi hố thế năng Kết quả là năng lượng tổng của hệ điện tử là gián đoạn theo hướng có sự lượng tử hóa và liên tục khi xét chuyển động trong mặt phẳng của hố thế

Xét đến hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử giam cầm và phonon giam cầm trong siêu mạng pha tạp trước hết ta xét cấu trúc của siêu mạng pha

tạp Trong các hệ thấp chiều, siêu mạng pha tạp là vật liệu bán dẫn mà hệ điện tử có cấu trúc chuẩn hai chiều Siêu mạng pha tạp được cấu tạo từ hai bán dẫn được pha tạp một cách khác nhau và xếp chồng chập lên nhau với sự phân bố điện tích tuần hoàn Chẳng hạn, siêu mạng pha tạp n-GaAs/p-GaAs được tạo nên nhờ sự sắp xếp tuần hoàn của các lớp bán dẫn mỏng GaAs loại n (GaAs:Si) và GaAs loại p (GaAs:Be), ngăn cách bởi các lớp GaAs không pha tạp (gọi là tinh thể n-i-p-i)

Trong siêu mạng pha tạp, chuyển động của điện tử theo một phương bị giới hạn rất mạnh và điện tử chuyển động tự do trong không gian mạng tinh thể theo hai phương còn lại Do vậy, chuyển động của điện tử theo phương z bị lượng tử hóa với các mức năng lượng gián đoạn, chuyển động là tự do trong mặt phẳng (x,y)

Dựa trên mô hình đơn giản cho siêu mạng pha tạp với trục siêu mạng được giả thiết theo phương z, đặt trong một từ trường B

→

= (0,0,B), một điện trường

không đổi E1

→= (E1,0,0) Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử được đặt trong từ trường không đổi B

→

= (0,0,B) và điện trường không đổi E1

→= (E1,0,0) lần lượt có dạng [4]:

Nd 1y

ip y

l 0y

ep

m=

 : đa thức Hermite thứ n

yy

p (0, p ,0)→

= : là vector sóng theo phương y N = 0,1,2, : là chỉ số mức phân vùng Landau n = 0,1,2, : là chỉ số lượng tử hóa của các mức con

ceeB

:m = là tần số cyclotron

12 2

Dp

0e4 e ne m

EB = : là vận tốc kéo theo của điện tử Độ dày và nồng độ của lớp bán dẫn n và bán dẫn p trong siêu mạng pha tạp được giả định bằng nhau: dn dp dvà nn np nD

2

d: là chu kì của siêu mạng pha tạp D

n : nồng độ tạp chất của siêu mạng pha tạp

1.2.1.2 Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử trong hố lượng tử

Hố lượng tử là cấu trúc hai chiều gồm một lớp mỏng chất bán dẫn này được đặt giữa hai lớp chất bán dẫn khác Chính sự khác biệt giữa các cực tiểu vùng dẫn của hai chất bán dẫn tạo nên một hố lượng tử (còn gọi là hố thế năng) Các hố thế năng này tạo nên một thế giam giữ điện tử, làm cho chuyển động của điện tử trong hố bị giới hạn rất mạnh theo một phương, thường chọn là phương z Do vậy, chuyển động của điện tử theo phương z bị lượng tử hóa với các mức năng lượng gián đoạn, còn trong mặt phẳng (x,y) thì chuyển động tự do

a Trường hợp từ trường B vuông góc với mặt phẳng chuyển động tự do của điện tử

Xét hố lượng tử vuông góc cao vô hạn theo phương z, với độ rộng hố là

L, được đặt trong một từ trường B=(0,0, B)(Bvuông góc với mặt phẳng tự do của điện tử), một điện trường không đổi E1=(E ,0,0)1 và một trường laser với vector cường độ điện trường E(t)=(0,E sin t,0)0  , với E và 0  là biên độ và tần số của bức xạ laser Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử được đặt trong từ trường không đổi B

→

= (0,0,B) và điện trường không đổi E1

→= (E1,0,0) lần lượt có dạng [4]:

y1

ceeBm = : là tần số cyclotron,

b Trường hợp từ trường B trong mặt phẳng chuyển động tự do của điện tử

Xét hố lượng tử vuông góc cao vô hạn dọc theo phương z, được đặt trong một từ trường B=(0, B,0)(Bnằm trong mặt phẳng tự do của electron), một điện trường không đổi E1 =(0,0,E )1 và một trường laser với vector cường độ điện trường E(t)=(E sin t,0,0)0  , với E và 0  là biên độ và tần số của bức xạ laser Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử được đặt trong từ trường không đổi B→= (0,0,B) và điện trường không đổi E1

xk : là vector sóng của điện tử theo phương x,

1.2.1.3 Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử trong dây lượng tử hình trụ

Dây lượng tử (quantum wires) là cấu trúc vật liệu thấp chiều trong đó chuyển động của điện tử bị giới hạn theo hai chiều (kích thước cỡ 100 nm), chỉ có một chiều được chuyển động tự do (trong một số bài toán chiều này thường được gọi là vô hạn), vì thế hệ điện tử còn được gọi là khí điện tử chuẩn một