Gần Đúng quỹ Đạo thẳng cho các quá trình tán xạ năng lượng cao trong hấp dẫn lượng tử

GẦN ĐÚNG QUỸ ĐẠO THẲNG CHO CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO TRONG HẤP DẪN LƯỢNG TỬ GẦN ĐÚNG QUỸ ĐẠO THẲNG CHO CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO TRONG HẤP DẪN LƯỢNG TỬ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ THU HÀ

GẦN ĐÚNG QUỸ ĐẠO THẲNG CHO CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO

TRONG HẤP DẪN LƯỢNG TỬ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

Hà Nội - 2024

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ THU HÀ

GẦN ĐÚNG QUỸ ĐẠO THẲNG CHO CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan: • Luận án là công trình nghiên cứu của tôi được hoàn thành dưới sự hướng

dẫn của GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn

• Các kết quả giải tích, số liệu, được trình bày trong luận án là trung thực, đã được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và gửi lời cảm ơn chân thành

tới người thầy vô cùng đáng kính GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn Thầy là người

trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án Tôi đã học được từ thầy sự nghiêm túc, miệt mài trong khoa học và cả sự giản dị, ấm áp trong lối sống Tôi trân quý những bài học được thầy truyền dạy Nó sẽ là hành trang giúp tôi vững bước trên chặng đường tương lai

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các Thầy, Cô trong Bộ môn Vật lý lý thuyết, Khoa Vật lý và Phòng đào tạo, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội, những người đã luôn tạo điều kiện cho tôi về mọi mặt

Tôi xin chân thành cảm ơn lãnh đạo và đồng nghiệp Khoa Khoa học đại cương, Trường Đại học Tài Nguyên và Môi trường Hà Nội đã hỗ trợ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập

Tôi xin được gửi lời cảm ơn tới đại gia đình thân yêu của tôi đã luôn ủng hộ, động viên tôi trong quá trình học tập Con cảm ơn bố mẹ đã sinh thành dưỡng dục cho con nên người Em cảm ơn chồng đã luôn đồng hành với em trong mọi hành trình Mẹ cảm ơn hai con đã luôn là niềm hạnh phúc, là động lực cho mẹ phấn đấu lao động khoa học

Tôi đã thật may mắn, thật hạnh phúc vì có thầy cô, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn dành những tình cảm ấm áp, chân thành cho tôi Tôi xin một lần nữa gửi lời cảm ơn tới những người thương yêu ấy

Hà Nội, ngày 18 tháng 04 năm 2024

Tác giả luận án

Đỗ Thu Hà

TỔNG QUAN VỀ GẦN ĐÚNG QUỸ ĐẠO THẲNG 12

1.1 Gần đúng quỹ đạo thẳng trong quang học 12

1.2 Gần đúng quỹ đạo thẳng trong cơ học lượng tử 14

1.2.1 Bài toán tán xạ trong cơ học lượng tử 14

1.2.2 Lời giải của phương trình Schrodinger trong gần đúng quỹ đạo thẳng 18

1.2.3 Điều kiện sử dụng gần đúng quỹ đạo thẳng 22

1.3 Tổng kết chương 1 27

CHƯƠNG 2 29

GẦN ĐÚNG QUỸ ĐẠO THẲNG CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ VÀ 29

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 29

2.1 Hàm Green của phương trình Schrodinger ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm 30

2.2 Biên độ tán xạ và gần đúng quỹ đạo thẳng 34

2.3 Tiết diện tán xạ vi phân ở các trường ngoài cụ thể 42

NHIỄU LOẠN CẢI BIẾN VÀ GẦN ĐÚNG MỘT VÒNG 50

3.1 Phương trình chuẩn thế hai hạt ở dạng toán tử 51

3.2 Lý thuyết nhiễu loạn cải biến và Lời giải phương trình Logunov – Tavkhelidze54

3.3 Dáng điệu tiệm cận của biên độ tán xạ ở vùng năng lượng cao 57

3.4 Thế năng hấp dẫn phi tương đối tính trong gần đúng một vòng (one loop) 61

3.5 Đóng góp gần đúng một vòng trong tán xạ năng lượng cao 68

3.6 Tổng kết chương 3 72

CHƯƠNG 4 74

BIÊN ĐỘ TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO TRONG 74

LÝ THUYẾT HẤP DẪN TUYẾN TÍNH 74

4.1 Phương trình Logunov- Tavkhelidze hai điểm 74

4.2 Biên độ tán xạ và bổ chính bậc nhất trong gần đúng tọa độ 76

4.3 Thế Gauss và số hạng bổ chính cho biên độ tán xạ 81

4.4 Dáng điệu tiệm cận của biên độ tán xạ trong hấp dẫn tuyến tính lượng tử 85

4.4 Tổng kết chương 4 88

KẾT LUẬN 90

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC 92

CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 92

TÀI LIỆU THAM KHẢO 93

Tài liệu Tiếng Việt 93

Tài liệu Tiếng Anh 93PHỤ LỤC

DANH SÁCH CÁC TỪ KHÓA

10 Phương pháp tích phân phiếm hàm Functional Integration Method

15 Lý thuyết hiệu dụng năng lượng thấp The low energy effective theory

16 Lý thuyết hấp dẫn lượng tử hiệu dụng The efective quantum gravity

(QCD)

DANH MỤC BẢNG, HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

Trang

Bảng 3.1: Các dạng của phương trình chuẩn thế 52

Bảng 3.2: Các giản đồ đóng góp cho phần không giải tích của ma trận tán xạ 65

Bảng 3.3: Thế phi tương đối tính tương ứng với từng giản đồ 67

Bảng 3.4 : Mức độ đóng góp của các số hạng bổ chính vào số hạng chính của biên độ 71

Hình 1.1: Hệ tọa độ khi lấy tích phân trong công thức (1.24) 17

Hình 1.2: Việc lấy tích phân trong pha quỹ đạo thẳng trong công thức (1.36) đượctiến hành dọc theo đường nét đứt, I - vùng tương tác của thế, II - sóng phẳng tới 21

Hình 3.1: Giản đồ Feynman cho tán xạ hai “nucleon” 57

Hình 3.7 Các giản đồ phân cực chân không 66

Hình 4.1: Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ vi phân vào năng lượng toàn phần 87

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phép gần đúng quỹ đạo thẳng (gần đúng eikonal) thực tế tương ứng với việc tuyến tính hóa hàm truyền của các hạt tán xạ theo xung lượng của các hạt trao đổi nhỏ Gần đúng quỹ đạo thẳng cho biên độ tán xạ năng lượng cao và góc tán xạ nhỏ được xây dựng lần đầu tiên vào năm 1959 trong cơ học lượng tử phi tương đối tính [48] sau đó là trong cơ học lượng tử tương đối tính [17, 19, 20, 39, 44, 53, 56, 57, 78, 80], tiếp theo là trong lý thuyết trường lượng tử [19, 36, 60, 61, 71] và gần đây là trong lý thuyết hấp dẫn lượng tử [11, 12, 37, 50, 51, 55, 63, 69, 71, 82, 87] Từ những năm 60 của thế kỷ trước cho tới hiện tại gần đúng quỹ đạo thẳng luôn được sử dụng rộng rãi để phân tích các số liệu thực nghiệm về bài toán tán xạ năng lượng cao của các hạt cơ bản [1, 2]

Việc phát hiện sóng hấp dẫn vào năm 2014 và chụp được ảnh “lỗ đen” vào năm 2019 đã đặt ra vấn đề cấp bách là tìm biên độ tán năng lượng cao và các bổ chính của nó cho tất cả các tương tác bao gồm cả tương tác hấp dẫn cũng như việc hợp nhất bốn loại tương tác: điện từ, yếu, mạnh và hấp dẫn thành lý thuyết thống

nhất vĩ đại Tán xạ hấp dẫn diễn ra ở năng lượng s =2EMPL với hằng số tương tác hiệu dụng G =Gs/  1 - đây là vùng năng lượng được mô tả bằng “lý thuyết trường hiệu dụng” Ở đây s là tổng năng lượng trong hệ khối tâm, MPL là

khối lượng Planck, G là hằng số hấp dẫn

Phương pháp chuẩn của lý thuyết trường lượng tử [3] là lý thuyết nhiễu loạn Tuy nhiên, phương pháp này chỉ phù hợp khi năng lượng của hạt riêng lẻ không cao và hằng số tương tác không lớn Khi năng lượng tăng ở mức diễn ra tán xạ hấp dẫn thì lý thuyết nhiễu loạn thông thường cho kết quả không như kỳ vọng Vì vậy việc hiệu chỉnh các tính toán bằng lý thuyết nhiễu loạn là rất cần thiết

Bài toán tán xạ hấp dẫn được nhiều tác giả nghiên cứu theo các cách tiếp cận khác nhau và đều dựa trên khai triển nhiễu loạn thông thường Các cách tiếp cận nổi bật có thể kể đến như: Phương pháp sóng xung kích được đề xuất bởi ’t Hooft G [60, 61]; Phương pháp lý thuyết topo hiệu dụng trong giới hạn Planck được đề xuất

bởi Verlinde H & Verlinde E [81]; Phương pháp lấy tổng các giản đồ Feynman trong gần đúng quỹ đạo thẳng được đề xuất bởi Kabat D [63] Cho đến nay các nghiên cứu trên cũng chỉ nhận được số hạng chính (leading term) của biên độ tán xạ, các số hạng bổ chính (correction terms) cho biên độ tán xạ đều thất bại [10-15, 29, 30, 37, 60, 61, 63, 65, 69, 74, 77, 87] Trong khi đó, các số hạng bổ chính lại có vai trò quan trọng trong các vấn đề như lực hấp dẫn mạnh gần lỗ đen, sự cải biến lý thuyết dây của lý thuyết hấp dẫn và các hiệu ứng khác của hấp dẫn lượng tử [10-15, 65, 74, 77] Việc xác định các số hạng bổ chính cho số hạng chính đối với bài toán tán xạ hấp dẫn hiện vẫn là một vấn đề mở chưa có lời giải

Trong khuôn khổ của lý thuyết trường chuẩn [3] và tán xạ năng lượng cao, các phương pháp khác nhau được phát triển để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của từng giản đồ Feynman riêng lẻ sau đó lấy tổng tất cả các đóng góp này cho biên độ tán xạ cần tìm Việc tính toán các giản đồ quỹ đạo thẳng trong trường hợp hấp dẫn được tiến hành tương tự như trong điện động lực học (QED) Cách tính toán của phép gần đúng quỹ đạo thẳng cho biết dáng điệu chính của mỗi bậc trong lý thuyết nhiễu loạn, nhưng khi lấy tổng các đóng góp thì các số hạng bổ chính lại bị bỏ qua bởi phép gần đúng này Như vậy độ tin cậy của biên độ trong phép gần đúng quỹ đạo thẳng đối với hấp dẫn là không chắc chắn

Trong luận án này, chúng tôi xem xét bài toán tán xạ hấp dẫn bằng hai phương pháp: Thứ nhất là phương pháp tích phân phiếm hàm (khởi đầu hướng nghiên cứu này dựa trên công trình nghiên cứu bài toán tán xạ hai hạt vô huớng qua tương tác hấp dẫn của ’tHooft G [60, 61]) Thứ hai là phương pháp nhiễu loạn cải biến (được khởi xướng bởi Fradkin [42, 43] dựa trên phương trình chuẩn thế Logunov – Tavkhelidze [72, 73]) Trong các công bố trước đây của nhóm tác giả GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn đã thu được các kết quả ngoài dự kiến từ hai phương pháp trên: Bằng phương pháp tích phân phiếm hàm nhóm tìm được gần đúng quỹ đạo thẳng cho biên độ tán xạ ở vùng năng lượng Planck [7, 8] – kết quả này trùng với các kết quả của các tác giả khác Đồng thời, tìm được các số hạng bổ chính mà mọi người chưa tìm được [50, 51, 55] Bằng phương pháp nhiễu loạn

cải biến nhóm cũng thu được kết quả ngoài dự kiến: Tính được bổ chính bậc nhất cho gần đúng quỹ đạo thẳng của biên độ tán xạ năng lượng Planck trong hấp dẫn lượng tử [52] và giải thích được rằng biểu thức này trùng với kết quả mà nhóm tìm được bằng phương pháp thứ nhất kể trên [55] Tuy nhiên, trong các nghiên cứu này của nhóm chưa xét đến các đóng góp của hấp dẫn lượng tử hiệu dụng trong gần đúng một vòng

Cần nhấn mạnh rằng phương pháp nhiễu loạn cải biến mà chúng tôi hoàn thiện và phát triển ở đây là tổ hợp của hai phương pháp – phương pháp tích phân phiếm hàm và lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến trong khuôn khổ của phương trình chuẩn thế Logunov- Tavkhelidze đã cho kết quả rất khả quan Vì vậy, việc tiếp tục vận dụng phương pháp trên cho bài toán tán xạ hai hạt năng lượng cao trong khuôn khổ lý thuyết hấp dẫn lượng tử hiệu dụng và gần đúng một vòng để tính biên độ tán xạ và bổ chính của nó là hợp lý và cần thiết

Việc hệ thống hóa và tổng quát hoá những kết quả đã thu được, sử dụng gần đúng quỹ đạo thẳng để tìm biên độ tán xạ và các bổ chính của nó cho tán xạ năng lượng cao bao gồm cả hấp dẫn lượng tử trên cơ sở một lập luận chặt chẽ là một trong những xu hướng nghiên cứu chính thống của cả lý thuyết lẫn thực nghiệm

Từ những phân tích trên, chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu là “Gần đúng

quỹ đạo thẳng cho các quá trình tán xạ năng lượng cao trong hấp dẫn lượng tử”

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu nghiên cứu của luận án là thu được được biên độ tán xạ và các bổ chính của nó trong bài toán tán xạ năng lượng cao trong cơ học lượng tử, trong lý thuyết trường lượng tử bao gồm cả hấp dẫn lượng tử và trong lý thuyết hấp dẫn lượng tử hiệu dụng

3 Nội dung nghiên cứu

Với mục tiêu trên, chúng tôi thực hiện nghiên cứu các nội dung sau: • Tổng quan về gần đúng quỹ đạo thẳng trong quang học và cơ học lượng tử Làm cơ sở lý thuyết cho các nội dung nghiên cứu tiếp theo

• Tìm gần đúng quỹ đạo thẳng cho biên độ tán xạ của hạt ở trường thế ngoài bằng phương pháp tích phân phiếm hàm trong cơ học lượng tử làm tiền đề cho việc áp dụng phương pháp này trong lý thuyết trường lượng tử bao gồm cả hấp dẫn lượng tử trong chương 3 Tính toán tiết diện tán xạ của hạt trên các thế ngoài Gauss và Yukawa

• Tìm gần đúng quỹ đạo thẳng cho biên độ tán xạ và số hạng bổ chính của nó bằng phương pháp chuẩn thế trong gần đúng tọa độ và gần đúng Born trong lý thuyết hấp dẫn lượng tử tuyến tính Thế Yukawa và thế Gauss được sử dụng để cụ thể hóa kết quả

• Tìm gần đúng quỹ đạo thẳng cho biên độ tán xạ và bổ chính của nó dựa trên lý thuyết nhiễu loạn cải biến bằng cách cách giải phương trình chuẩn thế Logunov – Tavkhelidze trong khuôn khổ lý thuyết hấp dẫn lượng tử

• Tìm gần đúng quỹ đạo thẳng cho biên độ tán xạ một vòng và bổ chính của nó trong lý thuyết hiệu dụng của hấp dẫn lượng tử Thảo luận về các đóng góp không giải tích, không định xứ và đưa vào tính toán dáng điệu tiệm cận của biên độ tán xạ bằng cách sử dụng thế Newtonian ở năng lượng thấp

4 Phương pháp nghiên cứu

Bài toán của luận án là tiếp tục sử dụng gần đúng quỹ đạo thẳng cho biên độ

tán xạ ở vùng năng lượng cao trong lý thuyết trường lượng tử kể cả hấp dẫn lượng tử, hấp dẫn lượng tử tuyến tính và hấp dẫn lượng tử hiệu dụng Với cách tiếp cận tổng hợp và logic về cả toán học lẫn vật lý, khi xây dựng công cụ tính toán chúng tôi áp dụng các phương pháp chung của lý thuyết trường:

Phương pháp thứ nhất là phương pháp lấy tổng các giản đồ Feynman Nghiên

cứu dáng điệu tiệm cận của từng giản đồ Feynman ở vùng động học nào đó và sau đó lấy tổng các đóng góp này cho biên độ tán xạ cần tìm

Phương pháp thứ hai là phương pháp tích phân quĩ đạo (trong vật lý gọi là

tích phân đường còn trong toán học còn gọi là tích phân phiếm hàm) Phương pháp này dựa trên khai triển quỹ đạo thẳng hàm Green tổng quát các hạt tán xạ trên mặt khối lượng để tìm biên độ tán xạ Về nguyên tắc, tích phân quĩ đạo tương đương với

gần đúng thông thường của cơ học sóng Tuy phương pháp này không được thông dụng vì nó dựa trên nền tảng toán học khá trừu tượng, song nó lại được sử dụng rất hiệu quả để xây dựng các công cụ tính toán trong cơ học lượng tử tương đối tính, cũng như trong lý thuyết trường lượng tử Thành tựu lớn nhất của phương pháp tích phân quĩ đạo là phát triển kỹ thuật giản đồ Feyman đã được sử dụng trong điện động lực học lượng tử (QED) trước đây và lượng tử hoá các lý thuyết trường chuẩn sau này

Phương pháp thứ ba là phương pháp chuẩn thế Phương pháp này dựa trên cơ

sở phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze (gọi tắt là phương trình chuẩn thế) mà nó được coi là tổng quát hóa phương trình Lippmann - Schwinger Ở đây khái niệm “thế năng” được đưa vào trong lý thuyết trường lượng tử để thuận lợi cho việc nghiên cứu bài toán tán xạ Phương trình chuẩn thế có dạng tương tự như phương trình cho biên độ tán xạ của cơ học lượng tử phi tương đối tính được khởi nguồn từ

phương trình Schrodinger

5 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu bài toán tán xạ hai hạt ở năng lượng cao trong cơ học lượng tử Tiếp tục phát triển bài toán trên trong lý thuyết trường lượng tử bao gồm cả hấp dẫn lượng tử và lý thuyết hấp dẫn lượng tử hiệu dụng trong gần đúng một vòng

6 Ý nghĩa khoa học của luận án

Các kết quả của luận án góp phần xây dựng và hoàn thiện lý thuyết trường lượng tử bao gồm cả hấp dẫn

Việc hoàn thiện và phát triển lý thuyết nhiễu loạn cải biến giúp tìm được số hạng chính (leading term) của biên độ tán xạ quỹ đạo thẳng và hệ thống các số hạng bổ chính (correction terms) trong lý thuyết hấp dẫn lượng tử, mà trước đây chưa thành công

Việc tìm được gần đúng quỹ đạo thẳng cho biên độ tán xạ một vòng và bổ chính của nó trong lý thuyết hiệu dụng của hấp dẫn lượng tử cũng như thảo luận về các đóng góp không giải tích, không định xứ và đưa vào tính toán dáng điệu tiệm cận của biên độ tán xạ bằng cách sử dụng thế Newton ở năng lượng thấp góp phần

làm rõ mối liên hệ giữa lý thuyết lượng tử hiệu dụng của thuyết tương đối rộng và cơ học lượng tử tương đối tính

7 Bố cục của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án, tài liệu tham khảo, phụ lục, phần nội dung luận án gồm 4 chương:

Chương 1: Tổng quan về gần đúng quỹ đạo thẳng Chương 2: Gần đúng quỹ đạo thẳng cho biên độ tán xạ và phương pháp tích

phân phiếm hàm trong cơ học lượng tử

Chương 3: Đóng góp của hấp dẫn lượng tử hiệu dụng cho tán xạ năng lượng

cao trong khuôn khổ của lý thuyết nhiễu loạn cải biến và gần đúng một vòng

Chương 4: Biên độ tán xạ năng lượng cao trong lý thuyết hấp dẫn tuyến tính

Các kết quả chính của luận án được trình bày trong 4 công trình khoa học: 01 bài được công bố trên Tạp chí khoa học quốc tế thuộc danh mục ISI (IF: 4.8389, Q1), 03 bài báo đăng trên các Tạp chí khoa học trong nước:

Trong luận án, chúng tôi sử dụng hệ đơn vị tự nhiên hay còn gọi là hệ đơn vị nguyên tử, trong đó hằng số Planck = ; vận tốc ánh sáng 1c = Khi đó, 1khối lượng và năng lượng có cùng thứ nguyên; chiều dài có thứ nguyên là nghịch đảo của năng lượng Luận án sử dụng metric giả Euclide (metric

Feynman)

Véc tơ tọa độ hiệp biến: x =(x0 =t x, 1= −x x, 2 = −y x, 3= − =z) (t,−x) Ta có:

x =gx; x =g x  , trong đó, ten xơ metric:

Trong vật lý hạt cơ bản và vật lý lượng tử, đơn vị đo năng lượng thường được sử

dụng là eV (electron-Volt) Ta có: 1 eV =1,60217733 10 −19J Trong vật lý năng

lượng cao, 1 eV là quá nhỏ, cho nên chúng ta thường dùng các bội số của nó, đó là

kilo-, mega-, giga- và tera electron-Volt:

1 TeV =10 GeV =10 MeV =10 keV =10 eV

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ GẦN ĐÚNG QUỸ ĐẠO THẲNG

Phép khai triển theo sóng riêng phần [70] là một phương pháp chủ yếu để nghiên cứu tán xạ năng lượng cao, nhưng khi năng lượng hạt càng cao thì ta phải tính một số lượng khổng lồ sóng riêng phần (chi tiết về phép khai triển sóng riêng phần được trong phụ lục 1), lúc đó phương pháp này trở nên kém hiệu quả Vì vậy người ta phải tìm các cách tiếp cận khác để nghiên cứu bài toán tán xạ năng lượng cao của các hạt cơ bản [1, 2] Một trong các cách tiếp cận đơn giản hơn và rõ ràng hơn về mặt vật lý chính là gần đúng quỹ đạo thẳng (gần đúng eikonal)

Trong chương này, trình bày tổng quan về phép gần đúng quỹ đạo thẳng Thuật ngữ “phép gần đúng quỹ đạo thẳng” được xuất hiện đầu tiên trong quang học sóng và quang hình học khi nghiên cứu đường đi của ánh sáng Nhờ các mối liên hệ giữa quang học sóng và cơ học lượng tử; giữa quang hình học và cơ học cổ điển nên thuật ngữ “phép gần đúng quỹ đạo thẳng” được sử dụng trong cơ học lượng tử [4-6] Nội dung của chương này là cơ sở lý thuyết để nghiên cứu nội dung các chương tiếp sau

1.1 Gần đúng quỹ đạo thẳng trong quang học

Trong phần này xem xét gần đúng quỹ đạo thẳng trong quang học [27, 70, 85] Phương trình mô tả việc truyền sóng ánh sáng trong môi trường có chiết suấtn r( )

có dạng:

2222 0

0ei kr t

 = − (1.2) Số sóng k = k , tần số  và bước sóng  liên hệ với nhau bằng hệ thức:

i

ae

 = (1.4) Ở những khoảng cách nhỏ của không - thời gian, hàm  được gọi là eikonal Ta có thể khai triển nó thành chuỗi:

( )22

 ,

22

t



 ,

at





 trong (1.7), chúng ta thu được phương trình quỹ đạo thẳng cho  :

2

.( )

Hay kể thêm (1.6):

.( )

n rc



 =   (1.9) Các phương trình (1.8) và (1.9) được gọi là các phương trình eikonal

Như vậy, trong gần đúng quỹ đạo thẳng các mặt sóng là các mặt phẳng:

( , )r tconst,

 = (1.10) còn các tia được hướng theo k = 

1.2 Gần đúng quỹ đạo thẳng trong cơ học lượng tử

1.2.1 Bài toán tán xạ trong cơ học lượng tử

Trước tiên, nghiên cứu phép gần đúng quỹ đạo thẳng trong cơ học lượng tử [4-6] dựa vào việc phát biểu bài toán tán xạ Nếu tán xạ xảy ra trong thế năng đối xứng cầu thì hàm sóng ở xa vô cùng gồm sóng phẳng tới và sóng cầu tán xạ có dạng:

()

,2

j

=   −   (1.12) trong đó

( )*

2**

r

ik

rikrr

r

r

ikr

rf



( )2

d = f  d (1.17) Mật độ tiết diện tán xạ được xác định bởi:

2

.( )

d

fd

 (1.18) Như vậy, mật độ tiết diện tán xạ hoàn toàn được tính theo biên độ tán xạ

Để tìm biên độ tán xạ f( ) , ta cần tìm lời giải phương trình Schrodinger:

phương trình tích phân Điều này có thể thực hiện được nếu sử dụng hàm Green của phương trình Schrodinger tự do ( )'

Bây giờ, ta chứng minh k ( )r được xác định bằng phương trình (1.23) khi

r →  có dạng tiệm cận (1.11) Thay (1.22) vào (1.23) thu được:

1

.2

4

ik r rikr

Khi lấy tích phân theo dr', chọn gốc tọa độ tại vùng tác dụng của thế năng ( )'

V r

như Hình 1.1

Hình 1.1: Hệ tọa độ khi lấy tích phân trong công thức (1.24)

Khi r →  ta có thể tính gần đúng như sau: Khi rr có thể khai triển ' r −r'

2,

r là xung lượng của hạt tại điểm quan sát r , xung lượng sau khi tán

xạ là k' So sánh (1.26) và (1.11) chúng ta thu được biểu thức biên độ tán xạ:

1.2.2 Lời giải của phương trình Schrodinger trong gần đúng quỹ đạo thẳng

Tìm nghiệm phương trình Schrodinger (1.19) có dạng sóng phẳng mà trong quá trình tương tác với thế năng sẽ xuất hiện thêm số hạng dịch pha bổ sung ( )r :

22

2

kE

22

irikr

02

km

Nếu giả thiết rằng ( )r là hàm nhẵn của tọa độ, như ta đã làm khi rút ra phương trình quỹ đạo thẳng trong quang học (1.9) thì trong (1.29) sẽ bỏ đạo hàm bậc hai của ( )r Như vậy, trong cơ học lượng tử, phương trình tương tự với phương trình quỹ đạo thẳng là:

( )(( ))2 ( )

2

22k r +  r = − mV r (1.30) So sánh (1.8) với (1.30) ta có vai trò quỹ đạo thẳng  bây giờ là đại lượng

, ,2

2

z

zik r

iV x y z dzv

ik rikr

vm

= −

Bây giờ ta nghiên cứu tán xạ góc nhỏ, sao cho sự thay đổi xung lượng trong

quá trình tán xạ q có thể lấy với độ chính xác 1

k vuông góc với k , tức là vuông

góc với trục Oz Trong trường hợp này, tích phân theo dz trong biểu thức (1.35) là

của một vi phân toàn phần bởi vì qrq r⊥ ⊥ nên không phụ thuộc vào z (các véc tơ này là véc tơ hai chiều, vuông góc với trục z và ký hiệu bằng ⊥ ) Lấy tích phân

, ,2

2

,2

iqr

iV x y z dzv







−

⊥

−

−

−

−

2

z

iV x y z dzv

ei

−

−⊥



ib

zq

−⊥

ở đây b⊥ =r⊥ =(x y, , 0 ;) k= mv = p Biểu thức (1.36) cho phép giải thích vật lý như sau (xem Hình 1.2): Từng phần của sóng phẳng tới, đi qua vùng tác dụng của

thế với thông số ngắm b sẽ nhận sự dịch chuyển của pha, mà nó tỷ lệ với tích phân

dọc theo quỹ đạo thẳng, song song với trục z: V b z dz( ),

−

1

2

biq





 = (1.38) Trong công thức (1.36) ta thấy:

( , ') '

iV bz dzv

⊥−

− 

( )( ) 2

0

00

s0

iV b z dzv

−

1.2.3 Điều kiện sử dụng gần đúng quỹ đạo thẳng

Bây giờ ta sẽ tìm các điều kiện cho thế năng, năng lượng và góc tán xạ của hạt để biểu thức (1.36) đúng Để đạt được mục tiêu này, cần thiết lập các điều kiện sao cho các số hạng 2 Δ ( )

2

2m  là nhỏ so với V r( ) và 2 ( )

2mk r Theo (1.33), có đánh giá sau đây cho  : 

( )r ~ mV r( )

p



 (1.40) Khi đó:

2mk Nếu đưa vào 

khoảng cách đặc trưng là a mà ở đó thế năng tác dụng V r( ) thỏa mãn

Bây giờ ta đánh giá số hạng thứ hai để có thể bỏ đi:

( )

1

V rE (1.44)

Điều kiện đó có nghĩa là năng lượng đủ lớn Điều kiện này cũng thu được khi so

lượng để có gần đúng quỹ đạo thẳng

Bây giờ ta tìm điều kiện cho độ nhỏ của góc để có thể chuyển từ (1.35) đến công thức quỹ đạo thẳng (1.36) và (1.39) Điều này chỉ xảy ra trong trường hợp

điều kiện (1.42) ka 1, nên 1 cos−  phải là đại lượng bé Vì thế nên cos có thể khai triển thành chuỗi:

ka

 (1.45)

dụng gần đúng quỹ đạo thẳng cho bài toán tán xạ thế là (1.42) và (1.44) Nếu có bổ sung điều kiện góc tán xạ (1.45) thì biên độ tán xạ có thể gần đúng quỹ đạo thẳng ở

dạng (1.36) hay (1.39)

Khi rút ra gần đúng quỹ đạo thẳng cho biên độ tán xạ, ta đã không cần đặt điều kiện cho thế ngoài phải là hàm thực Như đã biết ở một số trường hợp, ví dụ

như tán xạ lên hệ phức tạp (hạt nhân nguyên tử), ta cần nghiên cứu thế năng là hàm phức mô tả tương tác hiệu dụng của hạt với bia phức tạp có sự hấp thụ Nếu thế là phức thì với mật độ dòng xác suất (1.12) ta không thể viết định luật bảo toàn div j Thay vào đó ta có:

( ) ( ) ( )*

2

div j = V r  r  r (1.46) Do tương tác với bia, hạt có thể tán xạ đàn hồi hay hấp thụ thì div j phải bằng

không hoặc là số âm Suy ra ImV r ( ) 0 Trong trường hợp thế năng là hàm phức, theo công thức (1.36) pha quỹ đạo thẳng cũng là một số phức, thêm vào đó Im  Ta dẫn ra biểu thức cho tiết diện tán xạ khi biên độ lấy gần đúng ở dạng 0.quỹ đạo thẳng (1.36) Pha  dưới dạng phức:

rii

 = +  (1.47) Sử dụng (1.33) và (1.39), tiết diện tán xạ đàn hồi bằng:

*11220102

( )

( 2 )( ( )2 )

*22

1−e− i có một phần của dòng hạt đến với thông số ngắm b

mà bia sẽ hấp thụ Tiết diện tán xạ toàn phần theo (1.53) và (1.54) bằng:

Thật vậy, từ (1.48) với k’ = k thì q = 0 Khi đó ta có:

Jqb =J = (1.57) Thay (1.57) vào (1.39) ta có:

rrv

ri

−

22

( )

.0

Tiết diện tán xạ vi phân bằng:

( )2

21

Biểu thức này quen thuộc với chúng ta trong quang học Nó

xác định cường độ tán xạ ánh sáng khi nhiễu xạ lên hình cầu (nhiễu xạ Fraunhofer) Lấy tích phân (1.64) theo góc ta thu được:

( )

2

22

1

akel

8

ain

 = =  = (1.67) Đây là trường hợp riêng của nguyên lý Babine trong quang học

1.3 Tổng kết chương 1

Chương 1 trình bày tổng quan về gần đúng quỹ đạo thẳng: Thu được biểu thức quỹ đạo thẳng trong quang học; Đưa ra công thức gần đúng quỹ đạo thẳng cho biên độ tán xạ trong cơ học lượng tử từ lời giải của phương trình Schrodinger Đồng thời tìm được các điều kiện cho thế năng, năng lượng và góc tán xạ của hạt để sử dụng

được gần đúng này Việc vận dụng lý thuyết tổng quan về gần đúng quỹ đạo thẳng cho bài toán tán xạ năng lượng cao tiếp tục được trình bày cụ thể trong các chương sau của luận án

CHƯƠNG 2

GẦN ĐÚNG QUỸ ĐẠO THẲNG CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ VÀ

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Trong chương này vận dụng kiến thức tổng quan về gần đúng quỹ đạo thẳng đã trình bày trong chương 1 kết hợp với phương pháp tích phân phiếm hàm để tìm gần đúng quỹ đạo thẳng cho biên độ tán xạ trong cơ học lượng tử Gần đúng quỹ đạo thẳng có thể nhận được bằng ba phương pháp khác nhau: Thứ nhất là phương pháp sóng riêng phần (tìm hàm sóng ở xa vô cùng – xem chi tiết trong phụ lục 1) Thứ hai là phương pháp hàm Green (giải phương trình vi tích phân) Thứ ba là phương pháp chuẩn cổ điển (giải phương trình Schrodinger bằng gần đúng chuẩn cổ điển) Trong cơ học lượng tử thì các phương pháp này đều dựa vào lý thuyết nhiễu loạn Nhưng phương pháp nhiễu loạn lại khó sử dụng trong lý thuyết trường hấp dẫn lượng tử [28, 54, 56, 57] Chính vì vậy, trong chương này chúng tôi muốn giới thiệu một phương pháp khác rất hữu hiệu hiện nay, không dựa vào phép khai triển nhiễu loạn [17, 19, 39, 75, 76, 80] là phương pháp tích phân phiếm hàm - phương pháp do Feynman khởi xướng năm 1968 [39] và dựa vào phép gần đúng quỹ đạo thẳng Ưu điểm của cách tiếp cận này so với tất cả các cách tiếp cận khác ở chỗ: Có thể tính được số hạng chính và số hạng bổ chính bậc nhất của biên độ tán xạ ở mức năng lượng Planck

Trong phần đầu tiên giới thiệu hàm Green của hạt cho phương trình Schrodinger ở thế ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm Sau đó, tách các cực điểm từ hàm Green của hạt ở trường ngoài để tìm biên độ tán xạ Phần thứ hai nghiên cứu cách tính gần đúng tích phân phiếm hàm bằng gần đúng quỹ đạo thẳng và xem xét dáng điệu tiệm cận của biên độ tán xạ thế ở vùng năng lượng cao với góc tán xạ nhỏ Đồng thời thảo luận những hạn chế lên thế năng, năng lượng của hạt và góc tán xạ để phép gần đúng này được sử dụng Tiết diện tán xạ vi phân trên các thế ngoài cụ thể như thế Yukawa và thế Gauss được trình bày trong phần thứ 3

2.1 Hàm Green của phương trình Schrodinger ở trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm

Xét bài toán tán xạ của hạt ở trường thế ngoài trong cơ học lượng tử Hàm Green của hạt thỏa mãn phương trình Schrodinger dừng có dạng:

Việc thay E thành E i+ trong (2.1) cho phép nhận được hàm Green chỉ chứa 

sóng phân kỳ khi r →  Từ phương trình (2.1) ta thu được :

⃗⃗⃗ ở lũy thừa của hàm mũ (2.2) có thể thực hiện nhờ phép biến đổi hình thức [16, 80] mà nó chứa tích phân phiếm hàm ba chiều Trong công thức (2.2) ta xét thừa số:

( )

( )2

020



v

i

mxp

 

=

tt

E it

tG





m  = − +  (2.6) Jacobian của phép biến đổi này không phụ thuộc vào biến phân phiếm hàm mới 𝑥⃗(𝑡):

( )( )

" ''' '''"

tt

E ix

= +  = (2.8) Tích phân phiếm hàm trong (2.7) chính là tích phân Feynman theo các quỹ đạo 𝑥⃗(𝑡) của hạt trong hàm mũ mà lũy thừa của nó chính là tác dụng cổ điển của hạt ở trường ngoài 𝑉(𝑥⃗(𝑡))

2.2 Biên độ tán xạ và gần đúng quỹ đạo thẳng

Biên độ tán xạ liên quan tới hàm Green của hạt tán xạ ở trường ngoài được tính theo công thức sau:

02

12' 2

Bước 1: Chuyển sang gần đúng xung lượng: Trước tiên ta đi tìm ảnh Fourier

−+

Bước 2: Thực hiện dịch chuyển biến phiếm hàm trong công thức (2.13) cho

phép ta bỏ qua các số hạng tuyến tính ở lũy thừa của hàm mũ Thực hiện đổi biến:

33

0

2

i k k ri E idr

− 

21

ki Ei

0

2'

2

k

Ekk G k





−+

+ (2.16)

